Структура квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины и обратная задача электродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Кирпичников, Александр Петрович

• Кирпичников, Александр Петрович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кирпичников, Александр Петрович

Схема зависимости глав.

Введение.

Глава первая

Предельные соотношения системы уравнений, описывающих квазистационарное электромагнитное поле высокочастотного индукционного разряда. Одномерный случай

1.1. Уравнения электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда атмосферного давления.

1.2. Предельные соотношения системы уравнений электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда.

1.3. Математически корректный вывод предельных соотношений уравнений электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда.

Глава вторая

Структура квазистационарного электромагнитного поля одномерного высокочастотного индукционного разряда вблизи оси плазменного сгустка

2.1. Первое приближение.

2.2 Второе приближение.

Глава третья

Предельные соотношения системы уравнений электромагнитного поля в двухмерной постановке задачи

3.1. Вывод двухмерных уравнений электромагнитного поля.

3.2. Предельные соотношения системы уравнений квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины.

Глава четвертая

Структура электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины в приосевой области плазмоида

4.1. Первое приближение.

4.2. Второе приближение.

Глава пятая

Модель Томсона высокочастотного индукционного разряда конечной длины

5.1. Классическая модель Томсона.

5.2. Двухмерная модель Томсона высокочастотного индукционного разряда.

5.3 Теорема о структуре электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины при условии постоянства проводимости в разряде.

5.4. Применение метода предельных соотношений к модели Томсона высокочастотного индукционного разряда конечной длины.

Глава шестая Численное решение задачи в одномерном и квазиодномерном случаях

6.1. Решение в одномерном приближении.

6.2. Структура электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда вблизи плоскости центрального сечения плазмоида.

Глава седьмая

Двухмерное численное решение задачи и анализ результатов

7.1. Окончательное решение исходной задачи.

7.2. Особенности коаксиальной структуры высокочастотного индукционного разряда.

7.3. Парадокс фон Энгеля-Штеенбека в высокочастотном индукционном разряде.

7.4. Неподвижная точка высокочастотного индукционного разряда.

7.5. Поверхность, разделяющая прямое и возвратное течения в высокочастотном индукционном разряде.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины и обратная задача электродинамики»

Диссертация, написанная по результатам, опубликованным в цикле работ автора [А1-А37], посвящена задаче, представляющей собой один из вариантов обратной задачи электродинамики - задаче восстановления полной картины распределения электромагнитного поля высокочастотного индукционного (ВЧИ) разряда конечной длины (включая и значение электропроводности плазмообразующего газа) по измеренным значениям амплитуды продольной составляющей магнитного поля в разряде.

Выбор темы был определён следующими основными обстоятельствами. В физике газоразрядной плазмы хорошо известен и изучен метод определения электропроводности плазмы а из экспериментов с каскадной дугой с помощью интегрального закона Ома в виде r

I = 27cEJ<jrdr, о где I - ток дуги; Е - напряжённость поля в столбе; R - радиус стабилизирующего канала (например, [1,2]). При этом использование интегрального, а не дифференциального закона Ома связано, очевидно, со сложностями экспериментального определения пространственного распределения плотности тока и напряжённости электрического поля в одних и тех же точках разряда.

Между тем для ВЧИ разрядов аналогичная данной задача может быть поставлена в рамках гораздо более чёткой и строгой, а главное - с точки зрения физики - и более красивой постановки, суть которой заключается в следующем.

В системе уравнений Максвелла, описывающих электромагнитное поле высокочастотного индукционного разряда, число величин, характеризующих поле, вообще говоря, на единицу больше числа самих уравнений, поскольку к таким величинам относятся как напряжённости электрического Е и магнитного Н полей, так и а - электропроводность (или проводимость) в разряде. Или, говоря другими словами, система уравнений Максвелла незамкнута. Поэтому ясно, что, считая заданной одну из величин, характеризующих поле, можно получить на выходе этой системы набор различных комбинаций, состоящих из электромагнитных величин и проводимости в разряде ст. На практике обычно задают именно проводимость (по-видимому, наиболее известным и популярным примером такой постановки задачи является известная модель Дж. Дж. Томсона [3,4] ВЧ индукционного разряда). Можно, однако, поставить задачу и по-другому - задать одну из компонент электромагнитного поля в разряде и попытаться найти все остальные компоненты и проводимость плазмообразующего газа.

