Структура Г-конформных алгебр и вложения алгебр Лодея тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Губарев, Всеволод Юрьевич

• Губарев, Всеволод Юрьевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Губарев, Всеволод Юрьевич

Содержание

Введение

1 Г-конформные алгебры

1.1 Псевдоалгебры

1.2 Основные определения

1.3 Многообразия Г-конформных алгебр

1.4 Свободные Г-конформпые алгебры

1.5 Простые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры

1.6 Полупростые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры

1.7 Z-конформные алгебры Ли

2 Вложение алгебр Лодея в алгебры Рота—Бакстера

2.1 Произведения операд, Кожуль-двойственность

2.2 Многообразия ди- и триалгебр

2.3 Многообразия пре- и посталгебр

2.4 Алгебры Рота—Бакстера

2.5 Вложение пре- и посталгебр в алгебры Рота—Бакстера

2.6 Г-конформные алгебры и g-тpиaлгeбpы

3 Алгебры Лодея и псевдоалгебры

3.1 Вложения диалгебр в псевдоалгебры

3.2 Основная теорема

3.3 Лиевы ди- и триалгебры

3.4 Иордановы ди- и триалгебры

Приложение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура Г-конформных алгебр и вложения алгебр Лодея»

Введение

О теме диссертации

Конформные алгебры были введены В.Г. Кацем [54] в начале 1990-х годов при исследовании алгебр вертексных операторов. Последние возникли при описании Алгебраических свойств разложения операторного произведения (operator product expansion, OPE) в двумерной конформной теории поля [25]. Математическое изложение соответствующей теории было предложено в [28], см. также [43, 49]. На данный момент теория алгебр вертексных операторов является активно развивающейся областью теории представлений и математической физики. В определенном смысле (см. [54]) структура конформной алгебры описывает сингулярную часть алгебры вертексных операторов. В теории конформных алгебр получен ряд структурных результатов: в работах [13, 20, 93] описаны простые и полупростые лиевы, ассоциативные и йордаиовы конформные алгебры конечного типа, в [57] — ассоциативные конформные алгебры линейного роста.

Конформной алгеброй называется линейное пространство С (над полем характеристики нуль), снабжённое одной линейной операцией Т: С —» С и счётным семейством билинейных операций (• („) •) : С (8> С —»■ С, индексированных натуральными числами, причем для любых а,Ь € С выполнено: а (п) 6 = 0 для почти всех п;

Та (п) Ъ = -па (п_!) b: a (ri) ТЪ = Т(а (n) b) + па (n_j) Ъ.

Любая конформная алгебра может быть вложена в пространство формальных степенных рядов A[[z, z~1]] над подходящей алгеброй А, где

(Ta){z) = 4-a{z), (а ,п) b)(z) = Res a(w)b(z)(w - z)n. az w=o

Здесь Res f(w, z) обозначает коэффициент при w~l ряда f(z, w) из пространства A[[z, z~l, w, w-1]].

Понятие Г-конформной алгебры (точнее, Г-копформной алгебры Ли) было предложено В.Г. Кацем и М.И. Голенищевой-Кутузовой в [51] для аксиоматического описания сингулярной части OPE киральных полей с простыми полюсами в конечном числе точек или, что то же самое, как д-деформация классического OPE в теории конформных алгебр. Другой подход к этой же задаче изложен в [64], где было введено понятие Г-вертексной алгебры. В [65] рассматривалась связь между Г-конформными и Г-вертексными алгебрами.

Пусть Г — произвольная группа, кГ — групповая алгебра. Г-конформной алгеброй называется левый кГ-модуль С, снабжённый множеством {-(7)- | 7 g Г} билинейных операций (7-произведений), если для любых а, 6 € С и aj G Г выполнены следующие аксиомы: a,(s)b — 0 для почти всех ô g Г; аа^Ь — а(1Се)Ь, a^ab — o:(a(tt-i7)6).

Конформные и Г-конформные алгебры являются частными случаями псевдоалгебр [20] над алгебрами Хопфа: конформные алгебры — над алгеброй многочленов k[Т], Г-конформные — над групповой алгеброй кГ. В [4] введено общее понятие конформной алгебры над линейной алгебраической группой G, включающее в себя класс обычных алгебр над полем (при G = {е}), конформные алгебры (при G — А1 (к, +), где к — поле характеристики 0). Класс Г-конформных алгебр включает в себя конформные алгебры над линейной алгебраической группой Gm — (к*, •): это в точности Ж-конформные алгебры над аддитивной группой целых чисел [4].

По аналогии с теорией конформных алгебр естественным образом формулируется

Проблема 1. Описать простые и полупростые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры конечного типа.

Отметим, что в работе [20] были классифицированы простые и полупростые псевдоалгебры над алгебрами Хопфа вида H — U(д)#кГ (здесь jj обозначает смэш-произведение алгебр Хопфа), конечно-порождённые как модули над U (g), где U(g) — универсальная обёртывающая алгебра конечномерной алгебры Ли к — алгебраически замкнутое поле характеристики 0. При 0 = {0} это условие влечёт конечномерность над к, в диссертации же рас-

сматриваются псевдоалгебры, конечно-порождённые над ИГ. Таким образом, проблему 1 имеет смысл рассматривать для бесконечных групп.

В работах [54, 13, 20] основное внимание уделялось ассоциативным и лиевым конформным алгебрам и псевдоалгебрам, в [59] были описаны простые йордановы псевдоалгебры конечного типа.

В [54] показано, что для произвольной конформной алгебры С существует единственная с точностью до изоморфизма алгебра Соей С такая, что Соей" С [[г, г'1]] ~Э С, универсальная в следующем смысле. Для любой алгебры А с условием, что А[[г, г-1]] содержит С, существует гомоморфизм алгебр СоеГГ С —» А такой, что его естественное продолжение Соей: С[[г, г-1]] —> А[[г, г-1]] действует на С тождественно. Алгебра Соей С называется алгеброй коэффициентов конформной алгебры С. Конформная алгебра С называется ассоциативной (лиевой, альтернативной и т. п.), если такова Соей С. Например, ассоциативность конформной алгебры С эквивалентна выполнению тождеств

Вместо алгебры коэффициентов для определения многообразия псевдоалгебр в [20] использовалась конструкция аннигиляциоиной алгебры.

