Странные аттракторы в системах попеременно возбуждающихся осцилляторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Дорошенко Валентина Михайловна

• Дорошенко Валентина Михайловна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Дорошенко Валентина Михайловна

Введение

Глава 1. Странный нехаотический аттрактор типа Ханта и Отта в системе с кольцевой геометрией

1.1. Введение

1.2. Описание системы, функциональная схема и формулировка уравнений

1.3. Результаты численного моделирования

1.4. Рациональная аппроксимация отношения частот и критерий Пиковского - Фойдель

1.5. Портреты аттракторов и показатели Ляпунова

1.6. Спектральные свойства странного нехаотического

аттрактора

1.7. Выводы

Глава 2. Генератор хаоса с аттрактором Смейла - Вильямса на основе эффекта гибели колебаний

2.1. Введение

2.2. Описание системы, функциональная схема и формулировка уравнений

2.3. Результаты численного моделирования, диаграммы для фаз, портреты

аттракторов

2.4. Показатели Ляпунова

2.5. Карта динамических режимов и ее анализ

2.6. Спектральные свойства хаотического аттрактора

2.7. Проверка гиперболичности аттрактора

2.8. Выводы

Глава 3. Аттрактор Смейла-Вильямса в системе двух осцилляторов ван дер Поля с попеременным возбуждением

3.1. Введение

3.2. Описание системы и формулировка уравнений

3.3. Результаты численного моделирования, диаграммы для фаз, портреты

аттракторов

3.4. Показатели Ляпунова

3.5. Карта динамических режимов и ее анализ

3.6. Спектральные свойства хаотического аттрактора

3.7. Проверка гиперболичности аттрактора

3.8. Выводы

Заключение

Список литературы

Публикации по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Странные аттракторы в системах попеременно возбуждающихся осцилляторов»

Введение Актуальность темы исследования

Основное содержание работы состоит в построении и исследовании новых примеров систем со сложной динамикой на основе попеременно возбуждающихся осцилляторов. Одним из ключевых понятий, используемых в теории динамически систем, является понятие грубости, которое в дальнейшем было переформулировано в понятие структурной устойчивости [1-8].

Впервые понятие грубых систем было введено А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным в 1937 году [2]. Свойство грубости динамического режима заключается в том, что малое изменение параметров и функций, задающих систему не ведет к качественному изменению ее динамики. Математически данное определение можно сформулировать следующим образом: говорят, что векторное поле V динамической системы является грубым (или структурно устойчивым), если имеется окрестность и поля V, такая, что для каждого векторного поля V' из этой окрестности фазовый портрет качественно не отличается от фазового портрета динамической системы, задаваемой полем V. В системах, рассматриваемых в данной работе, реализуются аттракторы, обладающие этими свойством.

Введенное А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным понятие грубых систем оказалось продуктивным для потоковых систем с двумерным фазовым пространством, при попытке обобщить его на многомерные системы возникли значительные трудности, преодолением которых занималась математическая теория динамических систем в течение нескольких десятилетий. Один класс многомерных структурно устойчивых систем это, так называемые системы Морса-Смейла, однако, это системы принципиально только с регулярными типами поведения,

такими как предельные циклы [9]. Если говорить о системах со сложной динамикой, в частности хаотической, то к структурно устойчивым относят системы с равномерно гиперболическими аттракторами и некоторые из примеров таких систем будут продемонстрированы в данной работе. Кроме того, известны странные нехаотические аттракторы, которые свойством грубости, вообще говоря, не обладают, но имеется специальный класс странных нехаотических аттракторов, введенный в работах Ханта и Отта, которые являются грубыми с той оговоркой, что допускается варьирование всех параметров и функций, кроме фиксированного иррационального отношения базовых частот в уравнениях систем.

Понятие странный нехаотический аттрактор (СНА) введен в рассмотрение в 1984 г. Гребожи с соавторами применительно к классу диссипативных систем с квазипериодическим внешним воздействием [1026]. Причем такое воздействие традиционно задается в виде суперпозиции как минимум двух гармонических сигналов с иррациональным соотношением частот. Аттракторы такого типа не являются хаотическими, то есть не обладают экспоненциальной чувствительностью к возмущениям и не имеют положительного показателя Ляпунова, однако демонстрируют сложную фрактальную структуру, типичную для странных аттракторов [27-33]. Многие детали странной нехаотической динамики остаются недостаточно исследованными. В связи с этим очевидный интерес представляет предложенная Хантом и Оттом модель [21], модификация которой исследована в первой главе данной работы.

Хаотические гиперболические аттракторы — это аттракторы, состоящие только из траекторий седлового типа. При этом должно выполнено условие отсутствия касаний между устойчивыми и неустойчивыми многообразиями фазовых траекторий принадлежащих

аттрактору. Изначально подобные аттракторы были обнаружены в искусственно сконструированных абстрактных системах, например, аттрактор Плыкина [34, 35], соленоид Смейла-Вильямса [3, 36-52] и т.д.

Степень разработанности темы исследования

Численное и экспериментальное исследование динамических систем со странными нехаотическими аттракторами началось в восьмидесятых годах 20-го столетия. Было установлено, что они довольно широко распространены в системах с квазипериодическим воздействием и наблюдаются в области между порядком и хаосом [30-33, 53-61]. Традиционно аттракторы такого типа наблюдаются в абстрактных математических и геометрических моделях. Однако, в последние годы появились работы, в которых исследуются физически реализуемые системы со странными нехаотическими аттракторами [62, 63].

Примеры гиперболического хаоса так же в основном приводятся в математических работах и представляют собой абстрактные конструкции (отображения Аносова, аттрактор Плыкина, соленоид Смейла-Вильямса) [36-42]. Физические примеры систем с гиперболическим хаосом появились сравнительно недавно [43, 64]. Вопросами поиска подобного поведения в физически реализуемых системах активно занимается Саратовская научная группа под руководством д.ф.-м.н., профессора С. П. Кузнецова [43,64,67-89].

Свойство грубости (структурной устойчивости) представляется исключительно важным для естественных систем и технических приложений, поскольку обеспечивает нечувствительность характеристик динамического поведения к неточности задания параметров, погрешностям изготовления устройств, различным помехам и возмущениям. Для любых перспективных приложений сложной динамики и хаоса, таких как генераторы шума, схемы скрытой коммуникации,

радар, использующий сигналы, порождаемые системами со сложной

6

динамикой, криптографические приложения, предпочтительной рекомендации заслуживают системы, обладающие свойством грубости. Именно к этому классу принадлежат системы со странными нехаотическими и гиперболическими хаотическими аттракторами, модели которых предлагаются и исследуются в данной работе.

