Особенности сложной динамики нелинейных систем, связанные с разрушением квазипериодических движений и режимов хаотической синхронизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Жалнин, Алексей Юрьевич

• Жалнин, Алексей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жалнин, Алексей Юрьевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ЭНО. if 1.1. Введение.

1.2. Сложная картина динамических переходов в квазипериодически возбуждаемом отображении Эно.

1.3. Метод рациональных аппроксимаций.

1.4. Бифуркационный механизм перехода к странному нехаотическому аттрактору через перемежаемость.

1.5. Новый механизм "внутреннего" кризиса расширения странного нехаотического и хаотического аттракторов.

1.6. Кризисы столкновения аттрактора с неустойчивыми орбитами, разрушающие аттрактор.

1.7. Выводы.

2. О СТРУКТУРЕ ОКРЕСТНОСТИ ГЛАДКОЙ ИНВАРИАНТНОЙ КРИВОЙ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМОГО ОТОБРАЖЕНИЯ ЭНО.

2.1. Введение.

2.2. Ляпуновские векторы и двумерные многообразия в окрестности инвариантной кривой.

2.3. Численное наблюдение фрактализации зависимостей ляпу-новских векторов от фазы внешней силы.

2.4. Анализ рациональных аппроксимаций.

2.5. Выводы.

3. ПРОЦЕДУРА УПРАВЛЕНИЯ ХАОСОМ В КВАЗИПЕРИО-ДИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫХ СИСТЕМАХ.

3.1. Введение.

3.2. Стабилизация неустойчивой инвариантной кривой отображения

3.3. Управление хаосом в бигармонически возбуждаемом осцилляторе Дуффинга.

3.4. Выводы.

4. УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ И СКЕЙЛИНГ В ОТОБРАЖЕНИИ ОКРУЖНОСТИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВНЕШНИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ

4.1. Введение.

4.2. Динамика фазы на двумерном торе и автономное отображение окружности.

4.3. Автогенератор под импульсным воздействием и периодически возбуждаемое отображение окружности.

4.4. РГ анализ критической точки GM.

4.5. Типы скейлинга в отображении окружности в присутствии внешнего воздействия.

4.6. Выводы.

5. ВЛИЯНИЕ РАССТРОЙКИ ПАРАМЕТРОВ И ШУМА НА РЕЖИМЫ СЛАБОЙ ХАОТИЧЕСКОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ

5.1. Введение.

5.2. Параметрическая чувствительность слабо устойчивого СХА

5.3. Характеристики режима "пузырения" слабо устойчивого СХА и хаотического переходного процесса.

5.4. Шумовая чувствительность слабо устойчивого СХА.

5.5. Характеризация среднего интервала между всплесками и среднего времени жизни хаотического переходного процесса

5.6. Скейлинг локальных ляпуновских показателей.

5.7. Показатели параметрической и шумовой чувствительности и модель ограниченного случайного блуждания.

5.8. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Особенности сложной динамики нелинейных систем, связанные с разрушением квазипериодических движений и режимов хаотической синхронизации»

Актуальность темы. Одной из важных проблем современной радиофизики и теории колебаний является исследование сложных динамических режимов и механизмов переходов между ними в нелинейных системах [113]. Актуальность этой проблемы обусловлена, в частности, необходимостью создания перестраиваемых автогенераторов, способных функционировать в различных режимах периодических, квазипериодических и хаотических автоколебаний, разработкой систем коммуникации на основе сложной и хаотической динамики. В этом контексте большой интерес представляет исследование неавтономного поведения систем под внешним воздействием и связанных систем, поскольку они, как известно, демонстрируют весьма разнообразное динамическое поведение. Некоторые феномены неавтономной динамики достаточно хорошо изучены, как, например, нелинейный и параметрический резонанс [7-9], синхронизация регулярных (периодических и квазипериодических) автоколебаний в периодически возбуждаемых и связанных системах [9-12] и т.д. Другие находятся в стадии активного изучения, как синхронизация хаотических автоколебаний [13-20], стохастическая синхронизация и резонанс [13,21-26], странные нехаотические аттракторы в квазипериодически возбуждаемых системах [2737].

В данной диссертационной работе затронуты два принципиальных вопроса, связанных с неавтономной динамикой - разрушение квазипериодического движения с переходом к хаосу в системах под управляющим внешним воздействием (периодическим и квазипериодическим), и синхронизация хаотических колебаний связанных идентичных подсистем в присутствии малого шума и расстройки параметров.

Вообще говоря, изучение путей перехода от регулярной динамики к хаосу через квазипериодические режимы выходит за рамки одной лишь радиофизики, представляет интерес для систем различной физической природы и является одной из центральных тем современной нелинейной динамики. Начиная с основополагающих работ Ландау [38] и Рюэлля и Та-кенса [39], многие авторы обращались к теоретическому и экспериментальному исследованию этой проблемы. В контексте радиофизики, можно выделить следующие два ее аспекта.

Во-первых, это воздействие на нелинейный осциллятор внешнего сигнала с несколькими составляющими, частоты которых фиксированы и находятся в иррациональном соотношении. В таком случае в системе может реализовываться регулярное квазипериодическое движение, которому отвечает аттрактор — гладкий эргодический тор. Известно, что разрушение эргодического тора и переход к хаосу в системах этого класса связаны с возникновением особого "промежуточного" поведения, отвечающего странному нехаотическому аттрактору (СНА) [27-37]. В частности, этот тип динамики наблюдался в экспериментах с нелинейными колебательными контурами под бигармоническим внешним воздействием [33-36] и с квазипериодически возбуждаемой магнитоэластической лентой [37]. В данной диссертации будет исследован эффект квазипериодического внешнего воздействия на системы, демонстрирующие в автономном или периодически возбуждаемом состоянии переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Рассмотрены бифуркационные механизмы перехода от гладкого тора к СНА и хаосу и механизмы кризисов регулярных, странных нехаотических и хаотических аттракторов. Обсуждается также возможность реализации идеи управления хаосом [40-42] в системах, находящихся под многочастотным внешним воздействием.

