Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Сорокин, Константин Сергеевич

• Сорокин, Константин Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Сорокин, Константин Сергеевич

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Некоторые классы абелевых групп с чистыми кольцами эндоморфизмов

1.1 Понятие чистого кольца, иримеры и общие факты

1.2 Прямые суммы циклических р групп с чистыми кольцами эндоморфизмов

1.3 Вполне разложимые группы с чистыми кольцами эндоморфизмов

2 ЭР-группы конечного ранга с чистыми кольцами эндоморфизмов

2.1 Самомалые ЭР-груины

2.2 БР-группы ранга 1 с циклическими компонентами

2.3 ЗР-груниы ранга 2 с циклическими р компонентами

Литература

Список обозначений

В данной работе под словом «группа» понимается абелева группа. Обозначаются группы большими латинскими буквами А, В,

N множество натуральных чисел;

Р множество всех простых чисел, расположенных в порядке возрастания;

О полная рациональная группа; Ъ группа целых чисел; Z(n) циклическая группа порядка п; ф прямая сумма; Л прямое произведение;

Нош(Л, В) группа гомоморфизмов из группы А в группу В; Е(А) кольцо эндоморфизмов группы А; J(R) радикал Джекобсона кольца Я; Iш(/) образ гомоморфизма /; Кег(/) ядро гомоморфизма /;

A J В - факторгруппа группы А по подгруппе В ; (М) - подгруппа, порождённая подмножеством M ; А[п] подгруппа {a G А | па = 0} группы А ; Ар р компонента группы А ;

h(a)

о(а) порядок элемента а ; р простое число;

Q группа или поле всех рациональных чисел;

Qp группа или кольцо всех рациональных чисел, знаменатели

которых взаимно просты с простым числом р ;

Q,r — группа или кольцо всех рациональных чисел, знаменатели

которых взаимно просты с каждым р из ж, где 7Г — некоторое

подмножество множества всех простых чисел;

t(A) — тип однородной абелевой группы без кручения А.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов»

Введение

Актуальность темы. Пусть R - кольцо с едииицей. Элемент г кольца R называется чистым, если его можно представить в виде г = и + е, где е - идемнотент, а и - обратимый элемент кольца R. Кольцо R называется чистым, если всякий его элемент является чистым.

Понятие чистого кольца было предложено Николсоном в 1977 году как пример кольца, в котором идемиотенты поднимаются но модулю любого левого (правого) идеала [23]. То есть каждое чистое кольцо является заменяемым кольцом. Кроме того, Николсоном было доказано [23], что кольцо с центральными идемиотеитами является чистым тогда и только тогда, когда оно заменяемо. В то же время имеется пример регулярного кольца, которое не является чистым [20]. Согласно [23], регулярные кольца являются заменяемыми кольцами, следовательно, класс чистых колец является собственным подклассом класса заменяемых колец.

В 1936 году фон Нейман предложил определение регулярного элемента: элемент г кольца R называется регулярным, если найдется такой

элемент х £ Я, что г = гхг; кольцо Я называется регулярным (по фон Нейману), если каждый его элемент г регулярный. Элемент г кольца Я называется обратимо-регулярным, если найдется такой элемент V £ II(Я), что г = гуг , или, что эквивалентно, г = и • е, где е - идемнотент, а и обратимый элемент кольца Я. Кольцо Я называется обратимо-регулярным, если всякий его элемент является обратимо-регулярным. Таким образом, чистые кольца являются аддитивным аналогом обратимо-регулярных колец.

Доказано, что полусовершенные и обратимо-регулярные кольца являются чистыми [10] , [9]. Кроме того, если кольцо не содержит бесконечных множеств ортогональных идемнотентов, то свойства кольца быть заменяемым, чистым и полусовершенным совпадают [9].

Понятие чистоты также было рассмотрено применительно к кольцам без единицы, в том числе была показана справедливость приведённого выше результата: кольцо с центральными идемпотептами является чистым тогда и только тогда, когда оно заменяемо [26] (согласно определению Ара [6]).

Ряд авторов продолжил изучение чистых колец, наделённых дополнительными свойствами. Например, рассмотрены примеры чистых колец, в которых разложение каждого элемента кольца в виде суммы идемпотен-

та. и обратимого элемента определены единственным образом. Удалось

показать связь колец, удовлетворяющих данному свойству, с булевыми кольцами [27].

Отдельным направлением в изучении чистоты колец стали строго чистые кольца: в этом случае каждый элемент кольца должен быть представим в виде суммы идемиотентного и обратимого элементов, которые коммутируют между собой [12], [24].

Большое количество работ посвящено изучению чистоты и строгой чистоты треугольных матриц [14], [7], а также произвольных матриц над различными кольцами [29]: коммутативными [15], [13], [8], локальными [21], [30].