Цели и задачи работы

Цель диссертационной работы состоит в конструировании и исследовании систем, в виде попеременно возбуждающихся осцилляторов, в том числе радиотехнических схем демонстрирующих аттракторы (странный нехаотический аттрактор Ханта и Отта и гиперболический аттрактор типа соленоида Смейла-Вильямса) обладающие свойством грубости (структурной устойчивости) .

Для достижения цели диссертационного исследования решаются следующие основные задачи:

1. Построение и исследование физически реализуемой неавтономной кольцевой системы, состоящей из двух линейных фильтров второго порядка, нелинейного элемента и квазипериодической модуляцией коэффициентов передачи между элементами, в которой присутствует странный нехаотический аттрактор Ханта и Отта. Построение и исследование системы двух осцилляторов ван дер Поля с попеременным возбуждением.

2. Построение и исследование неавтономной физически реализуемой системы, состоящей из осциллятора ван дер Поля и диссипативного осциллятора, с собственной частотой в два раза больше частоты осциллятора ван дер Поля, связь и обмен энергии между подсистемами осуществляется через квадратичный нелинейный элемент и периодически модулируемый коэффициент, в которой наблюдается гиперболический аттрактор типа соленоида Смейла-Вильямса.

3. Построение и исследование неавтономной физически реализуемой системы двух слабо связанных осцилляторов ван дер Поля с попеременным возбуждением и медленно меняющимся во времени управляющим параметром, в которой наблюдается гиперболический аттрактор типа соленоида Смейла-Вильямса.

Научная новизна

Предложены новые схемы неавтономных систем, допускающие физическую реализацию, в которых наблюдаются грубые (структурно устойчивые) объекты.

В первой главе впервые указана физически реализуемая система со странным нехаотическим аттрактором Ханта и Отта. Наличие аттрактора такого типа доказано численно, при помощи различных методов. Произведено исследование топологической структуры аттрактора. Выполнена проверка критерия Пиковского-Фойдель [13], для чего были построены и исследованы карты динамических режимов и бифуркационные диаграммы. Грубость полученного объекта доказывается посредством визуализации поведения динамических переменных и показателей Ляпунова.

Во второй главе впервые предложена и исследуется система, демонстрирующая аттрактор типа Смейла-Вильямса, основанная на эффекте гибели колебаний, в ней продемонстрированно наличие аттрактора в виде соленоида Смейла-Вильямса. Представлены построения показывающие топологическую структуру аттрактора и динамику фазовой переменной. Рассчитаны показатели Ляпунова и представлена карта динамических режимов с учетом значений полученных показателей. Оценка гиперболичности аттрактора проводится методом анализа статистики углов пересечения многообразий в отношении конечномерных моделей распределенных систем, построенных методом Галеркина.

В третьей главе также представлена система, в которой в широком диапазоне параметров наблюдается гиперболический хаос, обусловленный наличием аттрактора типа Смейла-Вильямса. Система состоит из двух осцилляторов ван дер Поля с периодически модулируемым параметром связи, полный цикл, отвечающий периоду модуляции параметров, сопровождается умножением исходной фазы колебательного процесса на фактор 9, т.е. для нее реализуется девятикратно растягивающее отображение окружности. Предложенная схема проще по структуре, так как в отличии от ранее рассмотренных систем с похожим поведением для реализации гиперболического хаоса в ней не требуется наличие вспомогательного сигнала. Для этой системы так же проведен численный анализ, построены зависимости показателей Ляпунова от параметра, продемонстрирована карта динамических режимов и проведена оценка гиперболичности путем построения гистограмм распределения углов между устойчивыми и неустойчивыми многообразиями траекторий на аттракторе.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы определяется тем, что приведены новые примеры физически реализуемых систем, демонстрирующих свойство грубости, которое обусловлено особой топологической структурой аттракторов. Впервые представлена физически реализуемая система, в которой наблюдается странный нехаотический аттрактор Ханта и Отта, являющийся грубым по отношению к вариации всех параметров, кроме фиксированного иррационального отношения частот воздействия.

1. Приведены новые, допускающие физическую реализацию схемы, в которых реализуется гиперболический аттрактор типа соленоида Смейла-Вильямса.

2. Численно, посредством компьютерного моделирования, доказано, что все указанные выше системы обладают свойством грубости (структурной устойчивости).

Практическая значимость работы определяется тем, что предложенные модели дают возможность создания генераторов хаоса и странных нехаотических колебаний в радиофизике и электронике, характеризуемых свойством грубости, то есть малой чувствительностью к изменению параметров, помехам, погрешностям изготовления, что является принципиальным преимуществом с точки зрения возможных приложений хаоса.

Методология и методы исследования

Для построения систем, в которых могут наблюдаться режимы, обладающие свойством грубости, были применены такие приемы радиофизики и теории динамических систем как введение нелинейных элементов связи между компонентами систем [90], модуляция параметров различными периодическими функциями, введение обратной связи.

Для математического описания использовались дифференциальные уравнения первого и второго порядков и уравнения в частных производных. Численный анализ систем проводился при помощи давно зарекомендовавших себя методов решения, обладающих хорошей сходимостью и малыми ошибками.

Все рассматриваемые модели представляют собой осцилляторы с попеременным возбуждением [91-108]. При исследовании фазового пространства используются такие приемы как построение портретов аттракторов и итерационных диаграмм для фаз [109-110]. Для определения режимов возможных в описанных моделях применяется метод построения карт динамических режимов [111-112]. Для

обоснования наличия хаотического поведения приводятся расчеты показателей Ляпунова [113-114].

Для проверки существования странного нехаотического аттрактора применяется критерий Пиковского и Фойдель, который требует построения бифукрационных диаграмм [115].

Проверка гиперболичности полученных аттракторов осуществляется при помощи метода построений гистограмм распределения углов пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий [116-117].

Положения, выносимые на защиту

1. Странный нехаотический аттрактор типа Ханта и Отта, обладающий свойством грубости, может существовать в физически реализуемой кольцевой системе, состоящей из двух связанных неавтономных осцилляторов с отличающимися вдвое частотами. Воздействие первого осциллятора на второй осуществляется при помощи периодически модулированного внешнего сигнала, смешанного с выходным сигналом первого осциллятора, а воздействие второго осциллятора на первый осуществляется при помощи опорного сигнала, смешанного с выходным сигналом второго осциллятора. Частота опорного сигнала должна находиться в иррациональном соотношении с собственной частотой первого осциллятора, которое равно «золотому среднему».

