Первичные многообразия ассоциативных алгебр и связанные с ними нильпроблемы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Самойлов, Леонид Михайлович

• Самойлов, Леонид Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Самойлов, Леонид Михайлович

Введение

Предварительные сведения.

Обзор результатов диссертации.

1 Ограниченность нильиндекса радикала относительно свободной алгебры

1.1 Сведение проблемы ограниченности нильиндекса радикала к теореме 3.

1.2 Доказательство теоремы 3 при п < р.

1.3 О матричном типе нерегулярных первичных многообразий.

1.4 Канонические формы на матричных алгебрах.

1.5 Чистые тождества с формами, выполняющиеся во всех алгебрах Мп.

1.6 Базис тождеств с формами алгебры матриц.

1.7 Некоторые тождества алгебры Мп.

1.8 Доказательство теоремы 3 в общем случае.

1.9 Аналог теоремы Левицкого для бесконечно порожденных ассоциативных алгебр.

2 Алгебраичность носителей первичных многообразий ассоциативных алгебр

2.1 Постановка проблемы.

2.2 Результаты А. Р. Кемера о локальной представимости.

2.3 Построение алгебры

2.4 Критические параметры Т-идеалов.

2.5 Доказательство предложения 5.

2.6 Доказательство теоремы 11.

3 Унитарная замкнутость первичных многообразий

3.1 Формулировка результатов.

3.2 Унитарная замкнутость Т-первичных идеалов.

3.3 Доказательство теоремы 14.

3.4 Доказательство теоремы 15.

4 О тождествах матричных супералгебр

4.1 Полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия Уаг(М1д).

4.2 О минимальной степени тождеств матричных супералгебр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Первичные многообразия ассоциативных алгебр и связанные с ними нильпроблемы»

Предварительные сведения.

Исторический обзор. Первое появление алгебр с полиномиальными тождествами (Р1-алгебр) связано с исследованием оснований проективной геометрии. Р1-теория берет свое начало в работе Дена [48] 1922 года, в которой он в связи с выполнимостью теоремы Дезарга на проективной плоскости над телом исследовал вопросы, при каких условиях тело будет коммутативным. В 1937 году Вагнер, также занимаясь основаниями проективной геометрии, установил в [78], что алгебра матриц любого порядка над полем удовлетворяет полиномиальному тождеству. Следующим важным этапом явилась статья М. Холла [54] 1943 года, в которой помимо всего прочего доказано, что некоммутативная алгебра с делением, удовлетворяющая тождеству [[х,у]2,г] = 0, где [х,у] = ху — ух, является четырехмерной над своим центром.

Переломной вехой в развитии Р1-теории явилась статья Капланского [57] 1948 года, где доказан классический результат, что любая примитивная алгебра, удовлетворяющая полиномиальному тождеству степени является конечномерной простой алгеброй над своим центром размерности не выше ¿/2. Двумя годами позже, в 1950 году, Амицур и Левицкий в [41] нашли минимальную степень тождества, выполняющегося на алгебре матриц порядка п над полем. Это послужило началом нового направления в Р1-теории, где основным объектом изучения является множество тождеств, выполняющихся на данной алгебре. Другим, число алгебраическим, источником Р1-теории явилась проблема А.Г. Куроша (см. ниже). В конце 50-х - начале 60-х годов Р1-теория быстро превратилась в самостоятельную содержательную ветвь современной алгебры.

Многообразия алгебр. В работе рассматриваются ассоциативные алгебры над полем Р, которое, как правило, будет предполагаться бесконечным.

Через -Р(Х) и Р(ХУ будем обозначать свободную ассоциативную алгебру (т.е. алгебру некоммутативных полиномов) без единицы и с единицей соответственно, порожденную счетным множеством X. Полином /(х±,., х„) £ F{X} называется тождеством (ассоциативной) алгебры А, если /(ах,. ,ап) = 0 для всех ах,., ап € А. Алгебра, удовлетворяющая ненулевому тождеству, называется Р1-алгеброй. Множество всех тождеств алгебры А будем обозначать Т[А]. Ясно, что Т[А] является идеалом свободной алгебры Р(Х). Этот идеал удовлетворяет дополнительному свойству: он замкнут относительно всех эндоморфизмов свободной алгебры. Иначе говоря, если /(э^,.,хп) 6 Т[А], то для всех дг, - ■ ■ ,дп £ Р'(Х) выполнено /(^1,., дп) £ Т[А]. Идеалы, удовлетворяющие такому свойству, называются Т-идеалами (а также вербальными идеалами и вполне характеристическими идеалами). Можно показать, что любой Т-идеал Г является идеалом тождеств некоторой алгебры, например, алгебры Т(Х)/Г.

Пусть Г - произвольный Т-идеал. Класс всех ассоциативных алгебр, удовлетворяющих всем тождествам из Г, называется многообразием алгебр. Между Т-идеалами и многообразиями существует взаимно-однозначное соответствие, обращающее включения. Теорема Биркгофа (см., например, [21]) дает другую харак-теризацию многообразий: класс ассоциативных алгебр является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия декартовых произведений, подалгебр и гомоморфных образов. Отметим, что теорема Биркгофа верна не только для ассоциативных алгебр, но и для широкого класса алгебраических систем (см. подробности в [21]). Класс Р1-алгебр замкнут также относительно тензорного произведения (теорема Регева-Латышева, см. [71], [17]). Через Уаг(Л) будем обозначать многообразие с идеалом тождеств Т[А]. Сама алгебра А называется носителем многообразия.

Если в алгебре дана некоторая система полиномов {/г,г € /}, то наименьший Т-идеал, содержащий эту систему полиномов, будем обозначать {/г, г € /}т, и будем говорить, что этот Т-идеал порожден данной системой полиномов.

