Строение максимальных идеалов в кольцах мер со сверткой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Шрейдер Ю.А.

• Шрейдер Ю.А.
• 1950

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Строение максимальных идеалов в кольцах мер со сверткой»

Пусть дана коммутативная топологическая груша ^^ . Ш рассмотрим совокупность комплексна: вшлнв аддитивназс функций О1 J с ограниченным изменением, определенна для веезс боре« левсмвг шюнвств ш группе ^^ .

Тккие функции мионеств ш будем в дальнеШем тшвашь. мерами. как, очеввдно, вещественная и мнимая части мерк (у(£) такие являются вголн© аддитивными иерщщ и шевт ограншенное изменение, то ( .од , теореш 14.1 ) функция ^(Е) щиед-ставима в веде: где ^ 5Сз ^СГ^ - неотрицательные вполне аддитивные функции множеств, при этом См сшпулярна^к С-? , а сингулярна к С^ • ♦ Изменением мери в" на мш&естве. мы будете шшвать сумму ишенений ее действительной и мтшш частей. Очевццно, что

ГхпЕСУ=<?1(Е)->-<Гг(Е)+- О^Е^СП^Е) (г)

Мера СУ шзывается абоолвотко нвпрерыашй отшсктедьш мера (3^ или "подчиненной к С^ , если для воякого множества Е , да которое изменение С^ равш нулю, измеиенке О' тагае равно нулю.

Если мера не о тр ицате льная, то шио для любого множества § С ввести понятие верхней и ншией меры относительно <2 следующим образом: где ьп берегся по всем боредевским ьшозеотвам, содержащим £ < содер&ащигоя в £ ),

Если ^ (£) ~ ( £) , то шдакество б шаьвается аз-меримым относительна У

В случае произвольной меры (У ; гшсжестьэ £ шшше;-ся измершш относительно О* , если б ивмердоо отшей* те ль но кандой иэ мер СГ^ } } СГ3} С^ , участвующих- в равенстве (1). Значены© (Г^бО определяется естественным обра-зон.

Совокупность мер ш группе превращается в &ашхово : пространство » вот в качестве норш мерв ввести ее полную варуацюо.

Мл укажем сейчас общ^ вод линейного функциошла в простраи

Я,

CTB0 (ГС^, „ для случая аряьюй это Шло сдедаш Артемешо f5j , но и в этом случае указанный здесь еод лшей-яого фушцкокала, повццшому, удобней, для пользования*

Определение 1 ■ Обобщенной фрикцией q^q* (é) шшвается та- , кая функция от точки ~t и 'Мв^ы ^ » которая для какдой меры С' почти всюду ш Cf совпадает с леки торой шмеримой1 относительно (3° {Е) функцией от "^^Шяи мера (У абсолютш непрерывт относительно меры Qi » то почти всцду ш мере СГ' шполнено двойство

Теорема 1: Всякий линейный функционал oC'l&J в пространстве (Í^-Oí, задается формулой где Яф/ некоторая обобщенная функция, удовлетворяющая условию: с1 и

Функционал

Обратно, всякая обобщенная функция, удоадетворящая уояови» (5 ), определяет функционал в Л <>£ .

Доказательство: Рассштрш шд^острашгю (Я.о* состоящее из всех- мер С, годчлне инн* \некоторой тложительгоЙ иер© (У . Согласно теореме Радона-Шкодша прост^аисгю

Я (У изометричш пространству суммвдешх функций относительно меры сУ в силу соотношений: • = (?) в пространстве £П о^, порождает функцштл в подпространстве Л с . Ш, как известно-, всякий функциошл в пространстве сушируешх фикций по мере СК определяется?' измериггай по СГ Функцией имеющей конеятШ "иогин-шй максимуы" и-норда, которого определена как функция определена таким образом для все* полоаительншг мер СТ7 .

Для про изволь юймерв шз положим

РИУ^Ш ^ О) где для каждого множества £г мера определена как полное изменение мер»! СГ' на множестве

Согласно построенш, есть обобщенная функция и линейный функционал ¿£«{.<5^ определен равенством (4).

Покажем, что для норш фудоцдошла; справедливо равенство (5). В самой деле, с одной сторона, IIИ у^р ^^с /^Ш} (и)

С другой стороны, ПОЛОЕ ИВ =: ^^ Ж*/* т получаем, что для всякого £ > 0 существует неотрицательная мера О-7 такая* что

ЛЯе^ ¿имс * С")

Рассмотрим шюяество ¿Г с * состоящее аз точек -ь . для; ко тори* £ .

-Мяменение мерз , О"' ^ этом множестве заведомо отлично от нуля, ибо в противном случае ш бы шел и что противоречит неравенству (11).

Представим множество в воде сугда кшЕеса»

Е1- - • так№г, что при ~Ь в Е^

Хотя бы на одном из множеств Ек изменение мера О"' отлично от нуля. Пусть это будет, иапршер, шюнество Е1 .

Обоэшчим черев О"1 проекцию мери сг' ш шше стэо 1

Иначе говоря^ мера оггределена равенством где через обозначет характеристическая функция мшяестБа ' %

Теперь ш имеем: , « ¡гл./ I £<:?}/ = / / && < °'/> О II СРП г

9-2г)тхЁт II^ гдо

В силу произвольности в шборе £ и оI , ш тлучаем отсюда * .

II£11 >(2=^ ■ (И)

Нф тим доказывается теорема.

Банахово пространство ^О^ превращается в коммутативное нормированное кольцо, если задать умшжеше (сверту) формулой у (ПЕ-гуЦ^ (и) йта формула ик-еет следующий сшсл: Шя рассштрмваэм меру , сщш-нутого множества О'(Е-'Ь) , как функцию точки ~Ь- , и интегрируем по мере > результат равен некоторой фикции множества

Мн покажем, что интеграл (14) существует для всякого боре« ' левского множества £ и умножение, сдаваемое формулой (14), коммутативно.

- о

Благодаря соотношенш (1) наше утверждение достаточно доказать -зш^для неотрицательны мер и ,

Рассмотрим прямую суиму групш с ообо» и зададим там меру как произведение мер СГ1 X ^^ { саг. )•'

Элементами группы являются пары . рассмотрим борелевское множество ЁГ ^^ . Множество £ , состоящее из пар, удовлетворяющие.условию "¿-/-.Ь Г :» является боре левок ш в ., а» следовательно, ишеришм по произведению шр .

В самом деле, группа есть прямая с^гша подгрупщ пар вода и подгруппы пар эцца . Множество £ состоит из всеуг элементов Ь)^¿б^ур) для которик проекция ш принадлежи? иноке сггву ^ , то есть "Ь -ЬЬ б£Г , а проекция ш. О^г. Ч-оиавольш.- 1&ким об^ разом, при указанном разложении групш ж пряше слагаемые ;мнаяество окашвается прямой сушой двух боредевским множеств, т.е., борелевским мнагествоы в .

Шчислим теперь меру ьша&ества 6 С ^ . Применяя теорему Субши ( гж„ »' теорема 9, 10 .), шг получаем* А Г сг/ / таким образом,--интеграл (14) имеет, сшсл. С другой стороны,'. ■

Г^^Ыш-^Г, (и) что докапывает кошутатиЕИостьуытжения з

Для того,чтобы окончательно убедиться, что пространство ' (¡{.(и образует нормированное кольцо, щвж> еще проверить оОЫчное 4 условие ш гошу

Для положительных мер О' и инеем, очеацдш, и )|Я(/]|5: следовательно, т-щгц = г^у-ф]*^ У(у-) -и** УН так как свертка положительных мер, очешздао, тоже, шлонитэльна. По» согласно (1 )> - % - +1

- 22 иъиш - Шки)(г,т\и миги с,* так как все меры (У I ■■ положительш.

