Параметрические генераторы хаотических колебаний с аттракторами типа Смейла-Вильямса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Кузнецов, Алексей Сергеевич

• Кузнецов, Алексей Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кузнецов, Алексей Сергеевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Параметрические генераторы хаоса на основе двух связанных осцилляторов

1.1. Введение

1.2. Параметрический генератор хаоса на основе на основе связанных осцилляторов с нелинейной диссипацией

1.2.1, Основные уравнения и принцип функционирования модели

1.2.2. Численное исследование хаотической динамики

1.2.3, Анализ системы на основе связанных осцилляторов с нелинейной диссипацией методом медленно меняющихся комплексных амплитуд

1.3. Генератор хаоса на основе параметрических осцилляторов с насыщением

за счет истощения накачки

1.3.1. Основные уравнения модели параметрического генератора с насыщением за счет истощения накачки

1.3.2. Численное исследование модели с насыщением за счет истощения накачки

1.3.3. Анализ системы с насыщением за счет истощения накачки методом медленно меняющихся комплексных амплитуд

1.4. Выводы к главе 1

Глава 2. Параметрические генераторы с хаотической амплитудной

динамикой, отвечающей аттракторам типа Смейла-Вильямса

2.1. Введение

2.2. Амплитудные уравнения параметрического генератора хаоса

2.2.1. Идея угловой переменной и амплитудные уравнения для параметрических осцилляторов с общей накачкой

2.2.2. Модель с утроением угловой переменной

2.2.3. Модель с девятикратным изменением угловой переменной

2.3. Модели на основе осцилляторов с параметрическим возбуждением 59 2.3.1. Модель с утроением угловой переменной

2.3.3. Модель с девятикратным изменением угловой переменной

2.4. Выводы к главе 2

Глава 3. Параметрический генератор грубого хаоса с запаздывающей обратной связью и модуляцией накачки

3.1. Введение

3.2. Модель, принцип действия и основные уравнения

3.3. Хаотическая динамика системы. Численное моделирование

3.4. Выводы к главе 3

Глава 4. Гиперболический хаос при параметрических колебаниях струны

4.1. Введение

4.2. Параметрические колебания струны: опыт Мельде

4.3. Хаос при параметрических колебаниях неоднородной струны с модуляцией накачки и нелинейной диссипацией. Кольцевая система..,

4.3.1. Основные уравнения

4.3.2. Методы численного решения уравнения струны и анализ результатов

4.3.3. Наблюдение аттрактора типа Смейла - Вильямса при параметрических колебаниях струны

4.4. Хаос при параметрических колебаниях неоднородной струны с модуляцией накачки и нелинейной диссипацией. Система с фиксированными концами

4.4.1. Основная модель

4.4.2. Наблюдение хаотической динамики при параметрических колебаниях струны с фиксированными концами

4.5. Выводы к главе 4

Заключение

Благодарности

Список литературы

Публикации по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Параметрические генераторы хаотических колебаний с аттракторами типа Смейла-Вильямса»

Введение

Актуальность темы исследования

Как известно, предметом радиофизики является изучение общих закономерностей генерации, передачи, приема, анализа колебаний и волн различной физической природы и разных частотных диапазонов, а также разработка их приложений. В частности, сюда относится рассмотрение физических основ генерации, усиления и преобразования колебаний и волн, процессов распространения и трансформации волн в нелинейных средах, исследование нелинейной динамики, пространственно-временного хаоса и самоорганизации в неравновесных системах.

Теория хаоса и нелинейная динамика - относительно новое направление современной науки. На протяжении нескольких последних десятилетий многие научные группы занимаются исследованиями в данной области, так как это один из наиболее интересных, перспективных, и активно развивающихся разделов фундаментальной науки [1-10]. Также нелинейная динамика и теория хаоса представляет интерес с практической точки зрения. В этой связи можно упомянуть такие возможные технические приложения, как шифрование сигналов, генерация случайных чисел, хранение и передача информации, шумовая локация [11-14], а также фундаментальные проблемы, природа которых до конца пока не раскрыта, например, в гидродинамике, нейродинамике, биологии и многих других важнейших областях. Принципы нелинейной динамики применимы также в построении социальных, экономических, статистических моделей. Методы и инструменты нелинейной динамики сейчас подвергаются активному осмыслению, и ведется активный поиск возможных приложений.