В случае, когда Я является кольцом эндоморфизмов некоторого модуля, появляются новые описания свойства чистоты, которые могут оказаться полезными при изучении условий чистоты кольца Я. В частности, если / — чистый элемент кольца эндоморфизмов модуля М, это означает, что существует такой идемпотептный эндоморфизм е модуля М, что / совпадает на Кег (е) с некоторым автоморфизмом модуля М. Эта тематика привлекла в последнее время внимание многих специалистов. Например, было доказано, что является чистым кольцо линейных операторов векторного пространства над нолем произвольной размерности [28]. Впоследствии была доказана справедливость данного результата для векторного пространства, над телом [25]. Кроме того, доказана

чистота колец эндоморфизмов непрерывного модуля [11], проективного модуля над правым совершенным кольцом [25].

Следует отметить, что в теории абелевых групп большой интерес вызывает вопрос о связи элементов кольца эндоморфизмов абелевых групп и его обратимых элементов - автоморфизмов [17], в том числе те случаи, когда эндоморфизмы пред ставимы в виде суммы автоморфизмов [22]. В связи с этим появляется дополнительный интерес к изучению свойства чистоты таких колец.

В своей работе [18] Голдсмит и Вамош рассмотрели вопросы чистоты колец эндоморфизмов периодических абелевых групп. Было показано, что кольцо эндоморфизмов тотально проективной периодической группы является чистым тогда и только тогда, когда эта группа ограничена.

Отметим, что чистые кольца также привлекают внимание российских учёных: данному классу колец посвящен параграф в монографии Туган-баева A.A. [4].

Таким образом, изучение свойства чистоты колец эндоморфизмов различных модулей, в том числе абелевых групп, является актуальной задачей, привлекающей внимание специалистов в области теории колец, модулей и абелевых групп.

Цель работы. Целыо диссертационной работы является изучение

вопросов чистоты колец эндоморфизмов различных классов абелевых групп: вполне разложимых групп (группы без кручения), прямых сумм циклических групп (периодические группы), БР-груип (смешанные группы).

Общая методика исследования. В диссертации используются методы и приёмы теории абелевых групп, колец и модулей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Ниже перечислены основные результаты.

• Дано полное описание вполне разложимых групп с чистыми кольцами эндоморфизмов.

• Найдены достаточные условия чистоты эндоморфизмов прямых сумм циклических групп.

• Доказана чистота колец эндоморфизмов самомалых 5Р-групп конечного ранга без кручения.

• Найдены достаточные условия, ири которых чистота кольца эндоморфизмов 5Р-группы конечного ранга влечет самомалость самой группы.

• Доказана чистота колец эндоморфизмов 5Р -групп ранга 1 и 2 с циклическими р -компонентами без бесконечных периодических прямых слагаемых.

• Найдены достаточные условия чистоты эндоморфизмов 37-*- групп

конечного ранга с циклическими р-компонентами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и колец, а также при чтении спецкурсов для бакалавров, магистрантов и аспирантов.

Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на Международных молодежных научных форумах «Ломоносов-2011», «Ломоносов-2013» (Москва, 2011. 2013), на всероссийских симпозиумах «Абелевы группы и модули» (Бийск, 2010. 2012), на Всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 135-летию Томского государственного университета и 65-летию Механико-математического факультета (Томск, 2013).

Основные результаты неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета и дважды — на семинаре кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета (2011, 2013). По теме диссертации опубликовано 9 работ, три из них — в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных научных результатов диссертаций.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из

введения, списка обозначений, двух глав и списка литературы. Работа изложена на 110 страницах. Библиография содержит 30 наименований.

Содержание работы. Все рассматриваемые в работе группы являются абелевыми.

В первой главе диссертации рассматриваются вопросы чистоты колец эндоморфизмов для некоторых классов абелевых групп: вполне разложимых абелевых групп (группы без кручения) и прямых сумм циклических групп (периодические группы).

В первом параграфе данной главы вводится ключевое понятия чистоты кольца, излагаются общие результаты, дающие необходимые и достаточные условия чистоты кольца эндоморфизмов абелевой группы. Ниже приведено определение чистого кольца.

Пусть Я — кольцо с единицей. Элемент г кольца Я называется чистым, если его можно представить в виде г = и + е, где е - идемиотент, а и обратимый элемент кольца Я. Кольцо Я называется чистым, если всякий его элемент является чистым.

Во втором параграфе приводятся достаточные условия чистоты эндоморфизмов прямых сумм циклических групп. Основным результатом второго параграфа является следующая теорема.

ос

Теорема 1.13 Пусть А = 0 Вп, где Вп = ф < а1п >, < а\г >

Z(pn), f G E(A). Если L = ф Bj, где J QN, причём f{A) С L и /Il чистый элемент кольца E(L), mo f чистый элемент в Е{А).