Т&ким образом* равенство (17) доказано.

§ Основные теореш о строении максавадыш ццеалов t

Мы займемся изучением иакешальных ццеалов в кольце íí t. введенном в предыдущем параграфе. В общойтеорш ттфтазшш нормированных колец ( си. £1} ) доказано, что фактор-кольцо такого кольца ш шкеодальному щцеалу есть тело гоиплексиаьгс чисел. ким образом, наша задача сюдится к изучению гошмэрфившв кольца в тело комплексиь&с чисел.' °

Определение 2: Обобщеншм характером наакваедгея обобщенная функция Х(у & ) » удовяетшряющая уравнений; для- все* пар кроме, быть шнет, шэжества меры нуль отшеитель-но произведения мер и условию.:

Заметш, что ив определения обобщенного характера отшщь не следует существование такого инэлгеотва Ешлйэй меры по О-' , чтобы равенство ) шел© место для всех точек "Ь и , пршадлежащаг шоэеству £ .

Оказывается, всякому гомошрфшму JV кольца s тело комплексшх чисел соответствует обобщэншЁ характер JC(y¿~t) , так что гомошрфивм

S4 задается формулой:

SHio'} = jXo.it) ^ (Г (п)

В дальнейшей нам понадобятся две лешш, которые ш сейчас докажем.

Леша 1: Пусть а - две меры из кольца » мера С* ^ V сЦ^Ь)- произвольшяфуикция,- тогда шеет место равенство

Зимину (2*) причем существовала интеграла в одной да частей, равенства влечет за собой: существование интеграла в,другой части.равенства.

Доказательство: В силу фэрмуле (1), достатокю рассаяатри* > вать шложительше меры С и ч Б этом случае, д? свертка таше является шложительной: мерой. Каждому множеству Б на группе У* шеш поставить. в со -ответствие множество Ь . на прямой оушъ , состоящее ие всех- пар , для которое сумма £ £ .

В случае, когда шюкество Е - боредевское, ншвеотв© Ы** как указывалось уке в концо предодущегопараграфа, так&е-явдяет« ся бореле векш, а.еяедовательно, мэмерншм то произведению мер

СГХ^ .

Мы сейчас показ ем, что для любого ншершого отшеительш меры множества $ ш группе соотввтстйувцее мш ж ест во ч/} ш г^ямой суше ишеримо го .проиэведеншо мер . , • ^

Шы достаточно доказать равенство где ншняя грань берется по всем борелевским мшкеотвам а верхняя по всем борелевскиы шокествам с ' .

7&к как множество ивмершлэ относительно ^ , то по определениюгц) где ншняя грань берется ш всем боре л е векш штоагествам Е^Я а верхняя грань ~ ш всем боредевскш мшжеезвам С /) . •

Равенство (22) в сочетании с формулой (15) предыдущего параграф дает: о, ') с**) гг V^-^о с другой сторош, шеем очеводше неравенства:

Ц (Г*У) (Е1) * Щ а такне

Сопоставляя равенства (23), (24), (25), мы получаем искомое ра-веиство

Тккш образом, мшжество $' , состоящее ш пар ^Ь] г удов летворявдцюг условию + 5 , измеримо отшеительш ороиз^ ведения мерСХ*^ . Обратно, если мншество С / пар ¿"6; Ь) такик,; что €-С . измершэ относительно О^Х^Р" , то ьшо нество С ишершо относительно мэры (Г** ^^^ и ~ г

Этот <|акт непосредствеиш усматривается ив пршенеыия теоре ш (Бубини к интегралу

ГоСфЫг/ ¿ЦУ= Щ

ТЬкш образом^ сушв Лебега »/ £ ^ ^ определяющие оба интеграла в равенстве (20), оэвпадают довательно, пределы таких сумм существуют одновременна* Леша доказана.

Лемма 2: Пусть > ^- полокительш© " функции шааеств ; нуоть (У ■ а. У - абсолютно непрерывны относительно Со и, соответственш, Уо , тогда мера у - абсолютно непрерывна относительно .

Доказательство лешш Будем говорить* что функция шшест-ва удовлетворяет относительно шлааштелыязй фушцш множества условш Липшица, есш существует тстоянтя

X такая* что для любого мшкеагна £ , измеримого по J'^ , имеет место неравенство причет* мгонество £ шмериш по мере ^ ,

Fis те ope ш Шкодша х ) легко швести, что для того»1 чтобы ^У/г J была абсолютно. непрерывна отшсительт ^s, C^J ; необходимо ш достаточно,- чтобы существовало последовательность Функций множеств, удовлетворяюще условш Лшшвда отш сите ль но , осодягдаяся по норме к ^(Ф .

В силу условш леммы, существуют две шеледовательшети ^СГиЗу и ЧЯД » ©годящиеся одна, к G*' ^ а другая к и такие, что для любого борелевского штества ^

1к.(£)(<¡%ге)¡<х(щ> тогда у) ГГ

См. ссылку на стр, Э .

Тынам образом* дли любого взмершого по шзкества Е (Е)1 < ж I

ТЬв как у-//«II <к*¥к-<Ъ< У//+то последовательность "^и, - сходное по норме К у согласно сказанному ваш, это значит, что абсолютно непрерывна относительно шри . Деша доказаш. Теорема 2: Пусть

Л {с} - проиэвольдай гомоморфизм кольца ^ о^. в тело комплексных чисел, тогда существуем обобщенны!? характер Хсуб^) » такой что

Обратно, для всякого обобщентго. характера формула

19') определяет не которой гомоморфизм кольца .

Согласно общей теории шршфованшу колец (. см. [1] и [2] гомоморфизм Л кольца ^^ В тело комплексны^ чисел является линейдоз функционалом с нормой, равной единице,- и, следовательно, допускает представление вода:

Г 2 э;

Мы найдем сейчас необходимое и достаточнее условие на обобщенную функцию X <У , что<Й£ о та фэрмула определяла некоторый гомошрфивм кольца э-р . Заметш, прекде всего, что так как для каждой мера суще с тйу е т полоните ль нал мера (Е) (.шапршер, шлшя вариаций, меры (Г' га мшнествв Е ), относительно которой О'С&У абсолютно непрерывна, и так как почти веящу ш (Г* Х<уШ , го достаточно искать условие на обобщенную функцш ЖуИд , считая меру положительнойё

Пусть, теперь, мерз <3^ и ^о полон ительни, а (У ш ^ , соответственно, абсолютно непрерывны относительно под Согласно5 лемме «?, свертка (Г * ^ абсолютно непрерывна относительно мерк

По определению. гомоморфизма имеем; . Или в развернутом воде: •

Применяя к правой части теорему Фуо'ини, а к левой - лещу V, по-лучаем:

Я ^<г<4Г-/ргИ

Тёк как равенство (32) справедливо для ¡шбйэг СГ" и ^ , абсолютно непрерывны* относительно С0 и » то почти ваэду по произведению мер СГ^ осмотрим теперь произвольную шлокительну» меру О^ и определим меру равенством , . ;

Ьк как почти всйщу^ и

Хсг в где С - единица кольца • Ясно, что меры шв^Ь*^ абсолютно непрерывны относительно друг друга.

