Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Ануфриева, Мария Вячеславовна

• Ануфриева, Мария Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ануфриева, Мария Вячеславовна

Введение

1 Исследование универсальных свойств порога внешней синхронизации хаотических систем

1.1 Синхронизация хаоса

1.2 Способы определения порога синхронизации.

1.3 Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Лоренца.

1.4 Исследование зависимости амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя для системы Ресслера.

1.5 Выводы.

2 "Странный нехаотический аттрактор" в трехмерной автономной дифференциальной системе

2.1 Странный нехаотический аттрактор.

2.2 Основные свойства "странного нехаотического аттрактора"

2.3 Некоторые дополнительные характеристики "странного нехаотического аттрактора".

2.4 Выводы.

3 Стохастический резонанс в бистабильной системе под воздей ствием хаотического сигнала

3.1 Стохастический резонанс.

3.2 Постановка задачи.

3.3 Бистабильный осциллятор под гармоническим воздействием

3.4 Бистабильный осциллятор под воздействием хаотического сигнала

3.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Порог синхронизации и стохастический резонанс в системах с негиперболическим хаосом»

Математическая теория динамического хаоса в нелинейных системах, базирующаяся на аксиомах и строго доказанных теоремах, имеет дело только с гиперболическими системами [1]- [7]. Гиперболичность подразумевает, что все траектории в фазовом пространстве динамической системы имеют седловой тип, с хорошо определенными подпространствами устойчивых и неустойчивых направлений в окрестности траектории. Гиперболические системы дис-сипативного типа, в которых динамика сопровождается сжатием фазового объема, демонстрируют странные аттракторы с хаотическими свойствами. Примерами гиперболических аттракторов являются искусственными математические конструкции, такие, как аттрактор Плыкина и соленоид Смейла-Вильямса [8].

Доказано, что гиперболические странные аттракторы являются грубыми (структурно устойчивыми) [1]- [5]. Грубость означает нечувствительность характера движений и структуры взаимного расположения траекторий в фазовом пространстве по отношению к малым вариациям уравнений, задающих динамику системы. При этом старший показатель Ляпунова, отвечающий за степень хаотичности, а так же чувствительность динамики по отношению к возмущениям начальных условий, зависят от параметров гладким образом без провалов в область отрицательных значений, что характерно в случае негиперболического аттрактора).

Однако, математическая теория гиперболического хаоса никогда не была применена убедительно к какому-либо физическому объекту, несмотря на то, что ее концепции постоянно используются для интерпретации хаотического поведения реальных нелинейных систем.

Следует отметить, что широко исследуемые нелинейные системы со сложной динамикой, имеющие в основе конкретный физический процесс, например, хаотические автогенераторы, нелинейные осцилляторы с периодическим внешним воздействием, модель Ресслера и др., не относятся к классу гиперболических систем [7]- [11]. Как правило, наблюдаемый в них хаос связан с так называемым квазиаттрактором, который наряду с хаотическими траекториями включает также устойчивые орбиты большого периода. (Последние обычно не различимы при численном решении уравнений на компьютере из-за малости их бассейнов притяжения.) Строгое математическое описание квазиаттракторов остается нерешенной проблемой, хотя в физических системах негиперболичность эффективно маскируется в силу присутствия шума. В модели Лоренца в определенной области параметров хаотический аттрактор, как доказано, обладает основными свойствами гиперболических аттракторов (с оговорками, касающимися нарушения в некоторых деталях аксиоматических положений гиперболической теории), и динамика характеризуется как квазигиперболическая [12]- [13]. Так же известны квазигиперболические аттракторы Лози [14] и Белыха [15], [15]

Известно немного теоретических работ, в которых обсуждаются примеры гиперболического хаоса в системах, описываемых дифференциальными уравнениями [17]- [19]. Так же в работе [20] представлен пример физической неавтономной системы, обладающей странным хаотическим аттрактором, который по мнению автора относится к классу гиперболических аттракторов.

