Образующие элементы и определяющие соотношения в линейных группах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Сатаров, Жоомарт

• Сатаров, Жоомарт
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Сатаров, Жоомарт

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЗАДАНИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ ПОДГРУПП ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ

§1. Образующие и соотношения классических унитарных

групп над локальным кольцом с i

§2» Определяющие соотношения ортогональных групп над

коммутативным локальным кольцом с I. •

§3. Определяющие соотношения подгрупп полной линейной

группы, содержащих группу диагональных матриц •

ЕВКЛИДОВА ПОЛЯ

§4. Классификация вещественно-диагонализуемых унитарных

групп

§5. Определяющие соотношения в псевдоунитарных группах . • 72 §6. Образующие и соотношения вырожденных унитарных

групп

§7« Задания вырожденных псевдоунитарных групп

ГЛАВА III. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ

ГРУППАХ ОБОБЩЕННОГО МАТРИЧНОГО КОЛЬЦА

§8. Образующие и соотношения (полных) мультипликативных групп слабосовершенного кольца

§9. Задания некоторых расщепимых мультипликативных групп обобщенного матричного кольца

§10. Определяющие соотношения в мультипликативных унитарных группах слабосовершенного кольца

ГЛАВА 1У. ЗАДАНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ПОДГРУПП ПОЛНОЙ ЛИНЕШШ

ГРУППЫ НАД КОЛЬЦАМИ БЕЗ I

§11. Образующие и соотношения обобщенной полной и специальной линейных групп над локальными кольцами

без 4

§12. Определяющие соотношения группы квазиобратимых

элементов полулокального кольца

§13. Задания полной и специальной обобщенных унитарных групп над безединичным локальным кольцом с инволю-

люцией

§14, Образующие и соотношения обобщенной полной и специальной ортогональных групп над локальным кольцом без i

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Образующие элементы и определяющие соотношения в линейных группах»

ВВЕДЕНИЕ

Одно из классических направлений в общей теории групп составляют группы, заданные через свои образующие элементы и определяющие соотношения. Оно возникло в результате развития некоторых разделов математики как топология» геометрия, теория узлов и автоморф ныв функции Сем. [291 ). Группы, представленные в виде образующих и соотношений, впервые возникли в классических трудах Дика, Дэна, Тице и других исследователей. Изучение групп, заданных в та* ком виде, оказавшись настоятельным требованием самой математики, в то же время встречалось с рядом трудностей и особенностей. Трудности здесь связаны, главным образом, с высокой степенью абстрактности, Теория групп, заданных образующими и соотношениями, в настоящее время оформилась как самостоятельное направление и носит название комбинаторной теории групп. Систематизированная и обстоятельная теория групп, представленных своими образующими и соотношениями, Свпервые в мировой литературе) изложена в монографии В.Магнуса, А,Карраса, Д.Солитэра [29]. Новые методы этой теории и более современное ее состояние отражены в книге Р.Линдона, П.Шуп-па [28]. Большой каталог классических групп, заданных образующими и соотношениями, содержит книга Г.С.М.Коксетера, У.О,,дж.Мозера [16]. Историческому обзору развития идей комбинаторной теории групп посвящена книга Б.Чандлера, В.Магнуса [78],

Большой интерес в комбинаторной теории групп вызывают задания через образующие и соотношения линейных групп, а также связанных с ними конструкций. К этому вопросу уже посвящено большое количество работ и интерес к нему в последние годы значительно возрос. В математической литературе вместо слова мзаданиен применяют также равносильные ему термины "описание", "представление", иногда, допуская вольность речи, даже термин "генетический код" Сем., напри-

мер, [к 4] и ¡1б] ).

Исторический обзор Перечислим основные результаты из упомянутой нами области комбинаторной теории линейных групп. Здесь мы прежде всего укажем на классический результат В.Магнуса [98] , где им были найдены определяющие соотношения специальной линейной группы ^ , над кольцом целых чисел Ж относительно элементарных трансвекций , . Ключевые случаи этой задачи, когда 2 и 3 , рассматривались многими авторами, например, Дне. Нильсеном [102] (случай 3) и Уайтом [ИЗ] (случай 'к—2). Б, Нойман и А.Пойман в [101] нашли более простую систему соотношений для этой же группы • ^>3. С позиции образующих и соотношений группы X) , • у

Ж.) рассматривал в своей (большой) работе Янь Ши-цзянь [79]. Отметим также работу Грина [93], где он находил определяющие соотношения специальной линейной группы [.(^ТЗ , и^З, над произвольным телом Т относительно элементарных трансвекций

(Л) , Л^Т7 . j , и диагональных матриц вида ее (Т^)^ (определитель понимается в смысле Дъёдонне). В ¡73] Стейнберг показал, что специальная линейная группа

3 (над полем из с^ , элементов) может быть задана одними тривиальными истейнберговскимин соотношениями между элементарными тр-ансвекциями. Образующие и соотношения симплектической группы

над локальным кольцом -Л. с I, где его каждый конечно порожденный правый идеал - главный, выявлял Г.А.Носков ¡35]. Б этом ряду отметим также замечательный (и достаточно продвинутый) результат й.С.Романовского [38], где им находились образующие элементы и определяющие соотношения полной линейной группы (^-Ь (**. А ) , У^у 2, над произвольным локальным кольцом

(с 4).

в

Ряд работ в названном направлении посвящен к некоторым линейным группам малых (ключевых!) размерностей. Так, в [8бЗ Басси указал систему определяющих соотношений проективной специальной линей*» ной группы Г ^ ) • 2, относительно двух и трех порож-

дающих. Частные случаи этой задачи, когда т — 3, 4, 5, специально рассматривал Синков в работах [1053 и В^З* Далее, в

(1091 Санди

выявил образующие и соотношения специальных линейных групп ^¡-{¿Су Ж^) и над кольцами классов вычетов ¿Г^

по мечетным модулям Ыу . Симплвктическую группу с

указанной позиции рассматривали (независимо) Бэр и Бендер [84]. В первой работе приведено описание этой группы в шести образующих и восемнадцати определяющих соотношениях, а во второй - ее представление в двух образующих и восьми определяющих соотношениях. Некоторые системы образующих и соотношений групп О

Ж) , находил в [И 4] Уикс. В совместной ра-

боте Хуррельбринка и Ремана [96] выявлены определяющие соотношения групп С?) , 51 С?) . наД кольцами целых ал-

гебраических чисел (У полей (¡> (У^ж) , т—^., 2, 3, 7, И. Образующие и соотношения же специальной линейной группы над кольцами целых элементов (У полей (3 (у^пиЗ » 49, вычислил в

[Ш] Суон. В [115] Вон предложил способ представления ортогональных и унитарных групп (образующими и соотношениями), основанный на интерпретации этих групп как групп Шевалле. Перечисленным списком и главным образом исчерпываются результаты, относящиеся к комбинаторной теории линейных групп (не включая сюда результаты автора).

Как явствует из изложенного, несмотря на обилие таких работ конкретные результаты относительно ортогональных и унитарных групп (до 1980 года) никем получены не были. С другой стороны Ю.И.Мерзляков в своем обзоре [34] перечисляя работы, где были найдены лишь

порождающие элементы унитарных групп над некоторыми локальными и полулокальными кольцами, подчеркивал важность нахождения и определяющих соотношений этих групп. Все это свидетельствует о достаточной трудности вопроса описания унитарных и ортогональных групп. 1а этом фоне (в разные годы) были написаны работы автора [41], [44] , ВД, [49], [51], [53], [55], [56], [58], [60] - [65], [68], [69] .

Настоящая работа посвящена именно к описанию некоторых линейных групп через их образующие элементы и определяющие соотношения. Одно из основных мест в работе занимают представления (классических и некласеических) унитарных и ортогональных групп над некоторыми кольцами, а также связанных с ними конструкций. В работе определенное место отводится также к описанию мультипликативных групп отдельных классов обобщенных матричных колец. В большом цикле работ профессора З.Й.Боревича и его учеников была изучена структура подгрупп полной линейной группы 0-= (¡¡-[ _Л_) , над

различными кольцами, содержащих ее подгруппу диагональных матриц ^ = _А-) . Пользуясь результатами этой школы [4], [б] ,

[7] здесь мы даем описание (в терминах образующих и соотношений) всех промежуточных подгрупп Н » ^ Н^ над локальными кольцами А (при небольших исключениях на ). Совершенно новое слово в работе, на на® взгляд, представляют описания образующими и соотношениями линейных групп над кольцами без I, а также их естественных обобщений. Отдельные из полученных здесь результатов с большим перекрытием обобщают упомянутые выше результаты [93] и

Обзор работы

теперь к более полному обзору содержания работы. Работа состоит из введения и четырех глав.

