Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Желябин, Виктор Николаевич

• Желябин, Виктор Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Желябин, Виктор Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КОНСТРУКЦИЯ КАНТОРА - КЕХЕРА -

ТИТСА ДЛЯ КОАЛГЕБР

§ 1. Предварительные результаты

§ 2. Структуризуемые коалгебры

§ 3. Локальная конечномерность структуризуемых

коалгебр

§ 4. Слабо внутренние дифференцирования

§ 5. ККТ-конструкдия для йордановых коалгебр

§ 6. Подкоалгебры и коидеалы коалгебры (L(J), Д^)

ГЛАВА 2. АССОЦИАТИВНЫЕ И ЙОРДАНОВЫ

Д-БИАЛГЕБРЫ

§ 1. Ассоциативные Д-биалгебры

§ 2. Йордановы Д-биалгебры

§ 3. Кограничные йордановы биалгебры

§ 4. Симплектические формы на йордановых алгебрах —

ГЛАВА 3. СВЯЗЬ ЙОРДАНОВЫХ И ЛИЕВЫХ БИАЛ-

ГЕБР

§ 1. Йордановы Д-биалгебры типа А

§ 2. Йордановы Д-биалгебры типа H(A,j)

§ 3. Биалгебры Ли, связанные с йордановыми алгебрами

ГЛАВА 4. ЙОРДАНОВЫ АЛГЕБРЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ

СТРУКТУРУ Д-БИАЛГЕБРЫ

§ 1. Треугольные йордановы Д-биалгебры

§ 2. Йордановы Д-биалгебры, заданные на полупростых

йордановых алгебрах

§ 3. Йордановы алгебры, допускающие нетривиальную

структуру квазитреугольной Д-биалгебры

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли»

Введение

Актуальность темы. Йордановы алгебры впервые возникли в 1934 г. в совместной статье П.Йордана, Дж. фон Неймана и Е.Вигнера "Об алгебраических обобщениях формализма квантовой механики" [32]. Согласно предложенному ими формализму, наблюдаемой данной физической системе соответствует линейный самосопряженный оператор ф действующий в гильбертовом пространстве Н, а всякому состоянию, рассматриваемой системы, соответствует элемент s пространства Н. Одним из важных свойств самосопряженных операторов ф и ф является то, что их симметризованное произведение ф © ф = — \(фф + фф) — самосопряженный оператор. Введенная таким образом операция 0 на пространстве наблюдаемых уже не является ассоциативной, но удовлетворяет следующим равенствам:

ф ®ф = ф © ф,

(ф2 о ф) © ф = ф2 © (ф © ф).

В связи с этим возникла потребность в изучение алгебр над ассоциативным коммутативным кольцом Ф, содержащим | и, удовлетворяющим относительно умножения тождествам

ху = ух — коммутативность, (1)

{х2у)х = х2(ух) — йорданово тождество. (2)

Алгебры, в которых выполняются тождества (1) и (2), называются йордановы алгебры. Рассмотрим наиболее интересные примеры йор-дановых алгебр

1. Пусть А — ассоциативная алгебра. Тогда алгебра А^ с той же структурой Ф-модуля, что и А и симметризованным умножением х © у = \{ху + ух) является йордановой алгеброй.

2. Пусть (A,j) —- ассоциативная алгебра с инволюцией. Тогда алгебра симметрических элементов H(A,j) = {a G А\& = а} — подалгебра алгебры

3. Пусть V — линейное пространство над полем F, f : V х V И> V — симметрическая билинейная форма на V. Тогда прямая сумма линейных пространств F ф V с умножением

(а + a){¡3 + Ь) = (а/5 + /(а, Ь)) + (аЪ + /За)

является йордановой алгеброй. Эту алгебру называют алгеброй симметрической билинейной формы.

Интерес к йордановым алгебрам со стороны математиков связан с вещественным, комплексным и функциональным анализом [2], [3], [15],[33], [34], [27], геометрией [26], [17], проективной геометрий [28], [44], алгебраическими группами [45], другими классами алгебр и прежде всего с алгебрами Ли.

Так, например, М.Томбер [49] показал, что алгебра Ли типа Р4 реализуется как алгебра дифференцирований исключительной простой йордановой алгебры. Ж.Титс [47], [48] применил йордановы алгебры для построения исключительных алгебр Ли типа Ее, Е7, Ее- Развивая идеи Титса, М. Кёхер [35] и И.Л. Кантор [12] вложили произвольную йорданову алгебру в Z-гpaдyиpoвaннyю (3-градуированную) алгебру Ли = Ь-1+1/0+^1, где = 0 при \г\ > 1. Это вложение получило название конструкции Кантора - Кёхера - Титса (ККТ-конструкция), а алгбра Ь(3) присоединенной ККТ-алгеброй Ли.

Связь йордановых алгебр с 2-градуированными алгебрами Ли является двусторонней. Произвольной Z-гpaдyиpoвaннoй алгебре Ли Ь = + Ьо + 1/1 можно поставить в соответствие йорданову пару (Ь-иЬг).

Алгебры Ли Ап, Вп, Сп, Ее, Е7 обладают нетривиальной 3-градуи-ровкой, поэтому допускают построения и изучения с помощью йордановых алгебр (йордановых пар). Алгебры вг^^Ев не обладают 3-градуировкой, но обладают Z-гpaдyиpoвкoй вида Ь — Ь-2 + + +1/1 + 1/2. Для их изучения Б. Алиссоном [20] был введен класс струк-туризуемых алгебр, который по своим свойством близок к классу йордановых алгебр (каждая йорданова алгебра является структуризу-емой алгеброй). Как и в случае йордановых алгебр, произвольную структуризуемую алгебру (Л,]) ^ — инволюция алгебры А) можно вложить в й-градуированную алгебру Ли К({А,э)) = К-2 + + Ко~\- К1 + К2. Это вложение получило название конструкции Кантора - Алиссона (КА-конструкция).

Используя связь йордановых алгебр с Z-гpaдyиpoвaнными алгебрами Ли, Е. Зельманов [10] описал простые алгебры Ли с произвольной конечной ^-градуировкой.

Каждую алгебру А над полем Ф можно понимать как пару (А, т), где т — линейное отображение из Л® Л в Л, которое называется умножением и т(х®у) = ху. Если алгебра (Л,ш) принадлежит некоторо-

му многообразию алгебр, то умножение т удовлетворяет некоторым условиям.

Например, ассоциативность умножения га означает справедливость равенства

т(т <8> ъй — 1(1 <Э тп) — 0.

