Оценки пространственных производных решений квазилинейных параболических уравнений с малой вязкостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Бирюк, Андрей Эдуардович

• Бирюк, Андрей Эдуардович
• кандидат наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат наук Бирюк, Андрей Эдуардович

Оглавление

Декларация

Благодарности ¡V

1 Скалярный закон сохранения

1.1 Введение

1.2 Общие свойства слабых решений

1.3 Понятие энтропии

1.4 Явное решение

1.5 Безвязкий предел

2 Одномерное уравнение Бюргерса

2.1 Введение

2.2 Оценки сверху

2.3 Оценки снизу

2.4 Поведение коэффициентов Фурье

3 Многомерный случай

3.1 Введение

3.2 Оценки сверху

3.3 Оценки снизу

3.3.1 Условие вырожденности

3.3.2 Основная идея

3.3.3 Технические детали

3.4 Коэффициенты Фурье

3.5 Оценки снизу для пространственных производных решений системы Навье - Стокса

4 О нелинейном уравнении Шрёдингера

4.1 Введение

4.2 Оценки снизу I

4.3 Оценки снизу II

4.4 Оценки сверху

Приложение А. Некоторые технические неравенства

А.1 Две оценки для точных констант в интерполяционном неравенстве

А.2 Интерполяционное неравенство для комплекснозначных функций

Литература

Декларация

Я, Бирюк Андрей Эдуардович, декларирую, что представленная диссертация выполнена мною лично (за исключением случаев, где явно указанны первоисточники) на факультете математики в университете Хэриот - Ватт в 1998-2001 гг.

Подпись соискателя:___дата: ЧИ7АУ 2.0®

Благодарности

Хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Сергею Борисовичу Куксину за его внимание, вдохновение и великодушную помощь, не только математического характера.

Я бы хотел выразить благодарность Армену Ширикяну и Даниелу Джеф-ферсону за долгие полезные обсуждения и помощь в обустройстве моей жизни в Шотландии.

Я также благодарен всем моим друзьям за то, что они сделали меня лучше.

Глава

Скалярный закон сохранения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки пространственных производных решений квазилинейных параболических уравнений с малой вязкостью»

1.1 Введение

В этой главе изучается задача Коши для одномерного закона сохранения

ди д/(и)

д t дх

= 0, (1.1.1)

где / : К —> К. — С1-гладкая функция. Впоследствии мы сделаем некоторые дополнительные предположения.

Задача Коши состоит в нахождении решения и уравнения (1.1.1) для произвольного начального условия 'ц(0,ж) = <р(х). Мы отметим, что задача Коши для этого уравнения, вообще говоря, неразрешима в классе непрерывных функций, даже если начальное состояние р и функция тока / являются бесконечно гладкими функциями. По этой причине рассматривают слабые решения в смысле соответствующего интегрального тождества.

Мы предполагаем, что <£>(•) принадлежит пространству L^R). Обозначим

(fi+= ess sup ip , </?_ = essinf cp. (1-1-2)

Определение 1.1.1. Мы говорим, что измеримая ограниченная в каждой полосе [0, Т}хШ функция и = u(t, х) является слабым решением закона сохранения (1.1.1) с начальным условием

и(0,х) = ф) Е Loo (К),

если для любой гладкой финитной функции w(t,x) выполнено следующее интегральное тождество

/>+оо л+оо г+оо

/ / (wtu + wxf(u))dxdt+ / w(0,x)<p(x)dx = 0. (1.1.3)

J 0 J— оо J—оо

Однако, такой подход ведет к неединственности решения задачи Коши (см., например, [31]). Необходимо наложить некоторые дополнительные условия, которые обеспечат единственность. Мы рассмотрим вязкие решения, энтропийные решения и решения в смысле вариационного принципа Лакса - Олейник.

t

Для гладких решений понятие слабого решения совпадает с понятием сильного (поточечного) решения закона сохранения (1.1.1).

Если и является кусочно гладким слабым решением, то из интегрального тождества (1.1.3) получаем, что и удовлетворяет условию Ранкина - Гюгонио

([31])

s[u] = [/] • (1.1.4)

Более того, кусочно гладкая функция и удовлетворяет интегральному тождеству (1.1.3) тогда и только тогда, когда и удовлетворяет условию скачка (1.1.4) на линиях разрыва и удовлетворяет уравнению (1.1.1) во всех остальных точках. Здесь [ ] обозначает скачок поперек линии разрыва, as — скорость распространения разрыва (иными словами, шока). Если линия разрыва дана посредством уравнения х = x(t), то s = j.

Рассмотрим векторное поле (и, /). Условие (1.1.1) означает бездивергентность векторного поля: div(u, /) = ut + fx = 0. Условие (1.1.3) означает бездивергентность поля (и, /) в обобщённом смысле.

Условие Ранкина - Гюгонио (1.1.4) выражает факт, что нормальная к линии разрыва компонента поля (и,./') не изменяется при переходе через линию разрыва, т.е. непрерывна в окрестности линии разрыва.

