Алгебраические системы лиева типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Пожидаев, Александр Петрович

• Пожидаев, Александр Петрович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Пожидаев, Александр Петрович

Введение

Благодарности.

Список обозначений.•.

1 Некоммутативные йордановы супералгебры

Введение

§1 Координатизационная теорема.

1.1 Определяющие тождества.

1.2 Разложение Пирса.

1.3 Алгебры со связанными идемпотентами.

1.4 Мутации. Координатизационная теорема.

§2 Простые супералгебры.

§3 Аналог теоремы Оемке

§4 Простые некоммутативные йордановы супералгебры степени

4.1 Случай Д.

4.2 Случаи 2), Р(2), <2(2)(+>

4.3 Случай J(V, /).

4.4 Случай К3.

§5 Основная теорема

2 Структуризуемые супералгебры

Введение

§1 Конструкция Аллисона-Кантора.

1.1 Структуризуемые супералгебры: определения, примеры

1.2 Структурная алгебра

1.3 АК-конструкция.

1.4 Связь простоты (А,~) и К{А~).

1.5 Инвариантные суперформы, связь с йордановыми суперсистемами и супералгебрами Мальцева.

§2 Описание простых супералгебр Ли, возникающих из структуризуемых супералгебр.

§3 Построение простых структуризуемых супералгебр картановского типа.

3.1 Случай W(n).

3.2 Случай S(n)

3.3 Случай S(n), п — чётное

3.4 Случай Я (га).

§4 Основная теорема

3 Диалгебры и sp-алгебры

Введение.

§1 0-Диалгебры с бар-единицей и неассоциативные алгебры Рота

Бакстера.

§2 Присоединение бар-единицы к диалгебре.

§3 Многообразия диалгебр в смысле Эйленберга.

§4 Многообразия Г2-алгебр с расщеплённым произведением

4.1 Ассоциативные sp-систсмы.

4.2 sp-алгебры Филиппова.

4.3 Правоальтернативные диалгебры и sp-алгебры Бола

§5 Диалгебры и тройные системы лиева типа

4 Алгебры Филиппова

Введение

§1 Редуцированно ассоциативные тернарные алгебры.

§2 Вложения в ассоциативные алгебры.

§3 Вложения в алгебры с операцией {/, д, h} =

§4 Вложения в алгебры с тождеством ж, y,z},u,v} = {x,y,{z,u,v}}

5 n-арные алгебры Лейбница

Введение

§1 Сведение к алгебрам Ли.^.

§2 Некоторые требуемые результаты об алгебрах Ли.

§3 Леммы о симметрических гомоморфизмах

§4 Основная теорема.

6 Супералгебры Филиппова

Введение

§1 Разрешимые супералгебры Филиппова.

§2 Переход к супералгебрам Ли.

§3 Некоторые результаты о супералгебрах Ли.

§4 Супералгебры Филиппова типа В(т, п).

4.1 Случай В(0,п).

4.2 Случай В(т,п).

7 п-арные алгебры Мальцева

Введение

§1 Определяющие тождества.

§2 Тернарные алгебры Мальцева композиционных алгебр.

§3 Центральная простота алгебр М(А).

§4 Алгебра дифференцирований Пег(М%)

§5 Корневое разложение алгебры

§.

Предметный указатель

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраические системы лиева типа»

Данная работа посвящена изучению различных (но взаимосвязанных) классов алгебраических систем. Однако центральными объектами в ней являются некоммутативные йордановы и структуризуемые супералгебры, а также ди-алгебры, (супер)алгебры Филиппова и Мальцева. Основные вопросы об этих системах, исследуемые в данной работе, — это вопросы простоты и специальности.

Проблема классификации простых алгебраических систем является одной из основных проблем в их структурной теории. Как писал И.Херстейн- "Цель любой структурной теории состоит в описании некоторых общих объектов через более простые — более простые в каком-то ощутимом смысле, — быть может, более конкретные или легче поддающиеся изучению."

Конечномерные простые ассоциативные супералгебры были классифицированы еще в 1964 г. в работе С. Т. С. Волл [104]. Супералгебры Ли и йордановы супералгебры являются объектами наиболее близкими к ассоциативным супералгебрам. Конечномерные простые супералгебры Ли характеристики 0 были классифицированы В.Кацем в 1977 г. [68]. Случай конечномерных простых йордановых супералгебр над алгебраически замкнутыми полями характеристики ноль был рассмотрен В.Кацем [69] и И.Кантором [6]. Изучение йордановых супералгебр положительной характеристики было инициировано И. Капланским [73]. М.Расин и Е.Зельманов [90] классифицировали конечномерные простые йордановы супералгебры характеристики ^ 2 с полупростой чётной частью, а К. Мартинез и Е. Зельманов рассмотрели оставшийся случай, когда чётная часть не является полупростой [81]. Йордановы супералгебры тесно связаны с альтернативными и (—1,1)-супералгебрами. Для многообразий альтернативных супералгебр проблема простоты была решена в работах И. П. Шестакова и Е. И. Зельманова [4, 28], а для (-1,1)-супералгебр и супералгебр Мальцева (обобщающих супералгебры Ли) — в работах И. П. Шестакова [27, 29].