Второй фундаментальный аспект проблемы перехода к хаосу через квазипериодические режимы - это разрушение резонансного тора в автоколебательных системах [43-45]. Колебательные составляющие могут рождаться вследствие бифуркаций автономного или периодически возбуждаемого автогенератора [39,46,47]. В этом случае их частоты не фиксированы и определяются внутренней динамикой. При соотношениях частот близких к рациональным колебательные компоненты взаимодействуют из-за присущей системе нелинейности и обнаруживают тенденцию к взаимной синхронизации с возникновением периодических режимов ("захват А частот" — mode locking) [2,9,48-50]. Сложная структура периодических и квазипериодических режимов имеет место в сколь угодно малых окрестного \ стях точки перехода к хаосу через разрушение резонансного тора. Разрушение квазипериодического режима и переход к хаосу ассоциируется с критической динамикой, для описания которой используется метод ре-нормгруппы (РГ) [51-56]. В диссертации методом РГ исследуется задача о разрушении двухчастотного тора в автоколебательной системе, возбуждаемой периодически модулированной последовательностью внешних импульсов [52].

В динамике связанных систем особое внимание исследователей привлекает явление полной хаотической синхронизации, когда во взаимодействующих подсистемах возникают идентичные хаотические колебания. Представляя очевидный фундаментальный интерес, синхронизация хаотических колебаний автогенераторов имеет практическое приложение в области безопасной передачи информации [57-62]. Поэтому большое число работ посвящено исследованию механизмов возникновения и разрушения * хаотической синхронизации [63-88]. В настоящей диссертационной работе рассматриваются статистические свойства режимов слабой хаотической V,. синхронизации в присутствии малой расстройки параметров подсистем и I внешнего шума [89,90].

Целью диссертационной работы является изучение механизмов бифуркаций и кризисов аттракторов в диссипативных системах с удвоением периода под внешним квазипериодическим воздействием, исследование свойств скейлинга при разрушении двухчастотного тора в периодически возбуждаемом автогенераторе, анализ статистических свойств режимов слабой хаотической синхронизации в присутствии шума или малой расстройки параметров.

Методы исследований. Исследование опирается на теоретический анализ с привлечением метода ренормгруппы и аппарата теории вероятности и случайных процессов и численные расчеты в применении к модельным системам (отображение окружности, логистическое отображение, отображение Эно, осциллятор Дуффинга), адекватно передающим подлежащие исследованию закономерности динамики.

Научная новизна.

- Для гладкого обратимого двумерного отображения (на примере отображения Эно) под квазипериодическим внешним воздействием выявлен бифуркационный механизм перехода к странному нехаотическому аттрактору через перемежаемость, а также механизмы кризисов регулярных, странных нехаотических и хаотических аттракторов. Обнаружено явление потери гладкости зависимости ляпуновских векторов в окрестности притягивающей инвариантной кривой от фазы внешнего воздействия. Это явление предшествует возникновению странного нехаотического аттрактора и составляет содержание механизма, лежащего в основе ограничения числа бифуркаций удвоения инвариантных кривых на пути перехода к хаосу.

- Предложена процедура управления хаосом в системах с квазипериодическим воздействием, заключающаяся в стабилизации движения в окрестности неустойчивого тора путем синхронизации управляемой системы с опорной системой, совершающей регулярное квазипериодическое движение.

- Выявлены закономерности универсальности и масштабного подобия (скейлинга) для ситуации разрушения квазипериодического режима с заданным соотношением частот и перехода к хаосу в автоколебательной системе, возбуждаемой периодически модулированной последовательностью внешних импульсов. — На основе линейного анализа трансверсальной устойчивости синхронных хаотических траекторий введены показатели, количественно характеризующие чувствительность слабо устойчивого синхронного хаотического аттрактора к шуму и малой расстройке параметров.

Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием результатов теоретического и численного анализа, воспроизводимостью всех численных результатов, согласием результатов теоретического и численного анализа с известными экспериментальными данными.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. Для гладких обратимых двумерных отображений под квазипериодическим воздействием возможен переход, который предшествует возникновению странного нехаотического аттрактора, и связан с потерей гладкости (фрактализацией) зависимости ляпуновских векторов, определяющих направления сжатия с разными ляпуновскими показателями для фазового объема в окрестности гладкой притягивающей инвариантной кривой, от фазы внешней силы. Этот феномен отвечает за ограничение числа бифуркаций удвоения торов на пути перехода к хаосу.

2. Управление хаосом путем стабилизации движения на неустойчивом торе в квазипериодически возбуждаемых системах может быть достигнуто введением малого внешнего воздействия со стороны опорной системы, совершающей квазипериодическое движение.

3. В окрестности критической точки отображения окружности с числом вращения "золотое среднее" при наличии дополнительного периодического внешнего воздействия в зависимости от его частоты может реализоваться периодическое повторение конфигурации областей при преобразовании подобия или квазипериодическое поведение (Р и Q-типы скейлинга).

4. Удобные показатели, количественно характеризующие чувствительность режимов слабой хаотической синхронизации к шуму и расстройке параметров подсистем, получаются на основе линейного анализа транс-версальной устойчивости слабо устойчивого синхронного хаотического аттрактора. Характеристики степенных законов, задающих зависимость среднего времени, проводимого в окрестности синхронного режима, от уровня шума и расстройки параметров, выражаются через новые показатели параметрической и шумовой чувствительности.

