Алгебры общих элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Ильтяков, Александр Владимирович

• Ильтяков, Александр Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ильтяков, Александр Владимирович

Оглавление

Введение

Глава 1. Инварианты групп автоморфизмов

1. Алгебры общих элементов

2. Аффинные системы

3. Рациональные инварианты

4. Порождающие полиномиальные инварианты

5. Оператор Лапласа

6. Доказательство теоремы 1.3

7. Инварианты простых групп

Глава 2. Проблема рациональности

1. Предварительные результаты

2. Расширение

3. Список порождающих

4. Метод сечений

5. Алгебры С2 и В„

Глава 3. Теорема Кемера

1. Алгебры общих элементов

2. Линеаризация

3. Специализация некоммутативных многочленов

4. Разложение идеалов тождеств

5. Проблема Шпехта

6. Конечномерное вложение

7. Представимость относительно свободных алгебр

Глава 4. Тождества представлений алгебр Ли

1. Теорема

2. Тождества Капелли

3. Обобщенные лиевы модули

4. Каноническое разложение

5. Многочлен Гамильтона-Кэли

6. Тождества неприводимых представлений

7. "Контрпример"

8. Тип "контрпримера"

Глава 5. Конечность базиса тождеств в конечномерных алгебрах Ли

1. Линеаризация "контрпримера"

2. Неприводимый "контрпример"

3. Конечномерное вложение

4. Расщепление

5. Основная Лемма

6. Сортировка переменных

7. Заключительный шаг

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебры общих элементов»

Введение

Обычные многочлены от нескольких переменных над некоторым полем могут рассматриваться как математические объекты с разных сторон. Прежде всего, они являются линейными комбинациями "слов" (мономов) от нескольких "букв" (свободных порождающих), которые коммутируют между собой. С другой стороны, если поле бесконечно, то их можно отождествить с регулярными функциями на аффинном пространстве; в этом случае порождающие - это проекции на фиксированные базисные элементы, т.е., координатные функции.

Теперь предположим, что аффинное пространство Р параметризовано элементами некоммутативной (или даже неассоциативной) алгебры А, т.е., Р - это прямая степень А. Тогда координатные функции - это в точности общие элементы алгебры А; они содержатся в алгебре функций из Р в А относительно поточечных операций и подалгебра порожденная ими и есть алгебра общих элементов алгебры А. С другой стороны, эта алгебра является свободной во многообразии порожденном А, причем общие элементы играют роль свободных порождающих.

Типичным примером является алгебра общих матриц, играющая чрезвычайно важную роль в теории колец. Одним из первых и эффектных применений этой идеи является работа Амицура [3], где обобщается терема Гильберта о нулях на некоммутативный случай и доказывается теорема о нильности радикала Джекобсо-на конечно-порожденной ассоциативной алгебры удовлетворяющей нетривиальному полиномиальному тождеству (т.е., Р1 алгебры). Другой яркой иллюстрацией является пример алгебры с делением не являющейся скрещенным произведением [4], отметим также теорему Размыслова-Форманека о центральных многочленах матричной алгебры. Усилия в этом направлении привели к развитию теории ассоциативных Р1 алгебр [62, 70].

Алгебры общих элементов в неассоциативном случае используются также с давних пор. Они оказались полезными как в структурной теории некоторых классов алгебр (см., например, [42, 79]), так и в теории многообразий алгебр [9, 68], в частности, при описании тождеств конечномерных алгебр и их представлений [9, 68, 45].

Фундаментальный вопрос в классической теории инвариантов - описать порождающие алгебры полиномиальных инвариантов Р[У]а некоторой данной группы преобразований (5 конечномерного векторного пространства V над полем комплексных чисел (алгебраически замкнутым полем характеристики 0). Этот вопрос особенно важен, когда рассматривается диагональное действие некоторой группы

(? < ОЫу) на прямой сумме нескольких копий векторного пространства V, т.е., на кУ = V ф ... ф V (прямую сумму счетного числа копий мы обозначаем через V).

^ 1 V............ *

к

Ответ на этот вопрос хорошо известен в случае классических групп (специальной линейной, ортогональной, симплектической) [84]. В работе К.Прочези [61] (см. также [26, 59]) дано описание матричных инвариантов некоторых классических простых линейных групп в терминах многочленов со следом; более того, соотношения между порождающими описываются в терминах тождеств со следом матричной алгебры, доказывается, что они все следуют из тождества Гамильтона-Кэли (аналогичное утверждение было доказано Размысловым [65]). Этот результат является примером глубокой взаимосвязи между классической теорией инвариантов и теорией колец, см. также [7, 24].