2. Генерация грубого хаоса, отвечающего аттрактору Смейла-Вильямса, возможна в физически реализуемой кольцевой системе, состоящей из осциллятора ван дер Поля и диссипативного осциллятора, связанных при помощи квадратичного нелинейного элемента. Собственная частота диссипативного осциллятора вдвое больше частоты автоколебаний осциллятора ван дер Поля. Также в системе присутствует

диссипативная связь с периодически модулированным во времени параметром.

3. Грубый гиперболический хаос, обусловленный аттрактором Смейла-Вильямса, возможно реализовать в системе, состоящей из двух идентичных попеременно возбуждающихся реактивно связанных осцилляторов ван дер Поля. Параметры возбуждения обоих осцилляторов периодически модулированы во времени таким образом, чтобы возбужденный осциллятор находился в режиме релаксационных колебаний, когда его частота втрое больше частоты малых колебаний другого осциллятора.

Достоверность результатов работы

Достоверность результатов работы определяется применением ранее опробованных методов применяемых при исследовании динамических систем. Схемы, предложенные в работе построены по основным радиофизическим принципам, позволяющим моделировать кольцевые системы, системы с нелинейными элементами и автоколебательными составляющими. В основе исследования модельных уравнений лежат численные методы, точность и достоверность которых неоднократно подтверждалась ранее. Все используемые методы компьютерного моделирования тщательно тестировались, в результате чего были подобраны шаги интегрирования, позволяющие обеспечить устойчивость результатов и свести ошибку к минимуму. В работе используется классический подход к изучению динамических систем.

Личный вклад соискателя

Все включенные в диссертацию результаты получены лично автором, производившим выбор методик решения задач, программирование, численные расчеты, графическую обработку и анализ данных. Постановка задач и интерпретация результатов выполнялись

совместно с научным руководителем и другими соавторами совместно опубликованных работ.

Публикации и апробации

Результаты работы были представлены докладами на 12 международных и всероссийских конференциях, в том числе на Международных школах-конференциях «Хаотические колебания и образование структур» (Саратов, 2013, 2016 гг.), Hamiltonian Dynamics, Nonautonomous Systems, and Patterns in PDE's" (Nizhni Novgorod, Russia, 2014), International Conference-School Dynamics, Bifurcations and Chaos 2015" (DBC-II) (Nizhny Novgorod, Russia 2015), Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2017). (St Petersburg, Russia, 2017), Всероссийская конференция молодых ученых. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. (Саратов, 2015-2018).

По теме диссертации имеется 15 публикаций [A1-A15], из них 4 в изданиях из списка ВАК [A1-A4].

Результаты работы получены при частичной поддержке грантов РФФИ 14-02-00085 Синхронизация нерегулярных колебаний: теория, эксперимент, приложения (руководитель д.ф.-м.н. Селезнев Е. П.), РФФИ 16-32-00449 Гиперболический хаос в конечномерных и распределенных системах кольцевой структуры (руководитель к.ф.-м.н. Круглов В. П.).

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Диссертация содержит 115 страниц, включая 32 рисунка, список литературы из 140 наименований.

Во Введении обсуждается научная новизна и значимость результатов работы, изложено ее краткое содержание приводятся сведения о публикациях и апробации.

В первой главе рассмотрена модель кольцевой системы, в которой реализуется странный нехаотический аттрактор, топологически схожий с аттрактором, полученным Хантом и Оттом. Особенностью данной модели является возможность ее физической реализации, ранее подобный вид динамики наблюдался лишь в абстрактных математических моделях. Исследуемая система представляет собой кольцевую систему из двух линейных фильтров второго порядка (связанных неавтономных осцилляторов) и нелинейного элемента. Воздействие первого осциллятора на второй осуществляется при помощи нелинейного элемента и периодической функции. За воздействие второго осциллятора на первый отвечает комбинационный член в первом уравнении, заданный в виде произведения сигнала второго осциллятора на опорный сигнал с частотой, состоящей в иррациональном отношении с собственной частотой первого осциллятора из-за поправки, обусловленной линейно зависящей от времени величиной 0, имеющей смысл начальной фазы колебаний.

Была проведена топологическая оценка поведения фазы первого осциллятора. Представлена итерационная диаграмма для фаз, на которой видно, что эволюция фаз первого осциллятора отвечает отображению того же топологического класса, что и модель Ханта и Отта. Для иллюстрации наличия СНА в модельной системе была осуществлена проверка критерия Пиковского и Фойдель. Продемонстрирована фрактальная структура рассматриваемого аттрактора и наличие неравномерно распределенной инвариантной меры.

Был вычислен спектр показателей Ляпунова и построен график их зависимости от параметра. Показано, что зависимость показателей при

вариации параметра гладкая. Именно такая зависимость и должна наблюдаться для СНА типа Ханта и Отта обладающего свойством грубости.

Во второй главе представлена модель, в которой реализуется гиперболический хаос, генерация которого обусловлена наличием в системе эффекта гашения колебаний. Предлагаемая система состоит из двух осцилляторов. Первый - осциллятор ван дер Поля, собственная частота которого равна ю1, второй - диссипативный осциллятор, собственная частота которого в два раза больше частоты осциллятора ван дер Поля и равна ю2. В систему включен квадратичный нелинейный элемент, через который осуществляется обмен сигналами двух подсистем. Также на осциллятор ван дер Поля воздействует разность производных сигналов с периодически модулируемым коэффициентом.

Поскольку фаза колебаний изменяется между периодами модуляции параметра, целесообразно перейти к исследованию динамики с помощью стробоскопического сечения Пуанкаре. Представлены портреты аттрактора стробоскопического отображения в проекции на плоскости переменных обоих осцилляторов и итерационные диаграммы для фаз. Для подтверждения наличия гиперболического хаоса в системе был проведен расчет спектра показателей Ляпунова. Было показано, что старший показатель положительный и близок по величине к 1п2, показателю Ляпунова для отображения Бернулли, приближенно описывающего преобразование фазы в системе. Остальные показатели отрицательные. Топологическая структура аттрактора и значения показателей Ляпунова позволяют утверждать, что в системе наблюдается гиперболический аттрактор типа Смейла-Вильямса в четырехмерном фазовом пространстве.

Чтобы подробнее рассмотреть режимы, которые могут реализовываться в системе, для нее была построена карта динамических

15

режимов системы. Из анализа следует, что гиперболический хаос наблюдается в широком диапазоне параметров. В системе также реализуются другие режимы: квазипериодические, периодические ("языки Арнольда"), хаотические негиперболические ("слабый хаос") и отсутствие колебаний. Для иллюстрации передачи возбуждения между осцилляторами были получены спектры плотности мощности сигналов х и у.