Эта глава построена следующим образом. В разделе 1.2, не делая никаких дополнительных предположений, мы обсуждаем общие свойства слабых решений скалярного закона сохранения. (Мы предполагаем лишь, что функция состояния / € С1 и начальное состояние ip G Lто.) В разделе 1.3 для случая выпуклой функции состояния / мы обсудим понятие энтропийного условия по Олейник. Условие энтропии обеспечивает единственность слабого решения. Мы кратко обсудим, почему неравенство, данное О. А. Олейник, получило название энтропийного условия. В разделе 1.4 мы приводим явную конструкцию для слабого решения скалярного закона сохранения, полученную в 50-х годах О. А. Олейник и П. Лак-сом. Мы приводим элегантное доказательство Лакса ([23]) того, что построенная функция действительно является слабым решением скалярного закона сохранения, дополняя это доказательство некоторыми деталями. Отметим, что наши предположения на функцию состояния слабее, чем предположения Лакса в работе ([23]). Мы предполагаем строгую выпуклость функции состояния /. Это означает, что / 6 С1 и /' является возрастающей функцией и, следовательно, /' — взаимно однозначная между областью определения и областью значений функция. Мы отметим, что Лаке тоже называл свои предположения "строгая выпуклость функции состояния /". Однако, в наших терминах его условие является условием равномерной выпуклости на каждом ограниченном интервале. (Равномерная выпуклость означает, что / G С1 и существует е > 0 такое, что функция f'(x)—£x является возрастающей. Для С2-гладких функций это условие эквивалентно неравенству /" ^ е.) Например, случай, когда f(u) = и4, попадает под наши предположения, тогда как он не покрыт работой Лакса [23]. Даны некоторые применения явной конструкции слабого решения. В разделе 1.5 мы

рассматриваем безвязкий предел (метод исчезающей вязкости) в периодическом случае и скорость сходимости к пределу. В этом разделе мы не предполагаем выпуклости /.

Результаты этой главы будут использованы в следующей главе. За дополнительной информацией о теории уравнений консервативных законов сохранения можно обратиться к [4].

В заключении данного введения мы отметим, что случай вогнутой функции состояния сводится к случаю выпуклой функции состояния следующей заменой: /(*) = -/(-*)> и(г,х) = -й(Ь,х).

1.2 Общие свойства слабых решений

Мы начинаем этот раздел с леммы, которая предоставляет эквивалентное определение понятия слабого решения. Мы будем использовать его позже.

Лемма 1.2.1. Пусть функция и(Ь,х) является измеримой и ограниченной в каждой полосе [О, Т] х М. Тогда интегральное тождество (1.1.3) выполняется для каждой гладкой финитной пробной функции и>(1,х) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия.

1. Для каждой гладкой пробной функции с компактным носителем в {{ > 0} х Е выполнено интегральное тождество

2. Функция (р(х) является слабым пределом и(Ь,х) при Ь —> 0, т.е. для любой гладкой функции д(ж) с компактным носителем существует множество 8 € [0, Г] лебеговой меры нуль такое, что

Для доказательства этой леммы нам нужна следующая вспомогательная лемма.

Лемма 1.2.2. Пусть имеются вещественное число А и вещественнозначные функции h(t) и p(t) из пространства Lliloc, определённые при t > 0. Предположим, что для любой С°°-гладкой функции g с ограниченным носителем выполняется следующее интегральное тождество:

(1.2.1)

(1.2.2)

(1.2.3)

Тогда для почти всех t ^ 0 выполнено равенство

Доказательство. Введём обозначение P(t) = А + /0'" р(т)с1т. Из того, что Р € Lltioc, следует, что функция P(t) абсолютно непрерывна, дифференцируема почти всюду и, более того, равенство P'(t) = p(t) выполнено для почти всех t (см. [15]). Следовательно, функция g(t)P(t) также является абсолютно непрерывной и тождество

i{g(t)P(t))=g'(t)P(t) + g(t)p(t) справедливо, когда выполнено равенство P'(t) = p{t). Из этого мы выводим, что

/

J о

g'(t)P(t)dt + g(t)p(t)dt + g(0)A= / ft(g(t)P(t))dt + д(0)Р(0) = 0.

Определим функцию h0(t) как h0(t) — h(t) - P(t). Подставляя h(t) = h0(t) + P(t) в тождество (1.2.3), мы получаем, что

|>+00

/ g'{t)h0{t)dt = 0

J о

для каждой гладкой финитной функции g(t).

Из этого мы заключаем, что h0(t) = 0 для почти всех t. Лемма доказана. □

Доказательство леммы 1.2.1. Для доказательства необходимости нам надо вывести (1.2.2) из (1.1.3), так как условие (1.2.1) уже содержится в (1.1.3). Чтобы вывести (1.2.2), мы рассмотрим соотношение (1.1.3) с пробной функцией w(t,x) = g{t)q{x). Тогда тождество(1.1.3) превращается в

Г- + 00 fOO г+оо

/+оо PCO г+оо

u(t,x)q(x)dxdt+ / g{t) / f(u(t,x))q'{x)dxdt+ -оо J 0 J— оо

/+оо

и(0, x)q(x)dx = 0 .