В случае минимальных представлений исключительных простых линейных алгебраических групп на этот счет было известно совсем немного; порождающие были найдены только для типа (?2 [72, 75, 76]. Интересно то, что этом случае ответ, как и в случае матричных инвариантов, дается в форме многочленов со следом, и, таким образом, существенно использует умножение алгебры Кэли-Диксона, хотя по характеру само доказательство является совершенно другим. На самом деле, Г.Шварц в своей работе [76] ставит вопрос о "Кэли-теоретическом" доказательстве. Более того, минимальные представления для групп других исключительных типов также связаны с определенными простыми неассоциативными алгебрами, где возможность подобного описания инвариантов выглядит вполне реальной, однако, для этой проблемы требуется новый подход.

Первая глава посвящена описанию порождающих поля (алгебры) рациональных (полиномиальных) инвариантов системы векторов в некоторой простой алгебре А над полем .Р относительно ее полной группы автоморфизмов С = Аи^А).

В случае рациональных инвариантов рассматривается даже более общая ситуа/-ция, в которой А является алгебраической системой специального вида, а именно, векторным пространством над бесконечным полем Р с некоторым фиксированным набором полилинейных операций, которая содержит С-подмодуль V. Это позволяет рассматривать унифицированно неприводимые модули минимальной размерности над простыми исключительными линейными алгебраическими группами.

В §1.2 дается некоторое обобщение теоремы И.П.Шестакова [57] об алгебре общих элементов центральной простой алгебры (центральность в неассоциативном случае подразумевает равенство центроида основному полю) на случай системы общих элементов Тк{А, V) ранга к подпространства У в А.

На этой основе, с использованием критерия Розенлихта, характеризующего конечные множества порождающих поля рациональных инвариантов, в § 1.3 доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.2. Пусть А - конечномерная центральная простая система над алгебраически замкнутым полем Р характеристики нуль, обозначим через (? группу автоморфизмов АиЦА). Далее, пусть V - С-подмодуль А такой, что А порождается < к элементами из V. Тогда поле рациональных инвариантов Р(кУ)° равно С^к(У,А) (полю частных центроида А)).

В частности, в случае минимальных представлений исключительных простых групп, это позволяет описать порождающие поля рациональных инвариантов Р(кУ)а в терминах многочленов со следом, см. Следствие 1.1.

Вторая половина главы 1 посвящена одному методу нахождения порождающих полиномиальных инвариантов для некоторого широкого класса групп в терминах тождеств со следом и дифференциальных операторов определенного вида (операторов Лапласа). А именно, пусть А - конечномерная простая алгебра над полем комплексных чисел С и <7 = АЫ(А)\ кроме того, пусть и>(х,у) - это невырожденная ассоциативная симметрическая (^-инвариантная билинейная форма и предположим, что А имеет компактную действительную форму. Обозначим через А прямую сумму счетного числа копий А и рассмотрим произвольное множество 5 однородных порождающих подалгебры ш[А\ С С[А] порожденной элементами вида а>(«,и), где и, ь многочлены от общих элементов. Тогда алгебра инвариантов Спорождена многочленами /Аг... Дг, где / £ 5, Д^ - операторы Лапласа и £ > 0. (Теорема 1.3).

Условие выполняется, например, для простых лиевых алгебр (в частности, для минимального представления группы £8), для алгебры Алберта, что дает описание порождающих в случае группы Р4. К сожалению, неясно, как много операторов Д^ необходимо в указанной форме порождающих (ясно только, что 2£ не превышает степень /); по-видимому, ответ существенно зависит от конкретного случая. Так, в случае матриц и алгебры Кэли-Диксона, их можно легко исключить, что дает немедленно теорему Сибирского-Прочези [61, 26] о матричных инвариантах и теорему Шварца об инвариантах (?2 [75, 76].

Одной из наиболее трудных проблем в Теории колец является вопрос о рациональности поля частных центра алгебры общих матриц над основным полем, см. [22, 23, 70]. В случае алгебраически замкнутого поля характеристики 0 этот вопрос эквивалентен частному случаю известной проблемы в теории инвариантов о рациональности поля рациональных инвариантов относительно действия связанной группы, см. [59].

