«Ряды Загье для функции Грина» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Сахарова Нина Евгеньевна

• Сахарова Нина Евгеньевна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Сахарова Нина Евгеньевна

N в параболической точке ¿то

5.2 Приложение 2. Вычисление коэффициентов Фурье функции Грина веса 2 модулярной кривой уровня N

Список литературы

Введение

Теория модулярных форм зародилась в работах классиков математики XIX века и последние полвека переживает новое возрождение. Модулярные формы и модулярные многообразия имеют ряд важных применений в алгебраической геометрии, теории чисел, теории представлений, математической физике. Модулярной функцией для группы Г = БЬ2(Ъ) или некоторой ее конгруэнц-подгруппы Г' называется меро-морфная функция на верхней комплексной полуплоскости Н = {г Е С : ^(г) > 0}, инвариантная относительно действия группы Г (или подгруппы Г'), то есть функция /(г), для которой верно, что /(72) = / = /(г), для любой матрицы 7 € Г'.

Модулярные функции впервые появились в работах Гаусса, Дирихле и Якоби, посвященных изучению эллиптических функций и бинарных квадратичных форм. Дальнейшее изучение модулярных функций связано с именами Кронекера, Эйзенштейна и Вейрштрасса, а в конце XIX века эта теория заняла важное место в работах Пуанкаре и Клейна. Модулярной формой веса к для группы Г' называется голоморфная функция на Н, удовлетворяющая условию / (72) = (сг + ¿)к/(г). Модулярные формы впервые возникли в виде тэта-функций в работах Якоби в 1820-х годах. В конце XIX века Гекке начал первое систематическое изучение модулярных форм относительно группы БЬ2(Ъ) и ее конгруэнц-подгрупп [22]. Гекке первым ввел операторы «усреднения» Т(п) на пространстве модулярных форм. Пусть имеется Гекке-собственная форма /(г) веса к относительно группы Г! (Ж), и ^п> 1 апдп - ее разложение Фурье, пусть а1 = 1. Гекке интерпретировал коэффициенты Фурье ап как собственные значения оператора Т(п), что позволило ему выразить ¿-функцию Дирихле, соответствующую модулярной форме /, Ь(/,в) = ^п> 1 ап/п5, в виде эйлерова произведения

П(1 - арр- + е(р)рк-1-2Т\ р

где е(р) : ^/Ж^)* ^ С* - характер. Немного позднее Петерсон определил скалярное произведение, относительно которого пространство операторов Гекке Т(п) является эрмитовым, тем самым доказав, что если п взаимно просто с уровнем, то существует базис из Гекке-собственных форм относительно оператора Т(п).

Коэффициенты модулярных форм, а вместе с ними и собственные значения операторов Гекке, имеют ряд важных и интересных приложений в теории чисел (например, число способов представить натуральное число в виде суммы четырех квадратов выражается через коэффициенты Фурье функции в(г, 4) = — Дз 02,4(г)). Однако зачастую на практике вычислить эти числа напрямую оказывается довольно трудно. Во многих случаях коэффициенты можно восстановить зная сумму собственных значений, то есть вычислив след операторов Гекке. Первая формула следа была получена независимо друг от друга Атле Сельбергом и Мартином Эйхлером. В 1956 году Сельберг нашел формулу следа для операторов Гекке относительно полной модулярной группы, а в 1957 году Эйхлер доказал формулу следа для операторов Гекке относительно группы Г в случае, когда п является квадратом целого числа.

В 1975 году Дон Загье получил точную формулу следа операторов Гекке, действующих на пространстве параболических форм, в терминах интеграла по фундаментальной области модулярной группы SL2(Z) [44, 27]. Для этого в работе [44, 27] Загье ввел ряд шт(z1,z2), который является бимодулярной формой от двух переменных и интегральным ядром преобразования Гекке, доказав, что скалярное произведение Петерсона параболической формы f (z2) и функции um(z1,z2), f * шт(г1, z2), можно отождествить с действием оператора Гекке T (m) на параболическую форму f с точностью до константы, зависящей только от веса формы k > 2 и индекса оператора m. Дон Загье доказал эту теорему используя метод Ранкина-Сельберга. Другой подход к доказательству, в случае когда вес k = 2, подразумевает построение модулярного ядра Коши, которое, в свою очередь, является первым примером дифференциальной формы на произведении двух модулярных кривых с логарифмической особенностью на кривой Гекке. В этой работе мы развиваем технику Загье, вводя новый объект: бимодулярные дифференциальные формы с заданными вычетами, и используем этот объект для изучения геометрии модулярных поверхностей, а именно для изучения дополнения к простейшему модулярному набору.

Понятие дифференциальной формы с особенностью на кривой впервые появилось в работе Пуанкаре [31], посвященной развитию теории комплексных интегралов и вычетов Коши на случай двойных интегралов. Известно, что интеграл от дифференциальной формы ш = f (z) dz по замкнутому пути y на плоскости C, не содержащему особых точек функции f, равен нулю, иначе значение интеграла будет зависеть от вычета дифференциальной формы в особых точках, заключенных внутри кривой. Пуанкаре ввел понятие вычета рациональной дифференциальной 2-формы на комплексной плоскости C2 с простым полюсом вдоль гладкой комплексной кривой и доказал, что значение комплексного интеграла по замкнутой кривой D С C2 зависит только от особых кривых на этой поверхности. В дальнейшем идеи Пуанкаре были развиты в работах Эмили Пикара (1901), и, с помощью концепций когомологий, в работах Жоржа де Рама (1932-1936) и Андре Вейля (1947), получивших аналогичные результаты о вычетах мероморфных форм степени 1 и 2 на комплексных многообразиях. Позднее, используя идею и технику когомологий, де Рам (1954) и Жан Лере (1959) определили вычеты d-замкнутой регулярной дифференциальной q-формы, q > 1, на D С X с полюсами первого порядка вдоль гладкой гиперповерхности D, где X - некоторое комплексное многообразие.

Пусть X - аналитическое многообразие и D = {f = 0} - гладкая гиперповерхность в X. Рассмотрим замкнутую дифференциальную р-форму ш на X \ D, имеющую простой полюс на D (форма, обладающая полюсом на дивизоре не выше первого порядка, называется логарифмической). Сопоставим форме ш замкнутую дифференциальную р — 1 форму на D, которая называется формой-вычетом, обозначается ResD[ш] и зависит только от класса когомологий ш в X\D. Лере установил, что взятие вычета индуцирует морфизм групп когомологий, Res : Hp(X\D) ^ Hp-1(D). Понятие дуального (кограничного) морфизма 5: Hp-1 (D, C) ^ Hp(X\D, C) в свою

очередь приводит к обобщению формулы Коши

/ ш = 2пг / И^д [ш]

Л(7) Л

для всякого р — 1 цикла 7 в Д. В 1970-х комплексы логарифмических дифференциальных форм использовались в работах П. Делиня, Н. Каца и Ф. Гриффитса для изучения структур Ходжа дополнения к объединению гладких подмногообразий с нормальными пересечениями.

Это исследование посвящено построению модулярных форм от двух переменных, являющихся гладкими представителями классов когомологий модулярных поверхностей. А именно, в работе рассматривается случай, когда в качестве многообразия выступает дополнение к кривой Гекке (графику ^-соответствия Гекке) на произведении двух стандартных модулярных кривых 1о(1) х 1о(1). Явные выражения для гладких представителей классов когомологий являются весьма эффективными при решении различных задач. Так, например, гладкий представитель класса соответствия позволяет описать действие этого соответствия на когомологиях в терминах интегрального оператора. Используя построенную явно дифференциальную форму с простым полюсом на кривой Гекке (модулярное ядро Коши), в работе

доказывается обобщение результатов Загье об интегральном представлении операторов Гекке для параболических форм веса 2 и произвольного уровня. Явная формула для модулярного ядра получается при помощи трюка Гекке (введения комплексного параметра в и предельного перехода):

1 (zi, -Z2) (zi, -Z2)

-W '

r (zi, z2) = lim 1 J]

s^1 2 7er(N) ^(zi, -Z2)|2s К(zi, -Z2)|2s'

fa b\

где zi,z2 G H, (zi,z2) = cziz2 + azi + dz2 + b, 7 = ( j G r0(N). Построенное

ab чс d^

таким образом ядро Коши обладает рядом интересных свойств. Например, в этой работе доказывается, что если род группы T0(N) равен нулю, ядро EW(zi,z2) есть логарифмическая производная (по переменной zi) разности двух нормализованных образующих кольца модулярных функций jn (z^) с точностью до прибавления ряда Эйзенштейна веса 2:

(EN(zi,z2)(z2 - ¿2) - 2ni E^v(zi)) dzi = dzi log | Jr0(N)(p) - Jra(N)(q)|2 ,

где p = e2niZl, q = e2niz2. В свою очередь, логарифмическая производная и логарифм разности двух j-инвариантов является достаточно интересной функцией с изящными арифметическими приложениями.