Научная и практическая значимость результатов:

Выявленные бифуркационные механизмы динамических переходов и кризисов аттракторов в квазипериодически возбуждаемой системе с удвоениями периода и хаосом (на примере отображения Эно) могут быть использованы для описания аналогичных явлений в других базовых системах радиофизики и нелинейной динамики (нелинейный контур RL-диод под бигармоническим внешним воздействием, осциллятор Дуффинга и др.).

Полученные на основе метода ренормгруппы результаты для свойств скейлинга в окрестности критической точки отображения окружности с числом вращения "золотое среднее" могут быть отнесены ко многим системам различной природы, принадлежащим к соответствующему классу универсальности.

Разработанные способы количественной оценки чувствительности синхронного хаотического аттрактора к шуму и расстройке параметров подсистем имеют методическое значение, и могут быть использованы при выборе динамических режимов, наиболее подходящих для применения в системах скрытой передачи информации на основе хаотических сигналов.

Работа выполнялась в рамках научно-исследовательских работ, проводимых при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант №00-02-17509) и Научно-образовательного центра нелинейной динамики и биофизики Саратовского государственного университета (грант Американского фонда гражданских исследований и развития и Минобразования РФ REC-006).

Апробация работы и публикации. Основные материалы работы представлялись на международных конференциях "The 6th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" NDES'98 (Budapest, Hungary 1998), "1998 International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications" NOLTA'98 (Crans-Montana, Switzerland 1998), "6th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formations" CHAOS'Ol (Saratov, Russia 2001), "Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations. Applications in Physics, Biology and Medicine" SYNCHRO-2002 (Saratov, Russia 2002), на научном семинаре CO ИРЭ РАН.

Основное содержание работы изложено в 11 публикациях (5 статей в рецензируемых журналах, 2 статьи в сборниках, 4 тезисов докладов).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 186 страниц, включая 38 страниц иллюстраций и 15 страниц списка литературы из 167 наименований.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Жалнин, Алексей Юрьевич

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. На основе метода рациональных аппроксимаций исследован бифуркационный механизм перехода от притягивающего гладкого тора к странному нехаотическому аттрактору (СНА) через перемежаемость в квазипериодически возбуждаемом отображении Эно. Множество, аппроксимирующее гладкий тор для рациональных значений параметра частоты (подходящие дроби), сталкивается с кольцеобразным множеством неустойчивых орбит (КМНО), вложенным в бассейн притяжения гладкого тора, и происходит рождение СНА перемежающегося типа. Аргументируется, что в квазипериодическом пределе такой переход соответствует столкновению гладкого тора с вложенным в бассейн притяжения хаотическим седлом.

2. Показано, что столкновение СНА или хаотического аттрактора с КМНО внутри гладкого бассейна притяжения приводит к внутреннему кризису расширения аттрактора. С другой стороны, если бассейн притяжения аттрактора изрешечен и имеет фрактало-подобную структуру (что справедливо, например, при наличии гомоклинического пересечения многообразий седлового тора, лежащего на границе бассейна), то столкновение притягивающего гладкого тора, СНА или хаотического аттрактора с КМНО приводит к кризису, который разрушает аттрактор, и возникновению разбегания траекторий.

2 1

3. Для гладкого обратимого отображения в R xS (на примере квазипериодически возбуждаемого отображения Эно) обнаружен новый тип устройства окрестности гладкой притягивающей инвариантной кривой тора") Т: {(ху,9) е R2xS* | д: = х(в), у = у(0), в<= [0,1)}. Его возникновение связано с потерей гладкости (фрактализацией) зависимости ляпу1

Ч новских векторов к ' (9), определяющих направления сжатия с разными ляпуновскими показателями для фазового объема в окрестности гладкой притягивающей инвариантной кривой, от фазы внешней силы 0.

4. Существование нового типа окрестности инвариантной кривой Т объясняется на основе метода рациональных аппроксимаций. Оказывается, что множество, аппроксимирующее инвариантную кривую Т для рациональных значений параметра частоты (подходящие дроби), состоит из периодических орбит разных типов — узел и фокус — на сколь угодно глубоком уровне аппроксимации. Инвариантная кривая, имеющая окрестность нового типа, не может претерпевать регулярных бифуркаций (удвоение, потеря симметрии, седло-узловая бифуркация). Эволюция и разрушение такой инвариантной кривой может происходить лишь по фазозависимым механизмам, с образованием странного нехаотического аттрактора или разбегания траекторий. f •

5. Предложена процедура управления хаосом в квазипериодически возбуждаемых системах путем стабилизации движения в окрестности неустойчивого тора посредством малого воздействия. Для этого в управляемую систему вносится дополнительное воздействие в форме пропорциональной обратной связи, и она синхронизируется с опорной системой. В качестве последней выбирается система, аналогичная управляемой, но при значениях параметров, отвечающих устойчивому квазипериодическому движению. Работоспособность метода проиллюстрирована на примере квазипериодически возбуждаемого логистического отображения и бигармонически возбуждаемого осциллятора Дуффинга.

6. Исследованы свойства скейлинга, имеющие место в окрестности критической точки отображения окружности с числом вращения "золотое среднее" (критическая точка GM), при наличии дополнительного периодического внешнего воздействия на систему. Для этого была проведена модификация ренормгруппы Фейгенбаума-Каданова-Шенкера, и рассмотрены возмущения неподвижной точки уравнения ренормгруппы, отвечающие включению периодического воздействия. Показано, что, в зависимости от частоты воздействия, могут реализоваться два типа скейлинга - периодическое повторение конфигурации областей при преобразовании подобия (скейлинг Р-типа) и квазипериодическое поведение (скейлинг Q-типа). Свойства самоподобия окрестности критической точки в пространстве параметров проиллюстрированы построенными на компьютере картами ляпуновского показателя на плоскости параметров.

