Псевдогиперболические аттракторы и смешанная динамика в многомерных динамических системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Казаков Алексей Олегович

• Казаков Алексей Олегович
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Казаков Алексей Олегович

2.1 Псевдогиперболические аттракторы

2.1.1 О методах проверки псевдогиперболичности

2.1.2 Дикий спиральный аттрактор в четырехмерной системе

2.1.3 Псевдогиперболичность дискретного аттрактора Лоренца

2.1.4 Дискретный неориентируемый гетероклинический аттрактор Лоренца

2.1.5 Дискретные восьмерочный и спиральный аттракторы, а также эффект реверса в неголономной модели волчка Чаплыгина

2.1.6 Аттракторы Лоренца и Ровеллы в системе Любимова-Закса

2.2 Смешанная динамика

2.2.1 Три типа хаоса в неголономной модели волчка Суслова

2.2.2 Смешанная динамика в модели Пиковского-Топажа

2.2.3 О столкновении хаотических аттрактора и репеллера, приводящем к возникновению смешанной динамики

2.2.4 Сильно-диссипативная смешанная динамика

2.2.5 Смешанная динамика в неголономной модели диска на плоскости

2.3 Программный комплекс для исследования хаоса в многомерных динамических системах

3 Заключение 53 Список литературы

Приложения

Приложение 1: Статья "The reversal and chaotic attractor in the nonholonomic model

of Chaplygin's top"

Приложение 2: Статья "Simple Scenarios of Onset of Chaos in Three-Dimensional

Maps"

Приложение 3: Статья "Dynamics of the Suslov problem in a gravitational field:

Reversal and strange attractors"

Приложение 4: Статья "Spiral chaos in the nonholonomic model of a Chaplygin top" 149 Приложение 5: Статья "On the phenomenon of mixed dynamics in Pikovsky-Topaj

system of coupled rotators"

Приложение 6: Статья "Elements of Contemporary Theory of Dynamical Chaos: A

Tutorial. Part I. Pseudohyperbolic Attractors"

Приложение 7: Статья "On the Appearance of Mixed Dynamics as a Result of

Collision of Strange Attractors and Repellers in Reversible Systems"

Приложение 8: Статья "Merger of a ffinon-like attractor with a Henon-like repeller

in a model of vortex dynamics"

Приложение 9: Статья "Three Types of Attractors and Mixed Dynamics of Nonholonomic Models of Rigid Body Motion"

Приложение 10: Статья "Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional

Lorenz system"

Приложение 11: Статья "On discrete Lorenz-like attractors"

Приложение 12: Статья "On bifurcations of Lorenz attractors in the Lyubimov-Zaks

model"

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Псевдогиперболические аттракторы и смешанная динамика в многомерных динамических системах»

1 Введение

Актуальность. На сегодняшний день теория динамического хаоса представляет собой стремительно развивающийся раздел точных наук. Создание новых методов математического моделирования и исследования хаоса является одной из наиболее актуальных задач в этой области. За последние десятилетия хаотическая динамика систем малой размерности (трехмерных систем дифференциальных уравнений и двумерных отображений) изучена достаточно хорошо, в то время как теория многомерного хаоса все еще весьма далека от своего завершения.

В диссертационной работе предложены новые качественные и численные методы анализа многомерной хаотической динамики, основанные на теории псевдогиперболических аттракторов и теории смешанной динамики. Обе эти теории возникли сравнительно недавно, благодаря работам Гонченко, Тураева, Шильникова, Ньюхауса, и позволили по-новому взглянуть на ряд проблем многомерного хаоса. Среди таких проблем можно выделить следующие две: (1) существуют ли «настоящие» странные аттракторы, отличные от гиперболических и сингулярно-гиперболических (лоренцевского типа) аттракторов; (2) как объяснить явления визуального перекрытия хаотических аттрактора и репеллера, часто наблюдаемое в численных экспериментах. Вторая проблема тесно связана с такими важными вопросами теории динамических систем как, например: может ли гиперхаос возникать в системах малой размерности и как доказать отсутствие гладкой инвариантной меры у хаотических обратимых систем. В работах диссертанта получены ответы на эти вопросы с помощью применения указанных выше теорий. Приведены примеры настоящих (псевдогиперболических) аттракторов как у четырехмерных систем дифференциальных уравнений, так и у трехмерных диффеоморфизмов. Применение концепции смешанной динамики позволило диссертанту положительно ответить на вопрос о возникновении гиперхаоса у двумерных диффеоморфизмов, а также установить отсутствие гладкой инвариантной меры в известной задаче В.В. Козлова о движении диска по шероховатой плоскости.

Таким образом, обе теории, псевдогиперболических аттракторов и смешанной динамики, оказались весьма эффективными при решении прикладных задач. Качественные и численные методы, развитые в диссертационной работе, были использованы соискателем для исследования моделей неголономной механики, гидродинамики, теории связанных осцилляторов, а также некоторых других задач нелинейной динамики. Эти методы могут применяться и для более широкого класса задач. Результатом работы диссертанта стало открытие ряда новых динамических явлений. Открыто явление мгновенного возникновения смешанной динамики, в результате столкновения аттрактора и репеллера. Открыта сильно-диссипативная смешанная динамика (когда численно найденные хаотические аттрактор и репеллер пересекаются, но сильно отличаются, хотя теоретически они должны совпадать). Обнаружены новые примеры псевдогиперболических аттракторов: дикий спиральный аттрактор в четырехмерной системе дифференциальных уравнений, восьме-рочный аттрактор в неголономной модели волчка Чаплыгина, дискретный гетероклини-ческий аттрактор в трехмерном отображении Эно и др. Открыты новые типы реверса в неголономной динамике твердого тела - для сферических тел со смещенным центром масс.

Важно отметить, что с проблемой (1) тесно связана одна их самых важных и трудных задач теории динамических систем о различения «настоящих» странных аттракторов от так называемых квазиаттракторов, которые, хоть и демонстрируют хаотическое поведение траекторий, но лишь на физическом уровне строгости. Квазиаттракторы (по Афраймовичу и Шильникову) либо сами содержат устойчивые периодические траектории (с возможно не уловимыми в численном эксперименте областями притяжения), либо такие траектории появляются при сколь угодно малых возмущениях. Таким образом, при исследовании квазиаттрактора невозможно отличить хаотическую динамику от длительного переходного процесса, после которого траектории выйдут на регулярный режим (устойчивую периодическую траекторию). Настоящие же странные аттракторы (например, такие как гиперболические аттракторы, аттракторы Лоренца и др.) обладают тем свойством, что у любой их траектории существует максимальный положительный показатель Ляпунова, и это свойство выполняется для всех близких систем. Таким образом, хаос, демонстрируемый системами с такими аттракторами, устойчив к малым возмущениям. В отличие от этого, для квазиаттракторов характерно наличие т.н. окон устойчивости - областей параметров, в которых аттрактор является простым, например, предельным циклом.

До недавнего времени к настоящим хаотическим аттракторам можно было с уверенностью относить только лишь гиперболические и лоренцевские аттракторы. Ситуация существенно изменилась после открытия Тураевым и Шильниковым в 1998 г. диких псевдогиперболических аттракторов. Такие аттракторы, в отличие от гиперболических и ло-ренцевских, допускают гомоклинические касания и, как следствие, содержат дикие гиперболические множества Ньюхауса, что свидетельствует о принципиальной невозможности полного описания их динамики и бифуркаций. Тем не менее устойчивые периодические траектории здесь не возникают в силу основного свойства псевдогиперболичности, обеспечивающего экспоненциальное растяжение объемов в некоторых подпространствах касательного пространства. Автоматически это влечет, что у любой траектории аттрактора максимальный показатель Ляпунова положительный. Таким образом, изучение странных аттракторов, обладающих псевдогиперболической структурой, принципиально важно с прикладной точки зрения, так как, установив псевдогиперболичность аттрактора, исследователь может быть уверен, что такой тип хаотического поведения не разрушается при малых изменениях параметров системы. Задача развития теории псевдогиперболических аттракторов занимают одно из центральных мест в диссертации.

В этом направлении в диссертационной работе были разработаны новые эффективные численные методы проверки условий псевдогиперболичности аттракторов систем дифференциальных уравнений и диффеоморфизмов. В основе этих методов лежит непосредственная верификация всех условий из определения псевдогиперболичности. При этом следует подчеркнуть, что если хотя бы одно их этих условий не выполняется, то аттрактор не является псевдогиперболическим и, согласно PQ-гипотезе (рвеиёоЬурегЬоНс ог quasiattractor), выдвинутой диссертантом, он должен быть квазиаттрактором. Выполнение же всех условий псевдогиперболичности позволяет сделать вывод о том, что мы имеем дело с настоящим хаотическим аттрактором. В работах диссертанта численная реализация разработанного метода показала свою эффективность на примере целого ряда аттракторов в системах из различных приложений.

Для решения проблемы (2) в диссертационной работе применялась концепция смешанной динамики - третьей формы динамического хаоса, открытие которой относится к одному из недавних достижений теории динамических систем. До этого традиционно считалось, что хаос в динамических системах встречается только в двух совершенно разных формах: консервативный хаос, характерный, в частности, гамильтоновым системам; и диссипативный хаос, математическим образом которого является странный аттрактор -нетривиальное замкнутое инвариантное множество, к которому стремятся траектории из его окрестности. В работах Гонченко, Тураева и Шильникова было показано, что странный аттрактор может пересекаться со странным репеллером (аттрактором системы, полученной обращением времени) по замкнутому инвариантному множеству, так называемому обратимому ядру, которое ничего не притягивает и ничего не отталкивает. Это, безусловно, представляет собой принципиально новую, третью, форму хаотического поведения траекторий, неустранимым образом сочетающую в себе как диссипативные (аттрактор / репеллер), так и консервативные (обратимое ядро) элементы динамики.

Первые конкретные примеры систем из приложений, в которых в явном виде продемонстрирован этот новый тип динамического хаоса, были обнаружены в работах диссертанта. Так, наличие смешанной динамики было показано в ряде задач неголономной механики, в цепочках взаимодействующих осцилляторов, а также в задачах вихревой динамики. Обнаружение смешанной динамики в прикладных моделях привело к необходимости создания теории, которая, в частности:

• позволяет объяснить наблюдаемое в численных экспериментах пересечение хаотических аттрактора и репеллера;

• объясняет, в результате каких внутренних механизмов (бифуркационных сценариев) может возникать смешанная динамика.

Развитию такой теории, а также описанию различных типов смешанной динамики и ее приложению к исследованию конкретных систем, посвящена вторая часть цикла статей, представленных в диссертационной работе.

При работе над диссертацией разработан ряд новых численных методов, позволяющих выполнять проверку псевдогиперболичности странных аттракторов, выявлять в пространстве параметров области, отвечающие каждому из трех типов динамического хаоса, с минимальными вычислительными затратами проводить построение диаграмм гомокли-нических бифуркаций и др. Разработанные методы реализованы в рамках программного комплекса «Компьютерная динамика: Хаос» (патенты ИД 2014619001 и ИД 2016660109), краткое описание которого приведено в третьей части диссертационной работы.

Степень разработанности.

Псевдогиперболические аттракторы. До сравнительно недавнего времени к настоящим странным аттракторам гладких динамических систем можно было относить только лишь гиперболические и сингулярно-гиперболические (лоренцевские) аттракторы. Основы теории гиперболических аттракторов были заложены в 60-х годах в классических работах Аносова, Боуэна, Вильямса, Мане, Пью, Робинсона, Синая, Смейла, Шильникова и др. В настоящее время эта тема продолжает оставаться весьма актуальной, как в направлении развития теории гиперболических аттракторов, где значительные результаты были

получены в работах Аронсона, Гринеса, Жужомы, Медведева, Починки и др., так и в области приложений этой теории. Отметим, что долгое время гиперболические аттракторы не были известны в приложениях. Ситуация изменилась после работ С.П. Кузнецова, в которых такие аттракторы были обнаружены в различных физических моделях. Первый такой аттрактор появился в его работе 2005 года, а сейчас, благодаря работам Кузнецова, Купцова, И. Сатаева и др., известен уже целый ряд физических систем с гиперболическими аттракторами.