Обобщением класса йордановых супералгебр являются классы некоммутативных йордановых супералгебр и структуризуемых супералгебр. В случае алгебр класс структуризуемых алгебр пересекается, властности, по классу йордановых алгебр с классом некоммутативных йордановых алгебр, ввёден-ным А. А. Албертом в 1948 г. [33]. Класс некоммутативных йордановых алгебр чрезвычайно обширен — кроме (коммутативных) йордановых алгебр он содержит также, например, все альтернативные и квазиассоциативные алгебры, эластичные квадратичные алгебры, а также антикоммутативные алгебры. Проблема классификации простых конечномерных некоммутативных йордановых алгебр была решена Р. Шейфером [95] в случае характеристики О и степени > 2, Р. Оемке [87] для простых конечномерных эластичных алгебр со строго ассоциативными степенями в характеристике ^ 2,3 и степени > 2, К. МакКриммоном для простых конечномерных некоммутативных йордановых алгебр степени > 2 [83, 84], и К. Смитом для степени два [99]; случай нодальных простых таких алгебр положительной характеристики в основном рассматривался Л. Кокорисом [75, 74]. Строго первичные некоммутативные йордановы алгебры описаны В. Г. Скосырским в [19].

В суперслучае известна следующая

Проблема 1. Описать простые конечномерные супералгебры в классе некоммутативных йордановых супералгебр (не являющихся суперантикоммутативными) [26, Проблема 3.100 а)].

В первой главе1 мы доказываем аналог координатизационнон теоремы К. МакКриммона (теорема 1.1.13) и рассматриваем проблему классификации простых конечномерных некоммутативных йордановых супералгебр (теорема 1.2.4). Далее мы доказываем аналог теоремы Р. Оемке в характеристике 0 (теорема 1.3.5). В заключительной части строятся новые примеры простых некоммутативных йордановых супералгебр: овр( 1,2)9, Е/(У, /, *), и а также даётся описание некоммутативных йордановых супералгебр характеристики 0 и степени 2. По модулю некоторого "нодального" случая, мы классифицируем центральные простые конечномерные некоммутативные йордановы супералгебры характеристики 0 (теорема 1.5.1 — решение проблемы 1 в характеристике 0). Результаты первой главы получены в неразделимом соавторстве с И. П. Шестаковым и опубликованы в [125]-[127].

Хорошо известна и чрезвычайно полезна конструкция Титса-Кёхера-Кантора (ТКК), позволяющая по йордановой алгебре построить 3-градуированную алгебру Ли: если Л — йорданова алгебра, то ^г(Л) = Дд ® Бег (Л) образует алгебру Ли, называемую структурной алгеброй для

1 Главы посвящены прекрасным математикам, которые по-разному являются учителями автора

А, где Ьа обозначает оператор левого умножения на а из А, Ьа — пространство, порождённое всеми операторами Ьа, а £)ег(Л) — алгебра дифференцирований алгебры А. Конструкция Титса-Кёхера-Кантора наделяет векторное пространство К{А) := А ® ¿>£г(.4) ©Л структурой алгебры Ли, где А — изоморфная копия А. Соответствие А —» К (А) функториально, и существует тесная связь между свойствами алгебр А и К (А): алгебра А проста (полупроста, разрешима) тогда и только тогда, когда такова же К (А) (см., например, [12]). ТКК-конструкция была применена, в частности, В.Г.Кацем при классификации простых йордановых (супер)алгебр характеристики 0 [69].

В 1972 г. И. Кантор обобщил ТКК-конструкцию, распространив её на более широкий класс алгебр, которые он назвал консервативными. Конструкция Кантора ставит в соответствие консервативной алгебре градуированную-алгебру Ли. Говорят, что консервативная алгебра имеет второй порядок, если её алгебра Ли является (—2, 2)-градуированной. В той же самой статье И. Кантор классифицировал конечномерные простые консервативные алгебры второго порядка над алгебраически замкнутым полем характеристики 0.

В работе [35] Б. Аллисон определил класс неассоциативных алгебр, содержащий класс йордановых алгебр, и построил конструкцию для этого класса, обобщающую конструкцию структурной алгебры и конструкцию Титса-Кёхера-Кантора. Алгебры из этого класса, называемые структуризуемыми, являются унитальными алгебрами с инволюцией. Этот класс определяется тождеством степени 4 и включает ассоциативные алгебры, йордановы алгебры (с тождественной инволюцией), тензорное произведение двух композиционных алгебр, 56-мерный модуль Фрейденталя для алгебры Ли Еч с естественным бинарным произведением, и алгебры, строящиеся из эрмитовых форм способом, который является некоторым обобщением обычной конструкции йордановых алгебр квадратичных форм.

