Самоорганизация и гиперболический хаос в автоволновых системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Купцов, Павел Владимирович

• Купцов, Павел Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Купцов, Павел Владимирович

Содержание

Введение

Глава 1. Неустойчивости и самоорганизация в автоволновых системах

Введение

1.1. Общий вид уравнения автоволновой системы и дисперсионное уравнение

1.2. Неустойчивости Хопфа и Тьюринга

1.2.1. Общая характеристика и критические точки

1.2.2. Анализ неустойчивостей Хопфа и Тьюринга методом седловых точек

1.2.3. Неустойчивости Хопфа и Тьюринга на примере брюсселятора

1.3. Абсолютная и конвективная неустойчивость

1.3.1. Методы анализа на абсолютную и конвективную неустойчивость

1.3.2. Абсолютная и конвективная неустойчивость в брюсселяторе с открытым потоком

1.4. Неустойчивость разностного потока

1.4.1. Условия возникновения неустойчивости

1.4.2. Абсолютная и конвективная неустойчивость разностного потока

1.4.3. Неустойчивость разностного потока на примере брюсселятора

1.5. Потоково-диффузионная развёртка колебаний

1.5.1. Условия возникновения неустойчивости

1.5.2. Потоково-диффузионная развёртка на примере брюсселятора

Выводы к главе 1

Глава 2. Теоретические основы ляпуновского анализа

Введение

2.1. Показатели Ляпунова и ортогональные ляпуновские вектора

2.1.1. Основные определения: пропагагоры, сингулярные вектора и сингулярные числа

2.1.2. Свойства пропагаторов. Трансформация объёмов, построенных на сингулярных векторах

2.1.3. Предельные операторы. Плюс-и минус-предельные вектора

2.1.4. Подпространства Оселедца. Асимптотическое поведение произвольных векторов и объёмов

2.1.5. Эволюция плюс- и минус-предельных ляпуновских векторов на конечных интервалах времени

2.1.6. Алгоритмы вычисления показателей и плюс- и минус-предельных векторов

2.2. Ковариантные ляпуновские вектора

2.2.1. Определение и основные свойства

2.2.2. Два основных подхода к вычислению ковариантных ляпуновских векторов

2.2.3. Прямой метод вычисления ковариантных векторов как пересечений подпространств Оселедца

2.2.4. Метод LU-разложения

2.2.5. Метод ортогонального дополнения

2.2.6. Метод обратных итераций

2.2.7. Сравнение различных методов

Выводы к главе 2

Глава 3. Ляпуновский анализ хаотических систем с большим числом степеней свободы

Введение

3.1. Быстрый численный метод проверки гиперболического хаоса

3.1.1. Понятие гиперболического хаоса

3.1.2. Слабые формы гиперболичности

3.1.3. Главные углы между подпространствами

3.1.4. Описание метода

3.1.5. Практическая проверка

3.2. Преимущества и недостатки методов, используемых при вычислении показателей Ляпунова распределённых систем

3.2.1. Сравнение эффективности алгоритмов ортогонализации

3.2.2. Множитель роста пространственных гармоник

3.2.3. Паразитное возбуждение коротковолновых пространственных гармоник, смешанная схема Кранка—Николсона

3.2.4. Паразитное возбуждение, явная схема Эйлера

3.2.5. Отсутствие паразитного возбуждения, неявная схема

3.3. Флуктуации локальных показателей Ляпунова

3.3.1. Типы локальных показателей Ляпунова и их асимптотические свойства

3.3.2. Основные сведения из теории больших уклонений

3.3.3. Функция уклонения для локальных показателей Ляпунова

3.3.4. Гауссово приближение для функции больших уклонений. Матрица диффузии локальных показателей Ляпунова

3.3.5. Свойства функции уклонений в термодинамическом пределе

3.3.6. Вероятность нарушения порядка следования локальных показателей Ляпунова и проверка гиперболичности

Выводы к главе 3

Глава 4. Потоково-диффузионная развёртка колебаний в авговол новых системах с открытым потоком

Введение

4.1. Сценарии возникновения потоково-диффузионной развёртки колебаний

4.1.1. Модельные уравнения

4.1.2. Условия возникновения потоково-диффузионной развёртки

4.1.3. Плоскости параметров

4.2. Устойчивость структур потоково-диффузионной развёртки к возмущению на входе

4.2.1. Пространственно-временные диаграммы. Качественное обсуждение

4.2.2. Фурье-спектры колебаний во времени. Шум как переключатель решений

4.2.3. Два сценария стабилизации

4.2.4. Нелинейная и линейная неустойчивость

4.2.5. Подавление развёртки как следствие индуцированной шумом абсолютной неустойчивости

4.2.6. Линейный анализ устойчивости

4.3. Жёсткое возбуждение потоково-диффузионной развёртки колебаний в присутствии абсолютной неустойчивости Хопфа

4.3.1. Плоскость параметров для рассматриваемого эффекта

4.3.2. Качественная картина

4.3.3. Ступенчатое движение границы между структурой нотоково-диффу-зионной развёртки и решением Хопфа