В [58] П.С. Колесниковым был сформулирован наиболее общий подход к определению многообразий псевдоалгебр. Для конформных алгебр — частного случая псевдоалгебр — этот подход даёт то же, что и определение, основанное на построении алгебры коэффициентов.

В работе [51], в которой были введены Г-конформные алгебры, рассматривались, по сути, Г-конформные алгебры Ли. Сформулируем следующую проблему:

Проблема 2. Описать определяющие тождества многообразий Г-конфор-мных алгебр в терминах 7-произведений.

Алгебры Лейбница возникли у Ж.-Л. Лодея в [67] при изучении когомо-логий алгебр Ли. По определению, алгебра Лейбница А является линейным пространством с определенной на нём (не обязательно антикоммутативной)

билинейной операцией [•, •], удовлетворяющей тождеству Лейбница:

[я, [y,z]] = [[x,y],z] + [у, [x,z]]. (1)

По аналогии с алгебрами Ли для алгебр Лейбница в [68] введено понятие универсальной обёртывающей — ассоциативной диалгебры. Ассоциативная диалгебра — это линейное пространство с заданными на нём двумя ассоциативными билинейными операциями Ч, Ь, удовлетворяющими тождествам

(xi Ч х2) Ь х3 = (xi b х2) 1- ж3, xi Ч (х2 Ь хз) = хх Ч (ж2 Н Жз), , , (х\ Ь х2) ч х3 = Xi Ь (х2 Ч х3).

Относительно дикоммутатора xi h х2 — х2 Ч х\ ассоциативная диалгебра удовлетворяет (1). В [5] показано, как по произвольной ассоциативной или лиевой конформной алгебре получить соответственно ассоциативную диалгебру или алгебру Лейбница.

Также по аналогии с классическими многообразиями алгебр возникали коммутативные [36] и альтернативные диалгебры [66]. Коммутативная диалгебра или Регт-алгебра [94] по определению является алгеброй с одной ассоциативной билинейной операцией, удовлетворяющей тождеству

(хгх2)хз = (xix3)x2. (3)

Пусть операда Perm [36] определяет многообразие Perm-алгебр. Точнее, Perm(n) = к" со стандартным базисом г = 1,..., п. Каждый базисный

(п)

вектор е\ можно отождествить с ассоциативным коммутативным полилинейным мономом от переменных х\,..., хп с одной выделенной переменной Xi.

В работе [36] впервые было показано, что операду ассоциативных диал-гебр DiAs можно представить как тензорное произведение операд As (g) Perm. В работе [5] этот подход был развит и понятие диалгебры было определено в любом многообразии Var обычных алгебр при помощи построения определяющих соотношений многообразия Var диалгебр в операде Var Cg> Perm процедурой "отточивания" определяющих тождеств Var, т.е. полилинейное тождество / степени п заменяется на набор тождеств f®e\n\ i = 1,..., п. На основе этого подхода были определены многообразия йордановых, мальцевских и др.

диалгебр (см., например, [5, 30]). В работе [79] был представлен эквивалентный подход для задания произвольного многообразия диалгебр при помощи разложения диалгебры в полупрямую сумму идеала и подалгебры.

В работе Ж.-Л. Лодея и М. Ронко [72] были введены (ассоциативные) триалгебры — линейные пространства с тремя определёнными на них операциями Ч, Ь и удовлетворяющими конкретным тождествам [72].

Коммутативные триалгебры [89] определяются лишь двумя ассоциативными билинейными операциями Ч, _1_ (так как в этом случае х\ Ч х2 = Х2 Ь х\). коммутативностью _1_, тождествами (3) и

Х\ Ч (х2 -1 х3) = XI Ч (х2 Ч Яз), Х\ _1_ (х2 Ч Х3) = (х\ I. х2) ч х3. (4)

Обозначим через СотТлай операду коммутативных триалгебр.

В связи с изучением указанных и других многообразий триалгебр возникает

Проблема 3. Описать определяющие тождества многообразий триалгебр.

Ж.-Л. Лодей также ввёл в [70] понятие (ассоциативной) дендриформной диалгебры. (Мы будем называть их, как и другие авторы, ассоциативными преалгебрами.) Линейное пространство, снабжённое двумя билинейными операциями Ь, Ч, называется ассоциативной преалгеброй, если на нём выполнены следующие тождества:

(хг Ь х2 + хх Ч х2) Н х3 = хг Ь (х2 I- з;3), (х'х Ь х2) Ч .т3 = х\ Ь {х2 Ч ж3), XI Ч (х2 1- х3 + х2 Ч х3) = (хх Ч х2) Ч х-л.

Ассоциативные преалгебры были введены из-за их связей с алгебрами Хопфа, алгебрами Рота—Бакстера и др. Оказалось, что ассоциативные преалгебры Кожуль-двойственны ассоциативным диалгебрам.

Аналогом алгебр Ли среди преалгебр служат пре-лиевы алгебры (лево-симметрические алгебры), удовлетворяющие тождеству {х\х2)х3 — х\{х2х3) — (х2х\)х2,—х2(х\хъ). Рассмотрение таких алгебр можно найти у Э.Б. Винберга, М. Герштеихабера, Ж.-Л. Кожуля, возможно, первым в этом вопросе был А. Кэли [34], см. также [37, 32]. Ещё в [69] были введены алгебры, которые естественно назвать коммутативными преалгебрами.

В работе [72] также изучались (ассоциативные) дендриформные триал-гебры. (Мы будем их называть далее ассоциативными посталгебрами.) Аналогом алгебр Ли среди посталгебр служат пост-лиевы алгебры [89], алгебры с двумя билинейными операциями: лиевой операцией _L и операцией Ч, удовлетворяющими тождествам

(xi Ч х2) Ч хз - xi Ч (х2 Ч хз) - (xi Ч х3) Ч х2 + х\ Ч (х3 Ч х2)

= XI Ч {х2 ± Хз),

(zi ± х2) Ч Хз = (xi Ч х3) ± х2 + Х\ _L (х2 Ч Хз).