Если (Л, тп) — алгебра Ли, то умножение т удовлетворяет равенствам

тт = —тп — антикоммутативность

и

® т){%<1 + £ + £2) =0 — тождество Якоби .

Здесь г (соответственно £ ) линейное отображение пространства А <8> А (соответственно А® А® А) в себя, удовлетворяющее равенству (г(х ® у) = (у <8> х) (соответственно £(ж ®у ® г) = у ® г ® х).

Понятие коалгебра — двойственное понятие алгебры. Пара (А, А), где А — линейное пространство над полем Ф, а А : А —> А<Е>А линейное отображение, называется коалгеброй. Отображение А называется коумножением.

Коалгебра (А, А) называется ассоциативной, если коумножение А удовлетворяет равенству

(А ® гс? — гс? ® А)А = 0 — коассоциативность .

Если (А, А) — коалгебра Ли, то коумножение А удовлетворяет равенствам

г А = — А — антикокоммутативность

и

(гс£ + £ + £2)(гс£ <8> А) А = 0 — коаналог тождества Якоби .

Отметим, что понятие коалгебры Ли было определено Михаэлисом [38].

Пусть теперь (А, А) — произвольная коалгебра. Коумножение А индуцирует на дуальном пространстве А* структуру обычной алгебры над полем Ф, которая называется дуальной алгеброй коалгебры (А,Д).

Дуальная алгебра А* коалгебры (А,Д) задает бимодульное действие (•) на пространстве А. Рассмотрим пространство С = А ф А* и зададим на нем умножение, полагая

(а + /)(Ъ + д) = а-д + /.Ь + /д,

где а,Ь Е А, /,д €Е А* и /д — произведение элементов в алгебре А*. Тогда С является алгеброй над полем Ф и называется нулевым расширением алгебры А*.

Следующие условия для коалгебры (А, А) эквивалентны:

1) пара (А, Д) — ассоциативная коалгебра (коалгебра Ли),

2) дуальная алгебра А* — ассоциативна (лиева),

3) алгебра С — ассоциативна (лиева).

В 1993 г. X. Анкело, Т. Кортес и Ф. Монтанер [22] дали следующее определение коалгебры, связанное с некоторым многообразием алгебр.

Пусть М — произвольное многообразие алгебр. Тогда пара (Л, Д) называется М — коалгеброй, если дуальная алгебра А* принадлежит многообразию М. В частности, они показали, что следующие условия эквивалентны:

1) пара (А, Д) — йорданова коалгебра,

2) нулевое расширение дуальной алгебры А* является йордановой алгеброй.

Данное определение М - коалгебры в случае, когда М — многообразие ассоциативных (лиевых) алгебр согласовано с определением ассоциативной (лиевой) коалгебры.

Систематическое изложение теории ассоциативных коалгебр содержится в книгах М. Свидлера [46], Е. Абе [18], а также в обзоре В. Артамонова [1]. Один из основных результатов этой теории утверждает, что всякая ассоциативная коалгебра локально конечномерна. Михаэ-лис [38] показал, что для лиевых коалгебр аналог этого результата не имеет места. Необходимые и достаточные условия локальной конечномерности коалгебры Ли были найдены А. Слинько [42]. X. Анкело, Т. Кортес и Ф. Монтанер [22] доказали, что всякая йорданова (альтернативная) коалгебра локально конечномерна.

Здесь также следует отметить результат Михаэлиса [38],[39] который доказал аналог теоремы Пуанкаре - Биргоффа - Витта для коалгебр Ли и результат X. Анкело, Т. Кортес [24], утверждающей, что каждая двухкопорожденная йорданова коалгебра является специальной.

Как было отмечено выше между йордановыми и лиевыми алгебрами существует глубокая связь. Поэтому естественно возникает вопрос о наличии такой связи между йордановыми и лиевыми коалгебрами, а именно

Вопрос 1. Пусть («/, А) — йорданова коалгебра и J* — ее дуальная алгебра. Существует ли коалгебра Ли (Х, Д^) такая, что ее дульная алгебра L* является присоединенной ККТ-алгеброй Ли L( J*)?

Биалгебры Ли были введены В.Дринфельдом [б] для изучения решений классического уравнения Янга - Бакстера. Пара (L, А) называется биалгеброй Ли, если L — алгебра Ли, (X, А) — коалгебра Ли и коумножение А является 1-коциклом. Здесь следует отметить работу A.A. Белавина и В.Г. Дринфельда [4], в которой были построены решения уравнения Янга - Бакстера для простых алгебр Ли, а также работы [8], [9], [16],

Интерес к биалгебрам Ли мотивирован проблемой квантования. Выше было отмечен подход при описание алгебраического формализма квантовой механики, основанный на свойствах самосопряженных операторов гильбертового пространства. В настоящее время эффективно развивается и другой подход к описанию алгебраического формализма классической и квантовой механике, который был отмечен И. Сегалом [41] и Ж. Маккейем [36]. При этом подходе наблюдаемая является элементом а (не обязательно самосопряженным) С*-алгебры А, а состояние / — положительный элемент дуального пространства А*. Положительность элемента / означает, что f(a*a) > 0. Коммутативность алгебры А соответствует случаю классической механики, а сама алгебра А реализуется как кольцо С(Х) — непрерывных функций заданных на компактном хаусдорфовом пространстве X. Переход от классической механики к квантовой — замена (квантование) коммутативных алгебр некоммутативными. Грубо говоря, квантование коммутативной алгебры А над полем С — это необязательно коммутативная деформация алгебры А, т.е. ассоциативная алгебра В над C[[i]] такая, что В — свободный топологический С[[£]]-модуль, и В ft В = А. Если алгебра В задана, то коммутатор в В индуцирует на А новую операцию (скобку Пуассона), определенную формулой

{а, Ь] = £_1[а,6] mod t, (*)

где a,b £ А, а [а, b] — коммутатор в алгебре В. Таким образом, А становится пуассоновой алгеброй, т.е. ассоциативно-коммутативной

алгеброй с дополнительно операцией {, }, причем в алгебре А имеет место равенство {а&, с} = а{а, с] -+- {а, с}Ь. Поэтому, квантование нуассоновой алгебры А — это деформация В алгебры А над С[[£]] в обычном смысле такая, что скобка Пуассона на А, заданная равенством (*) совпадает с исходной скобкой.