Таким образом, произвольный Т-идеал Г (а также соответствующее ему многообразие) может быть задан двумя способами:

1. указанием такой алгебры А, что Г = Т[А];

2. указанием базиса, то есть такой системы полиномов {/г,г £ /}, что Г =

Эти два языка описания многообразий взаимно дополняют друг друга. Перевод описания многообразия с одного языка на другой является крайне нетривиальной задачей: скажем, для алгебры матриц порядка 3 над полем характеристики нуль неизвестен базис тождеств, и нет никаких гипотез о том, как он мог бы выглядеть. С некоторым допущением можно сказать, что изучение такого перевода и является основным содержанием Р1-теории. Исследованию тождеств ассоциативных алгебр посвящена обширная литература, см., например, монографии [50], [51], [59], [69], [27], [73]. Особо отметим вышедшие в последнее время монографии [74] и [53]. Комбинаторным аспектам Р/-теории посвящены отдельные главы монографий [44] и [79].

Итак, среди задач Р1-теория можно выделить две «общие» задачи:

1) Как по заданной алгебре А найти ее базис тождеств или указать свойства этого базиса?

2) Как по заданной системе полиномов {/г, г € 1} найти носитель соответствующего многообразия или указать его свойства?

Каждая из этих двух «общих» задач может быть конкретизирована многими разными способами.

В первой задаче речь может идти о том, порождается ли идеал тождеств заданной алгебры конечной системой полиномов; содержит ли заданный Т-идеал некоторый «естественный» полином (скажем, тождество Капелли, стандартное тождество, симметрическое тождество, тождество алгебраичности и т.п.); каковы нильсвойства заданной алгебры и ассоциированных с ней алгебр? каковы асимптотические свойства идеала тождеств заданной алгебры? какова минимальная степень тождеств заданной алгебры, есть ли у нее центральные полиномы и слабые тождества?

Вторая задача может иметь следующие конкретизации: при каких условиях на систему полиномов многообразие порождается, скажем, конечномерной или конечнопорожденной алгеброй? или алгебраической алгеброй? или алгеброй с какими-то другими естественными свойствами или понятным строением? верно ли, что конкретный полином следует из данной системы тождеств?

В настоящей работе решаются некоторые задачи как первого, так и второго типов.

Следует отметить, что наиболее существенный вклад в развитие ассоциативной Р/-теории внесли алгебраисты из Советского Союза, а позднее из России: А.И. Ширшов, В.Н. Латышев, Ю.П. Размыслов, А.Р. Кемер, А.Я. Белов и многие другие. В исследовании тождеств в других классах алгебр (прежде всего в алгебрах Ли, Йордановых и альтернативных алгебрах) ведущая роль так же принадлежит алгебраистам из России, прежде всего представителям московской и новосибирской школ теории колец. В особой степени это относится к разработке комбинаторных методов изучения тождеств.

Проблема Шпехта. В развитии Р/-теории ключевой проблемой долгое время была проблема конечной базируемости, поставленная В. Шпехтом в 1950 г в [75].

Проблема Шпехта. Верно ли, что любой Т-идеал свободной ассоциативной алгебры конечно базируем, то есть конечно порожден как Т-идеал?

Сам В. Шпехт имел в виду случай алгебр над полем характеристики 0, но проблема имеет смысл над произвольным полем. Кроме того, проблема конечной базируемости представляет чрезвычайный интерес для и для произвольных классов алгебр, например, лиевых, йордановых или альтернативных.

Проблематика конечной базируемости делится на локальную (рассматриваются идеалы тождеств в конечно порожденных свободных алгебрах) и глобальную (рассматриваются идеалы тождеств в счетнопорожденных свободных алгебрах).

Кроме того, практически во всех вопросах PI-теории, в том числе и в проблемах конечной базируемости, в силу огромного количества причин надо отдельно рассматривать случай нулевой характеристики основного поля, и случай положительной характеристики. Случай положительной характеристики естественным образом делится на два подслучая - бесконечного основного поля, когда все тождества следуют из полиоднородных тождеств, и конечного основного поля, когда появляются эффекты неоднородности. Также исследуются тождества в кольцах и в алгебрах над коммутативными (прежде всего нетеровыми) кольцами.

Одним из главных вдохновителей исследований по проблеме Шпехта был В.Н. Латышев, решивший проблему Шпехта во многих важных случаях (см. [19]). Полное положительное решение проблемы Шпехта над полями нулевой характеристики было получено А.Р. Кемером в 1986 г. как следствие построенной им структурной теории (изложение решения содержится в монографии [59]). Над полями положительной характеристики примеры не конечно базируемых Т-идеалов были построены А.Я. Беловым, A.B. Гришиным и В.В. Щиголевым в 1999 г. (см. [2], [5], [39]). Вскоре после этого рядом авторов были построены примеры не конечно базируемых Т-идеалов, содержащих весьма сильные тождества. Упомянем только работу Е.В. Аладовой и А.Н. Красильникова [40], в которой над полем характеристики р ^ 3 была построена система полиномов без конечного базиса тождеств, содержащая тождество х2р = 0.

При решении проблемы Шпехта ключевую роль играет теорема А.Р. Кемера о локальной представимости (см. ниже). Из нее при помощи короткой изящной конструкции А.Р. Кемер в 1990 г. получил положительное решение локальной проблемы Шпехта в характеристике р > 0: над бесконечным полем F характеристики р > 0 любой Т-идеал алгебры F(xi,., хконечно базируем (см. [13]).