В общем случае для произвольной бинарной операды V процедура построения саксессора, описанная в [17], позволяет получить определяющие соотношения для пре- и пост-'Р-алгебр.

В 1960 Г. Бакстер, развивая работы Ф. Спитцера [84] в теории флук-'туации, стал изучать специальные линейные операторы [23], которые сейчас носят имя операторов Рота—Бакстера. Именно Ж.-К. Рота и др. исследовали коммутативные ассоциативные алгебры с заданными на них такими операторами [35, 83].

Линейное отображение R: В —> В, заданное на алгебре В, называется оператором Рота—Бакстером веса А е к на 5, если

R(x)R(y) = R(xR(y) + R(x)y + Хху) (5)

для всех х,у Е В.

В 1980-х годах при изучении алгебр Ли обнаружилась связь между операторами Рота—Бакстера и решениями классического уравнения Янга— Бакстера (уравнение названо в честь физика Р. Бакстера), см. работы A.A. Белавина, В.Г. Дринфельда [1] и М.А. Семёнова—Тянь-Шанского [10].

К настоящему моменту найдено приложение операторов Рота—Бакстера в таких областях как квантовая теория поля, уравнение Янга—Бакстера, теория операд, алгебры Хопфа, теория чисел [14, 41, 42, 47, 63].

В 2000 году М. Агуиар [11] заметил следующую связь между алгебрами Рота—Бакстера и преалгебрами: ассоциативная алгебра с оператором Рота—Бакстера R нулевого веса относительно операций а Ч Ъ = aR(b),

a b b = R(a)b является ассоциативной преалгеброй. В 2002 году К. Эбрахими-Фард [45] показал, что в случае алгебры Рота—Бакстера с оператором ненулевого веса А можно дополнительно определить операцию a _L b = Xah и получить относительно операций Ч, b, _L структуру ассоциативной посталгебры. В 2007 году было введено понятие универсальной обёртывающей алгебры Рота—Бакстера для пре- и посталгебр [48].

Естественным образом возникла

Проблема 4. Можно ли инъективно вложить произвольную пре- и посталгебру в универсальную обёртывающую алгебру Рота—Бакстера веса А = 0 и А ф 0 соответственно?

Для свободных преалгсбр эта проблема была положительно решена в [48].

В 2010 Ю. Чен и К. Мо, используя технику базисов Грёбнсра—Ширшова [2], доказали, что произвольная преалгебра над полем нулевой характеристики вкладывается в подходящую алгебру Рота—Бакстера веса нуль [39].

Для решения проблемы 4 К. Баи и др. [18] в 2010 году ввели понятие (D-оператора, обобщающего оператор Рота—Бакстера, и доказали, что произвольная ассоциативная пре- и посталгебра инъективно вкладывается в алгебру с (9-оператором.

В [17] конструкция М. Агуиара и К. Эбрахими-Фарда получения пре- и посталгебры из алгебры Рота—Бакстера была обобщена на случай произвольной операды.

Пусть си: Var' —> Var — морфизм операд. Алгебра В Е Var' называется специальной относительно ш, если существует A 6 Var такая, что В — подалгебра в АН.

Класс специальных алгебр в Var' относительно морфизма ш может быть незамкнут относительно гомоморфных образов. Многообразие, порождённое всеми специальными алгебрами, обозначим как S^ Var'. Соответствующая операда является образом Var'. Ненулевые элементы ядра соответствующих морфизмов операд (если они существуют) есть в точности все полилинейные тождества, выполняющиеся на всех специальных алгебрах в Var', но не выполняющиеся на всём Var'. Такие тождества называются специальными (относительно и>).

При изучении морфизма операд и\ Var' —у Var возникают следующие естественные вопросы:

• проблема вложения: всякая ли алгебра В G Var' специальна относительно морфизма иЛ

• проблема Адо: всякая ли конечномерная алгебра В G Var' является подалгеброй где A G Var, dim А < оо?

• проблема Пуанкаре—Биркгофа—Витта: пусть В G Var', какова структура универсальной обёртывающей алгебры U^^B) G Var?

• проблема специальности: как выглядят специальные относительно lu тождества?

Так проблема вложения относительно морфизма — : Lie —У As, х\х2 у х\х2 — х2х\, имеет положительный ответ, для подобного морфизма Mal —У Alt вопрос остаётся открытым.

Для морфизма +: Jord —У As, х\х2 i-> х\х2 + х2х\ проблема вложения имеет отрицательное решение, но полного описания специальных тождеств на текущий момент нет.

Проблема Пуанкаре—Биркгофа—Витта для диалгебр была решена в [16, 70], в [27] она была передоказана при помощи техники базисов Грёбнера— Ширшова, в [6] — при помощи вложения алгебр Лейбница в лиеву конформную алгебру петель.

Проблема Адо была положительно решена для алгебр Лейбница в [6] и [22].

Проблема специальности для диалгебр была решена в [60].

В [92] доказывались аналоги теорем Кона, Макдональдса, Ширшова для йордановых диалгебр. В [7] найдена связь между коразмерностями различных многообразий алгебр и диалгебр.

Проблема 5. Решить аналоги классических проблем дли триалгебр.

и

Содержание работы

Общая структура диссертации. Каждая из глав диссертации подразделяется на параграфы. В начале каждого параграфа есть краткое описание его содержания и результатов. Нумерация утверждений (лемм, теорем, предложений, следствий), а также определений, примеров и замечаний сквозная внутри главы. Каждый номер состоит из трёх чисел: первое соответствует номеру главы, второе — номеру параграфа, третье — порядковому номеру утверждения в данном параграфе. Нумерация же параграфов и формул состоит из двух чисел: первое также соответветствует номеру главы, второе — порядковому номеру внутри главы.

Глава 1 посвящена Г-конформным алгебрам. В ней описываются тождества многообразий Г-конформных алгебр. Для классических многообразий Г-конформных алгебр описываются свободные объекты. Классифицируются ассоциативные и лиевы простые и полупростые Г-конформные алгебры конечного типа для группы Г без кручения. Доказаны аналоги теорем Веддер-бёрна и Херстейна, показано, что однопорождённая Г-конформная алгебра Ли абелева.