-оо

Теперь мы можем использовать лемму 1.2.2 с функциями

/+оо г+оо

u(t,x)q(x)dx, p(t) = / f(u(t,x))q'(x)dx

-оо J —оо

и А = f*™ u(0,x)q(x)dx. (Заметим, что как hit), так и p(t) — локально ограниченные функции, следовательно, они — локально Zq-функции.) Из леммы 1.2.2 мы получаем, что

h(t) = А + / p(r)dr для почти всех t.

J о

Следовательно, с точностью до множества лебеговой меры нуль, функция h{t)

является локально липшицевой функцией и ess lim h{t) = А. Мы получили (1.2.2).

t—»о

Докажем достаточность, т.е. выведем (1.1.3) из (1.2.1) и (1.2.2). Возьмём произвольную гладкую финитную функцию w(t,x). Пусть x(i) — С°°-гладкая невоз-растающая функция такая, что х(0 = 1 Для t € [0) 2] и х(1) = 0 Для £ > 1-Обозначим левую часть тождества (1.1.3) через I(w). Тогда мы имеем

I{w) = lim l((w(0,x) + (w(t,x) - w(0,x)))x{nt) + (1 - x(nt))w(t,x)) =

n—>00

= lim /(WO, x)x(nt))+ lim l((w(t, x)-w(0, x))x(nt))+ lim l((l~x(nt))w(t,x)).

71—»OO 4 П—>00 4 71—>00

(1.2.4)

В силу (1.2.1) третий предел равен нулю.

Рассмотрим функцию под знаком второго предела:

I((w{t, х) - го(0, x))x(nt)) =

/>+оо оо

— / wt(t,x)x(nt)u(t,x) + (w(t,x) - ги(0,ж))пх'(пгМ^ж)+

Jo У-оо

+ (wx(t,x) — wx(0,x))x(nt)f(u(t,x))dxdt = h + /2 + /3.

Величины 7i и /3 стремятся к нулю, когда п —> сю, так как носители подынтегральных выражений стягиваются к нулю, в то время как сами подынтегральные выражения остаются ограниченными. Для величины /2 выполнена оценка

/•ОО

|/2| ^ (-АТ+— Х_) / nx'(nt)dt max |u| max |w(i, x) - w(0, ж)|. Jo

Здесь введено обозначение X+ = sup {ж : (t, x) G suppw} и, соответственно, X_ = iiifj.x : (t, x) G supp w}. Следовательно, /2 стремится к нулю при п —> оо, так как j™nx'{nt)dt = 1 при всех п, но max^^i^^\w(t, х) - го(0,ж)| —> О, потому что w(t,x) — гладкая финитная функция.

Рассмотрим функцию под знаком первого предела в правой части (1.2.4):

/• + 00 г+оо

l(w(Q,x)x(nt)) = / / w(0 ,x)nx'(nt)u(t,x)dxdt+ J 0 J - 00

/• + 00 /" + 00 /•+00

+ / / wx(0,x)x(nt)f(u(t,x))dxdt+ / w(U,£ju(U,a;Jd:z Jo J-00 J-oo

/■+00 , />+oo /<+0O

/+00

ги(0,ж)и(0,ж)с£

-OO

> . 00 r+00 .

(/ w(0,x)u(t,x)dx - / iü(0,a;)M(0,a;)iia:Jnx/(ni)di+

J—00 J-00

—00

/>+оо Л+0О

+ / / wx(0,x)x{nt)f(u{t,x))dxdt = I1+I2.

Jo J-оо

Величина /2 стремится к нулю при п —> оо, так как носитель подынтегрального выражения стягивается к нулю, в то время как само подынтегральное выражение остается ограниченным. Для величины Д мы имеем оценку

Mil <

ад(0, x)«(i, х)^ - /Г «(О, x)u(0, nx'H

Li ([0,+00])

Здесь первый множитель в стремится к нулю при п —> оо в силу (1.2.2), тогда как второй всегда остается равным 1. □

Следующая лемма предоставляет определение функции тока решения скалярного закона сохранения. Для краткости в этой лемме мы пишем f(t,x) вместо f(u(t,x)).