Будем рассматривать состояния как элементы конечной группы <3, а наблюдаемые как функции, заданные на <7 со значениями в некотором поле Ф. Пусть Fгí7г((?) — алгебра наблюдаемых и Ф[(7] — групповая алгебра. Тогда .Ргт(Сг) реализуется как дуальная алгебра для коалгебры (Ф[(7], А), где коумножение Д определяется правилом А(д) = д ® д для д 6 О. Более того коумножение Д — гомоморфизм алгебры Ф[(7] в алгебру Ф[С] 0 Ф[С], а тройка (Ф[<3],т, Д), где т — умножение в Ф[Сг], является ассоциативной кокоммутатив-ной биалгеброй. Другой важный пример реализации ассоциативно-коммутативной алгебры как дуальной алгебры ассоциативной биалге-бры связан с универсальной обертывающей II(Ь) конечномерной алгебры Ли Ь. Как известно, II (Ь) допускает структуру ассоциативной биалгебры (точнее алгебры Хопфа) с кокоммутативным коумножени-ем Д, при этом А(1) = ¿<8>1 + 1®/ для I £ Ь. Поэтому дуальная алгебра и(Ь)* биалгебры (II(Ь), Д) является ассациативно-коммутативной алгеброй. Если, при этом, на алгебре Ь задана структура биалгебры Ли с коумножением Дь, то коумножение Дь индуцирует на алгебре II (Ь)* некоторую скобку Пуассона. Таким образом, квантование пуассоно-вой алгебры II(Ь)* — квантование биалгебры Ли (Ь, Д^) в смысле [7], [30].

Вопрос 2. Можно ли на йордановой алгебре 3 определить структуру биалгебры, которая индуцирует структуру биалгебры Ли на присоединенной ККТ-алгебре Ли !/(</)?

Важным классом биалгебр Ли являются треугольные и квазитреугольные биалгебры Ли, которые изучались в работах В.Дринфельда ([25], С. Мажида [37], В. Михаэлиса [40]), Д. Алексеевского и А. Переломова [19]. В. де Смедт [43] показал, что всякая конечномерная неабелева алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 допускает нетривиальную структуру квазитреугольной биалгебры Ли. При этом, как правило, полупростые алгебры Ли допускают структуру треугольной биалгебры Ли. В связи с этим, при положительном ответе на вопрос 2, возникают следующие две проблемы.

Проблема 1. Описать структуру йордановой биалгебры, заданную на конечномерной полупростой йордановой алгебре.

Проблема 2. Определить понятия треугольной и квазитреугольной йордановых биалгебр, согласованные с соответствующими понятиями для биалгебр Ли. Охарактеризовать конечномерные йордановы алгебры, допускающие нетривиальную структуру квазитреугольной йордановой биалгебры.

Цель работы — определить понятие йордановой биалгебры и изучить связи йордановых биалгебр с биалгебрами Ли.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти свое применение при исследованиях неассоциативных коалгебр, биалгебр и квантовых групп, а также при чтении алгебраических специальных курсов и подготовке учебников, монографий.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции " 1 - съезд математиков Казахстана" (Шымкент 1996 г.), на международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск 1997 г.), на семинаре "Алгебра и Логика" в Новосибирском государственном университете, на семинаре "Теория колец" им. А.И. Ширшова и семинаре "Алгебра и геометрия" Института математики СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, в том числе 4 журнальных статьи, 1 препринт и 1 - тезис выступлений.

Объем работы. Диссертация изложена на 131 страницах и состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит 49 наименований.

Содержание работы. В главе 1 устанавливается связь между йордановыми (структуризуемыми) коалгебрами и коалгебрами Ли, являющаяся аналогом конструкции Кантора - Кехера - Титса (Кантора - Алиссона) для обычных алгебр.

В § 1.1 приводятся необходимые сведения о структуризуемых алгебрах и доказывается, что каждая конечно порожденная структуризу-емая алгебра имеет конечную мультипликативную длину.

В § 1.2 определяется понятие структуризуемой алгебры. Основным результатом § 1.2 является

Теорема 1.2.1. Пусть (А, А,.?) — структуризуемая коалгебра и (А*,~) ее дуальная алгебра. Тогда (А, является структуризуемым (А*,- )-бимодулем.

Локальная конечномерность структуризуемых коалгебр доказана в § 1.3, а именно

Теорема 1.3.1. Пусть (А, А,у) —структуризуемая коалгебра над полем Ф характеристики не равной 2, 3, 5. Тогда коалгебра (А, А,.?) локально конечномерна.

Эта теорема обобщает аналогичный результат для йардановых коалгебр, доказанный в [22].

Центральным понятием, при построение ККТ-конструкции для йордановых коалгебр, является понятие слабо внутреннего дифференцирования.

Пусть (3, А) — йорданова коалгебра над полем Ф с \ иv — коеди-ница коалгебры («/, А). Подпространство В из «7 называется подкоал-геброй (соответственно коидеалом) коалгебры («/, А), если А (В) С С В®В (соответственно А(^) С У®3-{-3®У и у(У) — 0). Коалгебра (3, А) — локально конечномерна, т.е. любое конечное подмножество из 3 порождает конечномерную подкоалгебру. Пусть 3* — дуальная алгебра для (3, А). Тогда коединица коалгебры (3, А) является единицей алгебры 3*. Для подпространства V из 3 через У1 обозначим ортогональное дополнение У в пространстве 3*.

Определение. Дифференцирование ё, алгебры 3* будем называть слабо внутренним, если для любой конечномерной подкоалгебры В из 3 найдется такое внутреннее дифференцирование ¿, что имеет место включение 3*(й — г) С В±.

В случае структуризуемых коалгебр понятие слабо внутреннего дифференцирования определяется аналогично. Из данного определения следует, что каждое внутреннее дифференцирование алгебры 3* является слабо внутренним. Обозначим через (3*) линей-

ное пространство всех слабо внутренних дифференцирований алгебры 3*.

Как показано в лемме 1.4.1, линейное пространство '\¥нйс1ег(«7*) является подалгеброй алгебры Ли всех дифференцирований алгебры 3*.