Глава 2 посвящена общим определениям многообразий алгебр Лодея: ди-и триалгебр, пре- и посталгебр. Для произвольной квадратичной бинарной операды V доказывается Кожуль-двойственность операд ди-'Р-алгебр и пре-Р-алгебр и три-Р-алгебр и пост-"Р-алгебр соответственно. Показывается, что произвольная пре- и посталгебра (не)нулевого веса инъективно вкладывается в свою универсальную обёртывающую алгебру Рота—Бакстера. Подобный результат получен для триалгебр и алгебр с операторами усреднения.

Глава 3 посвящена решению классических проблем лиевых и йордановых алгебр, сформулированных для ди- и триалгебр.

После трёх глав приводится Приложение, в котором выписаны определяющие тождества классических многообразий алгебр и алгебр Лодея.

Основные результаты диссертации

• доказано, что класс Г-конформных алгебр многообразия Уаг совпадает с классом алгебр многообразия Уаг с заданным действием группы автоморфизмов Г;

• получена классификация простых и полупростых ассоциативных и лиевых Г-конформных алгебр конечного типа для группы Г без кручения;

• получен алгоритм вычисления определяющих тождеств многообразий триалгебр;

• доказано, что произвольная пре- и посталгебра многообразия Уаг инъ-ективно вкладывается в подходящую алгебру Рота—Бакстера многообразия Уаг нулевого и ненулевого веса соответственно;

• найден подход, позволяющий решить для ди- и триалгебр классические проблемы вложения и специальности.

Обозначения

N — множество натуральных чисел Z — кольцо целых чисел М — поле вещественных чисел С — поле комплексных чисел О — алгебра октанионов Г = к \ {0}

|Х| — мощность множества X А — копроизведение в биалгебре е — коединица в алгебре Хопфа

Аи^Л) — группа автоморфизмов алгебраической структуры А Бег(Л) — множество дифференцирований кольца А 8п — симметрическая группа порядка п Г — произвольная группа е — единица группы Г

кГ — групповая алгебра

6(z — w) — дельта-функция Дирака

— ассоциативная алгебра А с присоединённой единицей I <min А — минимальный идеал / в кольце А (а, Ь, с) = (ab)c — а(Ьс) — ассоциатор элементов а, Ь, с в кольце Aimа(В) — аннулятор множества В в кольце А J(R) — радикал Джекобсона ассоциативного кольца R

— универсальная обёртывающая ассоциативная алгебра алгебры

Ли g

Var(X) — свободная алгебра многообразия Var, порождённая множеством X

id — тождественное отображение

ker ip — ядро отображения </?

tup — след линейного преобразования <р

<р\а — ограничение отображения р на подмножество А

u(f) — арность операции /

ad х — образ элемента х алгебры Ли при присоединённом представлении Нот(Д В) — множество гомоморфизмов из А в В Res f(z) — вычет функции f(z) в точке z = О

z—О

Н®п — Н®Н®---®Н~ п- я тензорная степень Н dim V — размерность линейного пространства V

End(y) — алгебра линейных преобразований линейного пространства V gl(F) — алгебра Ли линейных преобразований линейного пространства V Span{X} — линейная оболочка множества X к [ж] — алгебра многочленов от переменной х deg / — степень многочлена /

А[[х]] — множество формальных распределений от переменной х с коэффициентами из алгебры А

As — многообразие ассоциативных алгебр Lie — многообразие алгебр Ли Alt — многообразие альтернативных алгебр Comm — многообразие коммутативных алгебр

Pois — многообразие алгебр Пуассона Jord — многообразие йордановых алгебр Mal — многообразие алгебр Мальцева

S^ Var — многообразие, порождённое всеми специальными алгебрами относительно морфизма uj : Var —» Var'

..., Ап; В) — пространство мультиформизмов категории А Сотр^ — правило композиции в категории относительно разбиения 7г V(E,R) — бинарная квадратичная операда V с пространством бинарных операций V(2) = Е и соотношениями между ними, заданными в V(S) = R, Е

V • Q — чёрное произведение Манина операд V и Q

V о Q — белое произведение Манина операд ? и Q

Благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Павлу Сергеевичу Колесникову за всеобъемлющую помощь и поддержку в процессе обучения и научной деятельности. Автор благодарит Александра Петровича Пожидаева за привитие интереса к алгебре и теории колец. Автор признателен всем сотрудникам лаборатории теории колец ИМ СО РАН и кафедры алгебры и математической логики НГУ за творческую атмосферу.

Глава 1 Г-конформные алгебры

Глава посвящена определению Г-конформных алгебр, описанию тождеств многообразий Г-конформных алгебр. Для классических многообразий описываются свободные объекты. Классифицируются ассоциативные и лиевы простые и полупростые Г-конформные алгебры конечного типа для группы Г без кручения. Доказаны аналоги теорем Веддербёрна и Херстейна. показано, что однопорождённая Г-конформная алгебра Ли абелева.

1.1 Псевдоалгебры

В данном параграфе мы рассмотрим понятия мультикатегории [61] и опера-ды [74] в приложении к псевдоалгебрам. Операды обобщают понятия многообразий алгебр, заданных полилинейными тождествами, и позволяют единообразно работать с алгебрами, псевдоалгебрами, диалгебрами и прочими видами алгебр. При этом операды являются мультикатегориями с единственным объектом. При изложении материала мы следуем терминологии из [62].

Мультикатегорию можно рассматривать как класс объектов, снабженный множествами мультиморфизмов (п-морфизмов для всех п > 1), которые допускают построение композиций, удовлетворяющих естественных правилам асссоциативности и существования нейтрального элемента. Если на множестве п-морфизмов определено действие симметрической группы согласованное с композицией мультиморфизмов, то мультикатегория называется симметрической. Нам потребуется "линейная" версия определения мультикатегории: все множества п-морфизмов являются линейными пространствами над некоторым фиксированным полем к, правило композиции по-

лилинейно и (в симметрическом случае) группа 5П действует на пространстве п-морфизмов линейными отображениями. Мы используем подход, развитый в фундаментальной работе [50]: алгебра над операдой С — это функтор из С в мультикатегорию Уссь линейных пространств над полем к. Единственный объект класса С соответствует некоторому линейному пространству А е Уеск, а п-морфизмы операды С соответствуют полилинейным отображениям А®п А, представляющим термы алгебры. Тем самым мы получаем понятие обычных алгебр над полем к.