Логарифмическая производная разности двух образующих кольца модулярных функций относительно полной модулярной группы является центральным объектом

изучения в статье [2], в которой Асаи, Канеко и Ниномия доказали, что для всякой точки г2 € Н верно, что

V 3 (, = ^дЫДмЫ 1 =_± К Ы

«=0^ 2) А(^х) ЛЫ - Л(*2) 2пг - ЛЫ' ( )

где функции Зт(г) = г (г), Т(г) - оператор Гекке индекса г, образуют

систему Гекке. К примеру, ЗоЫ =

^1(г1) = ЛЫ - 744 = + 196884? + ...,

^2(г1) = Л (г)2 - 148871(г1) + 159768 = д-2 + 42987520? + ...,

ЗзЫ = ЛЫ3 - 2232Л(г1)2 + 1069956/1(^1) - 36866976 = ?-3 + 2592899910? +

Для функции ^=0 ^га(г2)е2пггаг1 в работе [2] используется обозначение ИХ2 (г1). Таким образом, введенная нами функция 21(г1,г2) связана с функцией ИХ2 (г1) следующим соотношением: (г1,г2) = -Иг2(г1) + 2пгЕ2,01(2:1). Иными словами, альтернативное выражение для 21(г1,г2) имеет вид:

2- ¿2)^2 - ¿2) - = - £ >Ы в2—1.

т=0

В статье [14] Брунье, Конен и Оно получили много арифметических следствий из формулы (1). Например, была доказана теорема:

Теорема 1. (Бтипгет, КоНпвп, Опо) Пусть f = а«?" - ненулевая мероморфная модулярная форма веса к относительно группы Г, такая, что а^ = 1. Пусть, как и ранее, Ф1 - фундаментальная область группы Г, и

1/2, г =г 1/3, г = ш = 1, г = г, ш

Тогда имеется следующее выражение для тэта-оператора Рамануджана:

к^дЫД^)

где

©а) := £ па„е2™ = ^^ - f (^еЫ,

и=Н

ае := X] оГ^2(а) (г1 ).

¿2^1

Эта теорема дает некоторую алгебраическую информацию о функциях Иг2 (г1) и Зп(г), вычисленных в конечном наборе точек дивизора мероморфной модулярной формы. Шнейдер доказал, что если число г алгебраично и имеет степень большую 2, то Л (г) трансцендентно (1937). Следующее следствие [14] из Теоремы 1 в свою очередь обобщает классический факт о том, что если г - точка Хегнера, то /1(г) алгебраично:

Следствие 1. (Бтипгет, КоНпеп, Опо) Пусть / = ^апдга - мероморфная модулярная форма веса к относительно группы Г, такая, что а^ =1. Если г0 - точка, для которой ог^о (/) = 0, и коэффициенты / лежат в числовом поле К, то Л (г0) - алгебраично.

Отметим, что функция (г1) также занимает центральную роль в работе Дона Загье [45]. В работе [4] (2017) Брингманн, Кейн, Лобрич, Оно и Ролен построили полярную гармоническую форму Мааса веса 2, НМ г (г1), обобщающую функцию Нг2 (г1) на случай произвольной конгруэнц-подгруппы Г0(Ж). В наших обозначениях:

#N,¿2 (*1) = —(^1,^2) + (^1),

и (г1) = —(г1, г2). Так же, как Теореме 1.2, функция (г1) была построена как аналитическое продолжение с помощью трюка Гекке ряда

V-ч , \ I /.о, ^ 1 S

pn , s(Zl,Z2 )

при в ^ 0 (в этом случае ¿2 (г1) = — Иш^0 , «(г1,г2)).

Напомним, что гармонической формой Мааса целого веса к называется вещественно-аналитическая функция / веса к: Н ^ С, которая под действием модулярного преобразования преобразуются как модулярная форма веса к, в параболической точке имеет не более чем экспоненциальный рост (существует константа С > 0, такая что /(г) = 0(еСу), у ^ то) и аннулируется гиперболическим оператором Лапласа веса к:

д2 д2\ /5

Л = — у2 тгт + тг^ + 2гку — + —

dx2 dy2 J dy,

В случае, если такая функция f имеет полюс на верхней полуплоскости, f называется полярной гармонической формой Мааса. В работе [3] показано, что функция HNrZ2 (z1) как функция переменной z2 является полярной гармонической формой Мааса веса 0, и как функция переменной z1 - полярной гармонической формой Мааса веса

Кроме того, в работе [4] получено непосредственное обобщение Теоремы 1 для случая произвольной конгруэнц-подгруппы Гекке r0(N):

Теорема 2. (Bringmann, Kane, Lobrich, Ono, Rolen) Пусть f = - ненуле-

вая мероморфная модулярная форма веса k относительно группы Г0 (N), такая, что ah =1. Пусть Ф^ - фундаментальная область группы Г0 (N). Определим дивизор полярной гармонической формы Мааса:

fdiv(zi)= £ eN,z2ordz2(f) Я^2(zi).

z2e&N

Тогда

e(f> = Шл - f<zi)-

Отметим, что модулярное ядро Коши (г1,г2) является первообразной авто-морфной функции Грина по одной из переменных. Автоморфной функцией Грина )\н или резольвентой ядра называется Г0(Ж)-инвариантная функция на Н х Н, гармоническая по обеим переменным и имеющая логарифмическую особенность наДы = {(г,7^) | 7 € Г0(Ж)}. Естественно предположить, что функция

однако данная функция расходит-

¿1 -YZ2

¿1 -YZ2

Gro(N)\H(z1,z2) - есть ряд E7er0(N)/±1 log

ся как 1/n. Поэтому в качестве автоморфной функции Грина была предложена следующая функция, введенная в [21]:

Gro(N)\H(zi,Z2,s) = -2 ^ Qs-1 ( 1 + ^ZZ^Tr) , (zi,Z2 е H,Z2 = ro(N)zi),

7ero(N )/±1 ^ ^(Zl)^(7Z2)/

где Qs-1 = JO^ (t + \Jt2 — 1 cosh u) s du (t > 1, s > 0) - функция Лежандра второго рода. Более точно:

Gro(N)\H (Z1,Z2) =lim(Gro(N )\h(z1 ,Z2,s) — es(Z1,Z2)).

Здесь функция es(z1, z2) является некоторой комбинацией рядов Эйзенштейна и элементарных функций (см. [48]).

В этом исследовании при помощи модулярного ядра Коши приводится представление для разности двух автоморфных функции Грина в виде регуляризованного интеграла по фундаментальной области: пусть u,v,w - некоторые точки на верхней комплексной полуплоскости H, Ф^ - фундаментальная область группы r0(N). Тогда

Gro(N )\H(w,v) — Gro(N)\H(w,u) =

Г reg _

= (2пг) / (г,и)(и - и) - 2ы- V)) 2ы(г,ад)(ад - ад) ^г^г,

о Ф^

где _

^Го(м)\н(^1, *2) = Ит (Сго(м)\н(^1, ^2, в) + (¿Ъ))

Автоморфная функция Грина играет ключевую роль в работе [48] Бенедикта Гросса и Дона Загье, в которой значение функции Грина было связано с высотой дивизоров степени 0 на модулярной кривой Х0(Ж) и с производными ¿-функций параболических форм веса 2 и уровня N. В изложении связи функции Грина Сг0(м)\н(г1, г2) с высотой дивизоров Хегнера на якобиане модулярной кривой ) мы следу-

ем обзору [46]. Пусть X - кривая над Q. Дивизором степени 0 на X называется конечная формальная линейная комбинация г = ^2пДж^), (х € X(О), щ €

Щ = 0. Говорят, что дивизор определен над О, если га = г для всех а € Са1(<Ц>/О). Фактор группа абелевой группы таких дивизоров по подгруппе главных дивизоров, (а) = х ог^а) • (х) (х - ноль или полюс рациональной и определенной над О функции а : X ^ Р1) является множеством Зх (О) рациональных точек на якобиане Зх кривой X. Теорема Морделла-Вейля утверждает, что группа Зх (О) конечно

порождена. Согласно теории Нерона-Тейта, каждому дивизору г степени 0 можно сопоставить вещественное число, h(r) > 0, которое называется канонической высотой, зависит только от класса дивизора г в jx (Q) и задает квадратичную форму на JX(Q), h(r) = (г,г), для определенной симметрической билинейной формы ( , ) на JX(Q) (the height pairing). Более того, h(r) зануляется только если г имеет конечный порядок в JX (Q).

Пусть f (z) - Гекке собственная форма веса 2 относительно группы r0(N), f (z) = S^Li e2nmz, и L(f, s) = 5^= ann-s - соответствующая L-функция. Пусть коэффициенты Фурье an G Q, тогда существует эллиптическая кривая E, определенная над Q и связанная с функцией f соотношением: ap + #E(Z/pZ) = p +1, для всех p не делящих N (Эйхлер, Шимура). Фалтингс доказал, что эта кривая единственна с точностью до изогении. И наоборот, Теорема о модулярности, доказанная Брейлем, Даймондом, Конрадом и Тейлором в 1999 году, утверждает, что всякая эллиптическая кривая над Q возникает таким образом. Согласно частному случаю гипотезы Берча-Свинертона-Дайера, если кривая E имеет бесконечно много рациональных точек, то L(f, s) зануляется и

L'(f, 1) = h(P) ■ ш (3)

для точки P G E(Q) ® Q, где ш - некоторое определенное положительное вещественное число (период E) и h : E(Q) ^ R - функция высоты на E, отождествленная с высотой на якобиане E посредством отображения x ^ (x) — (0). Э. Уайлс доказал [41], что существует Q-морфизм ^ : X0(N) ^ E, переводящий то G X0(N) в O G E, где N - кондуктор E. Таким образом, всякому Q-рациональному дивизору г = i ^¿(xj) на X0(N) можно сопоставить Q-рациональную точку P = i nj(^(xj)) на E. Так построение на X0(N) дивизора над Q степени 0, и сопоставление высотам этих дивизоров производных L-функций параболических форм веса 2 и уровня N в точке s = 1 можно использовать для доказательства (3).