В третьем параграфе даётся полное описание вполне разложимых групп с чистыми кольцами эндоморфизмов. Основным результатом третьей главы является следующая теорема.

Теорема 1.16 Если В — вполне разложимая группа с редуцированной частью А, то кольцо эндоморфизмов группы, В чистое тогда и только тогда, когда

пр

А — ф (ф AiP) ;

реп i=1

где П — некоторое множество простых чисел, А? = Qp (р G П, г — 1 G N).

Во второй главе изучаются SP группы с чистыми кольцами эндоморфизмов. Данные группы были введены в работах А. А. Фомина [16] и П. А. Крылова [2]. В начале главы приводится определение SP группы. Напомним опеределение SP группы.

Редуцированная смешанная абелева группа А с бесконечным числом ненулевых р компонент называется SP группой, если естественное вложение ф Ар —> \\АР продолжается до сервантного вложения р р

А —> П Ар. Здесь и далее предполагается, что р пробегает множество р

всех простых чисел Р, относящихся к А, то есть таких, что Ар ф 0.

В первом параграфе приводятся результаты, описывающие самомалые вР группы с чистыми кольцами эндоморфизмов. Ниже приведены основные результаты данного параграфа.

Теорема 2.2 Пусть А самомалая 5Р группа конечного ранга. Тогда кольцо Я является чистым.

Теорема 2.5 Пусть А БР - группа конечного ранга, не имеющая бесконечных периодических прямых слагаемых, и Ар = Ър для всякого р Е Р. Если при этом кольцо Я является чистым, то А — самомалая группа.

Второй параграф иосвящён исследованию строения колец эндоморфизмов ЭР-грунн ранга 1 с циклическими р-компонентами: доказана их чистота, найдено описание радикала Джекобсона колец эндоморфизмов данных групп. Основные результаты данного параграфа приведены в следующих теоремах.

Теорема 2.7 Для любого эндоморфизма / БР группы группы А ранга 1 с циклическими р компонентами найдётся такое конечное множество О С Р, что справедливо одно из условий:

• / автом,орфизм группы С (если /А С Т(А)),

• 1 — / автоморфизм группы С (если /А Т(А)), где С дополнительное прямое слагаемое к

Теорема 2.9 3{Е(А)) = Н(А).

В теореме Н(А) = {а € Е(А) \ а ЦэдЕ Н(АР) для каждого р е Р}

аналог идеала Пирса для БР групп, предложенный Крыловым П.А. (см. [3]).

Третий параграф содержит результаты, дающие достаточные условия чистоты эндоморфизмов БР - групп конечного ранга с циклическими р-компонентами, а также доказательство чистоты колец эндоморфизмов 5Р групп ранга 2 с циклическими ^-компонентами. Ниже приведены основные результаты данного раздела.

Теорема 2.11 Пусть А - ЭР группа конечного ранга с циклическими р-компонентами. Для любого эндоморфизма / € Нот(Л,Т(Л)) найдётся такое конечное множество О, С Р, что 1 — / — автоморфизм группы С, где С — дополнительное прямое слагаемое к

рея

Теорема 2.13 Кольцо эндоморфизмов ЭР группы ранга 2 с циклическими р-компонентами, не имеющей бесконечных периодических прямых слагаемых, является чистым.

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю профессору Петру Андреевичу Крылову за неоценимый вклад в развитие данной работы: помощь в постановке задачи, внимание к научной работе, помощь в оформлении статей и данной диссертации.

Глава 1

Некоторые классы абелевых групп с чистыми кольцами эндоморфизмов

В данной главе вводится поиятие чистого кольца, приводятся примеры чистых колец, рассматриваются основные результаты, позволяющие свести изучение чистоты колец эндоморфизмов абелевых групп к реду-цировнному случаю. Далее рассматриваются вопросы чистоты колец эндоморфизмов прямых сумм циклических р групп и вполне разложимых групп без кручения, приводятся необходимые и достаточные условия чистоты эндоморфизмов перечисленных групп.

1.1 Понятие чистого кольца, примеры и общие факты

Определение 1.1. Элемент кольца называется чистым1, если он является суммой обратимого и идемпотентного элементов этого кольца.

Определение 1.2. Кольцо называется чистым, если каждый его элемент является чистым элементом этого кольца.

Следующая лемма описывает связь локальных и чистых колец.

Лемма 1.1. Пусть R — неразложимое кольцо, тогда R локальное тогда и только тогда, когда R — чистое.

Доказательство. Необходимость. Пусть R локальное кольцо, тогда для каждого г Е R либо г, либо 1 — г обратим. Если обратим г, то г = г + 0. Если обратим 1 — г, то г = 1 + (г — 1). По определению 1.1 R чистое кольцо.