4.3.4. Навязанная конвективная неустойчивость

4.3.5. Критическое значение входного возмущения

4.3.6. Амплитуда структуры развёртки вблизи границы двух структур

4.3.7. Амплитудное уравнение для описания конкуренции развёртки и колебаний Хопфа

Выводы к главе 4

Глава 5. Самоорганизация автоволновых систем в присутствии неоднородного открытого потока

Введение

5.1. Потоково-диффузионная развёртка колебаний в двумерной системе с течением Пуазёйля

5.1.1. Модельные уравнения

5.1.2. Качественная картина

5.1.3. Анализ в линейном приближении

5.2. Исследование перехода от конвективной к абсолютной неустойчивости с использованием системы с конической геометрией

5.2.1. Постановка задачи

5.2.2. Геометрия системы и модельные уравнения

5.2.3. Плоскости параметров и качественная картина

5.2.4. Кластерная синхронизация

5.2.5. Свойства неподвижного волнового фронта

5.3. Воздействие движущейся частицы на структуру потоково-диффузионной развёртки

5.3.1. Постановка задачи и модельная система

5.3.2. Возмущение структур потоково-диффузионной развёртки движущейся частицей

5.3.3. Переход от хопфовского отклика к тьюринговскому через перемежаемость

Выводы к главе 5

Глава 6. Гиперболический хаос и хаотическая синхронизация в системах связан

ных осцилляторов

Введение

6.1. Гиперболический аттрактор типа Смейла—Вильямса в системе связанных неавтономных осцилляторов, представленных уравнениями для медленных амплитуд

6.1.1. Вывод амплитудных уравнений

6.1.2. Качественное описание динамики

6.1.3. Структура аттрактора

6.1.4. Показатели Ляпунова и структурная устойчивость

6.1.5. Проверка гиперболичности

6.2. Синхронизация двух связанных осцилляторов с гиперболическим хаосом

6.2.1. Типичные феномены, сопровождающие переход к синхронному хаосу

6.2.2. Синхронизация систем с гиперболическим хаосом. Уравнения и качественное обсуждение динамики

6.2.3. Отображение для фаз

6.2.4. Показатели Ляпунова

6.2.5. Изрешечивание бассейна симметричного аттрактора и эффект «пузырящегося» аттрактора

6.2.6. Визуализация структуры многомерного аттрактора

Выводы к главе 6

Глава 7. Гиперболический хаос в автоволновых системах

Введение

7.1. Гиперболический хаос в автоволновой среде с локальным гиперболическим

аттрактором

7.1.1. Модельная система

7.1.2. Линейный анализ устойчивости

7.1.3. Пространственно-временная динамика

7.1.4. Проверка условия гиперболичности при различной длине системы

7.1.5. Зависимость показателей Ляпунова от длины системы

7.1.6. Размерность Каплана—Йорка и энтропия Колмогорова—Синая

7.1.7. Спектр Ляпуновских показателей

7.2. Гиперболический хаос тьюринговских структур

7.2.1. Модельное уравнение

7.2.2. Качественное описание динамики

7.2.3. Пространственно-временная динамика и отображение для фаз

7.2.4. Показатели Ляпунова

7.2.5. Проверка гиперболичности

7.2.6. Амплитудные уравнения

7.2.7. Постоянные граничные условия

Выводы к главе 7

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Самоорганизация и гиперболический хаос в автоволновых системах»

Введение

Самоорганизация — это универсальный процесс, протекающий в открытых системах разной природы, который приводит к возникновению новых качеств. Величины, количественно характеризующие эти качества, называют параметрами порядка. Открытая система обменивается с окружающей средой энергией и веществом, что можно интерпретировать как внешнее воздействие. Однако характер воздействия при самоорганизации не является специфическим по отношению к возникающим качествам системы, т. е. воздействие сообщает материал и энергию для самоорганизации, но не определяет её свойства. Математическая модель системы с самоорганизацией обязательно является нелинейной. Отклик такой системы на внешнее воздействие не сводится к простому усилению, ослаблению или комбинированию по принципу суперпозиции, а характеризуется собственной структурой, обусловленной устройством самой системы [1—4].

Учитывая, насколько разнообразными могут быть свойства хаотической динамки, возникновение хаоса также можно было бы отнести к явлениями самоорганизации. Вообще говоря, по сложившейся традиции, под самоорганизацией в первую очередь понимают регулярное поведение. Тем не менее хаос тоже может быть связан с самоорганизацией: известны примеры, когда возникающие в результате самоорганизации регулярные решения вступают во взаимодействие, порождая хаос.

Самоорганизация может иметь место в совершенно разных по своей природе системах. Однако при всём многообразии, явления самоорганизации можно подразделить на классы, обладающие одинаковыми качественными признаками. Существуют универсальные математические модели, воспроизводящие наиболее общие признаки явлений самоорганизации того или иного класса, не зависящие от природы системы. Мы будем изучать эффекты, универсальной моделью для которых является уравнение Гинзбурга—Ландау [5, 6].