Основной результатом в главе 2 является Теорема 2.2 о рациональности поля частных центра алгебры общих элементов ^ь(А) алгебры Алберта для произвольного ранга к (совместный результат автора с И.П.Шестаковым), в диссертации это доказывается над бесконечным полем характеристики ф 2,3. В случае к < 2 это было ранее доказано С.В.Поликарповым в[58], где была вычислена и степень трансцендентности в общем случае. Как следствие, получается рациональность поля инвариантов системы векторов относительно простых линейных алгебраических групп типа Р4и Ев в их минимальных представлениях. Доказательство по характеру близко к работам Форманека [22, 23], где рассмотрен случай матриц порядка < 4.

В §2.4 — 2.5, на основе теоремы 1.2 и с использованием метода сечений, хорошо известного в бирациональной теории инвариантов, доказывается аналогичное утверждение для простых алгебр Ли типа С2 и Вп, п > 2, но уже только над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.

Понятие тождества играет фундаментальную роль в теории алгебраических систем, многие важные утверждения в той или иной степени используют язык тождественных соотношений. Эффективность такого подхода объясняется следующими

обстоятельствами. С одной стороны, утверждение записанное в терминах тождеств стабильно относительно основных алгебраических конструкций (декартовых произведений, факторсистем, подсистем), что позволяет переносит некоторые свойства относительно простых объектов на более сложные. С другой стороны, язык тождеств достаточно богат и может довольно точно описать основные характеристики некоторой данной алгебраической системы. Довольно популярной иллюстрацией в этом случае служит теорема Кушкулея-Размыслова о том, что конечномерные алгебры (в некотором широком смысле) над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 описываются своими тождествами с точностью до изоморфизма, [68].

Одной из центральных проблем в теории ассоциативных Р1 алгебр была проблема Шпехта [77] о конечности базиса тождеств для любой ассоциативной алгебры над полем характеристики 0. Усилия многих специалистов в этом направлении (см., например, обзор [10]) привели, в конечном счете, к положительному решению, данного А.Р.Кемером в [44]. Позже, на основе этой работы, он доказал более общий факт утверждающий, в частности, что относительно свободная ассоциативная Р1 алгебра конечного ранга канонически изоморфна алгебре общих элементов конечномерной алгебры [45].

Главы 3-5 посвящены положительному решению проблемы о конечном базисе полиномиальных тождеств в конечномерных алгебрах Ли над полем нулевой характеристики. На самом деле, основным утверждением является следующая, более общая теорема, сформулированная в терминах лиевых пар, см. [68].

Теорема 4.1. Пусть V — (А,Ь) - лиева пара, где Ь - конечно-порожденная алгебра Ли и А - обертывающая Ь, удовлетворяющая нетривиальному полилинейному тождеству (т.е., А - Р1 алгебра). Тогда Т{Р) порожден как слабый Т-идеал конечным набором многочленов.

Другими словами, теорема утверждает, что Р1 представление конечно-порожденной алгебры Ли имеет конечный базис тождеств, ср. [10, стр.182].

В главе 3 приводится адаптированное доказательство теоремы Кемера о представимости ассоциативной относительно свободной алгебры конечного ранга как алгебры общих элементов конечномерной алгебры. Хотя доказательство в своей основе близко к оригиналу, определенные технические утверждения заметно отличаются.

Два первых параграфа - вводные; в них, в частности, задача сводится к рассмотрению пары Т-идеалов Т(А) С Г, где А - конечномерная алгебра. В §3.3 определяется тип Т-идеала Г относительно А, это пара положительных целых чисел, характеризует "ненули" в А полилинейных многочленов из Г\Т(А), и тем самым, служит численной оценкой разницы данных Т-идеалов. Оказывается, тип допускает эквивалентное описание в терминах "нетождеств" алгебры А, см. предложение 3.2, и это является ключевым моментом в доказательстве теоремы Кемера.

В §3.4 дается некоторая конструкция конечномерных алгебр с "однородным" радикалом. Затем, в §3.5 вводится понятие "контрпримера"; хотя конечная ба-зируемость тождеств конечнопорожденной ассоциативной алгебры следует почти немедленно из теоремы о представимости, в тексте указывается, где рассуждение можно сократить и получить независимое доказательство. Это позволяет читателю

лучше ориентироваться затем в случае тождеств алгебр Ли, где получение аналога о представимости выглядит весьма проблематичным.