Достаточность. Пусть R чистое, тогда для каждого г Е R г = е+и, где е идемнотент, и обратимый. Так как Я неразложимое кольцо, то е = 0, либо е = 1. Тогда для всякого г 6 R либо г обратим и г = 0 + г, либо 1 г обратим и r = l + (r — 1). Следовательно, R локальное кольцо. □

хв англоязычной терминологии clean

Рассмотрим далее один из примеров чистых колец - локальные под-кольца ноля рациональных чисел.

Теорема 1.2. Подкольцо Л ^ Q — локальное кольцо тогда и только тогда, когда Я = <0)р для некоторого простого числа р.

Доказательство. Необходимость. Пусть Я = где тг = {р{}ге1 некоторое множество простых чисел, упорядоченных по возрастанию, /СМ. Известно, что Я — локальное кольцо тогда и только тогда, когда для любого элемента а Е Я либо а, либо 1 — а обратим. Так как а £ Я, то найдутся такие п Е 2, тбК, что а = ^, (т.рг) = 1, для всякого г Е /. Элемент а обратим тогда и только тогда, когда (го,Рг) = 1 для всякого г Е /.

Предположим, что существуют но крайней мере два простых числа р\ и р2, отличных друг от друга и принадлежащих тт. Рассмотрим элемент а = . Покажем, что а Е Я, то есть {р\ — Р2,Р{) = 1 для всякого г€/.

Действительно, если бы р\ — р2 делилось на р\, либо на р2, то р\ и р2 не были бы взаимно просты. Поскольку |р\ — р21 < Р2 < Рг Для всякого г > 2, то (р1 — Р2-,Рд = 1 для всякого г Е I. Следовательно, а € Я. Так как р\ Е тг, то а не обратим. Элемент

так же не обратим, поскольку р2 Е 7Г.

Таким образом, в случае, когда множество тг содержит более одного простого числа, кольцо Я = не является локальным. Значит, Я =

Достаточность. Пусть Я = для некоторого простого числа р. Докажем, что Я — локальное кольцо. Для этого достаточно показать, что для любого элемента а Е Я либо а, либо 1 — а обратим. Пусть а Е Я и а = ^, где т Е N, (га, р) = 1.

Предположим, что элемент а не обратим, тогда п\р и п = рк - г, г е Z, к Е N, (г, р) = 1. Имеем

_^ _ ^ _ Л. _ т—п _ т—р ■г

то т т

и (га — рк • г, р) = 1, так как в противном случае (т,р) 1. Таким образом, Я — локальное кольцо. □

Следствие 1.3. Подколъцо Я ^ (ф чистое кольцо тогда и только тогда, когда Я = <0>р для некоторого простого числа р.

Доказательство. Непосредственно вытекает из леммы 1.1 и теоремы 1.2. □

Данный результат будет полезен при изучении вполне разложимых групп без кручения в третьем параграфе данной главы.

Определение 1.3 ([11]). Модуль называется непрерывным, если он удовлетворяет следующим двум условиям:

1. каждый подмодуль модуля — существенный подмодуль в некотором прямом слагаемом модуля;

2. каждый подмодуль модуля, изоморфный прямому слагаемому модуля, сам является прямым слагаемым модуля.

Лемма 1.4. Делимые абелевы группы являются непрерывными Ъ модулямг

Доказательство. Пусть В -- делимая группа, В - её подгруппа, тогда В содержит делимую оболочку группы В, обозначим её через Н. Так как Н ■■■■■■■■■■■■■ делимая группа, то подгруппа Н прямое слагаемое в В. Так как Н делимая оболочка группы В, то В существенная подгруппа в Н (см. [5]). Таким образом, первое условие из определения непрерывного модуля (определение 1.3) выполнено.

Пусть В подгруппа группы I), 1) = ЛфС и В = А. Так как А прямое слагаемое делимой группы И, то А делимая группа. Как эпиморфный образ делимой группы В - делимая группа. Получаем, что В прямое слагаемое группы В (см. [5]). Таким образом, второе условие из определения непрерывного модуля выполнено. Значит, В непрерывный Z модуль. □

Следствие 1.5. Кольцо эндоморфизмов делимой группы является чи-

стым.

Доказательство. Согласно [11] кольцо эндоморфизмов непрерывного модуля является чистым. Так как абелевы группы являются Ъ модулями, то этот результат для них также справедлив. □

Заметим, что с прямым доказательством данного результата (без обращения к результатам [11]) можно ознакомиться в статье [18].

Следующий результат позволяет свести рассмотрение чистоты колец эндоморфизмов абелевых групп к редуцированному случаю.

Теорема 1.6. Группа имеет чистое кольцо эндоморфизмов тогда и только тогда, когда её редуцированная часть имеет чистое кольцо эндоморфизмов.