Однако, гораздо чаще в реальных физических системах регистрируются хаотические аттракторы, которые никак нельзя отнести к классу гиперболических. И, следовательно, к ним невозможно применить все те математические теоремы, которые были строго доказаны только для гиперболических систем. Но поскольку таких систем большинство, то вопрос об их свойствах и характеристиках не является праздным, и раз уж строгое математическое описание не представляется возможным, то остается использовать другие методы исследования - в частности численный эксперимент.

Таким образом, представляется необходимым выявить и систематизировать отличительные экспериментальные характеристики негиперболических аттракторов, которые можно использовать для их исследований при компьютерном моделировании.

В рамках данной диссертационной работы рассматривается ряд характеристик негиперболических систем, которые могут быть использованы для их описания. В частности проверяется наличие универсальной зависимости между порогом синхронизации хаотической системы внешним периодическим сигналом и степенью хаотичности системы, исследуется поведение бистабиль-ного осциллятора, находящегося под воздействием сигнала, представляющего собой хаотический аттрактор спирального типа. А так же проводятся исследования нового режима, обнаруженного в автономной системе, свойства которого близки с свойствам странного нехаотического аттрактора. Все эти исследования направлены на то, чтобы расширить знания о свойствах негиперболических систем.

Актуальность работы определяется важностью проблемы определения свойств и характеристик систем с негиперболическим хаосом. Из-за невозможности строго математического описания такие системы можно исследовать только с помощью физического или численного эксперимента. В представленной работе, с использованием второго из указанных методов, были исследованы некоторые закономерности, присущие негиперболическим системам.

Так же было показано, что закономерности, выявленные в численном эксперименте для систем с квазигиперболическим аттрактором, не справедливы для систем, демонстрирующих негиперболические режимы, хотя иногда такие экстраполяции исследователями производятся.

Следует отметить, что, как уже говорилось ранее, строгое математическое описание негиперболических систем не представляется возможным, следовательно приходится обходиться экспериментальными методами. Поэтому любые исследования, проводимые в этом направлении имеют большое значение, особенно если принять во внимание тот факт, что реальные физические системы относятся к классу негиперболических.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании ряда характеристик и свойств негиперболического хаоса, в частности:

1. Порог синхронизации внешним периодическим сигналом и его взаимосвязь со степенью хаотичности режима автоколебаний.

2. Возможности реализации режима хаотических автоколебаний в автономных трехмерных системах, близких по свойствам к известным странным нехаотическим аттракторам неавтономных систем.

3. Закономерность прохождения хаотического сигнала, отвечающего режиму спирального (фазокогерентного) хаоса, через бистабильную систему в режиме стохастического резонанса.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые установлено, что степенная зависимость порога синхронизации хаотической системы, находящейся под внешним гармоническим воздействием, от старшего показателя Ляпунова выполняется лишь для систем с квазигиперболическим аттрактором, и принципиально нарушается для негиперболических систем.

2. Впервые выявлена возможность генерации автономной потоковой динат мической системой режима, по свойствам очень близкого к странному нехаотическому аттрактору.

3. Проведен детальный анализ поведения бистабильной системы, находящейся под воздействием сигнала, соответствующего спиральному хаотическому аттрактору.

Научно-практическое значение результатов работы заключается в том, что ее результаты расширяют наше представление о структуре и свойствах хаотической динамики маломерных диссипативных систем, не удовлетворяющих условиям гиперболичности. Так как практически все известные хаотические системы не являются гиперболическими, результаты настоящей работы могут быть использованы для понимания многих экспериментальных результатов исследования хаоса.

Достоверность научных выводов работы подтверждается соответствием некоторых результатов, полученных при выполнении диссертационной работы, с результатами и гипотезами, высказанными в ряде известных опубликованных работ. При численном моделировании применялись известные и широко используемые алгоритмы и программы, исключающие ошибки программирования. Расчеты проводились с высокой степенью точности, все результаты характеризовались устойчивостью к малым изменениям параметров численной схемы и воспроизводимы.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту;

1. Для негиперболических хаотических аттракторов не существует универсальной зависимости порога синхронизации хаотической системы, находящейся под внешним периодическим воздействием, от степени ее хаотичности, характеризуемой старшим ляпуновским показателем.