Замена мультикатегории Уес^ на Н-тос1, где Н — некоторая коассоциа-тивная кокоммутативная биалгебра, приводит к понятию псевдоалгебры [24].

Пусть к — произвольное поле без ограничений на характеристику.

Под П-алгеброй мы будем понимать линейное пространство, снабжённое семейством линейных бинарных операций П = {о^ | г е /}.

Следующее техническое определение поможет нам аккуратно записать условие ассоциативности для мультиморфизмов (операд и мультикатегорий) с учётом длин их кортежей:

Определение 1.1.1. Пусть га, п£Мига>п> 1. Упорядоченный набор положительных натуральных чисел 7г = (гах,.. ., тп) называется п-раз биением числа га, если т\ + ... + тп = га. Множество всех п-разбиений числа т обозначим как П(га, п).

Для разбиения 7Г = (га,!,..., гап), г = 1,..., п, Ь = 1,..., га^ через (г, ¿)7Г обозначим число т\ + ... + т,{-\ +

Для разбиений а = (¿ь ..., 1т) £ П(/, га) и ¡3 = (гаь ..., гап) е П(га, п) определим а(3 е П(/,п) как

аР = (¿1 + ... + 1т1,1т1+1 + ... + 1т1+т2:.... 1т^тп+1 + ... + 1т).

Действие симметрической группы на П(га, п) определим для 7г = (гаь ..., тп) и сг е £„ как тха = (га^-1,..., тпа-1).

Определение 1.1.2. Набор линейных пространств {С(п)}п>1 над полем к и множество линейных отображений (правило композиции) Сотр71": С(п) <8>

С{т{) ® ... ® С(тп) С(т), где 7Г = {тх,... , гап) Е П(т, п), называется операдой (обозначение: С), если выполнены следующие аксиомы:

(01) правило композиции ассоциативно: для любых г = (р\,..., рт) £ Щр,т), 7г = (т1,...,тп) £ Щт,п), -и € С(п), ^ £ г^ £ С(т*), г = 1,..., п, ^ — 1,..., т, и подразбиения г^ = (р^,. . ., разбиения т выполнено

Сотрт(Сотр'(«, Ыт=х) = Сотр™(и, (Сотр^'К (^^х)^));

(02) существует 1(1 Е С(1) такой, что для любого и Е С(п)

Сотр^'""^(гг, 1с1,..., 1с1) = Сотр(п)(1с1, и) = и.

Определение 1.1.3. Пусть А — некоторый класс объектов и

— для любого натурального п > 1 и любого набора А, Ах,..., Ап Е А определено линейное пространство Р^{А\,..., Ап; А) над к;

— для любых Ах,..., Ат, В\,..., Вп, С Е А и любого разбиения 7Г = (шх,..., тп) Е П(т, п) определено отображение

п

Сотр": Рп({В{}; С) ® 0 Рт4({Лу}| Д) Рт(Ль • • •, Ат] С),

¿=1

где = А-т1+...+тгц-1+з-

Элементы пространств Рп({Аг}]В) называются мулътпиморфизмами (■п-морфизмами), Сотр71^ — правилом композиции.

Класс А с определёнными выше пространствами Рп({А{}] В) и правилом композиции называется мулътикатегорией, если выполнены следующие аксиомы:

(М1) правило композиции ассоциативно: для любых

А\,..., Ар, В\,..., Вт, Съ...,Сп, Бе А,

т = (Р1, ...,Рт) Е Щр,т), 7г = (7711, • • -,тп) £ П(т,п),

Ч е РрДАлЬ £ РтЯВиУ, Сг), и £ Рп({С{}-, Б),

подразбиения Т{ = (рп,... ,Р(т1) разбиения г выполнено

СотрТ(Сотр7Г(г/, М?=1), = Сотр™(и, (Сотр7^, Ы?Жг))■

(М2) для любого А Е Л существует 1-морфизм \&а Е Р\{А\ А) такой, что для любого / Е Рп({Аг}]А) выполнено

Сотрм^(/, 1<Ц.) = Сотряси, /) = /,

где 1(1(77.) означает разбиение (1,..., 1) Е П(п, п), е = (п) Е П(п, 1).

Если класс А состоит из одного объекта, то определение мультикатегории совпадает с определением операды.

Определение 1.1.4. Пусть дана мультикатегория А и задано действие симметрической группы Бп на п-морфизмах: для любых / Е Р^^Ах,. . сг Е 5П определено /а Е Р*(Аа-1(1),..., Аа-Чпу,А), при этом (/£Т)Т = ¡ат для г Е Зп. Мультикатегория А называется симметрической, если для любых сг Е 7Г = (7721, • • •, ГПП) Е П(ш, п), тг- Е 5т<, Е РГО<({ЛЛ; #»)> г = 1, • • •, П, и Е Рп({Бг}; С) выполнено

Сотр™« (^-1)Т<""1)"=1) = Сотр7Г(и, (7;.)п=1)Сотр-(^,..1гв)) где х = Сотр7Г(сг, Тх,..., тп) Е 5т задаётся как = (го-,^гг)7ГСГ при /г =

Определение 1.1.5. Пусть А,В — две мультикатегории. Функтором Р из А в В называется правило, по которому каждому объекту А £ А сопоставляется Р(А) Е В, для любого (р Е Р^{{Аг]\ А) определён мультиморфизм Р((р) Е Р®({Р(А{)}; Р(А)), при этом отображение <р Р(ф) линейно и сохраняются правило композиции и единичный морфизм, т.е.

ЯСотр7^, (фЖ=1)) = Сотр^Ы,

Если А, В — симметрические мулькатегории и выполнена инвариантность функтора ^ относительно действия симметрической группы Р(<ра) = Р((р)а, сг Е 5Т1, то ^ называется симметрическим функтором.