Рассмотрим алгебру В(3) — нулевое расширение алгебры 3* с помощью «7*-бимодуля 3. Пусть 1пкс1ег(1)(3)) — алгебра Ли внутренних дифференцирований алгебры В(3) и Ь(Б{3), Шёег (£>(«/))) — присо-

единенная ККТ-алгебра Ли, а £(</*, У^н^с1ег(е/*)) — присоединенная ККТ-алгебра Ли для йордановой алгебры /* . Через !/(«/) обозначим идеал алгебры .£(£>(</), йпЛ<Зег(£>(1/))), порожденный пространством 3. Алгебра Ь(р(«/), 1п1с1ег(1)(</))) допускает автоморфизм 7Г порядка 2, оставляющей неподвижным пространство £(«/). Основным результатом § 1.4 является

Следствие 1.4.1. Пространство !/(</*,"УУпйс1ег(<7*)) является пространством всех линейных функционалов, заданных на пространстве

т-

Основной результат главы 1 утверждает, что пространство Ь(допускает структуру коалгебры Ли, а именно справедлива

Теорема 1.5.1. На линейном пространстве Ь{</) можно определить коумножение АI так, что коалгебра (£(«/), А^) будет коалгеброй Ли с дуальной алгеброй .£(«/*, \¥п^с1ег(</*)).

Теорема 1.2.1 дает положительный ответ на вопрос 1. Пусть (А, А,з) — структуризуемая коалгебра. Аналогичным образом, заменяя понятия для йордановых алгебр соответствующими понятиями для структуризуемых алгебр, можно построить пространство К (А). Тогда справедлива

Теорема 1.5.2. На линейном пространстве К{А) можно определить коумножение Аь так, что коалгебра (К(А), А^) будет коалгеброй Ли с дуальной алгеброй К((А*~ ), ЭДнйсЬг({А*~))).

И наконец, в § 1.3 изучаются коидеалы и подкоалгебры коалгебры

(тль)-

Пусть В — такая подалгебра 7*, что 1 ЕВ. Тогда, как известно (см. [28]), пространства

Ьг{В) =5ф Я(В) ф[В,В]фВи 12(В) = В ф ЩВ) © й(В) Ф В,

где ¿(5) = {с1 6 \Укгёс1ег(«/*)| В& С В}, являются подалгебрами в ЫАет(Г)).

Рассмотрим коидеал У коалгебры (</, А) и в пространстве Ь{/) рассмотрим подпространства

ь\{у) = уф д(У) © [V1,V] ©V и щу) = V©щу) ф<Г(У) фу,

где а*(У) = {и е [</*, У^У С У}. Тогда Ц(У) С Ц(У) и пространства Ь\(У), Ц(У) — замкнуты относительно ж.

Связь между коидеалами коалгебр (</,Д) и (¿(7), Дх) устанавливает

Теорема 1.3.1. Пусть V — коидеал коалгебры («/, Д). Тогда пространства Ь\(у) и ^(У) — коидеалы коалгебры (£(«/), Д_ь)> причем = ¿2^) и = Х^К1). Обратно, если I, — коидеал

в (1/(7), Д^}, замкнутый относительно отображения 7г и такой, что ЬСА^юУ = ЛМ> — коидеал в (7, Д) и Ц(У) С Ь С Ц(У).

Аналогичный результат справедлив и для подкоалгебр Пусть В — идеал алгебры 7*. В алгебре ¿(7*, \Уийс1ег(«/*)) рассмотрим пространства

11{в) = вещв)®[г)в]®ё и 12(в) = в®11(в)®р{в)®в.

Пространства 1\(В),1ъ{В) — идеалы в !/(«/*, \¥т!с1ег(«/*)).

Пусть В — подкоалгебра (*/, Д), а

/{■(я) = я ея(я)е[Лв]@в и /2*(#) = 5®д(в)ер*(Б)ев,

где р*(В) = {уе Гу С В}.

Теорема 1.3.2. Пусть В — подкоалгебра коалгебры («/, Д). Тогда пространства 1*(В) и Ц(В) — подкоалгебры коалгебры (£(«/), Д^}, причем ЩВ)1- = и ЩВ)1- = 1г(В1). Обратно, если I —

подкоалгебра в {£(,/), Д^), то В = А П / — подкоалгебра в 3 и С I С 1|(В).

Во второй главе определяются ассоциативные и йордановы биал-гебры по Дринфельду, называемые в дальнейшем Д-биалгебрами. В §2.1 дан критерий ассоциативной Д-биалгебры в терминах коумноже-ния.

Пусть А — ассоциативная Ф — алгебра. Зададим на пространстве А® А действие алгебры А, полагая а(6<8>с) = (Ь®ас) и (Ь®с)а = (Ьа<8>с). Нетрудно видеть, что при этом действие пространство А ® А является ассоциативным Л-бимодулем. Если а Е А, а Ь € А ® А, то положим [а, Ь\ — аЬ — Ьа.

Теорема 2.1.1. Пара (А, Д) является ассоциативной Д-биалгеброй тогда и только тогда, когда пара (А, Д) — ассоциативная коалгебра и коумножение Д удовлетворяет следующим равенствам:

Д(а6) = Д(а)6 + аД(6),

[а,тД(6)] = -г([6,тД(а)]).

Основным результатом §2.1 является

Теорема 2.1.2. Пусть А — ассоциативная некоммутативная конечномерная алгебра над алгебраически замкнутым полем Ф. Тогда А допускает нетривиальную структуру ассоциативной Д-биалгебры с кокоммутативным на центре коумножением.

Если Д — коумножение на А, то кокоммутативность А на центре означает т(А(г)) = Д(л) для любого центрального элемента z.

В §2.2 доказывается аналог теоремы 2.1.1 для йордановых биал-гебр, а именно

Теорема 2.2.1. Пусть характеристика поля Ф ф 2,3. Пара (7, Д) является йордановой Д - биалгеброй тогда и только тогда, когда пара (7, Д) — йорданова коалгебра и коумножение Д удовлетворяет следующим равенствам:

(Д <8> г<2 + {гй <8> Д)т + (т <8> <8> Д)т) (Д(6)(1 <8> а) 4- Д(а)(6 <8> 1)) = (Д <8> 1й)А{аЬ) + -Н{гс1 + г (2) г'с?)((1 <8> а <8> 1)(гс1 ® А)А(Ь) + (1 0 Ь <8> <8> Д)Д(а)) <8) т)((Д(а) (8) 1)(1 <8> Д(6)) + (Д(Ь) <8> 1)(1 <Е> Д(а))),

Д((а6)с) - Д(аЬ)(с <8> 1) - Д(с)(1 <8> аб) + Д(с)(а 0 Ь + 6 ® а) -—Д(ос)(6 (8> 1) - Д(6с)(а (8) 1) - Д(а)(1 ® 6с) - Д(6)(1 <8> ас) + + (Д(а)(с (8) 1))(6 <8> 1) + (А(Ь)(с <8> 1))(а <8> 1) + + (Д(а)(1 <8) с))(1 <8> Ь) + (Д(6)(1 <8> с))(1 <8> а) = 0.