В последнее время одним из направлений работы является создание искусственных систем с хаотической динамикой, которая обусловлена присутствием однородно гиперболических аттракторов, таких как аттрактор Смейла - Вильямса [15-21] в фазовом пространстве [20-27]. Отправной

точкой послужила идея использовать попеременное возбуждение пары автоколебательных элементов, передающих возбуждение друг другу с тем, чтобы за полный цикл передачи возбуждения угловая переменная (в роли которой может выступать фаза колебаний) претерпела преобразование, описываемое растягивающим отображением окружности. Такие системы представляют интерес в первую очередь потому, что они характеризуются свойством структурной устойчивости, т.е. в них хаотический режим нечувствителен по отношению к изменению параметров системы и составляющих ее элементов. В теории колебаний и волн именно структурно устойчивые системы считаются предметом первоочередного анализа и наиболее важными для практики. Большинство известных систем с хаотической динамикой структурной устойчивостью не обладают.

В качестве основы для построения дальнейших примеров систем со структурно устойчивыми гиперболическими аттракторами представляется естественным обратиться к классу систем, функционирование которых основано на принципе параметрического возбуждения, относительно просто реализуемом и давно применяющимся на практике в оптике, электронике, акустике [28-38]. В данном контексте представляется актуальной задача о построении и исследовании систем с хаотической динамикой на аттракторе типа Смейла - Вильямса, основанных на принципе параметрического возбуждения.

Степень разработанности темы исследования

До последнего времени примеры систем с гиперболическим хаосом ограничивались абстрактными математическими конструкциями (соленоид Смейла - Вильямса, аттрактор Плыкина, БА-аттрактор Смейла) [15-19]. Задача разработки подходов к построению физических систем с гиперболическими хаотическими аттракторами с привлечением характерных для радиофизики методических приемов и понятий (нелинейные осцилляторы, автоколебания, обратная связь) в конструктивном ключе была поставлена лишь сравнительно недавно, но исследования в этом направлении

уже привели к появлению достаточно большого числа примеров [20-27]. Это схемы на основе попеременно возбуждающихся осцилляторов, систем с запаздыванием, систем с импульсными толчками и т.д.

Один из перспективных подходов к созданию систем со структурно устойчивым гиперболическим хаосом в радиофизике может основываться на использовании принципа параметрического возбуждения колебаний. До выполнения настоящей диссертационной работы был указан и исследован путем численного моделирования единственный пример такого рода [39]. А именно, аттрактор типа Смейла - Вильямса был реализован в системе двух попеременно возбуждающихся за счет модуляции накачки параметрических генераторов, передающих возбуждение друг другу с удвоением фазовой переменной на каждом этапе. Данный подход, однако, с определенностью заслуживает гораздо более широкой проработки, поскольку параметрическое возбуждение нелинейных систем широко известно и нашло многочисленные применения в электронике, механике, акустике и других областях [28-38]. При этом соответствующие схемы зачастую оказываются более простыми для реализации в сравнении с альтернативными подходами к генерации и преобразованию колебаний и волн. Цели и задачи работы

Целью диссертационной работы является разработка и численное исследование новых примеров систем, допускающих физическую реализацию, на основе принципа параметрического возбуждения колебаний, в которых реализовалась бы грубая хаотическая динамика, обусловленная присутствием в фазовом пространстве аттракторов типа Смейла - Вильямса.

В качестве конкретных задач ставились следующие.

1) Построение и исследование модели двух нелинейных осцилляторов с параметрической связью, в которой благодаря модуляции накачки и уровня диссипации реализовался бы механизм удвоения фазы колебаний, и рассмотрение двух вариантов генераторов хаоса на этой

основе, с ограничением параметрической неустойчивости за счет нелинейной диссипации и за счет истощения накачки.

2) Построение и исследование модели параметрического генератора, в котором роль угловой координаты на аттракторе Смейла - Вильямса играет переменная, отвечающая за распределение амплитуд между двумя подсистемами.

3) Построение и исследование схемы параметрического генератора хаоса, использующего запаздывающую обратную связь.

4) Модификация задачи о параметрическом возбуждении струны, в которой возникал бы аттрактор типа Смейла - Вильямса, вложенный в бесконечномерное фазовое пространство распределенной системы, и проведение численного моделирования сложной пространственно-временной динамики в этой системе.

Научная новизна

В работе впервые представлено исследование проблемы реализации грубого, структурно устойчивого хаоса для множества систем с параметрическим возбуждением, с демонстрацией соответствующих режимов путем численного моделирования.

Введена в рассмотрение и исследована в численных расчетах схема параметрического генератора гиперболического хаоса на основе двух нелинейных осцилляторов с модуляцией накачки и уровня диссипации с ограничением параметрической неустойчивости за счет нелинейной диссипации и за счет истощения накачки.