При этом следует, однако, учитывать ещё и то обстоятельство, что для решения системы дифференциальных уравнений (какой является система уравнений Максвелла) необходимо также и задание граничных условий для всех электромагнитных величин, составляющих поле, и поэтому - с точки зрения чисто практической - наиболее удобным является выбор в качестве такой входной величины амплитуды продольной компоненты магнитного поля в разряде - просто потому, что для всех остальных электромагнитных величин (подчеркнём, что именно для всех остальных величин!) эти граничные условия с точки зрения физики заранее очевидны и, таким образом, не нуждаются поэтому в дополнительном экспериментальном определении (вопрос о граничных условиях для характеристик поля подробно обсуждается нами в главах 1 и 3).

Тем самым, используя взятое из эксперимента двухмерное числовое поле амплитуды Hz, можно попытаться путём совместного аналитического и численного решения системы максвелловских уравнений решить задачу восстановления полной пространственной структуры квазистационарного электромагнитного поля и проводимости в разряде ст. Этой задаче, которую в дальнейшем мы будем называть обратной задачей электродинамики для высокочастотного индукционного разряда, и посвящена настоящая работа.

Основная проблема, с которой приходится сталкиваться в этой постановке задачи, заключается в следующем. Как показано ниже, проводимость в разряде а - эта основная величина, связывающая собой все главные характеристики электромагнитного поля в разряде, - определяется в данном случае вытекающей из максвелловских уравнений формулой dHz ст(г) = - —-—-, (В.1)

4я Еф Cos (фп -фр )

-ф ■ в которой Hz - амплитуда продольной компоненты магнитного поля в разряде, Еф - амплитуда азимутальной компоненты его электрического поля, фц^, фЕ(р фазовые углы этих же компонент соответственно и с - скорость света в пустоте (в гауссовой системе единиц). Казалось бы, что, аппроксимируя в соответствии со сказанным выше экспериментально полученные значения амплитуды Hz, например, стандартным кубическим сплайном, и рассчитывая затем по ним в соответствии с некоторой определённой численной процедурой решения уравнений Максвелла все остальные компоненты электромагнитного поля в разряде, мы без труда решим поставленную выше задачу. В действительности, однако, эта задача носит значительно более сложный характер.

Дело в данном случае заключается в том, что проводимость, рассчитанная по формуле (В.1) при условии аппроксимации амплитуды продольного магнитного поля в разряде Hz сглаженным кубическим сплайном, обнаруживает резкую расходимость вблизи оси плазмоида, начиная с расстояний порядка одной трети радиуса плазменного сгустка. Очевидно, что это явление представляет собой прямое следствие неверной интерполяции Hz(r), вблизи нуля, и значит в данном случае для решения задачи восстановления амплитуды Hz, как непрерывной функции радиальной координаты г, по конечному числу её экспериментально измеренных значений кубическими сплайнами пользоваться уже нельзя.

Основной задачей таким образом становится выяснение истинной картины поведения всех главных характеристик квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда вблизи оси плазмоида при достаточно малых значениях радиальных координат г. Говоря другими словами, нужно проанализировать систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в разряде и попытаться получить если не точное, то хотя бы их приближённое решение вблизи оси г=0.

В настоящей работе предложен новый метод приближённого интегрирования систем дифференциальных уравнений с частными производными, позволяющий однозначно (и очень точно) описывать структуру решений этих уравнений в окрестностях точек, в которых выражения для вторичных характеристик описываемого уравнениями процесса (то есть тех или иных комбинаций входящих в исходные уравнения неизвестных величин) содержат неопределённости типа Этому методу, который можно назвать методом предельных соотношений, посвящены первые четыре главы данного исследования, но в действительности идея предельных соотношений является центральной идеей всей этой работы.