Полоним теперь в равенстве (33) О^^Чъ- ^ , тогда ш имеем = (гв)

Ткк как 0*1 абсолютно непрерывна откосительш , то для почти всех пар (^ь)

Х(,(и)

Тан им образом, ш пришли к яуншму функциональному уравнению для обобщенного '/адаптера.

Обратно, всякий обобщенный характер порождает некоторой гош< морфиэм кольца {Я.^^. Действительно, н^/кш лишь проверить, что свертке мер соответствует произведение интегралов типа (£9 ).1Ь из уравнения (18) для обобщенного характера легко вывести условие (33), а тогда по лещ® 1:

Xу. С^ -- // Xу. С** Ъ =

Условие

ХГккч, ИА-во^С I Л Iу ММ получается ив того, что нэрма соответствующего функционала равна единице. "Теорема доказана.

Естественно йало бы предположить, что утверждение теореш шйно усилить,например, следугацш образом: для всякой меры тйдется тако?г характер,- то есть фикция X , удовлетворяющая уравнению • : ;; ; . что почти всщду ш (У обобщенный характер

Xo.Lt) ^ХШ .

Можно пи отроить пршер, гакашвающий, что это утверждение да-верно.

Теорема ¿3; Пусть «Л.<р

Ш - обобщенный характер,- тогда совокупность тех мер О7 , для которых X <уСЬ) - О ч почти всюду по , образует адеал С^^^Г» а те меры ^ , для кото-РЫК X \ifft) отличен от нуля шчти всюду относительно т/г , к а образуют подкольцо '^ шльца чХ.О^' .

Доказательство: Ясш, что совокупность мер О^ , для кото-рык обобщенный характер ^Хо^) - О шчти всюду ш образует подпространство 'З кольца

ТЪ не мокно скаг-зать про совокупность мер , для которык 'ХуЩШ почти вскщу по ^ отлкмен ОТ 1&ЯЯ. Покажем, что С/ есть ццеал в

Яо^ . Пусть ^ = , тогда для всякого шакества , согласно леще 1 и теореме имеем

-о¿гЧ -Ц ь (зь) г+ььЕ так как ^ Ш О . Отскща следует, что

Предположим, что почти всюду относительно мерк ^ •Х-хр-Ц) отличен от нуля ш почти везоду отшсительш меры ) то, если бы выполнялось равенство О для веек точек множества , имеющего не^лев^и шру относительно» то мы пришли бы к протиш|>ечао. Б сашм деле, будем считать меры и Ч^Г положителььши < ишче бы ш шгли раесштра-шть иу полные вариации, отчего значения обобщенного характера остались бы преаниш* ). ЗЬгда для лккзйх мер ^^ и 'У , абсолютно непрерывных* соответственно, отмэоительш ш получаем по лемме 2, что - ^ 1 * абсолютш непрерывна относительно мерк ^ , и ш сделанному %едщ>лшшш» но ма Цсрмуш <ЭД) теперь следует равенство: Ъкт образом*- произведение да неко* • тором множестве ненулевой ш проивведению мер . Следовательно, хотя, бы один из оошзокителей .(.пусть для- определен-1 ; иости ото Х^бО 5 равен нулю на мшзестве £ 1 ненулевой мере по ^^ • следует,- что когда

Л{Г(Е)фО.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Установим рдц простых1 свойств,. построение адеала я годюльца. . . . ,. ' .

1) Ццеал и под кольцо^ .взаимно. сингулярны. ¿что эт-чит, что если и ^ » то меры и син-гулярш, т.е. существует борелевекое множество , такое что изменение равно нулю. №. а иааенеше равно нулю т дополдании к Е± .

Действительно, в противном случае существовала <$а отлшдая I от нуля Функция множеств О^ , абсолютно непрерывная как от-носите ль но + так ш относительно . ЗЬгда, о одной стороны, почти воеду с другой сторода,

ЗС о^.) ^ почти эсюду отличен от нуля, ¿яг© противоречие убездает те в справедливости первоначальшго утверждения*

2) Всякая вполне адцитившя функция мшжеетва однозначно представила в вцце еумш - + ,где &

Для доказательства рассмотрим обобщенный характер Лсу СО Обозначим черев Е у мшаеотво тез? точек » для которых Х,<у (гЬ) = О а через Е дополнение к Е? ^ . Обозначим, далее, череэ характеристикескую функцию шящеотва £у '•, а через - характеристическую функцию шшестт Е:ц ,

Ясно, что мера СГ^ (ё) -^^^ принадлежи^ даалу С/ , а мера О^ (9) = цршадленит шдкольцу .

Кроме того, =

Однозшчшсть такого представления следует из доказанной ош-гуляршсти адеала и подкольца.

3) Мера, сосредоточенная в точке, левит в подкольце ,

Обозначим единичную меру, сосредоточенную в точке *

Ь ^^^ » ^огда ~(Уо ; ® мера О'о есть единица кольца, следовательно, элемент кольца ишет обратшй- •* в кольце Л^и,8шчйт, не шкет содеркаться ни в каком щеале, отличном от всего кольца . Так как ццеал ^ эаведош не совпадает со всем кольцом ¡Я^. , зго стало-быть ¿Г ^ , Полоним СГ^с С^+О^ * ш доказанному шшэ <3^ фо , ш так как (У^ абсолютна непрерывна отшсительш , то а, следовательно* мера всодиг в год* кольцо

4) Вместе о каждой мерой 0* (£) как в надкольцо Н. , так и в ццеал вводят все "сщвш^дае" керн О". сто следует из только что доказанного свойства-, так как ^

У(Е-Ь) =(У±*С(Е) где 04 - есть единичная мера, сосредоточ ениая в точке . 3. Связь кольца с группе выл кольцом групш г-'1ы займемся вдесь изучением колец (Н, о^ для случая/ когда в группе существует ииварианпзая мера ( ш. Майков [о] )* подгруппе некоторой локально-комшктноВ групш со второй аксиомой счетшсти.

Пусть * шварта нтшя мера на ^^ , обладающая свой ствами, перечиояеийзмм в указанной монографии Райкова. Обоашчш через (К совокупность мер, абсолатш непрерывных отшоительш инвариантной мера . 1Ьгда каждая функция множества О по теореме Ведона-Никсщша шеет вад с(45) где д 1-6) сутшируема по мере . Мери, вводящие в сн , образуют одеал в кольце . Дей ствительно, для того .чтобы мера О*7 вводила в О-С необходимо. и достаточно, чтобН С)4' (Е) ~ О , коль оюро ^ ~ ^ • Но, в силу инвариантгости мера в этом случае для все* ~Ь

У(В-'Ь)=09 а, следовательно, $<г(е-Ъ ^ФЯ) М т.е. (У* какова бы ни была мера У . .

Пусть мери и принадлежат

Оь . Шз обозначим через и соответствуицие ш ш формуле (45) суммируемые фунщии на ^^ . •

ТЪгда умножению мер * в кольце соответствует следующая операция шд функциями точки:

В самом деле, с. СЕ) = [<* (£-5) о(6Ог = /Й Ы^фЩ Г? ^А-0 = ^

Формула (47) показывает,. что подкольцо ФС ■ с присоединенной единицей иэашрфяо гр$тповому кольцу -.группы

Теореш 4: Пусть ^С (р 6^3 обобщенный характер, не равнш почти всюду нулю хотя (21 для одной меры СГ € 0~С * тогда существует непрерывный характер X С^З группы , почти всюду по любой мере С совпадающий с Хсгб^.