Предложена и изучена схема параметрического генератора, в котором для реализации аттрактора Смейла - Вильямса реализована предложенная в работе [40] идея растягивающего отображения для угловой переменной, управляющей распределением амплитуд двух подсистем.

Введена в рассмотрение и исследована модельная система, в которой аттрактор типа Смейла - Вильямса реализуется благодаря запаздывающей обратной связи через элемент с квадратичной нелинейностью между двумя параметрически связанными осцилляторами с модулированной накачкой.

Впервые предложена модификация опыта Мельде с параметрически возбуждаемой струной, где благодаря модулированной накачке, нелинейности и пространственной неоднородности удается реализовать и продемонстрировать в численных расчетах присутствие аттрактора типа соленоида Смейла - Вильямса, вложенного в фазовое пространство распределенной системы.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы определяется тем, что указан определенный класс систем, использующих принцип параметрического возбуждения колебаний, в которых реализуется грубый, структурно устойчивый хаос. Они представляют собой практическое осуществление объектов теории гиперболических динамических систем, хорошо развитой в математическом плане, но не имевшей до последнего времени реальных приложений. Практическая значимость работы определяется тем, что она открывает возможность создания параметрических генераторов хаоса, обладающих структурной устойчивостью, т.е. нечувствительностью к изменению параметров и характеристик систем и их элементов, что является принципиальным преимуществом с точки зрения возможных приложений хаоса.

Методология и методы исследования

В работе использованы методы и подходы, развитые в теории колебаний и волн. Для конструирования схем с гиперболическим хаосом привлечены принципы радиофизики и теории колебаний, включая модуляцию параметров, введение дополнительных обратных связей, принцип параметрического возбуждения. В качестве математических моделей

использованы неавтономные нелинейные дифференциальные уравнения, уравнения с запаздыванием, уравнения в частных производных. Для численного решения уравнений использованы разработанные в литературе методы, для которых обоснованы сходимость и устойчивость (метод Рунге-Кутты для обыкновенных дифференциальных уравнений и его обобщение на уравнения с запаздыванием, схема «крест», для уравнений в частных производных). Применены методы компьютерного исследования хаотической динамики, в том числе построение фазовых портретов аттракторов и расчеты показателей Ляпунова.

Положения, выносимые на защиту

1) Грубый гиперболический хаос, обусловленный аттрактором Смейла -Вильямса в отображении Пуанкаре, осуществим в системе двух параметрически связанных нелинейных осцилляторов, частоты которых различаются вдвое, при подходящей модуляции накачки и параметров диссипации, когда ограничение параметрической неустойчивости определяется нелинейной диссипацией или истощением накачки.

2) Хаотическая амплитудная динамика, связанная с присутствием аттрактора типа Смейла - Вильямса, реализуема в системе, где роль угловой переменной, претерпевающей растягивающее отображение, играет величина, отвечающая за распределение амплитуд между двумя осцилляторами.

3) Параметрический генератор грубого хаоса можно построить на основе классического параметрического генератора, составленного из двух осцилляторов с различающимися вдвое рабочими частотами, введением периодической модуляции накачки и добавлением дополнительной цепи запаздывающей обратной связи, содержащей квадратичный нелинейный элемент.

4) Гиперболический хаос, соответствующий аттрактору типа Смейла -Вильямса, вложенному в бесконечномерное фазовое пространство распределенной системы, возникает в модифицированной задаче о параметрическом возбуждении струны с диссипацией, характеризуемой кубической нелинейностью, при наличии накачки попеременно на различающихся в три раза частотах и пространственной неоднородности.

Достоверность результатов работы определяется постановкой задач на базе строгих концепций математической теории динамических систем, применением апробированных в радиофизике подходов к конструированию схем с параметрическим возбуждением, соответствием качественного физического описания и компьютерного анализа сложной динамики, использованием схем численного решения уравнений, обеспечивающих аппроксимацию и устойчивость при тестированном надлежащим образом выборе шагов интегрирования.

Личный вклад соискателя. Все включенные в диссертацию результаты получены лично автором, осуществлявшим выработку методик решения задач, программирование и проведение численных расчетов. Постановка задач и интерпретация результатов выполнялись совместно с научным руководителем и другими соавторами совместных опубликованных работ.

Публикации и апробация

Основные результаты диссертации были представлены докладами на X международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010 г.), XVI научной школе «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2012 г.), на IV, VI, VII и VIII Всероссийских конференциях молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2009, 2011-2013 гг.), на ежегодных научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (2009-

2011 гг.), а также на научных семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ.

Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения работ по грантам РФФИ № 12-02-31342, 12-02-00541 и гранту Президента РФ для молодых ученых МК-905.2010.2.

По результатам диссертации опубликовано 12 работ, из них статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК - 5 [А1-А5], статей в сборниках и тезисов докладов - 7 [А6-А12].

Структура и объем работы. Работа содержит 115 страниц, включая 25 страниц иллюстраций и список литературы из 67 наименований на 7 страницах.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, и заключения.

Во Введении обсуждается актуальность, научная новизна и значимость результатов работы, изложено ее краткое содержание, приводятся сведении\ о публикациях и апробации.

В четырех главах предлагаются принципы построения систем, в которых параметрическая генерация хаоса обусловлена присутствием аттракторов типа Смейла - Вильямса, благодаря чему имеет место свойство грубости, или структурной устойчивости - генерируемый хаос оказывается нечувствительным по отношению к изменению параметров системы. Обсуждается несколько подходов к построению параметрических генераторов хаоса, для каждого из которых рассмотрены механизмы динамики, приводятся и анализируются результаты численного моделирования. Первые две главы посвящены параметрическим системам, фазовое пространство которых имеет конечную размерность и которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В оставшихся главах излагаются результаты, относящиеся к распределенным системам, фазовое пространство которых бесконечномерное, и которые

описываются уравнениями с запаздыванием и уравнениями с частными производными.

В первой главе рассмотрено два варианта построения систем, использующих принцип параметрического возбуждения колебаний [А5, А8, А10-А12].

В первом случае система строится на базе двух осцилляторов с модулированной добротностью, рабочие частоты которых отличаются вдвое, а возбуждение производится импульсами накачки на тройной частоте, с периодом следования, равным периоду модуляции добротности. Временная эволюция составлена из четырех периодически повторяемых стадий. На первой стадии осуществляется параметрическое возбуждение осцилляторов в присутствии нелинейной диссипации, на второй стадии происходит затухание второго осциллятора, на третьей — взаимодействие осцилляторов через квадратичную нелинейность, и на четвертой - затухание первого осциллятора. Передача возбуждения к осциллятору удвоенной частоты на новой стадии активности происходит через квадратичный нелинейный элемент. Насыщение параметрической неустойчивости осуществляется благодаря присутствию нелинейной диссипации. Трансформация фазы колебаний за четыре стадии дается растягивающим отображением окружности. Проведенные численные расчеты подтверждают, что в фазовом пространстве четырехмерного отображения, описывающего изменение состояния за период модуляции, имеет место аттрактор типа Смейла -Вильямса.

Второй рассмотренный вариант параметрического генератора хаоса работает по аналогичному принципу, но накачка осуществляется через посредство дополнительно введенного в схему третьего осциллятора — осциллятора накачки. В данном случае насыщение параметрической неустойчивости происходит за счет истощения накачки. Функционирование происходит в отсутствии нелинейной диссипации, которую в данном случае

вводить не требуется, что, возможно, делает схему проще с точки зрения практической реализации.

Во второй главе предлагается параметрический генератор хаоса с аттрактором типа Смейла - Вильямса, в котором роль угловой координаты, претерпевающей растяжение на последовательных шагах динамики во времени, играет специальная переменная, характеризующая распределение амплитуд между двумя взаимодействующими подсистемами [А4, А9]. Каждая из подсистем состоит из трех осцилляторов, один из которых является осциллятором накачки. Осцилляторы накачки подсистем возбуждаются попеременно от общего источника, раскачивая осцилляторы своей подсистемы. Взаимодействие подсистем происходит также попеременно, с нелинейным преобразованием и трансформацией амплитуды колебаний, динамика которой оказывается хаотической. Рассмотрены два варианта - в одном преобразование амплитуд с утроением угловой переменной на нелинейности происходит при передаче в обе стороны, а во втором - только в одном направлении, тогда как обратная передача амплитуд осуществляется без изменения.

В третьей главе представлена система с запаздыванием. Это генератор хаоса на основе двух параметрически связанных осцилляторов, частоты которых различаются вдвое [А4, А7]. Нелинейный квадратичный элемент, обеспечивающий связь, подвергается воздействию накачки на третьей гармонике основной частоты с модуляцией по амплитуде. При этом на каждом очередном периоде модуляции возбуждение осциллятора удвоенной частоты стимулируется сигналом от осциллятора основной частоты, претерпевшим квадратичное нелинейное преобразование и задержку во времени. На основе качественного анализа и результатов численного моделирования делается заключение, что хаотическая динамика в системе отвечает гиперболическому странному аттрактору, который представляет собой разновидность соленоида Смейла - Вильямса, вложенного в бесконечномерное пространство состояний системы с запаздыванием.