Доказательство. Согласно [5] всякая группа А является прямой суммой делимой группы И и редуцированной группы С. Тогда но [1]

Е{А) =

( \

Еф) Нот(С, И) ^Нот (Д С) Е(С) }

( \

Е{И) Нот(С,£>) у О Е{С) )

Здесь Нот(Д С) = 0, так как для любого а € Нот(Д С) образ 1т(а) делимая подгруппа в С. Поскольку С редуцированная группа, то 1т(а) = 0, т.е. а — 0. Применяя [19], получаем, что Е(А) — чистое кольцо тогда и только тогда, когда Е{Б) и Е{С) чистые кольца.

Кольцо Е(И) является чистым. Тогда Е(А) чистое кольцо тогда и только тогда, когда Е(С) чистое. □

Лемма 1.7. Пусть А = ф - прямая сумма вполне характеристи-

ш

ческих подгрупп. Кольцо Е(А) чистое тогда и только тогда, когда кольцо Е(А{) чистое для каждого г Е I.

Доказательство. Поскольку подгруппы А{ — вполне характеристические, то Е(А) = П Е{А{). Применив [19], мы получим, что кольцо Е(А) ¿е/

— чистое тогда и только тогда, когда кольца Е(А{) — чистые (г Е /). □

Ниже представлены результаты, дающие достаточные условия чистоты эндоморфизмов абелевых групп. Кроме того, в предложении 1.9 описывается связь свойства чистоты и радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов.

Предложение 1.8. Пусть А - группа, / Е Е(А) и существует такое к Е N, что /к чистый элемент кольца Е(А), причём, /к = и+е, где е идемпотент а и обратимый элемент Е(А) . Если Кег(е) и 1т(е) — / и и инвариантны, то / — чистый элемент в Е(А).

Доказательство. Поскольку и автоморфизм группы Л, а Кег(е) и 1т(е) / и и -инвариантны, то г/|кег(е) автоморфизм Кег(е), а Ч1т(е) - автоморфизм 1т(е). Обозначим Кег(е) через В, а 1т(е) через С. Получим:

/к\в = (и + е)\в = и\в — автоморфизм В,

(/ - IX/* + 1к~1 + ... + / + 1)|с = (/* - 1)|с = (/* - е)\с = и\с

автоморфизм С.

Так как подгруппа В - /к~г -инвариантна, а С — (/к+/к~1+...+/+1)~ инвариантна, то /к~г\в — автоморфизм В, а (/к + /к~г + ...+/ +1)|с — автоморфизм С. Имеем,

/Iв = (1к~1)~1и\Б ' автоморфизм В,

(/ - 1)|с = (/* + ¡к~г + ... + / + - автоморфизм С.

Зададим отображение и' : А—> А следующим образом:

и'(х) = {¡к~х)~1и(х) для любого х е В и

г/(у) = (/* + /1 + ... + / + 1)_1и(?/) для любого у е С.

По построению и' — автоморфизм группы А и / = и' + е. Следовательно, / чистый элемент Е'(Л). □

Предложение 1.9. Пусть А группа, / 6 г/, существует та-

кое к € М, что /к е 3{Е{А)). Тогда / чистый элемент кольца Е(А).

Доказательство. Так как /* € 3{Е{А)), то 1 — /к обратимый элемент кольца Е{А). Следовательно, /к = 1 + (—(1 — /к)) - чистый элемент в Е(А). Условия предложения 1.8 выполнены, поскольку в данном

случае е = 1 и Кег(е) = 0, а 1ш(е) = А. Значит верно и его заключение и / чистый элемент Е(А). □

1.2 Прямые суммы циклических р-групп с чистыми кольцами эндоморфизмов

После рассмотрения некоторых общих результатов переходим непосредственно к изучению чистоты колец эндоморфизмов абелевых групп, а именно - прямых сумм циклических р групп. Далее будут приведены некоторые вспомогательные результаты, рассмотрены вопросы чистоты ограниченных групп [18], а также основной результат данного параграфа теорема 1.13, дающая достаточные условия чистоты эндоморфизмов прямых сумм циклических р- групп.

Предложение 1.10. Пусть А = ф Ар прямая сумма р -групп,

реи

где П - некоторое множество простых чисел. Кольцо Е(А) чистое тогда и только т,огда, когда кольцо Е(АР) чистое для всякого р € П.

Доказательство. Непосредственно следует из леммы 1.7. □

Теорема 1.11 ([18]). Пусть А ограниченная р группа, тогда Е(А) — чистое кольцо.

Доказательство. Поскольку А ограниченная р группа, то её мож-

I

но представить в виде А = ф Вп, где Вп = ф < агп >, < агп > =

п=1 г'е/„

Z(pn). Обозначим кольцо Е(А) через Я. Известно [1, следствие 20.5], что J(R) = Н(А), где

Н(А) = {а е е А\р], Н(х) < оо =>- Н(х) < /г(ах)} .