В отличие от гиперболических, сингулярно-гиперболические аттракторы не являются грубыми (структурно-устойчивыми). Несмотря на то, что первый пример такого аттрактора был приведен в работе Э. Лоренца в 1963 г., долгое время эта работа не была известна математикам. Только в конце 70-х годов появилось сразу несколько работ, посвященных математической теории аттрактора Лоренца. Среди них наиболее значительные - это известные работы Афраймовича-Быкова-Шильникова, Гукенхеймера-Вильямса, Бунимовича-Синая и др. Позднее, в работах Моралеса, Пасифико, Пужалса и Е. Сатаева была построена теория сингулярно-гиперболических аттракторов, которая в некотором смысле обобщала теорию аттракторов Лоренца.

Как известно сейчас, гиперболические и сингулярно-гиперболические аттракторы составляют лишь некоторый подкласс множества псевдогиперболических аттракторов. Среди последних особое место занимают дикие псевдогиперболические аттракторы, математическая теория которых была заложена в работах Тураева и Шильникова. Системы с такими аттракторами, в отличие от систем с гиперболическими и сингулярно-гиперболическими аттракторами, допускают гомоклинические касания. Однако бифуркации этих касаний не приводят к возникновению устойчивых периодических траекторий, благодаря наличию псевдогиперболической структуры, которая обеспечивает существование двух трансверсальных подпространств, сильно-сжимающего и центрально-неустойчивого, при этом в центрально-неустойчивом подпространстве растягивается объем. Отметим также, что в работе Тураева и Шильникова (1998) была предложена феноменологическая модель дикого спирального аттрактора четырехмерной системы содержащего седло-фокусное положение равновесия. Первый и пока единственный пример такой модели - в форме конкретной системы четырех дифференциальных уравнений - был построен совсем недавно в одной из работ диссертанта (2021).

Еще один принципиально важный результат в теории псевдогиперболических аттракторов получен в работе Гонченко, Овсянникова, Тураева и Симо (2005), в которой было установлено, что дискретные псевдогиперболические аналоги аттрактора Лоренца могут существовать у трехмерных диффеоморфизмов. Также в этой работе показано, что псевдогиперболические аттракторы, в отличие от гиперболических, могут встречаться в моделях самой разной природы, от которых не требуется слишком много ограничительных условий. Таким образом, задача поиска таких аттракторов и проверки условий их псевдогиперболичности становится весьма актуальной. Если с первой частью этой задачи дела обстоят более или менее хорошо - целый ряд таких аттракторов был найден в работах А. Гонченко, С. Гонченко, Овсянникова, Тураева и др., то вторая ее часть долгое время была далеко от своего решения. Известные методы, основанные на анализе только лишь спектра показателей Ляпунова, не позволяют получить здесь полностью убедительные результаты. Универсальный подход, позволяющий проверять все условия из определения псевдогипер-

боличности странного аттракторы для достаточно широкого класса динамических систем, был разработан в рамках настоящего диссертационного исследования (раздел 2.1.1).

Частные случаи псевдогиперболичности (равномерная гиперболичность и сингулярная гиперболичность) для некоторых конкретных систем, проверялись и ранее. Среди соответствующих исследований важно отметить работы С.П. Кузнецова, Купцова, Такера, Жгличинского, Цапинского. Так, в известной работе Такера (1999), с помощью методов доказательных вычислений, установлена сингулярная гиперболичность классического аттрактора Лоренца и, тем самым, была решена известная гипотеза Смейла. В работах С.П. Кузнецова и Купцова были предложены эффективные численные методы проверки отсутствия касаний между инвариантными сжимающим и растягивающим подпространствами, что является одним из необходимых условий гиперболичности. В работе этих же авторов 2018 года указанные методы были модифицированы для проверки отсутствия касаний между сжимающим и центрально-неустойчивым подпространствами в случае псевдогиперболических инвариантных множеств. В работе Цапинского, Тураева и Жгличинского был предложен оригинальный метод проверки условий критерия Шильникова, дающего достаточные условия существования аттрактора Лоренца. Соответствующий подход реализован с помощью методов доказательных вычислений и, таким образом, как и метод Такера, является весьма трудоемким.

Смешанная динамика. Открытие смешанной динамики является одним из главных достижений в теории динамического хаоса, наряду с открытием двух его классических форм, консервативного хаоса и диссипативного хаоса. С точки зрения топологической динамики хаос в конечномерных детерминированных системах может встречаться только в трех различных формах (консервативный, диссипативный и смешанная динамика).

Самый старый тип хаоса - это консервативный. Классические его примеры - это хаотическая динамика, демонстрируемая неинтегрируемыми гамильтоновыми системами. Открытие консервативного хаоса связывают с именем Пуанкаре, который еще в 1889 году показал, что типичным свойством гамильтоновых систем с двумя и более степенями свободы является существование у них грубых гомоклинических кривых седловых периодических движений. Такие кривые (траектории) называются сейчас гомоклиническими кривыми (траекториями) Пуанкаре, а их грубость означает, что устойчивое и неустойчивое инвариантное многообразия седлового периодического движения пересекаются транс-версально. Пуанкаре связывал существование таких траекторий у гамильтоновых систем с их принципиальной неинтегрируемостью - сейчас это явление известно как критерий Пуанкаре консервативного (гамильтонового) хаоса.

Открытие диссипативного хаоса обычно связывают с классической работой Лоренца, опубликованной в 1963 г., в которой был приведен пример трехмерной системы, демонстрирующей сложное непериодическое поведение траекторий на некотором глобально устойчивом инвариантном множестве. Эта система впоследствии была названа моделью Лоренца, а притягивающее инвариантное множество с нерегулярным и неустойчивым поведением траекторий на нем - аттрактором Лоренца.

В настоящее время консервативный хаос, а также диссипативный хаос, математическим образом которого является странный аттрактор, представляют собой две наиболее популярные и актуальные темы исследований в нелинейной динамике. Они являются объектами исследований не только математиков, но и специалистов из самых различных

областей точного естествознания: физики, биологии, химии и т.п.

Смешанная динамика - самый молодой тип динамического хаоса. Она была открыта совсем недавно. Само явление сосуществования бесконечного множества периодических траекторий всевозможных типов (устойчивых, вполне неустойчивых и седловых) и их неотделимости друг от друга, в том смысле, что замыкания множеств траекторий разных типов имеют непустое пересечение, было открыто в 1997 г. в работе Гонченко, Тураева и Шильникова. В работе 2017 г. Гонченко и Тураев, на основе понятия аттрактора по Рюэллю, показали, что аттрактор и репеллер могут пересекаться по замкнутому инвариантному множеству - обратимому ядру, которое является одновременно и аттрактором и репеллером, и в то же время не притягивает и не отталкивает никаких траекторий. В указанной работе, по существу, были заложены основы математической теории смешанной динамики.

Несмотря на то, что смешанная динамика открыта сравнительно недавно, уже известно большое число моделей, в которых она наблюдается. В численных экспериментах это явление впервые обнаружено в работах А. Гонченко, С. Гонченко и диссертанта, посвященных исследованию неголономных моделей кельтского камня и волчка Чаплыгина. В результате этих исследований стало понятно, что смешанная динамика - это типичное явление для неинтегрируемых неголономных систем без гладкой инвариантной меры. Позже, в работах Бизяева, Борисова, Мамаева, Круглова, С.П. Кузнецова это было подтверждено и для ряда других неголономных моделей. Важно отметить, что, как мы сейчас знаем, модели со смешанной динамикой появились задолго до того как она была открыта. Это известные модели двумерных обратимых отображений, рассмотренных в работах По-лити, Квиспела, Робертса и др. Особо отметим здесь работу Пиковского и Топажа (2002), в которой смешанная динамика была, фактически, проиллюстрирована на примере цепочек симметрично связанных осцилляторов. Позднее существование смешанной динамики в этой модели было установлено в работе диссертанта (2017 г.).

Среди физических работ по смешанной динамики следует также отметить цикл недавних статей Емельяновой и Некоркина, посвященных изучению хаотической динамики в системе двух адаптивно связанных нейроноподобных элементов. Обнаруженная здесь смешанная динамика, как показали авторы, отвечает новым типам нейроподобных колебаний, характеризующийся специфическим распределением межспайковых интервалов. Здесь важно отметить, что в этих работах смешанная динамика была обнаружена в системах общего положения - до этого все известные ее примеры относились к обратимым (реверсивным) системам, симметричным по отношению к обращению времени.

Цели и задачи исследования. Цель диссертационной работы - разработка новых качественных и численных методов исследования многомерного динамического хаоса и применение этих методов к анализу динамических систем, важных как с теоретической, так и прикладной точек зрения. Для достижения поставленных целей рассмотрены следующие задачи:

• Разработка эффективно проверяемых методов проверки псевдогиперболичности странных аттракторов многомерных динамических систем.

• Построение новых примеров динамических систем, демонстрирующих псевдогиперболические аттракторы, а также изучение сценариев их возникновения.

• Разработка сценариев перехода от консервативной и диссипативной динамики к смешанной. Построение критериев существования смешанной динамики в обратимых системах.

• Разработка методов исследования вопроса об интегрируемости обратимых динамических систем.

• Исследование прикладных проблем неголономной механики, гидродинамики, теории цепочек взаимодействующих осцилляторов.

• Разработка программного комплекса, реализующего созданные новые численные методы исследования многомерных динамических систем.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись качественные и аналитические методы теории динамических систем. При исследовании конкретных систем (неголономные модели динамики твердого тела, модели гидродинамики и др.) применялись методы прикладной теории бифуркаций, а также численные методы (построение диаграмм показателей Ляпунова, продолжение по параметру, численные методы проверки псевдогиперболичности, метод диаграмм символической динамики и др.). Численные методы реализованы на языке Си++ в рамках программного комплекса «Компьютерная динамика: Хаос» (патенты RU 2014619001 и RU 2016660109). Для ускорения работы методов применялись технологии Qt threads и CUDA API.

Теоретическая и практическая значимость.

Псевдогиперболические аттракторы. До недавнего времени в теории динамического хаоса известные примеры настоящих хаотических аттракторов ограничивались лишь равномерно-гиперболическими аттракторами (аттракторы Смейла-Вильямса, Аносова, Плы-кина и т.п.) и аттракторами Лоренца. Возникшая в 1998 г. теория псевдогиперболических аттракторов представляла собой весьма многообещающую математическую теорию, в которой, по сути, не было примеров таких аттракторов, наблюдаемых в конкретных моделях. Эта большая проблема решена в рамках диссертационного исследования. В данной работе представлено четыре примера диких псевдогиперболических аттракторов: дикий спиральный аттрактор в четырехмерной системе дифференциальных уравнений и - в трехмерных отображениях - дискретный аттрактор Лоренца, восьмерочный аттрактор и гетерокли-нический аттрактор Лоренца. Таким образом, к классу настоящих аттракторов, помимо гиперболических и лоренцевских аттракторов, добавился еще и целый ряд новых псевдогиперболических диких аттракторов, что является существенным вкладом в теорию динамического хаоса и в теорию динамических систем в целом.

Помимо исследования конкретных моделей и обнаружения новых типов диких псевдогиперболических аттракторов соискателем предложен набор численных методов, реализованных в рамках программного комплекса, позволяющий ответить на один из главных вопросов теории динамических систем: является ли наблюдаемый в численном эксперименте странный аттрактор настоящим хаотическим или же это лишь длительный переходный процесс, после которого траектория убегает на устойчивый регулярный режим. Таким образом, практическая значимость полученных результатов состоит в том, что у специалистов из разных областей точного естествознания, физики, биологии, химии и т.п.

появилась реальная возможность находить псевдогиперболические аттракторы в сложных прикладных моделях, а также эффективно исследовать их динамические свойства.