История постановки данной задачи насчитывает более тридцати лет и восходит к работе В. И. Позняка, Е. С. Трехова и Л. Ф. Фоменко "Измерение высокочастотных электромагнитных полей в стационарном вихревом разряде в воздухе при атмосферном давлении", опубликованной в 1969 году в числе других работ, выполненных в Московском инженерно-физическом институте, в книге [5]. К сожалению, основная идея этой работы оказалась невостребованной специалистами в области физики и техники ВЧ низкотемпературной плазмы и впоследствии была надолго и прочно забыта, что, очевидно, объясняется невоспроизводимостью представленных в ней результатов в других условиях. Ясно, что этот недостаток был связан именно с отсутствием правильной аппроксимации функции Hz=Hz(r) вблизи оси плазменного сгустка. Кроме того, эта работа содержит лишь одномерную постановку задачи, вследствие чего, например, не вполне точно записаны уравнения Максвелла для области центрального сечения плазмоида, хотя эта ошибка и не является решающей.

Остановимся кратко на содержании данной работы.

В первой главе вводится центральное для всей работы понятие предельных соотношений системы дифференциальных уравнений, описывающих квазистационарное электромагнитное поле высокочастотного индукционного разряда, и получены явные выражения предельных соотношений для случая одномерного ВЧИ разряда.

Во второй главе на основе идеи предельных соотношений в виде системы формул выявлена структура квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда вблизи оси плазменного сгустка -также для одномерной геометрии разряда.

В третьей главе получены предельные соотношения для плазмоида конечной длины, то есть для системы максвелловских уравнений, записанных в существенно двухмерной постановке задачи.

В четвёртой главе на основе полного набора полученных в главе 3 предельных соотношений выведены формулы, дающие исчерпывающее аналитическое решение задачи о структуре электромагнитного поля ВЧИ разряда вблизи оси плазмоида в двухмерной постановке задачи.

В пятой главе построена двухмерная модель Томсона (модель постоянной проводимости) ВЧИ разряда конечной длины и показано, как метод предельных соотношений работает в комплексной постановке задачи. Здесь также проведено сравнение результатов, полученных различными методами, и показано удовлетворительное их совпадение.

В шестой главе с помощью развитой во второй, четвёртой и пятой главах аналитической модели дано численное решение задачи восстановления структуры квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда (включая и проводимость в разряде) по измеренным значениям Hz в одномерной постановке задачи, а также решён вопрос о структуре электромагнитного поля ВЧ индукционного разряда конечной длины в плоскости центрального сечения плазмоида (который необходим при постановке граничных условий для полной, то есть двухмерной, постановки задачи).

В седьмой, заключительной, главе данной работы на основе полученных главах 4 и 6 аналитических и численных результатов дано исчерпывающее численное решение основной задачи и тем самым достигнута цель всего исследования, то есть решена задача построения замкнутой двухмерной численной модели расчёта электромагнитных, электрофизических и тепловых характеристик плазмы высокочастотного индукционного разряда конечной длины по множеству меры нуль экспериментально измеренных значений амплитуды продольной компоненты магнитного поля в разряде, а также - как численно, так и аналитически - проанализирован ряд установленных автором новых эффектов, связанных с явлением высокочастотного индукционного разряда, стабилизированного закрученным потоком плазмообразуюшего газа, в числе которых

• в виде системы неравенств выявлены особенности кольцевой структуры ВЧИ разряда;

• проанализирован парадокс фон Энгеля-Штеенбека применительно к случаю высокочастотного индукционного разряда в потоке газа;

• доказано утверждение о том, что внутри плазмоида всегда существует точка, в которой все три компоненты скорости плазмообразующего газа обращаются в нуль, и эта точка соответствует той точке на оси плазмоида, в которой значение его осевой температуры максимально (последний результат назван автором теоремой о неподвижной точке высокочастотного индукционного разряда), а также

• на основе анализа уравнения баланса энергии в высокочастотном индукционном разряде установлено, что области прямого и возвратного течений в нем разделены поверхностью, в точках которой значения температуры плазмообразующего газа при каждом фиксированном значении радиальной координаты в разряде максимальны.