2. В автономных трехмерных диссипативных системах, обладающих негиперболическими свойствами, возможна реализация нового типа аттрактора, который по совокупности характеристик близок к странным нехаотическим аттракторам, возникающим при двухчастотном квазипериодическом возбуждении.

3. Бистабильный осциллятор, находящийся под воздействием хаотического сигнала, отвечающего аттрактору спирального типа, демонстрирует явление стохастического резонанса. Причем максимум коэффициента усиления системы уменьшается с ростом коэффициента диффузии, определяющего ширину базовой спектральной линии хаотического сигнала.

Апробация работы и публикации.

Основные материалы диссертации были доложены на научных конференциях:

- Отчетная конференция по НОЦ. май 2003.

- International Konference "PHYSICS AND CONTROL" (PhysCon 2003) August 20-22, 2003, Saint Petersburg, RUSSIA

- V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, С.Петербург, 11-14 декабря 2001.

По теме диссертации опубликовано 3 работы (2 статьи в журналах и 1 статья в материалах конференции), которые включены в общий список литературы под номерами [92]- [94]

Результаты работы использованы при выполнении грантов CRDF (REC-006), а также индивидуальных грантов НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» и Федерального Агентства по образованию РФ (Е02-3.2-345) .

Личный вклад автора. Основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты. Формулировка поставленных задач, а также объяснение и интерпретация полученных результатов проведены совместно с научным руководителем и соавторами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения и списка цитируемой литературы. В ней содержится 76 страниц текста, 27 рисунков, библиография из 94 наименований на 11 страницах. Общий объем диссертации 103 страницы.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Ануфриева, Мария Вячеславовна

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Было исследовано явление синхронизации хаотической системы внешним периодическим воздействием. В частности изучалась зависимость амплитудного порога синхронизации от старшего ляпуновского показателя системы. В ходе исследований было получено, что для систем в режиме негиперболического хаоса закономерность (1.1), которая имеет вид:

Ар = С К*, нарушается. Причем речь идет не об изменении значения константы х» а о нарушении самого вида зависимости (1.1), более того, об отсутствии какой-либо явной зависимости между амплитудным порогом синхронизации и старшим ляпуновским показателем вообще.

Это было показано на примере двух систем - системы Лоренца в области негиперболичности и системы Ресслера в областях спирального и винтового хаоса.

2. Изучалось предположение о существовании в системе с петлей сепаратрисы седла притягивающего гиперболического подмножества, то аттрактора гиперболического типа. В результате было обнаружено, что смещение особой очки системы и введение дополнительной диссипатив-ной нелинейности в обычные уравнения модифицированного генератора с инерционной нелинейностью (генератора Анищенко-Астахова) привело к возникновению в системе нового хаотического режима. Этот режим демонстрирует некоторые свойства, близкие к свойствам странного нехаотического аттрактора (СНА). А именно:

- старший ляпуновский показатель очень мал (хотя и не равен нулю, как для СНА)

- поведение локального старшего ляпуновского показателя то же, что и для СНА. То есть вдоль траектории он меняет знак, но в среднем остается равным нулю.

- автокорреляционная функция спадает до некоторого ненулевого уровня и далее уже не убывает.

- спектр мощности по структуре близок к сингулярно-непрерывному, так как демонстрирует свойства масштабной инвариантности.

Таким образом, новый режим можно назвать фактической реализацией идеального странного нехаотического аттрактора в реальных системах.

3. Было показано, что эффект стохастического резонанса реализуется в би-стабильной системе не только при возбуждении ее гармоническим сигналом, но и хаотическим сигналом спирального типа. Причем коэффициент усиления для гармонического сигнала оказывается больше, чем для хаотического, что объясняется конечностью ширины спектральной линии последнего. В качестве меры ширины спектральной линии использовался коэффициент эффективной диффузии фазы, и была построена зависимость коэффициента усиления бистабилыюго осциллятора от коэффициента эффективной диффузии фазы, которая подтверждает тот факт, что с ростом ширины спектральной линии пика в спектре хаотического сигнала максимум коэффициента усиления бистабильного осциллятора уменьшатся.