Существует взаимно однозначное соответствие между классом консервативных алгебр второго порядка с левой единицей и классом структуризуемых алгебр. При этом соответствии конструкция Кантора для консервативных алгебр переходит в конструкцию Аллисона для структуризуемых алгебр, поэтому далее эту конструкцию будем называть конструкцией Аллисона-Кантора (АК-конструкцией).

Алгебры Ли, получаемые из центральных простых структуризуемых ал- • .гебр при помощи АК-конструкции, содержат все конечномерные центральные простые алгебры Ли над полем характеристики ноль, имеющие ненулевой ай-нильпотентный элемент.

Центральные простые конечномерные структуризуемые алгебры над полем характеристики ноль были классифицированы Б. Аллисоном [35]. Классификация простых структуризуемых алгебр над полем ненулевой характеристики была получена О.Н. Смирновым [21]. Более того, при решении данной проблемы им был найден класс простых структуризуемых алгебр характеристики ноль, пропущенный Б. Аллисоном. В суперслучае известна

Проблема 2. Описать простые конечномерные супералгебры е классе структуризуемых супералгебр [26, Проблема 3.100 в)].

Во второй главе мы изучаем структуризуемые супералгебры. Как и в случае алгебр, супераналог АК-конструкции связывает с каждой структуризу-емой супералгеброй А некоторую простую супералгебру Ли, в зависимости от типа которой А называют супералгеброй классического или картановско-го типа. Простые структуризуемые супералгебры классического типа проклассифицировал недавно Дж. Фолкнер [58]. Мы обобщаем АК-конструкцию на случай структуризуемых супералгебр, описываем простые супералгебры Ли, возникающие из унитальных структуризуемых супералгебр характеристики 0, строим четыре серии новых простых структуризуемых супералгебр А№(п),АЗ(п),А£(п), АН.(п), и классифицируем простые конечномерные структуризуемые супералгебры: теорема 2.4.2 — решение проблемы 2 в характеристике 0. Результаты второй главы получены в неразделимом соавторстве с И. П. Шестаковым и опубликованы в [124, 128].

Понятие универсальной обёртывающей ассоциативной алгебры играет важную роль в теории алгебр Ли. Основное значение универсальной обёртывающей алгебры и(Ь) состоит в возможности сведения теории представлений алгебры Ь к теории представлений алгебры II(Ь). Более общо, функторы из одной алгебраической системы в другую играют важнейшую роль в математике. Примеров таких функторов очень много: стандартный функтор (коммутатор: аЪ—Ъа) из категории ассоциативных алгебр в категорию алгебр Ли; йорданово произведение (аЬ+Ьа) — функтор из категории ассоциативных алгебр в категорию йордановых алгебр; конструкция Титса-Кёхера-Кантора — функтор из категории йордановых алгебр в категорию алгебр Ли. По теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта для любой алгебры Ли Ь существует ассоциативная алгебра А-такая, что Ь изоморфна некоторой подалгебре алгебры Ли АН Мы.приходим к так называемой проблеме специальности: если т — функтор из категории А в категорию В и В € В, то всегда ли существует объект А £' А такой, что В является подсистемой в т(А)? Положительный ответ на этот вопрос даётся известной теоремой Пуанкаре-Биркгофа-Витта для функтора коммутирования из категории ассоциативных алгебр в кате горию алгебр Ли. Для функтора "йорданово произведение" из категории ассоциативных алгебр в категорию йордановых алгебр ответ оказывается уже отрицательным (контрпример: йорданова алгебра Алберта). Вопросы специальности изучены также для супералгебр Ли и йордановых супералгебр; более того, в лиевом случае эти вопросы изучены даже для ограниченных и цветных супералгебр Ли [15, 13] (отметим, что теоремы о свободе подалгебр и о базисе свободных супералгебр Ли были доказаны в [14] и [31]). А в случае, например, алгебр Мальцева вопрос специальности (вложение в альтернативные) до сих пор остаётся открытым — известно положительное решение для полупервичных алгебр Мальцева и некоторых других подклассов, например, метабелевых [17] (обзор по "специальности" можно найти в [97, 98]).