Конструкция Q-рационального дивизора на X0(N) основана на теории комплексного умножения и принадлежит Хегнеру и Берчу. Пусть K - мнимоквадратичное поле с дискриминантом D (предположим, что D взаимно просто с 2N и равно квадрату целого числа по модулю 4N). Тогда существует бесконечно много z G H, таких, что az2 + bz + c =0, a, b, c G Z, b2 — 4ac = D, N|a, и только конечное число таких чисел по модулю действия группы T0(N) (назовем эти решения zD,1, ...,zD,h G H/r0(N) С X0(N)(C), h - определенное число классов). Согласно теории комплексного умножения, числа z^,i - алгебраичны в X0 (N)(C) и переставляются под действием группы Gal(Q/Q), поэтому дивизор степени 0, гд = hL 1(zD,i) — h ■ (то) определен над Q. Дивизор гд называется дивизором Хегнера, соответствующим полю K. Загье и Гросс в работе [48] доказали теорему для простых N = p:

Теорема 3. (Gross, Zagier)

4n2 ,

г^е сумма пробегает по всем Гекке собственным формам f Е S2(N) с W/ = — 1,

II/II2 = / /h/P0(n) if (z)|2dxdy и L(f, D, s) = ЕГ=1«/(n) (f) n-

Высота Нерона-Тейта является суммой локальных компонент, поэтому для доказательства этой теоремы Загье и Гросс вычисляли локальные высоты. Пусть r = Еп%(х%) и n = Е mj (yj) - Q-рациональные дивизоры степени 0 на кривой X/Q и пусть x% = yj для всех i, j. Тогда (r, n) = (r, n) + Ep (r, n)p, где сумма пробегает по всем простым числам p. (r, n)v - вещественное число, непрерывно зависящее от x%, yj в v-адической топологии. Локальное спаривание является билинейной и симметричной формой и удовлетворяет соотношению: (r, n)v = Е% nilogif (x%)|v, если n = (f) - главный дивизор. В бесконечности (r, n)^ = Е%j n%mjG(x%,yj), где G - функция Грина на X, такая, что G(-,y) непрывная и гармоническая функция на X за исключением логарифмической особенности с вычетом +1 в точке y и —1 в точке уо. Применяя общую теорию к дивизорам Хегнера на X0(N), можно получить, что

h Ы

(rD, rD/) = Е J^Gro(w)\h(zd,%,zd/,%/) — E n(D,D',p)logp, i=1 i' = 1 p

где Gro(N)\н - функция Грина на X0(N)(C) (y0 = то) и n(D,D',p) - некоторое рациональное число, которое можно явно вычислить, используя теорию комплексного умножения и знания о модели X0(N) над Z.

В статье [36] Шимура определили соответствие между модулярными формами веса 2 и модулярными формами веса 3/2. Если f - Гекке-собственная форма веса 2, обозначим через g/ образ f под действием этого соответствия; пусть g/ (z) = Ed<0 с/(D)e2nj|D|z, z Е H. При помощи явного выражения для функции Грина Загье и Гросс получили значение функции Грина в точках Хегнера в виде бесконечной суммы функций Лежандра, доказали, что

ы Ы

E E Gro(N)\H(Zf,i, Zf',%') = E n(D, D',p) logp + - E с/(D)c/(D') ||g/||2L'(f, 1), i=1 i'=1 p /

и, используя это выражение получили, Теорему

Стоит отметить, что полученная в этой работе формула (2) является одним из примером однозначного периода (the single-valued period). Однозначные периоды образуют интересный класс чисел и функций, включающий полилогарифмы, кратные дзета-значения, регуляторы. Понятие «период» было введено в работе Концевича и Загье [24]. Периодом называется комплексное число, вещественная и мнимая части

которого являются значениями абсолютно сходящихся интегралов от рациональных функций с алгебраическими коэффициентами по областям в Rn, заданных полиномиальными неравенствами с алгебраическими коэффициентами. В работе [6] Браун, Дюпонт ввели понятие «a single-valued integration pairing» между дифференциальными формами и двойственными дифференциальными формами, который определяется переносом действия комплексного сопряжения от сингулярных когомологий к когомологиям де Рама при помощи изоморфизма сравнения. Пусть X - гладкое проективное многообразие размерности n над k, и пусть D1, D2 С X - дивизоры без общих неприводимых компонент, такие, что D1 U D2 - дивизор с нормальным пересечением на X. Однозначный период - это спаривание между следующими классами дифференциальных форм:

Следующая Теорема (см. [6]) дает формулу спаривания между двумя n-формами ш и v с логарифмическими особенностями вдоль дивизоров с нормальным пересечением Di и D2 соотвественно.

Теорема 4. (Brown, Dupont) Однозначный период вычисляется при помощи следующего абсолютно сходящегося интеграла:

В заключительной главе мы работаем с модулярными поверхностями Гильберта и модулярным ядром Коши - дифференциальной 1-формой на поверхности Гильберта с простым полюсом вдоль дивизора Хирцебруха-Загье. В работах [8, 9] Ричард Борчердс построил подъем из эллиптических модулярных форм веса 1 — п/2 с полюсами в параболических точках в автоморфные формы относительно ортогональной группы 0(2, п) с известными нулями и полюсами вдоль дивизоров Хегнера, которые можно записать в виде бесконечного произведения, так называемого произведения Борчердса. В статье [10] Брунье, мотивированный обратным вопросом: верно ли, что всякий главный дивизор Хегнера получается как дивизор произведения Борчердса в случае 0(2; 2) (модулярных форм Гильберта), построил ряд Пуанкаре Фт(г1 ,г2) - функцию с логарифмической особенностью на дивизоре Хирцебруха-Загье. При помощи данной функции Брунье для всякого дивизора Хегнера Н построил «обобщенное произведение Борчердса» и определил явно классы Черна дивизора Н.

В случае модулярных поверхностей Гильберта мы предъявлем аналог построенного ранее модулярного ядра Коши, то есть строим дифференциальную 1-форму с простым полюсом вдоль дивизора Хирцебруха-Загье и приводим интегральное представление для значений ряда Пуанкаре Фт(г1,г2), соответсвующего дивизору

HdR(Xmod Di) 0 HdR-r(X\Di mod D2) ^ R [v] 0 M ^ (2™)-ra([v] ,s M>

Хирцебруха-Загье Tm вдоль другого дивизора Tn

Основные результаты диссертации

1. Доказательство обобщения теоремы Загье об интегральном представлении операторов Гекке на случай параболических форм веса 2 и уровня N.

2. Аналитическое доказательство утверждения о том, что разложение Фурье разности двух нормализованных образующих кольца модулярных форм в окрестности бесконечности представляется в виде бесконечного произведения Бор-чердса.

3. Представление автоморфной функции Грина в виде регуляризованного интеграла по фундаментальной области группы r0(N).

4. Конструкция дифференциальных бимодулярных форм с заданными вычетами.

5. Интегральное представление для ограничения автоморфной функции Грина, соответствующей данному дивизору Хирцебруха-Загье на модулярной поверхности Гильберта на другой дивизор Хирцебруха-Загье.

Основные методы исследования

В диссертации используются различные методы аналитической теории чисел и теории модулярных форм.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут представлять интерес для специалистов в области теории чисел, теории автоморфных форм и модулярных поверхностей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему ««Ряды Загье для функции Грина»»

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Доклад «Bimodular forms and periods» («Бимодулярные формы и периоды») (Англия, Оксфорд, Математический институт, семинар «Periods and motives», ноябрь 2018);

2. Доклад «Modular Cauchy kernel for the Hecke curve» («Модулярное ядро Коши для кривой Гекке») (Россия, г. Санкт-Петербург, конференция «Modular Forms and Beyond», май 2018);

3. Доклад «Бимодулярные формы с заданными вычетами» (Россия, г. Москва, НИУ ВШЭ, семинар «Автоморфные формы и их приложения 2», апрель 2017);

4. Доклад «Bimodular forms with given residues» («Бимодулярные формы с заданными вычетами») (Россия, г. Москва, НИУ ВШЭ, конференция «Workshop: motives, Periods and L-functions», апрель 2017)

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях:

1. N. Sakharova, Modular Cauchy kernel corresponding to the Hecke curve. Arnold Mathematical Journal, 4(3), 301-313 (2019).