В §2.3 выделен класс йордановых биалгебр, связанный с "йорда-новым аналогом" классического уравнения Янга - Бакстера. Пусть | 6 Ф и 7 — йорданова Ф-алгебра. Зафиксируем элемент г = £» <8> Ьг из (гс? — т)(7 <8>«/). Определим на 3 коумножение Дг, полагая Дг(а) = = а,о <8> 6» — о» <8> аб, . Рассмотрим элемент

С/(г) = ® Ь» ® + <8> Ьу 0 сца^ + ^ <8> «¿а,- <8> Ь,-).

у

Тогда имеет место следующая

Теорема 2.3.1. Пусть «7 — йорданова алгебра над полем Ф характеристики ф 2,3, г = £¿0, <8) 6,- и г (г) = —г. Предположим, что С3(г) — 0. Тогда пара (Дг) — йорданова Д-биалгебра.

В § 2.4 изучается вопрос о продолжение симплектической формы, заданной на йордоновой алгебре, на присоединенную ККТ-алгебру

Ли, а также о существование на йордановой алгебре J симплекти-ческой структуры, связанной с решением уравнения С/(г) = 0.

Обозначим через Ш<3ег(с7) — алгебру Ли всех внутренних дифференцирований йордановой алгебры J. Основным результатом §2.4 является

Теорема 2.4.1. Пусть 3 — йорданова Ф-алгебра, на которой задана симплектическая форма и. На присоединенной ККТ-алгебре Ли 7/(7,1г^с1ег(,/)) зададим форму шь, полагая

шь{а1 + а' + [с', ¿'} + Ъ[, а2 + У + [е', Я + Ц) =

= -ш(аи Ь2) - ш(Ьи а2) + Ь) + Ц(е, с^/), й) + ш(с, (е, й, /)).

Тогда — симплектическая форма на алгебре Ли .&(,/, Ъйс1ег («/)).

В третьей главе диссертации доказано, что для йордановой биалге-бры («7, А) классического типа структура йордановой биалгебры на 3 индуцирует структуру биалгебры Ли на присоединенной ККТ-алгебре Ли ¿(7).

Пусть А — ассоциативная Ф-алгебра с единицей 1. Через 1п1с1ег(А) обозначим алгебру Ли всех внутренних дифференцирований алгебры А. Пусть Ь(А^) — алгебра Ли, полученная по ККТ-конструкции из алгебры и алгебры 1п1с1ег(А) и А\ — подалгебра в Ь(А^), порожденная элементами 1,1', 1. Тогда справедлива

Теорема 3.1.1. Пусть пара (А, А) — ассоциативная Д-биалгебра и пара присоединенная йорданова Д-биалгебра. Предпо-

ложим, что коумножение А кокоммутативно на центре алгебры А. Тогда на алгебре Ь(А^) можно задать структуру биалгебры Ли с таким коумножением А^, что А^ согласовано с градуировкой алгебры Ь(Акоумножение А^ связано с и А^Ах) — 0.

В § 3.2 доказывается аналог теоремы 3.1.1 для йордановых биалгебр симметрических элементов

Пусть характеристика поля Ф не равна 2 и (А, У) — ассоциативная алгебра с инволюцией з и единицей 1. Рассмотрим йорданову алгебру 7 = Н(Асимметрических элементов. Через 8кгё<1ег(А) обозначим алгебру Ли всех внутренних дифференцирований алгебры А, определенных кососимметрическими элементами. Пусть — алгебра Ли, полученная по ККТ-конструкции из алгебры / и алгебры 81пМег(.А). Если на алгебре А задана стрктура ассоциативной Д-биалгебры и

Э — биинволюция, то на 3 можно задать структуру йордановой Д-биалгебры с коумножением А/, которое индуцирует структуру биал-гебры Ли на Ь(3), что и утверждает

Теорема 3.2.1. Пусть пара (А, А) — ассоциативная Д-биалгебра с биинволюцией у и единицей, а пара (/, А,/) — йорданова Д-биалгебра симметрических элементов. Предположим, что коумножение А ко-коммутативно на центре алгебры А . Тогда на алгебре Ь(3) можно задать структуру биалгебры Ли с таким коумножением А^, что Ах, согласовано с градуировкой алгебры !/(«/), коумножение Аь связано с и А£(А1) = 0.

Теоремы 3.1.1 и 3.2.1 частично отвечают на вопрос 2.

Обратная задача рассмотрена в §3.3. Пусть 3 — йорданова Ф-алгебра с единицей, И — некоторая алгебра дифференцирований алгебры <7, содержащая 1^ёег(«7) и 7, П) — присоединенная ККТ-алгебра Ли. Предположим, что пара (1/(7,I)), Д^) является биалге-брой Ли. Тогда справедлива

Теорема 3.3.1. Пусть характеристика поля Ф не равна 2, 3, коумножение Аь согласовано с градуировкой алгебры 1/(7,1)) и А (у4ц) = 0. Тогда алгебра 3 допускает структуру йордановой Д -биалгебры с коумножением А, причем коумножение Аь связано с А.

Глава 4 посвящена изучению структуры йордановой Д-биалгебры, заданной на конечномерных йордановых йордановых алгебрах.

В § 1 четвертой главы определяются понятия треугольной и квазитреугольной йордановых биалгебр и приводятся их примеры.

Далее в этой главе исследуются йордановы Д-биалгебры, определенные на полупростой конечномерной йордановой алгебре. Основными результатами § 4.2 являются

Теорема 4.2.2. Пусть 3 — полупростая конечномерная йорданова алгебра над алгебраически замкнутым полем Ф. Предположим, что на 3 задана структура йордановой Д - биалгебры с коумножением А. Тогда существует такой элемент г из (ъс1 — т)(3 <8> 3), что <^/(г) = 0 и А = Дг.

Теорема 4.2.3. Пусть Ф — алгебраически замкнутое поле. Предположим, что 3 = Н(Фз) и характеристика поля Ф не равна 3 или 3 = Н(Фг). Тогда 3 не допускает нетривиальной структуры йордановой Д-биалгебры.

И наконец, в §4.3 получена характеризация конечномерных йор-дановых алгебр, допускающих нетривиальную структуру квазитреугольной йордановой биалгебры, а именно доказана следующая

Теорема 4.3.1. Пусть 3 — конечномерная йорданова алгебра над алгебраически замкнутым полем Ф. Предположим, что 3 не является прямой суммой полей, алгебр Н(Ф2),Н(Фз), нулевых расширений поля Ф и алгебр с нулевым умножением. Тогда 3 допускает структуру квазитреугольной йордановой Д-биалгебры с ненулевым коумножени-ем.