Пример 1.1.6. Рассмотрим класс линейных пространств над к и положим РтУССк(Ль ..., Ап; А) = Нот(Лх<8>.. .<Е>ЛП, А). Правило композиции определим

как обычную композицию полилинейных отображений. Действие симметрической группы зададим как

/>Ъ •••,«„)= /(^1,7, • • • , Ум),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Губарев, Всеволод Юрьевич, 2015 год

Литература

[1] Велавин A.A., Дрипфелъд В.Г. О решениях классического уравнения Янга—Бакстера для простых алгебр Ли // Функц. анализ и его ирил. — 1982. - Т. 16, К0- 3. - С. 1-29.

[2] Бокутъ Л.А., Чэн Ю., Ден Ш. Базисы Грёбнера—Ширшова для алгебр Рота-Бакстера // Сиб. матем. журн. - 2010. - Т. 51, № 6. - С. 1237-1250.

[3] Жевлаков К.А., Слинъко A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца близкие к ассоциативным. — М.: Наука, 1978. 432 с.

[4] Колесников П. С. О неприводимых алгебрах конформных эндоморфизмов над линейной алгебраической группой // Современная математика и её приложения. - 2008. — Т. 60. - С. 42-56.

[5] Колесников П. С. Многообразия диалгебр и конформных алгебр // Сиб. матем. журн. - 2008. - Т. 49, № 2. - С. 322-339.

[6] Колесников П.С. Конформные представления алгебр Лейбница // Сиб. матем. журн. - 2008. - Т. 49, № 3. - С. 540-547.

[7] Колесников П. С., Скорая Т.В. Оценка роста коразмерностей многообразий диалгебр // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. — 2014. — Т. 114, № 3. - С. 56-66.

[8] Попов A.A. Дифференциально простые йордановы алгебры // Сиб. матем. журн. - 2013. - Т. 54, № 4. - С. 890-901.

[9] Порошенко E.H. О, базисах частично коммутативных алгебрах Ли // Алгебра и Логика. - 2011. - Т. 50, № 5. - С. 595-614.

[10] Семенов-Тяп-Шанский М.А. Что такое классическая г-матрица // Функц. анализ и его прил. - 1983. - Т. 17, № 4. - С. 17-33.

[И] Aguiar М. Pre-Poisson algebras // Lett. Math. Phys. - 2000. - Vol. 54. -P. 263-277.

[12] Aguiar M., Loday J.-L. Quadri-algebras //J. Pure Appl. Algebra. — 2004.

- Vol. 191. - P. 205-221.

[13] D'Andrea A., Кас V. G. Structure theory of finite conformal algebras, Selecta Math. (N.S.) // - 1998. - Vol. 4. - P. 377-418.

[14] Andrews G.E., Guo L., Keigher W., Ono K. Baxter algebras and Hopf algebras // Trans. Amer. Math. Soc. - 2003. - Vol. 355. - P. 4639-4656.

[15] Anguelova I., Сох В., Jurisich E. TV-point locality for vertex operators: Normal ordered products, operator product expansions, twisted vertex algebras //J. Pure Appl. Algebra. - 2014. Vol. 218, No. 12. - P. 2165-2203.

[16] Aymon M., Grivel P.-P. Un theoreme de Poincare-Birkhoff-Witt pour les algebres de Leibniz // Comm. Algebra. - 2003. - Vol. 31, No. 2. - P. 527544.

[17] Bai C., Bellier O., Guo L., Ni X. Splitting of operations, Manin products, and Rota—Baxter operators // Int. Math. Res. Notes. — 2013. — Vol. 3. — P. 485-524.

[18] Bai C., Guo L., Ni X. (9-operators on associative algebras, associative Yang-Baxter equations and dendriform algebras // Quantized Algebra and Physics.

- 2012. - P. 10-51.

[19] Bai C., Liu L., Ni X. Some results on L-dendriform algebras //J. Geom. Phys. - 2010. - Vol. 60. - P. 940-950.

[20] Bakalov В., D Andrea A., Kac V.G. Theory of finite pseudoalgebras // Adv. Math. - 2001. - Vol. 162, No. 1. - P. 1-140.

[21] Baranov A.A. Finitary Simple Lie Algebras // J. Algebra. — 1999. — Vol. 219. - P. 299-329.

[22] Barnes D. W. Faithful representations of Leibniz algebras // Proc. Amer. Math. Soc. - 2013. - Vol. 141. - P. 2991-2995.

[23] Baxter G. An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity // Pacific J. Math. - 1960. - Vol. 10. - P. 731-742.

[24] Beilinson A.A., Drinfeld V.G. Chiral algebras. - Providence, RI: AMS, 2004.

— 375 p. (Amer. Math. Soc. Colloquium Publications. — Vol. 51).

[25] Belavin A.A., Polyakov A.M., Zamolodchikov A.B. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nucl. Phys. B. — 1984. — Vol. 241. - P. 333-380.

[26] Block R. Determination of the differentiably simple rings with a minimal ideal // Ann. Math. - 1969. - Vol. 90, No. 3. - P. 433-459.

[27] Bokut L.A., Chen Y., Liu C. Groebner—Shirshov bases for dialgebras // Intern. J. Algebra and Comput. - 2010. - Vol. 20, No. 3. - P. 391-415.

[28] Borcherds R.E. Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. - 1986. - Vol. 83. - P. 3068-3071.

[29] Bremner M.R. On the definition of quasi-Jordan algebra // Comm. Algebra.

- 2010. - Vol. 38. - P. 4695-4704.

[30] Bremner M.R., Peresi L.A., Sanchez-Ortega J. Malcev dialgebras // Linear and Multilinear Algebra. - 2012. - Vol. 60. - P. 1125-1141.

[31] Bremner M.R., Sanchez-Ortega J. Leibniz triple systems // Comm. Contemp. Math. 2014. - Vol. 16, No. 1. - 19 p.

[32] Burde D. Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics // Cent. Eur. J. Math. — 2006. - Vol. 4, No. 3. - P. 323-357.

[33] Burris S., Sankappanavar H.P. A Course in Universal Algebra // New York: Springer-Verl., 1981. - 276 p.