Введение помимо своего основного назначения носит и подготовительный характер. Здесь собраны некоторые необходимые для дальней-

шего понятия и факты. В частности, здесь сформулирован критерий о полнот© системы соотношений, который в работе будет играть фундаментальную роль. Во введении продемонстрируется также содержание основного метода работы - метода трансформации букв на конкретном примере обобщенной полной линейной группы 1° (О , над

произвольным локальным кольцом & (без V).

Первая глава (§§ 1-3) условно разбита на две части. Первая часть (т.е. §§1, 2) посвящена к выявлению образующих и соотношен* ий унитарных и ортогональных групп над некоторыми локальными кольцами с А именно, в §4 находятся порождающие и определяющие соотношения классических унитарных групп СЬОъ : сл* ■=. ск у ( - эрштовски сопряженная для 6С матрица), бИ^К) (у\ , 2, над локальным кольцом ^ с I, нетождественная инволюция которого ~ удовлетворяет некоторым естественным условиям а)-с). Здесь же над кольцом вводится определитель ¿й-е^Ь и выявляются определяющие соотношения также специальных унитарных групп $Ц (п^ = (п^ : АеЬ <Я = ± » £) , 2. В §2 мы находим определяющие соотношения -классических ортогональных групп = — (¡-I-(п? £ ) : о^~ я^З" - транспонирование), Я ") 20 Я) » .Р^ОСгц О" . 2, над коммутативным локальным кольцом с I, удовлетворяющим условию + Я.** — (Я')^ С ' - взятие мультипликативной группы). Несколько иное направление имеет вторая часть этой главы, т.е. §3. Здесь мы опираясь на отдельные результаты из работы 1X1 выявляем образующие и соотношения промежуточных подгрупп Н , Х>0%X) ^ |4 ^ (^(г^К) , над произвольным локальным кольцом Я с тело вычетов которого

- радикал Джекобсона кольца Я ).

Более сложную задачу составляют описания неклассических унитарных групп (даже в случаях простейших полей). К нахождению обра-

зующих и соотношений вещественно-диагонализуемых неклассических унитарных групп ti (к А,А): ха?*-ск\ ,

2, над инволютивным расширением A/fe. упорядоченного евклидова поля к. посвящена вторая глава С§§ 4-7). В §4 проводится классификация Сс точностью до сопряженности в полной линейной группе) всех таких групп. Показываете», что всякая такая группа будет сопряжена некоторой группе вида ЗГ) » где J - ненулевая диагональная матрица с диагональными элементами из

о} . Возможные типы таких групп представляются следующими формами:

а) diacj ... „ i,... ,-О? в) J as Л 1<и cj (d-,1?о}..,,о); с) v о).

В соответствии с этими случаями группу И 3") принято на-

зывать псевдоунитарной, вырожденной унитарной и вырожденной псевдоунитарной. Образующие и соотношения неклассической унитарной группу ll^A^) , у^^у 2, в случаях а), в), с) выявляются, соответственно, в параграфах 5, 6 и 7. Отметим, что рассмотрением пунктов а)-с) полностью решается вопрос описания группы А, 2, для любой матрицы вида a^f^Cqj^,...,^)] t^T^e» ГД®

^GO-LCk^A) , Ке (wn/tA)* » б\€ fc .

Третья глава, т.е. §§ 8-10, посвязается к представлению некоторых подгрупп мультипликативной группы обобщенного матричного кольца. А именно, в §8 находятся определяющие соотношения полной и проективной полной мультипликативных групп .А , EAVAl/^MA произвольного слабосовершенного кольца А порядка Здесь

же вводится определитель Aéfc и даются описания также специальных мультипликативных групп S (А <=К: 3 » i £ (А ) . Имеет место цепочка включений

ПМШ) е ÍMK(M)S ИСК Щ ССК, (,<=)

где первые два звена означают классы полных матричных колец над телами и локальными кольцами (соответственно), а последние два -классы полусовершенных и слабосовершенных колец (определения см., например, в [43] ). Отсюда хорошо видно, что полученные здесь результаты с большим перекрытием обобщают уже упомянутые выше ки ставшие классическими) результаты Грина £93] и Н.С.Романовского [38]. В §9 мы находим образующие и соотношения некоторых расщепи-мых подгрупп мультипликативной группы _Л" произвольного

обобщенного матричного кольца А порядка тг>2. А точнее, здесь к изучению подвергаются случаи расщепимых групп Q- с обратимой диагональю и мономиальных элементов. §10 посвящен к выявлению определяющих соотношений полной и проективной полной унитарных групп "КГ (А) . £lC(A) *=U~(A)/ctn,tW (А) слабосовершенного кольца А и? инволюцией удовлетворяющих некоторым естественным условиям а)-с). Здесь аналогичная задача решается для унимо-дулярной унитарной группы EU (А) . В предположении, что каждый класс эквивалентности множества X0»t) — «• • > "-3" содержит не менее трех элементов, мы находим представление также проективной унимодулярной группы pElt (А) .

Совершенно иного уровня задачи решаются в главе 1У (§§ Ü-I4): здесь находятся образующие и соотношения некоторых линейных групп, заданных уже над кольцами вообще говоря без 4. В §11 мы вычислим определяющие соотношения обобщенной полной и проективной обобщенной полной линейных групп QL°(w, , .P&L0^,^) »2» над совершенно произвольным локальным кольцом (существование 4 не предполагается). Над произвольным ассоциативным кольцом К вводится понятие квазиопределителя и здесь же находится представления также обобщенных специальных линейных групп S'L'Os'O^ Ä^aeCfLffyR): = о} , Я) * г* Полученные здесь результаты (принципиальным образом!) обобщают результат Н.С.Роман-

овского ЦЗб] уже в другом направлении. В этом же параграфе изучаются свойства определителя АеХ? и указывается его применение к квазилинейным системам. Б §12 выявляются определяющие соотношения группы квазиобратимых элементов произвольного полулокального

кольца порядка (и не обязательно имеющего 1). Опираясь

на этот результат здесь мы находим образующие и соотношения также проективной фактор-группы ^/си^ЬК* . Поскольку полные

матричные кольца над полулокальными кольцами Л- сами

полулокальны (что легко следует из равенства Ю} —

= 1(Ю) )» имеющего место при любом К , см., например, £76], стр. 22), этот параграф содержит в себе описания обобщенных линейных групп О^ОцА) » РС-!/(н? А) * над произвольными (вообще говоря безединичными) полулокальными кольцами. Параграф 13 посвящен к выявлению образующих и соотношений обобщенных классичес* ких унитарных групп 1 а*"—«^ (, ' -взнтия, соответственно, эрмитовски сопряженной и квазиобратной матриц), Я^) [йеК"^ = , *г>2, над вообще говоря безвдиничным локальным кольцом & с инволюцией удовлетворяющим некоторым естественным условиям ^)-(^). Отметим, что полученные здесь результаты содержат в себе основные результаты §1. И, наконец, в §14 такой же вопрос решается для обобщенных классических ортогональных групп е СгС 0*% £ ) • ^ - а ' К

' Лек*а = О } , ?г>2, над локальным кольцом £ (существование Я не предполагается), для которого выполнены условия (оО-(зО. Этот параграф обобщает основные результаты из §2.

Как показывают результаты главы 1У, отказ от существования 4 в основном кольце при решении задач комбинаторной теории линейных групп приведет нас не только к неимоверным техническим сложностям, но и к определенным трудностям принципиального характера. В каждом

из параграфов М-14 строятся примеры основных колец Я, , не обладающих

Некоторые сведения о кольцах и полях

В работе мы неоднократно будем иметь дело с локальными кольцами. Прежде чем дать определение этих колец приведем некоторые сведения из [76^ Пусть А. ~ произвольное ассоциативное кольцо не обязательно с 4 и о - присоединенное умножение в этом кольце (.т.е. ос о с*-*- ). Элемент этого кольца с?с называется ле-

во-итраво-Оквазиобратимым, если для него найдется элемент ре А такой, что ^ о о С ). Элемент -А- • являющийся

одновременно и лево- и право-квазиобратимым, называется просто квазиобратимым элементом этого кольца. Но квазиобратимому осе-А- его квазиобратное всегда определяется однозначно и оно будет обозначаться как ос' . Совокупность А° всех квазиобратимых элементов

<к из -А- образует группу относительно композиции с и\де единицей будет нуль!). Поскольку в случае наличия 4 в А отображение А.* —5» А" , *—>- о< , задает изоморфизм, группа квазиобратимых элементов А° нвляется обобщением понятия мультипликативной группы А* на самые общие случаи.