2. N. Sakharova, The integral representation of automorphic Green's functions associated with Hirzebruch-Zagier divisors. European Journal of Mathematics, 5(2), 528-539 (2019)

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка литературы. Главы разбиты на разделы. Полный объем диссертации 77 страниц, библиография включает 48 наименований.

Краткое содержание работы

Введение к диссертации содержит обзор литературы и короткий обзор исследований тем, затронутых в диссертации. Во введении также описывается геометрическая формулировка задачи и фиксируются некоторые условные обозначения.

Содержание главы 1

В первой части этой главы даны определения и некоторые теоремы, полезные для понимания формулировки задачи. Вторая и основная часть главы 1 посвящена изучению представителя кольца H2, (logTN)) - модулярного ядра Коши. Пусть zi, z2 - произвольные точки из верхней полуплоскости H = {z : ö(z) > 0}

и

(zi, Z2) = CZ1Z2 + dz2 + azi + b,

где y = (abb) - целочисленная матрица с определителем m. Пусть T0(N) - конгруэнц-подгруппа Гекке группы SL2(Z).

Модулярное ядро Коши Sn (z1,z2) - это модулярно инвариантная функция от двух переменных, имеющая асимптотику Sn(z1,z2) ~ - при z1 ^ z2. В главе 1 рассмотрены два приложения этого ядра. В случае, когда род группы Г0(N)

больше нуля, доказан аналог теоремы Загье [44, 27] для параболических форм веса 2 и для N > 1. В случае, когда род конгруэнц-подгруппы равен нулю, приведено элементарное доказательство формулы Борчердса [8] бесконечного произведения для разницы двух нормализованных образующих кольца модулярных функций,

Используя метод Ранкина, в статье [44, 27] Дон Загье доказал, что оператор Гекке Тк (т) на пространстве параболических форм веса к > 2 можно определить при помощи ядра интегрального преобразования шт(г1,г2, к):

^,^к)= Е „ (У/_*л* = Е 1

где суммирование производится по всем целочисленным матрицам (а Ь) с определителем т.

Теорема 5. /44/ Пусть Ф1 - фундаментальная область для полной модулярной

(-1)к/2п

группы Г в Н. Положим Ск = -г-; тогда, для всякой голоморфной парабо-

2к-3(к — 1)

лической формы f веса к > 2 имеем

f (z1)wm(z1, Z2, k)(S(z1))fc 2dz1 dz1 = f * Wm(z1, Z2) = Ckm1 k(Tfc(m)f )(z2),

/Фх

где f * g = /Ф f (z)g(z)(S(z))fc 2dz dz - скалярное произведение Петерсона.

В разделе 1.2 получено обобщение Теоремы 5. А именно, доказано, что имеется аналогичное интегральное представление для операторов Гекке на пространстве параболических форм веса 2 относительно группы r0(N). Положим

M(m, N) = | i ad — bc = m, (a,N) = 1, с = 0 (mod N)J .

Рассмотрим ряд

(z1, z2) = о

2 ^ (^ь—г2)2

7еМ(т,Мк ^ ^ 2у

Ряд (^1, г2) не сходится абсолютно, но при помощи трюка Гекке можно рассмотреть аналитическое продолжение этого ряда и определить его в терминах предела.

Теорема 6. Пусть Ф^ - фундаментальная область для модулярной группы Г0^) и пусть род группы Г0^) больше нуля. Тогда для всякой голоморфной параболической формы f веса 2 верно, что

f (z1)wm,N(z1, z2)dz2dz2 = f * (z1, Z2) = 2nim (T2(m)f )(Z1).

С геометрической точки зрения более естественный путь доказательства этой теоремы заключается в построении аналога ядра Коши. Наивно, ядро Коши задается следующим рядом:

1 ^ 1

(Z1'Z2) = 2 J]

При к = 1 ряд (^1 , .2) не сходится абсолютно; однако точка к =1 лежит на границе сходимости, поскольку ряд

^ (*ь-*2абсолютно сходится

7€го(м) 7 7

для всякого 5, если вещественная часть > 1. Далее с помощью трюка Гекке введен ряд

(^5) = 2 ^) К(=1, -»Г К(.1, -¡22)12- • (4)

где 5 - комплексный параметр. В разделе 1.2 показано, что ряд (4) сходится при 5 = 1, после определена функция (21,22) = (г1,.2,в) и доказана Теоре-

ма 1.3.

Вторая часть этой главы посвящена случаю, когда род конгруэнц-подгруппы равен нулю. Пусть p = e2niZ1, q = e2niz2, и пусть Jr0(N)(p) - нормализованная образующая кольца модулярных функций относительно группы r0(N). В части 1.3 получен следующий результат:

Теорема 7. Пусть

стандартный ряд Эйзенштейна для параболической точки ¿то. Тогда

(EN(zi,z2)(z2 - ¿2) - 2ni E^v(zi)) dzi = 4i log | Jro(N)(p) - Jro(N)(q)|2.

В 1980-х годах Койк, Нортон и Загье независимо друг от друга доказали, что имеет место следующее бесконечное произведение для разности двух образующих кольца модулярных функций относительно полной модулярной группы Г:

1

Jr(p) - Jr(q)= Р-1П (! - prqr')c(rr,)'

где Jr(p) = j(p) - 744 = p + E„>o c(n)pn.

r>0

r'ez

В разделе 1.3 вычислены коэффициенты Фурье-разложения функции (.1, .2) и, как следствие Теоремы 7, получена формула бесконечного произведения для разности двух нормализованных образующих кольца модулярных функций группы Г0 (X) (когда род группы равен 0). Пусть ру,^(г) - г-ый коэффициент Фурье ряда Пуанкаре с параметром Г > 0, тогда

Теорема 8.

1 ( \ 1 ( 11 W П А r r' /rr'

Jro(N)(p) - Jro (n) (q) = ( p --Ш Ц ^ - P-J .

\p У/ r>0 d|(r,r',N) r'>0 |( , , )

В разделе 1.4 доказана теорема о том, что разница двух автоморфных регуляри-зованных функций Грина может быть представлена в виде регуляризованного интеграла:

Теорема 9. Пусть u,v,w - некоторые точки на верхней комплексной полуплоскости, H, - фундаментальная область группы r0(N). Тогда

lim (Gro(w)\h(w, u, s) + 4nE0°N(u) - Gro(N)\H(w, v, s) + (v)) =

с reg

= (2пг) 1 / (Е^-(г,и)(и — и) — — V)) (г,ад)(ад — ад)

J ф^

Содержание главы 2

В вводной части 2.1 приведены базовые утверждения о вычетах и логарифмических дифференциальных формах. В части 2.2 приводится конструкция дифференциальных форм на поверхности 1о(1)2 \ Т^ с заданными вычетами.

Содержание главы 3

В статье [10] Брунье рассмотрел ряды Пуанкаре Фга(г1,г2,в) с логарифмической особенностью вдоль дивизора Хирцебурха-Загье Тп. Конструкция этих рядов Пуанкаре аналогична конструкции резольвенты ядра для ЯЬ2^):

, . V"^ ( 1 az1z2 + Az1 + A/z2 + b|2

леа^к1 ab-N(A)=ra/D

В этой главе представлено другое выражение для значений ряда Пуанкаре, соответ-свующего дивизору Хирцебруха-Загье Tn, в точках другого дивизора Tm в случае, когда D = p простое, p = 1 (mod 4) и ^^ = +1. В этом случае дивизор Tm неприводим и изоморфен модулярной кривой X0(m). Задача этой главы - определить ограничение ряда Пуанкаре-Брунье в терминах интеграла по фундаментальной области группы Г0(т) от двух рациональных функций, модулярных ядер Коши в гильбертовом случае. В случае модулярной поверхности Гильберта, модулярное ядро Коши, "Hii,m(z1, z2)(z2 — z2), является функцией, инвариантной относительно действия модулярной группы Гильберта, с полюсом первого порядка на дивизоре Хирцебруха-Загье

± m■

В части 3.1. приведены основные определения, связанные с модулярными поверхностями Гильберта и дивизорами Хирцебруха-Загье. В части 3.2. рассмотрены некоторые свойства модулярного ядра Коши, связанного с дивизорами Хирцебруха-Загье, его связь рядом ¿2, к), введенным Доном Загье в работе [42] в связи

с изучением поднятия Дои-Накагумы, и функцией Пуанкаре-Брунье Фт(г1,г2). В работе [42], Дон Загье доказал, что для любой пары фиксированных точек ¿1 и ¿2 следующая функция (по переменной т)

те

^Hil,n(Zl,Z2 ,Т) = ^ nfc-Wl,n(Zi, ¿2, k)e2ninT

'HiL

n=1

является параболической формой веса k относительно действия группы r0(D) с характером £ = (D/).

Ядро Коши можно представить как сумму двух функций (как в [10]),

n/D EHil,n(zi,Z2) = ^«(¿1,^2)+ Un(zi,z2),

где функция un(z1,z2) не имеет особенностей, а функция ^n(z1,z2) имеет простой полюс на дивизоре Tn. Имеется следующее предложение:

Предложение 1. Пусть Kn(z1) = in2 Ha(0, —n)a-1(ö(z1 ))-1.