В четвертой главе обосновывается возможность хаотической динамики, ассоциирующейся с гиперболическим аттрактором типа Смейла-Вильямса, в задаче о механических колебаниях неоднородной струны с нелинейной диссипацией [А1, А2, А6, А7]. Параметрическое возбуждение мод на частотах со и 3со осуществляется попеременно благодаря накачке в виде колебаний силы натяжения струны на частотах 2а> и боо. Роль угловой переменной, претерпевающей утроение на последовательных стадиях динамики во времени, играет пространственная фаза попеременно возбуждающихся на струне коротковолновых и длинноволновых структур типа стоячих волн. Представлены результаты численного решения дифференциальных уравнений в частных производных конечно-разностным методом применительно к двум вариантам постановки задачи - с периодическими и с фиксированными граничными условиями.

В заключении обобщаются результаты диссертационной работы, приводятся возможные направления развития и формируются выводы.

Глава 1. Параметрические генераторы хаоса на основе двух связанных осцилляторов

1.1. Введение

Говоря о параметрических колебаниях, имеют в виду возбуждение колебаний, обусловленное периодическим изменением во времени какого-либо параметра рассматриваемой системы [28-30]. В механике параметрические колебания имеют место при раскачке маятника путем периодического изменения длины (так раскачивается человек на качелях), в электротехнике - при периодическом изменении емкости или индуктивности в колебательном контуре, в оптике - при периодическом изменении показателя преломления в среде, помещенной в резонатор или волновод.

Параметрические колебания широко используются на практике. Например, широко известны параметрические генераторы и усилители в радиофизике и сверхвысокочастотной (СВЧ) электронике [29], Их характерной особенностью является чрезвычайно низкий уровень шума. В лазерной физике и нелинейной оптике также разработано множество устройств, принцип работы которых опирается на параметрические колебания [31-35].

Как можно полагать, возможности применения принципа параметрического возбуждения колебаний и волн далеко не исчерпаны.

Одно из интересных направлений развития принципа параметрической генерации и усиления колебаний состоит в его применении для получения хаотических колебаний, имея в виду перспективы использования в системах скрытой коммуникации на основе хаоса, для генерации случайных последовательностей, в криптографических схемах [11-14]. В этом контексте особенно привлекательным представляется хаос, отвечающий динамике на гиперболическом аттракторе в силу присущего ему свойства грубости, или

структурной устойчивости [41, 15-19], т.е. нечувствительности характеристик динамики и генерируемого сигнала по отношению к вариации параметров и функций, присутствующих в динамических уравнениях. Начиная с 2005 года, была обоснована возможность построения физических систем с гиперболическими аттракторами, в том числе, с аттрактором типа Смейла-Вильямса [20-27].

В настоящей главе, в разделе 1.2, будет рассмотрена схема параметрического генератора хаоса на базе двух связанных осцилляторов с модулированной добротностью, имеющих различающиеся вдвое рабочие частоты, возбуждение которых производится импульсами накачки с периодом следования, равным периоду модуляции добротности [А5]. Временную эволюцию системы можно представить как периодическое повторение четырех стадий равной продолжительности. На первой стадии реализуется параметрическое возбуждение осцилляторов в присутствии нелинейной диссипации, на второй стадии происходит затухание второго осциллятора, на третьей стадии осуществляется взаимодействие осцилляторов через квадратичную нелинейность, и на четвертой - затухание первого осциллятора. Сформулированы модельные дифференциальные уравнения, описывающие динамику системы, и проведено их исследование путем численного решения на компьютере. Представлены также уравнения, выведенные в приближении медленно меняющихся комплексных амплитуд, которые по форме аналогичны уравнениям, фигурирующим в теории параметрических генераторов и усилителей в системах лазерной физики и нелинейной оптики. Показано, что трансформация фазы колебаний за четыре стадии дается растягивающим отображением окружности, откуда можно заключить, что в отображении, описывающем изменение состояния за период модуляции, имеет место аттрактор типа Смейла - Вильямса.