[34] Cayley A. On the Theory of Analytic Forms Called Trees // Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1890. - Vol. 3. - P. 242-246.

[35] Cartier P. On the structure of free Baxter algebras // Adv. Math. — 1972.

- Vol. 9. - P. 253-265.

[36] Chapoton F. Un endofoncteur de la catégorie des opérades, // Dialgebras and related operads. — Berlin: Springer-Verl., 2001. — P. 105-110. (Lectures Notes in Math. - Vol. 1763).

[37] Chapoton F., Livernet M. Pre-Lie algebras and the rooted trees operad // Internat. Math. Res. Notices. - 2001. - Vol. 8. - P. 395-408.

[38] Chen F., Tan S., Wang Q. Twisted T-Lie algebras and their vertex operator representations //J. Algebra. — doi:10.1016/j.jalgebra.2014.11.009.

[39] Chen Y., Mo Q. Embedding dendriform algebra into its universal enveloping Rota-Baxter algebra // Proc. Amer. Math. Soc. - 2011. - Vol. 139, No. 12.

- P. 4207-4216.

[40] Cohn P.M. On homomorphic images of special Jordan algebras // Canadian J. Math. - 1954. - Vol. 6. - P. 253-264.

[41] Connes A., Kreimer D. Renormalization in quantum field theory and the Riemann-Hilbert problem. I. The Hopf algebra structure of graphs and the main theorem. // Comm. Math. Phys. - 2000. - Vol. 210, No. 1. - P. 249-273.

[42] Connes A., Kreimer D. Renormalization in quantum field theory and the Riemann-Hilbert problem. II. The L-function, diffeomorphisms and the renormalization group. // Comm. Math. Phys. — 2001. — Vol. 216, No. 1. — P. 215-241.

[43] Dong C., Lepowski J. Generalized vertex algebras and relative vertex operators. — Boston: Birkhauser, 1993. (Progress in Math. — Vol. 112)

[44] Duchamp G., Krob D. Free partially commutative structures //J. Algebra.

- 1993. - Vol. 156, No. 2. - P. 318-361.

[45] Ebrahimi-Fard K. Loday-type algebras and the Rota-Baxter relation // Lett. Math. Phys. - 2002. - Vol. 61. - P. 139-147.

[46] Ebrahimi-Fard K., Guo L. On products and duality of binary, quadratic, regular operads // J. Pure Appl. Algebra. - 2005. - Vol. 200. - P. 293-317.

[47] Ebrahimi-Fard K., Guo L. Quasi-shuffles, Mixable Shuffles and Hopf Algebras // J. Algebr. Comb. - 2006. - Vol. 24. - P. 83-101.

[48] Ebrahimi-Fard K., Guo L. Rota—Baxter algebras and dendriform algebras //J. Pure Appl. Algebra. - 2008. - Vol. 212, No. 2. - P. 320-339.

[49] Frenkel I. B., Lepowsky J., Meurman A. Vertex operator algebras and the Monster. — New York: Academic Press, 1998. — 508 p. (Pure and Applied Math. - Vol. 134).

[50] Ginzburg VKapranov M. Koszul duality for operads // Duke Math. J. — 1994. - Vol. 76, No. 1. - P. 203-272.

[51] Golenishcheva-Kutuzova M.I., Kac V.G. T-conformal algebras //J. Math. Phys. - 1998. - Vol. 39, No. 4. - P. 2290-2305.

[52] Guo L. An Introduction to Rota—Baxter Algebra. Surveys of Modern Mathematics. — Vol. 4. — Somerville, MA: International Press; Beijing: Higher education press, 2012. — 226 p.

[53] Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebras. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1968. - 453 p.

[54] Kac V.G. Vertex algebras for beginners. — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998. - 201 p.

[55] Kaplansky I. Bialgebras, Lecture Notes in Mathematics. — Chicago: Univ. of Chicago, 1975. —57 p.

[56] Kelley J.L. Averaging Operators on C^X) // Illinois J. of Math. — 1958. - Vol. 2. - P. 214-223.

[57] Kolesnikov P. Simple associative conformal algebras of linear growth //J. Algebra. - 2006. - Vol. 295, No. 1. - P. 247-268.

[58] Kolesnikov P. Identities of conformal algebras and pseudoalgebras // Comm. Algebra. - 2006. - Vol. 34, No. 6. - P. 1965-1979.

[59] Kolesnikov P. Simple Finite Jordan Pseudoalgebras // SIGMA. — 2009. — Vol. 5. - 17 p.

[60] Kolesnikov P.S., Voronin V. Yu. On special identities for dialgebras // Linear Multilinear Algebra. - 2013. - Vol. 61, No. 3. - P. 377-391.

[61] Lambek J. Deductive systems and categories. II. Standard constructions and closed categories. — Berlin: Springer-Verl., 1969. — P. 76-122. (Lecture Notes in Math. - Vol. 86)

[62] Leinster T. Higher operads, higher categories. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004. - 448 p. (London Math. Soc. Lecture Note Series. - Vol. 298)

[63] Leroux P. Construction of Nijenhuis operators and dendriform trialgebras // Int. J. Math. Math. Sci. - 2004. - Vol. 52, No. 40. - P. 2595-2615.

[64] Li H. A new construction of vertex algebras and quasi-modules for vertex algebras // Adv. Math. - 2006. - Vol. 202, No. 1. — P. 232-286.

[65] Li H. On certain generalizations of twisted affine Lie algebras and quasimodules for T-vertex algebras //J. Pure Appl. Algebra. — 2007. — Vol. 209.

- P. 853-871.

[66] Liu, D. Steinberg—Leibniz algebras and superalgcbras //J. Algebra. — 2005.

- Vol. 283. - P. 199-221.

[67] Loday J.-L. Une version non commutative des algebres de Lie: les algebres de Leibniz // Enseign. Math. — 1993. — Vol. 39. — P. 269-293.

[68] Loday J.-L., Pirashvili T. Universal enveloping algebras of Leibniz algebras and (co)homology // Math. Ann. — 1993. — Vol. 296. — P. 139-158.