Кроме того было получено, что амплитудные шумы, присутствующие в хаотическом сигнале, подаваемом на бистабильный осциллятор, влияют только на величину коэффициента усиления, усиливая эффект, вызванный наличием фазовых шумов. Однако при этом не происходит смещения максимума кривой в сторону меньших интенсивностей шума D% как это можно было ожидать. Ведь было бы логичным предположить, что наличие дополнительного амплитудного шума просто увеличит величину D, что, согласно формуле 3.1, приведет к смещению максимума кривой зависимости коэффициента усиления от интенсивности шума в сторону меньших D. Но этого не происходит, что можно объяснить тем, что амплитуда шумов хаотического сигнала ограничена, так как мы имеем дело с пусть хаотическим, но аттрактором. То есть амплитудные шумы хаотического сигнала не обладают статистикой белого шума.

Таким образом, подводя общий итог проделанной работы, можно сказать, что было проведено исследование некоторых свойств негиперболических аттракторов. Результаты, полученные в ходе численных экспериментов, можно использовать в дальнейшем при изучении негиперболических систем. Значимость результатов усиливается тем, что для негиперболических систем невозможно строгое математическое описание, поэтому их изучение приходится проводить экспериментальными методами, что всегда требует больших затрат времени.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ануфриева, Мария Вячеславовна, 2006 год

1. Я.Г. Синай, в кн. Нелинейные волны, Наука, Москва (1979), с. 192.

2. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники, т.2. Под ред. Р.В. Гамкрелидзе. Изд. ВИНИТИ АН СССР, Москва (1985).

3. J.-P. Есктапть and D. Ruelle, Rev. Mod. Phys., 57, 617 (1985).

4. А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. Пер. с англ. Изд. "Факториал", Москва (1999).

5. V. Afraimovich and S.-B. Hsu, Lectures on chaotic dynamical systems, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 28, American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA (2003).

6. R.L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Addison-Wesley, New York (1989).

7. E. Ott, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press (1993).

8. Smale S.,, Differentiable Dynamical Systems // Bull. Am. Math. Soc. 1967. V.73. P.747-817

9. С.П. Кузнецов, Динамический хаос, Физматлит, Москва (2001).

10. S.E. Newhouse, Publ. Math. IHES, 50,101 (1979); V. S. Afraimovich and L.P. Shilnikov,in book: Nonlinear Dynamics and Turbulence, eds. G.I. Barenblatt, G. loss, and D.D. Joseph, Pitman, Boston, London, Melbourne (1983), p. 1.

11. И. В.С.Анищенко, В.В.Астахов, Т.Е. Вадивасова, А.Б. Нейман, Г.И. Стрелкова, Л. Шиманский-Гайер, Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах, Инст. Компьютерных исследований, Москва Ижевск (2003).

12. B.C. Афраймович, В.В. Быков, Л.П. Шилъников, ДАН СССР, 234, 336 (1977).

13. К. Mischaikow and М. Mrozek, Bull. AMS, 32, 66 (1995); Mathematics » of Computation, 67 (223), 1023 (1998); K. Mischaikow, M. Mrozek,

14. A.Szymczak, J. Diff. Equ. 169, 17 (2001).

15. Lozi R. Un Attracteur Etrange du Type Attractors // J. de Physique. 1978. V.39 (C5). P.9-10

16. Belykh V.N. Models of Discrete Systems of Phase Locking // Phase Locking Systems / Ed. by L.N. Belyustina, V.V. Shakhgil'dyan. Moscow: Radio i Svyaz, 1982. P. 161-176 (in Russian)

17. Белых B.H. Хаотические и странные аттракторы двумерного отображения // Мат. сб. 1985. Т. 186, N 3. С. 35.