7. На примере системы из двух связанных идентичных одномерных отображений исследованы статистические свойства режимов слабой хаотической синхронизации в присутствии малой расстройки параметров подсистем и шума. Введены удобные показатели, количественно характеризующие степень локальной трансверсальной неустойчивости слабо устойчивого синхронного хаотического аттрактора, и его чувствительность к вариации расстройки параметров и уровня шума. Новые показатели могут быть получены численно непосредственно на основе линейного анализа локальной трансверсальной неустойчивости траекторий на слабо устойчивом синхронном хаотическом аттракторе, т.е. без внесения в систему реального шума или расстройки параметров.

8. Характеристики степенных законов, задающих зависимость среднего времени, проводимого траекторией в окрестности диагонали (средняя длина ламинарной фазы в режиме "пузырения" аттрактора и средняя длина хаотического переходного процесса в случае изрешечивания бассейна) от уровня шума и расстройки параметров, могут быть выражены через новые показатели параметрической и шумовой чувствительности. Показано, что, при воздействии расстройки параметров или малого шума с ограниченным распределением на данный режим слабой синхронизации, значения показателей параметрической и шумовой чувствительности совпадают. Следовательно, расстройка параметров и шум характеризуются одинаковыми свойствами скейлинга временных интервалов в режимах слабой синхронизации, хотя с точки зрения распределения и корреляционных свойств эти типы воздействия принципиально различны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с поставленными целями в диссертационной работе исследованы механизмы динамических переходов от регулярного квазипериодического движения к хаосу и кризисов аттракторов в нелинейных системах осцилляторного и автогенераторного типов под внешним воздействием (периодическим и квазипериодическим); исследованы статистические характеристики режимов слабой синхронизации хаотических автоколебаний связанных систем в присутствии малой расстройки параметров и шума.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жалнин, Алексей Юрьевич, 2003 год

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний, М.: Паука, 1981, 568с.

2. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний, М.: Наука, 1987.

3. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика, М.: Мир, 1984, 528с.

4. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания, М.: Наука, 1987, 424с.

5. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн, М.: Наука, 1992, 456с.

6. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах, М.: Наука, 1990,312с.

7. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Механика, М.: Наука, 1965, 203с.

8. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний, Красноярск, Изд-во Красноярского ун-та, 1995, 429с.

9. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания, М.: Физматлит, 2002, 292с.

10. Ю.Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике, М.: Наука, 1981.

11. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы, М.: Наука, 1980.

12. Андронов А.А., Витт А.А "К теории захватывания Ван-дер-Поля", Собр. тр. А.А. Андронова. М.: Изд-во АН СССР, 1956.

13. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем, Саратов, Изд-во Саратовского ун-та, 1999,367с.

14. Fujisaka Н., Yamada Y. "Stability theory of synchronized motion in coupled oscillatory systems", Prog. Theor. Phys., 1983, Vol.69, P.32.

15. Pikovsky A.S. "On the interaction of strange attractors", Z. Phys. B, 1984, Vol.55, P.149.

16. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. "Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах", Изв. вузов. Радиофизика, 1989, Т.29, №9, С. 1050.

17. Pecora L., Carroll Т. "Synchronization in chaotic systems", Phys. Rev. Lett., 1990, Vol.64, P.821.

18. Кузнецов С.П. "Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума", Изв. вузов. Радиофизика, 1985, Т.28, №8, С.991.

19. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А. "Synchronization of chaos", Int. J. Of Bifurcation and Chaos, 1992, Vol.2, №3, P.633.

20. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Постнов Д.Э.,. Сафонова М.А. "Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса", Радиотехника и электроника, 1991, Т.36, №2, С.338.

21. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. "The mechanism of stochastic resonance", J. Phys. A: Math. Gen., 1981, Vol.14, P.L453.

22. Benzi R., Parisi G., Sutera A., Vulpiani A. "Stochastic resonance in climatic change", Tellus, 1982, V.34, P.10.

23. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JI. "Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка", УФН, 1999, Т. 169, №1, С.7. .

24. Anishchenko V.S., Neiman А.В., Safonova М.А. "Stochastic resonance in chaotic systems", J. Stat. Phys., 1993, Vol.70, №1/2, P. 183.

25. Anishchenko V., Neiman A. "Stochastic synchronization", Stochastic Dynamics, Eds. L. Schimansky-Geier and T. Poschel. Berlin: Springer, 1997, P.155.

26. Анищенко B.C., Нейман А.Б. "Стохастический резонанс и стохастическая синхронизация", Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1997, Т.5, №1, С.5.

27. Grebogi С., Ott Е., Pelikan S., Yorke J.A. "Strange attractors that are not chaotic", Physica D 13, 1984, P.261.

28. Kapitaniak Т., Wojewoda J. Attractors of Quasiperiodically Forced Systems, World Scientific, Singapore, 1993, 90p.

29. Romeiras F.J., Bondeson A., Ott E., Antonsen T.M., Grebogi C. "Quasiperiodically forced dynamical systems with strange nonchaotic attractors", Physica D, 1987, Vol.26, P.277.

30. Romeiras F.J., Ott E. "Strange nonchaotic attractors of the damped pendulum with quasiperiodic forcing", Phys. Rev. A, 1987, Vol.35, P.4404.

31. Ding M., Grebogi C., Ott E. "Evolution of attractors in quasiperiodically forced systems", Phys. Rev. A, 1989, Vol.39, P.2593.