Произвольная алгебра может быть рассмотрена как некоторая алгебра Рота-Бакстера (см. (3.1)). В последнее время вообще отмечается значительный интерес к алгебрам Рота-Бакстера, диалгебрам и близким к ним структурам. Алгебры Рота-Бакстера были введены математиком Гленом Бакстером в 1960 г. в исследованиях по теории вероятности, а затем популяризованы в работах Г. Рота и его школы. Недавно приложения алгебр Рота-Бакстера были найдены в таких областях как квантовая теория поля, уравнения Янга-Бакстера, смешанные произведения, операды, алгебры Хопфа, комбинаторика и теория чисел. Класс ассоциативных диалгебр (см. (3.4)) является чрезвычайно интересным, несмотря на отсутствие простых объектов (в классическом понимании) отличных от ассоциативных алгебр. Ж.-Л. Лодэй нашел универсальную обёртывающую для алгебры Лейбница [78]. Роль таких обёртывающих как раз и играют ассоциативные диалгебры — алгебраические системы с двумя ассоциативными операциями, согласованными между собой. П. С. Колесниковым недавно было показано, что любая диалгебра в свою очередь может быть получена из некоторой ассоциативной конформной алгебры [8], в этой же работе П. С. Колесников ввёл понятие многообразия диалгебр. Функторы между категориями алгебр Рота-Бакстера и некоторыми категориями алгебраических систем близких к диалгебрам (например, триалгебр) были исследованы в [62]. Функтор между классом триалгебр и классом тернарных алгебр Лейбница был найден в работе [47].

Третья глава посвящена изучению диалгебр и их обобщений — яр-алгебр,'а именно, вопросам специальности. В первом параграфе исследуется естественный вопрос о связи алгебр Рота-Бакстера и диалгебр с ассоциативной бар-единицей. Более того, такую связь удаётся установить для более широкого класса 0-диалгебр. Во втором параграфе, в связи с результатами предыдущего параграфа, исследуется вопрос о том, всегда ли произвольную ассоциативную диалгебру можно вложить в ассоциативную диалгебру с бар-единицей. До недавнего времени это был открытый вопрос. Мы даём положительный ответ на данный вопрос (а также и для альтернативных диалгебр). В третьем параграфе мы рассматриваем понятие многообразия диалгебр в смысле П. С. Колесникова [8] и определяем эквивалентное понятие многообразия диалгебр в смысле Эйленберга. Понятие многообразия диалгебр в смысле Эйленберга позволяет определять не только классы диалгебр заданные тождествами. Например, можно определить класс структуризуемых диалгебр (тождества в них задаются на кососимметрических и симметрических элементах). В четвёртом параграфе мы обобщаем понятие многообразия диалгебр в смысле Эйленберга до понятия многообразия П-алгебр с расщеплённым произведением в смысле Эйленберга (ер-алгебр), совпадающее с определением П. С. Колесникова в случае диалгебр. Это понятие позволяет ввести такие обобщения диалгебр, как, например, яр-алгебры Филиппова, яр-алгебры Бола и ассоциативные яр-пары. В последнем параграфе мы обращаемся к тернарным алгебрам Лейбница (см. гл. 5 и [114, 48]) — не(анти)коммутативному аналогу алгебр Филиппова (гл. 4) — и приводим различные классы алгебр, дающие тернарные алгебры Лейбница при помощи введения новой операции, связанной с исходной операцией алгебры. Во-вторых, мы рассматриваем некоторые алгебраические системы, приводящие к различным тройным системам, близким к ассоциативным. В качестве таких алгебраических систем мы берём некоторый класс алгебр, содержащий алгебры Лейбница-Пуассона, диалгеб-ры, конформные алгебры и некоторые тройные системы. Мы описываем все однородные структуры тернарных алгебр Лейбница, возникающие на диал-гебре. В качестве следствия мы находим структуру тройной лиевой системы на произвольной диалгебре, конформной ассоциативной алгебре и классически ассоциативной тройной системе. Также мы описываем на диалгебре все однородные структуры (е, (У)-тройных систем Фрейденталя-Кантора. Результаты третьей главы получены автором лично и опубликованы в [119, 122, 123].

Вопрос о нахождении надлежащего обобщения алгебр Ли на случай парной операции был поставлен ещё А. Г. Курошем в 1969 г. В качестве возможного такого обобщения он предлагал п-арную операцию, заданную на ассоциативной алгебре правилом: ш(хг, .,Хп)= (-1)^1 • • • Хапо

Однако свойства таких алгебр несколько далеки от свойств алгебр Ли. Более удачное обобщение было сделано В. Т. Филипповым в 1984 г. [22], где п-арная операция [•,.,•] предполагается кососимметричной по всем аргументам и такой, что операторы правого умножения являются дифференцированиями:

Данные п-арные алгебры были названы им п-лиевыми алгебрами, а в настоящее время они носят название алгебр Филиппова. Удачность данного обобщения подтверждается тем, что впоследствии эти алгебры возникали независимо в работах многих математиков и физиков. Мы упомянем два таких случая: 1) при п = 3 они (иод названием — кососимметричные тройные системы) появились в работе Дж. Фолкнера [56] в 1985 г. при классификации тождеств в тройных системах; 2) под названием Намбу-Лиевы "гебры" (алгебры) они появились в статье Л. А. Тахтаджяна [102] в 1994 г. — в этот раз источником их возникновения стала механика Намбу, предложенная Й. Намбу [86] как обобщение Гамильтоновой механики.