Доказательство: Обозначим через совокупность всех тех мер, для которых обобщенный характер X (К 6^) шчти всюду от--личен от нуля. Согласно теорем© 3, эта оовокупюсть Д- мер образует подкольцо кольца . мы шкаием, что цдеал сор -7 держится В |Ъ

По условию теореш существует мера С^б ^ , для которой ЛрШФ О ш ишкеотве> ^ ненулевой шры относительно О". досмотрим проекции мери (У на шонество Е . Ясно, что (Г* принадлежит шдкольцу Л и ущеалу (Н. .

Вместе с мерой дадкольцу пришдлшат такхе все меры^ полученные из путем операций сдвига, взятия подчиненной меры и предельного перехода.

Покакем, что совокупюсть всех полученных такш образом мер содержит цдеал '(Як

Предполагая меру О^ положительной, имеем где £ > ^ (-к) > О на шшестве ненулеж>й меры относительно ^¡Ч . Свертка ( см. [з] стр. ) обладает уне тем свойством* что существует открытое множество ЛАГ . ш которой .

Обозначим череэ цроещт свертки на окрестность . Ясно, что где А И) = А а) , при ¿ е- V и £ Ш=о при т^ ё иг,.

7&к,как группа^-' содержится в локальной комшктшй группе^--то существует сметная последовательность сдвигов окрест« ности "\ЛГ , теоретике-мшиественная суша которьз* ш урывает всю группу й^ ( см. ).

Очевидно, функция всех точек

Г (г г Отсада следует, что любая мера чр £ (Н. абсолютно непрерывна относительно мер!

В самом деле* ш шеем Е пусть, далее» то есть мера абсолютно не прерывна относительно^ . Ш доказали, таким обраэом, что СИ- С (? <

7&к как для мер О"^ (УС фэрнула

ХгМ з & ^ определяет п»лошрфИ8М-Группового кольца^ то, следователь!©, для такж мер ( од- С стр. ) почти в саду относительно где , - некоторый данрерьшшй характер группы ,

Если ^ - произвольный элемент кольца 70 шльное уравнение обобщенного характера дает: для почти веек тр гю произведешь мер СХ^ ; т • если Се (К. > и С* (Н » а 133 равенства (55) следует: почти всюду относительно ^) . Теореш до кавана. ОбобщеншЁ характер ОСс и) который для каждой шры <У почти всюду совпадает о ш которым фикейровашшм шнреревнш ка-рактеро^ч X , ш будем называть основным обобщенный характе«-роы, а соотвэтс?Еуищий. макешальшй ццеал - осшвкш максимальным цдеалом.

Теореша 5: Всякая мера, призадлекащая пересечению всех основных- максиьальшк идеалов, тождественно равна нулю.

Доказательство; Для мер СН, утверждение теореш тюлучается из topo факта, что в групповом- кольце• отсутствует радикал*

Пусть теперь- некоторая- окрестность. нуля в груше

Определим фузшцакг ^U сяедумщим образом: . • если í если G V .

Функция мтжества G4"^ ^^-itrtJ eí ÍM , очевидно, bícoдит в одеал

Пусть содержится в пересечении осшшнх цдеалов; !Ьгда токе содержится в этом пересечении, а, эшчит, мера ^jy^G-di, тождественно равна нулю.

Покажем теперь* что О . 2&к как группа по условию есть плотшя шдгрупт локалько-комтктной группы со второй акешшй счетшсти» то мера ijS шреноойтся ш группу , и нам, в сшу этого, до статно доказать* что

SjJ. для любой ограниченной функции продолшемой до аепрерывной функции на группе О^У ,

Функция J>(ij ш группе назевается равномерно ^непрерывной, если для всякого [70 существует такая окрестность нуля 1Л £, что коль скоро равнооть т©

По канем, что мошю шбрать такую рав/номерно-непререшую функций f^ что изменение ш? щ ^ m ышяествв, где ^ ib) 'ф^ы.Ог) * меньше любого шлеред заданшго числа £ > О.

В самом деле, .локалыю-коштактжя группа федставиыав вцде счетной сушй от^ыж мнше ств Е Кг с компактным

V/ - • . ныкзнием что еаммкание Е^^- ^;

По теореме Урысо^а < см. ) существует непрерывная фуж-ция ; У^ил г совшд-эдая с при ^ равная пулю вне множества . Очевидно, что отдавая от нуля (ш мшяествэ о компактно аашкашем, равншерно непрерывна.

С другой стороны, так как я/г (Оз^) = уVГ(ЕС^)*- • ■ ^ то для всякого £>0 ш^дется чисш А*-* р такое что . Следовательно, наш утверждение доказано. Пусть теперь «и*. - равномерно непрерывна, тогда

Но, очевидно, что ; равномерно ш "¿" стремятся к втчению ^^¿Ь) , когда окрестность ТЛ стягивается к нулю. Следовательно*

Выбрав теперь равномерно-не прерывную функцию. (Л) яак,-чтэ-бы (ЭЭ) и окрестность- так, чтобы мы имеем:

-) /^«О Ш«4Г/ 11^ {

Б.'силу произвольности .выбора числа * это дает: чем и завершается докавательство теореш.

Используя эту хёэроод" можно, в случае груш с инвариантной мерой, охарактеризовать то раз б иен I® кольца в полупрямую сушу подкольца и ццеала 3 , связанное с произвольные гомоморфизмом кольца в тело комплексных чисагс, которое ш гю лучили в теореш 3. ' Пусть ад непрерыашй характер группы . Определим линейное преобразование формулой

Покажем, что это преобразование является автоморфизмом кольца Действительно, для любых С и ^

Преобразование 'Т^С переводит каждый швсшальшй »щеал $ в шксшальный одеал ЛЧд^ — • максимал^юиу

Идеалу ^ГИ соответствовал обобщенный характер Хо* ., «ро максимальному цдеалу ^ £ соответствует обобщенный характер

ЛгШЙ «

Теорема 6. Пусть ж • шксшальный щввл кольца Л , а Хг-М - соответствувший обобщеншй характер. Пересечение всех тксишльных »щеалов Лд* состоят из тех мер, для кото-рык, X почти вооду равен нулю.

Доказательство: Пусть сначала мера то есть

ХгШ^Жг = 0 (62) для любого характера х (*), . Преобразуя интеграл в формуле получаем для всех X ' ^ -1а ^ ^ ■^ 0 £ или по предцдущем теореме: т.е. X М = О почти всюду то мере » иначе говоря, мера 3 . Обратно, если * $о то есть мера О47 принадлежит пересечение макешальшле адеалов

§ Но Бая конструкция максшаяьшх идеалов для случая когда грунта ■ азоморфв пршой.

В том -случае* когда группа 01/ изоморфна обычной прямой, * ра ссна триваемое наш кольцо совпадает с кольцом и , изучавшемся1 ранее Ш.М.Гель^ачдомД.А. РаЁковнм^! Ьшбо лее общий -известный до си? пор класс тксшальшх идеалов кольца бш. унаэан Д.Л.Разовым £1}.

Мы покажем, что данная Д.А.£амкошм конструкция мэ охватывает всех шксьшльных цдеалов кольца Кроме того, ш пока нем в этом ш,рагра$®> что кольцо 47 - - ■ несшмезршш.;

Шпошим конструкцию пжоьюрфйашв кольца лредлоаенную Д. А. Разовым.