Доказательство теоремы ведется по индукции относительно типа; в § 3.6 делается очень важный шаг связанный с представимостью приведенно свободной алгебры по некоторому Т-идеалу специального вида лежащему между Т(А) и Г. Это сразу же дает утверждение о конечной базируемости; доказательство теоремы о представимости завершается в § 3.7.

Теорема о тождествах представлений алгебр Ли, сформулированная выше, доказывается в последних двух главах.

Глава 4 носит подготовительный характер. Как и в ассоциативном случае, используя слабые тождества Капелли, мы сводим задачу к проблеме стабилизации возрастающих цепочек слабых Т-идеалов по модулю некоторой конечномерной лиевой пары. Вообще говоря, параллель относительно ассоциативного случая может быть продолжена довольно далеко без особых проблем. Однако препятствие все-таки появляется и оно настолько существенно, что заставляет расширить класс лиевых пар и ввести в рассмотрение классы многоосновных алгебраических систем, обобщенных лиевых модулей, ШТ^ ,., где я, г - некоторые натуральные числа характеризующие сигнатуру. Такой переход не позволяет доказать аналог теоремы о представимости, но оказывается эффективным в вопросе о конечной базируемости тождеств.

В ассоциативном случае хорошо известные утверждения о расщеплении конечномерной алгебры на "простые" составляющие (теорема Веддерберна-Артина об отщеплении радикала, разложение нолупростой алгебры в прямую сумму простых идеалов, пирсовское разложение) играют решающую роль. Некоторый аналог такого расщепления для обобщенных лиевых модулей вводится в § 4.4. В последующих двух параграфах, на основе этого разложения, даются некоторые технические факты о многочленах Гамильтона -Кэли и тождествах неприводимых лиевых модулей, необходимые впоследствии.

Далее, в §4.7 вводится понятие "контрпримера"; он тоже имеет форму пары Т-идеалов Т(А) С Г, где А - конечномерный обобщенный лиев модуль. Последний параграф посвящен определению типа; отметим, что в этом случае он уже является не парой натуральных чисел, а элементом вполне-упорядоченного множества построенным индуктивно из финитных последовательностей натуральных чисел. Это отражает тот факт, что теория конечномерных представлений полупростых алгебр Ли является заметно сложнее в сравнении с ассоциативным случаем.

Собственно доказательство теоремы содержится в последней, пятой главе. Так же, как и в ассоциативном случае, используется индукция по типу "контрпримера": предполагая его существование, мы строим "контрпример" меньшего типа. Это делается по-этапно, в §5.1 — 5.2 данный "контрпример" заменяется на другой, некоторой оптимальной формы (в работе он называется неприводимым).

Далее, в § 5.3 рассматривается важный случай, когда между Т(А) и Г имеется Т-идеал специального вида, позволяющего представить его как идеал тождеств конечномерного обобщенного лиева модуля. Это дает другой "контрпример" с меньшим значением типа.

Наиболее важное место - это последние 4 параграфа, которые определяют структуру доказательства в целом; аналогия с ассоциативным случаем здесь просматривается уже очень слабо. СИ метим главное техническое утверждение, Основную Лемму из § 5.5; ее можно сопоставить Предложению 3.2, однако ее роль состоит, говоря приблизительно, в детальном описании "препятствия", мешающего обобщению теоремы Кемера о представимости (хотя и не доказывает, что это невозможно). Более того, она становится основой конструкций в заключительных двух параграфах для перехода в некоторый, вообще говоря, другой класс обобщенных лиевых модулей Шк>,я',г' с "контрпримером" меньшего типа.

Отметим, что этот метод оказался полезным и в классе альтернативных алгебр, для которого было доказано аналогичное утверждение [30].