Класс алгебр Филиппова содержит такие объекты как векторную алгебру Ап+1 (см. далее) (п -+- 1)-мерного пространства и алгебру якобианов ассоциативной коммутативной алгебры А над полем. Любая п-арная алгебра Филиппова определяет бесконечное семейство "производных" алгебр Филиппова арности 2 < к < п, включающее в себя семейство алгебр Ли. В последнее время установлено множество взаимосвязей между алгебрами Филиппова и многими другими алгебраическими системами. Так, например, известна связь алгебр Филиппова с алгебрами Сейгла, а именно, ассоциированная тройная система алгебры Сейгла является тернарной алгеброй Филиппова, при этом простым алгебрам Сейгла соответствуют простые алгебры Филиппова.

По аналогии с алгебрами Ли, возникает естественный вопрос о существовании п-арных систем, играющих роль универсальных обёртывающих для алгебр Филиппова. Вопрос об обёртывающих алгебрах для 3-лиевых алгебр был поднят В. Т. Филипповым уже в 1988 г. [23]. Можно отметить, что подобный вопрос интересовал и А. Г. Куроша (см. выше).

Как отмечалось выше, одна из важнейших проблем для алгебр Филиппова состоит в классификации простых таких конечномерных алгебр. Первые примеры простых конечномерных п-лиевых алгебр характеристики 0 были построены В.Т.Филипповым в 1984г. Над алгебраически замкнутым полем любая (п + 1)-мерная простая такая алгебра изоморфна Ап+\ с базисом {в1,., еп+1} и таблицей умножения: [ех,., е*,., еп+{\ = (—1)п+1+гег. В 1993 г. У. Лин доказал, что с точностью до изоморфизма простая конечномерп г=1 ная алгебра Филиппова над алгебраически замкнутым полем характеристики О только одна — алгебра An+i. Однако аналогичная проблема в модулярном случае (характеристики р > 0) до сих пор открыта и является довольно сложной: как подтверждение этого служит тот факт, что классификация простых конечномерных алгебр Ли характеристики р > 3 над алгебраически замкнутым полем была получена совсем недавно. В теории модулярных алгебр Филиппова пока есть только некоторые серии простых таких алгебр, которые были построены в работах автора [109]. Дальнейшее развитие теория таких алгебр получила в работах автора [105, 106, 107, 108].

В четвертой главе изучаются обёртывающие алгебр Филиппова. В данной главе, логически продолжающей предыдущую, исследуется вопрос существования таких тернарных обёртывающих систем. Мы рассматриваем тернарные алгебры, у которых редуцированные алгебры являются ассоциативными, ассоциативные алгебры и ещё два класса тернарных алгебр как возможные обёртывающие алгебры. В частности, строятся различные обёртывающие системы для полупростых тернарных (ключевой случай) алгебр Филиппова из работ [105, 106, 107, 108]. В заключение главы выделяется ещё один класс обёртывающих, который представляет отдельный интерес — это класс А тернарных алгебр, возникающий из кватернионов; при этом тернарная простая четырёхмерная алгебра Филиппова Ai (аналог s^) возникает из А аналогично тому как si2 возникает из кватернионов. Мы изучаем тождества высоты < 2 алгебры Л, благодаря чему строятся обёртывающие для тернарных алгебр Филиппова из ассоциативных тройных систем второго типа. Результаты четвёртой главы получены автором лично и опубликованы в [113].

Вопрос о нахождении надлежащего обобщения других классов алгебр на n-арный случай также привлекает большое внимание. Так, множество попыток было сделано в направлении обобщения ассоциативных алгебр на случай га-арной операции. Наиболее известные такие обобщения — это ассоциативные пары и классически ассоциативные тройные системы. В неассоциативном случае — это альтернативные и йордановы пары. Заметим, что обёртывающие алгебр Филиппова тоже можно рассматривать как возможные перспективные обобщения ассоциативных алгебр. По аналогии с алгебрами Филиппова в работах автора [110, 114] и в работе X. М. Казаса, Ж.-Л. Лодэя и Т. Пирдшвили [48] было введено понятие n-арной алгебры Лейбница. Понятие ri-арной супералгебры Филиппова было введено в [51] под именем супералгебры Намбу. Однако до сих неизвестно ни одного нетривиального примера простой такой супералгебры. И. П. Шестаковым была поставлена следующая

Проблема 3. Классифицировать простые конечномерные супералгебры Филиппова над алгебраически замкнутым полем характеристики 0.

Простейшие подслучаи данной проблемы — это случай тривиальной нечётной части супералгебры (алгебры Филиппова) и случай тривиальной чётной части (n-арные алгебры Лейбница):

Проблема 4. Классифицировать простые конечномерные коммутативные п-арные алгебры Лейбница над алгебраически замкнутым полем характеристики 0.