Лемма 1.2.3. Предположим, что и является слабым решением закона сохранения (1.1.1) в смысле определения 1.1.1. Тогда существует единственная функция U(t,x) (функция тока), определённая на [0,-|-оо) х R, которая является локально абсолютно непрерывной по каждой переменной, такая, что

Ux = и почти всюду, (1.2.5)

Ut = — / почти всюду, (1.2.6)

U (0,0) = 0. (1.2.7)

Эта функция U является глобально липшицевой функцией в каждой полосе Пг = [0, Т] х R:

для каждой пары точек (ti,xi) и (¿2, жг) из П^ выполнено неравенство

\U(t2,x2) - U(ti,xi)\ ^ 1t2 - ti \ max / + \x2 - хх\т&xu. (1.2.8)

П71 П71

Кроме того, эта функция удовлетворяет соотношению

U(0,x) = (1-2-9)

./о

Доказательство. Докажем единственность. Напомним, что каждая локально абсолютно непрерывная функция ^(в) является дифференцируемой почти всюду, её производная принадлежит пространству с, и выполняется формула Ньютона - Лейбница:

Л(в2) - /1(вх) = /

Предположим, что £/1 и £/2 — две локально абсолютно непрерывные по каждой переменной функции, которые удовлетворяют условиям (1.2.5), (1.2.6), (1.2.7). Тогда функция £/ = £/2 — £/2 удовлетворяет следующим условиям:

их = 0 почти всюду, (1.2.10)

Е/4 = 0 почти всюду, (1.2.11)

ЁГ(0,0) = 0. (1.2.12)

Из условия (1.2.10) следует, что почти для всех £ функция 11(1, х) не зависит от х. (Если некоторое условие выполнено при почти всех (£, ж), то при почти всех £ оно выполнено при почти всех х и наоборот.) Аналогично условие (1.2.11) влечёт, что для почти всех х функция С/(£,ж) не зависит от £. Поскольку V(£, х) является локально абсолютно непрерывной по каждой переменной функцией и,

следовательно, непрерывной по каждой переменной, мы заключаем, что (7 — константа. Эта константа является нулём в силу (1.2.12).

Существование функции тока следует из обобщённого разложения Вейля: Предположим, что О, — ограниченная облает,ь в Кт с С1 -гладкой границей. Пусть и(х) 6 Ьд(С1,Шт), гдед ^ 1. Предположим, что для любой бездивергентной гладкой векторнозначной функции V с носителем, компактно вложенным в £1, мы имеем

[(и^)тс1х = 0. (1.2.13)

Тогда существует функция р е И^1^) такая, что и = Ур. (См. [28]).

Мы используем эту теорему с т = 2, и = (/и), (**) = (*), заметив, что для каждого бездивергентного гладкого финитного векторного поля существует гладкая финитная функция ги такая, что = В самом деле, положим

т(1,х) = и\йх - г>2<й. Выбрав первую точку интегрирования (А) достаточно далеко от носителя поля V, мы получаем, что ю также имеет ограниченный носитель, поскольку по теореме Стокса этот интеграл не зависит от пути интегрирования. Теперь (1.2.13) следует из (1.1.3). Полагаем 11(Ь,х) — -р(Ь,х). Покажем, что функция £7 с точностью до множества лебеговой меры нуль является липшицевой функцией и выполняется (1.2.8). В самом деле, рассмотрим сглаживания II£ = 1/*тге, где 7г£(ж) = ) и 7Г — любая неотрицательная глад-

кая финитная функция в К2, интеграл от которой равен единице. Для каждого \]£ справедливо неравенство (1.2.8). Используя теорему Арцела - Асколи, мы получаем, что семейство IIе равномерно сходится к своему пределу при е —> 0. Следовательно, предел тоже удовлетворяет условию (1.2.8).

Равенство (1.2.9) следует из (1.2.8) и леммы 1.2.2 в силу единственности слабого предела. П

Лемма 1.2.4. Предположим, что функция С/(£,ж) принадлежит пространству Ыр([0, Т] х М) для каждого Т и соотношение

и1 + .пих) = 0 (1.2.14)

выполнено для почти всех (1,х) в {£ ^ 0} х К. Тогда функция и(£,ж) = ^С/(£,.х) является слабым решением скалярного закона сохранения (1.1.1) с начальными данными ср(х) = 1/х(0,х) в смысле интегрального тождества (1.1.3).

Доказательство. Возьмём любую гладкую финитную функцию го = го(/., х). Умножим (1.2.14) на гих и проинтегрируем по полуплоскости {£ ^ 0}. Интегрируя по частям, мы получаем (1.1.3). П

1.3 Понятие энтропии

Определение 1.3.1. Пусть и = и(Ь, х) — измеримое слабое решение скалярного закона сохранения (1.1.1) с/" ^ 0; определённое на [0, +оо) хЕ. Мы говорим, что

функция и удовлетворяет энтропийному условию, если для любой ограниченной области В существует невозрастающая функция К(Ь), определённая при Ь > О, такая, что для любой пары точек (¿, х\) и (£, х2) из области Б (Ь > 0) выполнено неравенство

ц^ха)-«^) (ол)

х2 — х\

Мы называем решения, удовлетворяющие энтропийному условию — энтропийными решениями.

Теорема 1.3.1. (Олейник, [26]). Предположим, что щ и и2 — два энтропийных слабых решения одной и той же задачи Коши для уравнения (1.1.1) с С2-гладкой / и /" ^ 0. Тогда щ{1,х) = щ(Ь,х) для почти всех (1,х) Е {Ь ^ 0}.