И в заключение ещё одно замечание. Иногда можно встретить утверждение о том, что с точки зрения теории по-настоящему новую информацию в рассматриваемой области знаний можно получить лишь двумя путями - либо путём приближённого решения точных уравнений , либо путём точного решения приближённых уравнений. В этой связи уместно отметить, что именно этот последний путь и привёл автора к большинству результатов, представленных в настоящей работе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кирпичников, Александр Петрович

Заключение

Основной результат настоящей работы заключается в решении обратной задачи электродинамики для высокочастотного индукционного разряда, то есть в разработке замкнутой двухмерной математической модели расчёта электромагнитных, электрофизических и тепловых характеристик плазмы высокочастотного индукционного разряда конечной длины по измеренным значениям амплитуды продольной составляющей магнитного поля в разряде, в связи с чем впервые:

1) введено фундаментальное понятие предельных соотношений систем дифференциальных уравнений с частными производными, позволяющее однозначно описать структуру решений этих уравнений в окрестностях точек, в которых выражения для вторичных характеристик описываемого уравнениями процесса (то есть тех или иных комбинаций входящих в исходные уравнения неизвестных величин) содержат неопределённости О типа —: О

2) на основе анализа системы дифференциальных уравнений Максвелла для квазистационарного цилиндрически симметричного электромагнитного поля выведены формулы предельных соотношений высокочастотного индукционного разряда как в случае одномерного ВЧИ разряда, так и для ВЧИ разряда конечной длины;

3) с помощью полученного выше полного набора предельных соотношений высокочастотного индукционного разряда в приближении постоянной проводимости дано исчерпывающее решение задачи о структуре квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины вблизи оси плазменного сгустка. В качестве первого этапа та же задача решена и для одномерного ВЧИ разряда;

4) развита аналитическая теория двухмерной модели Томсона высокочастотного индукционного разряда конечной длины, в рамках которой построены решения в специальных функциях и найдены носящие характер теоремы соотношения между характеристиками радиального магнитного и вихревого электрического полей в разряде;

5) построена одномерная численная модель, в первом приближении решающая обратную задачу электродинамики для высокочастотного индукционного разряда и удовлетворительно описывающая структуру квазистационарного электромагнитного поля ВЧИ разряда конечной длины для конечного числа поперечных сечений плазмоида (с точки зрения математики -на множестве меры нуль при z = Zj; j = 0,1,., М ) вниз по потоку;

6) выведено уравнение для характеристик электромагнитного поля в плоскости центрального сечения плазмоида и произведён расчёт уточнённых значений характеристик электромагнитного поля в этой плоскости. То же уравнение использовано для построения квазиодномерной модели плазмоида;

7) на основе полученных в пп.1-6 результатов построена замкнутая численная модель решения обратной задачи электродинамики для двухмерного ВЧИ разряда и произведён расчёт электромагнитных, электрофизических и тепловых характеристик квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины во всём объёме плазменного сгустка.

8) обнаружено явление коаксиальности высокочастотного индукционного разряда, заключающееся в том, что внутри плазмоида в каждом его поперечном сечении максимум проводимости, как функция радиуса, находится ближе к оси разряда, чем максимум плотности вихревого тока, а максимум плотности вихревого тока, в свою очередь, располагается ближе к оси, чем максимум полной вкладываемой в разряд мощности на единицу объёма. Показано, что это явление является частью более общей зависимости, присущей высокочастотному индукционному разряду;

9) проанализирован парадокс фон Энгеля - Штеенбека применительно к высокочастотному индукционному разряду, обдуваемому потоком плазмообразующего газа и показано, что в высокочастотном индукционном разряде это явление хотя и имеет место, но в целом носит менее яркий характер, чем для дуги постоянного тока;

10) Выяснено, что внутри каждого высокочастотного индукционного разряда существует, по крайней мере, одна точка, в которой все три компоненты скорости плазмобразующего газа обращаются в нуль, и эта точка соответствует той точке на оси плазмоида, в которой значение его осевой температуры максимально. Полученный результат назван теоремой о неподвижной точке высокочастотного индукционного разряда.

11) На основе анализа уравнения баланса энергии в высокочастотном индукционном разряде установлено, что области прямого и возвратного течений в нем разделены поверхностью, в точках которой значения температуры плазмообразующего газа при каждом фиксированном значении радиальной координаты в разряде максимальны.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кирпичников, Александр Петрович, 2003 год

1. Литература, опубликованная по теме диссертации

2. А1. Гайнуллин Р.Н., Герке А.Р., Кирпичников А.П. Определение параметров ВЧ индукционной плазмы с учётом конечной длины индуктора // Изв. вузов. Физика. 1992. № 6. С. 121.

3. А2. Кирпичников А.П. Предельные соотношения для ВЧ индукционного разряда//Изв.вузов. Физика. 1993. № 1. С. 56.