Результаты диссертации докладывались на Международной Алгебраической Конференции памяти А.И.Ширшова (Барнаул, август 1991), на Всесоюзной Конференции по Теории Колец, Алгебр и Модулей (Львов, август 1990), на Конференции по Йордановым Алгебрам (Обервольвах, Германия, август 1992 и февраль 1996), на Третьей Международной Школе по Неассоциативной Алгебре (Овъедо, Испания, июль 1993), на Конференции по Теории Ли (Сидней, Австралия, ноябрь 1994), на 15-ой Алгебраической Конференции штата Виктория (Мельбурн, Австралия, ноябрь 1997), на Национольном Симпозиуме по Алгебраическим и Аналитическим методам в Теории Ли (Канберра, Австралия, декабрь 1997), на семинаре "Алгебра и Логика" в Новосибирском госуниверситете, на Ширшовском семинаре теории колец и семинаре по кольцам близким к ассоциативным (Институт математики СО РАН), на семинаре кафедры алгебры Московского госуниверситета, в Софийском университете (Болгария), в университете г. Сарагоса (Испания), в Австралийском Национальном университете (Канберра), в университете г.Сидней (Австралия), в Национальном университете Сингапура, в университете Париж VI (Франция).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ильтяков, Александр Владимирович, 1998 год

Литература

[1] Allison, B.N., Models of isotropic simple Lie algebras, Comm. Algebra, 7(1979), 1835-1876.

[2j Allison, B.N. and Faulkner, J.R., A Cayley-Dickson process for a class of structurable algebras, Trans. AMS, 283 (1984), no.l, 185-210.

[3] Amitsur, S.A., A generalization of Hilbert Nullstellensatz, Proc.Amer.Math.Soc., 8 (1957), 649-656.

[4] Amitsur, S.A., On central division algebras, Isr.J.Math., 12, no.4 (1972), 408-420.

[5] Anan'in A.Z., Representability of noetherian finitely generated algebras, Arch.Math., 59, 1992, 1-5.

[6] Aronszajn, N., Creese, Th.M., Lipkin, L.L., Polyharmonic functions, Oxford Math. Monographs, Oxford University Press, 1983.

[7] Artin, M., On Azumaya algebras and finite dimensional representations of rings, J. Algebra, 11, 1969, 532-563.

[8] Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю., Тождественные соотношения в конечных кольцах Ли, Сиб.Мат.Ж. 96 (1975), 543-559.

[9] Бахтурин Ю.А., Тождества алгебр Ли, Наука, Москва, 1985.

[10] Bakhturin, Yu.A., Ol'shanskij, A.Yu., Identities, Encyclopaedia of Math.Sci., 18, Algebra II, Springer-Verlag, 107-234.

[11] Бейдар К.И., К теоремам А.И.Мальцева о матричных представлениях алгебр, Успехи Мат. Наук, 41 (1986), по.5 (251), 161-162.

[12] Богомолов Ф.А., Стабильная рациональность фактор-пространств для односвязанных групп, Мат.. сборник, 130, по.5 (1986), 3-17.

[13] Braun, A., The radical in a finitely generated Pi-algebra, Bull.Am.Math.Soc., 7, 385-386.

[14] Brown, R.B., Groups of type E7, J.Reine Angew. Math. 236 (1969), 79-102.

[15] Curties C.W., Reiner I., Representation Theory of Finite Groups and of Associative Algebras, New Jork, London, Intersience publ., Wiley, 1962.

[16] Dixmier J., Enveloping Algebras, Berlin: Acad.^Verl., 1977.

[17] Днестровская Тетрадь, Нерешенные Проблемы в Теории Колец и Модулей, Новосибирск, 1993.

[18] Дренски B.C., О тождествах алгебр Ли, Алгебра и Логика, 13(1974), 265-290.

[19] Дренски B.C., Представления симметрической группы и тождества линейных алгебр, Мат.Сборник, 115, no.l (1981), 98-115.

[20] Dolgachev, Igor V., Rationality of fields of invariants, Proc. Symp. Pure Math., 46, part 2, AMS, Prov., R.I., 1987.

[21] Encyclopaedia of Mathematics, 5, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, Boston, London,

[22] Formanek, E., The center of the ring of 3 x 3 generic matrices, Lin.Mult.Alg. 7(1979), 203-212.

[23] Formanek, E., The center of the ring of 4 x 4 generic matrices , J.Algebra 62(1980), 304-319.

[24] Formanek, E., Invariants and the Ring of Generic Matrices, J.Algebra, 89 (1984), 178-223.

[25] Freudenthal, H., Sur le groupe exceptionnel Ej, Nederl. Akad. Wetencsch Proc. Ser. A, 57 (1954), 218-230.