Замечание. В заметке [26] рассматривается более общий случай С2-гладкой функции / = /(£, х,и) такой, что ¡'¿и ^ 0 и /¿(¿, х, и) ограничено, когда и изменяется на ограниченном интервале, £ ^ 0 и х € М.

Мы приведём два предложения, которые описывают разные условия существования слабого энтропийного решения. Пример ниже показывает, что объединить эти два предложения нельзя.

Предложение. Предположим, что функция / в (1.1.1) является С2-гладкой и равномерно выпуклой, т.е. для некоторого положительного £ выполнено

/" > е > 0, (1.3.2)

а начальное состояние <р — ограниченная измеримая функция. Тогда существует слабое решение соответствующей задачи Коши такое, что

и(Ь,х2)х0 ^ 1_ длявсех1>0 иХ1^х2еЖ. (1.3.3)

х2 - хг еЬ

Доказательство дано в следующем разделе.

Грубо говоря, условие (1.3.3) означает, что их Е [-оо, включая минус бесконечность (скачки вниз). Дадим эвристический вывод этого условия. Заметим, что для гладкого решения выполняется соотношение х) = ср(х — х))).

По теореме о неявной функции получаем их = • Таким образом, если

<р' < 0 то их ^ 0. Знаменатель больше нуля, поскольку для гладкости и мы должны рассматривать лишь малые значения Если <р' > 0, то их < ^ Замечание. Для существования слабого энтропийного решения задачи Коши для уравнения (1.1.1) условие (1.3.2) может быть ослаблено до /" > 0. В самом деле, положительность второй производной влечёт, что / является равномерно выпуклой на каждом ограниченном интервале (/" — непрерывная функция). Предложение. Предположим, что функция / — С1-гладкая такая, что /' — возрастающая функция, а начальное состояние ср удовлетворяет условию

ф2) - фг) ^ к для всех (1Д4)

х2 — xi

Тогда существует слабое решение и задачи Коши такое, что х2) — и(Ь, хг)

х2 ~ х\

^ К для всех t > 0 и Xi ф х2 G

(1.3.5)

Доказательство дано в следующем разделе.

Если не выполняются ни (1.3.2), ни (1.3.4) то энтропийное решение, вообще говоря, не существует. Пример. Рассмотрим задачу Коши

Щ + (\и% = О, и(0, х) = tfx.

Она имеет непрерывное слабое решение

u(t,x) =

(1.3.6)

(1.3.7)

Это решение является решением во всех смыслах кроме энтропийного. В следующем разделе (см. лемму 1.4.18) мы покажем, что задача Коши (1.3.6) вообще не имеет слабых энтропийных решений.

Отметим одну опечатку в работе [26]. Чтобы получить существование энтропийного слабого решения, мы должны потребовать f"u > 0, а не f"u > 0. В то время как теорема единственности справедлива и в предположении f"u ^ 0.

Почему условие (1.3.1) называют энтропийным условием (и более того, "условием неубывания энтропии")? Причина в том, что физические процессы, протекающие в реальном мире, необратимы, а функция, которая представляет эту необратимость, называется энтропией. Рассмотрим функцию

S(t,x) = f(u(t,x)).

Покажем, что условие (1.3.1) влечёт то, что функция S(t,x) является неубывающей по времени при пересечении любой линии разрыва Г:

S+ = S(t + 0, х) ^ = S(T - 0, ж), (i, х) е Г = {(i, х):х = x(t)}.

f >0

—=»-

Из неравенства (1.3.1) мы получаем, что ^ и+. Используя условие Ранкина

- Гюгонио

мы видим, что:

если f > 0, то = f(u+) < /(u_) = S+, если § < 0, то = f(u+) > /(«_) = S-.

1.4 Явное решение

В этом разделе мы предполагаем, что функция состояния / в (1.1.1) является строго выпуклой, т.е. / — С1-гладкая, а её производная /' — возрастающая функция. Из этого вытекает, что /' — взаимно однозначная функция между своей областью определения и областью её значений. Мы предполагаем, что начальное состояние <р является произвольной функцией из пространства Loo(R). Пусть функция Ь(-) — обратная к функции /'(•), т.е. область определения Ь(-)

— это область значений функции /'(•), &(/'(и)) = и и f'(b(s)) = s.

Ясно, что &(•) — непрерывная возрастающая функция и что b(s) стремится к бесконечности, когда s устремляется к краю области определения функции Ь. Определим функцию д(-) посредством формулы

g(s) = sb(s) - /(6(s)). (1-4.1)

Функция д(-), на самом деле, является сопряженной (или преобразованием Ле-жандра) к функции / (g(s) = max(tís — f(u))), хотя мы не будем использовать

4 и

этот факт.