Введенная для насыщения параметрической неустойчивости нелинейная диссипация, как можно полагать, неоправданно усложняет возможную

реализацию схем, к примеру, как нелинейно-оптических устройств. Поэтому в разделе 1.3 предлагается другая модификация параметрического генератора хаоса, действующая по тому же принципу, но насыщение в этой модели происходит не за счет нелинейной диссипации, а за счет истощения накачки [А8, А11]. Для этого в схему вводится третий осциллятор, который будет модулировать величину реактивной связи на частоте накачки. Таким образом, механизм истощения накачки позволяет отказаться от введения в схему элементов нелинейной диссипации. Для этого варианта схемы также сформулированы динамические уравнения и их приближенная версия в терминах медленных комплексных амплитуд, и проведено численное решение уравнений, что позволило продемонстрировать присутствие хаотической динамики, связанной с наличием аттрактора типа Смейла -Вильямса.

1.2. Параметрический генератор хаоса на основе связанных осцилляторов с нелинейной диссипацией

1.2.1. Основные уравнения и принцип функционирования модели

Рассмотрим систему, состоящую из двух осцилляторов с частотами со, и со2 = 2со1, параметрическое возбуждение которой обеспечивается колебанием величины реактивной связи между осцилляторами, обусловленной импульсами накачки на частоте ю3 +(й2 =3(0,, следующими друг за другом с периодом »1/со3 (рис.1.1). С тем же периодом Г модулируются добротности осцилляторов, а также коэффициент квадратичной связи между ними. Для простоты и определенности будем рассматривать модуляцию по «прямоугольному» закону, как мгновенное переключение параметров от одной величины к другой в определенные моменты времени. Будем полагать, что присутствует линейная и нелинейная диссипация, что существенно для затухания осцилляторов и для насыщения параметрической неустойчивости.

Динамику системы можно разделить на четыре стадии равной продолжительности (рис.1.2), составляющей целое число высокочастотных периодов сигнала накачки, т.е. 774 = 2тсЛ/7 (о3. На первой стадии производится параметрическое возбуждение системы, обусловленное колебаниями величины реактивной связи между осцилляторами на частоте накачки, и считается присутствующей нелинейная диссипация, обеспечивающая насыщение параметрической неустойчивости. На второй стадии включается линейная диссипация во втором осцилляторе, благодаря чему его колебания затухают. На третьей стадии осуществляется взаимодействие осцилляторов через квадратичную нелинейность, а на четвертой - затухание первого осциллятора за счет линейной диссипации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кузнецов, Алексей Сергеевич, 2013 год

Список литературы

М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков, Введение в теорию колебаний и волн, Наука, Москва (1984).

B.C. Анищенко, В.В. Астахов, Т.Е. Вадивасова. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1999.

Л. Глас, М. Мэки. От часов к хаосу. М.: Мир, 1991.

П.С. Ланда. Нелинейные колебания и волны. М.: Физматлит, 2010.

Дж.К. Спротт. Элегантный хаос. М.- Ижевск: Инст. компыот. исслед.,

2012.

Г. М. Заславский, Р. 3. Сагдеев. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. Г.Шустер. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988, 250с.

C.П.Кузнецов. Динамический хаос, 2-е изд. Москва: Физматлит, 2006, 356с.

Странные аттракторы, под ред. Я.Г.Синая и Л.П.Шильникова. М.: Мир, 1981,256с.

АЛО. Лоскутов. Очарование хаоса. Успехи физических наук, 180, 2010, №12, 1305-1329.

А.С.Дмитриев, А.И. Панас. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. A.A. Короновский, О.И. Москаленко, А.Е. Храмов. О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации. УФН, 179, 2009, №12, 1281-1310.

Yang Т. A survey of chaotic secure communication systems. International Journal of Computational Cognition 2004; 2(2):81-130. K.A. Лукин. Шумовая радиолокация миллиметрового диапазона. Радиофизика и электроника, 13, 2008, 344-358.

[15] С. Смейл. Дифференцируемые динамические системы. Успехи математических наук, 25:1(151), 113-185 (1970).

[16] Я.Г. Синай. Стохастичность динамических систем. В кн. Нелинейные волны, ред. A.B. Гапонов-Грехов. М.: Наука, 1979, с. 192-212.

[17] Д.В. Аносов, С.Х. Арансон, В.З. Гринес, Р.В. Плыкин, Е.А. Сатаев, A.B. Сафонов, В.В. Солодов, А.Н. Старков, A.M. Степин,

C.B. Шлячков. Динамические системы с гиперболическим поведением. Динамические системы - 9. Итоги науки и техники. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 66. M.: ВИНИТИ, 1991.