18. T.J. Hunt and R.S. MacKay, Nonlinearity 16, 1499 (2003).

19. T.J. Hunt, PhD Thesis, Univ. of Cambridge (2000).

20. V. Belykh, I. Belykh and E. Mosekilde, Int. J. of Bifurcation and Chaos 15, No 11, 3567 (2005).

21. С. П. Кузнецов, E. П. Селезнев Хаотичсекая Динамика в Физической Системе со Странным Аттрактором Типа Смейла-Вильямса // Журнал экспериментальной и теоретической физики, 129, 2006, N 2, 400-412

22. Дудник Е.Н., Кузнецов Ю.И., Минакова И.И., Романовский Ю.М. // Вестник Московского университета. 1983. Сер. 3. Т. 24. 4. С. 84?87.

23. Fujisaka Н., Yamada Т. // Progress of theoreticals physics. 1983. V. 69.N 1. P. 32-47.

24. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. j/ Известия ВУЗов. Радиофизика. 1986. Т. 29. ? 9. С. 1050-1060.

25. Rosenblyum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. I j Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 4193-4196.

26. Анищенко В., Вадивасова Т.Е., Постное Д. Э., Сафонова М.А. j j Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36. В. 2. С. 338-351.

27. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. // Physical Review Letters. 1996. V. 76. N 11. P. 1804-1807.

28. Abarbanel H.D.I., Rulkov N.F., Sushchik M.M. // Phys. Rev. Б. 1996. V. 53.t1. P. 4528-4535.

29. Кузнецов Ю.А., JIanda П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М., Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах // ДАН СССР. 1985. т. 281, вып. 2. с. 1164-1169.

30. Dykman G., Landa P., Neimark У., Synchronized of Chaotic Oscillations by External Force // Chaos, Solitons and Fractals. 1992. v. 1, 4. p.339-353.

31. Yamada Y., Fujisaka #., Stability Theory of Synchronized Notions in Couple Oscillators // Progr. Theor. Phys. 1984. v. 69. p. 32.

32. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И., Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1989. т. 29, 9. с. 1050-1060.

33. Волковсшй А.Р., Рулъков Н.Ф., Экспериментальное исследование бифуркаций на пороге стохастической синхронизации // Письма в ЖТФ.1989. т. 15, вып. 7. с. 5-10.

34. Pecora L., Carroll Т., Synchronization of Chaotic Systems // Phys. Rev.Lett1990. v. 64.

35. Анищенко B.C., Постное Д.Э., Эффект захвата базовой частоты хаотических автоколебаний. Синхронизация странных аттракторов // Письма в ЖТФ. 1988.т. 14, вып. 6.

36. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Safonova М.А., Synchronization of Chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1992. v. 2, 3. p. 633-644.

37. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V., Wu C.W Chua L.O., Dynamics of the Non-Autonomous Chua's Circuits // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. v. 5, 6. p. 1525-1540.

38. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V., Wu C.Chua L.O., Dynamics of Two Coupled Chua's Circuits // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. v. 5, 6. p. 1677-1699.

39. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., Abarbanel U.D.I., Generalized Synchronization of Chaos in Unidirectorally Coupled Chaotic Systems // Phys. Rev. E. 1995. v. 51. p. 980.

40. Kocarev L., Parlitz £/., Generalized Synchronisation, Predictability, and Equivalence of Unidirectionally Coupled Dynamical Systems // Phys. Rev. Lett 1996. v. 76, 11. p. 1816.

41. Ю.И.Кузнецов, П.С.Ланда, А. Ф. Ольховой, С.М.Перминов., Связь между амплитудным порогом синхронизации и энтропией в стохастических автоколебательных системах // ДАН СССР.- 1985.- Т. 281, 2.

42. Ю.И.Неймарк, П.С.Ланда., Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука 1987.

43. V.S. Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, G.A. Okrokvertskhov, G.I. Strelkova., Correlation analysis of dynamical chaos. Physica A, 2003

44. V. N. Belykh., Smooth Dynamical System Having a Unique Saddle Equilibrium Point May Generate the Plykin Attractor // Abstracts of International Conference on Differential Equations and Dinamical Systems, Suzdal, august 21-26 2000, p. 13-15.

45. Плыкин P.В., О гиперболических аттракторах диффеоморфизмов // УМН. 1980. Т. 35, N 3. С. 94-104.

46. Grebogi С., Ott Е., Pelikan S., Yorke J.A., Strange attractors that are not chaotic // Physica D. 1984. V. 13. P. 261.