[20] Гуревич, Г.В., Основы теории алгебраических инвариантов, Гостехиздат, Москва, 1948.

[27] Hilbert D., Ueber die vollen Invariantensysteme , Math.Ann., 42 (1893), 473-534.

[28] Humphreys J., E., Introduction to Lie algebras and representation theory, GTM 9, Springer.

[29] Ильтяков А.В., Шпехтовость многобразий PI представлений конечно-порожденных алгебр Ли над полем характеристики 0. Тезисы VI Всесоюзной Школы по теории многообразиям алгебраических систем., Магнитогорск, 1990.

[30] Ильтяков А.В., Конечная базируемость тождеств конечно-порожденнных альтернативных PI алгебр, Сиб.Мат.Ж. 31, по.6 (1991), 87-99.

[31] Iltyakov, A.V., Oil finite basis of identities of Lie algebra representations, Nova Journal of Algebra and Geometry 1, no.3 (1992), 207-259.

[32] Iltyakov, A.V., TV ace polynomials and Invariant Theory , Geometriae Dedicata, 58 (1995), 327-333.

[33] Iltyakov, A.V., On invariants of the group of automorphisms of Albert algebras,Comm.Algebra, 23(11), 4047-4060 (1995).

[34] Iltyakov, A.V., Shestakov, I.P., Invariants of and the center of the Albert algebra, J.Algebra, 179 (1996), no. 3 (1996),838-851.

[35] Iltyakov, A.V., On Rational Invariants of the Group E6, Proc. AMS, 124 (1996), no.12, 3637-3640.

[36] Iltyakov, A.V., On algebras of generic elements of simple Lie algebras, Comm.Algebra, to appear.

[37] Iltyakov, A.V., Laplace operators and polynomial invariants II, Research report 97-27, Univ. of Sydney, School of Math.Stat., 1997.

[38] Iltyakov, A.V., Laplace operators and polynomial invariants, J.Algebra, to appear.

[39] Jacobson, N., Some groups of transformations defined by Jordan algebras II, Groups of type F4, J.Reine Angew. Math. 204 (1960), 74-98.

[40] Jacobson, N., Some groups of transformation defined by Jordan algebras III, Groups of type Ец, J.Reine Angew. Math., 207 (1961), 61-85.

[41] Jacobson N., Lie Algebras, New Jork, Academic Press, 1962.

[42] Jacobson, N., Structure and Representations of Jordan Algebras, Amer. Math. Soc. Colluq. Publ. 39, Providence, 1968.

[43] Кемер A.P., Тождества Капелли и нильпотентность радикала конечно-порожденной PI алгебры, Док. АН СССР, 255 (1980), 793-797.

[44] Кемер А.Р. Конечная базируемость тождеств ассоциативных алгебр, Алгебра и Логика, 26(1987), 597-641.

[45] Kemer A.R., Ideals of Identities of Associative Algebras, Transl. Math. Monogr., 87, AMS, 1991.

[46] Kemer A.R., Identities of associative algebras, Proceedings of the International Congress of Math., Kyoto 1990, v. I, 351-359.

[47] Kraft H., Gcomctrichc Methoden in dcr Invariantentheorie, Erieder.Vieweg. Sohn, Braunschweig/Wiesbaden, 1985.

[48] Красильников A.H., Шмелькин А.Л., Конечность вазиса тождеств конечномерных представлений разрешимых алгебр Ли, Сиб. Мат.Ж. 29(1988), по.З, 78-86.

[49] Кушкулей, А.Х., Размыслов, Ю.П., Многообразия, порожденные неприводимыми представлениями алгебр Ли, Вестник МГУ, Сер.мат., мех. , 1983, по.5, 4-7.

[50] Kuz'min, E.N., Shestakov, I.P., Nonassociative structures, Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Algebra VI, Berlin, New Jork: Springer, 1995.

[51] Levin J., Matrix representations for associative algebras, Trans. Amer. Math. Soc., 188(1974), 298877.

[52] Мальцев А.И., Алгебраические системы, "Наука", Москва, 1970.

[53] Neumann, Н., Varieties of groups, Springer-Verlag, New-York, Berlin, Heidelberg, 1967.

[54] Nicolesco, M., "Les Fonctions Polyharmoniques", Hermann, Paris, 1936.