4. A3. Кирпичников А.П. О предельных соотношениях системы уравнений, описывающих квазистационарное электромагнитное поле ВЧ индукционного разряда//Изв. вузов. Физика. 1993. № 11. С. 102.

5. А4. Кирпичников А.П. О структуре квазистационарного электромагнитного поля ВЧ индукционного разряда при атмосферном давлении// Изв. вузов. Физика. 1994. № 2. С. 77.

6. А5. Кирпичников А.П. Структура квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда вблизи плазменного сгустка // ТВТ. 1995. Т. 33. № 1.С.139.

7. А6. Гайнуллин Р.Н., Герке А.Р., Кирпичников А.П. Тепловые и электромагнитные параметры высокочастотного разряда при индукционном нагреве газа // ИФЖ. 1995. Т. 6. № 2. С.248.

8. А7. Гайнуллин Р.Н., Герасимов А.В., Герке А.Р., Кирпичников А.П. Расчёт полей температуры плазмы ВЧИ разряда в индукторе конечных размеров. Вкн.: Тепло- и массообмен в химической технологии / Под ред. А.Г. Усманова. Казань: КГТУ, 1995. С. 103.

9. А9. Кирпичников А.П. О структуре высокочастотного индукционного разряда при атмосферном давлении вблизи оси плазменного сгустка // ТВТ.1996. Т. 34. № 6. С. 989.

10. All. Герасимов А.В., Кирпичников А.П. О структуре поля температур высокочастотного индукционного разряда при атмосферном давлении // ТВТ.1998. Т. 36. №2. С. 342.

11. А12. Кирпичников А.П. О модели Томсона ВЧИ разряда конечной длины //Изв. вузов. Физика. 1998. № 2. С.125.

12. А13. Герасимов А.В., Кирпичников А.П. Анализ структуры ВЧИ разряда в приосевой области плазмоида // Материалы конференции по физике низкотемпературной плазмы ФНТП-98. Ч. 1. Петрозаводск: 1998. С. 525.

13. А14. Герасимов А.В., Кирпичников А.П Аналитическое исследование скорости плазмы на оси разрядной камеры высокочастотного индукционного плазмотрона // Труды 5-й Международной конференции "Пленки и покрытия 98". СПб. С. 252.

14. А17. Герасимов А.В., Кирпичников А.П., Таланов М.О. Аналитическое исследование скорости на оси ВЧИ разряда. В кн.: Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках / Под ред. А.И. Леонтьева. М.: МЭИ, 1999. С.283.

15. А18. Герасимов А.В., Кирпичников А.П. Неподвижная точка высокочастотного индукционного разряда// ТВТ. 1999. Т. 37. № 3. С. 504.

16. А20. Герасимов А.В., Кирпичников А.П. О структуре высокочастотного индукционного разряда // ТВТ. 1999. Т. 37. № 5. С. 833.

17. А21. Герасимов А.В., Кирпичников А.П., Таланов М.О. Температурные поля излучающей газоразрядной ВЧИ плазмы вблизи оси плазмотрона // Материалы 9 Школы по плазмохимии для молодых ученых России и стран СНГ. Иваново. 1999. С. 143.

18. А22. Герасимов А.В., Кирпичников А.П. Поле температур высокочастотного индукционного разряда атмосферного давления вблизи оси плазменного сгустка // Промышленная теплотехника. 2000. № 1. С. 24.

19. А23. Герасимов А.В., Кирпичников А.П. Двухтемпературная модель теплообмена излучающей плазмы ВЧИ разряда вблизи оси плазменногосгустка // Труды IV Минского международного форума "Тепломассообмен ММФ-2000". Т. 2. Минск. 2000. С. 82.

20. А24. Герасимов А.В., Кирпичников А.П. Двухтемпературная модель баланса энергии плазмы высокочастотного индукционного разряда вблизи оси плазменного сгустка// ТВТ. 2000. Т. 38. № 5. С. 710.

21. А25. Герасимов А.В., Кирпичников А.П. О максимуме мощности тепловыделения в высокочастотном индукционном разряде // Сб. трудов 13 Международной, научной, конференции "Математические методы в технике и технологиях". Т. 6. СПб. 2000. С. 81.

22. А27. Герасимов А.В., Кирпичников А.П. Высокочастотный индукционный разряд в потоке газа // ТВТ. 2001. Т. 39. № 4. С. 671.