Из локальной шпехтовости вытекает следующее утверждение: пусть поле F бесконечно и Т-идеал Г алгебры F(X) порожден системой полиномов {/¿,г £ I}, каждый из которых зависит не более чем от к переменных; тогда Г является конечно базируемым Т-идеалом. В такой формулировке локальная шпехтовость используется в главе 1 при решении проблемы ограниченности нильиндекса радикала относительно свободной алгебры счетного ранга.

Локальную конечную базируемость над произвольным ассоциативно-коммутативным нетеровым кольцом доказал А.Я. Белов в [3].

Проблемы бернсайдовского типа. В 1941 году А.Г. Курош в [15] сформулировал аналог проблемы Бернсайда для алгебр. Подобного рода проблемы в теории алгебр (не обязательно ассоциативных) принято называть проблемами бернсайдовского типа, или проблемами Куроша-Левицкого.

Проблема Куроша-Левицкого состоит в следующем: 1) Верно ли, что конечно порожденная нильалгебра ограниченного индекса нильпотентна? 2) Верно ли, что конечно порожденная алгебраическая алгебра ограниченного индекса конечномерна?

Если не требовать ограниченности нильиндекса или степени алгебраичности, то обе эти проблемы в классе ассоциативных алгебр решаются отрицательно. Первый такой пример был простроен Е.С. Голодом в 1964 году в [4] (пример Голода-Шафаревича).

При условии ограниченности, а в этом случае соответствующие алгебры будут PI-алгебрами, проблема Куроша-Левицкого для ассоциативных алгебр была решена положительно Левицким в [58] структурными методами и Капланским в [56] комбинаторными средствами.

В теореме 9 доказано, что в одной из переформулировок проблемы Куроша-Левицкого над полем положительной характеристики условие конечной порож-денности оказывается лишним.

Теорема А.И. Ширшова о высоте. В 1957 г. А.И. Ширшов доказал чрезвычайно мощный результат, известный под названием «теорема о высоте».

Теорема А.И. Ширшова о высоте ([38]). Для любой конечно порожденной PI-алгебры А над коммутативным кольцом существуют натуральное число h и такие элементы ai,. ,ап g А, что любой элемент алгебры А может быть представлен в виде линейной комбинации элементов а1гг . а[к, где к < к.

А.И. Ширшов показал, что в качестве элементов ai,.,an можно взять множество всех слов степени < d над порождающим множеством, где d - степень тождества, выполняющегося в алгебре А.

В дальнейшем были получены оценки на высоту алгебры к, доказаны многочисленные усиления и аналоги теоремы о высоте для различных классов неассоциативных алгебр. Подробный обзор результатов по теореме А.И. Ширшова о высоте содержится в [44], [45], [66], [3].

Из теоремы о высоте сразу же следует решение проблемы Куроша-Левицкого, причем в гораздо более сильной форме: конечномерность конечно порожденной PI-алгебры с тождеством степени d вытекает из алгебраичности всех слов от образующих степени меньше d.

Структурная теория многообразий. Фундаментальные результаты в структурной теории многообразий ассоциативных алгебр над полями нулевой и положительной характеристики были получены А.Р. Кемером. Сформулируем лишь те из них, которые используются в настоящей работе.

Конечномерная алгебра С над полем F называется конечномерной классической алгеброй, если С представима в виде прямой суммы подпространств С — Р © J, где J = Rad С - радикал Джекобсона алгебры С, Р является подалгеброй в С и Р = С/J (разложение Веддербарна-Мальцева); кроме того, алгебра Р должна быть изоморфна прямой сумме матричных алгебр над полем F. Алгебра Р называется полупростой частью алгебры С.

Важнейший результат А. Р. Кемера о локальной представимости состоит в следующем.

Теорема о локальной представимости. Для любой конечно порожденной Р1-алгебры V над бесконечным полем Р найдется такая конечномерная классическая алгебра С, что идеалы тождеств алгебр и и С совпадают.

Эта теорема была доказана для полей нулевой характеристики в работе [12] (см. также [59]), а для бесконечных полей положительной характеристики - в работе [13]. Доказательство теоремы с рядом модификаций изложено в монографии [74]. Локальную представимость (в другом смысле, чем в вышесформули-рованной теореме) над нетеровыми кольцами и многие другие комбинаторные и структурные вопросы о конечно порожденных и бесконечно порожденных алгебрах исследовал А.Я. Белов в [3].

Теорема о локальной представимости используется в настоящей работе следующим образом. Пусть Г - произвольный нетривиальный Т-идеал (т.е. Г ф (0) и Г ^ Р(Х)). Обозначим

Р^ = Р(х1.,.,хк)/(ТПР(х1,.1хк)).

Алгебра ^ является относительно свободной ^-порожденной алгеброй в многообразии, которое соответствует Т-идеалу Г. По теореме о локальной представимости существует такая конечномерная классическая алгебра С\., что Т[Ру) — Т[С\].

Из этого следует, что алгебра удовлетворяет следующему свойству: если полином / = /(^1,., хт) зависит от т < к переменных и / е Т[Ск], то / € Г. Таким образом, идеалы Т[Ск] аппроксимируют идеал Г. Существуют ситуации, когда прямое доказательство включения / € Г наталкивается на непреодолимые трудности. Но при этом оказывается возможным доказать включение / £ Т[Ск] для специфически выбранных к ^ т. Именно так в главе 2 доказывается одно из основных технических утверждений - предложение 5.

В работе [62] А.Р. Кемером была доказана теорема об ограниченности размерностей полупростых частей алгебр

Теорема ([62]). Пусть поле Р бесконечно. Тогда для любого нетривиального Т-идеала Г найдется такая константа т = га(Г)7 что для некоторых конечномерных классических алгебр с условием Т[Рр] = Т[С\] размерности полупростых частей алгебр не превосходят т.