Смешанная динамика. Теория смешанной динамики, как третьей формы динамического хаоса, для которого хаотический аттрактора неустранимым образом пересекается с хаотическим репеллером, разработана совсем недавно. Поэтому любое открытие в данной области является существенным продвижением соответствующей теории. Автором диссертационного исследования открыт ряд новых явлений в области теории смешанной динамики и ее приложений: обнаружен новый ее тип - сильно-диссипативная смешанная динамика, а также ряд новых сценариев мгновенного возникновения смешанной динамики в результате столкновения как простых, так и странных аттракторов и репеллеров. На основе теории смешанной динамики предложен новый метод, позволяющий отвечать на вопросы об интегрируемости многомерных динамических систем, в частности, решена задача В.В. Козлова. Открытые явления также позволили объяснить возникновение неустранимого пересечения аттрактора и репеллера в модели Пиковсого-Топажа четырех связанных осцилляторов, мгновенное возникновение смешанной динамики в неголоном-ной модели волчка Суслова, а также в модели двух точечных вихрей в поле акустической волны.

К настоящему времени уже известно достаточно много конкретных моделей, в которых наблюдается смешанная динамика. Диссертантом создан оригинальный программный комплекс, реализующий численные методы, предназначенные для исследования систем различной природы не только со смешанной динамикой, но и со всеми тремя возможными типами динамического хаоса.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Казаков Алексей Олегович, 2021 год

Список литературы

[1] Аносов Д.В., Арансон С.Х., Гринес В.З., Плыкин Р.В., Сатаев Е.А., Сафонов А.В., Солодов В.В., Старков А.Н., Степин А.М., Шлячков С.В. Динамические системы с гиперболическим поведением //Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». М.: ВИНИТИ, 66, 1991, cc. 5-242.

[2] Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow //Journal of atmospheric sciences, 20(2) (1963), pp. 130-141.

[3] Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца //Доклады Академии наук. - Российская академия наук, 234 (1977), pp. 336-339.

[4] Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца //Труды Московского математического общества, 44 (1982), C. 150-212.

[5] Тураев Д. В., Шильников Л. П. Пример дикого странного аттрактора //Математический сборник, 189(2) (1998), С. 137-160.

[6] Afraimovich, V.S. and Shilnikov, L.P. Strange attractors and quasiattractors //Strange attractors and quasiattractorsNonlinear Dynamics and Turbulenceed (G.I. Barenblatt, G. Iooss and D.D. Joseph (Boston, MA: Pitmen))-1983.

[7] Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Lyapunov analysis of strange pseudohyperbolic attractors: angles between tangent subspaces, local volume expansion and contraction //Regular and Chaotic Dynamics, 23(7) (2018), pp. 908-932.

[8] Galias Z., Tucker W. Is the Henon attractor chaotic? //International Journal of Bifurcation and Chaos, 25(3) (2015), p. 033102.

[9] Shil'nikov A.L., Shil'nikov L.P., Turaev D.V. Normal forms and Lorenz attractors //International Journal of Bifurcation and Chaos, 3(05) (1993), pp. 1123-1139.

[10] Newhouse S.E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms //Publications Mathematiques de l'IHES, 50 (1979), pp. 101-151.

[11] Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I., Siino C. and Turaev D. 2005 Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors //International Journal of Bifurcation and Chaos, 15(11) (2005), pp. 3493-3508.

[12] Shilnikov A.L. Bifurcation and chaos in the Morioka-Shimizu system Methods of Qualitative Theory of Differential Equations (Gorky University Press), 1986, pp. 180-93.

[13] Shilnikov A.L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka model //Physica D: Nonlinear Phenomena, 62(1-4) (1993), pp. 338-346.

[14] Tucker W. The Lorenz attractor exists //Comptes Rendus de l'Academie des Sciences-Series I-Mathematics, 328.12 (1999), pp. 1197-1202.

[15] Тураев Д. В., Шильников Л. П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа //Доклады Академии наук, 418(1) (2008), C. 23-27.

[16] Gonchenko S., Karatetskaia E., Kazakov A., Safonov K., Turaev D. On new discrete attractors of Lorenz type in orientation reversing three-dimensional Henon Maps and the bifurcation (-1, i, -i) (в работе, 2022).

[17] Гонченко А. С., Гонченко С. В., Шильников Л. П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений //Нелинейная динамика, 8(1) (2012), cc. 3-28.

[18] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела: Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. - Научно-издательский центр"Регулярная и хаотическая динамика 2005.

[19] Guckenheimer J. A strange, strange attractor The Hopf Bifurcation Theorem and its Applications (Berlin: Springer) (1976), pp. 368-81.

[20] Guckenheimer J., Williams R.F. Structural stability of Lorenz attractors Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 50 (1979), pp. 59-72.

[21] Shilnikov L.P. The bifurcation theory and quasi-hyperbolic attractors //Uspehi Mat. Nauk, 36 (1981), pp. 240-241.

[22] Capinski M.J, Turaev D., Zgliczynski P.Computer assisted proof of the existence of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka system //Nonlinearity, 31(12) (2018), p. 5410.

[23] Lyubimov D.V., Zaks M.A. Two mechanisms of the transition to chaos in finite-dimensional models of convection //Physica D: Nonlinear Phenomena, 9(1—2) (1983), pp. 52-64.

[24] Chua L.O., Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V. Methods Of Qualitative Theory In Nonlinear Dynamics (Part Ii). 5 World Scientific, 2001.

[25] Rovella A. The dynamics of perturbations of the contracting Lorenz attractor //Boletim da Sociedade Brasileira de Matemnatica-Bulletin/Brazilian Mathematical Society, 24(2) (1993), pp. 233-259.

[26] Morales C. A., Pacifico M. J., Martin B. S. Contracting Lorenz attractors through resonant double homoclinic loops //SIAM journal on mathematical analysis, 38(1) (2006), pp. 309332.

[27] Gonchenko A. S., Gonchenko S. V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps //Physica D: Nonlinear Phenomena, 337 (2016), pp. 43-57.

[28] Гонченко С. В., Тураев Д. В. О трех типах динамики и понятии аттрактора //Труды Математического института имени ВА Стеклова 297 (2017), сс. 133-157.

[29] Kazakov A. O. Strange attractors and mixed dynamics in the problem of an unbalanced rubber ball rolling on a plane //Regular and Chaotic Dynamics, 18(5) (2013), pp. 508-520.

[30] Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone //Regular and Chaotic Dynamics, 18(5) (2013), pp. 521-538.

[31] Козлов В.В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики //Успехи механики, 8(3) (1985), сс. 85-101.

[32] Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them,. Part 1: Theory //Meccanica, 15(1) (1980), pp. 9-20.

[33] Pikovsky A., Topaj D., Reversibility vs. synchronization in oscillator latties, Physica D: Nonlinear Phenomena, 170 (2002), pp. 118-130.

[34] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. On Newhouse domains of two-dimensional diffeomorphisms which are close to a diffeomorphism with a structurally unstable heteroclinic cycle //In Proc. Steklov Inst. Math, 216 (1997), pp. 70-118.

[35] Lamb J. S. W., Stenkin O. V. Newhouse regions for reversible systems with infinitely many stable, unstable and elliptic periodic orbits //Nonlinearity, 17(4) (2004), p. 1217.

[36] Lerman L.M., Turaev D.V. Breakdown of Symmetry in Reversible Systems //Regul. Chaotic Dyn., 17(3-4) (2012), pp. 318-336.

[37] Delshams A., Gonchenko S. V., Gonchenko V. S., Lazaro J. T., Stenkin, O. Abundance of attracting, repelling and elliptic periodic orbits in two-dimensional reversible maps //Nonlinearity, 26(1) (2012), pp. 1.

[38] Galias Z., Tucker W. Is the Henon attractor chaotic? // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 25(3) (2015), p. 033102.

[39] Chigarev V., Kazakov A., Pikovsky A., Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 30(7) (2020), p. 073114.

[40] Козлов В. В., Афонин А.А. Задача о падении диска, движущегося по горизонтальной плоскости //Изв. РАН. Мех. тв. тела, 1 (1997) сс. 7-13.

[41] Kozlov V. V. Several Problems on Dynamical Systems and Mechanics //Nonlinearity, 21(9) (2008), pp. 149-155.

[42] Bizyaev I. A., Borisov A. V., Mamaev I. S.. An Invariant Measure and the Probability of a Fall in the Problem of an Inhomogeneous Disk Rolling on a Plane // Regular and Chaotic Dynamics, 23(6) (2018), pp. 665-684.

[43] Afonin A. A., Kozlov V. V. The fall problem for a disk moving on a horizontal plane //Mechanics of Solids (1997), 32(1), pp. 4-9.

[44] Afraimovich V. Shilnikov L. P. Invariant two-dimensional tori, their breakdown and stochasticity // Am. Math. Soc. Transl. (1991), 149, pp. 201-212.

[45] Afraimovich V. S. Shilnikov L. P., On small periodic perturbations of autonomous systems //in Doklady Akademii Nauk (1974), 214, pp. 739-742.

[46] Afraimovich V. S., Bykov V. V., Shilnikov L. P. On the existence of stable periodic orbits in the Lorenz model //Russian Math. Surveys (1980), 36.

[47] Afraimovich V. S., Shilnikov L. P. Nonlinear Dynamics and Turbulence //eds. G. I. Barenblatt, G. Iooss and D. Joseph (Pitman Advanced Publishing Program, Boston). (1983).

[48] Afraimovich V. S., Vozovoi L. P. Mechanism of the generation of a two-dimensional torus upon loss of stability of an equilibrium state //Soviet Physics Doklady (1988), 33, p. 720.

[49] Afraimovich V. S., Vozovoi L. P. The mechanism of the hard appearance of a two-frequency oscillation mode in the case of Andronov-Hopf reverse bifurcation //Journal of Applied Mathematics and Mechanics. (1989), 53(1), pp. 24-28.

[50] Afraimovich V. S., Shilnikov L. P. Some global bifurcations connected with vanishing of a fixed-point of saddle-node type // Dokl. Akad. Nauk SSSR (1974), 219, pp. 1281-1284.

[51] Aleshkevich V. A., Dedenko, L.G., and Karavaev, V. A., Lectures on Solid Mechanics //Moscow: Mosk. Gos. Univ. (1997).

[52] Anishchenko V. S. Stochastic oscillations in radiophysical systems: P. 2 //Saratov: Saratov Gos. Univ. (1986).

[53] Anishchenko, V. S. Complicated Oscillations in Simple Systems //Moscow: Nauka (1990).

[54] Anishenko V. S., Nikolaev S. M. Bifuraction doubling of the two-dimension torus //Letters to JTPH (2005), 31, pp. 88-94.

[55] Anosov D.V., Aranson S.Kh., Bronshtein I.U., Grines V.Z. Dynamical Systems I: Ordinary Differential Equations and Smooth Dynamical Systems //Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer (1994).

[56] Anosov D. V. Geodesic flows on closed Riemannian manifolds of negative curvature // Trudy Mat. Inst. Steklov (1967), 90, pp. 3-210.

[57] Anosov D. V., and Bronshtein, I. U. Topological dynamics // Dynamical Systems I. Springer, Berlin, Heidelberg (1985), pp. 224-227.

[58] Anosov D. V., and Solodov, V. V. Hyperbolic sets // Dynamical Systems IX. Springer, Berlin, Heidelberg (1991), pp. 12-99.

[59] Araujo V., Castro A., Pacifico M., and Pinheiro V. Multidimensional Rovella-like attractors //Journal of Differential Equations (2011), 251, pp. 3163-3201.

[60] Arecchi F.T., Lapucci A., Meucci R., Roversi J. A., and Coullet P. H. Experimental Characterization of Shil'nikov Chaos by Statistics of Return Times //Europhys. Lett. (1988), 6(8), pp. 677-682.

[61] Arecchi F.T., Meucci R., and Gadomski W. Laser Dynamics with Competing Instabilities //Phys. Rev. Lett. (1987), 58(21), pp. 2205-2208.

[62] Argoul F., Arneodo A., and Richetti P. Experimental Evidence for Homoclinic Chaos in the Belousov-Zhabotinskii Reaction //Phys. Lett. A. (1987), 120(6), pp. 269-275.