Для (z1, z2) G 1x1—S(n), > n/D и n = 0, функция ^«(¿ъ ¿2) = ^«(¿ъ ¿2) —

кп(z1)n/2D, имеющая простой полюс на Tn, имеет следующее представление в виде бесконечного произведения:

^(¿1 ,¿2) = ^ log П I1 — ^^ f^'(П) ,

1 v>0,v '>0

где p-Dvv' (n) - коэффициенты Фурье некоторой определенной линейной комбинации рядов Пуанкаре (см. раздел 3.2). Для голоморфной на H2 функции пп(г1,г2) = ип(г1,г2) — Kn(^1)n/2D верно, что функция

d

тогь^т) = £ пп(^1,г2)е2пгпт = ^ P-dvv'(т) ^ log

n>0 vGÖ^1

v>0,v'<0

1 _ g2ni(vzi+v'z2)

является параболической формой веса 2 относительно действия группы r0(D) относительно переменной т.

Результат, аналогичный первой части этого предложения был получен Брунье для функции Фга(г1,г2,з) в работе [10].

В части 3.3. приведено доказательство следующей Теоремы:

Теорема 10. Пусть D = p и p = 1 (mod 4), тогда

m 'res

2ni Фп(г, w) |тт = ^ / (=ш1,п(г, w) d^ + £Hii,n(w, ¿) dw)

Tm

где Fp0(m) - фундаментальная область для конгруэнц-подгруппы Гекке Г0(т), SHil,n(z, w)|Tm - ограничение модулярного ядра Коши на дивизор Хирцебруха-Загье

Tm = У {(z,w) G H2; w = -Mz} ,

M €A(m)

и A = п/(2г)Е А - константа, где А = |А|, если А G dK1,AA/ = -m/D и |Aöz| < |Aöw| или |Aöw| < |Aöz|.

Благодарности

Прежде всего, я хочу поблагодарить своего учителя и научного руководителя профессора Андрея Михайловича Левина за постановку интересных и красивых задач, многочисленные обсуждения и бесценные идеи. Осипа Владимировича Шварцмана за вдохновляющие лекции и, организованный совместно с Алексеем Ивановичем Зыкиным, прекрасный семинар, благодаря которому я увидела красоту модулярных форм. Алексея Валерьевича Гриценко за организацию интереснейших конференций, школ и лекций на факультете математики, посвященных автоморфным формам. Профессора Френсиса Брауна за полезные беседы и гостеприимство, оказанное мне в Оксфордском Институте математики. И, наконец, я хочу поблагодарить своих родителей и мужа за постоянную поддержку.

1 Модулярное ядро Коши

В главе 1 будет построен представитель кольца Н2, 2 )) - модулярное

ядро Коши, и рассмотрены некоторые его свойства.

1.1 Кривые Гекке на произведении модулярных кривых

В этой вводной части мы даем геометрическую формулировку задачи и приводим необходимые определенияи теоремы. Пусть N - целое положительно число.

Определение 1.1. Главной конгруэнц-подгруппой уровня N называется группа

Группа Г(1) = ЯЬ2^), и, кроме того, группа Г(^ является ядром естественного гомоморфизма ^ SL2(Z/NZ) и потому нормальна в ЯЬ2^).

Определение 1.2. Подгруппа Г' группы называется конгруэнц-подгруппой

уровня N, если Г^) С Г' для некоторого N е .

Мы будем работать с конгруэнц-подгруппой Гекке:

Рассмотрим модулярную кривую ) = )\Н, которая является некомпакт-

ным комплексным многообразием с конечным числом особых точек. Пусть Х0 ^) ее компактификация, а именно:

Точки конечного множества Г0 ^ДР1 = )\У0^) называются параболическими

точками.

Теорема 1.1. Род д = д(^о(р)) модулярной кривой для простого р равен

(1.1)

(1.2)

где Н* = Н и Р1(0) и Г0(N) действует на Р1(0) = О и {то} таким образом:

где

0, р =2, 1, р = 1 той 4 — 1, р = 3 той 4 .

0, р = 3,

1, р = 1 той 3 , — 1, р = 2 той 3 .

Известно, что точки модулярной кривой ) = Го(Х)\Н находятся в биективном соответствии с парами (Е,С^), где Е - эллиптическая кривая над С, а С^ -циклическая подгруппа порядка N. Биекция устроена следующим образом:

С гЪ + \ г ' 1

( с ¿ъ + 1/^\

гЪ + Ъ гЪ + Z

Нетрудно увидеть, что всякая пара (Е, С^) изоморфна ^¿Ъ+Ъ, ¿¿Ъ+Ъ;Ъ ) для неко-

тлт (с -Ъ+1/М ъ\ ( С -'Ъ+1/М ъ\

торого г е и и что две пары , --Ь^ и (^-Ъ+Ъ, -Ъ++т) для некоторых

г, г' е Н изоморфны друг другу тогда и только тогда, когда г' е Г0(N)г.

Пусть (Г\Н-1) х (Г\Н-2) = Уо(1) х Уо(1) = У2 - декартово произведение двух стандартных модулярных кривых. Пусть ](г) = 1/д + 744 + 196884^ + 21493760д2 + ..., ^ = е2пг- - модулярный ^-инвариант. Известно, что функция ] : Н/Г А С осуществляет взаимно однозначное соответствие между классами изоморфных эллиптических кривых (или решетками с точностью до умножения на константу) над С. Проекция р : Н-. А Уо(1) устроена естественным образом: всякой точки верхней полуплоскости ¿г е Н соответствует эллиптическая кривая Е = С/[гг, 1], которая переходит в точку ](Е) на Уо(1). Пусть (X, У) - координаты на У2.

Рассмотрим оператор Т(N), действующий на множестве всех решеток в С (соответствие Гекке), который преобразует каждую решетку в сумму ее подрешеток индекса N:

Т ^ )Л = ^ Л'.

[Л:Л']=М

Сумма в правой части равенства конечна. Если N = р - простое число, то эта сумма содержит ровно р +1 слагаемое. Соответствие Гекке можно рассматривать как многозначное отображение из пространства модулей эллиптических кривых У0(1) в себя. Геометрически это отображение можно представлять как график внутри Уо(1) х У0(1). Поскольку Уо^) параметризует пары N-изогенных эллиптических кривых (Е, Е') (кривые Е = С/[г1, 1] А Е' = С/[г2,1], и р - циклическая изогения с ядром кег р ~ Z/NZ), то график соответствия Гекке - есть кривая ), «вложенная» в Уо(1) х Уо(1) ~ Р1 х Р1 естественным образом. Эту кривую Т^ С Уо(1) х У0(1) мы будем в дальнейшем называть кривой Гекке. Вообще говоря, Т^ является особой кривой, она имеет точки самопересечения, в то время как Уо^) ей бирационально эквивалентна, но не изоморфна.

Альтернативная точка зрения такова: рассмотрим произведение двух верхних полуплоскостей, на каждой из которой действует группа Г. Прообраз кривой Гекке на Н х Н состоит из всех пар точек

{(Т1,Т2) | Т2 = МТ1, М е М'(N)} ,

где M'(N) - примитивная матрица с определителем N. Прообразы кривых Гекке на Н х Н здесь также будут именоваться «кривыми Гекке» и обозначаться Т^.

Пример. В случае N = 1 кривая Т1 - есть диагональ (X, X) в Y2, а ее прообраз Ti есть множество точек (21,721), где 7 Е Г.

Напомним, что Ф^ (X, Y) Е C [X, Y] - это минимальный многочлен, такой, что

Фм (j (z),j (Nz)) = 0.

Можно считать, что tn - это множество точек (X, Y) на Y2, таких, что Ф^(X, Y) = 0.

Теперь опишем точки пересечения двух кривых Гекке. Для этого напомним определение точки Хегнера:

Определение 1.3. Точка т Е H называется точкой Хегнера дискриминанта D < 0, если существуют целые числа а, b, c Е Z, такие что D = b2 — 4ac и

ат2 + Ьт + c = 0.

Образы т на Y0(1) и на X0(1) так же называются точками Хегнера (будем обозначать их [т]).

Точки Хегнера на Y0(N) связаны с тройками (E,E',р), в которых обе эллиптические кривые E, E' допускают комплексное умножение на один и тот же порядок O. Более точно: пусть kd = Q(\/D) мнимоквадратичное поле. Для простоты будем считать, что D = —3, —4, отсюда кольцо целых О к имеет группу единиц OK = {±1}. Зафиксируем целое число N, такое что любой его простой делитель полностью разложим в K. Это условие гарантирует существование простого идеала N в кольце целых OK, такого, что OK/N ~ Z/NZ. Кроме того, N-1/OK ~ Z/NZ. Теперь рассмотрим порядок О кондуктора n, взаимно простого с N. Тогда N. = N П O есть обратимый идеал в O, для которого N-1 /О ~ Z/NZ. Можно увидеть, что N-1/O -циклическая подгруппа в E = С/О порядка N и, по определению, (С/О,N-1/O) -точка Хегнера на X0 (N).