Заметим, что если Т-идеал Г является унитарно замкнутым (то есть Г - идеал тождеств алгебры с единицей), то можно считать, что все алгебры из формулировки теоремы имеют единицу. В главе 2 при помощи этой теоремы корректно определяется параметр I - центральный параметр в доказательстве теоремы 10.

Теорема об ограниченности размерностей полупростых частей использовалась А.Р. Кемером для доказательства следующего усиления проблемы И.Б. Воличен-ко.

Теорема ([62]). Пусть char F = р > 0. Тогда для любого нетривиального тождества / = 0 существует такая константа q, что для всех достаточно больших N следствиями тождества f = 0 являются все такие частичные линеарипеременной.

Сама проблема И.Б. Воличенко состояла в доказательстве того факта, что каждое нетривиальное многообразие ассоциативных алгебр над полем положительной характеристики удовлетворяет симметрическому тождеству некоторой степени (то есть полной линеаризации тождества хм = 0,). Вышеприведенная теорема утверждает, что произвольное многообразие удовлетворяет не просто полной линеаризации тождества хм = 0, а всем достаточно глубоким ли-неаризациям. Отметим, что аналогичная проблема И.Б. Воличенко для алгебр Ли над полем положительной характеристики остается открытой. Теорема о глубоких линеаризациях тождества хы = 0 применяется в работе при доказательстве теоремы 9. Из положительного решения проблемы И.Б. Воличенко и теоремы Размыслова-Прочези (см. ниже) вытекает, что каждая Р1-алгебра над полем положительной характеристики удовлетворяет тождеству Капелли, см. [61].

Первичные многообразия ассоциативных алгебр. Важнейшую роль в теории многообразий ассоциативных алгебр играют первичные многообразия (и соответствующие им вербально-первичные Т-идеалы). Т-идеал Г называется вербально-первичным (или Т-первичным), если для произвольных Т-идеалов Г\ и Г2 из включения Г1 • Г2 С Г вытекает, что Г1 С Г или Г2 С Г. Многообразие называется первичным, если соответствующий ему идеал тождеств вербально-первичен. Т-идеал Г называется вербально-полупервичным, если для произвольного Т-идеала Г\ из включения Гх • Гх С Г вытекает, что Гх С Г.

Над полями нулевой характеристики все вербально-первичные Т-идеалы были описаны А.Р. Кемером в [10] (см. также [59]). Будем обозначать через С алгебру Грассмана счетного ранга с единицей: С = (ех

Алгебра Грассмана имеет естественную Z2-гpaдyиpoвкy С = Со ® Сх, гДе ^о и Сх - подпространства алгебры С, порожденные всеми словами от образующих ех,в2,. четной и нечетной длины соответственно. Для п, к ^ 0 рассмотрим в алгебре Мп+ь(С) = Мп+к <8> С подмножество состоящее из блочных матриц вида где А и I) - квадратные матрицы размера пхпккх к соответственно с элементами из Со, В и С - прямоугольные матрицы размера п х к и к х п соответственно с элементами из Сх. Легко проверить, что является подалгеброй алгебры МП+^(С). Алгебры Мп± называются матричными супералгебрами. Их исключительная роль объясняется следующей теоремой. зации тождества xN = 0, каждая из которых имеет степень < N/q по любой

Теорема о классификации первичных многообразий ([10]). Над полем характеристики 0 нетривиальный Т-идеал Г является вербально-первичным тогда и только тогда, когда Г = Т[МП(6?)] или Г = Т[Мп,к] при п ^ к. Все эти Т-идеалы попарно различны.

Описание вербально-первичных Т-идеалов в характеристике р > 0 хотя бы на полилинейном уровне является важнейшей проблемой Р1-теории. В текущий момент она решена только в двух частных случаях: А.Р. Кемером были описаны полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия Уаг(Мг), и автором (см. главу 4) были описаны полилинейные компоненты первичных подмногообразий многообразия Уаг(Мх.1). На полиоднородном уровне описание первичных многообразий отсутствует и в этих двух случаях. В §3.4 настоящей работы описываются полиоднородные компоненты одного хорошо известного первичного многообразия, впервые построенного Ю.П. Размысловым в качестве контрпримера к глобальной проблеме Бернсайда в алгебрах Ли (см. подробности ниже).

Несложно показать, что над бесконечным полем любой вербально-полупервичный Т-идеал является пересечением некоторого числа вербально-первичных Т-идеалов. А.Р. Кемером был доказан более сильный факт.

Теорема о классификации полупервичных многообразий ([10]). Над полем характеристики 0 любой вербально-полупервичный Т-идеал является пересечением конечного числа вербально-первичных Т-идеалов.

Верно ли аналогичное утверждение (хотя бы на полилинейном уровне) в характеристике р > 0 - открытая проблема. Для подмногообразий в Уаг(Мг) и Уаг(Мхд) это верно, в остальных случаях - неизвестно.

Фундаментальная роль первичных и полупервичных многообразий прояснятся следующей теоремой о нильпотентности.

Теорема о нильпотентности ([10]). Пусть основное поле имеет характеристику 0. Если и - нетривиальный Т-идеал, N - пересечение всех Т-первичных Т-идеалов, содержащих и, то идеал N нильпотентен по модулю и.

В терминах многообразий это утверждение формулируется так: любое многообразие V раскладывается в ^-произведение нильпотентного многообразия и наибольшего полупервичного многообразия, содержащегося в V. Вопрос о том, верно ли (на полиоднородном или полилинейном уровне) аналогичное утверждение над полем положительной характеристики, является открытым.