Отметим, что д тоже является С1-гладкой выпуклой функцией и

g'(s) = b(s). (1.4.2)

В самом деле, если функция b — дифференцируемая, то (1.4.2) получается дифференцированием (1.4.1). В общем случае мы должны рассмотреть конечную разность

g(s + as) - g(s) = (s + as)6(s + as) - s • b(s) - (f(b(s + as)) - f(b(s))) =

= as b(s + as) + s ■ (b(s + as) - 6(s)) - f'{0) (b(s + as) - b(s)),

где в € (b(s), b(s + as)) и, значит, ¡'(в) € (s, s + as). Мы получаем формулу

+ = b(s + as) + x • (b(s + AS) - b(s)).

as

Здесь x = x(as) G (0,1). Устремляя дs к нулю и используя непрерывность функции 6, получаем соотношение (1.4.2).

Рассмотрим первообразную начального состояния:

ЧУ) = í\(v)dv- (1-4.3)

Jo

Из (1.1.2) следует, что Ф(-) — липшицева функция с верхней и нижней константами Липшица ip+ и соответственно. То есть

< *(а^:*(Х1) < V+ • (1-4.4)

Рассмотрим вспомогательную функцию

^(t, X, у) = ^ ,ж(у) = Ф(у) + t ■ д . (1.4.5)

При фиксированных х и t это непрерывная по у функция, которая возрастает в окрестности правого края своей области определения и убывает в окрестности левого края области определения. В самом деле, второе слагаемое в правой части (1.4.5) имеет непрерывную производную, которая стремится к плюс или минус бесконечности, когда у приближается к левому или, соответственно, правому краю его области определения. С другой стороны, первое слагаемое является липшицевой функцией в силу (1.4.4) и, следовательно, имеет ограниченную первую производную. Поэтому "фг,х{у) имеет конечный глобальный минимум и имеется не пустое множество точек {у} во внутренности области определения, где этот минимум достигается. (Мы будем называть это множество точками минимума.)

В самом деле, рассмотрим промежуток значений переменной у, где производная по у от функции у I—> t • с/ (^у^) меньше, чем —<,£+, т.е. множество

Off = (1-4.6)

Так как функция у > —Ъ возрастает от минус бесконечности к плюс бесконечности, то этот промежуток — (полу-) окрестность левого края области определения функции il>t,x{y)- Так как функции Ъ и /' — взаимно обратные, мы получаем:

Off = {ж - */'(+00) < у < X - tf{v+)} •

Используя (1.4.4) и неравенство в (1.4.6), мы получаем, что функция 'фь>х(у) убывает в этой окрестности. Аналогично, рассматривая "противоположный" промежуток значений переменной у:

Ogf = {у : -6 (*=*) > = {ж - tf'(<p.) < у < х - tf (-ос)} , (1.4.7)

заключаем, что функция tpt&iy) возрастает в окрестности правого края своей области определения. Обозначим

At0 = x-tf'(<p+) и Bt,x = х — tf'((fi-). (1.4.8)

Мы доказали, что для любой точки минимума ymin функции фг,х{у) выполнено включение

Утлп € [Л4>ос, Bi x

} (1-4.9)

и, следовательно,

<р_ ^ b < <р+ . (1.4.10)

Подобно этому, рассматривая точки

A't,x = х~ , V) и В\ =х- tf( min <р) ,

V [At,x,Bt,x] J \[At,x,Bt,x] /

получаем, что фь,х(~) убывает в (AtiX, A't x) и возрастает в (B'tx, Bt,x)-Следовательно,

ymine[A' ,В'Х] (1.4.11)

или, записав по-другому, получаем:

^ ^х У min ^ £

min ip max ip [At,*,Bt,x\ [At.x.ßt,®]

(1.4.12)

Лемма 1.4.1. При фиксированных (t,x) множество точек минимума функции (1.4-5) не зависит от произвольного изменения функции /(•) вне отрезка [(/?_, </?+], при условии, что / остается строго выпуклой.

Доказательство. Когда мы изменяем функцию / вне отрезка [</?_, </з+], то функции 6(s) и g(s) не изменяются при s G [/'(у>_), /'(</?+)], следовательно, функция iptx{y) не меняет своих значений когда переменная у принадлежит отрезку

{у : е /'(¥>+)]} = К* < У < Вих}.

Доказательство завершается с помощью включения (1.4.9), которое говорит, что все точки минимума всегда находятся в этом интервале. □

Следуя Хопфу [12], мы дадим две леммы.

Лемма 1.4.2. Пусть у\ — (любое) значение у, где ф достигает своего минимума при параметрах t, х\ и, соответственно, у2 — любое значение у, где функция ф достигает своего минимума при параметрах t,x2. Если х\ < х2, то у\ ^у2.

Доказательство. По определению точек у\ и у2 как точек минимума, можем записать

ы,

,Х2 Ы-

Складывая эти два неравенства, получаем

9 + 9 ^ 9 + 9 •

Теперь к выпуклой функции д(-) применим следующий факт: Если а) середины интервалов [01,02] и [61,62] совпадают, т.е. а\+а2 = Ь\+Ь2, и Ь) g(ai) + g(a2) ^ ff(bi) + g{b2); то первый интервал содержится во втором или, что в данном случае эквивалентно, не больше, чем второй интервал, т.е. |а2 - ai| < |62 - 6j|. Мы получаем:

|(ж2 - xi) - (у2 - yi)| < |(ж2 - хг) + {у2 - yi)|.