[55] Oates, S., Powell, M.B., Identical relations in finite groups. J.Algebra ,1, no.l, 11-39.

[56] Onishchik, A.L., Vinberg, E.B., "Lie Groups and Algebraic Groups", Springer-Verlag, 1990.

[57] Поликарпов, С.В., Шесгаков И.П., Неассохщативные аффинные алгебры, Алгебра и Логика, 29, по.6 (1990), 709-723.

[58] Поликарпов, С.В., Свободные аффинные алгебры Алберта, Сиб.Мат.Ж., 32, по. 6 (1991), 131141.

[59] Popov, V.L., Vinberg, Е.В., Invariant Theory , Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Algebraic Geometry IV, Springer-Verlag, 55, 1994, 123-284.

[60] Popov, V.L., Analogue of M.Artin's conjecture on invariants for non-associative algebras, Lie groups and Lie algebras: E.B.Dynkin Seminar/ editors Gindikin, S.G, Vinberg, E.B., AMS, Providence, R.I., 1995, 121-143.

[61] Procesi, C., The Invariant Theory of n x n-matrices, Adv. Math., 19 (1976), 306-381.

[62] Procesi, C., Rings with polynomial identities, M.Dekker, New York, 1973.

[63] Размыслов Ю.П., Об одной проблеме Капланского, Изв. АН СССР, Сер.мат.ЪЧ, по.З (1973), 483-501.

[64] Размыслов Ю.П., О конечной базируемости тождеств полной матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль, Алгебра и Логика, 12, по.1 (1973), 83-113.

[65] Размыслов Ю.П., Тождества со следом полных матричных алгебр над нолем характеристики нуль, Изв. АН СССР, Сер.мат., 38, по.4 (1974), 194-215.

[66] Размыслов Ю.П., Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр, Алгебра и Логика 13, по.6 (1974), 685-693.

[67] Размыслов Ю.П., О радикале Джекобсона в PI алгебрах, Алгебра и Логика, 13, по. 3 (1974), 337-360.

[68] Размыслов Ю.П., Тождества Алгебр и их Представлений, "Наука", Москва, 1989.

[69] Richardson, R.W., Conjugacy classes of гг-tuples in Lie algebras and algebraic groups, Duke Math. J. 57(1988), 1-33.

[70] Rowen L.H., Polynomial Identities in Ring Theory, Academic Press, Boston, 1980.

[71] Rowen L.H., Ring Theory, Academic Press, Boston, v. 1-2. 1988.

[72] Симония B.T., Первая фундаментальная теорема в теории векторных инвариантов исключительной группы Ли 02, Сообщения АН Груз. ССР, 24, по.6, 641-648.

[73] Schafer, R.D., Introduction to non-associative algebras, Academic Press, New York, 1966.

[74] Schafer, R.D., Structurable algebras, Proc.Inter. Conf. Algebra, p.2 (Novosibirsk, 1989), 135-148. Contemp.Math., p.2, AMS, Prov., RI, 1992.

[75] Schwarz, G.W., Invariant Theory of G2, Bv.ll.Amer.Moth.Soc. 9 (1988), 335-338.

[76] Schwarz, G.W., Invariant theory of G2 and Spiny, Comment. Math. Helvetica, 63 (1988), 624-663.

[77] Specht, W. , Gesetze in Ringen I, Math.Z. 52 (1950), 557-589.

[78] Springer, Т., Invariant Theory, Lect. Notes Math. 585, 1977.

[79] Жевлаков К.А., Слинько A.M., Шестаков И.П., Ширшов А.И., Кольца, близкие к ассоциативным, "Наука", Москва, 1978.

[80] Вайс А.Я., Зельманов Е.И., Теорема Кемера для конечно-порожденных йордановых алгебр, Известия ВУЗов, 1989, по.6, 42-51.

[81] Василовский С.Ю., Базис тождеств йордановой алгебры билинейной формы, Труды Инст. Мат. СО АН СССР, 16 (1989), 5-37.

[82] Vaughan-Lee M.R., Varieties of Lie algebras, Quart. J. Math. Oxford Ser. 21(1970), 297-308.

[83] Vladimirov, V.S., Equations of Mathematical Physics, Marcel Dekker, N.Y., 1971.

[84] Weyl, H., The Classical Groups, Princeton Univ. Press, Princeton, 1946.