[63] Arneodo A, Coullet P H, Spiegel E A and Tresser C. Asymptotic chaos //Physica D. (1985), 14, pp. 327-47.

[64] Arneodo A., Coullet P. H., Spiegel E. A. The dynamics of triple convection //Geophysical, and Astrophysical Fluid Dynamics (1985), 31(1—2), pp. 1-48.

[65] Arneodo A., Argoul F., Elezgaray J., and Richetti, P. Homoclinic Chaos in Chemical Systems Phys. D. (1993), 62(1—4), pp. 134-169.

[66] Arneodo A., Coullet P., and Tresser C. Occurence of strange attractors in three-dimensional Volterra equations //Phys. Lett. A. (1980), 79, 259-263.

[67] Arneodo A., Coullet P., and Tresser C. Possible new strange attractors with spiral structure //Commun. Math. Phys. (1981), 79, pp. 573-579.

[68] Arneodo A., Coullet P., and Tresser C. Oscillators with chaotic behavior: An illustration of a theorem by Shilnikov //J. Statist. Phys. (1982), 27, pp. 171-182.

[69] Arneodo A., Coullet P. H., and Spiegel E.A. Cascade of Period Doublings of Tori //Phys. Lett. A. (1983), 94(1), pp. 1-6.

[70] Arnold V. I. Normal forms for functions near degenerate critical points, the Weyl groups of A_k, D_k, E_k and Lagrangian singularities //Funktsional'nyi Analiz i ego Prilozheniya (1972), 6(4), pp.3-25.

[71] Arnold V. I., Kozlov V.V., and Neishtadt A. I. Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics 3rd ed., Encyclopaedia Math. Sci. (2006), 3.

[72] Aronson D. G. et al. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: a computer-assisted study //Communications in Mathematical Physics (1982), 83(3), pp. 303-354.

[73] Astapov I. S. On the stability of rotation of the Celtic stone //Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat., Mekh. (1980), 2, pp. 97-100.

[74] Astapov I. S. On Rotation Stability of Celtic Stone //Vestn. Mosk. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh. (1980), 2, pp. 97-100.

[75] Baier, G. and Klein, M., Maximum Hyperchaos in Generalized Hénon Maps //Phys. Lett. A. (1990), 151(6—7), pp. 281-284.

[76] Bakhanova Y.V., Kazakov A.O., Korotkov A.G., Levanova T.A. and Osipov G.V. Spiral attractors as the root of a new type of "bursting activity" in the Rosenzweig-MacArthur model //Eur. Phys. J. Spec. Top. (2018), 227, pp. 959-970.

[77] Barrio R., Shilnikov A., Shilnikov L. Kneadings, symbolic dynamics and painting Lorenz chaos //International Journal of Bifurcation and Chaos (2012), 22(04), p. 1230016.

[78] Barrio, R., Blesa, F., Serrano, S., and Shilnikov, A. Global Organization of Spiral Structures in Biparameter Space of Dissipative Systems with Shilnikov Saddle-Foci //Phys. Rev. E. (2011), 84(3), p. 035201.

[79] Barrio R., Martinez M. A., Serrano S., and Wilczak D. When Chaos Meets Hyperchaos: 4D Rossler Model //Phys. Lett. A (2015), 379(38), pp. 2300-2305.

[80] Bassett M. R. and Hudson J. L. Shilnikov Chaos during Copper Electrodissolution //J. Phys. Chem. (1988), 92(24), pp. 6963-6966.

[81] Belykh V., Belykh I., Mosekilde E. Hyperbolic Plykin attractor can exist in neuron models //International Journal of Bifurcation and Chaos (2005), 15(11), pp. 3567-3578.

[82] Belykh V. N. Chaotic and strange attractors of a two-dimensional map //Sbornik: Mathematics (1995), 186(3), p. 311.

[83] Belykh V.N. and Nekorkin V. I. Qualitative Investigation of a System of Three Differential Equations in the Theory of Phase Synchronization //J. Appl. Math. Mech. (1975), 39(4), pp. 615-622.

[84] Benedicks M., Carleson L. On iterations of 1-ax2 on (-1, 1) //Annals of Mathematics (1985), pp. 1-25.

[85] Benedicks M., Carleson L. The dynamics of the Hénon map //Annals of Mathematics (1991), 133, pp. 73-169 .

[86] Bizyaev I. A., Borisov A.V., and Mamaev I. S. The Dynamics of Nonholonomic Systems Consisting of a Spherical Shell with a Moving Rigid Body Inside //Regul. Chaotic Dyn. (2014), 19(2), pp. 198-213.

[87] Bochner S. Compact groups of differentiable transformation //Annals of Mathematics (1945), pp. 372-381.

[88] Bolsinov A.V., Borisov A. V., and Mamaev I. S. Rolling of a Ball without Spinning on a Plane: The Absence of an Invariant Measure in a System with a Complete Set of Integrals //Regul. Chaotic Dyn. (2012), 17(6), pp. 571-579.

[89] Bolsinov A.V., Borisov A. V., and Mamaev I. S. Topology and Stability of Integrable Systems //Russian Math. Surveys (2010), 65(2), pp. 259-317.

[90] Bolsinov A.V., Borisov A. V., Mamaev I. S. Geometrisation of Chaplygin's reducing multiplier theorem //Nonlinearity (2015), 28(7), pp. 2307-2318.

[91] Bonatti C., Diaz L.J. Persistent nonhyperbolic transitive diffeomorphisms //Ann. Math. (1996), 143, pp. 357-96.

[92] Bonatti C., Diaz L., Pujals E. A Cl-generic dichotomy for diffeomorphisms: weak forms of hyperbolicity or infinitely many sinks or sources //Ann. Math. (2003), 158, pp. 355-418

[93] Bonatti C., Diaz L., Viana M. Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity: A Global Geometric and Probabilistic Perspective //Encyclopaedia of Mathematical Sciences (2005), 102.

[94] Borisov A. V., Fedorov Yu. N. On Two Modified Integrable Problems in Dynamics //Mosc. Univ. Mech. Bull. (1995), 50(6), pp. 16-18.

[95] Borisov A. V., Kuznetsov S.P. Regular and Chaotic Motions of a Chaplygin Sleigh under Periodic Pulsed Torque Impacts //Regul. Chaotic Dyn. (2016), 21(7), pp. 792-803.

[96] Borisov A. V., Mamaev I. S. Conservation Laws, Hierarchy of Dynamics and Explicit Integration of Nonholonomic Systems //Regul. Chaotic Dyn. (2008), 13(5), pp. 443-490.

[97] Borisov A. V., Mamaev I. S. Dynamics of a Rigid Body: Hamiltonian Methods, Integrability, Chaos //2nd ed., Izhevsk: R&C Dynamics, Institute of Computer Science, (2005).

[98] Borisov A. V., Mamaev I. S. Strange Attractors in Rattleback Dynamics //Physics Uspekhi (2003), 46(4), pp. 393-403.

[99] Borisov A. V., Mamaev I. S. The Rolling Motion of a Rigid Body on a Plane and a Sphere: Hierarchy of Dynamics //Regul. Chaotic Dyn. (2002), 7(2), pp. 177-200.

[100] Borisov A. V., Mamaev I. S. Strange attractors in rattleback dynamics //Physics Uspekhi (2003), 46(4), p. 393.

[101] Borisov A. V., Fedorov, Yu. N., Mamaev I. S. Chaplygin Ball over a Fixed Sphere: An Explicit Integration //Regul. Chaotic Dyn. (2008), 13(6), pp. 557-571.

[102] Borisov A. V., Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Sedova J. V. Dynamical Phenomena Occurring due to Phase Volume Compression in Nonholonomic Model of the Rattleback Regul. Chaotic Dyn. (2012), 17(6), pp. 512-532.

[103] Borisov A. V., Kilin A.A., Mamaev I. S. Hamiltonicity and Integrability of the Suslov Problem //Regul. Chaotic Dyn. (2011), 16(1-2), pp. 104-116.

[104] Borisov A. V., Kilin A.A., Mamaev I. S. How to Control Chaplygin's Sphere Using Rotors //Regul. Chaotic Dyn. (2012), 17(3-4), pp. 258-272.

[105] Borisov A. V., Kilin A.A., Mamaev I. S. New Effects in Dynamics of Rattlebacks //Dokl. Phys. (2006), 51(5), pp. 272-275.

[106] Borisov A. V., Kilin A.A., Mamaev I. S. The Problem of Drift and Recurrence for the Rolling Chaplygin Ball //Regul. Chaotic Dyn. (2013), 18(6), pp. 832-859.

[107] Borisov A. V., Kilin A.A., Mamaev I. S. New Effects in Dynamics of Rattlebacks //Dokl. Phys. (2006), 51(5), pp. 272-275.

[108] Borisov A. V., Mamaev I. S., Bizyaev I. A., The Hierarchy of Dynamics of a Rigid Body Rolling without Slipping and Spinning on a Plane and a Sphere //Regul. Chaotic Dyn. (2013), 18(3), pp. 277-328.

[109] Borisov A. V., Mamaev I. S., Bizyaev, I. A., The Jacobi Integral in Nonholonomic Mechanics //Regul. Chaotic Dyn. (2015), 20(3), pp. 383-400.

[110] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A.A. Rolling of a Ball on a Surface: New Integrals and Hierarchy of Dynamics //Regul. Chaotic Dyn. (2002), 7(2), pp. 201-219.

[111] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A.A. Stability of Steady Rotations in the Nonholonomic Routh Problem //Regul. Chaotic Dyn. (2008), 13(4), pp. 239-249.

[112] Borisov A. V., Mamaev I. S., Kilin A.A. The Rolling Motion of a Ball on a Surface: New Integrals and Hierarchy of Dynamics //Regul. Chaotic Dyn. (2002), 7(2), pp. 201-219.

[113] Borisov A.V., Kazakov A.O., Kuznetsov S.P. Nonlinear Dynamics of the Rattleback: A Nonholonomic Model //Physics-Uspekhi (2014), 57(5), pp. 453-460.

[114] Borisov A.V., Kazakov A.O., Pivovarova E.N. Regular and Chaotic Dynamics in the Rubber Model of a Chaplygin Top //Regul. Chaotic Dyn., 2016, 21(7), pp. 885-901.

[115] Borisov A.V., Mamaev I. S., Bizyaev I.A. Historical and Critical Review of the Development of Nonholonomic Mechanics: The Classical Period //Regul. Chaotic Dyn. (2016), 21(4), pp. 455-476.

[116] Bosch M., Simo C. Attractors in a Silnikov-Hopf scenario and a related one-dimensional map //Physica D: Nonlinear Phenomena (1993), 62(1—4), pp. 217-229.

[117] Braun Th., Lisboa J. A., Gallas J. A. C. Evidence of Homoclinic Chaos in the Plasma of a Glow Discharge Phys. Rev. Lett. (1992), 68(18), pp. 2770-2773.

[118] Broer H., Simo C., Vitolo R. Bifurcations and Strange Attractors in the Lorenz-84 Climate Model with Seasonal Forcing //Nonlinearity (2002), 15(4), pp. 1205-1267.

[119] Bykov V.V. The generation of periodic motions from the separatrix contour of a three-dimensional system //Usp. Mat. Nauk (1977), 32, p. 213.

[120] Bykov V.V. On the generation of a non-trivial hyperbolic set from a contour formed by separatrices of saddles Methods of Qualitative Theory and Bifurcation Theory (1988), pp. 22-32.

[121] Bykov V.V. The bifurcations of separatrix contours and chaos //Physica D (1993), 62, pp. 290-299.

[122] Bykov V.V., Shilnikov A.L. On the boundaries of the domain of existence of the Lorenz attractor //Methods of Qualitative Theory and Bifurcation Theory (1989), pp. 151-159.

[123] Bykov V. V. On the structure of a neighborhood of a separatrix contour with a saddle-focus //Methods of the Qualitative Theory of Differencial Equations, Gorky (1978), pp. 3-32.

[124] Bykov V. V. On bifurcations of dynamical systems close to systems with a separatrix contour containing a saddle-focus //Methods of the Qualitative Theory of Differencial Equations, Gorky (1980), pp. 44-72.