Поэтому идеал 3{Я) нильпотентен и, следовательно, идемпотенты кольца Я поднимаются по модулю J{R). Кроме того, имеется описание фак-

1-1

торкольца [1, следствие 20.14]. Именно, R/J{R) = П Ьп, где

л=0

Ьп — кольцо линейных операторов Ър пространства размерности /п(А), /п(А)— п ый инвариант Ульма-Каиланского группы А. Согласно [25] Ьп— чистое кольцо (п — 0,...,/ — 1). Применив [19, предложение 7], мы получим, что = П Ьп чистое кольцо. Следовательно, в

соответствии с [19, предложение 6], Е(А) = R чистое кольцо. □

Следствие 1.12. Кольцо эндоморфизмов ограниченной группы чистое.

Доказательство. Ограниченную группу можно представить в виде прямой суммы ограниченных р групп. Согласно теореме 1.11 кольцо эндоморфизмов ограниченной р группы чистое. Применяя теорему 1.10, получим, что кольцо эндоморфизмов ограниченной группы чистое. □

оо

Теорема 1.13. Пусть А = 0 Вп, где Вп = 0 < а1п >, < а1п > =

п=1 2'е/„

Црп), / е Е(А). Если Ь = где 3 С М, причём /(А) С Ь и

jeJ

/|х чистый элемент кольца Е{Ь), то / чистый элемент в Е(А).

Доказательство. Обозначим через 5 множество всех пар (IV, д), где

©(© << >), УСАСМ, МТ1С1п,д2 = деЕ(\¥), /\w-ff

пеА гемп

— автоморфизм Е(Ц^). Поскольку чистый элемент кольца Е(Ь),

то существует такой д € Е(Ь), что (Ь, д) е 5. Зададим на множестве 5 частичный порядок: {уУ\,д\) < (И^,^) ? если И7! С И^ и <72 9\ •

Предположим, что {(И^ = ф ( 0 < агп >),да) | а 6 0} - линей-

пеАа

но упорядоченное подмножество множества 5. Положим А0 = У Аа и

с*еГ2

^ = Ф ( Ф < ап >)■ По построению С \¥ (а е П). Опреде-пеЛ° ¿е и м%

абП

лим д е Епс1(И/):

= да{х) (аеП, X е \¥а).

Тогда (уУ,д) 6 5 и (\¥а,да) < (И7,д) для всех а € О,. Условия леммы Цорна выполнены, значит существует максимальный элемент (Л, К) множества 5. Для того, чтобы доказать теорему, осталось проверить, что А и и совпадают.

Можно записать А = U @ D, где D подгруппа группы А. Предположим, что А ф U. Тогда U = фВА, J С A g N. Отсюда D =

\еА

ф В\. Обозначим через d один из ненулевых образующих агп £ D, A€N\A

причём /(< d >) С U. Считаем, что h действует на слагаемом < d > тождественно. Имеем, h2 = h € Епс1([/ф < d >). Покажем, что f\u®<d> — h - автоморфизм группы ф < d >. Действительно, для любого элемента u + kdEU($<d>

(/ " h)([(f - + f(kd)) -kd)=u + kd.

Если щ + k\d, U2 + k2d € U ф < d > , причём (/ — h)((u\ + k\d) — (u2 +

k2d)) = 0, то

(/ — h){u\ — и2) + f(k\d — k2d) = h(kid — k2d) = (k\d — k2d).

Поскольку левая часть последнего равенства принадлежит U, а правая < d > , то k\d—k2d = 0. Следовательно, f{k\d—k2d) = 0, а, значит, и (/—h){u\ — u2) = 0. Поскольку (f—h)\u — автоморфизм, то щ— и2 — 0.

Тем самым (U ф < d >,h) 6 S, что противоречит максимальности элемента (U,h). □

ос

Следствие 1.14. Пусть А = ф(ф где П — некоторое мно-

реП 77=1

жество простых чисел, Вщр = ф < агпр >, < агп р > = %{рп), / Е

г€1п,р

Бр

Епс1(А). Если существуют та,кие вр € N, что /(А) С ф (ф Вщр),

реп п=1

то / — чистый элемент, Епс1(у1) .

8р

Доказательство. Обозначим группу ф(ф Вщр) через Ь и р-компоненту

Реп п=1

группы А через Ар. Поскольку каждая р компонента группы Ь ограничена, то согласно теоремам 1.11 и 1.13 /Цр ~ чистый элемент кольца ЕпсЦЛр) (р € П). Применяя теорему 1.10 получим, что / — чистый элемент Епс1(Л). □

1.3 Вполне разложимые группы с чистыми кольцами эндоморфизмов

В данном параграфе продолжается изучение свойств чистоты колец эндоморфизмов абелевых групп на примере вполне разложимых групп без кручения. Наиомиим определение вполне разложимой группы.