47. Kapitaniak Т., Wojewoda J. Attractors of Quasiperiodically Forced Systems. Singapore: World Scientific, 1993

48. V.S.Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, O.Sosnovtseva., Mechanisms of ergodic torus destruction and appearance of strange nonchaotic attractors // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. N 5. P.4451-4457.

49. V.S.Anishchenko, Т.Е. Vadivasova, O.Sosnovtseva., Strange nonchaotic attractors in autonomous and periodically driven systems // Phys.Rev. E., V.54, N 3, 1996, pp. 1-4

50. Afraimovich V.S., Shilnikov L.P., Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear Dynamics and Turbulence / Ed. by G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Jozeph. Pitman; Boston; London; Melbourne, 1983. P. 1-34

51. Afraimovich V.S., Attractors // Nonlinear Waves 1 / Ed. by A.V.Gaponov, M.I.Rabinovich, J.Engelbrechet. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1989. P.6-28.

52. Арнольд В.И.Б Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильншов Л.П., Теория бифуркаций // Современные проблемы математики: Фундаментальные направления / Под. ред. В.И. Арнольда. М.: ВИНИТИ. 1986. Т. 5. С. 5-218

53. Shilnikov L.P., Strange Attractors and Dynamical Models // J. of Circuits, Systems, and Computers. 1993. V.3. N 1. P.l-10.

54. Анищенко B.C., Стохастические колебания в радиофизических системах. Издательство Саратовского университета, 1986.

55. Анищенко B.C., Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990

56. Pikovsky A.S., Feudel U. ., Correlations and Spectra of Strange Nonchaotic Attractors // J. Phys. A. 1994. V. 27. P. 5209.

57. Pikovsky A.S., Feudel U. ., Characterizing Strange Nonchaotic Attractors // CHAOS. 1995. V.5. P. 253.

58. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и стуктура хаоса. М.: Наука, 1968.

59. Понтрягин JI.C., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамичсеких систем // ЖЭТФ. 1933. Т. 3, С. 165-180.

60. Ланда П.С., Заикин А.А., Шумоиндуцированные фазовые переходы в простых системах // ЖЭТФ. 1997. Т. 111, С. 358-364.

61. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987.

62. Анищенко В.С.,Нейман А.Б.,Мосс Ф., Шиманский-Гаей Л., Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка //УФИ, 1999,Т.169, N 1, стр.7-39.

63. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic Resonance // J.Phys. A: Math. Gen. 1981. V. 14. P. L453-L457.

64. Benzi R., Parisi G., Sutera A., Vulpiani A. Stochastic Resonance in climatic Change // Tellus. 1982. V. 34. P. 10-16.

65. Nicolis C. Stochastic Aspects of Climatic Transitions Responce to a Periodic Forcing // Tellus. 1982. V. 34. P. 1-9.

66. Fauve S., Heslot F. Stochastic Resonance in a Bistable System // Phys. Lett. A. 1983. V.97, P. 5-9

67. McNamara ВWiesenfeld K., Roy R. Observation of Stochastic Resonance in a Ring Laser // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 2626-2629.

68. Grigorenko A.N., Nikitin P.I., Slavin A.N., Zhou P.Y. Experimental Observation of Magneto-stochastic Resonance // J. of Appl. Phys. 1994. V.76, N 10. P. 6335-6337.

69. Дыкман М.И., Великович А. Л., Голубев Г.П., Лучинский Д.Г., Цупиков С.В. Стохастичсекий резонанс в пассивной полностью оптической биста-бильной системе // Письма в ЖЭТФ. 1991. Т. 53. С. 193-197.

70. Gammaitoni L., Martinelli М., Pardi L., Santucci S. Observation of Stochastic Resonance in Bistable Electron-paramagnetic-resonance Systems I j Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 1799-1803.

71. Simon A., Libchaber A. Escape and Synchronization of a Brownian Particle // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. N.23. P. 3375-3378.