В третьей главе предлагается модель системы, в которой может быть реализован гиперболический хаос, составленная из двух связанных осцилляторов ван дер Поля, функционирующих с возбуждением релаксационных автоколебаний. Изменение во времени управляющего параметра позволяет достичь необходимого соотношения частот. Данная система представляет принципиальный интерес, поскольку позволяет получить грубый гиперболический хаос в очень простой и хорошо известной в радиофизике системе с единственным дополнением -подобранным надлежащим образом управлением, а именно, модуляцией параметра, отвечающего за возбуждение автоколебаний в одной и другой подсистемах.

Для рассматриваемой модели были численно рассчитаны показатели Ляпунова и показано, что старший показатель положительный и близок к 1п9, что говорит об увеличении фазы в системе в девять раз, на последовательных стадиях активности. Остальные показатели отрицательные и большие по абсолютной величине. Это соответствует представлениям о наличии в системе гиперболического аттрактора в виде соленоида Смейла - Вильямса. Особый интерес представляет вид зависимости старшего показателя Ляпунова от параметра. Представленный отдельно, он остается положительным в широком интервале по параметру, в интервале значений параметра а приблизительно от 6 до 13 показатель остается почти постоянным и

близким к величине 1п9, что является количественным подтверждением наличия грубой, связанной с аттрактором Смейла-Вильямса, хаотической динамики в системе.

Для иллюстрации всех возможных режимов, которые может демонстрировать система была построена карта динамических режимов на плоскости параметров. Имея в виду возможную реализацию рассматриваемой системы, как радиофизического генератора хаоса, были рассмотрены спектральные свойства порождаемого сигнала. Было показано, что максимум плотности мощности осциллятора ван дер Поля приходится на частоту равную 1/3, так же можно выделить еще одну гармонику отвечающую частое равной 1, что полностью соответствует предположениям, высказанным при конструировании системы. Спектр сплошной, что еще раз подтверждает наличие в системе хаотической динамики.

По алгоритму, подробно описанному в главе 2, выполнена численная проверка гиперболичности путем оценки распределения углов пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий.

В заключении обобщаются результаты выполненной работы и рассматриваются перспективы дальнейшего развития.

Глава 1. Странный нехаотический аттрактор типа Ханта и Отта в системе с кольцевой геометрией

1.1. Введение

Большую роль в современной теории динамических систем играют нелинейные системы под внешним воздействием. Такое воздействие может носить различный по своей природе и сложности характер. Простейшим примером является периодическое внешнее воздействие, которое может привести к переходу от периодической динамики к хаотической и наоборот. В данной главе будет рассматриваться более сложный вариант воздействия - квазипериодическое. Оно реализуется при помощи суперпозиции двух гармонических сигналов с иррациональным отношением частот. При такой постановке задачи в системе возможно появление режимов со специфическими свойствами, одним из которых является странный нехаотический аттрактор (СНА) [10]. Аттракторы такого типа не имеют положительных показателей Ляпунова, что говорит о том, что они являются не хаотическими, но одновременно с этим их структура в фазовом пространстве представляет собой сложное фрактальное множество. [27-33, 116, 119].

Несмотря на то, что странные нехаотические аттракторы

достаточно широко распространены в математических моделях, до сих

пор не предложено универсального метода, позволяющего с полной

точностью диагностировать СНА при помощи численных методов.

Сложность в определении наличия именно СНА заключается в том, что

известные подходы не дают гарантии, что аттрактор в самом деле

является странным, то есть сохраняет фрактальную структуру в сколь

угодно малых масштабах. Чаще всего СНА является структурой крайне

чувствительной к вариации параметров, так как располагается у границы

между регулярными и хаотическими режимами. Соответствующие

области в пространстве параметров имеют сложное устройство, и при

18

небольших изменениях управляющего параметра может иметь место трансформация СНА в аттрактор в виде гладкого тора или в странный хаотический аттрактор.

В данной главе рассмотрен СНА, введенный Хантом и Оттом для отображений на торе. Этот СНА обладает особыми топологическими свойствами, позволяющими с уверенностью заявлять, что полученный объект является СНА [21]. Более того, аттрактор полученный таким образом демонстрирует свойство грубости [119, 120].

Модель, предложенная Хантом и Оттом, описывается отображением:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дорошенко Валентина Михайловна, 2019 год

Список литературы

1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Андронов, АА. Теория колебаний //Москва. - 1959.

2. Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы //Докл. АН СССР. - 1937. - Т. 14. - №. 5. - С. 247-250.

3. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы //Успехи математических наук. - 1970. - Т. 25. - №. 1 С. 113-185.

4. Дж Г., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей //Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. - 2002.

5. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем, Факториал //Encyclopedia Math. Appl. - 1999.

6. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике //Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. - 2003.

7. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л.Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. //Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009.

8. ShilnikovL. Mathematicalproblemsofnonlineardynamics: atutorial //InternationalJournalofBifurcationandChaos. - 1997. - Т. 7. - №. 09. -С. 1953-2001.

9. Yang T., Bilimgut K. Experimental results of strange nonchaotic phenomenon in a second-order quasi-periodically forced electronic circuit // Phys. Lett. A.- 1997.-Vol. 236.

10. Grebogi C., Ott E., Pelikan S., Yorke J. A. Strange attractors that are not chaotic // Physica D. 1984.- V. 13. -№ 1, 2. - P. 261—268.

11.Heagy J. F., Hammel S. M. The birth of strange nonchaotic attractors //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1994. - T. 70. - №. 1-2. - C. 140

- 153.

12.Pikovsky A. S., Feudel U. Characterizing strange nonchaotic attractors //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 1995. - T. 5. - №. 1. - C. 253-260.

13. Ditto W. L.,Spano, M. L., Savage, H. T., Rauseo, S. N., Heagy, J., Ott, E. Experimental observation of a strange nonchaotic attractor //Physical Review Letters. - 1990. - T. 65. - №. 5.

14. Ding M., Grebogi C., Ott E. Evolution of attractors in quasiperiodically forced systems: From quasiperiodic to strange nonchaotic to chaotic //Physical review A. - 1989. - T. 39. - №. 5.

15. Feudel U., Kurths J., Pikovsky A. S. Strange non-chaotic attractor in a quasiperiodically forced circle map //Physica D: Nonlinear Phenomena.

- 1995. - T. 88. - №. 3-4. - C. 176-186.

16. Romeiras F. J., Ott E. Strange nonchaotic attractors of the damped pendulum with quasiperiodic forcing //Physical Review A. - 1987. - T. 35. - №. 10.

17. Prasad A., Negi S. S., Ramaswamy R. Strange nonchaotic attractors //International Journal of bifurcation and Chaos. - 2001. - T. 11. - №. 02. - C. 291-309.