Пусть 1 (А) - радикал .Джекобсона кольца А . Имеются различные ^эквивалентные с определением) характеризации этого понятия. Одна из характеризаций такова ^см., например, [76] ): 3(А) -это наибольший левый идеал кольца А , целиком содержащийся в А° . Покажем, что радикал 3(А) допускает также следующее конструктивное описание

Л (А) ~ЛГ : х«:е А* для всех хеА}, С'Л) Обозначим правую часть этого равенства через (А) . Множество Я (а) очевидным образом выдерживает умножение слева на элементы из А . Так как о< , £ (А) наряду с каждым

своим элементом ос содержит также квазиобратный ему элемент ¿к7.

Пусть - произвольные элементы из &(А) . Поскольку для них

о(о & и эс [и+рЪ & А°

при всех ос е А., множество К (А) является аддитивно замкнутым. Далее, как показывает равенство , &(А) вместе со

своим элементом р содержит также элемент — р . Поэтому из сх^р е Я (А) следует = <* н- (-р) ^ £ (А) , т.е. £ (А) об-

разует левый квазирегулярный идеал в А . Поскольку всякий левый идеал Т^УС очевидным образом содержится в Я (А)» идеал Я (Л) является наибольшим среди всех таких идеалов. Таким образом, равенств (3 ) действительно имеет место. В случав, когда кольцо _А обладает 1, описание (3 ) принимает знакомую нам классическую форму И (А) = {с^еА: при всех ^с^А} .

Сохраняя классическую терминологию ассоциативное (.не обязательно с €) кольцо А назовем локальным, если его фактор-кольцо А/иСл} по радикалу Джекобсона образует тело. Покажем, что всякое ассоциативное кольцо А с наибольшим справа двусторонним идеалом I , для которого А/X - тело, является локальным. Пусть е-- некоторый (любой!) вычет из единичного класса е тела вычетов А = А/Х . Поскольку здесь х-еке I для всех хвА » идеал Х- (рассматриваемый как правый) будет регулярным в А (определение см. в [7б] ). Поскольку X - наибольший справа, все правые (в том числе и максимальные справа регулярные) идеалы содержатся в X . Это означает, что X - единственный максимальный справа регулярный идеал кольца А- . Тогда X » как пересечение всех таких максимальных идеалов, совпадает с радикалом О СА^ , т.е. кольцо А локально. Точно таким же образом показывается локальность и кольца „А с наибольшим слева двусторонним идеалом X , для которого А/х - тело.

*

Отметим, что кольца А » локальность которых доказана только что, были введены в [32] (см. стр. 337) в качестве "класса локаль-

ных колец вообще говоря без Обозначим этот класс через Как это мы уже видели, класс Ьс, состоит из тех и только из тех локальных колец -А- , радикалы которых О(А) являются наибольшими либо среди всех левых, либо же среди всех правых собственных идеалов кольца _А (т.е. являются наибольшими слева или сп-

рава). Всякое локальное кольцо с Ъ. очевидным образом входит в класс Ьи •

Построим теперь локальные кольца другого "сорта". Пусть ЬК^ и означают классы абстрактных локальных колец с единицами и

без них (соответственно). Следуя 1252 (см. стр.70) ассоциативное кольцо К назовем радикальным (в смысле Джекобсона), если оно удовлетворяет одному из следующих равносильных условий: К°—К или 100-К . Очевидными примерами радикального кольца могут послужить все кольца с нулевыми умножениями. Пример радикального кольца с ненулевым умножением (а точнее, пример простого радикального кольца) построил Сансяда [10Д. Взяв произвольное локальное кольцо & (не важно с единицей или нет), а также произвольное радикальное кольцо составим для них прямую сумму -А-= . Поскольку здесь

построенное кольцо является локальным. Очевидно в К 4- К.

подкольцо является собственным двусторонним идеалом и не содержится в радикале 3 (А) 2 00 + К (ибо & ). Поэтому кольцо -/V — К -I К , как не принадлежащее классу , обязано содержаться в (т.е. оно не имеет I).

Пусть теперь произвольные кольца из и К^ 5.

- также произвольные ненулевые радикальные кольца. Для прямых сумм К , А-.4-.3 (они, как мы уже видели, принадлежат классу ) имеет место следующий факт

Я 4 К ^ А-^ £ ^ А. & К ~ 5 . С

Прежде чем показать эту равносильность заметим, что является

наибольшим подкольцом в К с 1. Действительно, всякое под-кольцо К < К (все они имеют указанный вид!) при К Ф Даст нам кольцо без 1, ибо слагаемое К не

может иметь (В противном случав мы имели бы тождество (--О0

л/

—± , справедливое для всех хе К , что противоречит однозначности решения группового уравнения ос в к), отот же факт имеет место и для колец _А , А. 4- £ . Пусть теперь : К —А--+ - некоторый изоморфизм. Поскольку образ ^ С (О при этом изоморфизме обладает должно быть <5 СО -^А . Аналогичным образом рассматривая отображение <в \ А4 S К имеем <^~а(А) •==: Я. , что вместе с последним включением даст <з(й.)=й А. . А это означает, что Я^ А. . Теперь поскольку ^ и А- образуют двусторонние идеалы в £4- 14 и А 4 $ , получаем также К — /Я (А ^ . Справедливость С^) в обратную сторону очевидна.

Доказанная равносильность (~) уже дает ясное представление о том, насколько велик класс по отношению к (т.е.

"локальных колец без 4 непредставимым образом больше нежели такие кольца с £")• Равносильность показывает также на то, что

введенный здесь класс (всех локальных колец) — и

намного шире чем класс <6г- из [32]. Всюду далее (и, вообще, в работе) локальность кольца будет пониматься именно в введенном здесь обобщенном смысле.

Пусть .А- локальное кольцо и е-+1(А) - единичный кл-

»-п.

асс его тела вычетов _Л_=А/э(А). Аналогом разложения _А= = 3(А) и А* , имеющего место в случав А. с в общем случае является следующее дизъюнктное разбиение

А^С-еОиА0« (и)

Покажем Ли). Здесь включение э. очевидно. Покажем . Пусть

= означает сравнение в А- по модулю О (А). Рассмотрим про-

извольный элемент - е ф ос из .А . Поскольку для него класс

©¿-ь е. обратим в А , существует элемент осе-А- , для которого зс + = ~ ~ ос . Отсюда мы имеем = = эс<х = хе эсосч- == о ~ о<+ос-х^+ ех=. ^^ Х= ху т.е. элементы , «:ох принадлежат идеалу I](А) . Тогда при некоторых ^ А имеем у, о (х* = = о = <Хо --=■ о , т.е. <х_ как двустороине квазиобратимый элемент из _А попадет в А° (см. [76Л ). Допустим

_ _ с>

теперь хеС- е^-А • Тогда из сравнения х и равенства

ос« х/^ о следовало бы е ~ е -+- х рс - Сх. + хх'+х^ о . Полученное противоречие показывает на дизъюнктность разложения С О ).

В §12 нами используются полулокальные кольца. Ассоциативное кольцо (не обязательно с 1) А будем называть полулокальным, если его фактор-кольцо .А/аСА) по радикалу Джек-обсона есть классически полупростое кольцо, т.е. прямая сумма конечного числа полных матричных колец над телами ^ М'^ъ.^/Т^)* < •« -+- Л1 (ц ^Т^ ) . Здесь число П= . • • + + называется порядком кольца А . Полулокальные кольца без 1 в природе также существуют. Ими будут, например, прямые суммы матричных колец Л±)ч- < • • 4- Д^Сп А ) над локаль-

ными кольцами А. » где хотя бы одно из них А безединично.

^ 1С

В работе мы будем иметь дело также с упорядоченными евклидовыми полями и их инволютивными расширениями. Следуя ¡101 поле ь назовем упорядоченным, если для его элементов определено (одноместное) отношение >о "быть положительным", для которого выполнены следующие свойства:

<0 для каждого элемента Р выполнено одно и только одно из соотношений ОС — о , с< > О , — о ;

2) если сх > , <£> > о , то (?>>о и ос ^ >• о .