Поскольку х2 — .'/,'! > 0, это неравенство эквивалентно неравенству у2 — У\ ^ 0. □ Следующая лемма является непосредственным следствием леммы 1.4.2.

Лемма 1.4.3. Возьмём любое положительное t. Тогда для всех кроме, быть может, счётного числа значений х, функция ipttх(-) достигает своего минимума в единственной точке, которую мы обозначим через yo(t,x).

С помощью уо мы определим функцию

u{t,x) = b(^f^y (1.4.13)

Как мы покажем, эта функция является слабым решением задачи Коши скалярного закона сохранения (1.1.1). Перед доказательством этого факта установим некоторые свойства функции (1.4.13).

Лемма 1.4.4. Функция (1.4-13) не зависит от поведения функции f вне отрезка [</?_, при условии, что / остается строго выпуклой.

Доказательство. В силу леммы 1.4.1, у0 не меняет своего значения при соответствующих изменениях /. В силу (1.4.10) величина g [f'((p_), f'(ip+)}. Функция Ь(-) на отрезке [/'(<£_), /'(у?+)] не зависит от поведения / вне отрезка </?+], так как она является обратной к монотонной функции /'. □ В силу этой леммы, без ограничения общности мы можем заменить функцию /(•) на

Г /(¥>+) + f'(<P+)(x ~ <Р+) + f - при х><р+,

/>)=< f(x) при z €[¥>_,¥>+], (1.4.14)

{ f(<P~) + - (p-) + §(x - cp-)2 при x<ip_.

Здесь a — любая положительная постоянная, например, а = 1. Соответственно функция b заменится на следующую функцию

( + К5 - /'(*>+)) при s >/'(<р+), b(s) = { b(s) при s <Е [f'(tp_), f'(ip+)], (1.4.15)

( cp„ + l(s-f(ip„)) приз </'(?-),

а функция g заменится на

{ g(f'(<p+)) + *>+(«- ГЫ) + Hs - при s > ,

g(s) = < g(s) при se [/'(*>-),/'ЫЬ

( g(f'(<P-)) + - №-)) + Га(* - №-))3 при s > ./>-) •

(1.4.16)

Далее мы будем опускать "тильду" в /, b, д, но полагать, что /, b, д удовлетворяют (1.4.14), (1.4.15), (1.4.16) соответственно.

Рассмотрим семейство вероятностных мер на прямой с плотностями

ы^Шу' (1ЛЛ7)

Слово "вероятностные" здесь означает только то, что плотности ри{у) — неотрицательные функции и соответствующие меры всей прямой R равны 1, то есть, J*™ Px(y)dy = 1 Для каждого N.

Лемма 1.4.5. Для любой непрерывной функции h(y), чей рост на бесконечности строго меньше экспоненциального роста, выполнено:

lim h(y)pN(y)dy = h(y0). (1.4.18)

n—>00

Здесь yo определено в лемме 1-4-3, а плотности рн определены посредством (1-4-17).

Схема доказательства. Прибавление константы к функции ф в (1.4.17) не меняет значения рлг(у)- Поэтому без ограничения общности можем считать, что минимальное значение функции ф равно нулю. Из этого следует, что значение числителя в точке уо всегда равно 1, а в других точках экспоненциально стремится к нулю. Таким образом, функции ры{у) стремятся к ¿-функции в точке Уо- □

Нам понадобятся следующие формулы для производных функции ф:

д_ дх 1

1ф(1,х,у) = Ъ(^) , (1.4.19)

dt.

Теорема 1.4.6. (Лаке [23]). Пусть функция u(t,x) определена формулой (1-4-13). Тогда векторное поле (u,f(u)) является бездивергентным в обобщённом смысле, т.е.

л+оо г+оо

/ / (wtu + wxf(u))dxdt = 0 (1.4.21)

.'о -оо

для каждой С1 - гладкой пробной функции w, носитель которой компактно вложен в {t > 0} х R (т.е. ограничен и отделён от линии {t = 0} х Rj. Функция Уо определена в лемме 1.4-3.

Замечание. Эта теорема фактически является частным случаем результатов Олейник [25] и [27], где изучалась более общая ситуация. В этих работах решение строилось с помощью минимизации некоторого функционала. Функция ф (1.4.5) является частным случаем этого функционала. Впоследствии этот метод получил название "Вариационный принцип Олейник - Лакса". Лаксу принадлежит элегантное доказательство этой теоремы, которое мы воспроизводим, немного дополняя его.