72. Spano M.L., Wun-Fogle M., Ditto W.L. Experimental obsevation of stochastic resonance in a magneto-elastic ribbon // Phys. Rev. A. 1992. V. 46. P. R5253- R5256.

73. Mantegna R.N., Spagnolo B. Stochastic resonance in a tunnel-diode // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. N 3. P. R1792-1295.

74. Hibbs A.D., Jacobs E.W., Bulsara A.R., Bekkedahl J.J., Moss F. Signal Enhancement in a r.f.SQUID Using Stochastic Resonance // IL Nuovo Cimento. 1995. V. 17, N 7/8, P. 811-818.

75. Perez-Madrid A., Rubi J.M. Stochastic resonance in a system of ferromagnetic particles // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 4159-4165.

76. Neda Z. Stochastic resonance in 3D Ising ferromagnets // Phys. Lett. A. 1996. V. 210. P. 125-128.

77. Дубинов А.Е., Михеев К.Е., Нижегородцев И.Б., Селемир В.Д. О стоха-стичсеком резонансе в сегнетоэлектриках // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1996. Т. 60. С. 76-77.

78. Leonard D.S., Reichl L.E. Stochastic resonance in a chemical reaction // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. N. 2. P. 1734-1737.

79. Dykman M.I., Horita Т., Ross J. Statistical Distribution and Stochastic Resonance in a Periodically Driver Chemical System //J. Chem. Phys. 1995. V. 103. N. 3. P. 966-972.

80. Hohmann W., Muller J., Scneider F. W. Stochastic resonance in a chemistry. The minimal bromate reaction. // J. Chem. Phys. 1996. V. 100. P. 5388-5392.

81. Babinec P. Stochastic resonance in the weildich model of public opinion formation // Phys. Lett. A. 1997. V. 225. P. 179-181.

82. Анищенко B.C., Badueacoea Т.Е., Астахов В.В., Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,1999.

83. Anishchenko V.S.,Neiman A.B.,Safonova М.А., Stochastic resonance in chaotic systems // J.Stat.Phys. 1993, V.70, N 1/2, p.183-196

84. Neiman A.,Shimansky-Geier L., Stochastic resonance in bistable systems driven by harmonik noise // Phys.Rev. Lett. 1994. V.72,N 19., P. 2988-2991

85. Kramers H.A., Brownion motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Phisica. 1940, V.7, P.284-312

86. Arneodo A., Collet P., Tressev C., Possible new strange attractors with spiral structure // Commun.Math.Phys. 1981. V.79, P.573-579.

87. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е.,Окрокверцхов Г.А.,Стрелкова Г.И., Статистические свойства динамического хаоса // УФН Т.175, N 2. 2005г.

88. Anishchenko V.S.,Vadivasova Т.Е., Okrokvetskov G.A., Strelkova G.I., Correlation analysis of dynamical chaos // Physica A, 2003, V.325, P.199-212.

89. Gollins J.J., Chow C.C., Imhoff T.T. // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. R3321.

90. Collins J.J., Chow C.C., Capela A.C., Imhoff T.T. // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. P. 5575.

91. Eichwald C., Wal leczek J. // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. R6315.

92. B.C.Анищенко, М.В.Логинова. О новом типе нерегулярного аттрактора в автономной системе // Письма в ЖТФ, 2003, том. 29, вып. 13.

93. М.В.Логинова, В. С. Анищенко. Исследование универсальных свойств порога внешней синхронизации хаотических систем // Прикладная нелинейная динамика. Т.11, N 2, 2003. стр. 87-95.

94. Maria V. Loginova, Vadim S. Anishchenko "Strange nonchaotic attractor" in 3D autonomous differential system. // Proc. of the Int. Conf. "Physics and Control (PHYSCON-2003)", St.Peterburg, 2003.- 103-Благодарности

95. Выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю Ани-щенко Вадиму Семеновичу, без руководства и внимания которого эта работа была бы невозможна.

96. Хочу также выразить отдельные слова благодарности Вадивасовой Татьяне Евгеньевне, Павлову Алексею Николаевичу, Окрокверцхову Георгию Александровичу за помощь и рекомендации в ходе выполнения и подготовки диссертационной работы.