[18] L. Shilnikov. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics: A Tutorial. Int. J. of Bifurcation and Chaos, 7, 1997, No. 9, 1353-2001.

[19] А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. М.: МЦНМО, 2005, 464с.

[20] С.П. Кузнецов. Динамический хаос и гиперболические аттракторы: от математики к физике. ИКИ Москва - Ижевск, 2013, 488с.

[21] С.П. Кузнецов. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: от математики к физике. УФН, 181, 2011, №2, 121-149.

[22] O.B.Isaeva, A.Yu. Jalnine, S.P.Kuznetsov. Arnold's cat map dynamics in a system of coupled nonautonomous van der Pol oscillators. Phys. Rev. E 74, 2006, 046207

[23] О.Б. Исаева, С.П. Кузнецов, И.Р. Сатаев, А. Пиковский. Об одном бифуркационном сценарии рождения аттрактора типа Смейла-Вильямса. Нелинейная динамика, 9, 2013, №2, 267-294.

[24] С.П. Кузнецов. Гиперболические странные аттракторы систем, допускающих физическую реализацию. Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика, т. 17, 2009, №4, 5-34.

[25] С.П. Кузнецов, В.И. Пономаренко. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла-Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием. Письма в ЖТФ, т.34, 2008, вып. 18, 1-8.

[26] S.P. Kuznetsov, A. Pikovsky. Hyperbolic chaos in the phase dynamics of a Q-switched oscillator with delayed nonlinear feedbacks. Europhysics Letters 2008; 84:10013.

[27] S.P. Kuznetsov. Hyperbolic Chaos: A Physicist's View. Beijing: Higher Education Press and Berlin: Springer; 2012.

[28] Л. И. Мандельштам, Лекции по колебаниям. М.: изд-во АН СССР, 1955.

[29] У. Люиселл. Связанные и параметрические колебания в электронике, М.: Изд. иностр. лит., 1963.

[30] А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, Н.М. Рыскин. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2005.

[31] С.А. Ахманов, Р.В. Хохлов. Параметрические усилители и генераторы света. Успехи физических наук, 88, 1966, №3, 439-460.

[32] А. Пискарскас, А. Стабинис, А. Янкаускас. Фазовые явления в параметрических усилителях и генераторах сверхкоротких импульсов света. Успехи физических наук, 150, 1986, №1, 127-143.

[33] Л.А. Кулевский. Параметрический генератор инфракрасного излучения. Успехи физических наук, 134, 1981, №7, 535-541.

[34] Е.А. Хазанов, A.M. Сергеев. Петаваттные лазеры на основе оптических параметрических усилителей: состояние и перспективы. Успехи физических наук, 178, 2008, 1006-1011. http://ufh.ru/ufn08/ufii08 9/Russian/r089g.pdf

[35] А. П. Сухорукое. Параметрические генераторы света http://dic.academic.ru/dic.nsiybse/l 18505/Параметрические

[36] М.И. Рабинович, А.Л. Фабрикант. Стохастическая автомодуляция волн в неравновесных средах. ЖЭТФ, 77, 1979, вып. 2, 617-629.

[37] Л.А. Островский, И.А. Папилова, A.M. Сутин. Параметрический генератор ультразвука. Письма в ЖЭТФ, 15, 1972, вып. 8, 456-458.

[38] V.J. Sánchez-Morcillo, V. Espinosa, J. Redondo, J. Alba. Nonlinear dynamics and chaos in parametric sound generation. Acta Acústica united with Acústica, 92, 2006, No 2, 210-216.

[39] С.П. Кузнецов. О возможности реализации параметрического генератора гиперболического хаоса. ЖЭТФ, 133, 2008, №2, 438-446.

[40] О.В. Isaeva, S.P. Kuznetsov, Е. Mosekilde. Hyperbolic chaotic attractor in amplitude dynamics of coupled self-oscillators with periodic parameter modulation. Phys. Rev. E, 84, 2011, 016228.

[41] А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний. М.: Физматгаз, 1959, 913с.

[42] С.П. Кузнецов, И.Р. Сатаев. Проверка условий гиперболичности хаотического аттрактора в системе связанных неавтономных осцилляторов ван дер Поля. Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика, 14, 2006, №5, 3-29.

[43] S.P. Kuznetsov, I.R. Sataev. Hyperbolic attractor in a system of coupled non-autonomous van der Pol oscillators: Numerical test for expanding and contracting cones. Physics Letters A, 365, 2007, Nos. 1-2, 97-104.