[125] Capinski M.J., Zgliczynski P. Beyond the Melnikov method: a computer assisted approach //J. Differ. Equ. (2017), 262, pp. 365-417.

[126] Capinski M. J., Wasieczko-Zajac A. Computer-assisted proof of Shilnikov homoclinics: With application to the Lorenz-84 model // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. (2016), 16, pp. 1453-1473.

[127] Chaplygin S. A. On a Ball's Rolling on a Horizontal Plane //Regul. Chaotic Dyn. (2002), 7(2), pp. 131-148.

[128] Chedjou J.C., Woafo P., Domngang S., Shilnikov L. Chaos and Dynamics of a Self-Sustained Electromechanical Transducer //J. Vib. Acoust. (2001), 123(2), pp. 170-174.

[129] Chenciner A. and Iooss G., Bifurcations de tores invariants //Arch. Ration. Mech. Anal. (1979), 69, pp. 109-198.

[130] Chenciner A. Bifurcations de points fixes elliptiques. I. Courbes invariantes //IHES Publ. Math. (1985), 61, pp.67-127; II. Orbites periodiques et ensembles de Cantor invariants //Invent. Math. (1985), 80, pp. 81-106; III. Orbites periodiques de petites periodes et elimination resonante des couples de courbes invariantes //IHES Publ. Math. (1987), 66, pp. 5-91.

[131] Chigarev V., Kazakov A., Pikovsky A. Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller //Chaos (2020), 30, p. 073114.

[132] Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The Double Scroll Family:2 //Rigorous Analysis of Bifurcation Phenomena (1986), 33(11), pp. 1097-1118.

[133] Colli E. Infinitely many coexisting strange attractors //Ann. IHP, Anal. Non Lineaire (1998), 15, pp. 539-579.

[134] Conley C. C. Isolated invariant sets and the Morse index //American Mathematical Soc. (1978), 38.

[135] Creaser J. L., Krauskopf B., Osinga H. M. Finding first foliation tangencies in the Lorenz system //SIAM Journal on Applied Dynamical Systems (2017), 16, pp. 2127-2164.

[136] Curry J. H., Yorke J. A. The Structure of Attractors in Dynamical Systems //Lecture Notes Math. 668, eds. J. C. Martin, N. G. Markley and W. Perrizo. Springer, Berlin (1978), pp. 48-66

[137] Cvitanovic P., Gunaratne G. H., Procaccia I., Topological and metric properties of Henon-type strange attractors // Phys. Rev. A (1988), 38, p. 1503.

[138] Dawson S., Grebogi C., Sauer T., Yorke J. A. Obstructions to shadowing when a Lyapunov exponent fluctuates about zero //Phys. Rev. Lett. (1994), 73, p. 1927.

[139] De Carvalho A., Lyubich M., Martens M. Renormalization in the Henon family, I: Universality but non-rigidity //Journal of Statistical Physics (2005), 121(5), pp. 611-669.

[140] De Witte V., Govaerts W., Kuznetsov Y. A., Friedman M. Interactive initialization and continuation of homoclinic and heteroclinic orbits in matlab //ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS) (2012), 38, pp. 1-34.

[141] Delshams A., Gonchenko M., Gonchenko S.V., Lazaro J.T., Mixed dynamics of 2-dimensional reversible maps with a symmetric couple of quadratic homoclinic tangencies //Discrete Contin. Dyn. Syst. A. (2018), 38:9, pp. 4483-4507.

[142] Dhooge A., Govaerts W., Kuznetsov Y. A., Meijer H. G. E., Sautois B. New features of the software matcont for bifurcation analysis of dynamical systems //Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems (2008), 14, pp.147-175.

[143] Dmitriev A. S., Komlev U. A., Turaev D. V. Bifurcation Phenomena in the 1:1 Resonant Horn for the Forced Van Der POL—DUFFING Equation //International Journal of Bifurcation and Chaos (1992), 2(01), pp. 93-100.

[144] Dobrynskii, V.A., Sharkovskii A.N., Typicalness of dynamical systems almost all paths of which are stable under permanently acting perturbations //Sov. Math., Dokl. (1973), 14, pp. 997-1000.

[145] Doedel E. J., Krauskopf B., Osinga H. M. Global bifurcations of the Lorenz manifold //Nonlinearity (2006), 19, p. 2947.

[146] Dullin H.R., Meiss J. D. Quadratic Volume-Preserving Maps: Invariant Circles and Bifurcations //SIAM J. Appl. Dyn. Syst. (2009), 8(1), pp. 76-128.

[147] Eilertsen J. S., Magnan J. F. Asymptotically exact codimension-four dynamics and bifurcations in two-dimensional thermosolutal convection at high thermal Rayleigh number: Chaos from a quasi-periodic homoclinic explosion and quasi-periodic intermittency // Physica D (2018), 382, pp. 1-21

[148] Emelianova A. A., Nekorkin V. I. On the intersection of a chaotic attractor and a chaotic repeller in the system of two adaptively coupled phase oscillators //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science (2019), 29(11), p. 111102.

[149] Fasso F. and Sansonetto N. Conservation of Energy and Momenta in Nonholonomic Systems with Affine Constraints //Regul. Chaotic Dyn. (2015), 20(4), pp. 449-462.

[150] Fedorov Yu.N., Maciejewski A. J., Przybylska M. Suslov Problem: Integrability, Meromorphic and Hypergeometric Solutions //Nonlinearity (2009), 22(9), pp. 2231-2259.

[151] Feigenbaum M. J. Universal behavior in nonlinear systems //Physica D: Nonlinear Phenomena (1983), 7(1-3), pp. 16-39.

[152] Fernandez O. E., Bloch A.M., and Zenkov D. V. The Geometry and Integrability of the Suslov Problem //J. Math. Phys. (2014), 55(11), p. 112704.

[153] Feudel U., Kuznetsov S., Pikovsky A. Strange Nonchaotic Attractors: Dynamics between Order and Chaos in Quasiperiodically Forced Systems //World Scientific Series on Nonlinear Sci. Ser. A (2006), 56.

[154] Feudel U., Neiman A., Pei X., Wojtenek W., Braun H., Huber M., Moss F. Homoclinic Bifurcation in a Hodgkin-Huxley Model of Thermally Sensitive Neurons //Chaos (2000), 10(1), pp. 231-239.

[155] Garashchuk I. R., Sinelshchikov D. I., Kazakov A. O., Kudryashov N. A., Hyperchaos and multistability in the model of two interacting microbubble contrast agents //Chaos (2019), 29, p. 063131.

[156] Garcia-Naranjo L.C., Maciejewski A. J., Marrero J.C., Przybylska M. The Inhomogeneous Suslov Problem //Phys. Lett. A (2014), 378(32-33), pp. 2389-2394.

[157] Gaspard P. and Nicolis G. What can we learn from homoclinic orbits in chaotic dynamics? //J. Stat. Phys. (1983), 31, pp. 499-518.

[158] Gaspard P., Kapral R. and Nicolis G. Bifurcation phenomena near homoclinic systems: a two-parameter analysis //J. Stat. Phys. (1984), 35, pp. 697-727.

[159] Gavrilov N., Shilnikov L., On three-dimensional dynamical systems close to systems with a structurally unstable homoclinic curve. I // Math. USSR Sbornik (1972), 17, p. 467.

[160] Gavrilov N. K. On bifurcations of periodic orbits near inner resonance 1:3 //Investigations on Stability and the Theory of Oscillations. Yaroslavl (1977), pp. 192-199.

[161] Gavrilov N. K., and Shilnikov L. P. On three-dimensional dynamical systems close to systems with a structurally unstable homoclinic curve. II // Math. USSR Sb. (1973), 19, pp. 139-156.

[162] Ginelli F., Poggi P., Turchi A., Chate H., Livi R., Politi A. Characterizing dynamics with covariant Lyapunov vectors //Phys. Rev. Lett. (2007), 99, p. 130601.

[163] Golmakani A., Homburg A.J. Lorenz attractors in unfoldings of homoclinic-flip bifurcations //Dyn. Syst. (2011), 26, pp. 61-76.

[164] Gonchar V. Y., Ostapchuk P. N., Tur A. V., Yanovsky V. V., Dynamics and stochasticity in a reversible system describing interaction of point vortices with a potential wave //Physics Letters A (1991), 152(5-6), pp. 287-292.

[165] Gonchenko A.S., Samylina E.A. On the region of existence of a discrete Lorenz attractor in the nonholonomic model of a celtic stone //Radiophys Quantum Electron (2019), 62, pp. 369-384.

[166] Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O. On some new aspects of Celtic stone chaotic dynamics //Russian Journal of Nonlinear Dynamics (2012), 8(3), pp. 507-518.

[167] Gonchenko S. and Ovsyannikov I. Homoclinic tangencies to resonant saddles and discrete Lorenz attractors //Discrete Continuous Dyn. Syst. - Ser. S (2017), 10, pp. 273-88

[168] Gonchenko S.V. Stable periodic motions in systems close to a structurally unstable homoclinic curve //Math. Notes Acad. Sci. USSR (1983), 33, pp. 384-389.

[169] Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I. On global bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms leading to Lorenz-like attractors //Math. Model. Nat. Phenom. (2013), 8, pp. 71-83.

[170] Gonchenko S.V., Gonchenko V.S., Tatjer J. C. Bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with non-simple quadratic homoclinic tangencies and generalized Henon maps //Regul. Chaotic Dyn. (2007), 12, pp. 233-66.

[171] Gonchenko S.V., Meiss J.D., Ovsyannikov I.I. Chaotic dynamics of three-dimensional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation //Regul. Chaotic Dyn. (2006), 11, pp. 191-212.

[172] Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I., Tatjer J.C. Birth of discrete Lorenz attractors at the bifurcations of 3D maps with homoclinic tangencies to saddle points //Regul. Chaotic Dyn. (2014), 19, pp. 495-505.

[173] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V On models with non-rough Poincare homoclinic curves //Physica D (1993), 62, pp. 1-14.

[174] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits //Chaos (1996), 6, pp. 15-31.

[175] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V Quasiattractors and homoclinic tangencies //Comput. Math. Appl. (1997), 34, pp. 195-227.

[176] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions: I //Nonlinearity (2008), 21, pp. 923-72.

[177] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. On global bifurcations in three-dimensional diffeomorphisms leading to wild Lorenz-like attractors //Regul. Chaotic Dyn. (2009), 14, pp. 137-147.

[178] Gonchenko S.V., Turaev D.V, Shilnikov L.P. On the existence of Newhouse regions near systems with non-rough Poincare homoclinic curve (multidimensional case) //Russ. Acad. Sci. Dokl. Math. (1993), 47, pp. 410-415.

[179] Gonchenko S., Turaev D. and Shilnikov L. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps //Nonlinearity (2007), 20, pp. 241275.

[180] Gonchenko S. V., Stenkin O. V. On the mixed dynamics of systems from Newhouse regions with heteroclinic tangencies//Proc. Final Sci. Conf. of Educ. Sci. Innov. Complex "Models, Methods and Software" (Nizhni Novgorod, 2007), Izd. Nizhegor. Gos. Univ., Nizhni Novgorod (2007), pp. 101-102.

[181] Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Ovsyannikov I. I., Turaev D. Examples of Lorenz-Uke attractors in Henon-like maps //Mathematical Modelling of Natural Phenomena (2013), 8(5), pp. 48-70.

[182] Gonchenko S. V. Reversible mixed dynamics: A concept and examples //Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity (2016), 5(4), pp. 365-374.

[183] Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Shilnikov L. P. On a homoclinic origin of Henon-like maps // Regul. Chaotic Dyn. (2010), 15, 462-481.

[184] Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Kazakov A. O., Kozlov A. D., Bakhanova Y. V., Mathematical theory of dynamical chaos and its applications: Review. Part 2. Spiral chaos of three-dimensional flows // Izv. VUZ. Appl. Nonlinear Dyn. (2019), 27, pp. 7-52.

[185] Gonchenko S. V., Gonchenko M. S., Sinitsky I. O. On mixed dynamics of two-dimensional reversible diffeomorphisms with symmetric non-transversal heteroclinic cycles //Izv. Math.