32. Kapitaniak Т., Ponce E., Wojewoda J. "Route to chaos via strange nonchaotic attractors", J. Phys. A, 1990, Vol.23, P.L383.

33. Bezruchko В.Р., Kuznetsov S.P., Seleznev Y.P. "Experimental observation of dynamics near the torus-doubling terminal critical point", Phys. Rev. E, 2000, Vol.62, P.7828.

34. Zhou Т., Moss F., Bulsara A. "Observation of a strange nonchaotic attractor in multistable potential", Phys. Rev. A, 1992, Vol.45, P.5394.

35. Yang Т., BilimgutK., Phys. Lett. A, 1997, Vol.236, P.494.

36. Ditto W.L., Spano M.L., Savage H.T., Rauseo S.N., Heagy J., Ott E. "Experimental observation of a strange nonchaotic attractor", Phys. Rev. Lett. 1990, Vol.65, P.533.

37. Ландау JI.Д. "К проблеме турбулентности", ДАН СССР, 1944, Т.44, №8, С.339. (См. также: Ландау Л.Д. Собрание трудов. М.: Наука, 1969, С.477.)

38. Ruelle D., Takens F. "On the nature of turbulence", Commun. Math. Phys., 1971, V.20, P. 167. (Рюэль Д., Такенс Ф., "О природе турбулентности", Странные аттракторы, Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова, М.: Мир, 1981, С.117.)

39. Hubler A.W., Luscher Е. "Resonant stimulation and control of nonlinear oscillations", Naturwissenschaft, 1989, Vol.76, P.67.

40. Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. "Controlling chaos", Phys. Rev. Lett., 1990, Vol.64., P.1196.

41. Shinbrot Т., Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. "Using small perturbations to control chaos", Nature, 1993, V.363, P.411.

42. Афраймович B.C., Шильников Л.П. "О малых периодических возмущениях автономных систем", ДАН СССР, 1974, Т.24,№4, С.739.

43. Афраймович B.C., Шильников Л.П. "Принцип кольца и задача о взаимодействии двух автоколебательных систем", ПММ, 1977, Т.42, №4, С.618.

44. Афраймович B.C., Шильников Л.П. "Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность", Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1983, С.З.

45. Newhouse S., Ruelle D., Takens F. "Occurence of strange axiom A attrac-tors near quasi-periodic flows on f1, т>У, Comm. Math. Phys., 1979, V.64, №1, P.35.

46. Shilnikov L.P. "Bifurcation theory and turbulence", Nonlinear and Turbulent Processes, Gordon and Breach, Harward Academic Publishers, 1984, V.2, P.1627.

47. Arnold V.I. Mathematical methods of classical mechanics, Berlin: Springer, 1974.

48. Арнольд В.И. "Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонан-сов", Нелинейные волны, М.: Наука, 1979, С.116.

49. Arnold V.I. "Cardiac arrythmias and circle mappings", CHAOS, 1991, Vol.1, № 1, P.20.

50. Шустер Г. Детерминированный хаос, М.: Мир, 1988.

51. Кузнецов С.П. Динамический хаос, М.: Физматлит, 2001, 296с.

52. Shenker S.J. "Scaling behavior in a map of a circle onto itself: Empirical results", Physica 5 D, 1982, P. 405.

53. Feigenbaum M.J., Kadanoff L.P., Shenker SJ. "Quasiperiodicity in dissipa-tive systems: a renormalization group analysis", Physica D, 1982, Vol.5, P.370.

54. Rand D., Ostlund S., Sethna J., Siggia E. "Universal transition from quasiperiodicity to chaos in dissipative systems", Phys. Rev. Lett., 1982, Vol.49, №>2, P. 132.

55. Ostlund S., Rand D., Sethna J., Siggia E. "Universal properties of the transition from quasi-periodicity to chaos in dissipative systems", Physica D, 1983, Vol.8, P.303.

56. Cuomo K.M., Oppenheim A.V. "Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications", Phys. Rev. Lett., 1993, Vol.71, P.65.

57. Kocarev L., Halle K.S., Eckert K., Chua L.O., Parlitz U. "Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization", Int. J. Bif. Chaos Appl. Sci. Eng., 1992, Vol.2, P.973.

58. Kocarev L., Parlitz U. "General approach for chaotic synchronization with applications to communication", Phys. Rev. Lett., 1995, Vol.74, P.5028.

59. Abarbanel H.D.I., Lincay P.S. "Secure communications and unstable periodic orbits of strange attractors", IEEE Trans. Circuits and Systems, 1993, Vol.40, P.643.

60. Dmitriev A.S. "Application maps with stored information in CDMA communication systems", Proc. of the 1-st Int. Conf. on Control of Oscillations and Chaos. St. Petersburg, Russia, August 27-29, 1997. Vol.2, P.211.

61. Rulkov F. "Images of synchronized chaos: Experiments with circuits", Chaos, 1996, Vol.6, 262.

62. Pikovsky A., Grassberger P. "Symmetry breaking bifurcation for coupled chaotic attractors", J. Phys. A: Math. Gen., 1991, Vol.24, P.4587.

63. Venkataramani S.C., Hunt B.R., Ott E. "Bubbling transition", Phys. Rev. E, 1996, Vol.54, P.1346.

64. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. "From attractor to chaotic saddle: a tale of transverse instability", Nonlinearity, 1996, Vol.9, P.703.

65. Lai Y.-C., Grebogi C., Yorke J.A., Venkataramani S.C. "Riddling bifurcation in chaotic dynamical systems", Phys Rev. Lett., 1996, Vol.77, P.55.