Рассмотрим пересечение двух кривых Гекке tn и T на H х H. Пусть M(N) - множество матриц с определителем N, и пусть M'(N) подмножество в M(N), состоящее из примитивных матриц, т. е. матриц, для которых наибольший общий делитель (a,b,c, d) всех четырех чисел равен 1. Точка в пересечении (будет обозначать ее P) должна быть решением системы:

Z2 = 7*1

Z2 = MZ1,

где 7 Е Г и M Е M'(N). Пусть P имеет координаты (p, 7p), тогда p - есть решение уравнения 724 = Mz1. Итак,

Замечание 1.1. Точки пересечения двух прообразов модулярных соответствий TN и TM на H х H есть точки комплексного умножения (CM-points), а точки в пересечении TN П TM есть точки Хегнера.

Определение 1.4. Модулярный набор (modular arrangement) - это множество кривых T(S) = {TN}NeS для некоторого конечного подмножества S в N.

Стандартный вопрос, связанный с модулярными наборами кривых - это описание групп когомологий дополнения всего пространства к множеству выкинутых кривых. В главе 2 построим представителей групп когомологий пространства Y2 \ tn . В следующей части мы построим представителя кольца H 1(Y2, 2 (logT^)).

1.2 Аналог теоремы Загье об интегральном представлении операторов Гекке на случай параболических форм веса 2 с уровнем

Пусть zi, z2 - произвольные точки из верхней полуплоскости H = {z : S(z) > 0} и

(zi, z2) = CZ1Z2 + dz2 + azi + b,

где y = (abb) - целочисленная матрица с определителем m. Пусть j7(z) = (cz + d) -фактор автоморфности.

Назовем модулярным ядром Коши следующий ряд:

SN,fc(z1, z2) = 1 V --Г^Т /-. (1.3)

2 7^) ^ (z1, z2)k^7 (z1, z2)k

При k =1 ряд SN;k(z1, z2) не сходится абсолютно. Используя трюк Гекке, рассмотрим ряд __

с (z z s) = 1 V (z1,-z2) (z1,-Z2) (1 4)

(*,*,.)= 5 J^ ^ (z1, - z2)|2' |„7 (z1, ¿2) |2S ' (1'4)

где s - комплексный параметр. Поскольку ряд (1.4) не является абсолютно сходящимся, мы определим сумму этого ряда как значение функции S>(z1,z2,s) в точке s = 1. Для этого докажем следующую теорему.

Теорема 1.2. Ряд S>(z1,z2,s) может быть продолжен аналитически в точку s = 1.

Доказательство. 1. Разобьем сумму (1.4) на подсуммы, соответствующие разным значениям c (при этом суммы соответствующие c и —с объединим в одно слагаемое), получим

S>(z1, z2, s) = S>(z1, z2, s) + 2 S>0(z1, z2, s),

где ряд S>(z1,z2,s) соответствует значению с = 0, а ряд S>0(z1,z2,s) соответствует с > 0. Тогда

(z1, z2, s) = Y1

-0

(dz2 — az: — b) (dz2 — az: — b) («Î-1 |dz2 — az: — b|2s |dz2 — azTj^ — b|2s '

— ( ) = Q ^ ^ с2 ((czi + d)(cz2 - g) + 1)

-n(zi,z2,s) = Q ^ ix |c|-4S l(czi + d)(cz2 - a) + 1 |2s'

c=0 (mod N) ad=1 (mod c)

((cZi + d)(cz2 - a) + 1) ■ |(czi + d)(cz2 - a) + 1|2s '

2. Случай 1. Если с = 0, то либо a = d =1, или a = d = -1, и суммирование по b G Z неограниченно. Следовательно,

-0 (z z s) = Q V (^2 - Z1 - b) (z2 - Z~1 - b) -N(Z1, Z2, s) = Q > -, , ,2. | _ Г72Т'

b>0 |Z2 - Zi - b|2s |Z 2 - Zi - b|2s

Таким образом, ^----p= рт-2 + O (54^) при b ^ то; следовательно, этот ряд абсолютно сходится при К (s) > 4 и имеет простой полюс в точке s = 4 с вычетом 1.

3. Случай 2, с > 0. Заметим, что

р7(zi; -z2) = с- [(cz1 + d)(cz2 - a) + (ad - bc)] = c-1 [(cz1 + d)(cz2 - a)] + 1/c. Нетрудно показать, что если ряд

>0/ ч _ V^ V^ (^7(zi, -Z2) - 1/с) (zi, -Z2) - 1/с)

■N0(zi,Z2,s)= J] J]

c>0 аА К(Z1, Z2) - 1/c|2S К(Z1, Z2) - 1/c|2S

c=0 (mod N) ad=1 (mod c)

>0

/ю точку, то ряд -1

но аналитически продолжить в ту же точку

можно продолжить аналитически в некоторую точку, то ряд -N0(z1, z2, s) мож-

1

1 Доказательство. Докажем, что если ряд Е7еГо(№) ^^Г-г^)-!/^28 продолжается аналитически в некоторую точку границы области абсолютной сходимости, то и ряд Е7еГо(№) ):2д аналитически продолжается в эту точку. Для этого покажем, что разница двух рядов:

£7ёГо(№) кй!^^ и £7ёГо(№) сходится в большей области, чем исходные ря-

ды. Рассмотрим

(zi, -Z2) (zi, -Z2) - 1/с _ 1 +

К (zi, Z2 ) |2s К (zi, -Z2) - 1/c|2s е|к7 (zi, -Z2) — 1/c|2s

+ ^ (Z1, —Z2) '(к (zi,—Z2)|2s — К (zi, — Z2) — 1/c|20 •

Ряд E7ep0(N) cK(z1,-Z2)-i/C|2. = E n c>0 E i<ao<c c^s+r S0 (z2 + 00, 0, 2s) S0 (zi + d0, 0, 2s)

c=0 (mod N) (a0,c)=i

aodo = i (mod c)

сходится при K(s) > 1/2 (определение ряда S0(z, 0, 2s) приведено на стр. 24, коэффициенты Фурье приведены в Лемме 1.1). Поскольку

М7(zb z2)* [ "j--,-1-- I--,-\-ТУ!^) < I (Zb ^L (К(z1, z2) - 1/c|2s - К(z1, z2) |2s)

VK (z1, z2) |2s К (z1, z2) - 1/c|2V К (z1, z2)|4s

Следовательно, мы можем рассматривать ряд

>0(z1 ,»,.)= U U c4s—2 ¡-—-^ g+|S. (!,)

:>0/ „ _ V^ V^ 4s—2

c>0 a,d,

c=0 (mod N) ad=1 (mod c)

Рассмотрим классическую функцию [39]:

|z + V|2s

где n > 0 - целое число, y G R, z и s - комплексные числа, * означает суммирование по всем целым числам v = т. Этот ряд абсолютно сходится тогда и только тогда, когда !R(s) > .

Предположим, что a = —a0 + ck, d = d0 + /c, k, / G Z. Если a0d0 = 1 (mod c), то (a0,c) = 1. Следовательно, (1.5) есть

1 „ ( a0 „ „ ) ^ / d

/ у / у c4s—2n

c>0 1<«o<c

c=0 (mod N) (a0,c) = 1

«0do=1 (mod c)

S0 (z2 + ^, 0, 2s — n) S^z1 + ^0, 0, 2s^

Заметим, что функция S>0(z1, z2, s) периодична: S>0(z1+v, z2+v', s) = S»0(z1, z2, s)

:>0/

для V, V' € Z, и, следовательно, для функции 2> (^1, г2, в) имеется разложение Фурье следующего вида:

«

(z1 , z2 , s) = J] a(r,r', s , c) e2ni(rzi+r'z2) , (1.6)

rez r'ez

оценим выражение (¿1, — ¿2) — 1/с| — (¿1, —^2)|2в. Пусть (¿1, —¿2)) = и1 (¿1,2:2),

(¿1, —¿2)) = «7(¿1, ¿2). Пусть для вещественного х и в € М

fs,Y,Zi (х) = (х2 + (¿1,^2))®.

Тогда, при в € М

(¿1, —¿2 ) — 1/с|2® — (¿1, —¿2)|2® = fs,Y,Zi (м7 (¿1,^2) — 1/с) — fs,7,z¿ (м7 (¿1 ,¿2)). По теореме Лагранжа

Л,7,* (м7¿2) 1/с) fs,Y,Zi (и7¿2)) = — (£у—¿2)) = — 2в ^(с^1,^2)(С2^Ь

где м7(¿1, ¿2) — 1/с < £7(¿1, ¿2) < м7(¿1, ¿2). Из оценки следует, что ряд

V l^-/! (К(zi, — Z2) — 1/c|2s — К(zi, —Z2)|2s)

7ero(w) К(zi' Z2)| сходится в большей полуплоскости K(s) > 1/2.

где коэффициенты а(г, г',в) - есть произведения соответствующих коэффициентов Фурье функций 5о (22 + "т, 0, 2в — п) и 52 (^1 + ^т, 0, 2в) с номерами г и г' соответственно. Вычисление коэффициентов Фурье функции $п(2,у, в), содержащих модифицированные функции Бесселя второго рода (функции Мак-дональда), можно найти в [39] (VII, 11).