18. Venkatesan A. Lakshmanan, M., Prasad, A., Ramaswamy, R. Intermittency transitions to strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically driven Duffing oscillator //Physical Review E. - 2000.

- T. 61. - №. 4.

19. Prasad A., Mehra V., Ramaswamy R. Intermittency route to strange nonchaotic attractors //Physical review letters. - 1997. - T. 79. - №. 21.

20. Prasad A., Mehra V., Ramaswamy R. Strange nonchaotic attractors in the quasiperiodically forced logistic map //Physical Review E. - 1998. -T. 57. - №. 2.

21. Hunt B. R., Ott E. Fractal properties of robust strange nonchaotic attractors //Physical review letters. - 2001. - Т. 87. - №. 25.

22. Zhou T., Moss F., Bulsara A. Observation of a strange nonchaotic attractor in a multistable potential //Physical Review A. - 1992. - Т. 45. - №. 8.

23.Romeiras F. J. Bondeson, A., Ott, E., Antonsen Jr, T. M., Grebogi, C.Quasiperiodically forced dynamical systems with strange nonchaotic attractors //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1987. - Т. 26. - №. 13. - С. 277-294.

24. Kuznetsov S. P., Pikovsky A. S., Feudel U. Birth of a strange nonchaotic attractor: A renormalization group analysis //Physical Review E. - 1995. - Т. 51. - №. 3.

25. Romeiras F. J., Ott E. Strange nonchaotic attractors of the damped pendulum with quasiperiodic forcing //Physical Review A. - 1987. - Т. 35. - №. 10.

26. Witt A., Feudel U., Pikovsky A. Birth of strange nonchaotic attractors due to interior crisis //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1997. - Т. 109. - №. 1-2. - С. 180-190.

27. Анищенко B. C., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2000. - Т. 8. - №. 2. - С. 99-99.

28. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Хаотические и стохастические колебания. - 1987.

29. Спротт Д. К. Элегантный хаос: алгебраически простые хаотические потоки //М. Ижевск: РХД, ИКИ. - 2012.

30. Ding M., Grebogi C., Ott E. Evolution of attractors in quasiperiodically

forced systems: From quasiperiodic to strange nonchaotic to

chaotic//Phys. Rev. A. 1989. -V. 39. -P. 2593—2598.

100

31. Feudel U., Pikovsky A. S., Kurths J. Strange nonchaotic attractor in a quasiperiodically forced circle map // Physica D. 1995. - V. 88. -P. 176—186.

32. Anishchenko V. S., Vadivasova T. E., Sosnovtseva O. Mechanisms of ergodic torus destruction and appearance of strange nonchaotic attractors // Phys. Rev. E. 1996. -V. 53.-Р. 4451— 4456.

33. Prasad A., Negi S. S., Ramaswamy R. Strange nonchaotic attractors // IJBC. 2001. -V. 11. -P. 291—311.

34. Плыкин Р. В. О геометрии гиперболических аттракторов гладких каскадов //Успехи математических наук. - 1984. - Т. 39. - №2. 6 240. - С. 75-113.

35. Плыкин Р. В. Источники и стоки A-диффеоморфизмов поверхностей //Математический сборник. - 1974. - Т. 94. - №. 2. -С. 243-264.

36. Синай Я. Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. - С. 192-212.

37. S. Smale. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 1967. -V. 73. -P. 747-817.

38. R.F. Williams. Expanding attractors // Publications mathématiques del'I.H.É.S. 1974. V. 43.-P. 169-203.

39. Aranson, S. K., Grines, V. Z., Plykin, R. V., Safonov, A. V., Sataev, E. A., Shlyachkov, S. V., Stepin, A. M. // Dynamical Systems IX: Dynamical Systems with Hyperbolic Behaviour (Encyclopaedia of Mathematical Sciences) . Springer. 1995.-V.9.

40. R.V. Plykin, N.E. Klinshpont. Strange attractors. Topologic, geometric and algebraic aspects // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. -V. 15.-№ 2-3.- P. 335-347.

41. Shilnikov L. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1997.- V.7.- P. 1353-2001.

42. Afraimovich V. S., Hsu S. B. Lectures on chaotic dynamical systems. //American Mathematical Society. 2003. - V.28.

43. Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: от математики к физике //УФН, 2011. - Т. 181. - №2, C. 121-149.

44. Дж Гукенхеймер, Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей //Москва-Ижевск: Ин-т компьютер, исслед. - 2002.

45. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. - изд-во МЦНМО, 2005.

46. Williams R. F. Expanding attractors //Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. - 1974. - Т. 43. - №. 1. - С. 169-203.

47. Shil'nikov L. P., Turaev D. V. Simple bifurcations leading to hyperbolic attractors //Computers & Mathematics with Applications. - 1997. - Т. 34. - №. 2-4. - С. 173-193.

48. Afraimovich V. S., Hsu S. B. Lectures on chaotic dynamical systems. -American Mathematical Soc., 2003. - №. 28.

49. Hasselblatt B., Pesin Y. Hyperbolic dynamics //Scholarpedia. - 2008. -Т. 3. - №. 6.

50. Devaney R. An introduction to chaotic dynamical systems. - Westview press, 2008.

51. АносовД. В., Арансон С. Х., Гринес В. З., Плыкин Р. В., Сатаев Е. А., Сафонов А. В., Шлячков С. В. Динамические системы с гиперболическим поведением //Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». - 1991. - Т. 66.- С. 5-242.

52. Кузнецов С. П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы: от математики к физике //Москва-Ижевск: ИКИ. - 2013.

53. W. L. Ditto, M. L. Spano, H. T. Savage, S. N. Rauseo, J. Heagy, and E. Ott. Experimental observation of a strange nonchaotic attractor // Phys. Rev. Lett. 1990. - V. 65. - № 5.

54. Vohra S.T., Bucholtz F., Koo K.P., Dagenais D.M. Experimental observation of period-doubling suppression in the strain dynamics of a magnetostrictive ribbon // Phys. Rev. Lett. 1991. -V. 66.- № 2

55. Zhou T., Moss F., Bulsara A. Observation of a strange nonchaotic attractor in a multistable potential // Phys. Rev. A. 1992. - V. 45. - № 8.

56. Ding W.X., Deutsch H., Dinklage A., Wilke C. Observation of a strange nonchaotic attractor in a neon glow discharge // Phys. Rev. E. 1997. -V. 55. - № 3.

57. Yang T., Bilimgut K. Experimental results of strange nonchaotic phenomenon in a second-order quasi-periodically forced electronic circuit // Phys. Lett. A. 1997.-V. 236.