В пятой главе изучаются n-арные алгебры Лейбница. Легко видеть, что не существует простых алгебр Лейбница, которые не являются алгебрами Ли. Действительно, если L является простой алгеброй Лейбница, то идеал, порождённый антикоммутаторами, является левым аннулятором в L, что и доказывает требуемое. В случае n-арных алгебр Лейбница ситуация является более сложной. В этом случае мы используем теорию представлений алгебр Ли для получения аналогичного результата в характеристике 0 (теорема 5.4.8 — решение проблемы 4). Отметим, что позднее этот результат был обобщён на случай произвольного поля: основываясь на [80], А. Элдуке в [55] доказал данную теорему при п — 3 и характеристике не равной 2,3, а X. М. Перез-Эскердо, П.Бенито и С.Мадариага в [39], используя йордановы пары и результаты А. И. Кострикина и Б. И. Зельманова, доказали теорему в случае простой характеристики большей п. Данная глава может быть рассмотрена как первый шаг на пути решения проблемы 3, поскольку п-арная коммутативная алгебра Лейбница является в точности n-арной супералгеброй Филиппова с тривиальной чётной частью. В этой главе мы также получаем некоторые результаты об ID-алгебрах (алгебры, у которых все операторы умножения являются дифференцированиями), обобщающих алгебры Филиппова и коммутативные n-арные алгебры Лейбница. А именно, мы показываем, что алгебры Ли Der(Ä) и Inder(A) действуют неприводимо на простой ID-алгебре А; если А конечномерна над полем характеристики 0, то Der (А) = Inder (А) и Der {А) полупроста. Также доказываем, что конечномерная /D-алгебра А над полем нулевой характеристики полупроста тогда и только тогда, когда А является прямой суммой простых идеалов. Результаты пятой главы получены автором лично и опубликованы в [114].

Результаты пятой главы сводят проблему описания простых супералгебр Филиппова к случаю нетривиальных чётной и нечётной частей. В шестой главе мы делаем следующий необходимый шаг для решения проблемы 3 — изучаем важный случай, когда супералгебра Ли умножений простой п-арной супералгебры Филиппова является супералгеброй Ли типа В(т,п). (Отметим, что аналогичная задача — случай А(т,п) — решена в работах автора и П. Бейтес [121, 130]; поскольку методы близки к случаю В(т: п), то этот случай не включается в главу.) Мы показываем, что задача классификации простых супералгебр Филиппова над полем ^ эквивалентна описанию следующих хороших троек (Ь,У,ас1): Ь — полупростая супералгебра Ли над .Р, V — точный неприводимый ¿/-модуль, а(1 — сюръективный Ь-модульный морфизм из А"-1!7" на присоединенный модуль Ь, а отображение (г>1,. ,уп) и-> ас1(у 1 А . А уп-г) уп из <8>пУ в V является суперкососиммет-ричным. Таким образом, проблема описания простых п-арных супералгебр Филиппова над Г сводится к проблеме нахождения хороших троек; и мы показываем, что в случае Ь = В(т, п) таких троек не существует. В этой главе мы также приводим некоторые результаты о разрешимых и нильпотентных супералгебрах Филиппова. А именно, мы даём определения /с-разрешимости и /с-нильпотентности и доказываем, что существует ^-разрешимый радикал и нильпотентный радикал М) супералгебры Филиппова Т\ более того, И и N инвариантны относительно дифференцирований если <ИтТ < оо; также мы доказываем теорему о полупростоте супералгебры Ли умножений простой конечномерной супералгебры Филиппова над полем характеристики 0. Результаты шестой главы опубликованы в [115, 118, 120] и получены автором лично, за исключением результатов о В(0,п) (случай нечётного порождающего), которые получены совместно с П.Сарайва.

В седьмой главе вводится и изучается объект обобщающий алгебры Филиппова — п-арные алгебры Мальцева. Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем Ф, на котором задана невырожденная симметрическая билинейная форма (•,•). Предположим, что на V определена п-арная полилинейная операция [•,.,•], удовлетворяющая соотношениям:

1) {[ах,., ап], щ) =0 для любых V, г = 1,., п;

2) ([ах,., ап], [аь ., ап]) = с1ег((а1, адля любых аь ., ап е V.

В этом случае V называется п-арной алгеброй векторного произведения. Классификационная теорема п-арных алгебр векторного произведения утверждает, что при п — 2 единственно возможными алгебрами векторного произведения являются простая трёхмерная алгебра Ли 2) и простая семимерная алгебра Мальцева С7; а при п > 3 — это простые алгебры векторного произведения Ап+1 и исключительные тернарные алгебры Мд, возникающие на восьмимерных композиционных алгебрах [45]. В седьмой главе по аналогии с алгебрами Филиппова, которые являются естественным обобщением алгебр

Ли на случай п-арной операции умножения, мы определяем понятие п-арной алгебры Мальцева и показываем, что исключительные алгебры векторного произведения являются тернарными центральными простыми алгебрами Мальцева, которые не являются алгебрами Филиппова, если характеристика основного поля отлична от 2 и 3. Далее мы описываем внутренние дифференцирования алгебр М8, показываем, что все дифференцирования алгебр внутренние, и строим корневое разложение алгебры Класс п-арных алгебр Мальцева обладает также следующими интересными свойствами:

1) он является расширением класса п-арных алгебр Филиппова, т.е. любая п-арная алгебра Филиппова является п-арной алгеброй Мальцева (ср. с алгебрами Мальцева, когда любая алгебра Ли является алгеброй Мальцева);

2) при фиксировании любой компоненты в умножении, т.е. определяя новую (редуцированную) операцию на векторном пространстве п-арной алгебры Мальцева А правилом ., хп-1] = [а , ,. . . , Хп—1 ], мы получаем (п - 1)-арную алгебру Мальцева.