23. А29. Герасимов А.В., Кирпичников А.П. О максимуме мощности тепловыделения в высокочастотном индукционном разряде // Сб. трудов 14 Международной, научной, конференции "Математические методы в технике и технологиях". Т. 3. Смоленск. 2001. С. 107.

24. А30. Герасимов А.В., Кирпичников А.П Кольцевая структура высокочастотного индукционного разряда // Материалы докладов российского национального симпозиума по энергетике. Т. 1. Казань. 2001. С. 271.

25. А31. Герасимов А.В., Зеленко О.В., Кирпичников А.П. Математическое объясЗиение одного физического явления // Материалы Пятых Вавиловских чтений "Мировое сообщество и Россия на путях модернизации". Ч. 2. Йошкар-Ола: 2001. С. 184.

26. АЗЗ. Герасимов А.В., Зеленко О.В., Кирпичников А.П. Неравновесный теплообмен в газоразрядной камере ВЧИ плазмотрона // Энерго. 2001. № 2(3). С. 86.

27. А34. Герасимов А.В., Зеленко О.В., Кирпичников А.П. Особенности газодинамики индуктивно связанной плазмы // Сб. трудов XV Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях". Т. 6. Тамбов. 2002. С. 196.

28. А35. Герасимов А.В., Зеленко О.В., Кирпичников А.П. О влиянии расхода плазмообразующего газа на теплообмен в высокочастотном индукционном разряде // Труды Третьей Российской национальной конференции по теплообмену. Т. 3. М. 2002 С. 197.

29. А37. Герасимов А.В., Кирпичников А.П. Поверхность раздела прямого и возвратного течений в высокочастотном индукционном разряде // ДАН. 2003. Т. 389. №2. С. 177

30. Список использованной литературы

31. Меккер Г., Баудер У. Определение переносных свойств плазмы. В кн.: Свойства низкотемпературной плазмы и методы ее диагностики / Под ред. М. Жукова. Новосибирск: Наука, 1977. С. 37.

32. Асиновский Э.И. Явления переноса в плазме стабилизированной дуги. В кн.: Свойства низкотемпературной плазмы и методы её диагностики. / Под ред. М. Жукова. Новосибирск: Наука, 1977. С. 57.

33. Tomson J.J. Radiation produced by the Passage of Electricity 11 Philos. Mag. 1926. V. 2. № 9. P. 674.

34. Tomson J.J. The Electrodeless Discharge through Gases // Philos. Mag. 1927. V. 4. №25. P. 1128.

35. Позняк В.И., Трехов E.C., Фоменко А.Ф. Измерение высокочастотных электромагнитных полей в стационарном вихревом разряде в воздухе при атмосферном давлении. В кн.: Физика газоразрядной плазмы. Вып. 2. / Под ред. Е.С. Трехова. М.: Атомиздат, 1969. С. 130.

36. Седов JI.И. Механика сплошной среды. T.l М.: Наука, 1976.

37. Трехов Е.С., Фоменко А.Ф., Хошев Ю.М. Параметры стационарного высокочастотного разряда при атмосферном давлении // ТВТ. 1969. Т. 7: № 5. С. 860.

38. Boulos M.I. Flow and Temperature Fields in the Fire-Bali of an Inductively Coupled Plasma // IEEE Transactions on Plasma Science. 1976. V. PS-4. № 1. P. 28.

39. Boulos M.I., Gagne R. and Barnes R.M. Effect of Swirl and Confinement on the Flow and Temperature Fields in an Inductively Coupled r.f. Plasma // The Canadian Journal of Chemical Engineering. 1980. V. 58. P. 367.

40. Mostaghimi J., Proulx P. and Boulos M.I. An Analysis of the Computer Modeling of the Flow and Temperature Fields in an Inductively Coupled Plasma // Numerical Heat Transfer, 1985. V. 8. P. 187.

41. Mostaghimi J. and Boulos M.I. Two-Dimensional Electromagnetic Field Effects in Induction Plasma Modeling // Plasma Chemistry and Plasma Processing. 1989. V. 9. № l.P. 25.

42. Mostaghimi J. and Boulos M.I. Mathematical Modeling of the Inductively Coupled Plasmas. В кн.: Inductively Coupled Plasma in Analytical Atomic Spectrometry. VHS Publishers, 1992. P. 949.