Всякое упорядоченное поле Р очевидным образом имеет характеристику 0 и для него группа квадратов (Р*Р' ^ всегда содержится в группе положительных элементов Г :

>о ] . Упорядоченное поле к называется упорядоченным евклидовым, если для него имеет место равенство (к')** . Далее, расширение к/к. упорядоченного евклидова поля К называется и н в о л ю т и в н ы м, если существует антиавтоморфизм ~ кольца К. порядка 2, для которого {с*ек: ^ — с* 3" — ^ (т.е. к является стабильным подполем относительно ~ ). Очевидными примерами инволютивного расширения являются С/Я и (<С - поле комплексных чисел, Н - тело гамиль-тоновых кватернионов) относительно стандартных сопряжений ~ , Другим примером такого расширения послужит кольцо дуальных чисел над , т.е. кольцо 1) - ; с почленным сложением и умножением, заданным как (с*5»*= 9 (см., например, [131 ) с автоморфизмом ос+^ф = ос-

В работе мы используем также обобщенные матричные кольца и некоторые их частные типы. Приведем необходимые определения. Пусть А - ассоциативное кольцо с 1^0. Систему элементов этого кольца £-¿.9 • - • > * ^>2, для которых выполнены условия:

1) г^фо , и =

2) е^е. — <? для всех

3) е^н- +

назовем ортогональной системой ненулевых идемпотентов (ОСИП) в А. Ассоциативное кольцо Аи (о I), обладающее некоторой ОСНЙ

называется обобщенным матричным кольцом. Здесь число чи будем называть порядком кольца А- . Это понятие (равносильным образом) может быть определено также как кольцо матриц морфиз-мов ^Сс*-)' Ло>аддитивной категории

^ ■ - у ) ¿Jj с конечным числом

объектов у^ (см., например, работу И ). Для обобщенного матричного кольца .Л. с ОСНИ ,,.., положим А .. = е. А <г. -= | А е. : ХеА} . Легко проверить, что подмножества А; — = А;^ , С- 4 ?..., и^ , образуют подкольца в А с единицами , а ../V-- С л ) - ©го А.-А,-бимодули. Элементы кольца А~ од-

м ■ с J

нозначно представляются в виде

(X — ■ • —

4J

<*«-*•1 • • -f Л К-

1 1 '

причем здесь кольцевые действия выполняются по матричным правилам. Элемент обобщенного матричного кольца А- договорим-

ся называть "обратимым", если существует элемент £ е для

которого осл^е^ и <£j . По "обратимому" ¿х'еА- "обрат-

ный" ему элемент = cvv еА-- всегда определяется однознач-

J vi i,

С

но. Обозначим через совокупность всех "обратимых" элемен-

тов из А-- . Далее (1-ю) строку ос.^«*. + элемента о^

Ч/ I «'»С-

в разложении (Si) назовем обратимой, если "обратима" хотя бы одна из ее компонент ^ . Следуя работе кольцо А. с ОСНЙ • • • ? ^к. называть слабосовершенюым,

если обратимы все строки. с*. , ¿»d. , всякого обратимого

ф

элемента ос из А- . Как показывает работа ¡JÜ (точнее §15), все полусовершенные кольца являются слабосовершенными.

Группы, заданные образующими и определяющими соотношениями Пусть ÇJ— абстрактная группа и £ - некоторая

ее порождающая система* Под соотношением группы Q- в алфавите ÀL понимаем всякое (верное в Q- ) равенство «Г= \Г" двух слов этого алфавита. Очевидно всякое соотношение можно записать в виде vT— <1 (Д - единичный элемент группы). Построим свободную группу F(X)- SOC)/~ со свободным порождающим множеством

X— ' гдз ^ 0е) ~ множество всех слоз алфавита X ,

^ - эквивалентность на S (х^ » определенная как чГ.-v \г тогда и только тогда, когда от слова иГ~' можно перейти к \Г~ с помощью конечного числа операций вставки или удаления тривиально единичных слов -хТ1;*. , х.хТ1 * leí • Хорошо известно, что отоб-

С W i, «_

ражение

FOC)^- Gb

где <>¿ е Ж и £\гД означает элемент группы F (X) , опреде-

"t

ленный словом , является эпиморфизмом. Обозначив его ядро через мы имеем изоморфизм

Пусть теперь Н~ - такое подмножество слов из S (X) t что нормальное замыкание ^^^ у совпадает с Очевид-

но здесь указанием алфавита X и множества И- фактор-группа Р(Х)/и*~, тогда и сама группа Q- , определяются полностью. Задание группы указанием пары X » И- называется ее представлением образующими и соотношениями и оно обозначается как Q= (Xll-M) (см., например, [14Д ). Отметим, что для всякой формальной пары Х^ Н- (уже не связанной с Q- ) существует, причем единственная абстрактная группа с генетическим кодом (ХИН-).

Пусть - ¿6j " некоторая совокупность слов алфа-

вита Yi^ з • Говорят, что слово выводимо из слов

(или являете» следствием из £ ), если его можно преобразовать в пустое слово выполнением конечного числа следующих операций :

1) вставка к \Г (в любом месте) одного из слов ^r^-j»

2) удаление из любой части \Г одного из этих слов.

Далее, говорят, что соотношение vT = выводимо из соотношений

£ =. , если слово тГ выводимо из Р . Множество соотношений Н группы (в алфавите ХС ) называется определяющим (или системой определяющих соотношений), если любое соотношение группы О- является следствием из .

Между представлением и определяющими соотношениями группы Сосуществует следующая связь. В прежних обозначениях пусть \\/- образ множества Н- при отображении

СХ- "гги о ^ с/ Чи,

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Представление (XI! И) определяет группу С? тог-та и только тогда, когда соотношения ц'- ±. образуют (в алфавите ^Ч^х ^ систвмУ определяющих соотношений. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть £ И ] Р СХ; )> — Н * Пусть далее, \Г=£ - произвольное соотношение группы . Тогда для прообраза элемента \г при отображении (.->■) имеем

со = гс^Г4-' • • ^ Л -

где . и . *.в.

ОГО"*--

Последнее слово, очевидно, выводится из й«,,.., К . Заменив в этих выкладках формально х^ на заключаем выводимость слова \Г из Н^ •

ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть теперь - система определяющих со-

Г № 1 ру

отношений. Здесь включение И очевидно. Покажем

его в обратную сторону. Пусть ре] - произвольный элемент ядра Н*

Очевидно вставка слова Н и { и в

»т.е. [т^ч — Шч^Л » ИЛИ же удаление его из эт-

Р СХ)

ой записи, умножает [>Г| на некоторый элемент из -(¡[и] Поскольку выводимо из » то переходя формально к

системе "X , н- заключаем, что еСН-Ц ^ ^^У • Предложение доказано.

Как показывает это предложение, указанием порождающей системы

^ и системы определяющих соотношений —

~ ^ , ^ ^ ^ _ группа О- также определяется вполне. Группа может допускать множество различных представлений и полезность (эффективность) каждого такого представления существенным образом зависит от содержания конкретной задачи.

Пусть теперь даны соотношения I? группы в порождающей системе ЛЬ. Возникает естественный вопрос: образует ли Р— для О- систему определяющих соотношений? И вообще, каков критерий того, чтобы £~±. образовало для полную сиотему соотношений?

Мы ответим на второй, более общий, вопрос. Пусть имеем соотношения 2- ± группы О- в алфавите . Пусть далее, для каждого элемента ^ из указана совокупность слов [ 5 алфавита , записывающих этот элемент (они могут быть и бесконечными). Эти слова (условно) будем называть стандартными формами элементов группы О- . Тогда относительно полноты системы — Л. имеет место следующий

КРИТЕРИЙ. Совокупность Р = образует для группы систему определяющих соотношений тогда и только тогда, когда всякое слово 1П соотношениями из можно преобразовать к какому-либо (любому!) из его стандартных видов $С<г) и вывести из все соотношения вида = ^ •

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть - произвольное со-

отношение группы . Преобразуя левую часть к стандартному виду получаем соотношение 9 = • Поскольку последнее выводимо из Е =1 , соотношение также следует из = .

НЕОБХОДИМОСТЬ очевидна.

ЗАМЕЧАНИЯ. Л.) Как легко заметить, выводимость из ±? — соотношений \Г= ^ОГ) в этом критерии можно заменить с выводимостью таких соотношений для единичных слов 2) если

то полнота i? очевидным образом будет равносильна выводимос-

ти из этого набора лишь соотношений вида \Г— s(>r) .