Определение 1.4. Абелева группа без кручения называется вполне разложимой, если она является прямой суммой групп ранга 1.

Связь между кольцами эндоморфизмов групп без кручения ранга 1 и подкольцами ноля описывает следующее предложение.

Предложение 1.15 ([1]). Пусть А - группа без кручения ранга 1. Тогда кольцо Епс1(Л) изоморфно подкольцу поля ((5, порождённому 1 и всеми такими дробями ^ (р простое), что рА = А .

Ответ на вопрос, когда подкольцо ноля <0> является чистым, был дан в следствии 1.3.

Докажем теперь основной результат, который даёт полное описание вполне разложимых групп с чистыми кольцами эндоморфизмов.

Теорема 1.16. Если В — вполне разложимая группа с редуцированной частью А, то кольцо эндоморфизмов группы В — чистое тогда и только тогда, когда

Tip

А = ф (ф AiP) !

ре п i=1

где П некоторое множество простых чисел, Ajp = Qp (р € П, i = 1 ,...,пр,Пр G N).

Доказательство. Достаточность. Для всякого р € П обозначим через

"р

Д, группу ф Л/. Тогда для любого р Е П имеем ¿=1

t(Ap) = t(Qp) = (оо, оо,..., оо, 0, оо, оо,...),

где 0 соответствует простому числу р. Так как Ар - вполне инвариантные подгруппы группы А, то

Е(А) * П Е{Ар) • ре п

Применяя [19], получим, что Е(А) чистое кольцо тогда и только тогда, когда Е(АР) - чистое кольцо. Так как Af = Qp (р 6 П,г = 1 , ...,пр), то из предложения 1.15 следует, что

ВД = E(QP) = Qp.

Применяя следствие 1.3, получим, что E(AjP) — чистое (р € П, i = 1 ,...,Пр). Тогда но [4] Е{АР) — чистое кольцо (р € П). Таким образом, Е(А) чистое кольцо. Из теоремы 1.6 следует, что Е{В) — чистое кольцо.

Необходимость. Пусть {е/}ге/4 teT ортогональная система идемио-тептов, соответствующая каноническому разложению

А = 0(0 At*) (т.е. Ai = еМ, ieIt,teT)

teT ielt

группы А. Так как А\ (i G It,t G Т) группы ранга 1, то е/ — примитивные идемиотенты. Из условия и теоремы 1.6 следует, что Е(А) -- чистое кольцо. Тогда из [19] получаем, что е\ локальные идемиотенты, т.е. eiE(A)ei — локальное кольцо, а значит, чистое кольцо (iEluteT). Согласно [1] имеем соотношения

E(Ai*) = E{efA) = efE(A)ef.

Тогда Е(А?) — чистое кольцо (г G It,t G Т). По предложению 1.15 E{Ai ) — нодкольцо в Q {г G It,t G Т). Применяя следствие 1.3, получим, что Е(А{) = QPt для некоторого простого pt (i G It,t G T). Тогда no 1.15 получаем, что А* = QPt (i G It,t G T).Таким образом,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сорокин, Константин Сергеевич, 2014 год

Литература

[1] Крылов П.А., Михалев A.B., Туганбаев A.A. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов М.: Факториал Пресс, 2006.

[2] Крылов П.А. Об одном классе смешанных абелевых групп // Вестник Томского государственного университета. Математика и Механика. - 2000. - Т. 269. - С. 29-34.

[3] Крылов П.А. Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы // Алгебра и логика. - 2004. - Т.43, №1 - С. 60-76.

[4] Туганбаев A.A. Теория колец. Арифметические модули и кольца. М.: МЦНМО, 2009.

[5] Фукс J1. Бесконечные абелевы группы М.: Мир, 1974.

[6] Ara P. Extensions of exchange rings //J. Algebra — 1997. -- Vol. 197.

P. 409-423.

[7] Borooah G., Diesl A.J., Dorsey T.J. Strongly clean triangular matrix rings over local rings //J. Algebra - 2007. - Vol. 312. P. 773-797.

[8] Borooah G., Diesl A.J., Dorsey T.J. Strongly clean matrix rings over commutative local rings // Journal of Pure and Applied Algebra 2008. - Vol. 212. P. 281-296.

[9] Camillo V.P., Hua-Ping Yu. Exchange rings, units and idempotents // Commun. Algebra. - 1994. - Vol. 22, №12. P. 4737-4749.

[10] Camillo V.P., Khurana D. A characterization of unit-regular rings // Commun. Algebra . - 2001. - Vol. 29, №6. - P. 2293-2295.

[11] Camillo V.P., Khurana D., Lam T.Y., Nicholson W.K., Zhou Y. Continuous modules are clean //J. Algebra. 2006. - Vol. 304. — P. 94-111.