[69] Loday J.-L. Cup-product for Leibniz cohomology and dual Leibniz algebras // Math. Scand. - 1995. - Vol. 77, No 2. - P. 189-196.

[70] Loday J.-L. Dialgebras, Dialgebras and related operads. — Berlin: SpringerVerl., 2001. - P. 1-61. (Lectures Notes in Math. - Vol. 1763)

[71] Loday J.-L. On the algebra of quasi-shuffles // Manuscripta mathematica. — 2007. - Vol. 123, No. 1. - P. 79-93.

[72] Loday J.-L., Ronco M. Trialgebras and families of polytopes // Comtep. Math. - 2004. - Vol. 346. - P. 369-398.

[73] Loday J.-L., Vallette B. Algebraic Operads. — Heidelberg, Grundlehren Math. Wiss. 346, 2012. - 512 p.

[74] May J.-P. Geometry of iterated loop spaces. — New York: Springer-Verl., 1972. - 175 p. (Lecture Notes in Math. - Vol.271)

[75] McCrimmon K. A Taste of Jordan Algebras. — New York: Springer-Verl., 2004. - 563 p.

[76] Pan Yu, Liu Q., Bai C., Guo L. PostLie algebra structures on the Lie algebra sl(2,C) // Electron. J. Linear Algebra. - 2012. - Vol. 23. - P. 180-197.

[77] Phillips R.E., Wald J. Locally solvable cofinite Lie algebras // Comm. Algebra. - 1998. - Vol. 26. - P. 4375-4384.

[78] Posner E.C. Differentiate simple rings // Proc. Am. Math. Soc. — 1960. — Vol. 11, No. 3. - P. 337-343.

[79] Pozhidaev A. 0-dialgebras with bar-unity, Rota—Baxter and 3-Leibniz algebras. — Providence, RI: Groups, Rings and Group Rings, American Mathematical Society, 2009. - P. 245-256.

[80] Reisel R.B. A generalization of the Wedderburn—Malcev theorem to infinite dimensional algebras // Proc. AMS. — 1956. — Vol. 7. — P. 493-499.

[81] Reynolds 0. On the Dynamic Theory of Incompressible Viscous Fluids // Phil. Trans. Roy. Soc. A136. - 1895. - P. 123-164.

[82] Rota G.-C. Reynolds Operators // Proc. of Symposia in Appl. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1964. - P. 70-83.

[83] Rota G.-C. Baxter algebras and combinatorial identities I, II // Bull. Amer. Math. Soc. - 1969. - Vol. 75. - P. 325-329,330 334.

[84] Spitzer F. A combinatorial lemma and its application to probability theory // Trans. Amer. Math. Soc. - 1956. - Vol. 82. - P. 323-339.

[85] Stasheff J. What Is...an Operad? // Notices of the American Mathematical Society. - 2004. - Vol. 51, No. 6. - P. 630-631.

[86] Triki A. A Note on Averaging Operators // Contemp. Math. — 1999. — Vol. 232. - P. 345-348.

[87] Uchino K. Derived bracket construction and Manin products // Lett. Math. Phys. - 2010. - Vol. 90. - P. 37-53.

[88] Uchino K. On distributive laws in derived bracket construction, arxiv:1110.4188 [math.QA],

[89] Vallette B. Homology of generalized partition posets // J. Pure Appl. Algebra. - 2007. - Vol. 208, No. 2. - P. 699-725.

[90] Vallette B. Manin products, Koszul duality, Loday algebras and Deligne conjecture // J. reine angew. Math. - 2008. — Vol. 620. — P. 105-164.

[91] Velasquez R., Felipe R. Quasi-Jordan algebras // Comm. Algebra. — 2008. - Vol. 36. - P. 1580-1602.

[92] Voronin V. Yu. Special and exceptional Jordan dialgebras //J. Algebra and Its Appl. - 2012. - Vol. 11, No. 2. - 23 p.

[93] Zelmanov E.I. On the structure of conformai algebras // Contemp. Math. — 2000. - Vol. 264. - P. 139-153.

[94] Zinbiel G. W. Encyclopedia of types of algebras 2010 // Nankai Series in Pure, Appl. Math, and Theoretical Physics. — 2012. — Vol. 9. — P. 217-298.

Публикации по теме диссертации

[95] Gubarev V., Kolesnikov P. The Tits—Kantor—Koecher construction for Jordan dialgebras // Comm. Algebra. - 2011. - Vol. 39, No. 2. - P. 497-520.

[96] Gubarev V., Kolesnikov P. Embedding of dendriform algebras into Rota-Baxter algebras // Cent. Eur. J. Math. - 2013. - Vol. 11, No. 2. - P. 226-245.

[97] Губарев В.Ю. Простые ассоциативные Г-конформные алгебры конечного типа для группы Г без кручения // Алгебра и Логика. — 2013. — Т. 52, № 5.

- С. 559-581.

[98] Губарев В.Ю., Колесников П. С. F-конформные алгебры конечного типа для группы Г без кручения, Сиб. электрон, мат. известия. — 2014. — Т. 11.

- С. 759-770.

[99] Gubarev V. Yu., Kolesnikov P.S. Operads of decorated trees and their duals // Comment. Math. Univ. Carolin. - 2014. - Vol. 55, No 4. - P. 421-445.

[100] Губарев В.Ю. Нильпотентность и разрешимость йордановых диалгебр // Мальцевские чтения. Тезисы докладов. — Новосибирск: 2009. — С. 116.

[101] Губарев В.Ю. Простые ассоциативные Z-конформные алгебры конечного типа // Межд. конф. по теории колец, посвящёпная 90-летию А.И.Ширшова. Тезисы докладов. — Новосибирск: 2011. — С. 39.

[102] Gubarev V.Yu., Kolesnikov P.S. On embedding of dendriform algebras into Rota-Baxter algebras // Intern. Conf. on nonassociative algebra and its applic. (in Honor of the 60th of S.Gonzalez). Abstracts. — Zaragoza: 2011. — P. 43-44.

[103] Gubarev V. Yu. Hat-functor and its applications // Classical Aspects of Ring Theory and Module Theory. Abstracts. — Bedlewo (Poland), 2013. — P. 48.