58. Yu Y.H., Kim D.C., Ryu J.Y., Hong S.R. Experimental Study on the Blowout Bifurcation Route to Strange Nonchaotic Attractor // J. of the Korean Phys. Society. 1999. - V. 34.-№ 2.

59. Bezruchko B.P., Kuznetsov S.P., Seleznev Y.P. Experimental observation of dynamics near the torus-doubling terminal critical point // Phys. Rev. E. 2000. - V. 62. - № 6.

60. Sanchez D., Platero G., Bonilla L.L. Quasiperiodic current and strange attractors in ac-driven superlattices // Phys. Rev. B. 2001. -V. 63.

61. Vaszlenko A., Feely O. Dynamics of phase-locked loop with fm input and low modulating frequency // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2002. -V. 12. - № 7.

62. Кузнецов С. П., Пиковский А. С., Фойдель У. Странный нехаотический аттрактор //Нелинейные волны-2004/АВ Гапонов-Грехов, ВИ Некоркин (ред.). Нижний Новгород: ИПФ РАН. - 2005. - С. 484-509.

63. D.V. Anosov, G.G. Gould, S.K. Aranson, V.Z. Grines, R.V. Plykin, A.V. Safonov, E.A. Sataev, S.V. Shlyachkov, V.V. Solodov, A.N. Starkov, A.M. Stepin. Dynamical Systems IX: Dynamical Systems with Hyperbolic Behaviour (Encyclopaedia of Mathematical Sciences) //Springer. - 1995.-V.9. -P. 93-139

64. Jalnine A.Yu. Hyperbolic and non-hyperbolic chaos in a pair of coupled alternately excited FitzHugh-Nagumo systems // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2015. -V. 23.-№ 1-3. -P. 202-208.

65. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P., Pikovsky A. Hyperbolic chaos of Turing patterns //Physical review letters. 2012.-V. 108. - P. 194101.

66. Isaeva O.B., Kuznetsov A.S., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated parametrically by a modulated pump source. //Phys. Rev. E. 2013.-V. 87.-P. 040901.

67. Kuznetsov S. P. Hyperbolic Chaos //Hyperbolic Chaos: A Physicist's View, //Higher Education Press, Beijing and Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg, 2012.

68. КузнецовС.П. Динамическийхаосигиперболическиеаттракторы: отматематикикфизике.//Москва - Ижевск: ИКИ, 2013.

69. Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: от математики к физике //УФН. 2011.-Т. 181. -№2. -С. 121-149.

70. Kuznetsov S. P. Example of a Physical System with a Hyperbolic Attractor of the Smale-Williams Type // Phys. Rev. Lett., 2005. - V. 95. -№. 14. -P. 144101.

71. Кузнецов С. П., Селезнев Е. П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла-Вильямса //Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2006. - Т. 129. - №. 2. - С. 400-412.

72. Isaeva O.B., Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P. Arnold's cat map dynamics in a system of coupled nonautonomous van der Pol oscillators //Phys. Rev. E. 2006.- V. 74.- P. 046207 (1-5)

73. Кузнецов СП., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла - Вильямса //ЖЭТФ. 2006. -Т. 129. -№2.- С. 400-412.

74. Kuznetsov S.P. and Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors // Physica D. 2007. - V. 232. - P. 87-102.

75. Кузнецов С.П., Пономаренко В.И. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла-Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием //Письма в ЖТФ. 2008.-Т. 34.-№ 18. -С. 1-8.

76. Kuznetsov S.P. Plykin type attractor in electronic device simulated in MULTISIM // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2011.- V. 21.- P. 043105.

77. Тюрюкина Л.В. Гиперболический хаос в системах с импульсным периодическим воздействием //Нелинейный Мир. 2010. -Т. 8. -№2. - С. 72-73.

78. Кузнецов С.П., Тюрюкина Л.В. Аттракторы типа Смейла -Вильямса в модельных системах с импульсным периодическим воздействием // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010.- Т. 18.- №5.- С. 80-92.

79. Kuznetsov S.P. Some Mechanical Systems Manifesting Robust Chaos. Nonlinear Dynamics and Mobile Robotics. 2013. -V.1. -№1. - P. 3-22.

80. Isaeva O.B., Kuznetsov A.S., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated parametrically by a modulated pump source //Phys. Rev. E. 2013. -V. 87.- P. 040901.

81. Кузнецов С.П. Хаос в системе трех связанных ротаторов: от динамики Аносова к гиперболическому аттрактору //Известия

Саратовского университета. Новая серия. Серия Физика. 2015.- Т. 15.-№. 2. -С. 5-17.

82. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them // Meccanica. 1980. - V. 15.- P. 9-30.

83. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P., Pikovsky A. Hyperbolic Chaos of Turing Patterns //Phys. Rev. Lett. 2012.- V. 108.- P. 194101.

84. Kruglov V.P., Kuznetsov S.P., Pikovsky A. Attractor of Smale-Williams type in an autonomous distributed system //Regular and Chaotic Dynamics. 2014.- V. 19.-№ 4.- P. 483-494.

85. Круглов В.П., Кузнецов А.С., Кузнецов С.П. Гиперболический хаос в системах с параметрическим возбуждением паттернов стоячих волн //Нелинейная динамика. 2014.- Т. 10. -№3.- С. 265-277.

86. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

87. Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Проверка условий гиперболичности хаотического аттрактора в системе связанных неавтономных осцилляторов ван дер Поля// Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. -Т. 14. -№5. -С. 3-29.

88. Kuznetsov S.P. and Sataev I.R. Hyperbolic attractor in a system of coupled nonautonomous van der Pol oscillators: Numerical test for expanding and contracting cones //Physics Letters A. 2007. - V. 365. -№ 1-2. - P. 97-104.

89. Жалнин А. Ю., Кузнецов С. П. О возможности реализации в физической системе странного нехаотического аттрактора Ханта и Отта //Журнал технической физики. - 2007. - Т. 77. - №. 4. - С. 1018.

90. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. //М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. -C. 432.

91. Купцов П. В., Кузнецов С. П. О феноменах, сопровождающих переход к режиму синхронного хаоса в связанных неавтономных осцилляторах, представленных уравнениями для комплексных амплитуд //Нелинейная динамика. - 2006. - Т. 2. - №. 3. - С. 307331.

92. Аржанухина Д. С., Кузнецов С. П. Система трех неавтономных осцилляторов с гиперболическим хаосом. Часть I. модель с динамикой на аттракторе, описываемой отображением на торе «Кот Арнольда» //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2012. - Т. 20. - №. 6.- C. 5666.