Лемма 1.1. (A. Weil) Пусть !R(s) > Пр и У = 0; тогда разложение в ряд Фурье функции Sn(z, y, s) имеет вид

S (z 0 s) = 22+n-2snr(2s - n - 1) )l+n-2s+ (z , 0 , s) = in(sgn ))nr(s)r(s - n) ) +

МГА „ „ „ 1 ^ e ^

1.7)

+-1 ( x у |nr|2s-n-1 Ф J|пгЭД| , n, s - n - ^ e2™^

где

Ф£ (У,п,Л) = е2У(^п[е_2^пУ_ЛКл(2У)] , (1.8)

У > 0, е = sgn(rS(z)), и

кл(2у ) = ч е-у (4+1V-1 ^ 2о

модифицированная функция Бесселя второго рода (функция Макдональда).

Замечание 1.2. В случае, когда Л = 1/2 или Л = —1/2, что соответствует, в = п =1,

К1/2 (2У) = К-1/2(2У) = У4Уе-2У,

(функция Макдональда является четной по отношению к параметру Л, то есть кл(2у) = К_л(2У)).

Будем считать, что мнимая часть выражения 22 — положительна, т. е.

— ) > 0, и е = sgn(гS(z)). Нас интересует случай, когда п = в = 1.

Тогда, используя выражения для К_1/2(2У), получим:

л г

Фsgn (У, 1, —1/2) = е2£У — \ е_'2£¥л/УК_ 1 /2 (2У)

= ЛУе_2У (1+£) = + е)е_2У. (1.9)

Оценим коэффиценты а(г, г', в) для различных г, г'.

(a) Свободный член получается при r = r' = 0,

y?(c) 43-4sn2r( c4s-2 r(2s - 2)r(2s - 1)2r(2s)

a(0 0 S) = V ^(C) 43-4^П2Г(4в - 3)2 ))3-4s

a(0, 0,s) = - ^ C4S-2 г(2« — 2)Г(2« — 1)2r(2s) (^(zl)^(z2)) ,

c>0 c=0 (mod N)

где <p(c) обозначает функцию Эйлера (количество натуральных чисел, меньших числа c и взаимно простых с ним), имеющую следующий ряд Дирихле

^ ^(c) С(s - 1)

^=1" = ^(Sy ,откуда

a(0 0 s) = 43-4Sn2r(4S - 3) V(N) Z(4s - 3) ))3-4s

a(0, 0, S) = - r(2s - 2)r(2s - 1)2r(2s) N4-2 ((47-2) (^(zi)^(z2)) •

При s = 1 свободный член не имеет полюса, поскольку Гамма-функция имеет простой полюс в нуле.

(b) Для г' = 0 имеем

a(r 0 s) =__42 2%2 2-T(4s - 3)_ )-2s+3/^( )3-4s

0,S)= r(2s - 2)r(2s - 1)r(2s) ^ ^2) X

x E |r|2S-3/2 K2s-3/2(2n |r|9(zi)) X C47-2e2™"^

c>0 1<«5<c

C=0(mod N) («S,c)=1

Заметим, что ^«5=1 («5 с)=1 е2п °г = Сс(г) - сумма Рамануджана, для кото-

п Сс(г) а1-Дг) / ч

рои имеется следующий ряд Дирихле: > -= —-—-—, где а^5(г) =

с5 С(з)

г1-5 - функция делителей (сумма всех положительных делителей числа г в степени 1 — з). Функция а-2л(г)гЛ является целой функцией от Л; функция Макдональда Кд(У) - целая функция переменной Л и экспоненциально мала по У при У ^ то. Отсюда можно получить, что сумма слагаемых вида а(г, 0, з) также аналитически продолжается в точку з = 1.

(с) Рассмотрим сумму коэффициентов а(0,г', з). Она аналогична сумме ко-эфициентов а(г, 0, з), поскольку

,п / ^ 4-25+1 п45-3/2Г(4з — 3Д, ^ ,з) =--Г(2з — 1)2Г(2з) ) ^ Х

x Е |r'|4s-3 (|nr'S(z2)| , 2, 2s - 5/2) £ ^eW"o/c,

c>0 1<«o<c

c=0(mod N) (а0,c)=1

и, следовательно, при s = 1 не имеет полюса. (d) Пусть множитель

(s) = —

n6s-2

r(2s - 1)r(2s)

тогда коэффициент a(r, г', s) имеет вид:

a

(г, г', s) = CP,p/(s) |r|2s-3/2 |r'|4s-3 Ö(z1)-2s+3/2K2s-3/2(2n |г| ЭД) x

ж-> ж-> 1 ^ .ra%+r' an

x Ф^) (|пг'ЭД| , 2, 2s - 5/2) £ £ — e "V"

c>0 1<«o<c

c=0(mod N) (ao,c) = 1

a,o«o = 1(mod c)

где функция

£ e2ni(am+^) = K(a,b; n)

1<m<n,(m,n)=1, mm* = 1 (mod n)

есть сумма Клостермана. Для ряда Дирихле суммы Клоостермана имеется хорошо известная оценка А. Вейля [40, 26] :

Лемма 1.2. (A. Weil) Если a > 1 фиксировано, то при !R(s) > 3/4

n=0 nnr-n=0 • <U0)

|К(а,ь;п)| < ^ у^ л(п)

I |2« — |п|

где Л(с) = а0(п) - функция делителей.

Используя оценку Вейля и ряд Дирихле функции делителей, £^(г ((в)2, получим

a(r,r',s) < Ср,р/(s)Z(4s - 5/2)2 |r|2s-3/2 |r'|4s-3 Ö(z1)-2s+3/2x

X K2s-3/2(2n |r| 3(^1))Фвап(р') (|nr'S(z2)| , 2, 2s - 5/2).

Из полученной оценки и асимтотики функции Макдональда следует, что сумма £PP/=0 a(r, r', s) также абсолютно сходится.

Теперь определим SN(z1,z2) как значение голоморфной функции SN(z1,z2,s) в точке s = 1:

Sn(z1,z2) = lim Sn(z1,Z2,s).

Функция Sn(z1,z2,s) является модулярно инвариантной по переменной z1, откуда следует, что функция Sn (z1, z2) также инвариантна относительно действия модулярного преобразования:

Sn (YZ1, Z2) = (cz1 + d)2 Sn (zb Z2), для y = ^ ^ G Г. Замечание 1.3. Положим

M(m, N) = { (a Л | ad - bc = m, (a,N) = 1, c = 0 (mod N)

Для того, чтобы определить сумму ряда

(Zi,Z2,k) = 2 X 1

2 „ (z1, —z2)k

при k = 2, рассмотрим ряд

"m,N (Z1'52'S) = 1 ) К (zi, — z')|-2|—^b —52)|2'+2 • (1.11)

Используя те же аргументы, что и при доказательстве Теоремы 1.2, можно показать, что ряд "m,N(zL,z2,s) можно аналитически продолжить в точку s = 1. Следовательно, можно положить (z1,z2) = lim (z1,z2,s).

Производные «почти голоморфной» функции (z1,z2) имеют вид: Лемма 1.3.

д (z1,z2)(z2 — ,2) = — ^^ — (*,*) d*2,

N2 (z1 — z ;l)2

где д = dz, + dz-2, и ^(N) = N ПР|М (l + .

Доказательство. Вычисление производной относительно переменной 2 1 состоит из почленного дифференцирования и вычисления асимптотики двух рядов:

V _1_ -1 V _1_

2 К(21, — (21, — ¿2)|2*-2 , 2 7еГ(м) К(21, — 22)|2*-2К(*1, — ^)|2« '

Эти ряды являются голоморфными функциями при > 1, с простыми полюсами в точке з = 1 и вычетами | с^С)^). Следовательно,

Иш (^2 — ^2)25-15М (¿1, 22, з) = — 12 .

й

Почленное дифференцирование относительно 22 дает: —- (г1, 22, з)(г2 — г2)

2 s—1

d,

2

(^2 — z'2)2-2 ( (1 — S)1 X) К(zi, — .ГМ*, — — S "1-(z1, S)

Откуда следует, что

d i _л i

lim— 5i(zi,z2,s)(z2 — ,2)2s-1 = — ~ E —?-^^ = (zi,,2). (1-12)

s у i dz2 2 ' (z1, —z2 )2

□

Используя те же аргументы можно показать, что функция (¿1 , ¿2) является голоморфной по переменной и антиголоморфной по переменной ¿2.

Теорема 1.3. Пусть Ф^ - фундаментальная область для модулярной группы Г0 (X) в Н и пусть род группы Г0(Х) больше нуля. Тогда для всякой голоморфной параболической формы f веса 2 верно, что

f (¿1)шт,м(¿1, 32)^2^2 = f * (¿1, ¿2) = 2пгт (Тг(т^ Х^). (1.13)

J Фм

Доказательство. Заметим, что достаточно доказать эту теорему в случае, когда определитель т = 1, поскольку

(¿1 ,¿2) = т-1Т2(т)ш!,м (¿1,22),

где оператор Гекке Т (т) действует на первую переменную ¿1. Если f является параболической формой веса 2 для группы Г0(X), то T2(1)f (¿) = f (¿), следовательно, нам нужно проверить, что

f (¿2)шм(¿1, ¿2)^2^2 = (¿1).