Основные определения. Пусть Ф — поле. Для линейных пространств и в. V над полем Ф через 0 V обозначим их тензорное произведение над Ф. На пространстве V 0 V определим линейное отображение т, полагал т(£» а» <8> Ь,-) = Е» Ъг 0 щ. Обозначим через £ линейное отображение пространства V 0 V 0 V в себя, удовлетворяющее равенству <8> у <8> z) = 2/020 ж. Как обычно гс1 — тождественное отображение пространства V. Через V* обозначим пространство всех линейных функционалов заданных на пространстве V. Для элементов / Е V* и у Е V выражение {/, у) обозначает значение линейного функционала / на элементе V. Пусть рп : (У*)®" —(У®")* линейное отображение, определенное равенством

(рп(/1 0 • • • 0 /п),«1 О • • • <Э «п) = (/ь« 1> • • • </п,«п).

Отображение рп — вложение пространств. Поэтому элемент

Рп{1\ 0 • • • 0 /п) можно отождествить с элементом /1 0... 0 /„. Также

будем писать р вместо р2-

Определение. Пара (А, А), где А — линейное пространство над полем Ф, а А : А —> А 0 А линейное отображение, называется коал-геброй. При этом отображение А называется коумножением.

Как обычно, для элемента а из А будем использовать обозначение А (а) = Еа«(1) 0 а(2).

Рассмотрим теперь пространство А* и определим на нем умножение, полагая

(/#,«> = £(/>(!))(£'а(2))> а

где /,д Е А*, а Е А и А (а) = Еа«(1) 0 «(2)- Тогда пространство А* с заданным умножением является обычной алгеброй над полем Ф,

которая называется дуальной алгеброй коалгебры (А, Д). Очевидно, что (/д,а) = {р(/®д),А(а)).

Дуальная алгебра А* коалгебры (А,Д) задает бимодульное действие (•) на А, которое определяется следующим образом

/ • а = Еа(1)(/>а(2)) и а • / = £{./>(1))а(2)>

а а

где / € А* и Д(а) = <Е>а(2). Как легко видеть, для любых /,д 6Е

А* и любого а £ А выполнены равенства (/#, а) = {/, д • а) = (<?, о • /).

Линейное отображение 1? : А —Ф называется коединицей коалгебры (А, Д), если для любого элемента а из Л выполняются равенства а = Eiv(ali)a2i = Е; у(а,2г)ац. Коединица коалгебры (А, А) является единицей дуальной алгебры А*.

Подпространство В из А называется подкоалгеброй (соответственно коидеалом) коалгебры (А, Д), если Д(-В) С В (8> В (соответственно Д(У) С V <8>А -+• А <8> V). В случае, когда колагебра (Л, Д) имеет коединицу V, то как правило, требуют и{у) = 0.

Существует тесная связь между подкоалгебрами (коидеалами) и идеалами (подалгебрами) дуальной алгебры, а именно

Утверждение. Пусть (А, Д) коалгебра. Тогда В — подкоалге-бра (соответственно коидеалом) в (А, Д) тогда и только тогда, когда В-1 — идеал (соответственно подалгебра) в А*.

Пусть теперь Л — произвольная алгебра, на которой задано ко-умножение Д и А* дуальная алгебра для [А, А). Алгебра Л задает бимодульное действие (•) на пространстве Л*, определенное формулами (/ • а, Ь) = (/, аЬ) и (Ъ • /, а) = {/, аЬ). Рассмотрим пространство В [А) = А Ф А* и зададим на нем умножение, полагая

(а+ /)(& + <?) = (а6 + /-Ь +а •$) + (/£ +/•& + <*•$).

Тогда £)(Л) является обычной алгеброй над полем Ф, а Л и Л* — подалгебры в 1)(Л). Алгебру £>(Л) будем называть дубль Дринфельда. Определим на И (А) форму полагая

д(а + /,Ь + я) = <0,а) + </,6)

для любых /, <7 € Л* и а, Ь £ Л. Тогда ф — невырожденная симметрическая билинейная форма. Проверим, что ф — ассоциативная форма. Действительно,

д((а + /)(& + с + /г) = (Д, аб + / • Ь + а • + (/# + / • 6 + а • <?, с) =

= (/, Ъ' Н + 9 • с + Ьс) + (Ъ • к + дк + д • с, а) = <2(а 4- /, (Ь + д)(с + к))

для любых /, д, к £ А* и а, 6, с € А.

Приведем определение биалгебры Ли, данное Дринфельдом [6]. Пусть Ь — алгебра Ли над полем Ф. Рассмотрим линейное пространство Ь® Ь. Как известно, пространство Ь® Ь является лиевым ¿-бимодулем, если действие алгебры Ь на Ь®Ь определить равенством [к ® ¿2> (1 = [¿ъ ¿3® ¿2 +<8>[¿2? Ц- Предположим, что на Ь задано коумно-жение Л. Тогда пара (Ь, А) является биалгеброй Ли тогда и только тогда, когда (7/, А) — коалгебра Ли и коумножение А является 1 -коциклом, т.е. удовлетворяет равенству Д([а, 6]) = [А(а), 6] + [а, А(6)]. Справедлива следующая

Теорема (Дринфельд [6]). Пара (£, А) является биалгеброй Ли тогда и только тогда, когда В(Ь) — алгебра Ли.

Исходя из этой теоремы дадим следующие определение Д - биалгебры.

Определение. Пусть М — произвольное многообразие Ф-алгебр и А алгебра из М, на которой дополнительно задано коумножение А. Тогда пару (Л, А) будем называть М -биалгеброй по Дринфельду, если алгебра И (Л) принадлежит многообразию М.