Шоокем систему борелевских множеств Е ©с. регулярной, если:. ^

1. Шесте с каддш ышнеством Е & ^ вводят все ело шд-: hi ;ог;;есТЕа типа F<r ;

2. шесте с кавдой счетной совокупшстыо мшзеотв ЕEZ). в входит тео}жт1-жо-?июскественшя сумма LJ Е i эиш ьшожеств ;

3. шесте с любыми двумя ышкестваш Е- at и Ер в входит № ари$метщеская суша ;

4. система ^ содержит все счетше мюкестаа.

Вполне аддитивжя функция мнсжестЕа О^ шшвается сосредоточенной на системе если в систему Э" входит множество Е » шенщее полную ыеру относительно (У ,

Соответственно будем говорить, что вполне аддитивная функция мншеств сосредоточена ше систеш j . , ©ели для любого . »входящего в-«метеку- , .значение ^(Е)^О

Всякая мера О^ пред ставима- в виде (Г^ , где сосредоточена т системе ^ , а Су^ - вне ее. Шзовеаа 0/2, проекцией меры С . }»'систему О

Д.Л.Райков показал, что меры, сосредоточеннее на системе ¿г обшнук>т подкольцо кольца а мсфы,' сосредоточенные вне с ист еш , образуют идеал гольца ЬГ??^ ^ этом факте осношваетоя • следующая конструкция гошшрфйэ-мов кольца в тело компаексньх чисел. Пусть X •• харак тер прямой, измеримый относительно во©? мер, сосредоточенны* ж ^ . Формула задает гомоморфизм кольца

Действительно^ достаточно лишь, проверить мультшшттившсть Функционала Для ~ (ГЯ^ш оде ем: по так как меда> сосредоточеннее вне*^ , образуют щеал, то (У^Х ' следовательно:

Мы сейчае покажем, что суше ствуют раэбиения кольца и в полупрямую сушу попарно сшгуляршх нодколыха и оде ала не охватвваеаие здшеизлоденнок схемой Райкова. Предлагаемая шш конструкция, которая* конечно, шгет бУть перенесена bel любую группу, со стоит в ояедущем: .

Пусть дана совокупнасть /ti характеров прямой, то есть функций X ("fc) * удовлетворяющие для всех -fc и S условиям и*.) = (6 5) ixwm №)

Обозначим через Pi^ совокупшсть веж мер (У , ш которым любой, характер ш явится шиершш.

Пусть,далее, подпространство С оо стоит из мер, сингулярны* к любой мере, агодяцей в . ЗЬгда имеет место:

Теорема 7:-Совокупность шр ft ^ образует под кольцо кольца a совокупшсть Зц является одеалом в кольце Доказательство: Дегю вцдеть, что образует линейно© подпространство ко льда V^ и что шесте с каадой мерой^

J содержит все меры* абсолютно непрерывные отшсительш (У . Покажем, что аресте с ыераш (У и в ^Н ВХОД01 и* свертка С*- .

Пусть характер X вводит в # в этом случае шеют сшсл интегралы: <••, л

Jï ш ^ е- , jxw

Но ш теореме (ёубдаи .а согласш ледав-^ (§ 2):

If ^JxN^f . m характер X измерим по мере '^Г . te как ХМ * произвольный характер, лекащий в союкупшстаЗ^ ; то й^ наше расадцеше шшшвает, что У & гЦ) ^ ляется подкольцом кольца и 1 '

Покажем, что сингулярное дояояюние к fi H есть цдеал. Рассмотрим прошюдьную меру сГо еЗ Н * Для любой мери Çf , абсолютно непрерывной ш отношенш к » существует ( вообще говоря, свой ) характер Л £г (f~C , не ишершыё ш (Г^ .

Докажем сначала, что всякая мера J^ предаташа в • веде счетной суши шшрно сит*у.щ>шх аер: = £»Qj , где-для каждой меры Qj существует характер Xj (t) , ие иаиери-шй по всем мерам (Г' ; абсолютно неврер&вши отш оительш CTj ; это достаточно докавать для шшшительшх мер,- йосшльэуенея теперь следующей, лешой: .

Леша 3: Пусть ^ ( - шложительшя мера, а ^ (t) --про из во л ьная функцияна прямой. Определим меру ÎÉ) следующим образом: ' f(F) m)

F с Б где верхняя грань берется по всем замкнутым ншзествам» содер-* -яащимся в £ на которш с&нкция ^ ("i) неярернша. функция ^ Lt) ивнерша' по мере ^J ja^ кеишериш отшсительш любой мере, подчиненной к •

Доказательство леыш: Из определения меры îjfç следует, что для всякого S > О существует замкнутое шюаество F , на котором функция ^(i) непрерывка и для которого ^ .

Следовательно, ; го теореме ¡Лузина ( mi [Q>], стр. И2 ) функция ^ (i) измерима относительно мер! ^^

Рассмотрим теперь положительную меру , шдчикэнную к Если бы функция • fU) была измериш отт сительно (У , то для. всякого £ > О существовало бы, сорласш той ке теореме НЛЦЯуэина, замкнутое множество , на котором непрерывш ш для которого

Вибрав £ ~ , мы заыкцутое множество положительной меры по С > т кбторж футцт (i) непрерывна. !Ь, с другой сторож, для всякого такого множества (^tj ~ ^ , следовательно,, и ~ О

Следствие: Для того, чтобы функция $ была ишерша • по мере 'XjJ , нэобходиш и достаточш, чтобИ шры a Iff tqs~ дественно .говпадали;. — :•■

Вернемся к доказательству теореш 7, Мы будем проводить транс«» финитную ивдукцию-,

В силу условия б ^н » существует характер Х^б?"^», не измеримый отшейте ль но: 0$ . Оогла сш лемме 3, мера (CTJ,)^ отлична от нуля.

Пусть неры Geo определены для всех транс^шштов со < со0 , где СО © - фиксиро ван)Шй транс^шш^ Мори * &боолюгш

• непрерывны относительна С0 ш шпарно см}*гулярш. Шлоаш 'MW " V ясно, что ^ £ У н . По предположению существует характер ^С^ .» не измеришй отш* сите лью . Мн обозначим 0а>о раэшеть

Так как все мерк (Усо0. абсолютно непрерывна отшеительш -^. (У0 и попарно сингулярны, то, шдш&я с некоторого еяетшго транс* фин^та, все будут равны цулю и ш. гаэлучим тз) причем для каядой меры (j^j существует характер^ , не*« измеришь по -любой Мере tj^ , абсолютно непрерывной относитесь«

• но меры

Пусть теперь = любая положительная мера. .Докажем, что свертка фшадге?.иг адеалу ^ . Достаточно шка-- * зать, что . для всех мер Оaj , определенжх вьше*

Это ш докажем так: пусть Е - борелевскоо мнокество, на- кото-. ром характер Л ^ (*¿J непрерывен, тогда этот характер непрерывен и m всех едаинудак множествах веда Е-5 . Иио1уеделешя .меры Gío Ш вмееи: Glu О • ib 'тогда для- свертки

Ссл>*4^ ш-получим.:

-1)01^=0 (W)

Таким образом, для всякого множества Е i m котором характер "^С о> непрерывен, ш шеем

Следовательно, согласш доказанной лемме» характер Х.со измерим относительно любой ьзери, шдчиненшй- к свертке (Гto* ^ ; * Ми доказали, таким образом, что v/f-f яваяетоя цдеалом кольца -Теорема доказана

Замечание : Теорема. 7 доставляет нам да ко тору» конструкцию 1 • гомоморфияшм кольца ^^ » тело комплексных чисел., Действаде ль* но, пусть X£# ; тогда формула ft (к)

Tft оэшчаёт проекцию меры G^ на шдкольцо 'Я-Н » определяет гомоморфивм- кольца в тело комплексных чисел. ' Действительно* достаточно лишь проверить мультипликативность

Функционала • . Ш, так как . сингулярно© дополнение к . образует'цдеал, то для любы* и ■

Следовательно, ••

- ЛхС^оЦоЬ 4 & - ^ V)«

Обобщенный характер определяется при этом условием: если С Ян 15 , ради СТ&Ун .