Все три вышеприведенных теоремы Кемера (теорема о нильпотентности, теорема о классификации полупервичных многообразий и теорема о классификации первичных многообразий) при решении тех или иных проблем как правило используются совместно. Сначала проблема решается для первичных многообразий, затем для полупервичных, и, наконец, для произвольных многообразий, исходя из теоремы о нильпотентности. При помощи такого подхода были получены ответы на впечатляющее число разнообразных вопросов Р1-теории в нулевой характеристике. Именно этим мотивируется важность перенесения (хотя бы частичного) этих результатов в характеристику р > 0. Нельзя не заметить параллелей между строением произвольного многообразия в характеристике 0 и строением произвольной конечномерной ассоциативной алгебры: теоремы А.Р. Кемера о классификации первичных и полупервичных многообразий являются аналогом двух частей теоремы Веддербарна-Артина, а теорема о нильпотентности является аналогом теоремы о нильпотентности радикала Джекобсона конечномерной алгебры.

Важнейшим методом изучения первичных многообразий в характеристике 0 и единственно известным на текущий момент в характеристике р > 0 является подход, связанный с изучением тождеств со следом и тождеств с формами.

Тождества со следом. Понятие тождества со следом было введено Ю.П. Размысловым в 1974 году. Рассмотрим формальное выражение х2 — жТг(х) + ёеЦх) = 0. Ясно, что оно обратится в равенство, если вместо переменной х подставить произвольную матрицу второго порядка. Линеаризуя это равенство, получаем выражение от двух переменных ху + ух — х Тг(?/) — у Тг(ж) — Тг(.ту) + Тг(ж) Тг(у) = 0, которое обращается в верное равенство при подстановке вместо х и у произвольных матриц второго порядка. Это пример полилинейного тождества со следом алгебры М2.

Определение тождеств со следом достаточно длинное, поэтому пока ограничимся неформальным определением. Линейное отображение Тг из алгебры А с единицей в ее центр называется следом, если Тг(аб) = Тт(Ьа) для произвольных а,Ь £ А. Полином от некоммутирующих переменных Х\,Х2,--- и формальных символов Тг(г^), где щ - слова над алфавитом х\. х'2, ■ - -, называется полиномом со следом. При этом в определение полинома со следом закладывается выполнение равенств мТг(г;) = Тг(г>)г/, Тг(гг) Тг(г>) = Тг(г;) Тг(гг), Тг(иь) = Тг(ьи). Полином со следом называется тождеством со следом алгебры А, если при подстановке в него вместо всех переменных произвольных элементов алгебры А получается 0. Как и для обычных тождеств, для тождеств со следом определяются полилинейность, полиоднородность, линеаризации, следствия и т.д.

Базис тождеств со следом алгебры Мп (при стандартном определении следа) над полем характеристики 0 был описан Ю.П. Размысловым в 1974 году в [23] и Прочези в 1976 году в [70] (теорема Размыслова-Прочези). В 1995 А.Р. Кемер в [61] получил прямое комбинаторное доказательство этой важнейшей теоремы на полилинейном уровне над полем произвольной характеристики.

Обозначим через Рт множество всех полилинейных полиномов со следом степени т, зависящих от переменных Х\,., хт, с коэффициентами из поля Т. Таким образом, каждый элемент из Рт является линейной комбинацией мономов -ио Тг(и1) • • ■ Тг(г^), где щ - слова, причем щ. /щ ^ 1, слово щ ■ щ ■ ■ ■ щ полилинейно. Пусть 1 есть групповая алгебра симметрической группы 5т+1, действующей на множестве {0,1,.,т}. Определим Т-линейное отображение ^т ■ Рт -> ^т+ъ полагая

Хт{хг1 • • • х»в Тг(а:л • • • хп) Тг(хк1 ■ ■ ■ хк1) ■■■) = а е £т+1, где а - перестановка, которая раскладывается на независимые циклы следующим образом: т = (0,гь ., 13)(]ь . ■ ■ ■ ---

Отображение Ат является изоморфизмом пространств. Обозначим

Ы^ь = А;1 ( £ (-1)"<т). сгб5п+1

Хорошо известно, что полином Хп(%1, ■ ■ ■, является полной линеаризацией характеристического полинома Кэли-Гамильтона. Поэтому алгебра Мп удовлетворяет тождеству Хп(хъ ■ ■ •, хп) = 0. теорема Размыслова-Прочези ([23], [70], [61]). Пусть Г - поле произвольной характеристики. Тогда каждое полилинейное тождество со следом алгебры Мп является следствием тождеств тг(1) — пи хп^ъ • • • 5 хп) = 0.

Алгебра также превращается в алгебру со следом, если положить

Тг ^ ^ £) ^ = Тг(^4)—Тг(1)), где Тг(А) и Тг(1)) - суммы диагональных элементов матриц А и I). При этом Тг(1) = п — к. Обозначим через 1)п+1)д.+1 прямоугольную диаграмму Юнга из п + 1 строки и к + 1 столбца.

Идеал тождеств со следом алгебр Мпк над полями нулевой характеристики был описан Ю.П. Размысловым в работе [26]. А.Берел в [46] получил доказательство теоремы Размыслова, используя подход Прочези для описания тождеств со следом матричных алгебр. В работе [28] автором было предложено более короткое доказательство, основанное на других идеях.