Среди биалгебр Ли особою роль играют треугольные и квазитреугольные биалгебры Ли. Пусть Ь — алгебра Ли над полем Ф и Л = элемент из (гс[—т)(Ь<8)Ь), т.е. т(Л) — —Л. Определим на

алгебре Ь коумножение Ад, полагая Ад (а) = ® 4- а» ® , а]

для любого элемента а из Ь. Тогда коумножение Ад — антикоком-мутативно и является 1-коциклом. Дринфельд [253 показал, что пара (X, Ад) — коалгебра Ли тогда и только тогда, когда элемент

СЬ(Я) = [Ли, Яи] + [Ли, Л23] + [д13, #2з]

ас?-инвариантен (//-инвариантен). Здесь [#12, #13] = а^] 6^-,

[Л12, Дю] = ® [6£, а^] <8> 6j и [^13,^23] = Ег^а-г <8> Ц <2> В частности, если

№2, Ли] + [Ли, Л23] + [Ли, Л23] = 0, (3)

то пара (Ь, Ад) — коалгебра Ли. Уравнение (3) называется классическим уравнением Янга - Бакстера или уравнением треугольников. Так как т(Л) = —Л, то уравнение (3) можно записать в следующим

виде

¿С([а«> аз\ Ь] + ® Ь^ <Э [а», а,-] + ^ <£> [а», ау] ® Ь) = 0. у

Пусть теперь | € Ф и 3 — йорданова Ф - алгебра. Через </# обозначим йорданову алгебру с присоединенной единицей 1. Если 3 — алгебра с единицей, то будем полагать «/# = 3. Пусть е — нетривиальный идемпотент и N — подпространство в 3. Предположим еЛГ С N. Тогда

N = ^(е) + Щ(е) + Щ(е)

албертовское разложение пространства N относительно идемпотента е, где N¿(6) = АГ|же = гж}, аг = 1, 0.

Если 3 — конечномерная алгебра, а Ф — алгебраически замкнутое поле, то 3 — За®N(3) — полупрямая сумма полупростой подалгебры За и нильпотентного радикала N(3) (см. [28]).

Напомним конструкцию Кантора - Кехера - Титса для йордано-вых алгебр. Пусть а Е 3. Тогда через а' обозначим оператор правого умножения на элемент а. Линейное подпространство пространства Епс1ф(«/), порожденное операторами а' обозначим через ЩЗ). Если X — подмножество из то положим X' — {х'\х Е X}. Линейное отображение с1 : 3 —> 3 называется дифференцированием алгебры 3, если (аЬ)6 = (ас!)6 + а(6с1) для любых элементов а, 6 из «7. Каждое дифференцирование алгебры 3 естественным образом продолжается до дифференцирования алгебры </#. Если а,Ь € 3, то положим [а', &'] = а'Ъ' — У а! и а у Ь = (аЬ)' — [а', Ь']. Линейная комбинация операторов вида [аг, Ъ'] является дифференцированием алгебры 3 (см. [28]). Такие дифференцирования называются внутренними. Пусть х,ууг — произвольные элементы алгебры 3. Тогда справедливы следующие операторные равенства

х'у'х + г'у'х' + ((хг)у)' = (ху)'х' + (хг)'у' + (уг)'х\ (4) х'у'г + г'у'х' + ((хх)у)' = г'(ху)' + у\хх)' + х\уг)', (5) [(хУ)',г'] + [(хг)',У'] + [^)\х']=Ъ. (6)

Пусть Бег(,7) (Шаег(/)) — линейное пространство всех дифференцирований (внутренних дифференцирований) алгебры 3. Тогда пространство Бег(3) — алгебра Ли относительно операции коммутирования, причем 1п1с1ег(«/) — идеал в Т)ет(З). Ясно, что 1^с1ег(*7) = = Пусть теперь X) — подалгебра Ли алгебры Бег(7), со-

держащая 1^аег(<7) и «/# — изоморфная копия пространства «/#. Тогда В С Бег(«/#) и Ь^ег(«/#) С И. Рассмотрим линейное пространство

ь(з) = з*ф щз#) е и е Ж

Зададим на пространстве Ь{3) линейное отображение б, определенное формулой

е(а + Ь' 4- <1 + с) = с - У + в, + а,

где а, о, с ь 3*

Теперь определим на Ь{3) операцию умножения [,], положив

[ах + Ух + &1, а2 + У2 + Ь2] = а{У2 - а2У\ + Ь1б(У2) - Ь^Уг) + 4- ах V ~ а-2 V Ь + УтУг ~ УзУи

где а,-, 6,- 6 3#,Уг € Я(3$) Ф Д г = 1,2. Тогда пространство Ь(3) с введенной таким образом операцией умножения является 3 - градуированной алгеброй Ли. Через Ь{ обозначим компоненты £(♦/), где г = —1,0,1. Через А\ обозначим простую трехмерную подалгебру алгебры Ц</), порожденную элементами 1,1' и 1. Будем говорить, что алгебра Ь{3) получена по ККТ - конструкции из алгебры 3 и алгебры Б. В дальнейшем алгебру Ь(3) будем обозначать через Ь(3, И)

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Желябин, Виктор Николаевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Артамонов В.А. Строение алгебр Хопфа// Итоги науки и техн. серия алгебра, топология, геометрия , ВИНИТИ, (1991), 29, с. 3 -63.

[2] Аюпов Ш.А. Йордановы операторные алгебры// Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем., ВИНИТИ, (1985), 27, с. 67 - 98.

[3] Аюпов Ш.А. Классификация и представление упорядоченных йордановых алгебр// ФАН, Ташкент, Уз. ССР, (1986).

[4] Белавин A.A., Дринфельд В.Г. О решениях классического уравнения Янга - Бакстера для простых алгебр Ли// Функ. анализ и приложения, т. 16, No 3, (1982) 1 - 29.

[5] Дринфельд В.Г. Квантовые группы//3ап. науч. семин. ЛОМИ, (1986), т. 155, с. 19 - 49.

[6] Дринфельд В.Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалге-бры Ли и геометрический смысл классических уравнений Янга -Бакстера// ДАН СССР, 268, No 2, 1983, 285 - 287.

[7] Дринфельд В.Г. Алгебры Хопфа и квантовые уравнения Янга -Бакстера// ДАН СССР, 283, No 5, 1985, 1060 - 1064.

[8] Гельфанд И.М., Чередник И.В. Абстрактный гамильтонов формализм для классических пучков Янга - Бакстера// Успехи матем. наук, т. 17 No 2, (1983), 88 - 89.

[9] Гельфанд И.М., Дорфман И.Я. Гамильтоновы операторы и классическое уравнение Янга - Бакстера// Функ. анализ и приложения, т. 16, No 4, (1982) 1 - 9.

[10] Зельманов Е.И. Алгебры Ли с конечной градуировкой// Мат. сб., т. 124, No 2, (1984), с. 353 - 392.

[11] Зельманов Е.И. Алгебры Ли с алгебраическим присоединенным представлением// Мат. сборник т. 121(163), No 48, (1983), сс. 545561.