66. Astakhov V., Shabunin A., Kapitaniak Т., Anishchenko V. "Loss of chaos synchronization through the sequence of bifurcations of saddle periodic orbits", Phys. Rev. Lett., 1997, Vol.79, P. 1014.

67. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L., Popovich A., Mosekilde E. "Transverse instability and riddled basins in a system of two coupled logistic maps", Phys. Rev. E, 1998, Vol.57, P.2713.

68. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L., Popovich A., Mosekilde E. "Desynchronization of chaos in coupled logistic maps", Phys. Rev. E, 1999, Vol.60, P.2817.

69. Popovich О., Maisternko Yu.L., Mosekilde E., Pikovsky A., Kurths J. "Transcritical loss of synchronization in coupled chaotic systems", Phys. Lett. A, 2000, Vol.275, P.401.

70. Popovich O., Maisternko Yu.L., Mosekilde E., Pikovsky A., Kurths J. "Transcritical riddling in a system of coupled maps", Phys. Rev. E, 2001, Vol.63, 036201.

71. Maistrenko Yu.L., Maistrenko V.L., Popovich A., Mosekilde E. "Role of the absorbing area in chaotic synchronization", Phys. Rev. Lett., 1998, Vol.80, P.1638.

72. Bischi G.-I., Gardini L. "Role of invariant and minimal absorbing areas in chaos synchronization", Phys. Rev. E, 1998, Vol.58, P.5710.

73. Kim S.-Y., Lim W. "Mechanism for the riddling transition in coupled chaotic systems", Phys. Rev. E, 2001, Vol.63, 026217.

74. Kim S.-Y., Lim W., Kim Y. "New riddling bifurcation in asymmetric dynamical systems", Prog. Theor. Phys., 2001, Vol.105, P. 187.

75. Kim S.-Y., Lim W. "Effect of asymmetry on the loss of chaos synchronization", Phys. Rev. E, 2001, Vol.64, 016211.

76. Mira C., Gardini L., Barugola A., Cathala J.-C. Chaotic Dynamics in Two-Dimensional Noninvertible Maps, World Scientific, Singapore, 1996.

77. Abraham R.H., Gardini L., Mira C. Chaos in Discrete Dynamical Systems, Springer, New-York, 1997.

78. Ashwin P., Buescu J., Stewart I. "Bubbling of attractors and synchronization of oscillators", Phys. Lett. A, 1994, Vol. 193, P.126.

79. Heagy J.F., Carroll T.L., Pecora L.M. "Desynchronization by periodic orbits", Phys. Rev. E, 1995, Vol.52, P. 1253.

80. Venkataramani S.C., Hunt B.R., Ott E., Gauthier D.J., Bienfang J.C. "Transitions to bubbling of chaotic systems", Phys. Rev. Lett., 1996, Vol.77, P.5361.

81. Alexander J.C., Yorke Y.A., You Z., Kan I. "Riddled basins", Int. J. Bif. Chaos Appl. Sci. Eng., 1992, Vol.2, P.795.

82. Ott E., Sommerer J.C., Alexander J.C., Kan I., Yorke J.A. "Scaling behavior of chaotic systems with riddled basins", Phys. Rev. Lett., 1993, Vol.71, P.4134.

83. Ott E., Sommerer J.C., Alexander J.C., Kan I., Yorke J.A. "A transition to chaotic attractors with riddled basins", Physica D, 1994., Vol.76, P.384.

84. Heagy J.F., Carroll T.L., Pecora L.M. "Experimental and numerical evidence for riddled basins in coupled chaotic systems", Phys. Rev. Lett., 1994, Vol.73, P.3528.

85. Ott E., Sommerer J.C. "Blowout bifurcations: the occurrence of riddled basins and on-off intermittency", Phys. Lett. A, 1994, Vol.188, P.39.

86. Nagai Y., Lai Y.-C. "Periodic-orbit theory of the blow-out bifurcation", Phys. Rev. E, 1997, Vol.56, P.4031.

87. Kim S.-Y., Kook H. "Critical behavior in coupled nonlinear systems", Phys. Rev. A, 1992, Vol.46, P.R4467.

88. Astakhov V., Hasler M., Kapitaniak Т., Shabunin A., Anishchenko V. "The effect of parameter mismatch on the mechanism of chaos synchronization loss in coupled systems", Phys. Rev. E, 1998, V.58, №5, P.5620.

89. Kim S.-Y., Lim W., Kim Y. "Effect of parameter mismatch and noise on weak synchronization", Prog. Theor. Phys., 2002, Vol.107, P.239.

90. Pikovsky A., Feudel U. "Characterizing strange nonchaotic attractors", CHAOS, 1995, Vol.5, P.253.

91. Kuznetsov S., Pikovsky A., Feudel U. "Birth of a strange nonchaotic at-tractor: Renormalization group analysis", Phys. Rev. E, 1995, Vol.51, P.R1629.

92. Kuznetsov S., Feudel U., Pikovsky A. "Renormalization group for scaling at the torus-doubling terminal point", Phys. Rev. E, 1998, Vol.57, P.1585.

93. Kuznetsov S.P., Neumann E., Pikovsky A., Sataev I.R. "Critical point of tori collision in quasiperiodically forced systems", Phys. Rev. E, 2000, Vol.62, P. 1995.

94. Kuznetsov S.P. "Torus fractalization and intermittency", Phys. Rev. E, 2002, Vol.65, 066209.

95. Ding M., Grebogi C., Ott E. "Dimensions of strange nonchaotic attractors", Phys. Lett. A, 1989, Vol.137, P.167.

96. Hunt B.R., Ott E. "Fractal properties of robust strange nonchaotic attractors", Phys. Rev. Lett., 2001, Vol.87, №25, 254101.