Теорема ([26],[46],[28]). Пусть поле Т имеет нулевую характеристику. Тогда

1) для каждого т множество Ат(Т[Мп^]Г\Рт) является двусторонним идеалом алгебры РБт+1. Этот идеал является суммой минимальных двусторонних идеалов, соответствующих тем диаграммам Юнга, которые содержат в качестве поддиаграммы;

2) идеал Т[Мп,к] порождается (как идеал тождеств со следом) тождеством нулевой степени Тг(1) = п — к и тождествами степени пк + п + к из пространства Т[Мп,к] П Рпк+п+к

В характеристике р > 0 множества Ат{Т[Мп^\ П Рт) тоже являются двусторонними идеалами алгебры Вообще, нетривиальный идеал тождеств со следом Г называется 7-классическим, если он содержит полином Тг(1) — 7 и для любого т множество Ат(Г П Рт) является двусторонним идеалом алгебры

FSm+i. Понятие 7-классического идеала было введено Ю.П. Размысловым в [23]. В характеристике 0 все они исчерпываются идеалами Т[Мп^\ (см. [23]) и являются вербально первичными, в характеристике р > 0 есть много других примеров 7-классических идеалов, которые уже могут не быть вербально первичными (см. [29]). Т-идеал называется 7-классическим, если он совпадает с множеством обычных тождеств некоторого 7-классического идеала тождеств со следом.

Регулярность первичных многообразий и матричные типы. В работе [61] А.Р. Кемером было доказано, что над полем характеристики р > 0 каждый нетривиальный Т-идеал содержит все полилинейные тождества алгебры матриц некоторого порядка. Наименьшее число к со свойством T[Mk] п Р с Г называется матричным типом Т-идеала Г. Вычисление матричного типа конкретного Т-идеала является непростой задачей. Так, матричный тип алгебры Грассма-на равен р (это один из результатов работы [65]), но явно предъявить полином / € T[Mp-i] \ T[G] при р > 3 крайне сложно.

Понятие матричного типа, введенное А.Р. Кемером в работе [60], оказалось весьма содержательным. Прежде всего благодаря взаимосвязи с понятием регулярности первичных многообразий.

Полином f(x 1,., хт) Е F(X) называется киллером Т-идеала Т[Месли алгебра матриц Мк удовлетворяет тождеству со следом вида f{xu .,xm) Tr (у) = д(хг, .,xm,y), д е F(X).

Рассмотрим вербально первичный Т-идеал Г, матричный тип которого равен к. Назовем Г регулярным вербально первичным идеалом, если Г не содержит хотя бы один полилинейный киллер идеала Т[Мк]. А.Р. Кемер показал, что в этом случае Г является классическим Т-идеалом (см. [60]), следовательно, при его изучении можно применять весь арсенал методов теории представлений симметриче-скх групп над пиолями положительной характеристики. Такой подход к проблеме классификации вербально первичных многообразий был предложен А.Р. Кемером в цикле работ [60], [63], [64], [65].

Другое приложение понятий матричного типа и регулярности состоит в следующем. В [65] А.Р. Кемер показал, что если I - матричный тип какого-то нерегулярного первичного многообразия, то для некоторого числа m ^ I проблема Про-чези о ядре для алгебры матриц порядка m имеет отрицательное решение. Этот результат мотивирует вопрос о нахождении минимального значения матричного типа нерегулярного первичного многообразия. Частичный ответ на него получен в теореме 8. Примеры первичных многообразий, матричные типы которых были бы меньше р, отсутствуют.

Связь с теорией инвариантов. Тождества со следом в характеристике 0 теснейшим образом связаны с инвариантами полной линейное группы GL(n). Эта группа действует сопряжениями на пространстве Xn m = Мп х • • • х Мп, и это

771 действие индуцирует действие на его координатном кольце

Т[Хп,га] = | г, 3 = 1,2,., п; I = 1, 2,., т].

Через Зп>т = обозначим Т1-алгебру инвариантов при рассматриваемом действии. В [70] Прочези показал, что над полем характеристики 0 алгебра </П)ТО порождается следами произведений общих матриц и выдвинул гипотезу о строении порождающей системы инвариантов над полями положительной характеристики. Гипотеза Прочези была доказана С. Донкиным в [49]. Обозначим через Хь, £ = 1,2,. ,т, общую матрицу порядка п, в которой в г-й строке и ]-м столбце стоит переменная х^. Тогда в качестве порождающих элементов Т-алгебры Зпт можно взять элементы д,3(Хч ■ ■ ■ Х1к), в = 1,2,. ,п, где 33(Х) с точностью до знака есть в-й коэффициент характеристического многочлена матрицы X.

Для N ^ п имеет место естественный эпиморфизм 3^,т Зпт-, индуцированный отображением на общих N х Д/'-матрицах, при котором переменные х^ отображаются в нуль при г > п или при ]> п. Таким образом, можно определить свободную алгебру инвариантов Зт как Зш = рго]Цтп Зп^т, где рго]Ит -проективный предел.

Пусть 3 = сПгНтт Зт, где сИгНт - прямой предел, а также Зп = (ИгНтш Зщт. Имеется естественная проекция в„: 3 —> Зп, индуцированная проекциями #П>Т7): ■Лп <Лгт- Обозначим ядро проекции вп через Тп. Идеал Тп является Т-идеалом алгебры 3, т.е. он инвариантен при ее эндоморфизмах. В характеристике 0 алгебра 3 изоморфна подалгебре свободной алгебре со следом, порожденной следами, и из теоремы Размыслова-Прочези можно вывести, что над полем нулевой характеристики Тп порождается как Т-идеал полиномом Тг(тоХп(^1> • ■ • ,хп)). То есть теорема Размыслова-Прочези описывает все соотношения в алгебре инвариантов полной линейной группы.

В характеристике р > 0 аналог теоремы Размыслова-Прочези был доказан А.Н. Зубковым. В работе [6] им было показано, что Тп порождается как Т-идеал элементами йп+\(х), Зп+2(х),. . Позже А.Н. Зубков значительно обобщил этот результат для представлений колчанов, см. [7].

Аналогично тождествам со следом, можно рассматривать тождества с формами. Исследование тождеств с формами алгебры матриц в характеристике р > 0 играет важную роль в решении локальной проблемы Шпехта в положительной характеристике (см. [13]). Тождества с формами тесным образом связаны с соотношениями в алгебре инвариантов полной линейной группы, но эта связь не такая прямая, как в характеристике 0. В частности, алгебра 3 и подалгебра свободной алгебры с формами, порожденная формами, не изоморфны. Прояснению этой связи посвящены §1.3-1.6.