Основной результат главы (теорема 7.3.5) гласит следующее: любая п-арная алгебра векторного произведения является центральной простой п-арной алгеброй Мальцева. Результаты седьмой главы опубликованы в [111], [112], [116] и [117]. Результаты получены автором лично, за исключением результатов о дифференцированиях в Мв, которые получены с П. Сарайва.

Отметим, что п-арные алгебры играют всё большую роль в современной науке. Так, алгебры Филиппова — это алгебраический аппарат механики Намбу. Общие лиевы тройные системы, близкие к алгебрам Филиппова, играют важную роль в современной дифференциальной геометрии и используются, например, при изучении некоторых обобщений симметрических пространств. Неассоциативные п-арные алгебры возникают в математической биологии [100]. Тройные системы служат, в частности, для построения и изучения простых бинарных алгебр: к примеру, Е. Н. Кузьмин применил теорию тройных лиевых систем к изучению простых алгебр Мальцева [9]. С.Окубо применил алгебры Филиппова для нахождения новых решений уравнения Янга-Бакстера. Различные тройные системы применяются для реализации исключительных простых алгебр Ли. Этими примерами мы ограничимся, хотя с каждым годом приложений п-арных алгебр находится всё больше и больше.

Благодарности

Пользуясь случаем, я хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному консультанту профессору И. П. Шестакову за всестороннюю помощь в работе. Хотелось бы отметить его огромное влияние на меня как в математическом плане, так и в человеческом — его многосторонние знания и доброжелательность не перестают восхищать. Также хотелось бы искренне поблагодарить д.ф.-м.н. В.Н.Желябина и чл.-корр. РАН В. Д. Мазурова за их постоянное внимание и помощь во всём. Я признателен д.ф.-м.н. Л. А. Бокутю и д.ф.-м.н. П. С. Колесникову за полезное обсуждение результатов данной работы. Я очень благодарен и хотел бы почтить светлую память моего учителя профессора В. Т. Филиппова, который поставил мне первые интересные задачи и был моим первым научным руководителем. Я также признателен Институту математики СО РАН и всем сотрудникам кафедры алгебры и математической логики НГУ за творческую и благожелательную атмосферу. Часть этой работы была также выполнена во время стажировки в университете г. Сан-Пауло, которому огромная благодарность за гостеприимство. Отдельные слова благодарности моей жене, Анастасии Пожидаевой, и моим родным, семьям Пожидаевых и Тихоновых, за их многолетнюю поддержку.

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (коды проектов 09-01-00157, 05-01-00230, 99-01-00499), Сибирского Отделения РАН (гранты N.1 и N.29 для молодых учёных и Интеграционные проекты N.1.9 и N.97), Совета по грантам Президента РФ (грант для ведущих научных школ НШ-344.2008.1), Фонда Содействия Отечественной Науке (программа "Выдающиеся учёные. Кандидаты и доктора наук РАН" за 2005г.), Фонда РАРЕБР, Бразилия (проекты 2008/50142-8, 00/06905-5).

Список обозначений

Далее символом == мы будем обозначать равенство с точностью до некоторого ненулевого множителя из основного поля, через х(^) —характеристику поля Р, а через (ги^; V € Т) — векторное пространство над Р, порождённое семейством векторов {и^; V 6 Т}.

Символ := обозначает равенство по определению, символ х над некоторым элементом х означает отсутствие х в рассматриваемом выражении, 5^ — символ Кронекера, N,2^ — натуральные и целые числа, соответственно; N0 := N и {0}; Ъп — кольцо вычетов по модулю п; Бп — симметрическая группа степени п; г — мнимая единица.

Символ < обозначает подсистему, а < означает идеал (однородный, в случае супералгебр).

Всюду далее, при отсутствии расстановки скобок, расстановка предполагается левопормированной, т.е. <11(12(13 . ап = (. ((аю^аз) • • -)ап

Пусть А = Ао © — некоторая супералгебра, (—1)ху := (—1)р(®)р(2/)} где р(х) — чётность х (р{х) — г, если х £ Л7); (—1)х,у,г '■— (—\)ху+хх+уг • Всюду далее, если в формуле появляется чётность элемента, то этот элемент предполагается однородным, т.е. лежащим в Лд и А\. Через Ы мы обозначаем тождественный оператор, а через Ьх и В,х — операторы левого и правого умножения на элемент х € А:

Ьх(у) := ху, 11х{у) := (-1)хуух (при левом действии); уЬх := (—1)хуху, уЯх := ух (при правом действии); (ж, у, г) := [ху)г - х(уг)\[х, у] := ху - {-1)хуух, х °У := \(ХУ + {~1)хуУх), х»у :=ху + (-1 )хуух.