Лемна Существует совершенное шэжество ш прямой, каждая '.конечная .совокупность точек которого я ваяется линейно независимой, в поле рацио}альньэг чисел.

Доказательство: Возьмем сие-тное веду плотное мшаество ж*-нейью неаавЕсавйс точек: б о > - - - -- Обозначим . Выберем теперь две точки из нашей по следователь нос Т1-1'

61= в* й е} = в

Кг * лежащие в А0 , и хг '' около ка>здой опшем ш- сегментику ^ и Д ^ . ' ■

Пусть у нас построены сешенда К, ^по ранга: 3 каждом из сешентов. Д шберем го две точки ^ивей тсяедо

О существовании , со вишенного множества с лшейш-шаави-^ сшш точками мне оообщил С.В^(&>шан* но зак как соответствуй-рабош мне не удалось разыскать, то я привожу, встроенный независимо пршер^ лУ-1 д*) вательности-: С7н+1 ) • Благодаря линейной независимости точек ш%етоя полшительшя консгаша » что при все* цель» * такиы что Ч с г

Теперь опишем юкруг каждой точки (У h^^L сегмент дли» ш не большей, чем ^и+1. 2. ^ так, чтобы все сегментв

А I У ^ Х и+1 не пешсекались нев собой и так, чтобы , ф- А / 1 уч ф

Положим, наконец» I — ' V и- . Ясно, что ' еоведешешюе мнжество* Поканем, что любая конечная совокупность точек - - , пршддлеаац^ мнэяест^у, является лшейш-независимой. Действительно, еояи 6Ы имело место равенство где * • - целые числа, то, вьбрав число КИ. дав* чтобУ попали а рашшчкые сегменти ^ ^ и чтобы

ГИ > и/1 А*

1) 'т получаем из (96) , что противоречит условию

В дальнейшем нам понадобится следующее обстоятельство: пусть любая функция, ш модули равная единице, заданная т множестве Р с линейно-ивзависишми точками. ТЬгда эту

Функцию иажт продолжить ш вею прягдую зав, чюбъ девлетюря-лось функциональное урашеше х-арактера

V)

Теореш В: Пусть СГ* * какя-то непрерывная^- мера, сосредоточенная ш совершенном мноЕестае / с. лкнейш-неаашсшы-ми точками и ояличдая от нуля«, Обоатчш череа [&] совокупность всех характеров, измерила? но этой мере. Раосштрш,далее, соответствующее шдкольцо • ЗЪгда, какош. ни Шла г регулярная оистеш множеств ? , совокупность ?*ер , сосредоточенны^ ж , не совпадает с под-кольцом Я./у .

Доказательство: Вудем рассуждать от -противного: пусть шдкольцо Я ц состоит ив мер, оэсредоточедашс ж некоторой регу-* лярноГ? систем , а чУ И состоит иа мер, сосредозрчеяшйг вне этой системы; В таком случае существует борелевекое мшкеетвег йеТпэл.юг .ф.'шжш СГ . как в асодят все под?ягояестт множества типа ^ , то в Ну екодят вое меры, сосредоточенна на мшиестве'й . Показкем, что это ведет нас к противоречию.

•Заметим сначала:,., что шжю считать/й оздерс&цшоа .во; жестве

Действительно, пересечение шеет тянул меру по С » следовательно, вн^'три этош пересечешь: сюдержшск шю-жестБо типа , шеюцее шлную меру по С . как В1С 8 , то нноаество пршадлекит системе Ясно, что 'В£ ^ •

Ш докажем, что никакая непрерывная * ^ мера /У^ , еикгу Мера (Г* тааывается непрерывной, если для всякого сиотшго

•ества mhos: лярная к (У я сосредоточенная ш. , да макет лежать а шд> кольце Ц /-/ . Для этого ш построим характер » иаие;ришй по мере СГ » следовательно, вводящий в Н[<У] , но не измеримый ш мере . ф

Разобьем мшн-ество »* т-сумму двух не пересекаются ьшо-яеств ' ашсвг, что С сосредоточена на '¿О' , а на 'Рцг . ;«*го возможно в силу попарной салгузшртапа мер (Г и у.

Пусть £ такое мшнество, что ш-ош саьа, -ни его дополнение С £ не содергат. ш одного. совершенного ишзества ( см.-). функция X * 0федвд-енная на множестве усхаовием:

Г^ если еЯг

Х^ЬЧ 1 если 'Ьб'ЯрЛ& если £ се и продолженная' на во© пряцую так,чтобы удовлетворялось равенстш является, очевщцко, измеримой ш мере б4' # я» не измеримой ш мере . Следовательно* мера ^ ш вводит в псщнэль* ао Я^Н •

С другой стороны, в силу несчетности множества , ш нем заведомо сосредоточены меры, сшгулярше ш оттшеит к мере , и все они по. предшлонеыш долкш цр'инвдленать шдкольцу * Полученное противоречие показывает, что шдкольцо /1/у н© совпадает с озаэкупюстыо мер, оосрэдоточешух ш. регул^шй системе .

СледствиеСуществует гомоморфизм кольца IГ , который не макет быть описан схемой Д^А.Райкова.

Действительно, в силу замечания к теореме 7# формула ($5) определяет гошшрфиэн кольца , пршем шдкольцо мер для которое соответствующий обобщенный характер почти вевщу отличен от нуля ( од теорему 3), сошадает о подкольцои . йэ • в случае гомошзрфгаш, задаваешго конструкцией Д. А.Ва|!коЕа, совокупность мер, для которое обобщенней характер отлшен от нуля, • состоит иэ £1ер, сосредоточеннь&г ш некоторой регулярной системе йэ теорет 8 как раз и дает конструкцию шдкольца , у которое никогда да монет совпасть с совокупностью мер, сосредоточенны* на некоторой регулярной системе мко&еств.

Существование со верше шю го мнзаества } о линейно-не за шеи-шми точками шзволщ> ш такав показать, что кольцо V/ несимметрично.,

ГЬрмиро ванное кольцо шаывается симметричным { ш. ), если каждому элементу кольца О"7 шкш поставить в соответствие элемент 0"*» так что при все* гокшорфиемая кольца элементам и С* соответствуют оопршенине кошшекеше числа.

Из этого определения следует, что если би кольцо изъявлялось сшшетричкш, то мера Ф"* , ооответствугащая мере (У , определялась бы усяовдам

Г*(£3 = <«-£) (80).

В самом деле, для гомоюрфиз>&>в,соответствующие основшн мак-сиъальнш вдеалам, ш имели бы

Но значения элемент кольца ¡а ооношь^ мавсимальш* -ццеала*г полностью определяют этот элемент* ( Ьто следует из теоремы о том, что функция с ограниченным изменением определяется своим преобразованием ^урье-Отаятьеоа )* Следовательно,

Покажем теперь* что существует гомоморфюви кольца. В тело комплексных чисел, переводящий некоторую меру (J^ в единицу, а соответствующую ей меру Q* в нуль.