К исследованию тождеств с формами тесно примыкают работы К.А. Зубрилина [8] и [9], связанные с исследованием алгебр, удовлетворяющих тождествам Капелли.

Центральные полиномы, слабые тождества и устойчивые многообразия. В 1956 году Капланский поставил вопрос о существовании центральных полиномов в алгебре матриц. Центральный полином для Т-идеала Г - это такой полином / = /(хi,.,xn), что / ^ Г, но [/,у] € Г. Положительный ответ на вопрос Капланского дали Форманек в [52] и Ю.П. Размыслов в [24]. При этом Ю.П. Размыслов обнаружил прямую взаимосвязь между центральными полиномами и слабыми тождествами. Полилинейный полином / = f(xi,., хп) называется слабым тождеством Т-идеала Г, если / ^ Г, но /\Xï=[y^ G Г. В работах [18], [19], [20] В.Н. Латышевым было введено понятие устойчивого Т-идеала, т.е. такого Т-идеала, множество полилинейных полиномов которого замкнуто относительно операторов отражения ^ а^.^а^хбг —>■ аа,,ьМхаг Для всех х■ Примерами устойчивых Т-идеалов являются идеалы тождеств 7-классических многообразий. Для устойчивых Т-идеалов существование центральных полиномов равносильно существованию слабых тождеств.

В [22] C.B. Охитин доказал, что над полем нулевой характеристики у каждого устойчивого Т-идеала есть слабые тождества, следовательно, есть и центральные полиномы. Метод доказательства является демонстрацией подхода, связанного с применением теорем А.Р. Кемера о классификации первичных и полупервичных многообразий и теоремы о нильпотентности. Над полями положительной характеристики устойчивость вербально первичных Т-идеалов, существование у них слабых тождеств и центральных полиномов было доказана А.Я. Беловым в [1] с помощью изучения тождеств с формами.

Обзор результатов диссертации.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Самойлов, Леонид Михайлович, 2011 год

1. А.Р. Кемер, "Тождества конечнопорожденных алгебр над бесконечным полем", Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:4 (1990), 726-753.

2. E.H. Кузьмин, "О теореме Нагаты-Хигмана", в кн. Математические структуры, София, 1975, 101-107.

3. А.Г. Курош, "Проблемы теории колец, связанные с проблемой Берсайда о периодических группах". Изв. АН СССР. Сер. матем., 5 (1941), 233-240.

4. В.Н. Латышев, "О конечной порожденности Т-идеала с элементом reí, .х2, жз,ж4.", Сиб. матем. журн., 6:6 (1965), 1432-1434.

5. В.Н. Латышев, "К теореме Регева о тождествах тензорного произведения PI-алгебр", Успехи мат. наук., 27:4 (1972), 213-214.

6. В.Н. Латышев, "О некоторых многообразиях ассоциативных алгебр", Изв. АН СССР. Сер. матем., 37:5 (1973), 1010-1037.

7. В.Н. Латышев, Нематричные многообразия ассоциативных алгебр, Дис. . .д-ра физ.-мат. наук, Москва, 1977.

8. В.Н. Латышев, "Устойчивые идеалы тождеств". Алгебра и логика, 20:5 (1981), 563-570.

9. А.И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970.

10. C.B. Охитин, "Об устойчивых Т-идеалах и центральных полиномах", Вестн. МГУ. Сер. мат., мех., 3 (1986), 85-89.

11. Ю.П. Размыслов, "Тождества со следом полной матричной алгебры над полем характеристики нуль", Изв. АН СССР. Сер. Матем., 37:3 (1973), 723-756.

12. Ю.П. Размыслов, "О одной проблеме Капланского", Изв. АН СССР. Сер. Матем., 38:4 (1974), 483-501.

13. Ю.П. Размыслов, "Алгебры, удовлетворяющие тождественным соотношениям типа Капелли", Изв. АН СССР. Сер. Матем., 45:1 (1981), 143-166.

14. Ю.П. Размыслов, "Тождества со следом и центральные полиномы в матричных супералгебрах Матем. сборник, 128:4 (1985), 194-215.

15. Ю.П. Размыслов, Тождества алгебр и их представлений, М.: Наука, 1989.

16. Л.М. Самойлов, "Новое доказательство теоремы Ю.П. Размыслова о тождествах матричной супералгебрьт", Фунд. и прикл. матем., 6:4 (2000), 11211127.

17. Л.М. Самойлов, "О 7-классических многообразиях", Фунд. и прикл. матем, 8:3 (2002), 887-910.

18. Л.М. Самойлов, "Аналог теоремы Левицкого для бесконечно порожденных ассоциативных алгебр", Матем. заметки, 86:1 (2009), 151-153.

19. Л.М. Самойлов, "Алгебраические алгебры и первичные многообразия ассоциативных алгебр", Матем. сборник, 200:5 (2009), 99-128.

20. Л.М. Самойлов, "Аналог теоремы Амицура-Левицкого для матричных супералгебр", Сиб. матем. журн., 51:3 (2010), 620-625.

21. Л.М. Самойлов, "Об унитарной замкнутости первичных многообразий ассоциативных алгебр". Сиб. матем. журн., 51:4 (2010), 712-722.

22. Л.М. Самойлов, "О полилинейных компонентах первичных подмногообразий многообразия Уаг(Мхд)", Матем. заметки, 87:6 (2010), 919-933.

23. И.Ю. Свиридова, "Т-первичные многообразия и ассоциативные алгебры", Фунд. и прикл. матем., 8:1 (2002), 221-243.