43. Mensing A.E. and Boedeker L.R. Theoretical Investigations of r.f. Induction Heated Plasmas. NASA Technical Report № CR-1312, 1969

44. Лузин H.H. Дифференциальное исчисление. M.: Советская наука,1953.

45. Депутатов В. Н. О формальной недостаточности правила Лопиталя // Математика в школе. 1948. № 5. С.2.

46. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

47. Филатов А.Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегродифференциальных уравнениях. Ташкент: Фан, 1971.

48. Филатов А.И. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегродифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1974.

49. Коишяков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики. Л.-М.: ГТТИ, 1933.

50. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.-Л.: ГИТТЛ,

51. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

52. Янке Е. Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: Формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1977.

53. Справочник по специальным функциям / Под. ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1977.

54. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. T.l. М.: Наука, 1965; Т.2. М.: Наука, 1966; Т.З. М.: Наука, 1967.

55. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. М.: Наука, 1969; Т.2. М.: Наука, 1970.

56. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

57. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

58. Прудников А.П, Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.:Наука, 1985.

59. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: ИЛ, 1963.

60. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1983.

61. Brown G.H., Hoyler C.N. and Beirworth R.A. Theory and Applications of Radio Frequency Heating. New York: Van Nostrand Company, 1947.

62. Вайнберг A.M. Индукционные плавильные печи. M.: Госэнергоиздат,1960.

63. Eckert H.U. Diffusion Theory of the Electrodeless Ring Discharge // J. Apple. Phys. 1962. V. 39. № 9. P. 2780.

64. Freeman M.P. and Chase J.D. Energy-Transfer Mechanism and Typical Operating Characteristics for the Thermal rf Plasma Generator // J. Appl. Phys. 1968. V. 39. № l.P. 180.

65. Hollister D.D. On the Electrodeless Arc in High-Pressure Air // Phys. Lett. 1968. V.27A. № 10. P. 672.

66. Chase J.D. Magnetic Pinch Effect in the Thermal rf Induction Plasma // J. Appl. Phys. 1969. V. 40. № 1. P. 318.

67. Miller R.C. and Aven R.J. Temperature Profiles and Energy Balances for an Inductively Coupled Plasma Torch // J. Appl. Phys. 1969. V. 40. № 13. P. 5260.

68. Eckert H.U. Analysis of Thermal Induction Plasmas Dominated by Radial Conduction Losses // J. Appl. Phys. 1970. V. 41. № 4. P. 1520.

69. Eckert H.U. Analytical Treatment of Radiation and Conduction Losses in Thermal Induction Plasmas // J. Appl. Phys. 1970. V. 41. № 4. P. 1529.

70. Pridmore-Brown D.C. Numerical Study of the Inductive Electrodeless Discharge//J. Appl. Phys. 1970. V. 41. № 9. p. 3621.

71. Chase J.D. Theoretikal and Experimental Investigation of Pressure and Flow in Induction Plasmas // J. Appl. Phys. 1971. V.42. № 12. P. 4870.

72. Eckert H.U. and Pridmore-Brown D.C. Temperature Profiles in Argon Induction Plasmas: Theory And Experiment // J. Appl. Phys. 1971. V. 42. № 12. P. 5051.

73. Henriksen B.B., Keefer D.R. and Clarkson M.H. Electromagnetic Field in Electrodeless Discharge // J.Appl. Phys. 1971. V. 42. № 13. P. 5460.

74. Eckert H.U. Analysis of Thermal Induction Plasmas between Coaxial Cylinders // J. Appl. Phys. 1972. V. 43. № 1. P. 46.

75. Брычков Ю.А., Маричев О.И., Прудников А.П. Таблицы неопределённых интегралов. М.: Наука, 1986.

76. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1962.

77. Ватсон Д.Н. Теория бесселевых функций. 4.1. М.: ИИЛ, 1949.

78. Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. Л.: Гидрометеоиздат, 1986.

79. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

80. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

81. Алберг А., Нильсон Э., УолшД. Теория сплайнов и её приложения. М.: Мир, 1972.

82. Бор К. де. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь,1985.

83. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов Н.Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания. Новосибирск: Наука, 1988.

84. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций . М.: Наука, 1980.

85. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука, 1976.

86. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск: Наука, 1984.

87. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченных операторов // ЖВМиМФ. 1971. № 3. С. 545.

88. Тихонов А.П., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

89. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1983.

90. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

91. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач: Алгоритмический аспект. М.: Изд-во МГУ, 1992.

92. Тихонов А.Н., Гончарский OA.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука, 1983.

93. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягода А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

94. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

95. Кринберг И.А. Электропроводность воздуха в присутствии примеси // ПМТФ. 1965. №.1. с.76.

96. Соколова И.А. Коэффициенты переноса воздуха в области температур от 3000 до 25000 К и давлений 0.1, 1, 10, 100 атм И ПМТФ. 1972. № 2. С.80.

97. Devoto R.S. Transport Properties of Ionized Monoatomic Gases // Phys. Fluids. 1966. V.9. № 6. P.1230.

98. Devoto R.S. Transport Coeffcients of Partially Ionized Argon // Phys. Fluids. 1967. V.10. № 2. P.354.

99. Энгель A. u Штеенбек M. Физика и техника электрического разряда в газах. Т. 2. Свойства газовых разрядов. Техническое применение. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936.

100. Грановский В. Л. Электрический ток в газе. Установившийся ток. М.: Наука, 1971.

101. Райзер Ю.П. Основы физики газоразрядной плазмы. М.: Наука, 1972.

102. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1987.

103. Донской А.В., Дресвин С.В., Эль-Микати X. Газодинамические параметры высокочастотного индукционного плазматрона // Материалы к VI Всесоюзной конференции по генераторам низкотемпературной плазмы. Фрунзе. 1974. С. 218.

104. Дресвин С.В. Газодинамические параметры высокочастотной плазмы // Материалы к VII Всесоюзной конференции по генераторам низкотемпературной плазмы. Алма-Ата. 1977. С. 128.

105. Дресвин С.В., Эль-Микати X. Измерение и расчет газодинамических параметров индукционного высокочастотного разряда // ТВТ. 1977.-Т.15.-№ 6. С.1158.

106. Дресвин С.В., Борисенков В.И. Исследование вихревых течений в разрядной камере ВЧИ-плазмотрона / Материалы VIII Всесоюзной конференции по генераторам низкотемпературной плазмы. Ч. 3. Новосибирск. 1980. С.111.

107. Eckert H.U. The Induction Arc: A State-of-the-Art Review // High. Temp. Sci. 1974. V.6. P.99.

108. Предводителев А. С. и др. Таблицы газодинамических функций воздуха в интервале температур от 6000 до 12000 К в интервале давлений от 0,001 до 1000 атм. М.: АН СССР, 1957.

109. Предводителев А.С. и др. Термодинамические функции воздуха для температур от 1000 до 12000 К и давлений от 0,001 до 1000 атм. М.: АН СССР, 1960.

110. Атлас газодинамических функций при больших скоростях и высоких температурах воздушного потока / Под ред. А.С. Предводителева. M.-JL: Госэнергоиздат, 1961.

111. Оптические свойства горячего воздуха / Под ред. JI.M. Бибермана. М.: Наука, 1970.

112. Александров А. Ф., Рухадзе А.А., Тимофеев И.Б. Динамика излучающей плазмы. М.: МГУ, 1990.

113. Гойхман В.Х., Кузьмина B.C. К расчёту поля скорости течения газа в индукционном ВЧ разряде. В кн.: Физическая электроника. 4.2. Электроника низкотемпературной плазмы. Л.: ЛГПИ им. А.И. Герцена, 1974. С.66.

114. Гойхман В.Х., Гольдфарб В.М. Высокочастотный индукционный термический разряд. В кн.: Плазмохимические реакции и процессы. М.: Наука, 1977. С.232.

115. Сорокин JI.M. ВЧ-плазмотроны. В кн.: Теория электрической дуги в условиях вынужденного теплообмена. Новосибирск: Наука, 1977. С. 227.

116. Рыкалин Н.Н., Сорокин Л.М. Металлургические ВЧ-плазматроны. Электро- и газодинамика. М.: Наука, 1987.

117. Дресвин С. В. Основы теории и расчёта высокочастотных плазмотронов. JL: Энергоатомиздат, 1991.