Рассмотрим нодовмтельну& меру с шлшм изменением, равным единице, сосредоточенную ш совэршенном множестве с линейно -неза ваошши точками.

Обоэшчш через минимальную регулярную систему шзаеств ■порожденную мнда.еством ^ . •

Ясно,- что 6 Я^ , а гомоморфивм, определенный формулой где ^ есть проекция меры У m ^ переводит меру С в единицу.

Поканем, что

• принадлежит, аде аду Jj; , а следовательно, гри гомоьюрфиз]^ ука^аншго вцца мера О'* переходит в нуль* •

Мера О** непрерывна и сосредоточена на множестве (Р * Сяе довательно, нам достаточно показать, что мшяество пересекается со ешшш'лмшнеством из системы ^З^ не более, чем ш • счетному Mióseству точек. • . О fo для этого достаточно заметши что мшгество J переда кается со всякш г-шокеством вада : *• не более, чем в -ой точке.

Последнее легко доказывается от протившго. Пусть наш утверждение неверно и ш шеем И равенства:

Сумма "Р+'Р+ понишется как арифметическая суша соответствующих множеств,

KL

0CJK -ht =-0£J (j = 2, . (SX) где# эс^ }XJe*Pj. 0<LJ^yL1' n-ри j ^ L

Отскща следует совокупность равенств • xi+y^ÎL0(ss) ksi

Из каждого равенства ($3), в. силу линей вэй независимости точек множества , следует, что ; заставляя иццекс ^ пробегать кавие-т© УЬ у значений, ш буцем при с^жс^вашом значении J . получать различные точка ÎX^ , следовательно, так как всего точек имеется К- * ш^ук» мы получил все точj « I

V^kh 0СК с даннш значением-индекса J .

1Ьким образом, ш швем серию тождеств, xi =х ж-" • • • (8V)

J>1 «¿/Л- i, ;

Равенства (ЭД) вошонш лгазь в случае, если — ^ w что противоречит условию. Следовательно, мера G" iç/ищдлежит1 ццеалу 3 . сашм доказана несиш<© трич ш сть кольца V^ 4 fooyflQpcfDCîisao ордера Ясямно отвода О^Р з. о.и. ленин»

§ 5. 1Ь по логические свойства пространства шкеижльшс идеалов

В обще? теории шшироваинызс колец устанавливается соответствие мсгтду элементами шршзрованшго кольца ш фушциши ш множестве макситлыш щеалов этого кольца. Это соответствие задается ш правилу: сг —9 сг(л)

Значение, принимаемое функцией , соответствунщей элементу кольца , т максимальном идеале ЦИ равно юмплекош-* му числу, в которое переходит элемент шльца ярж гомошрфиэме, ядром которого оядеит максшальный одеал ЛИ . .

В случае, когда в нормированном кольце отсутствует радикал, это соответствие является изоморфизмом. ,

Во множестве максшальньаг щдеалов шри^нзваа-гогр кольца можно так ввести бикомпактном токологии», -да« что все фушции б*^^) окашшются дацрерывшши к

В третьем параграфе ш показали < теорема 5), что элемент кольца (Я^ в ату чае ловально-комш.кт.шй группы полностью г ' определяется ук© теми 8 даче ниши, которые он прадшает ш основных тксиьальны* щештзс*. В случае кольца есть обыч^* шя теорема о том, что преобразование $урье-Отилтье са шлиостьш определяет меру на прямой. ( Для положительных мер ©то доказано в книге Б. И. Гливекко £1*0 >.

Указанное оботоятельстю давало повод предположить, что совокупность основных- максимальные адеалов является вощу плотной яд

По поводу всего сказанного выше ш. r(4) б пространстве, всех- шксй:.альшзс адеаяов кольца ' V . . Нике ш покажем, что а»та гипотеза иеверт. Определим в кольце • V следующим образом операцию ишз-лкзции:

В силу тождества ад) мы имеем для. всякого осшвшго максишльного едеала J4 :

Но'в силу непрерывности равенство (#7) верно для всех максишльнн*- идеалов, 12ршвдлейащ1Ф? вамнкашф) оаттш*

Но это равенство не шкет шшлняться для всех шкс^аль-ных- идеалов, иначе кольцо было симметрично, что,как мы доказали в предыдущем параграфе, неверно.

Следовательно, эашкаше мшкестш осшвшг максшолыш* ипеалов не совпадает со шакеетвом всех максиьшльнь&г цдеалов кольца о с>то позволяет получить результат, отрегулированный, ш не доказанной в работе Винера и Питта

Теорема 9: Существует фунщт ^¿А) , являдаяся Хфеобра-зованием Фурье-Отилтьеса некоторой Функции о ограниченным нацмене даем, удожетворящ^я условш | ^ (Я) | ^ С > О t но такая что обратная к не& 4-/^(Л) не является- преобразованием &урье-Стилтьеса ни-для какой функции о ограниченным иамеиашз@в.

Доказательство: Мы сейчас построш функцию ^[Х) , удов* летворякщую условиям теореш.

Обозначим через (УСЕ) положительную меру, сосредоточенную* на совершенно!.! шюнестве о линейш-не зависшими точками а щую полное изменение, равное единице. Рассмотрим преобразование йурье-Огилтьеса нерв С (е--9-*)

88)

Мы положим теперь ,

По.какем теперь* что так определенная Функция ^(Л) удовлетвори* ет условиям теоремы. В самом деле, эта функция является преобразованием Фурье-Отилтьеса мери ■!•.■ где через е' обозначена едшштя мера, сосредоточенная в нуле ( единица коль ца ), 7&к как функция 4 (Л) вещественна, то

Шконец, функция шГ1 не есть преобразование Ф. -С. функ ции с ограничением ишенешем, так как элемент I не шеет обратшго'в кольце Л/"^^ . Действительно, нами был построен в конце четвертого параграфа гомоморфизм «Я^ , для которого или но

Г-"6*0= о,. Следовательно, (аз) т.е. мера (р-О'*-^ принадлежит этому максимальному щдеалу, а, следовательно* элемент I с) не шмет иметь обратного в кольце. "Реореш доказана.

Следующая естественная гшэ те за состоит в том, что в кольце имеет место эффект аналитичности, т.е; осшвше максимальные щцеалы образуют граищу множества всех максимальных-кщеало в кольца

На помищ, что границей шюкества шкоиьзальнызс цдеалов ЙГЧ. некоторого нормированного кольца .тзываетоя такое: замкнутое мно* яе ство^С ЙХ , что всякая функция из этого ^ольцаС4^^ достигает своего максшут модуля ш шюкестве , за такое, что н ¡¿какое его замкнутое истинное шдмшнеетво уае не обладает этим свойством.' Г. Е. Шилов, впервые введший это шняткэ, доказал ( см. ), что во всяком троированном кольце существует ^дшствбншя граница* ( Шпример, в случав кольца функций, ана- -литичнык внутри едшшшго круга и непрерывны* на его окрзшгости, граница состоит ив точек этой округлости).

Ока знается, что тем не менее эаиыкаше осдо&ых шксималь-ных идеалов не образует, границы штества максимальны*

Идеалов кольца

В дальнейшем ш рассматриваем симметричные совершендае мно-: жества, получаемые следующей конструкцией г Через ш обоэна-' чаем сегмент и шкоды на ем из него расшлокешуй симметрично относительно середиш интервал, так, что .остается два сегмента одинаковой длиш, , у. .