Отметим, что этот простой и в то же время весьма эффективный критерий полноты системы соотношений в нашей работе играет фундаментальную роль. Хотя и в этом критерии выбор стандартных форм s(0 несущественен, тем не менее в ого приложениях к конкретным группам такой выбор становится необходимым. Отметим также, что для (линейных) групп, изучаемых в данной работе, формы s(ir) действительно обретают смысл стандартности. Сформулированный критерий к этим группам применяется в следующей последовательности: 1) выбирается некоторая (естественная) порождающая система XL ; 2) относительно этой системы удобным образом (в смысле применения критерия) определяются стандартные формы элементов группы; 3) предугадывается некоторый набор (определяющих) соотношений; 4) доказывается выводимость из этого набора соотношений вида ir= sGr) и любого соотношения

О методе трансформации букв

Только что описанный общий план представления групп при применении его к конкретным группам требует дальнейшей своей реализации. А именно, здесь нам нужно еще научиться преобразовать любое слово к какому-либо из - его стандартных видов s(u~J> . В работе применяется универсальный метод» позволяющий нам выполнить это преобразование iT—sOr) • Продемонстрируем суть этого метода (трансформации букв) на конкретном примере обобщенной полной линейной группы GrL* (и р.) » » над произвольным локальным кольцом

Я (см. §М).

Пусть R - произвольное локальное кольцо вообще говоря без 1. Относительно него принимаем следующие обозначения: -fc-(o<) - матрица из , у которой на позиции (C?j ), ¿.¿¿j , стоит элемент К , а на всех прочих позициях - нули (т.е. (^])-ква-

зитрансвекция); е^С&^Л^а^с^ о • где элемент в-

стоит на к-м месте (т.е. к-квазидиагональнаа матрица); е-фиксированный вычет из единичного класса ' е.ч-"3 СЯ) Т9Ла выаетов ^ ; для индексов 1-; положим ^ = <?7.. (^е)- Л. (е)+ (е) -

— Се.) и Для ЭТУ матрицу доопределяем как .77 - — ; . ^ - сравнение в £ по модулю 3 00 .

При представлении группы (^(и, Ю * » используется сл-

едующий алфавит

и)

С ^ ).

Пусть к означает некоторое слово алфавита (*) вида = \ ° ф0Рмами ступени I

здесь мы будем называть всякие слова вида = Р-. ° ^ ■ —

'V 1« 5»

— I I -"Ь. С*- V'*?- » где при считается выполненным условие ~ 0 .с4ю*£ • Аналогичным образом вводим и обозначения ° * ^ качестве стандартных форм элементов группы К) объявляем всевозможные комбинации

а о ^ • о а с, <Х о с. < * * о _£ ( а)

д±. 4

где Д = е^г^)®-'* °~ некоторое диагональное слово. Доказывается представимость всякой матрицы <к из в стандартном виде (5.) и единственность этого представления для нулевой матрицы (\ » о .

ЗАМЕЧАНИЕ, Разложение для произвольной матрицы ск будет неоднозначным и легко показать, что число различных таких представлений не превышает (п-4-)!«

Далее, выписываются соотношения £-11 (см. §11, серии 10, И относятся только к случаю = ). Пусть иГ - произвольное слово алфавита (*). Оно преобразуется к стандартному виду

— ° ^ ° <44 0 ^^ следующим образом, ¿ведем на мно-

жестве всех слов алфавита С*) отношения , .., а

положив иГтогда и только тогда, когда эти слова связаны соотношением иГ — X© 1Г , где ЭС - некоторое слово, не содержащее буквы вида "Ь . (рО » оС -^о ; - » к ^ ^ • Эти

к < ^ ^ Л

отношения являются рефлексивными и транзитивными. Для наших рассуждений основопологающей является следующая

ТЕОРЕМА (о трансформации букв). Пусть х.. - одна из букв "^(рО, сч^о ; -7} ^ ^ ; , о . I , причем вторую букву

означает только при сЬ £ за X, . Тогда для любой формы о ф применяя соотношения 1-И можно выполнить преобразование \Г=

— ^.орс , где ~ некоторая форма ступени I .

Эта (большая) теорема доказывается при помощи некоторого комбинаторного анализа. Далее, не теряя общности слово иГ можно считать представленным в виде

иГ^ ЬУ,

О- /

где некоторая форма ступени а - соответствующее ей до-

полнение. Пусть I , т.е. эс - первая буква слова х .

Применяя к стыку ^ (упомянутую) теорему о трансформации

л/ А

букв находим иГ % о » т. э. получаем для иГ представление того же вида (.с^- ), но уже с укороченной длиной ~>Г . Продол-

4-

жая это сокращение несколько раз мы приходим к записи вида оГ ■¿С * т*9* • Но стоящее здесь слово ЭС ^ та-

вово, что из него аналогичными рассуждениями можно вытягивать форму (ступени 2). Выполняя это вытягивание будем иметь иГ =

л;

— "Х 0^ ® | « ^. Продолжая этот процесс на (т!-4_)-м шаге приходим к разложению оГ— ^ ° • • • ° I . В последней записи слово -Л- имеет нижнетреугольныи вид и оно соотношениями 2-3 (уже сравнительно легко) приводится к виду "X"

~ '" ° ° ^С8^) ° • * • ° Ц^С6^) • Таким образом, соотноше-

ние оказалось следствием от соотношений 1-Й. А это со-

гласно критерию означает полноту системы соотношений 1-11 для группы й.) в образующих (*)• Этот общий результат (остающийся при в таком же виде) в случае екаыКу^я, имеет несколько упрощенный вид. А именно, показывается, что при Жах Я ^ ^ в полученном представлении не только буквы ¿Ц. , но и соотношения 7-11 также будут излишними.

Таким же образом применяется этот метод и к другим задачам, затрагиваемым в работе. Уровень словности его применения естественным образом будет зависеть от специфики представляемых групп, а также от колец, над которыми рассматриваются эти группы*

Пусть теперь нам известна система определяющих соотношений Е— — группы (¡¡- в алфавите ЛЬ и пусть Н - нормальный делитель этой группы. Тогда для того, чтобы найти представление фактор-группы (-¡¡-/н- нам нужно добавлять к соотношениям Р еще соотношения V — » где "V" - некоторая система порождающих слов подгруппы Ц- ♦ Тем самым будет получено интересующее нас представление Сг/ Н-— (/Ц £и*\0 например, ). Именно таким образом, в частности, будут найдены представления проективных групп —0-/^71^0-.

Другие понятия и факты в работе будут приведены на местах по мере их надобности.

Г Л А В А I

ЗАДАНИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ ПОДГРУПП ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУПШ НАД

ЛОКАЛЬНЫМИ КОЛЫШИ

Эта глава посвящена к описанию образующими и соотношениями некоторых классических подгрупп полной линейной группы 0-1. (п., А") ,

, над локальными кольцами А_ с £ определенных типов. В §1 эта задача решается для классических унитарных групп ^(т^А), , .Р^ИО^А) , , над локальными

кольцами А. с инволюцией ~ , которые удовлетворяют некоторым естественным требованиям а)-с). Аналогичный вопрос для классических ортогональных групп 0(п,А), $ 0(тг3А), РО(п,Л), £$>0(?19 А")^ , над локальным кольцом А. , для которого выполнено Стакже естественное) условие (А") и- А2^ (АТ . решается в §2. В главе несколько иное направление имеет §3» Здесь дается представление (образующими и соотношениями) подгрупп полной линейной группы 0-1- (и А} , п>зб , содержащих подгруппу ее диагональных матриц 1) (п? А) , над произвольным локальным кольцом А. , тело вычетов которого А/-Л(А) отлично от поля Р (из двух элементов).

§1. Образующие и соотношения классических унитарных групп над локальным кольцом с 4

Пусть А - произвольное (вообще говоря некоммутативное) локальное кольцо о 4 и " - его фиксированная нетождественная инволюция. Обозначим через К = ^ =■ Ь и при всех

А-} центрально-стабильное подкольцо кольца .А . Пусть далее, означает норму элемента ^еА и пусть N (А) — ~ N • - множество всех норм. Принимаем также следующие обозначения: П (А) | еА: ±- N е N (А)}- (абстрактный единичный круг), 0(А.) = {|сА: (абстрактная единичная окружность). Введем на .А эквивалентность ^

. Обозначим через И(п? А) классическую унитарную

группу над кольцом _Д_ степени г^ , т.е. группу тех матриц с*^ из иАЛ , для которых (X — а. (с\ - матрица с элементами (с**)- — )•

Основной нашей целью в этом параграфе является представление (образующими и соотношениями) унитарной группы 1Цуц, А) , над локальным кольцом с инволюция которого "" удовлетворяет следующим условиям: а) 1Ч(?0 — N при всех Л. ; в) имеет место включение N (А-\)-ь N ^А)^ Г^ (А"^) ; с) существует полная система вычетов (ее мы обозначим через Б (АЗ ) кольца -/V относительно эквиваленции ^ , целиком содержащаяся в подкольце К~(А). Обозначим через (:хI — х/х^' вычет из 5>* (_А) , ^-эквивалентный с элементом хеА (т.е. ^ ), причем здесь считается 1о|=5<э и \±[ — 4- . Из равенства эсос. -=- | х: 1 ^ легко следует, что множество 1Ч(А*) образует абелеву подгруппу мультипликативной группы А_ . Она называется группой норм кольца -А. .