(2020), 84:1, pp. 23-51.

[186] Gonchenko S. V., Lamb J. S. W., Rios I., Turaev D. Attractors and repellers near generic elliptic points of reversible maps //Dokl. Math. (2014), 89(1), pp. 5-67.

[187] Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science (1996), 6(1), pp. 15-31.

[188] Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Stenkin O. V. On Newhouse regions with infinitely many stable and unstable invariant tori //Proceedings of the Int. Conf.Progress in Nonlinear Scienc. (2002), pp. 2-6.

[189] Gonchenko S. V., Stenkin O. V., Shilnikov L. P. On the existence of infinitely many stable and unstable invariant tori for systems from Newhouse regions with heteroclinic tangencies //Russian Journal of Nonlinear Dynamics (2006), 2(1), pp. 3-25.

[190] Gonchenko S. On stable periodic motions in systems that are close to systems with a structurally unstable homoclinic curve // Mat. Zametki (1983), 33, pp. 745-755.

[191] Gonchenko S., Kainov M., Kazakov A., Turaev D. On methods for verification of the pseudohyperbolicity of strange attractors //Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics

(2021), 29, pp. 160-185.

[192] Gonchenko S., Shilnikov L., Turaev D. Quasiattractors and homoclinic tangencies // Comput. Math. Appl. (1997), 34, pp. 195-227.

[193] Gonchenko S., Simo C., Vieiro A. Richness of dynamics and global bifurcations in systems with a homoclinic figure-eight // Nonlinearity (2013), 26, p. 621.

[194] Gonchenko S., Turaev D., Shilnikov L. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in the Newhouse regions // Contemp. Math. Appl. (1999), 67, pp. 69-128.

[195] Gonchenko S.V. Reversible mixed dynamics: A concept and examples //Discontinuity Nonlinearity Complex. (2016), 5(4), pp. 365-374.

[196] Gonchenko S.V., Lamb J.S.W., Rios I., Turaev D. Attractors and repellers near generic elliptic points of reversible maps //Dokl. Math. (2014), 89(1), pp. 65-67.

[197] Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V., Quasiattractors and homoclinic tangencies //Comput. Math. Appl. (1997), 34(2-4), pp. 195-227.

[198] Gonchenko A. S., Gonchenko S.V. On Existence of Lorenz-Like Attractors in a Nonholonomic Model of Celtic Stones //Rus. J. Nonlin. Dinam. (2013), 9(1), pp. 77-89.

[199] Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Samylina E. A. Chaotic dynamics and multistability in the nonholonomic model of a Celtic stone //Radiophysics and Quantum Electronics (2019), 61(10), pp. 773-786.

[200] Gonchenko A. S., Gonchenko S.V., and Kazakov A.O. On Some New Aspects of Celtic Stone Chaotic Dynamics //Rus. J. Nonlin. Dinam. (2012), 8(3), pp. 507-518.

[201] Gonchenko S. V. On stable periodic motions in systems that are close to systems with a structurally unstable homoclinic curve // Russ. Math. Notes (1983), 33, pp. 384-389.

[202] Gonchenko S. V. Reversible mixed dynamics: A concept and examples // Discont. Nonlin. Compl. (2016), 5, pp. 345-354.

[203] Gonchenko S. V., Ovsyannikov, I. I. (2013) On global bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms leading to Lorenz-like attractors // Math. Model. Nat. Phenom. 8, pp. 71-83.

[204] Gonchenko S. V., Gonchenko V. S., Tatjer J. C. Bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with non-simple quadratic homoclinic tangencies and generalized Henon maps // Regul. Chaot. Dyn. (2007), 12, pp. 233-266.

[205] Gonchenko S. V., Meiss J. D., Ovsyannikov I. I. Chaotic dynamics of threedimensional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation // Regul. Chaot. Dyn. (2006), 11, pp. 191-212.

[206] Gonchenko S. V., Ovsyannikov I. I., Tatjer J. C. Birth of discrete Lorenz attractors at the bifurcations of 3D maps with homoclinic tangencies to saddle points // Regul. Chaot. Dyn. (2014), 19, pp. 495-505.

[207] Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves // Physica D (1993), 62, pp. 1-14.

[208] Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos (1996), 6, pp. 15-31.

[209] Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Quasiattractors and homoclinic tangencies // Comput. Math. Appl. (1997), 34, pp. 195-227.

[210] Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions // Nonlinearity (2008), 21, pp. 923-972.

[211] Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. On global bifurcations in three-dimensional diffeomorphisms leading to wild Lorenz-like attractors // Regul. Chaot. Dyn. (2009), 14, pp. 137-147.

[212] Gonchenko S. V., Stenkin O. V., Turaev D. V. Complexity of homoclinic bifurcations and omega-moduli // Int. J. Bifurcation and Chaos (1996), 6, pp. 969-989.

[213] Gonchenko S. V., Turaev D., Shilnikov L. P. Homoclinic tangencies of an arbitrary order in Newhouse domains //J. Math. Sci. (2001), 105, pp. 1738-1778.

[214] Gonchenko S. V., Turaev D. V., Shilnikov L. P. On the existence of Newhouse regions near systems with non-rough Poincare homoclinic curve (multidimensional case) // Russ. Acad. Sci. Dokl. Math. (1993), 47, pp. 268-283.

[215] Gonchenko S. V., Turaev D. V., Shilnikov L. P. Dynamical phenomena in multidimensional systems with a non-rough Poincare homoclinic curve // Russ. Acad. Sci. Dokl. Math. (1993), 47, pp. 410-415.

[216] Gonchenko S., Li M.-C., Malkin M. Criteria on existence of horseshoes near homoclinic tangencies of arbitrary orders // Dyn. Syst. (2018), 33, pp. 441-463.

[217] Gonchenko S., Turaev D., Shilnikov L. Homoclinic tangencies of arbitrarily high orders in conservative and dissipative two-dimensional maps // Nonlinearity (2007), 20, p. 241.

[218] Gorodetski A.S., Ilyashenko Y.S . Certain new robust properties of invariant sets and attractors of dynamical systems //Funct. Anal. Appl. (1999), 33, pp. 95-105.

[219] Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations: 1. // Nonstiff Problems, Berlin: Springer, 1987.

[220] Hayashi S. Connecting invariant manifolds and the solution of the C1 stability and omega-stability conjectures for flows //Ann. Math. (1997), 145, pp. 81-137.

[221] Henderson M.E., Levi M., Odeh F. The Geometry and Computation of the Dynamics of Coupled Pendula //Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. (1991), 1(1), pp. 27-50.

[222] Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor //Commun. Math. Phys. (1976), 50, pp. 69-77.

[223] Homburg, A. J. Periodic attractors, strange attractors and hyperbolic dynamics near homoclinic orbits to saddle-focus equilibria // Nonlinearity (2002), 15, pp. 1029-1050.

[224] Hurley M. Attractors: Persistence, and density of their basins //Trans. Amer. Math. Soc. (1982), 269(1), pp. 247-271.

[225] Immler F. A verified ODE solver and the Lorenz attractor //J. Autom. Reasoning (2018), 61, pp. 73-111.

[226] Ivanov A.P. Geometric Representation of Detachment Conditions in Systems with Unilateral Constraints //Regul. Chaotic Dyn. (2008), 13(5), pp. 435-442.

[227] Ivanov A.P. On Detachment Conditions in the Problem on the Motion of a Rigid Body on a Rough Plane //Regul. Chaotic Dyn. (2008), 13(4), pp. 355-368.

[228] Jakobson M. V. Absolutely continuous invariant measures for oneparameter families of one-dimensional maps //Communications in Mathematical Physics (1981), 81, pp. 39-88.

[229] Kane T.R., Levinson D.A. A Realistic Solution of the Symmetric Top Problem //J. Appl. Mech. (1978), 45(4), pp. 903-909.

[230] Kaneko K. Doubling of Torus //Progr. Theoret. Phys. (1983), 69(6), pp. 1806-1810.

[231] Kapitaniak T., Thylwe K.-E., Cohen I., and Wojewoda J. Chaos-Hyperchaos Transition //Chaos Solitons Fractals (1995), 5(10), pp. 2003-2011.

[232] Karapetyan A. V. On permanent rotations of a heavy solid body on an absolutely rough horizontal plane //J. Appl. Math. Mech. (1982), 45, pp. 604-608.

[233] Karapetyan A.V. On Realizing Nonholonomic Constraints by Viscous Friction Forces and Celtic Stones Stability //J. Appl. Math. Mech. (1981), 45(1), pp. 30-36.

[234] Karatetskaia E., Shykhmamedov A., Kazakov A. Shilnikov attractors in three-dimensional orientation-reversing maps //Chaos (2021), 31, p. 011102.

[235] Kazakov A.O. On the chaotic dynamics of a rubber ball with three internal rotors //Nonlinear Dyn. Mob. Robot. (2014), 2(1), pp. 73-97.

[236] Keller G., Pierre M. S. Topological and measurable dynamics of Lorenz maps //Ergodic theory, analysis, and efficient simulation of dynamical systems, Springer (2001), pp. 333-361.

[237] Kharlamova-Zabelina E. I. Rapid Rotation of a Rigid Body around a Fixed Point in the Presence of a Non-Holonomic Constraint //Vestn. Mosk. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh. (1957), 6, pp. 25-34.

[238] Kharlamova-Zabelina E. I. Rigid Body Motion about a Fixed Point under Nonholonomic Constraint //Tr. Donetsk. Industr. Inst. (1957), 20(1), pp. 69-75.

[239] Khibnik A. I., Roose D., Chua L. O. On periodic orbits and homoclinic bifurcations in Chua's circuit with a smooth nonlinearity //International Journal of Bifurcation and Chaos (1993), 3(02), pp. 363-384.

[240] Kilin A.A. The Dynamics of Chaplygin Ball: The Qualitative and Computer Analysis //Regul. Chaotic Dyn. (2001), 6(3), pp. 291-306.

[241] Koiller J., Ehlers K. M. Rubber Rolling over a Sphere //Regul. Chaotic Dyn. (2007), 12(2), pp. 127-152.

[242] Koper M. T. M., Gaspard P., Sluyters J. H. Mixed-Mode Oscillations and Incomplete Homoclinic Scenarios to a Saddle Focus in the Indium //Thiocyanate Electrochemical Oscillator, J. Chem. Phys. (1992), 97(11), pp. 8250-8260.

[243] Korotkov A. G., Kazakov A. O., Levanova T. A., Osipov G. V. The dynamics of ensemble of neuron-like elements with excitatory couplings //Communications in nonlinear science and numerical simulation (2019), 71, pp. 38-49.

[244] Kozlov V. V. On the integration theory of equations of nonholonomic mechanics //Regul. Chaotic Dyn. (2002), 7(2), pp. 161-176.

[245] Kozlov V. V. The Euler-Jacobi-Lee integrability theorem //Regul. Chaotic Dyn. (2013), 18(4), pp. 329-343

[246] Kozlov V. V. On the theory of integration of the equations of nonholonomic mechanics //Uspekhi mekh. (1985), 8(3), pp. 85-107.

[247] Kozlov V.V. On the Existence of an Integral Invariant of a Smooth Dynamic System //J. Appl. Math. Mech. (1987), 51(4), pp. 420-426.

[248] Kozlova Z.P. The Suslov Problem //Izv. Akad. Nauk SSSR. Mekh. Tverd. Tela (1989), 1, pp. 13-16.

[249] Krauskopf B., Osinga H., Growing 1D and Quasi-2D Unstable Manifolds of Maps //J. Comput. Phys. (1998), 146(1), pp. 404-419.

[250] Kuptsov P.V., Parlitz U. Theory and computation of covariant Lyapunov vectors //J. Nonlinear Sci. (2012), 22, pp. 727-62.

[251] Kuptsov P. V. Fast numerical test of hyperbolic chaos //Physical Review E (2012), 85, p. 015203.

[252] Kuptsov P. V., Politi A. Large-deviation approach to space-time chaos //Physical review letters (2011), 107, p. 114101.