93. Аржанухина Д. С. Схемы электронных устройств с гиперболическим хаосом на основе связанных осцилляторов Ван дер Поля //Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2013. - Т. 3. - №. 1. - C. 20-30.

94. Кузнецов А. С. Параметрические генераторы с хаотической амплитудной динамикой, отвечающей аттракторам типа Смейла-Вильямса //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2012. - Т. 20. - №. 1.-C. 129-136.

95. Cherepantsev A.S. Effect of filter in gin dynamic system parameters estimation // Прикладная нелинейная научно-технический журнал. - 1983. - Т. 9. - №. 1-2.

96. Аржанухина Д. С. Радиофизические системы с динамикой, описываемой отображениями на торе. Диссертационная работа. Место защиты: Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского. - Саратов, 2014.

97. Жалнин А. Ю. От квазигармонических осцилляций к нейронным спайкам и бёрстам: разнообразие режимов гиперболического хаоса на основе аттрактора Смейла-Вильямса //Нелинейная динамика. -

2016. - Т. 12. - №. 1. - С. 53-73.

107

98. Д.С. Аржанухина. О сценариях разрушения гиперболического хаоса в модельных отображениях на торе с диссипативным возмущением. //Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. -2012.- №>1.-0.117-123.

99. С.П. Кузнецов. Схемы электронных устройств с гиперболическим хаосом и моделирование их динамики в программной среде МиШв1ш. //Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. -2011.- №5.- 0. 98-115.

100.С.П. Кузнецов, Л.В. Тюрюкина. Аттракторы типа Смейла -Вильямса в модельных системах с импульсным периодическим воздействием. Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. -2010.- №5.-0. 80-92.

101.Кузнецов А. П. и др. Хаотическая динамика в системах связанных неавтономных осцилляторов с резонансным и нерезонансным механизмом передачи возбуждения //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2007. - Т. 15. - №2. 6.-0. 75-85.

102. Кузнецов С. П., Пономаренко В. И. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла-Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием //Письма в ЖТФ. -2008. - Т. 34. - №. 18. - С. 1-8.

103.Кузнецов С. П. О возможности реализации параметрического генератора гиперболического хаоса //Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2008. - Т. 133. - №. 2. - С. 438-446.

104.Л.В. Тюрюкина, А.С. Пиковский. Гиперболический хаос в нелинейно связанных осцилляторах Ландау - Стюарта с медленной модуляцией параметров. Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. -2009.- №2.-0. 99-113.

105.С.П. Кузнецов, О.Б. Исаева, А. Осбалдестин. Феномены

комплексной аналитической динамики в системе связанных

108

неавтономных осцилляторов с поочередным возбуждением. ПисьмавЖТФ. - 2007. -№.17. -С. 69-76.

106.Isaeva O. B., Kuznetsov S. P., Osbaldestin A. Complex analytic dynamics phenomena in a system of coupled nonautonomous oscillators with alternative excitation //Technical Physics Letters. -2007. - Т. 33. - №. 9. - С. 748-751.

107.Isaeva O. B., Kuznetsov A. S., Kuznetsov S. P. Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated parametrically by a modulated pump source //Physical Review E. - 2013. - Т. 87. - №. 4. - С. 040901.

108.Д.С. Аржанухина, С.П. Кузнецов. Система трех неавтономных осцилляторов с гиперболическим хаосом. Часть II. Модель с DA-аттрактором. Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.-2013.- №2.-С. 163-172.

109. Кузнецов С. П., Пиковский А. С., Фойдель У. Странный нехаотический аттрактор //Нелинейные волны-2004/АВ Гапонов-Грехов, ВИ Некоркин (ред.). Нижний Новгород: ИПФ РАН. - 2005. - С. 484-509.

110. С.П. Кузнецов. Схемы электронных устройств с гиперболическим хаосом и моделирование их динамики в программной среде Multisim. Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2011.- №5.-С. 98-115.

111. В.П. Круглов, А.С. Кузнецов, С.П. Кузнецов. Гиперболический хаос в системах с параметрическим возбуждением паттернов стоячих волн. Нелинейная динамика. - 2014.- №3.-С. 265-277.

112. А.П. Кузнецов, В.И. Паксютов. Особенности устройства пространства параметров двух неидентичных связанных осцилляторов Ван-дер-Поля - Дуффинга. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2005.- №4.-С. 3-19.

113. Кузнецов С.П. Динамический хаос. // М.: Физматлит, 2001. - 296 с.

114. А.П. Кузнецов, И.Р. Сатаев Н.В. Станкевич, Л.В. Тюрюкина. Физика квазипериодических колебаний. // Приложение к журналу «Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика» Саратов: Издательский центр «Наука». -2013.

115. Ручкин К. А., Трофимов В. В. Численный анализ характеристических показателей системы уравнений Эйлера-Пуассона //Искусственный интеллект. - 2005. - №. 2. - С. 56-64.

116. Kuznetsov S.P., Pikovsky A.S., Feudel U. Strange nonchaotic attractor // Nonlinear waves. -2004. -№ 29.

117. Lai Y.-C., Grebogi C., Yorke J.A., Kan I. How often are chaotic saddles nonhyperbolic. // Nonlinearity. -1993. -V.6. -P. 779-798.

118. Anishchenko V.S., Kopeikin A.S., Kurths J., Vadivasova T.E., Strelkova G.I. Studying hyperbolicity in chaotic systems // Physics Letters A. -2000. - V. 270. -P. 301-307.

119. Казанцев В. Б., Некоркин В. И. Фазово-управляемые колебания в нейродинамике //Нелинейные волны-2004/Ред. АВ Гапонов-Грехов, ВИ Некоркин. Нижний Новгород: ИПФ РАН. - 2005.

120. Kim J-W., Kim S.-Y., Hunt B., Ott E. Fractal properties of robust strange nonchaotic attractors in maps of two or more dimensions // Phys. Rev. E. 2003.- V. 67. -P. 036211.

121. Kim S.-Y., Lim W., Ott E. Mechanism for the intermittent route to strange nonchaotic attractors // Phys. Rev. E. -2003.- V. 67. -P. 056203.

122. Jalnine A. Y., Kuznetsov S. P. On the realization of the Hunt-Ott strange nonchaotic attractor in a physical system //Technical Physics. - 2007. - Т. 52. - №. 4. - С. 401-408.

123. G.Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, J.-M. Strelcyn. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. //Meccanica. -1980. - V. 15. - P. 9-30.

124. I. Shimada and T. Nagashima. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems. //Prog. Theor. Phys. 61. -1979.-P. 1605-1616.