Очевидными примерами локального кольца

.л

, удовлетворяющего условиям а)-с) являются комплексное и кватернионное расширения С 00 , упорядоченного евклидова поля к с их обычными

сопряжениями ~ • Менее тривиальный пример кольца .А. с условиями а)-с) доставляет кольцо дуальных чисел : &

(с почленным сложением и умножением , уе) Ь&) = ч-+ ¡¿ъ") О- ) над этим полем £ с автоморфизмом у & ~

— х, - ^ . Б последнем примере в качестве "единичного круга" П (А) выступает вертикальная полоса £ х+у : ~± ^ ^^

к , а в качестве "единичной окружности" О (А) - пара параллельных прямых ^ .

В этом параграфе мы находим представления также специальной унитарной группы S'Ц(nrA) (определитель вводится предварительно) и проективных групп РК^к^А,) , . Ос-

новное содержание этого параграфа Си важнейшие его частные случаи) отразились в работах [>5], J4l], ¡>4]» L5IJ • С563 и ftoj.

Займемся сперва представлением группы ^(w^A-) • Оно, как и для Сем. Введение), использует стандартные формы мат-

риц из

Стандартные формы в группе ItGt^A) Начиная отсюда в течение всего параграфа -Л- считается неко-

. 9

торым локальным кольцом с условиями а)-с). "Знак" элемента х€ Л. определим как с./|зсГ • Очевидно для любого осе-.Л- его

знак ^gru^ принадлежит группе О (А) . Пусть для аргументов ос g П (А) и

R-< (х) — е + (У±--хэс- + ,

V ' vc Cj wc v

( е. - единичная матрица). Группу 1Цн,А) мы будем представлять в образующих

хбП(Л)3 о^Л CI Л)

Дополнительно принимаем еще следующие обозначения: Г~1 (А)-П (А): а

- ххе.А J7 П (А)-П(А)о А . Для индексов ^ i: j вводим следующий- символ

Ч I если i — J .

Выделим в группе %[у\7А) некоторые слова алфавита (1.1) специального вида. Пусть р. означает либо пустое слово, либо же нек-

"V

оторое слово вида ГСО «•• К. С* ) , где

«»Л4 л ^ е '

< -е ^ ^. , < с_ и х^с г1 (.А) ч , 1:- о, ... ^ с_ . Формами ступени I в группе ^(п^А') будем называть всякие слова вида ^ • = V. 7). , где при с & и Р. = £ * (я ^ • • • £ . СО

•с 1 * у с.

Фф аргументы х., , считаются необратимыми. Стандартны-

ми формами в группе ^(п^А) объявляются всевозможные комби на-

ции ^(е*.) • • • 1 •• £ • Нерез ХСО мн обозначим со-

вокупность индексов всех недиагональных букв ф Ц. ф-о ,

слова <\Г . Ниже записи , будут означать не-

которые слова , для которых и р^еК^) (соот-

ветственно).

Первым утверждением в изучении стандартных форм является следующая

ЛЕММА 1Л. Для всякой упорядоченной п.~ки

элементов из „/V , для которых N± • существует, причем единственное выражение <?)•(&);£. с -1-й строкой (%).

V/ с

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р означает число ненулевых компонент системы и пусть £ - номер ее первой (слева) обратимой компоненты. Мы различаем следующие два случая. Если р — ±. , то выражение Д. имеет с-ю строку и его единственность

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Сатаров, Жоомарт

Основные результаты Отношения , ¿ < к- , и здесь определяются как в §13.

Понятие 1(0") также вводится как там. Базовая теорема здесь сформулируемся так.

ТЕОРЕМ 14*2. (о трансформаций букв). Для любой ненулевой формы 4. и буквы > С , применяя соотношения 1-7 можно выполнить преобразование о~= . о ос ^ , где ^ - некоторая и и форма ступени -I .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО представляет собой полное пов^орениэ чвпло^ь до нумераций соотношений) доказательства теореш Я3«2. Его мы воспроизводить не будем.

Основной результат о группе 0°(угу И) сформулируется следующем образом.

ТЕОРЕМА 24« 3. Обобщенная ортогональная группа О (гь, Я), , над локальным кольцом с условиями (<х) - ) в образующих (14 Д) представляется соотношениями 1-7 (при тс^-з неукладывающиеся соотношения опускаются).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ¡этой теоремы опирается на теоремы 14,2 и проводится как в теореме 23.3. Эти повторяющиеся подробности мы ©пускаем. ■

Перейдем теперь к представлению над Я специальной ортогональной группы 50°(г1р 1() ЛёХг°

В указанном алфавите напишем следующие соотношений группы в) и • о (<э) =- <А Г& о£Го£ ) о и . с) к- ^ = Г&о0 о£оо)о"й Ге)., геи,4 п,4 ' ей) с( к \\ (8,) о л . ? с< к- * б) Се) " ^СО ^ ^ У у с) . о л о) --=■ (б-.-; о , от, («, е) о ^.

Чи/ И- ^ V >ич ^п,1 «-н, 7 и. 3 где правая часть определена как ^м м — т^ а 5 те О ({О, £ ? <5= (ь^-^Зоа+^а-б)/;^ «у -уд & е. -улее. ); е) Я ° ^^^чу Е-ь еу -«-е )^ где правая часть определена как а = & -ев — ее -+■ е ■+■ •+ .яеу* ^ То а , чгеО^), а с. К Л,

3'=с|оа+с. (6 -«■- т С) ^ с е. -у +у & е. -+где правая часть определена как а = £ + ее <г = тг <е © СЮ > ае -у - ,

6"= (у&у) «а с — ><е -у а — <?• к) Т?. о'й Се) = Л (воТогО^к

•-■И, к к, 7 и-4 1сиЛ у о «V оТ\ Г а , б+- х€)°<?7. „ ¿-^ К где правая часть определена как с\ - е ул^То^ v

-т:еО(Ю7 ае К , -уце-гу ее^ — о-г. ( сГ, ) где правая часть определена как ул = т * v ^ ^

Те О(/ ) ? о'е Я ? ей -у е -у е.е, о! о а —

Если стандартные формы матриц из 5>0°(-и |0 определить как ,„ (д*)0"- о Ь (е )«>? о .Р »то буквально повторяя рассуждения, проведенные для группы и., еО , пояучаем также следующий результат.

ТЕОРЕМА Обобщенная специальная ортогональная группа

Ь'О (пР & ) ^ » над локальным кольцом Я. с условиями Сое)

- (3) в образующих (£4.3) задается соотношениями и 3-7 Си здесь при уь^Ъ неумещающиесн соотношение опускаются).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Сатаров, Жоомарт, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

2. Артамонов В.А,, Салий В, II,, Скорняков Л.А,, Шаврин Л.К., Шульгейфер В. Г. Общая алгебра. Т.2. - М.: Наука, 1991. - 479 с.

2. Артин 3. Геометрическая алгебра. - М„: Наука, 1969. - 283 с.

3. Бокуть Л.А., Львов И.В., Харченко В.К. Некоммутативны® кольца // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Фундаментальные исследования. Сер. Алгебра, топология, геометрия. - М.: Наука, 1988. ТД8. - С. 5-И5.

Боревич З.И., Вавилов H.A. Подгруппы полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащие группу диагональных матриц// Тр. Mas. ин-та АН СССР. Ленинградское отделение. - Л., 197 8. Т.148. — С© 4 3—57.

5. Боревич '¿.И., Крупеикий С.Д. Подгруппы унитарной группы, содержащие группу диагональных матриц // Записки науч. семинаров Ле-кингр. овд. Мат» ин-та Ali СССР» - I., '1979. Т. 86. - С.19-29.

б„ Боревич З.И,, Лесама Серрано Х.О. Группа обратимых элементов полусоэериекного кольца // Кольца и модули. Предельные теоремы_ теории вероятностей. - Ленинград; изд-во Денингр. ун-та, 1986. -jJaii.l. — С,£7-67.

7. Боревич З.И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Записки науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. - Л», 1976. Т.64« - С.12-29.

8. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, S' 303 о ©

So Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. - М.: Наука,

о С5 ф о®

Ю. Ван дер Вардвн БД. Алгебра. - M«: Ен?ука, 1979» - 624 с.

il0 Дъёдонне 1. Геометрия классических групп. - М.: «Мир, 1974.