Пусть Г — супералгебра Грассмана от порождающих 1, ., хп,., и Гп — подалгебра в Г, порождённая 1,Ж1,. ,жп, где допускается п = 0, т.е. Г0 = (1). Обозначим через Гщ подалгебру в Г (в Гп), порождённую всеми Х{.

Конец доказательства будем обозначать символом ■.

В. Г. Скосырскому

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Пожидаев, Александр Петрович, 2010 год

1. Блох A.M., Об одном обобщении понятия алгебры Ли, ДАН СССР 18, 3 (1965), 471-473.

2. Жевлаков К.А., Слинъко A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И., Кольца, близкие к ассоциативным, Москва, "Наука" (1976).

3. Желябин В.Н., Шестаков И.П., Теоремы Шевалле и Костанта для алгебр Мальцева, Алгебра и логика 46, 5 (2007), 560-584.

4. Зелъманов Е.И., Шестаков И.П., Первичные альтернативные супералгебры и нильпотентность радикала свободной альтернативной алгебры, Изв. АН СССР 54, 4 (1990), 676-693.

5. Кантор И.Л., Некоторые обобщения йордановых алгебр, Труды сем. по векторному и тензорному анализу v.XIII (1966), 310-398.

6. Кантор И.Л., Йордановы и лиевы супералгебры, определенные алгеброй Пуассона, в сб. "Алгебра и Анализ", изд-во ТГУ, Томск, (1989), 55-80.

7. Касимов Ш.М., К теории n-лиевых алгебр, Алгебра и логика 26, 3 (1987), 277-297.

8. Колесников П.С., Многобразия диалгебр и конформные алгебры, Сиб. мат. журн. 49, 2 (2008), 322-329.

9. Кузьмин E.H., Структура и представления конечномреных алгебр Мальцева, В кн. : "Исследования по теории колец и алгебр", Труды Ин-та математики СО АН СССР, Новосибирск, Наука, 16 (1989), 75-100.

10. Мальцев А.И., Простые подгруппы простых групп Ли, Изв. Акад. Наук СССР, Сер. Мат. 8 (1944), 143-174.

11. Мальцев А.И., Аналитические лупы, Мат. сб. 36(78), 3 (1955), 569 576.

12. Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А., Скорняков Л.А., Шестаков И.П., Общая алгебра, Том 1, Москва, Наука (1990).

13. Михалёв A.A., База свободных цветных супералгебр Ли, Вести. МГУ, Сер. 1, Математика, механика, 5 (1984), 94.

14. Михалёв A.A., Подалгебры свободных цветных супералгебр Ли, Мат. заметки 37, 5/2 (1985), 653-661.

15. Михалёв A.A., Подалгебры свободных р-супералгебр Ли, Мат. заметки 43, 2 (1988), 178-191.

16. Михеев П.О., Коммутаторные алгебры нравоальтернативиых алгебр, Квазигруппы и их системы, Мат. исследования, Кишинев: Штиинца, 113 (1990), 62-65.

17. Пчелинцев С.В., Специальность метабелевых алгебр Мальцева, Матем. заметки 74, 2 (2003), 257-266.

18. Размыслов Ю.П., Тождества алгебр и их представлений, М,: Наука (1989).

19. Скосырский В.Г., Строго первичные некоммутативные йордановы алгебры, в сб. "Исследования по теории колец и алгебр", Труды Института математики 16 (1989), 131-163.

20. Смирнов О.Н., Пример простой структуризуемой алгебры, Алгебра и Логика 29, 4 (1990), 331-336.

21. Смирнов О.Н., Простые и полупростые структуризуемые алгебры, Алгебра и логика 29, 5 (1990), 377-394.

22. Филиппов В.Т., n-Лиевы алгебры, Сиб. мат. журн. 26, 6 (1985), 126-140.

23. Филиппов В.Т., Обертывающие 3-лиевых алгебр, Ин-т математики СО АН СССР, Новосибирск, Препринт №5 (1988), 1-21.

24. Филиппов В. Т., Однородные тройные системы, В кн. : "Исследования по теории колец и алгебр", Труды Ин-та математики СО АН СССР, Новосибирск, Наука, 16 (1989), 164-183.

25. Филиппов В.Т., О п-лиевой алгебре якобианов, Сиб. мат. журн. 39, 3 (1998), 217-226.

26. Филиппов В. Т., Харченко В.К., Шестаков И.П., Нерешенные проблемы теории колец и модулей, Днестровская тетрадь, Изд-во ИМ СО РАН, Новосибирск (1993), 1-73.27 28 [29 [303132 3334