24. А.И. Ширшов, "О кольцах с тождественными соотношениями", Матем. сборник, 43:2 (1957), 277-283.139j В.В. Щиголев, "Примеры бесконечно базируемых Т-идеалов", Фунд. и прикл. математика, 5:1 (1999), 307-313.

25. E.V. Aladova, A.N. Krasil'nikov, "Polynomial identitiea in nil-algebras", Trans. Amer. Math. Soc., 361:11 (2009), 5629-5646.

26. S.A. Amitsur, J. Levitzki, "Minimal identities for algebras", Proc. Amer. Math. Soc., 1 (1950), 449-463.

27. S.A. Amitsur, "A generalization of Hilbert's Nullstellensatz", Proc. Amer. Math. Soc., 8 (1957), 649-656.

28. S.A. Amitsur, "On the characteristic polynomial of a sum of matrices", Linear and Multilinear Algebra, 8:3 (1980), 177-182.

29. A. Belov, V. Borisenko, V. Latyshev, Monomial Algebras, NY, Plenum, 1998.

30. A. Belov-Kanel., L.H. Rowen, "Perspectives on Shirshov's Heigth theorem", Selected works of A.I. Shirshov, Birkhauser, 2009, 185-202.

31. A. Berele, "Trace identities and Z/2Z-graded invariants", Trans of the Amer. Math. Soc., 309:2 (1988), 581-589.47| A. Braun, "The nilpotency of the radical in a finitely generated Pi-ring", J. Algebra, 89 (1984), 375-396.

32. M. Dehn, "Uber die Grundlagen der projektiven Geometrie und allgemeine Zahlsysteme", Math. Ann., 85 (1922), 184-193.

33. S. Donkin, "Invariants of several matrices", Invent. Math., 110:2 (1992), 389-401.

34. V. Drensky, Free algebras and Pi-algebras, Springer, 2000.

35. V. Drensky, E. Formanek Polynomial identity rings, Adv. Courses in Math., CRM Barselona, Birkhauser, Basel-Boston, 2004.

36. E. Formanek, "Central polynomials for matrix rings", J. Algebra, 23 (1972), 129132.

37. A. Giambruno, M. Zaicev, Polynomial Identities and Asymptotic Methods, AMS Math. Surv. and Monogr., 122, 2005.54| M. Hall, "Projective planes", Trans. Amer. Math. Soc., 54 (1943), 229-277.

38. G.D. James, The representation theory of the symmetric groups, Lect. Notes in Math., 682, Springer, 1978.

39. I. Kaplansky, "On a problem of Kurosh and Jacobson". Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), 496-500.57| I. Kaplansky, "Rings with polynomial identity", Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), 575-580.

40. J. Levitzki, "On a problem of Kurosh", Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), 10331035.

41. A.R. Kemer, Ideal of Identities of Associative Algebras, Amer. Math. Soc. Translations of Math. Monographs, 87, 1991.

42. A. Kemer, "Remarks on the prime varieties", Israel J. of Math., 96:2 (1996), 341356.

43. A.R. Kemer, "Multilinear identities of the algebras over a field of characteristic p", Int. J. of Algebra and Computation, 5:2 (1997), 189-197.

44. A. Kemer, "Pi-algebras and nil algebras of bounded index". Trends in ring theory (Miscolc, Hungary, 1996), CMS Conf. Proc., 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, 59-69.

45. A. Kemer, "On the multilinear components of the regular prime varieties", Methods in ring theory: proc. of the Trento conference. Led. Notes in pure and appl. math., 198, (1998), 171-183.

46. A. Kemer, "Multilinear components of the prime subvarietics of the variety Var(M2(F))". Algebras and Representation Theory, 4:1 (2001), 87-104.

47. A. Kemer, "On same problem in Pi-theory in characteristic p connected with dividing by p", Proceedings of the Third International Algebra Conference, Kluwer, 2003, 53-66.

48. A. Kemer, "Comments on Shirshov's Heigth theorem". Selected works of A.I. Shirshov, Birkhäuser. 2009, 223-229.

49. P. Koshlukov, "Basis of the identities of the matrix algebra of order two over a field of characteristic p ± 2", J. Algebra, 241:1 (2001), 410-434.

50. J. Levitzki, "On a problem of Kurosh", Bull. Amer. Math. Soc., 52 (1946), 10331035.

51. C. Procesi, Rings with Polynomial Identities, Pure Appl. Math (N.Y.), 17, Dekker, New York, 1973.

52. C. Procesi, "The invariant theory of n x n-matrices", Advances in Math., 19:3 (1976), 306-381.

53. A. Regev, "Existence of identities mA®B", Israel J. Math., 11 (1972), 131-152.

54. D. Riley, "PI-algebras generated by nilpotent elements of bounded index". J. of Algebra., 192:1 (1997), 1-13.

55. L.H. Rowen, Polynomial Identities m Ring Theory, New York: Acad. Press, 1980.

56. L.H. Rowen, A. Kenel-Belov, Computation Aspects of Polynomial Identities, Wellesley, Massachusetts, 2005.

57. W. Specht, "Gesetze in Ringen", Math. Z., 52 (1950), 557-589.

58. I.Yu. Sviridova. "Varieties and algebraic algebras of bounded degree", J. of Pure and Appl. Algebra, 133 (1998), 233-240.

59. U. Vishne. "Polynomial identitie of M2(<?)", Commun. in Algebra, 30:1 (2002), 443-454.

60. W. Wagner, "Über die Grundlagen der projektiven Geometrie und allgemeine Zahlsysteme". Math. Z., 113 (1937), 528-567.

61. E. Zelmanov, Nil'Rings and Periodic Groups, KMS Lect. Notes in Math., 1992.