[44] G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, J.-M. Strelcyn. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part {I}: Theory. Part {II}: Numerical application. Meccanica, 1980, vol.15, 9-30.

[45] A.X. Найфэ. Методы возмущений. M.: Наука, 1986.

[46] Л.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

[47] С.П. Кузнецов. Сложная динамика генераторов с запаздывающей обратной связью. Известия вузов - Радиофизика, 25, 1982, №12, с.1410-1428.

[48] G. Giacomelli, A. Politi. Relationship between Delayed and Spatially Extended Dynamical Systems. Phys. Rev. Lett., 76, 1996, 2686-2689.

[49] J.D. Farmer. Chaotic attractors of an infinite-dimensional dynamical system. Physica D, 4, 1982, 366-393.

[50] A.E. Каплан, Ю.А. Кравцов, B.H. Рылов. Параметрические генераторы и делители частоты. М.: Советское радио, 1966, 335с.

[51] А.А. Балякин, Н.М. Рыскин. Особенности расчете спектров показателей Ляпунова в распределенных автоколебательных системах с запаздывающей обратной связью. Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика, 15, 2007, №6, 3-21.

[52] P.V. Kuptsov, S.P. Kuznetsov, A. Pikovsky. Hyperbolic Chaos of Turing Patterns. Phys. Rev. Lett., 108, 2012, 194101

[53] D.R. Rowland. Parametric resonance and nonlinear string vibrations. Am. J. Phys., 72, 2004, 758-766.

[54] H.H. Калиткин. Численные методы. M.: Наука, 1978, 512с.

[55] М.Е. Хернитер. Multisim. Современная система компьютерного моделирования и анализа схем электронных устройств.

М: Издательский дом «ДМК-пресс», 2006.

Публикации по теме диссертации

О.Б. Исаева, А.С. Кузнецов, С.П. Кузнецов. Гиперболический хаос при параметрических колебаниях струны. Нелинейная динамика, 9, 2013, №1,3-10.

О.В. Isaeva, A.S. Kuznetsov, S.P. Kuznetsov. Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated parametrically by a modulated pump source. Phys. Rev. E, 87, 2013, 040901.

A.S. Kuznetsov, S.P. Kuznetsov. Parametric generation of robust chaos with time-delayed feedback and modulated pump source. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 18, 2013, 728-734.

А.С. Кузнецов. Параметрические генераторы с хаотической амплитудной динамикой, отвечающей аттракторам типа Смейла-Вильямса. Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика, 20, 2012, №1, 129-136.

А.С. Кузнецов, С.П. Кузнецов, И.Р. Сатаев. Параметрический генератор гиперболического хаоса на основе двух связанных осцилляторов с нелинейной диссипацией. ЖТФ, 80, 2010, вып. 12, 1-9.

А.С. Кузнецов, О.Б. Исаева. Гиперболический хаос при параметрических колебаниях нелинейной струны. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов VIII Всероссийской конференции молодых ученых. 3-5 сентября 2013 г. Изд-во Саратовского университета, 2013, 137-138.

А.С.Кузнецов. Хаотическая динамика при механических колебаниях нелинейной струны с параметрическим возбуждением. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы

докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых. 24-26 сентября 2012 г. Изд-во Саратовского университета, 2012, 79-80.

[А8] A.C. Кузнецов. О некоторых схемах параметрических генераторов хаоса с аттракторами типа Смейла-Вильямса. Нелинейные волны -2012. XVI научная школа. 29 февраля - 6 марта 2012 г. Тезисы докладов молодых ученых. РАН, ИПФ РАН, НГГУ, Нижний Новгород, 2012, с. 81.

[А9] A.C. Кузнецов. О новом принципе построения парметрических генераторов гиперболического хаоса. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов VI Всероссийской конференции молодых ученых. 11-15 сентября 2011 г. Изд-во Саратовского университета, 2011, с. 124-126.

[А10] А.С.Кузнецов, С.П.Кузнецов Параметрические генераторы хаоса с гиперболическими аттракторами. Материалы IX международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур", 4-9 октября 2010 г. Саратов, 2010, 86-87.

[All] A.C. Кузнецов. Две схемы параметрических генераторов гиперболического хаоса. В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2009. 16-18 ноября 2009 г. Материалы научной школы-конференции. Саратов, ООО ИЦ «Наука», 2010, с.77-80.

[А 12] A.C. Кузнецов. Сравнительный анализ моделей параметрических колебаний. Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов IV конференции молодых ученых. 7-9 сентября 2009 г. Изд-во Саратовского университета, 2009, 56-58.