Доказательство. Мы можем записать u(t,x) как lim z), где

N—>оо

r+oo

м*. х) = г+со* Л;, • (1.4.22)

f^exp(-WtJy))dy Обозначим знаменатель в (1.4.22) через

г+оа

VN(t,x)= / exp {-N^{y))dy. (1.4.23)

Ввиду (1.4.19), мы можем записать

UN = = log Vb) = (UN)X . (1.4.24)

Аналогично, мы можем записать f(u) как lim /дг, где

n—юо

=--- . (1.4.25)

Кдг

Используя (1.4.20), получаем

и = Щг = 108 ,= ~ • (1А2б)

Из (1.4.24) и (1.4.26) мы заключаем, что векторные поля ~ бездивер-

гентные. Поэтому их (почти всюду) поточечный предел (и,/(и)) является бездивергентным в обобщённом смысле.

В самом деле, для любого N пара функций (и^, /дг) удовлетворяет интегральному тождеству

р+оо л+оо

/ / + = 0 (1.4.21')

./0 оо

для каждой С1-гладкой пробной функции ги, носитель которой компактно вложен в {£ > 0} х Ж. Поскольку (и, /(и)) является (почти всюду) поточечным пределом последовательности (иАг,/дг)> то (1-4.21) следует из (1.4.21') по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, при условии, что мы знаем, что поля (им, локально равномерно ограничены. Остаток доказательства посвящён этому.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бирюк, Андрей Эдуардович, 2001 год

Литература

[1] Бирюк А. Спектральные свойства решений уравнения Бюргерса с малой диссипацией. Функц. Анал. Прил. 35, вып. 1, 1-15 (2001).

[2] Biryuk A. On Multidimensional Burgers Type Equations with Small Viscosity. В печати, (http://www.mccme.ru/~biryuk/)

[3] Бирюк А. О пространственных производных решений уравнения Навье -Стокса с малой вязкостью. Представлено в "Успехи Мат. Наук".

[4] Bressan A., Liu, Т.-Р., Yang, Т. L1 stability estimates for п х п conservation laws. Arch. Ration. Mech. Anal. 149, no 1, 1-22 (1999).

[5] Cavaretta, A. S., Jr. An elementary proof of Kolmogorov's theorem. Amer. Math. Monthly 81, 480-486 (1974).

[6] E W., Khanin K., Mazel A., Sinai Ya. Invariant measures for Burgers equation with stochastic forcing. Annals of Mathematics. Vol. 151, part 3, 877-960 (2000).

[7] Дубровин Б. А.; Новиков С. П.; Фоменко А. Т. Современная Геометрия: Методы и приложения. Том I. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. Том II. Геометрия и топология многообразий. М.: УРСС, 1998

[8] Фриш У. Турбулентность. Наследие А. Н. Колмогорова. М.: Фазис, 1998.

[9] Халмош П. Конечномерные векторные пространства. М.: ФМЛ, 1963.

[10] Hartman Ph. Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons Inc., New York, 1964.

[11] Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

[12] Hopf, Е. The partial differential equation щ + uux = цихх. Comm. Pure Appl. Math., 3, 201-230 (1950).

[13] Hörmander L. Lectures on nonlinear hyperbolic differential equations. SpringerVerlag, Berlin, 1997.

14] Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985, стр. 252-263

15] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

16] Кружков С. Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными. Матем. сб., 81(123), №2, 228-255 (1970).

17] Kukavica I., Grujic Z. Space Analyticity for the Navier-Stokes and Related Equations with Initial Data in Lp. Journal of Functional Analysis. Vol. 152. N 2. P. 447-466 (1998).

18] Kuksin S. Spectral Properties of Solutions for Nonlinear PDE's in the Turbulent Regime. GAFA, 9, no. 1, 141-184 (1999).

19] Кузнецов H. H. Точность некоторых приближенных методов расчёта слабых решений квазилинейного уравнения первого порядка. Журнал выч. матем. и матем. физ., 16, №6, 1489-1502 (1976).

20] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

21] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1971.

22] Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа . М.: Наука, 1971

23] Lax P.D. Hyperbolic systems of conservation laws II. Comm. Pure Appl. Math., 10, 537-566 (1957).

24] Marcus M, Mine H. A survey of matrix theory and matrix inequalities. Allyn and Bacon, Inc., Boston, Mass. 1964 xvi+180 pp.

25] Олейник О. А. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций. ДАН СССР 95, 451-454 (1954).

26] Олейник О. А. О разрывных решениях нелинейных дифференциальных уравнений. ДАН СССР 109,1098-1101 (1956).

27] Олейник О. А. Задача Коши для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с разрывными начальными условиями. Труды ММО 5, 433454 (1956).

28] Осмоловский В. Г. Линейные и нелинейные возмущения оператора div. Из-дат. СПбГУ 1995. 144 сс.

29] Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Springer, New York, 1983.

[30] Погорелов А. В. Распространение теоремы Гаусса о сферическом изображении на случай поверхности ограниченной внешней кривизны. ДАН СССР 111, №5, 945-947 (1956).

[31] Smoller J. Shock waves and reaction diffusion equations. Springer, 1983.

[32] Spivak M. A comprehensive introduction to differential geometry. Vol. III. Publish or Perish, Boston, Mass., 1975.