[253] Kuznetsov S.P. Dynamical chaos and hyperbolic attractors: from mathematics to physics //Usp. Fiz. Nauk (2013), 61, pp. 73-111.

[254] Kuznetsov S. P. Regular and chaotic motions of the Chaplygin sleigh with periodically switched location of nonholonomic constraint //EPL (Europhysics Letters (2017), 118(1), p. 10007.

[255] Kuznetsov S. P., Jalnin A. Yu., Sataev I. R., Sedova Yu. V. Phenomena of nonlinear dynamics of dissipative systems in nonholonomic mechanics of the rattleback //Nelinein. Din. (2012), 8(4), pp. 735-762.

[256] Kuznetsov S. Dynamical Chaos and Hyperbolic Attractors: From Mathematics to Physics //Institute of Computer Science, Izhevsk, Moscow (2013).

[257] Kuznetsov Y.A., De Feo O., Rinaldi S. Belyakov homoclinic bifurcations in a tritrophic food chain model //SIAM J. Appl. Math. (2001), 62, pp. 462-87.

[258] Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory //Springer-Verlag, NY-Berlin, Heidelberg (1998).

[259] Kuznetsov S. P. Regular and chaotic dynamics of a Chaplygin Sleigh due to periodic switch of the nonholonomic constraint //Regular and Chaotic Dynamics (2018), 23(2), pp. 178-192.

[260] Kuznetsov S. P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale-Williams type //Phys. Rev. Lett. (2005), 95, p. 144101.

[261] Kuznetsov S. P. Example of Blue Sky Catastrophe accompanied by a birth of the Smale-Williams attractor // Regul. Chaot. Dyn. (2007), 12, pp. 233-266.

[262] Kuznetsov S. P., Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors //Physica D (2007), 232, pp. 87-102.

[263] Kuznetsov S. P., Seleznev E. P. Strange attractor of Smale-Williams type in the chaotic dynamics of a physical system //J. Exp. Theor. Phys. (2006), 102, pp. 355-364.

[264] Kuznetsov S.P. Dynamical Chaos //Moscow: Fizmatlit, 2nd ed. (2006).

[265] Kuznetsov S.P. Effect of a Periodic External Perturbation on a System Which Exhibits an Order-Chaos Transition through Period-Doubling-Bifurcations Metal-Insulator-Semiconductor //JETP Lett. (1984), 39(3), pp. 133-136.

[266] Lamb J. S. W., Roberts J. A. G. Time-reversal symmetry in dynamical systems: a survey //Physica D: Nonlinear Phenomena (1998), 112(1-2), pp. 1-39.

[267] Letellier C., Dutertre P., Maheu B. Unstable Periodic Orbits and Templates of the Rossler System: Toward a Systematic Topological Characterization //Chaos (1995), 5(1), pp. 271282.

[268] Li D. Homoclinic bifurcations that give rise to heterodimensional cycles near a saddle-focus equilibrium //Nonlinearity (2016), 30, pp. 173-206.

[269] Li D., Turaev D.V. Existence of heterodimensional cycles near Shilnikov loops in systems with a Z2 symmetry //Discrete Continuous Dyn. Syst. Ser. A (2017), 37, pp. 4399-437.

[270] Li M.-C. and Malkin M. Smooth symmetric and Lorenz models for unimodal maps //Int. J. Bifurcation Chaos (2003), 13, pp. 3353-71.

[271] Li Ch., Sprott J. C. Coexisting Hidden Attractors in a 4D Simplified Lorenz System, //Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. (2014), 24(3), p. 1450034.

[272] Los J. E. Nonnormally hyperbolic invariant curves for maps in R3 and doubling bifurcation //Nonlinearity (1989), 2(1), p. 149.

[273] Lozi R. Un attracteur de Henon //J. Phys. (1978), 39, pp. 9-10.

[274] Lukyanov V.I., Shilnikov L.P. On some bifurcations of dynamical systems with homoclinic structures //Sov. Math. Dokl. (1978), 19, pp. 1314-1318.

[275] Lynch P., Bustamante M.D. Precession and Recession of the Rock'n'Roller //J. Phys. A (2009), 42(42), p. 425203.

[276] Lyubich M., Martens M. Renormalization in the Henon family, II: The heteroclinic web //Inventiones mathematicae (2011), 186(1), pp. 115-189.

[277] Maciejewski A. J., Przybylska M. Nonintegrability of the Suslov Problem //J. Math. Phys. (2004), 45(3), pp. 1065-1078.

[278] Mahdi A., Valls C. Analytic Non-Integrability of the Suslov Problem //J. Math. Phys. (2012), 53(12), p. 122901.

[279] Malkin M.I. Rotation intervals and dynamics of Lorenz-like maps //Methods of Qualitative Theory of Differential Equations (1985), pp. 122-139.

[280] Malkin M., Safonov K. Entropy charts and bifurcations for Lorenz maps with infinite derivatives //Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science (2021), 31, p. 043107.

[281] Mane R. Persistent manifolds are normally hyperbolic //Trans. Am. Math. Soc. (1978), 246, p. 261.

[282] Markeev A. P., On the dynamics of a solid on an absolutely rough plane //J. Appl. Math. Mech. (1984), 7(4), pp. 473-478.

[283] Markeev A. P. Dynamics of a Body in Contact with a Solid Surface //Nauka, Moscow (1992).

[284] Markeev A.P. The Dynamics of a Rigid Body on an Absolutely Rough Plane //J. Appl. Math. Mech. (1983), 47(4), pp. 473-478.

[285] Milnor J. On the concept of attractor //Commun. Math. Phys. (1985), 99(2), pp. 177195.

[286] Mira C. Determination pratique du domaine de stabilite d'un point d'equilibre d'une recurrence non iineaire du deuxieme ordre a variables relies //C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A (1965), pp. 5314-5317.

[287] Mira C. Chaotic Dynamics: From the One-dimensional Endomorphism to the Two-dimensional Diffeomorphism // World Scientific (1987).

[288] Mireles J.J.D. Quadratic Volume-Preserving Maps: (Un)stable Manifolds, Hyperbolic Dynamics, and Vortex-Bubble Bifurcations //J. Nonlinear Sci. (2013), 23(4), pp. 585-615.

289] Mora L., Viana M. Abundance of strange attractors //Acta mathematica (1993), 171(1), pp. 1-71.

290] Morales C. A., Pacifico M. J., Pujals E. R., On C1 robust singular transitive sets for three-dimensional flows //C. R. Acad. Sci. Ser. I Math. (1998), 326, pp. 81-86.

291] Neimark Ju. I., Fufaev N.A. Dynamics of Nonholonomic Systems //Trans. Math. Monogr. (1972), 33.

292] Newhouse S. E. Diffeomorphisms with infinitely many sinks //Topology (1974), 13(1), pp. 9-18.

293] Newhouse S. Non-density of axiom A(a) on S2, global analysis //in Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS (1968), 14, pp. 191-202.

294] Noh T. Shilnikov Chaos in the Oxidation of Formic Acid with Bismuth Ion on Pt Ring Electrode, Electrochim //Acta (2009), 54(13), pp. 3657-3661.

295] Nordmark A., Essen H. Systems with a Preferred Spin Direction //Proc. R. Soc. London Ser. A (1999), 455(1983), pp. 933-941.

296] Osinga H. M., Krauskopf B. Crocheting the Lorenz manifold //The Mathematical Intelligencer (2004), 26, pp. 25-37.

297] Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. Controlling Chaos //Phys. Rev. Lett. (1990), 64(11), pp. 1196-1199.

298] Ovsyannikov I.I., Turaev D.V. Analytic proof of the existence of the Lorenz attractor in the extended Lorenz model //Nonlinearity (2017), 30, pp. 115-137.

299] Ovsyannikov I.M., Shilnikov L.P. On systems with a saddle-focus homoclinic curve //Math. USSR Sb. (1986), 58, pp. 557-574.

300] Ovsyannikov I.M., Shilnikov L.P. Systems with a homoclinic curve of multi-dimensional saddle-focus type, and spiral chaos //Math. USSR Sb. (1992), 73, pp. 415-43.

301] Ovsyannikov I., Turaev D. Analytic proof of the existence of the Lorenz attractor in the extended Lorenz model // Nonlinearity (2016), 30, p. 115.

302] Palis J., Yoccoz J.C. Homoclinic tangencies for hyperbolic sets of large Hausdorff dimension //Acta Math. (1994), 172, pp. 91-136.

303] Palis J., Viana M. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many periodic attractors // Ann. Math. (1994), 140, pp. 207-250.

304] Parthimos D., Edwards D.H., Griffit, T. M. Shilnikov Homoclinic Chaos Is Intimately Related to Type-III Intermittency in Isolated Rabbit Arteries: Role of Nitric Oxide //Phys. Rev. E (2003), 67(5), p. 051922.

305] Petrovskaya N. V., Yudovich V. I. Homoclinic loops of the Saltzman-Lorenz system, //Methods of the Qualitative Theory of Differential Equations, Gorky (1980), pp. 73-83.

[306] Pisarchik A. N., Meucci R., Arecchi F.T. Theoretical and Experimental Study of Discrete Behavior of Shilnikov Chaos in a CO2 Laser //Eur. Phys. J. D (2001), 13(3), pp. 385-391.

[307] Politi A., Oppo G. L., Badii R. Coexistence of conservative and dissipative behavior in reversible dynamical systems //Physical Review A (1986), 33(6), p. 4055.

[308] Pujals E., Sambarino M. On the dynamics of dominated splitting //Ann. Math. (2009), 169, pp. 675-740.

[309] Pusuluri K., Meijer H. G. E., Shilnikov A. Homoclinic puzzles and chaos in a nonlinear laser model //Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation (2021), 93, p. 105503.

[310] Pusuluri K., Shilnikov A. Homoclinic chaos and its organization in a nonlinear optics model //Physical Review E (2018), 98, p. 040202.

[311] Quispel G. R. W., Roberts J. A. G. Conservative and dissipative behaviour in reversible dynamical systems //Physics Letters A (1989), 135(6—7), pp. 337-342.

[312] Roberts J. A. G., Quispel G. R. W. Chaos and time-reversal symmetry. Order and chaos in reversible dynamical systems //Physics Reports (1992), 216(2—3), pp. 63-177.

[313] Robinson C. Homoclinic bifurcation to a transitive attractor of Lorenz type //Nonlinearity (1989), 2, p. 495.

[314] Rocard Y. L'instabilité en mécanique: Automobiles, avions, ponts suspendus //Paris: Masson (1954).

[315] Rom-Kedar V., Wiggins S. Transport in two-dimensional maps //Archive for Rational Mechanics and Analysis (1990), 109(3), pp. 239-298.

[316] Romero N. Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions //Ergodic Theory Dyn. Syst. (1995), 15(4), pp. 735-757.

[317] Rosenzweig M. L., MacArthur R. H. Graphical representation and stability conditions of predator-prey interactions //Amer. Nat. (1963), 97, pp. 209-223.

[318] Roshchin N.V. Unsafe stability boundaries of the Lorentz model //J. Appl. Math. Mech.

(1978), 42, pp. 1038-1041.

[319] Rossler O.E. An equation for hyperchaos //Phys. Lett. A (1979), 71, pp. 155-157.

[320] Rossler O. E. Different types of chaos in two simple differential equations //Zeitschrift Naturforschung A (1976), 31, pp. 1664-1670.

[321] Rossler O.E. An Equation for Continuous Chaos //Phys. Lett. A (1976), 57(5), pp. 397-398.

[322] Rossler O.E. Continuous Chaos: Four Prototype Equations //Ann. New York Acad. Sci.

(1979), 316(1), pp. 376-392.

[323] Routh E. J. A Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies: P. 2. //The Advanced Part, 6th ed., New York: Macmillan (1905).

[324] Rucklidge A.M. Chaos in a Low-Order Model of Magnetoconvection //Phys. D (1993), 62(1-4), pp. 323-337.

[325] Ruelle D. Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors //Communications in Mathematical Physics (1981), 82(1), pp. 137-151.