¡¡¡С

12. Каяужнин Л.А. введение .в об'цую алгебру, - М.: Наука, 1^73.

- 447 с»

13. Кантор И.Л., Солодовников A.C. Пшеркомплэксные числа. -М.: Наука, 1973. - 144 с.

14. Каргаполов М.й., Мерзляков Ю.И* Основы теории групп. - М,: Наука, 1982, - 288 с.

15. Каш Ф. Модули и кольца. - М.: Мир, 1981» - 368 с.

16. Коксэтер Г.С. М., Мозер У. О.Дж. Порождающие элементы и опре-

4-

делающие соотношения дискретных групп. - М.: Наука, 1980. - 240 с.

17. Кон II. Свободные кольца и их связи. - Н.: Мир, 1975. -422 w е

18. Кострикин А.И. К заданию групп образующими и определяющими соотношениями // Изв. АН СССР, сер. матем., 1965. - Т.29, Х:Ь. - С. 1119-1122.

19. Крупецкий С.Л. О некоторых подгруппах унитарной группы над квадратичным расширением упорядоченного евклидова поля // Алгебра и и теорий чисел. - Нальчик, 1979, вып.4. - С.39-43.

20. Крупецкий С.Jl. О подгруппах унитарной группы над дкадичес-ким локальным полем // Записки науч. семинаров Ленингр* отд. Мат. ин-та АН СССР. - Л., 1980, T.1Ö3. - С.79-89.

21. Крупеикий СД. О подгруппах унитарной группы над локальным полем Ц Записки науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та Ш СССР.

- Л., 1979. Т.94. - С.87-Ш.

22 а Кру пецкий С.Л. Подгруппы ортогональной группы, содержащие группу клеточно диагональных матриц // Записки неуч, семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. - Л., 1979. Т. 94. - С.73- 60.

23. Крупецкий СЛ. Расположение подгрупп в унитарных группах: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 - Ленинград, 1980.

24«. Крупецкий С.Л., Шоку ев В.Н. Подгруппы конечной унитарной группы, содержащие диагональ // Структурные свойства алгебраических систем. - Нальчик, 1981. - С.69-79.

25» Курош А,Г. Общая алгебра. Лекции £969-1970 учебного года. -

М. • Наука» £974. - 160 с.

26. Курош А.Г. Теория групп. - М.: Наука, £967« - 648 с.

27. 1©щ* С. Алгебра. - М.: Мир, £968» - 564 о.

28. Диндон Р., Шупп П. Комбинаторная теория груш. - М.: аир, I960. - 448 с.

29. Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп. - М.: Наука, £974. - 450 с.

30. Мальцев А.И. Алгебраические системы. - М.: Наука, £970. -

392 о.

3£. Мальцев А.И. Основы линейной алгебра. - М.: Наука, £975. -

400 с.

32. Мельников О.В., Ремесленников В.Н., Романьков В.А., Скорняков Л.А., Шестаков И.П. Общая алгебра. Т.I. - М.: Наука, £990« »

59i е.

33. Мерзляков Ю.й. Линейные группы // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Фундаментальные исследования. Сер. Алгебра, топология, геометрия. - М.: Наука, £978. ТД6. - С.35-89.

34. Мерзляков Ml. Порождающие элементы и определяющие соотношения классических групп. - Дополнение к книге Г.С.МДоксетер, У.О.Дж.Мозер. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп. - М.: Наука, £980. - 240 с.

35. Носков Г. А. Порождающие .элементы и определяющие соотношения симплектичвских групп над некоторыми кольцами // Мат. заметки. - 1974. - ТД6, №2. - С.237-246.

36. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. - М.: Наука, £989. - 448 с.

37. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. - К.: Мир, £986. - 541 с.

38. Романовский Н.С. Образующие и определяющие соотношения полной линейной группы 'над локальным кольцом // Сиб. мат. "ж. - Я97£. -

ТДЗ» £4, - С.922-925.

39. Романовский Н.С. Обобщенная теорема о свободе для про-р-гр-упп // Сиб. мат. ж. - 1986. - Т.27, №2. - СД54-170.

40» Романовский Н.С. Свободные подгруппы в конечно определенных группах // Алгебра и логика - 1977. - ТД6, Н. - С.86-97.

41, Сатаров I. Задание классической унитарной группы определяющими соотношениями // Тез. докл. 16-й Всесоюзн. алгебр, конф., ч.I - Ленинград, 1981, - С,143-244,

42, Сатаров Ж. С. Задание специальной мультипликативной группы слабосовершенного кольца определяющими соотношениями // Тез. докл. и еообщ. 30-й научно-теорет. конф. препод. Ошского пединститута, Ош, май, 2990 г. - Ош, 2991. - С.55.

43, Сатаров 1.С. Образующие и определяющие соотношения в специальной мультипликативной группе слабосовершенного кольца // Сиб. мат. ж., 2990. - Т.32, Ю. - С. 167-175.

44, Сатаров 1.С. Образующие и определяющие соотношения унитарной группы над телом кватернионов // Кольпа и матричные группы. -Орджоникидзе: изд-во СО ГУ, 2984, - СД22-128.

45, Сатаров 1.С, Образующие и соотношения классических унитарных групп над локальным кольцом // Тез. докл. региональной научно--технкч. конф. препод. "Пути повышения эффективности использования отходов промышленности", Ош, окт. 1993 г. - Си, 1993, - С.83,

4бФ Сатаров 1.С. Образующие и соотношения центра мультипликативной группы слабосовершенного кольца // Тез, докл. Междунар. на-учио-практич. конф. "Современные методы и средства информационных технологий", Ош, июнь, 2995 г, - Ош, 2995. - С.108-109.

47, Сатаров 1.С. Об определяющих соотношениях подгрупп полкой линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Тез. докл. и сообщ. 29-й научно-теорет. конф. препод. Ошского пединститута, Ош, май, 2989 г. - Ош, 2990. - СД50.

48® .Сатаров 1.С. 0 подгруппах мультипликативной Т>-группн обобщенного матричного кольца» содержащих тор. - Деп. в ВИНИТИ Сче-рез Редакций -Сиб. маг. ж.), №4200 - В - 1989. - О с.

49. Сатаров Ж. С» Определяющие соотношения в мультипликативных унитарных группах слабосовершенного кольца// Тез. докл. третьей Междунар. конф. по алгебр® памяти М.й.Каргаполова, - Красноярск, авг«, 1993 г.' - Красноярск: ИН0ПР0Ф, 1993. - 0,293-294.

50. Сатаров Ж. С. Определяющие соотношения в некоторых подгруппах мультипликативной группы обобщенного матричного кольца // Известий вузов. Матем., 1989. - 18. - С. 88-90.

51. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения в унитарной группе// Структурные свойства алгебраических' систем. - Нальчик, 1981. - С. 97-108.'

52. Сатаров 1.С. Определяющие, соотношения в элементарной треугольной группе над кольцами // Мат. заметки, 1986. - Т.39, $6. -С.7 85-7 30.

53. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения вырожденной элементарной унитарной группы над квадратичным расширением упорядоченного евклидова поля // Мат. заметки, 5989. - Т.45, И. - С.89-100.

54. Сатаров Ж,С. Определяющие соотношения ортогональных групп над коммутативным локальным кольцом // Тез. докл. республ. науч. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения", Ош, сент., 1993 г. - Си, 1993. - С.96.

• 55. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения классических ортогональных групп над коммутативными локальными кольцами // Известия вузов. Матем., 1994. - ИО, - С. 4-9.

56. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения классической унитарной группы над кольцом дуальных чисел // Тез. докл. Междунар. науч-но-практич. конф. "Современные методы и средства информационных технологий", Ош, июнь, 1995 г. - Ош, 1995, - С.106-107.

57. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения мультипликативной группы полусовершенного кольца// Тез. докл. и сообщ. 30-й научно-те-орет. конф. препод. Ошского пединститута, Ош, май, 1990 г. - Ош., 1991. - С.54.

58. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения ортогональной группы над упорядоченным евклидовым полем // Сиб. мат. ж., 1986. - Т.27, №2. - С. 171-175.

59. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Иввестия вузов. Матем., 1991. - И. - С.47-53.

60. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения специальной унитарной группы над квадратичным расширением упорядоченного евклидова поля // Матем. сб., 1985. - Т.126(168), №3. - С.426-430.

61. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения унитарной группы над конечным полем // Структурные свойства групп. - Орджоникидзе: изд--во СОГУ, 1982. - С.47-60.

62. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения унитарной группы над локальным полем. - Деп. в ВИНИТИ, №4227 - 1982. - 24 с.

63. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения унитарной группы над полем из четырех элементов. - Деп. в ВИНИТИ, №4261 - 1982. - 14 с.

64. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения элементарной псевдоунитарной группы над квадратичным расширением евклидово упорядоченного поля // Сиб. мат. ж., 1988. - Т.29, И. - С.217.

65. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения элементарной псевдоунитарной группы над квадратичным расширением евклидово упорядоченного поля. - Деп. в ВИНИТИ, №90Н-В-1986. - 17 с.

66. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения в группах квазиобратимых элементов полулокального кольца // Тез. докл. Междунар. алгебр. конф. памяти Д.К.Фаддеева, Санкт-Петербург, июнь, 1997 г. -Санкт-Петербург, 1997. - С.273-274.

67. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения обобщенной полной линейной группы над локальный кольцом без единицы // Тез. докл. Меж-дунар. научно-практич. конф. "Кызыл-Кия вчера, сегодня и завтра11, Кызыл-Кия, апрель, 1998 г. - Кызыл-Кия, 1998. - С. 23-29.

68. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения унитарных групп над локальными кольцами без единицы // Тез. докл. Междунар. научно-практич. конф. "Кызыл-Кия вчера, сегодня и завтра", Кызыл-Кия, апрель, 1998 г. - Кызыл-Кия, 1998. - С.17-22.

69. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения обобщенных ортогональных групп над коммутативными локальными кольцами без единицы // Тез. докл. Междунар. научно-практич. конф. *Кызыл-Кия вчера, сегодня и завтра", Кызыл-Кия, апрель, 1998 г. - Кызыл-Кия, 1998. -С. 10-16.

70. Сатаров 1.С. Определяющие соотношения обобщенной полной и специальной линейных групп над локальными кольцами без единицы //в печати.

71. Сатаров Ж.С. Определяющие соотношения полной и специальной обобщенных унитарных групп над локальными кольцами без единицы //в печати <

72. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. - М.: Наука, 1980. - 240 с.

73. Стейнберг Р. Лекции о группах Вевалле. - М.: Мир, 1975. -262 е.

74. Супруненко Д.А. Группы матриц. - I.: Наука, 1972. - 351 е.

75. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.- 415 е.

76. Херстейн М. Некоммутативные кольца. - М.: Мир, 1972. -

192 с.

77. Холл М. Теория групп. - С.: ИЛ, 1982.

78. Чандлер Б., Магнус В. Развитие комбинаторной теории групп. - М.: Мир, 1985. - 253 с.

79. Янь Ши-цзянь» Определяющие соотношений гь-мерной модулярной группы // Бейцзин шифань дасаюэ косюэ жушъвтъ сюанцзи. -2 '>'5У. - окт. - С,

80« Baeza R. Eine Zerlegung der unitaren Gruppe über lokalen Ringen. Arch, Kath., 24, 1973, H2. - S.144-157.

81. Beetham il.J«, A set of generators and relations for the group PSL(2, q), q odd. J. London Hath. Soc., 3, 1971, 113. - P.554-

82. Behl» II. Eine endliche Präsentation der symplek ticchen Gruppe Sp(4, Z). Math. Z., 141, 1975. - S.47-65.

83» Behr H,, Memiicke J. A presentation of the groups PSL(2, p). Oanad. J. Math., 20, 1968, K6. - P.1432-1438.

84. Bender P. Eine Presentations dor syraplektisehen Gruppe Sp(4» Z) mit 2 Errengenden und 8 definier enden Relationen. J. Algebra, 65, 1380S 12. - S.328-331.

85. Boge S. Definierende Relationen zwischen Erringenden der klassischen Gruppen. Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg, 30, 1967» M3-4« - S.165-178.

86. Bussey l'/.H', Generational relations for the abstract group simply isomorphic with the group LP¡2, pnJ. Proe. London Math. Soc., 3, 1905. - P.296-315.

87.. Coxeter H.S.M. Groups generated by unitary reflections of period two. Canaci. J. Math., 9, 1957. - P.243-272.

88.. Chang Q.-H. Unitary groups over semilocal domains. 1. J. Algebra, 39, 1976, 11. - P.160-174.

89. Crowe D.W. Generating reflection .tor TJ(2, p2n). Proc. Amer. Math. Soc., 13, 1962, H4. - P.500-502.

90. Dye R.I-l. On the congugacy classes of involutions of the uni' tary groups U (K), SU_(K), PU (K), PSU (K) over pcrfrct fi«l«;r of

iu la nl Ri

characteristic 2. J. Algebra, 24, 1973, -.13. - P.053-459,.

91. Ellers E.W. Generators of the unitary group of characteristic 2» J. reine und angew. Math., 276, 1975. - P.95-38.

92. Kinkelstein L.» Solomon R. A presentation of the symplec-tic and orthogonal'groups. J. Algebra, 60, 1979» N2. - P.423-430.

93. Green S.M. Generators, and relations for the special linear group over a division ring. Proc. Amer. Math. Soc., 62, 1977, 112. -P.229-232.

94. Ho C.Y. Some explisit generators for SL(3, 3n), SU(3, 3n), Sp(4, 3n) and SL(4, 3n). Canad. J. Math., 27, 1975, H5 - P.970-979.

95. Hua L.K., Reiner I. On the generators of the symplectic group» Trans. Amer. Math. Soc., 65, 1949. - P.415-426.

96. Hurrelbrink J., Rehmann U. Zur endlichen Präsentation von Chevallej'-Gruppea über den euklidschen imaginarquaclratisehen Zahlringen. Arch.»Math., 27, 1976, W2. -'S.123-133.

97. Ißhibashi H. Generators of a symplectic group over a local valuation domain. J. Algebra, 53» 1978, Fl. - P.125-128.

98. f/iagnus W. Über n-d ime ns i o nale Göttertransformationen. Acta I.iath., 64, 1934. - S.353-367.

99® Matsumoto H. Generators and relations des groups de generalises. C.r, Acad, sei.» 258, 1964, - P.3419-3422.

100» Mueller B.J. On serai-perfect rings. Illinois J. Math., 14, 1970. - p.464-467.

101. Neumann B.H., üeumann Hanna. Zwei Klassen charakteristischer Untergruppen und ihre Paktorgruppen, i.iath. rlachr., 4, 1951. -S.106-125.

102. Meisen J. Die Gruppe der dreiaimeneionalen Gittertransformationen» Danske Vid. Selsk. fAath.-l^ys». Medd., 5. 12, 1921.

103. Sasiada Ii. Solution of the problem on the existence of a simple radical rinr. Bull. Acad, polon, pel., Ser. math., artronom., phys., 9, 1961, 34. - P.257.

104. Shephard G.C. Unitary groups generated by reflections. Ca-nad., J. Math.» 5, 1953» -'P.364-383.

105. Sinkov A. A note on a paper by J.A.Todd. Bull. Amer. Math. Soc., 45, 1939. - P.762-765.

106. Sinkov A. A set of defining relations for the simple group of order 1092. Bull. Amer. Math. Soc., 41, 1935. - P.237-240.

107. Sinkov A. Necessary and sufficient conditions for generating certain simple groups "by two operators of period two and three. Amer, J,5Math., 59» 1937. - P.67-76. '

108. Spengler U. iielationen swicchen symple 1cti?chon Trancvekti-onen. J. reine una angew. Math., 274/275, 1975. - S.141-149.

109« Sundey J.G. Presentations of the groups SL( 2, m) and 3?SL{2j in). Qanad. J. Math,, 24, 1972, 15. - P.1129-1131.

110. Swan iuG. Generators and relations for certain special linear groups, Adv', Math., 6, 1971» N1. - P. 1-77.

111» Swan E.G. Generators and relations for certain special linear groups. Bull. Amer. Math. Soc., 74» 1968, Ii3. - P.576-581.

112. irott S. A pair of generators for the unimodular group. Canad. Math. Bull., 3» 1962. - P.245-252.

113. White O.K. On generators and defining relations for the unimodular group <yvc. . Amer. Math. Monthly, 71» 1964» M7. - P.743-

AJ

— 7 h Q '

114. IVicks H.J. Presentations of some classical groups. Bull® Austral. lath. Soc.» 13» 1975» 11. - P.1-12.

115. Wong W.J. Generators and relations for classical groups. J, Algebra, 32, 1971» N3. - P.529-553.

116. Zassenhaus 11.J. A presentations of the groups PSL(2, p) with three defining relations. Canad, J. Kath., 21, 191:9, 32. - P.

310-311.