[12] Кантор И.Л. Некоторые обобщения йордановых алгебр// Труды семинара по векторному анализу, МГУ, т. 17, (1974), 250 - 313.

[13] Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона геометрия и квантование // М. Наука, (1991).

[14] Ч. Кэртис, И. Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр// Наука, М., 1969.

[15] JIooc О. Симметрические пространства// М. Наука, (1985).

[16] Семенов - Тян - Шанский М.А. Что такое классическая г-мат рица// Функ. анализ и приложения, т. 17, No 4, (1983) 17 - 33.

[17] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства// М. Мир, 1964.

[18] Abe Е. Hopf Algebras// Transl, from Jap., Cambridge Univ. Press, (1977).

[19] Alekseevsky D.V. and Perelomov A.M. Poisson and Symplectic Structures on Lie Algebras. 1// Max - Planck - Institut fur Mathernatic Bonn preprint, (1996), p. 25.

[20] B. N. Allison. "A class of nonassociative algebras with involu- tion containing the class of Jordan algebras"// Math., Ann., 237(1978), pp. 123-156.

[21] Allison B. N. and J. R. Faulkner J. R. "Nonassociative Coefficient Algebras for Steinberg Unitary Lie Algebras",// J. of Algebra, vol. 161, No 3, (1993) pp. 1-19.

[22] Anquela J., Cortes Т., Montaner F. Nonassociative Coalgebras// Comm. in Algebra, 22, No 12, (1994), 4693 - 4716.

[23] Anquela J., Cortes T. Cofree Coalgebras// Comm. in Algebra, 24, No 1, (1996), 357- 371.

[24] Anquela J., Cortes T. Speciality of Jordan Coalgebras// Comm. in Algebra, 24, No 1, (1996), 373 - 384.

[25] Drinfeld V.G. Quantum Groups// Proc. Int. Congress Math., Berkeley, (1986). Providence RI; Amer. Math. Soc., (1987), 798 - 820.

[26] Helgasson S. Differetial geometry andsimmetric space// Academic Press, New York, (1962).

[27] Honche-Olsen H., Stormer E. Jordan operator algebras// Boston e. a., Plenum, (1984), VIII, 183 c.

[28] Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebras// (Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, 39), Providence, Rhode Island, Amer. Math. Soc., 1968.

[29] Jimbo M. Quantum R-matrix for the generalized Toda system// Preprint RIMS-506, Kyoto Univ., (1985).

[30] Jimbo M. A q-difference analogue of U(g) and the Yang - Baxter equation// Lett. Math. Phys., 10 (1985) 63-69.

[31] Jimbo M. A q-analogue of U(gl(N+l)), Hecke algebras and the Yang - Baxter equation// Preprint RIMS-517, Kyoto Univ., (1985).

[32] Jordan P., von Neumann J., Wigner E. On an algebraic generalization of the quantum mechanical farmalism// Ann. Math., v. 36, No 1, (1934), 29 -64.

[33] Koecher M. Jordan algebras and their application// Univ. Mennesota Lecture Notes, Minneapolis, (1962).

[34] Koecher M. An elementary approach to bounded symmetric domains// Rice Univ. Lecture Notes, Houston, (1969).

[35] Koecher M. Imbedding of Jordan algebras in Lie algebras// Amer. J. Math., v. 89, No 3, (1967), 787 -816.

[36] Mackey G. Unitary Group Representations // Benjamin Inc., New York, (1978).

[37] Majid S. Physics for Algebraists: Non - commutative and Non - cocom-mutative Hopf Algebras by a Bicrosproduct Construction// Journal of Algebra 130, (1990), 17 - 64.

[38] Michaelis W. "Lie Coalgebras"// Adv. Math. 38, (1980), 1 - 54.

[39] Michaelis W. The Dual Poincare - Birkhoff - Witt Theorem// Adv. Math. 57, (1985), 93 - 162.

[40] Michaelis W. A Class of infinite - Dimensional Lie Bialgebras Con-tainig the Virasoro Algebra// Adv. Math. 107, (1994), 365 - 392.

[41] Segal I. Mathematical Problems of Relativistic Phisics// Amer. Math. Soc. Providence RI. (1963).

[42] Slinko A. Local Finiteness of Coalgebraic Lie Coagebras// Comm. in Algebra, 23, No 3, (1995), 1165 - 1170.

[43] De Smedt V. Existence of a Lie Bialgebra Structure on Every Lie Algebra// Letters in Mathematical Physics, 31, (1994), 225 - 231 .

[44] Springer T.A. The projective octave plane// Indag. Math., v. 22, No 1, (1960), 74 -- 101.

[45] Springer T.A. Jordan algebras and algebraic groups// Springer - Verlag, New York, (1973).

[46] Sweedler M. Hopf Algebras// W. A. Benjamin Inc., New York, (1969).

[47] Tits J. Une classe d'algebres de Lie en relation avec les algebres de Jordan// Nederl. Acad. Weten Proc. Ser. A, v. 62, No 3, (1962), 530 -535.

[48] Tits J. Algebres alternatives, algebres de Jordan, et algebras de Lie exceptionelle// Nederl. Acad. Weten Proc. Ser. A, v. 69, No 1, (1966), 223 -237.

[49] Tomber M.L. Lie algebras of type F4// Amer. Math. Soc., v. 4, No 5, (1953), 759 - 768.

Работы автора по теме диссертации

50. Желябин В.Н. Конструкция Кантора-Кехера-Титса для йорда-новых коалгебр // Алгебра и Логика, Т.35, No 2 (1996), 173-189.

51. Желябин В.Н. Структуризуемые коалгебры // Алгебра и Логика, Т.35, No 5 (1996), 503-517.

52. Желябин В.Н. Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли // Алгебра и Логика, Т. 36, No 1 (1997), 3 - 25.

53. Желябин В.Н. Йордановы биалгебры симметрических элементов и биалгебры Ли // Сиб. Мат. Журнал, Т. 39, No 2 (1998), 299 -316.

54. Желябин В.Н. Йордановы Д-биалгебры, заданные на полупростых йордановых алгебрах// препринт, НГУ, НИИ МИОО, (1998), с. 31.

55. Желябин В.Н. Конечномерные йордановы алгебры, допускающие структуру йордановой биалгебры // Алгебра и Логика, в печати.

56. Желябин В.Н. Йордановы биалгебры симметрических элементов и биалгебры Ли // в кн. 1 - сЪезд математиков Казахстана, Тезисы докладов, 1996, с. 180 - 181.