97. Stark J. "Invariant graphs for forced systems", Physica D, 1997, Vol.109, P.163.

98. Keller G. "A note on strange nonchaotic attractors", Fundamenta Mathematical 1996, Vol. 151, P. 139.

99. Pikovsky A., Feudel U. "Correlations and spectra of strange nonchaotic attractors", J. Phys. A: Math., Gen. 1994, Vol.27, P.5209.

100. Feudel U., Pikovsky A., Politi A. "Renormalization of correlations and spectra of a strange nonchaotic attractor", J. Phys. A, 1996, Vol.29, P.5297.

101. Feudel U., Pikovsky A.S., Zaks M.A. "Correlation properties of quasiperiodically forced two-level system", Phys. Rev. E, 1995, Vol.51, P. 1762.

102. LiuZ., ZhuZ.,Int. J. Bif. & Chaos, 1996, Vol.6, P. 1383.

103. Liu Z., ZhuZ., Int. J. Bif. & Chaos, 1997, Vol.7, P.227.

104. Ding M., Scott-Kelso J. "Phase-resetting map and the dynamics of quasiperiodically forced biological oscillators", Int. J. Bif. Chaos, 1994, Vol.4, P.553.

105. Nishikawa Т., Kaneko K. "Fractalization of torus as a strange nonchaotic attractor", Phys. Rev. E, 1996, Vol.54, P.6114.

106. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Сосновцева O.H. "Механизмы рождения странного нехаотического аттрактора в отображении кольца сквазипериодическим внешним воздействием", Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1995, Т.З, №3, С.34.

107. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva О. "Mechanisms of ergodic torus destruction and appearance of strange nonchaotic attractor", Phys. Rev. E, 1996, Vol.53, P.4451.

108. Heagy J.F., Hammel S.M. "The birth of strange nonchaotic attractor", Physica D 70,1994, P.140.

109. Feudel U., Kurths J., Pikovsky A. "Strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced circle map", Physica D, 1995, Vol.88, P. 176.

110. Prasad A., Mehra V., Ramaswamy R. "Intermittency route to strange nonchaotic attractors", Phys. Rev. Lett., 1997, Vol.79, №21, P.4127.

111. Prasad A., Mehra V., Ramaswamy R. "Strange nonchaotic attractors in the quasiperiodically forced logistic map", Phys. Rev. E, 1998, Vol.57, P.1576.

112. Kim S.-Y., Lim W., Ott E. "Mechanism for the intermittency route to strange nonchaotic attractors", to appear in Phys. Rev. E.

113. Witt A., Feudel U., Pikovsky A. "Birth of strange nonchaotic attractors due to interior crisis", Physica D, 1997, Vol.109, P. 180.

114. Lai Y.-C. "Transition from strange nonchaotic to strange chaotic attractors", Phys. Rev. E, 1996, Vol.53, P.57.

115. Sosnovtseva O., Feudel U., Kurths J., Pikovsky A., Phys. Lett. A, 1996, Vol.218, P.255.

116. Negi S.S., Prasad A., Ramaswamy R. "Bifurcations and transitions in the quasiperiodically driven logistic map", Physica D, 2000, Vol.145, P.l.

117. Osinga H.M., Feudel U. "Boundary crisis in quasiperiodically forced systems", Physica D, 2000, Vol.141, P.54.

118. Kim S.-Y. Частное сообщение о структуре пространства параметров диссипативного маятника под бигармоническим параметрическим воздействием.

119. Анищенко B.C. "Индуцированные внешним воздействием фазовые переходы в радиофизической системе со странным аттрактором", Флуктуационные явления в физических системах. III Всесоюзная конференция. Изд-во АН ЛитССР, 1983, сс.24-26.

120. Kaneko К. "Doubling of torus", Prog. Theor. Phys., 1983, Vol.69, P.1806.

121. Кузнецов С.П. "О воздействии периодического внешнего возмущения на систему, демонстрирующую переход порядок хаос через бифуркации удвоения периода", Письма в ЖЭТФ, 1984, Т.39, С.113.

122. Каток А.Б., Хасселблатт Б., Введение в современную теорию динамических систем, М.: Факториал, 1999.

123. Lai Y.-C., Grebogi С., Yorke J.A., in: Applied Chaos, eds. J.H. Kim and J. Stringer, Wiley, New-York, 1992.

124. Grebogi C., Ott E., Yorke J.A. "Crises, sudden changes in chaotic at-tractors, and transient chaos", Physica D, 1983, Vol.7, P.181.

125. Venkatesan A., Lakshmanan M. "Interruption of torus-doubling bifurcation and genesis of strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced map: mechanisms and their characterizations", Phys. Rev. E, 2001, Vol.63, 026219.

126. Ditto W.L., Rauseo S.N., Spano M.L. "Experimental control of chaos", Phys. Rev. Lett., 1990, Vol.65, P.3211.

127. Shinebrot Т., Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. "Using chaos to direct trajectories to targets", Phys. Rev. Lett., 1990, Vol.65, P.3215.

128. Singer J., Wang Y., Bau H. "Controlling chaotic systems", Phys. Rev. Lett, 1991, Vol.66, P.l 123.

129. Romeiras F.J, Grebogi C, Ott E, Dayawasn W.P. "Controlling chaotic dynamical systems", Physica D, 1992, Vol.58, P. 165.

130. Pyragas K, Phys. Lett. A, 1992, Vol.170, P.421.

131. Abed E.H., Wang H.O., Chen R.C. "Stabilization of period doubling bifurcations and implications for control of chaos", Physica D, 1994, Vol.70, P. 154.

132. Астахов В.В., Шабунин А.В. "Синхронизация хаотических осцилляторов посредством периодической модуляции коэффициента связи", Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1997, Т.5, №1, С. 15.