[12] Chen W. A question on strongly clean rings // Commun. Algebra. — 2006. - Vol. 34, №7. - P. 2374 -2350.

[13] Chen J., Yang X., Zhou Y. When is the 2x2 matrix ring over a commutative local ring strongly clean? //J. Algebra. —• 2006. — Vol. 301. - P. 280-293.

[14] Chen J., Yang X., Zhou Y. On strongly clean matrix and trianglular matrix rings // Commun. Algebra. 2006. Vol. 34, №10. — P. 3659 3674.

[15] Couchot F. Strong cleanness of matrix rings over commutative rings // Commun. Algebra. 2008. Vol. 26, №. P. 346-351.

[16] Fomin A. A. Some mixed Abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Abelian groups and modules, Trends in Math. - 1999. - P. 87-100.

[17] Fuchs L. Recent Results and Problems on Abelian Groups // Topics in Abelian Groups, Scott Foresman. Chicago. — 1963. — P. 9-40.

[18] Goldsmith B., Vamos P. A note on clean abelian groups // Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova. — 2007. Vol. 117. P. 181 191.

[19] Han J., Nicholson W.K. Extension of clean rings // Commun. Algebra. - 2001. - Vol. 29, m. - P. 2589-2595.

[20] Handelman D. Perspectivity and cancellation in regular rings //J. Algebra 1977. - Vol. 48. - P. 1-16.

[21] Li Y. Strongly clean matrix rings over local rings //J. Algebra 2007.

Vol. 312. P. 397-404.

[22] Meehan C. Sums of automorphisms of free Abelian groups and modules // Proc. Royal Irish Academy. - 2004. Vol. 104A. P. 59-66.

[23] Nicholson W.K. Lifting idempotents and exchange rings // Trans. Amer. Math. Soc. 1977. - Vol. 229. P. 269 278.

[24] Nicholson W.K. Strongly clean rings and Fitting's lemma // Commun. Algebra. - 1999. - Vol. 27. - P. 3583 -3592.

[25] Nicholson W.K., Varadarajan K., Zhou Y. Clean endomorphism rings // Arch. Math. - 2004. - Vol. 83. - P. 340 343.

[26] Nicholson W.K., Zhou Y. Clean general rings //J. Algebra 2005. — Vol. 291. P. 297 311.

[27] Nicholson W.K., Zhou Y. Rings in which elements are uniquely the sum of an idempotent and a unit //Glasgow Math. J. 2004. Vol. 46. — P. 227-236.

[28] Searcoid M. O. Perturbation of linear operators by idempotents // Irish Math. Soc. Bulletin. - 1997. - Vol. 39. -- P. 10-13.

[29] Yang X. A survey of strongly clean rings // Appl Math. 2009. Vol. 108. P. 157-173.

[30] Yang Y., Zhou Y. Strong cleanness of the 2x2 matrix ring over a general local ring //J. Algebra. 2008. Vol. 320. P. 2280-2290.

Статьи, опубликованные в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных научных результат ов диссертаций:

[1*] Сорокин К. С. Вполне разложимые абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2011/2012. - Т. 17, вып. 8. - С. 105-108.

[2*] Sorokin К. S. Completely decomposable abelian groups with clean endomorphism rings // Journal of Mathematical Sciences. - 2014. -Vol. 197, № 5. P. 655-657.

[3*] Сорокин К. С. SP-группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика 2014. № 4(30). С. 24-36.

Статьи в других научных изданиях:

[4*] Сорокин К. С. Вполне разложимые абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы: материалы всероссийского симпозиума (Бийск, 19 25 авг., 2010). - Бийск, 2010. - С. 49-52.

[5*] Сорокин К. С. Прямые суммы циклических абелевых групп с чистыми кольцами эндоморфизмов //Научная студенческая конференция механико-математического факультета: сборник тезисов конференции (Томск, 12 19 апр., 2011). Томск, 2011. С. 14-15.

[6*] Сорокин К. С. Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2011» / Отв. ред. А. И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антииов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] М.: МАКС Пресс, 2011. — URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2011/ 1257/30957_4bdd.pdf (дата обращения 27.08.2014 г.) -- ISBN 978-5-317-03634-8

[7*] Сорокин К. С. Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Абелевы группы: материалы всероссийского симпозиума (Бийск, 20-25 авг., 2012). Бийск, 2012. - С. 43 46.

[8*] Сорокин К. С. Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ 2013» [Электронный ресурс]. М.: МАКС Пресс, 2013. URL: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2013/2191/30957_67f7.pdf (дата обращения 27.08.2014 г.) ISBN 978-5-317-04429-9.

[9*] Сорокин К. С. Абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Всероссийская конференция но математике и механике, посвященная 135 летию Томского государственного университета и 65 летию механико математического факультета: сборник тезисов (Томск, 2-4 окт., 2013). -- Томск, 2013. С. 36.