Пусть уже построено сегментов равной длина .

ТЬгда в кандом из ник шбросии го одинаковому интервалу, сишет- . « ру!Чно расположенному отшсительно середиш соответствующего сегмента А ^ , такш- образом,. у нас шлучится одинаковых сегментов .,. Пересечение

•Р=Л(и Д'н) является, очевидно* совершенным мншеством. о

•ч ГА**}

Л ем®, 5: Если оттшеше длин сегментов Д. Г--—■—О

4 рл-сь

- 4(3 при К1 —^ оо •, то еоевршешюе. мшаество О не является ба

VI

ЗИСОМ • \

Дока зато.тъство; • Мн покавем,, ■ что . -кратшя арифдотиче окая суша множества Ф . с самым собой швет Лебегову меру нуль, т.е. аа ведомо не шде^аит отрезка. Ари^еткмеская оушла кноаеств

Ф, .ф ^ о г о ^ - - + Л ( уу\ -кратно) содержится в Ж ^кратной арифмв

Я4 ■ ' тической сумме шагества ] ^ гс собою. Последняя арифметическая суш& есть теоретико^нокествешал арщме

• • . 01 0 2. ''ТТ^ 1 тическик суш ¿Ь^ * - ^^и когда ; J 2 , - •• не за- : висимо пробегают все ^^ до густимых значений. '.Ш-кюс теоретиков ш-юнественнуч слагаемы* имеется штук. Следовательно, мера-.

У\Д О О ^ множества з * - - ( У\л раз ) не древо сиоиз условий лемш следует, что £ . , и ^г - - • г ОСТ (») при любом значении ^ > О .

Согласно формуле (03)» мое но для всякого £ >0 шбрать число УЬ так, чтобы ^ ^ ,

Подставляя полученную оценку в неравенство получаем, что для всякого целого Ж и. числа € >0 существует такое

Ш с

КЬ » что ^С ; следовательно, и мера множества Определение'баэиса. см^ у, Зипмуцца 0."].

- ( У\Л - раз ) ме1]Ьшо, чем £ . т.е. а силу

II]: о из во л а а выборе £ а та мера равт нулю. Лежа доказана.

Те орет 10: йашкаше мш&ества- осва&шх мак сшалъшк. реалов кольца не образует гранады пространств максшальшс реалов эчого кольца.

Доказательство: Нам достаточно гастроить максимальный идеал сА^е и меру С0 , так, чтобы выполнялись условия

С") для всех вещественны* Л .

Сэлем доказал что существует сишетркшоесовершенное

7> шок ест во 0 о такое, что отношение длины одшпо сегмента

К+1 -ого ранга к длине сегмента И- -ого ранга стремится к нулю^ш.ротором сюсредоточеиа некоторая мера (Го » шеющая коэфициенть* Ффье-Стилтьеса, стремящиеся, к нулю. ф

Ткк как, согласию доказанной лемме, мшкество 0 0 не яв-; 1 ляется базисом, то существует регулярная система шовеств ( ш. определение регшзрт# оистеш в § 4 ), содержащая мшжестао-о о , но не содержащая множеств» имеюгдмх положительную меру Лебега, ( Такая регулярная сиетеш, мшет быть шлучэда следующим образом: борется- множество , ютом ото всеюумакшё од виги, затем приооццшйцотся ар^)меткчеокш оушш шлуче11х^ множеств к, наконец, все ¡юдмшжестш тша Р<у).

По этой регулярной сиетеде шаш построить максшальшй одеал Л о » содержащий все аб сожшю -непрерившв ( в обычшм сшсле, т.е. относит елью меры Лебега ) меры и такой, что

С^О рассмотрим теперь .функцию ,. ы^ Це'^^сг; (к)

При ^ -з ©о зта фу^рцид стремится к нулю. Из общей теории шр-мированных колец мшно тлучить, что всякая такая функция злокет быть равномерно приближена с дабой степенью точюсти функцией, являющейся преобразованием Фурье некоторой суммируемой функции *)

Ш берем теперь ^ - ■ и функцш ^, удовлетворяющую • неравенству- семотрш далее меру ^вСЬ и определим меру (У как раздасть

9тот (Гакт кдкио доказать следущим образом: Рассштрш кольцо 0 боолютш интегрируемы* Функций с ушдаегшем, о^еделен-шм как свертка

ЪгС*) с пргдео едит нной ©дмзщей.

Я?о кольцо ешметрмчш и его максимальные адеалы состоят из функций, для которые преобразование «¿урье равно нулю в некоторой точке, кроме того, шеется макешнльный ццеал, состоящий из всех1 абсолютно интегрируема функций* функции л) , иыеыщие предел, при Я <х> 5 суть непрернвше функции на миэкестве шквальны* ццеалов кольца , следовательно, тгут бУть равномерно прибла* ксны функциями из' кольца. 9

- 49

Мера (Г удовлетворяет юегавяениш нами усдотж. В сашы деле, так как ццеал Мо оодеряит все абсолютно-непрерывные функ ции, то

V*

С? другой сторож, согласно ($&), швеи:

I и^г/ Г !р) -/е ^ 1&* 14

Следовательно, и для всякого максимального з^еала «Л , принадлежащего зашканш основные ггакошадьш>г Идеалов, ш имеем:

Стало Шть, максимум модуля функции не достигается на зашкании мнскестаа основиьу максимальны* реалов.

Заметим, что мы вдобавок получили независим е- доказательство того факта, что зашкание шюЕзагва основных максимальных: * идеалов кольца не содержит всех максимальны* идеалов этого кольца.

Цитированная литератора

1. Ю.Гельфавд, Д.А.Райков, Г. Е. Шилов, Коммутативные нормированные кольца, Успехи штоштич, жук, том 1, вып. 2 (12),

1945 г.

И.М.Гельфацд» 1Ьр1:.!Ировандае шльца, Матека?:^;. сборн.;, 9 (51), 1941 г.

3. Д.А.Мков, Гармонический анализ m ксшугативзм? группах с мероЯ Каара, Труди штоы. ин-та АН СОТ имени З.А. Отекло m, вьш. 14, 1945 год

4. д.А.Райков, Кольца с инволюцией, ДАН СОТ, т.54, В 5, 1946г. > 5. ApTeîîeiiKo, Обгций тд лилейного функционала в пространстве

Функций с ограиичешш ишедаииеы, Матем. сборн., т. 6 (48), г? 2, 193В г.

6. Л. С. Понтрягии, НепрерЫЕбШе группы Москва-Ленинград, 193 год

7. Хаусдорф, Теория шопеств, 1937 г. .

Я. А.Лебег, Интегрирование и отыскание приштишых, Гостегтеоре иэдат, 1934 г. 9. С.Сакс, Теория шт о града И.Л., 1949 г.

Ю. Ю.А.Шрейдер, Строение тяотшыш реалов в кольцах мер со сверткой , ДАН СССР, т.63, № 4, 1948 г.

11. лМ.'Яг^и. ¡b.Mlt^«», StueUft т. 9 (1), 1940 г., стр. 133

12. Зиг>ауод, Тригонометутеокие рщи.

13. S>CLÙAZ/ bdb* *UMÀ<yU*4UJt 0UlditA-l ty Sec. S Ч(1ЧЧЪ)

5 УЫЛи^^М ,0K C^^T^