133. Astakhov V.V., Anishchenko V.S., Kapitaniak Т., Shabunin A.V. "Synchronization of chaotic oscillators by periodic parametric perturbations", Physica D, 1997, Vol. 109, № 1,2, P. 11.

134. Daido H. "On the scaling behavior in a map of a circle onto itself', Prog. Theor. Phys., 1982, Vol.68, №6, P.1935.

135. Jensen M.H., Bak P., Bohr T. "Complete devil's staircase, fractal dimension, and universality of mode-locking structure in the circle map", Phys. Rev. Lett., 1983, Vol.50, P.1637.

136. Jensen M.H., Bak P., Bohr T. "Transition to chaos by interaction of resonances in dissipative systems. I. Circle maps", Phys. Rev. A, 1984, Vol.30, P. 1960.

137. Wang X.W., Mainieri R., Lowenstein J.H. "Circle map scaling in a two-dimensional settings", Phys. Rev. A, 1989, Vol.40, P.5382.

138. Kim S., Ostlund S. "Universal scaling in circle map", Physica D, 1989, Vol. 39, №2-3, P.365.

139. Cvitanovic P., Shraiman В., Soderberg B. "Scaling laws for mode-locking in circle maps", Phys. Scr., 1985, Vol.32, P.263.

140. Cvitanovic P., Gunaratne G.H., Vinson M.J. "On the mode-locking universality for critical circle map", Nonlinearity, 1990, Vol.3, P.873.

141. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1978, 304с.

142. Синай Я.Г., Ханин К.М., Щур JI.H. "Новый подход к построению неподвижных точек ренормгруппы в динамических системах", Изв. вузов. Радиофизика, 1986, Т.29, №9, С. 1061.

143. Rand D. "Fractal bifurcation sets, renormalization strange sets, and their universal invariants", Proc. Roy. Soc. (London) 1987, Vol. A 413, P.45.

144. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Иваньков Н.Ю., Осин А.А. "Скейлинг при переходе к хаосу через разрушение квазипериодического движения с отношением частот, заданным золотым средним", Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, т.8, 2000, №4, С.З.

145. Kuznetsov S.P., Pikovsky A.S. "Renormalization group for the response function and spectrum of the period-doubling system", Phys. Lett. A, 1989, Vol.140, №4, P. 166.

146. Ivan'kov N.Yu., Kuznetsov S.P. "Different types of scaling in the dynamics of period-doubling maps under external periodic driving", Discrete Dynamics in Nature and Society, 2000, Vol.5, P.223.

147. Graham R.L., Knuth D.E., and Patashnik O., Concrete Mathematics, Addison Wesley Publ., 1989.

148. Bohr Т., Bak P., Jensen M.H. "Transition to chaos by interaction of resonances in dissipative systems. II. Josephson junctions, charge-density waves, and standard maps", Phys. Rev. A, 1984, Vol.30, P. 1970.

149. Glazier J.A., Gunaratne G., Libchaber A. "F(a) curves experimental results", Phys. Rev. A, 1988, Vol.37, P.523.

150. Glazier J.A., Libchaber A. "Quasi-periodicity and dynamical systems — An experimentalists view", IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1988, Vol.35, P.790.

151. Stavans J., Helsot F., Libchaber A. "Fixed winding number and the qua-siperiodic route to chaos in a convective fluid", Phys. Rev. Lett., 1985, Vol.55, P.595

152. Леви Б.Г. "Новый глобальный фрактальный формализм описывает различные сценарии перехода к хаосу", Физика за рубежом. Вып.87, М.: Мир, 1987,263с.

153. Eckmann J.-P., Procaccia I. "Fluctuations of dynamical scaling indices in nonlinear systems", Phys. Rev. A, 1986, Vol.34, №1, P.659.

154. Fujisaka H. "Statistical dynamics generated by fluctuations of local Ly-apunov exponents", Prog. Theor. Phys., 1983, Vol.70, №5, P. 1264.

155. Ширяев A.H. Вероятность. M.: Наука, 1989, 640c.

156. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

157. Жалнин А.Ю. "Управление хаосом в неавтономных системах с квазипериодическим возбуждением", Письма в ЖТФ, 1999, Т.25, вып. 16, С.63.

158. Bezruchko В.Р., Zhalnin A.Y. "Controlling Chaos in Quasiperiodically Driven Logistic Map Via Synchronization", in Proceedings of 1998 International Symposium on Nonlinear Theory and its Application (NOLTA'98), Crans-Montana, Switzerland, Vol.2, P.551.

159. Bezruchko B.P., Zhalnin A.U. "Stabilization of Quasiperiodic Orbit via Synchronization", in Proceedings of 6-th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'98), Budapest, Hungary, P.227.

160. Жалнин А.Ю. "Об инвариантных многообразиях устойчивых траекторий в квазипериодически возбуждаемых системах", Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика, 2000, Т.8, №3, С. 17.

161. Жалнин А.Ю., Кузнецов С.П. Универсальность и скейлинг в отображении окружности с периодическим внешним воздействием. Изв. вузов, Прикладная нелинейная динамика, т. 10, 2002, №6, С.З.

162. Pattern Formation, (October 2-7, 2001, Saratov, Russia), P.67.

163. V 164. Jalnine A., Kim S.-Y. "Characterization of the parameter-mismatchingeffect on the loss of chaos synchronization", Phys. Rev. E, 2002, Vol.65, 026210.

164. Kim S.-Y., Lim W., Jalnine A., Kuznetsov S.P. "Characterization of the noise effect on weak synchronization", Phys. Rev. E, 2003, Vol.67, 016217.