[326] San Martin B., Vivas K. The Rovella attractor is asymptotically sectional-hyperbolic //Nonlinearity (2020), 33, p. 3036.

[327] Sataev E. A. Some properties of singular hyperbolic attractors //Sbornik Math. (2009), 200, p. 35.

[328] Sataev, E. A. Stochastic properties of singularly hyperbolic attractors //Russ. Nonlin. Dyn. (2010) 6, pp. 187-206.

[329] Sataev I.R., Kazakov A.O. Scenarios of Transition to Chaos in the Nonholonomic Model of a Chaplygin Top //Nelin. Dinam. (2016), 12(2), pp. 235-250.

[330] Sevryuk M. Reversible Systems, Lecture Notes in Mathematics //Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1986), p. 1211.

[331] Shen J., Schneider D.A., Bloch A.M. Controllability and Motion Planning of a Multibody Chaplygin's Sphere and Chaplygin's Top //Int. J. Robust Nonlinear Control (2008), 18(9), pp. 905-945.

[332] Shilnikov L.P. A Case of the Existence of a Countable Number of Periodic Motions //Soviet Math. Dokl. (1965), 6, pp. 163-166.

[333] Shilnikov L.P. A contribution to the problem of the structure of an extended neighbourhood of a rough equilibrium state of saddle-focus type //Math. USSR Sb. (1970), 10, pp. 91-102.

[334] Shilnikov L.P. Bifurcation theory and the Lorenz model //The Hopf Bifurcation and Its Applications ed J Marsden and M McCraken (1980), pp. 317-336.

[335] Shilnikov L.P. Bifurcation theory and quasihyperbolic attractors //Usp. Mat. Nauk (1981), 36, p. 240.

[336] Shilnikov A. L. Bifurcations and chaos the Morioka-Shimizu system //English Translation in Selecta Mathematica Sovietica (1991), 10, pp. 105-117.

[337] Shilnikov A. L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka model //Physica D (1993), 62, pp. 338-346.

[338] Shilnikov, A. L., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Normal forms and Lorenz attractors // Int. J. Bifurcation and Chaos (1993), 3, pp. 1123-1139.

[339] Shilnikov L. P. Bifurcation theory and turbulence //Methods of the Qualitative Theory of Differential Equations, Gorky (1986), pp. 150-163.

[340] Shilnikov L. P. The theory of bifurcations and turbulence. I //Methods of Qualitative Theory of Differential Equations, Gorky State University, Gorky (1986), pp. 150-163.

[341] Shilnikov L. P. Chua's circuit: Rigorous result and future problems //Int. J. Bifurcation and Chaos (1994), 4, pp. 489-519.

[342] Shilnikov L. P. Mathematical problems of nonlinear dynamics: A tutorial //Int. J. Bifurcation and Chaos (1997), 9, pp. 1953-2001.

[343] Shilnikov L. P., Turaev D. V. On blue sky catatrophes //Russ. Dokl. Math. (1995), 342, pp. 596-599.

[344] Shilnikov L. P., Turaev D. V. On simple bifurcations leading to hyperbolic attractors //Int. J. Comput. Math. Appl. (1997), 34, pp. 173-193.

[345] Shilnikov L.P. On a Poincare-Birkhoff Problem //Math. USSR-Sb. (1967), 3(3), pp. 353-371.

[346] Shimizu T., Morioka N. On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model //Phys. Lett. A (1980), 76, pp. 201-204.

[347] Shimizu T., Morioka N. Chaos and limit cycles in the Lorenz model //Physics Letters A (1978), 66, pp. 182-184.

[348] Simo C. On the Henon-Pomeau attractor //J. Stat. Phys. (1979), 21, pp. 465-494.

[349] Smale S. Diffeomorphisms with Many Periodic Points //Differential and Combinatorial Topology: A Symposium in Honor of Marston Morse, S. S. Cairns (Ed.), Princeton,N.J.: Princeton Univ. Press (1965), pp. 63-80.

[350] Stefanski K. Modelling Chaos and Hyperchaos with 3-D Maps //Chaos Solitons Fractals (1998), 9(1-2), pp. 83-93.

[351] Suslov G. K., On the issue of surface rolling on the surface //Univ. Izv. Kiev (1892), 6, pp. 1-41.

[352] Suslov G. K. Theoretical Mechanics //Gostekhizdat, Moscow-Leningrad (1946).

[353] Tatarinov Ya.V. Separation of Variables and New Topological Phenomena in Holonomic and Nonholonomic Systems //Tr. Sem. Vektor. Tenzor. Anal. (1988), 23, pp. 160-174.

[354] Tatjer J.C. Three-dimensional dissipative diffeomorphisms with homoclinic tangencies //Ergod. Theor. Dynam. Syst. (2001), 21, pp. 249-302.

[355] Tucker W. A rigorous ode solver and Smale's 14th problem //Found. Comput. Math. (2002), 2, pp. 53-117.

[356] Turaev D. On dimension of non-local bifurcational problems //Int. J. Bifurcation Chaos (1996), 06, pp. 919-48.

[357] Turaev D., Maps close to identity and universal maps in the Newhouse domain //Commun. Math. Phys. (2015), 335(3), pp. 1235-1277.

[358] Turaev D. Richness of chaos in the absolute Newhouse domain //Proc. Int. Congr. Math, v. 3, Invited lectures, World Scientific (2010).

[359] Turaev D., Shilnikov L. P. Bifurcation of a homoclinic "figure eight" saddle with a negative saddle value //Doklady Akademii Nauk (1986), 290, pp. 1301-1304.

[360] Ures R. On the approximation of Hénon-like attractors by homoclinic tangencies //Ergodic Theory and Dynamical Systems (1995), 15(6), pp. 1223-1229.

[361] Vagner V.V. A Geometric Interpretation of the Motion of Nonholonomic Dynamical Systems //Tr. semin. po vectorn. i tenzorn. anal. (1941), 5, pp. 301-327.

[362] Verner J.H. Explicit Runge-Kutta methods with estimates of the local truncation error //SIAM J. Numer. Anal. (1978), 15, pp. 772-790.

[363] Vetchanin E. V., Kazakov A. O. Bifurcations and chaos in the dynamics of two point vortices in an acoustic wave //International Journal of Bifurcation and Chaos (2016), 26(04), p. 1650063.

[364] Vitolo R., Broer H., Simo C. Quasi-Periodic Bifurcations of Invariant Circles in Low-Dimensional Dissipative Dynamical Systems //Regul. Chaotic Dyn. (2011), 16(1—2), pp. 154-184.

[365] Walker G.T. On a Curious Dynamical Property of Celts //Proc. Cambridge Phil. Soc. (1895), 8, pp. 305-306.

[366] Walker J. The Amateur Scientist: The Mysterious "Rattleback": A Stone That Spins in One Direction and Then Reverses //Sci. Am. (1979), 241, pp. 172-184.

[367] Wang Q., Young L.-S. Toward a theory of rank one attractors //Ann. Math. (2008), 167, pp. 349-480.

[368] Wilczak D., Serrano S., Barrio R. Coexistence and Dynamical Connections between Hyperchaos and Chaos in the 4D Rossler System: A Computer-Assisted Proof //SIAM J. Appl. Dyn. Syst. (2016), 15(1), pp. 356-390.

[369] Williams R. F. The structure of Lorentz attractors //Turbulence Seminar, Berkeley 1976/77, Lecture Notes in Mathematics 615, Springer (1977), pp. 94-112.

[370] Wolfe C.L., Samelson R.M. An efficient method for recovering Lyapunov vectors from, singular vectors //Tellus A (2007), 59, pp. 355-366.

[371] Xing T., Barrio R., Shilnikov A. Symbolic quest into homoclinic chaos //Int. J. Bifurcation Chaos (2014), 24, p. 1440004.

[372] Yates J. Interaction with and production of sound by vortex flows //4th Aeroacoustics Conference (1977), p. 1352.

[373] Zaks M. A. Scaling properties and renormalization invariants for the homoclinic quasiperiodicity //Physica D: Nonlinear Phenomena (1993), 62, pp. 300-316.

[374] Zaks M., Lyubimov D. Bifurcation sequences in the dissipative systems with saddle equilibria //Banach Center Publications (1989), 1, pp. 367-380.

[375] Zhou C. S., Kurths J., Allaria E., Boccaletti S., Meucci R., Arecchi F.T. Constructive Effects of Noise in Homoclinic Chaotic Systems //Phys. Rev. E (2003), 67(6), p. 066220.

[376] Ziglin S. L. On the Absence of an Additional First Integral in the Special Case of the G.K. Suslov Problem //Russian Math. Surveys (1997), 52(2), pp. 434-435.

Приложения

В Приложениях 1-12, в соответствии с политикой «права и разрешения» (rights & permissions) соответствующего журнала, представлена либо журнальная версия статьи, либо версия рукописи этой статьи, принятая к печати.

Приложение 1

Статья 1.

Borisov A. V., Kazakov A. O., Sataev I. R. The reversal and chaotic attractor in the nonholonomic model of Chaplygin's top Regular and Chaotic Dynamics (2014), 19(6), pp. 718-733. https://link.springer.com/article/10.1134/S1560354714060094

Разрешение на копирование: автор статьи может использовать полную журнальную версию статьи в своей диссертации при условии, что указан источник https://www.springer.com/gp/rights-permissions/obtaining-permissions/882.

The Reversal and Chaotic Attractor in the Nonholonomic

Model of Chaplygin's Top

Alexey V. Borisov1*, Alexey O. Kazakov2**, and Igor R. Sataev3***

1 Udmurt State University, ul. Universitetskaya 1, Izhevsk, 426034 Russia; Moscow Institute of Physics and Technology, Inststitutskii per. 9, Dolgoprudnyi, 141700 Russia

2Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod, pr. Gagarina 23, Nizhny Novgorod, 603950 Russia

3Saratov Branch of Kotelnikov's Institute of Radio-Engineering and Electronics of RAS ul. Zelenaya 38, Saratov, 410019 Russia Received August 26, 2014; accepted September 8, 2014

Abstract—In this paper we consider the motion of a dynamically asymmetric unbalanced ball on a plane in a gravitational field. The point of contact of the ball with the plane is subject to a nonholonomic constraint which forbids slipping. The motion of the ball is governed by the nonholonomic reversible system of 6 differential equations. In the case of arbitrary displacement of the center of mass of the ball the system under consideration is a nonintegrable system without an invariant measure. Using qualitative and quantitative analysis we show that the unbalanced ball exhibits reversal (the phenomenon of reversal of the direction of rotation) for some parameter values. Moreover, by constructing charts of Lyaponov exponents we find a few types of strange attractors in the system, including the so-called figure-eight attractor which belongs to the genuine strange attractors of pseudohyperbolic type.

MSC2010 numbers: 37J60, 37N15, 37G35, 70E18, 70F25, 70H45 DOI: 10.1134/S1560354714060094

Keywords: rolling without slipping, reversibility, involution, integrability, reversal, chart of Lyapunov exponents, strange attractor.

1. INTRODUCTION

The problem of motion of a perfectly rigid body on a plane in a gravitational field can be considered in the context of two mathematical models: a nonholonomic model and a model with friction. In the former case, the body moves on a (perfectly rough) plane without slipping. The absence of slipping is provided by the force of friction, which, however, does not perform any work. In the latter case, slipping is possible and, therefore, the forces of friction are dissipative. An advantage of nonholonomic models is that these models are, as a rule, simpler than models with dissipative friction and, therefore, help to explain the nature of dynamical phenomena in many problems. For example, the nonholonomic model of a Celtic stone helps to explain the nature of the reversal characterized by the change of the direction of rotation of the stone to the opposite when it rotates about the vertical axis in the "inappropriate" direction. This phenomenon has been known for a long time and evidently was first described in the work of G.Walker [1], while the explanation of this phenomenon was recently given by I. S.Astapov, A. V. Karapetyan and A. P. Markeev [2-4] within the framework of the nonholonomic model. However, some phenomena of rigid body dynamics cannot be explained within the nonholonomic model. The flip-over of the

*E-mail: [e-mail]

E-mail: [e-mail]