125. U. Feudel, S. Kuznetsov, A. Pikovsky, Strange Nonchaotic Attractors. Dynamics between Order and Chaos in Quasiperiodically Forced Systems // World Scientific, Singapore. - 2006.

126. Pikovsky A. S., Feudel U. Correlations and spectra of strange nonchaotic attractors //Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1994. - Т. 27. - №. 15. - С. 5209.

127. Pikovsky A. S. et al. Singular continuous spectra in dissipative dynamics //Physical Review E. - 1995. - Т. 52. - №. 1. - С. 285-296.

128. Д. В. Аносов. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, т. 66. //Москва: ВИНИТИ. - 1991. -С. 5-242.

129. Kuznetsov S. P. Example of blue sky catastrophe accompanied by a birth of Smale -Williams attractor // Regul. Chaotic Dyn. - 2010. - V. 15. -№. 2-3.-P. 348-353.

130. Kruglov V. P., Kuznetsov S. P. An autonomous system with attractor of Smale-Williams type with resonance transfer of excitation in a ring array of van der Pol oscillators // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. - 2011. -V. 16. -№. 8. -P. 3219-3223

131. Кузнецов А.С., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Параметрический генератор гиперболического хаоса на основе двух связанных осцилляторов с нелинейной диссипацией // Журнал технической физики. - 2010. - Т. 80. - №. 12.- С. 1-9.

132. Kuznetsov S. P., Pikovsky A., Rosenblum M. Collective phase chaos in the dynamics of interacting oscillator ensembles // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. - 2010. -V. 20. -№ 4. - P. 043134.

133. Aronson D. G., Ermentrout G. B., Kopell N. Amplitude response of coupled oscillators //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1990. -V. 41-№ 3. -P. 403-449.

134. Ermentrout G. B., Kopell N. Oscillator death in systems of coupled neural oscillators //SIAM Journal on Applied Mathematics. - 1990. -V. 50. -№1. - P. 125-146.

135. Matthews P. C., Strogatz S. H. Phase diagram for the collective behavior of limit-cycle oscillators // Physical review letters. -1990. -V. 65. -№ 14.

136. Matthews P. C., Mirollo R. E., Strogatz S. H. Dynamics of a large system of coupled nonlinear oscillators // Physica D: Nonlinear Phenomena. -1991. -V. 52, №. 2. -P. 293-331.

137. Hens C. R. et al. Oscillation death in diffusively coupled oscillators by local repulsive link //Physical Review E. - 2013. - T. 88. - №. 3. - P. 034902.

138. Reddy D. V. R., Sen A., Johnston G. L. Time delay induced death in coupled limit cycle oscillators //Physical Review Letters. - 1998. - T. 80. - №. 23. -C. 5109-5113.

139. A.Katok, B. Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge. // Cambridge University Press. -1996.

140. B. Hasselblatt, A. Katok, A First Course in Dynamics: with a Panorama of Recent Developments // Cambridge University Press. Cambridge. -2003. -P. 436.

Публикации по теме диссертации

[A1] V.M. Doroshenko, V.P. Kruglov, S.P. Kuznetsov. Smale-Williams Solenoids in a System of Coupled Bonhoeffer - van der Pol Oscillators. Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 14, 2018, №. 4, 435-451.

[A2] Doroshenko V.M., Kuznetsov S.P. A system governed by a set of nonautonomous differential equations with robust strange nonchaotic attractor of Hunt and Ott type. European Physical Journal. Special Topics, 226, № 9, 2017, 1765-1775.

[A3] Дорошенко В.М., Круглов В.П., Кузнецов С.П. Генератор хаоса с аттрактором Смейла - Вильямса на основе эффекта гибели колебаний. Нелинейная динамика, 13, 2017, № 3, 303-315.

[A4] Дорошенко В.М. Странный нехаотический аттрактор типа Ханта и Отта в системе с кольцевой геометрией. Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 24, 2016, № 1, 16-30.

[A5] Дорошенко В.М., Емельянова Ю.П., Кузнецов А.П., Седова Ю.В. Метод карт ляпуновских показателей: Иллюстрации в теории связанных автоколебательных систем. Вестник СГТУ, 2014, № 1 (74), 12-22.

[A6] Дорошенко В.М., Круглов В.П., Кузнецов С.П. Генерация гиперболического хаоса на основе эффекта гибели колебаний: численное и схемотехническое моделирование. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XII Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, 5-7 сентября 2017 г. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2017.

[A7] Doroshenko V.M., Kruglov V.P., and Pozdnyakov M.V. Robust Chaos in Systems of Circular Geometry. Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2017). Abstracts. 22-25 May 2017. St Petersburg, Russia. The Electromagnetics Academy, 2017. P.1337.

[A8] Doroshenko V.M. Strange Nonchaotic Attractor of Hunt and OTT Type in a System with Ring Geometry. Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2017). Abstracts. 22-25 May 2017. St Petersburg, Russia. The Electromagnetics Academy, 2017. P.702.

[A9] Дорошенко В.М., Кузнецов С.П. Генератор грубого хаоса на основе эффекта гибели колебаний. Материалы XI Международной школы-конференции "Хаотические автоколебания и образование структур" (ХА0С-2016), 3-8 октября 2016, Саратов. Саратов: ООО "Издательский центр "Наука". С.84-85.

[A10] Дорошенко В.М., Кузнецов С.П. Генератор хаоса с аттрактором Смейла - Вильямса на основе эффекта гибели колебаний. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов XI Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, 6-8 сентября 2016 г. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2016. С.39-40.

[A11] Дорошенко В.М. Система с кольцевой геометрией имеющая странный нехаотический аттрактор типа Ханта и Отта. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов X Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, 8-10 сентября 2015 г. Саратов, изд-во «Техно-Декор», 2015. С. 45-46.

[A12] V.M. Doroshenko. Strange nonchaotic attractor of Hunt and Ott in system with a ring geometry. International Conference-School "Dynamics, Bifurcations and Chaos 2015" (DBC-II) (Nizhny Novgorod, Russia, July 20-24, 2015). Book of Abstracts. Nizhny Novgorod, 2015, p.5-6.

Автор выражает благодарность за помощь в научной деятельности и научное руководство д.ф.-м.н., профессору Сергею Петровичу Кузнецову, к.ф.-м.н., доценту Людмиле Владимировне Тюрюкиной и д.ф.-м.н., профессору Александру Петровичу Кузнецову, а также к.ф.-м. н., доценту Алексею Владимировичу Савину, к.ф.-м.н. Вячеславу Павловичу Круглову и всем сотрудникам кафедры динамических систем на базе Саратовского филиала ФГБУН «ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН» факультета нелинейных процессов за поддержку и полезные замечания в ходе обсуждения данной работы.