Рассмотрим отдельно два случая: когда подгруппа изотропии точки тривиальна, и, наоборот, когда точка имеет нетривиальную стационарную подгруппу в группе Г0(Х), то есть, когда = {7 € Г0(Х) | 7^ = ¿1} = ±1. Пусть Б(а,е) - окружность радиуса е с центром в г = а.

Случай 1. Предположим, что стабилизатор точки в Г0(Х) тривиален. Имеем

I (¿1 ,¿2^ (¿2) ^2^2 = Нш I (2^(¿1, ¿2)^2 - ¿2^ (¿2)) ^2^2 =

= (¿1,^2)(^2 - ¿2^ (¿2) ^2 - Иш / (¿1, ¿2)^2 - ¿2^ (¿2) ^2, (1.14)

где последнее равенство следует из формулы Стокса. Первый интеграл равен нулю, поскольку интегрирование ведется по границе фундаментальной области и подынтегральное выражение является модулярно инвариантным. Заметим, что

2 ^ ) = 1 + 1 у _1_

поэтому второй интеграл /дВ(^ £) (¿1, (¿2) по формуле Коши равен - (¿1).

Заметим, что в случае, если точка с тривиальной стационарной подгруппой попала на границу фундаментальной области Ф^, доказательство теоремы ничем не отличается от вышесказанного, поскольку достаточно рассмотреть параллельный

перенос фундаментальной области.

Случай 2. Предположим, что стационарная подгруппа точки ¿1 нетривиальна. Пусть е^ - порядок стабилизатора точки ¿1. Разрежем фундаментальную область Фм горизонтальной прямой £ := {¿С — £ | — 1/2 < £ < 1/2} , где константа С > 0 выбрана таким образом, чтобы все нули и полюса подынтегрального выражения содержались в области {г Е Н | ^(г) < С}. Пусть а - замкнутый положительно ориентированный путь, состоящий из £ и а1, где а1 - часть границы дФм ниже прямой £, деформированный следующим стандартным образом: в малой окрестности и эллиптической точки г1 заменим и П дФм на Фм П дВ (г1,е). Значение всякой параболической формы веса 2 в эллиптической точке равно нулю, поэтому мы должны показать, что /ф(г1,г2)/(¿2) = 0. Имеем:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сахарова Нина Евгеньевна, 2019 год

Список литературы

[1] M. Abramowitz and I. Stegun, Pocketbook of Mathematical Functions. Verlag Harri Deutsch, Thun (1984).

[2] T. Asai, M. Kaneko, and H. Ninomiya, Zeros of certain modular functions and an application. Comm. Math. Univ. Sancti Pauli, 46, 93-101. (1997)

[3] K. Bringmann and B. Kane, A problem of Petersson about weight 0 meromorphic modular forms. Research in Mathematical Sciences. (2016)

[4] K. Bringmann, B. Kane, S. Lobrich, K. Ono, L. Rolen, On divisors of midular forms, submitted for publication. (2017)

[5] K. Bringmann, B. Kane, S. Lobrich, K. Ono, L. Rolen, Number theoretic generalization of the monster denominator formula, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, accepted for publication. (2017)

[6] F. Brown, C. Dupont, Single-valued integration and superstring amplitudes in genus zero, Cornell University. Series "Working papers by Cornell University". No. 1810.07682 [math.NT].

[7] R. E. Borcherds, Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras. Invent. Math. 109, 405-444 (1992).

[8] R. E. Borcherds, Automorphic forms on Os+2,2(R) and infinte products. Invent. Math. 120, 161-214 (1995).

[9] R. E. Borcherds, Automorphic forms with singularities on Grassmannians, Invent. Math. 132 (1998).

[10] J. H. Brunier, Borcherds products and Chern classes of Hirzebruch-Zagier divisors. Invent. Math. 138, 51-83 (1999).

[11] J. H. Brunier, Infinite products in number theory and geometry. Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 106, Heft 4, 151-184 (2004).

[12] J. H. Bruinier, J. I. Burgos Gil, U. Kuhn, Borcherds products and arithmetic intersection theory on Hilbert modular surfaces. Duke Math. J. 139(1), 1-88. (2007)

[13] J. H. Bruinier and J. Funke, On two geometric theta lifts. Duke Math. J. 125, 45-90. (2004).

[14] J. H. Bruinier, W. Kohnen, K. Ono, The arithmetic of the values of modular functions and the divisors of modular forms. Compositio Math. 140 (3) (2004).

[15] J. H. Brunier, G. van der Geer, D. Zagier , The 1-2-3 of modular forms .Springer Verlag (2008).

[16] D. Choi. Poincare series and the divisors of modular forms. Proceedings of the American Mathematical Society, 138(10), 3393-3403. (2010).

[17] A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger, F. G. Tricomi, Tables of Integral Transforms. McGraw-Hill (1954).

[18] B. H. Gross, Heegner points and the modular curve of prime level. J. Math. Soc. Japan Vol. 39, No. 2, 345-362 (1987).

[19] F. Hirzebruch, Hilbert modular surfaces. L'Enseignement Mathematique. Revue Internationale. lie Serie, 19: 183-281, (1973).

[20] F. Hirzebruch, D. Zagier, Classification of Hilbert Modular Surfaces. In Baily, W. L.; Shioda., T., Complex analysis and algebraic geometry, Tokyo: Iwanami Shoten, pp. 43-77 (1977).

[21] D. A. Hejhal, The Selberg Trace Formula for PSL(2,R). Lecture Notes in Mathematics 1001, Springer-Verlag, (1983).

[22] E. Hecke, Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. II. Hamb. Math. Abh. 3, 213-236 (1924).

[23] H. Iwaniec, Topics in Classical Automorphic Forms. Amer. Math. Soc., Providence (1997).

[24] M. Kontsevich, D. Zagier, Periods, Mathematics unlimited - 2001 and beyond. Springer, Berlin, 771-808 (2001).

[25] A. W. Knapp, Elliptic curves. Math. Notes 40, Princeton University Press (1992).

[26] N. V. Kuznetsov, Petersson's conjecture for cusp forms of weight zero and Linnik's conjecture. Sums of Kloosterman sums. Mat. Sb. (N.S.), 111(153):3, 334-383 (1980).

[27] S. Lang, Introduction to modular forms. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York (1995).

[28] C. T. McMullen, Foliations of Hilbert Modular Surfaces. American Journal of Mathematics, Vol. 129, No. 1, 183-215 (2007).

[28] M. Moller, D. Zagier, Modular embeddings of Teichmuller curves. Compositio Mathematica, Vol. 152, Issue 11, 2269-2349 (2016).

[30] D. Niebur, A class of nonanalytic automorphic functions. Nagoya Math. J. 52, 133-145 (1973).

[31] H. Poincare', Sur les r'esidues des integrales doubles. Acta Math. V. 9. P. 312-380 (1887)

[32] N. Sakharova, Convergence of the Zagier type series for the Cauchy kernel. Cornell University. Series "Working papers by Cornell University". No. 1503.05503 (2015).

[33] N. Sakharova, Modular Cauchy kernel corresponding to the Hecke curve. Arnold Mathematical Journal, 4(3), 301-313 (2019).

[34] N. Sakharova, Modular Cauchy kernel for the Hilbert modular surface. Cornell University. Series "Working papers by Cornell University". No. 802.08661 (2018)

[35] N. Sakharova, The integral representation of automorphic Green's functions associated with Hirzebruch-Zagier divisors. European Journal of Mathematics, 5(2), 528-539 (2019)

[36] G. Shimura, On modular forms of half-integral weight. Ann. Math. 97 , 440-481 (1973).

[37] G. Van der Geer, (1988), Hilbert modular surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 16, Berlin, New York (1988).

[38] V. Ancona, B. Gaveau, Differential Forms on Singular Varieties: De Rham and Hodge Theory Simplified. Chapman and Hall/CRC Pure and Applied Mathematics (2006).

[39] A. Weil, Elliptic Functions according to Eisenstein and Kronecker. SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg-New York (1976).

[40] A. Weil, On Some Exponential Sums. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 34, 204-207 (1948).

[41] A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. Annals of Math. (2) 141:3, 443-551 (1995).

[42] D. Zagier, Modular forms associated to real quadratic fields. Invent. Math. 30. (1975).

[43] D. Zagier, Modular forms whose Fourier coefficients involve zeta-functions of quadratic fields in Modular Functions of One Variable VI. Lecture Notes in Math. 627, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York (1977).

[44] D. Zagier, Traces des operateurs de Hecke. Seminaire Delange-Pisot-Poitou , Expose' No. 23. (1975-1976).

[45] D. Zagier, Traces of singular moduli. Motives, Polylogarithms, and Hodge Theory (Ed. F. Bogomolov and L. Katzarkov), Lect. Ser. 3 Intl. Press, Somerville, 209-244. (2002).

[46] D. Zagier, L-Series and the Green's Functions of Modular Curves. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley,California, USA, (1986).

[47] D. Zagier, B. Gross, On singular moduli. J. reine Angew. Math., 355, 191-220. (1985).

[48] D. Zagier, B. Gross, Heegner points and derivative of L-series. Invent. Math., 85, 225-320. (1986).