Системы, которые мы будем рассматривать, называются автоволновыми [7]. Они относятся к числу активных сред [8]. Автоволновую систему можно представить себе как среду, в каждой точке которой находится активный элемент (например, автогенератор) непрерывно получающий и рассеивающий энергию. Каждая локальная область такой системы связана с другими ближайшими областями посредством диффузии. В качестве примеров можно привести цепочку генераторов Ван дер Поля [9], нелинейную активную линию передачи [10], реакционно-диффузионную систему (реакция Белоусова—Жаботинского) [8, 11], рабочее ве-

щество оптического квантового генератора [10], ферромагнетики, в которых возбуждаются спиновые волны [12, 13].

Математические модели, которые мы будем изучать, представляют собой нелинейные уравнения в частных производных параболического типа. Нелинейность в уравнениях будет устроена таким образом, что при отсутствии зависимости от пространственной координаты, уравнения могут демонстрировать периодические автоколебания или хаос. Пространственная связь между локальными областями осуществляется посредством диффузии. Мы также будем рассматривать системы с дискретной пространственной переменной — цепочки осцилляторов с диффузионной связью. Будут также рассматриваться задачи, в которых, наряду с диффузией, действует конвективный пространственный перенос. При этом мы ограничимся рассмотрением открытых потоков, когда поток попадает в систему на одном её конце и удаляется на другом.

Вообще говоря, феноменология автоволновых системы очень обширна —от простых регулярных колебаний до пространственно-временного хаоса [5, 9, 11, 14]. В диссертации мы будем решать задачи, имеющие отношение к развитию в автоволновых системах неустойчивости Хопфа1 и диффузионной неустойчивости Тьюринга. Сами по себе эти неустойчивости и порождаемые ими структуры уже давно известны и хорошо изучены. Тем не менее, используя их как «строительные блоки», можно получать новые интересные эффекты.

Актуальность работы. Нелинейные системы со сложной динамикой возникают в самых разных предметных областях, и зачастую им отвечают одни и те же универсальные математическое модели. При этом так как реальные системы почти всегда включают в себя большое количество взаимодействующих элементов, для их исследования наиболее адекватными являются математические модели с большим числом степеней свободы. Несмотря на значительный многолетний интерес исследователей к таким системам, количество не решённых задач по-прежнему велико из-за их высокой сложности и ресурсоёмкости. В этой связи актуальными являются разработка новых универсальных математических моделей нелинейных систем высокой размерности и их исследование, в том числе с привлечением новых методов.

Одним из главных инструментов моделирования и изучения хаотической динамики является ляпуновский анализ. В его основе лежат классическая теория устойчивости Ляпу-

1 В теории колебаний этому виду неустойчивости соответствует бифуркация рождения предельного цикла Андронова—Хопфа.

нова [15], мультипликативная эргодическая теорема [16], а также алгоритм вычисления этих показателей [17, 18]. Действуя формально, методы ляпуновского анализа можно воспроизвести без изменений к системам с любой размерностью фазового пространства: низкой или высокой. По этой причине специфика и тонкости применения ляпуновского анализа к системам высокой размерности остались по большей части не изученными.

В последнее время интерес к ляпуновскому анализу существенно вырос в связи с открытием эффективных алгоритмов вычисления так называемых ковариантных ляпуновских векторов [19, 20], которые открывают новые возможности для изучения хаоса в системах высокой размерности. Соображения о существовании ковариантных ляпуновских векторов высказывались уже много лет назад [21, 22]. Тем не менее до сих пор не было проведено систематическое теоретическое изучение этих векторов и их связей с другими объектами ляпуновского анализа.

Система называется грубой или структурно устойчивой, если качественный характер её динамики не меняется при небольших вариациях параметров [23]. Эта концепция очень важна для физических и технических приложений теории динамических систем, так как, имея дело с грубой системой, можно быть уверенным, что математическая модель адекватно описывает систему, несмотря на допущения, сделанные при построении модели, на отклонения от заданных значений параметров, неизбежные при конструировании, а также на наличие разного рода шумов. Именно грубые системы представляют наибольший интерес и подлежат первостепенному изучению [23]. Среди хаотических систем свойством грубости обладают системы с однородной гиперболичностью. Гиперболические аттракторы отвечают динамике с сильными хаотическими свойствами и допускают далеко идущий математический анализ. Однако только сравнительно недавно была сформулирована идея создания простых, реализуемых экспериментально систем с гиперболичностью [24]. На основе этого возникло новое направление актуальных исследований. В частности, появилась возможность решать задачи о пространственно-временном гиперболическом хаосе в физически реализуемых автоволновых системах, которые ранее не рассматривались.

Механизм неустойчивости Тьюринга в автоволновых системах с момента его открытия в 1952 году [25] широко используется для объяснения структурообразования в системах разной природы [26]. Однако часто анализ ограничивается проведением качественной аналогии, тогда как записать реалистичные модельные уравнения оказывается затруднительно [27, 28]. Проблема состоит в том, что в основе механизма Тьюринга лежат разные скорости диффузии

компонент системы. С одной стороны, не ясно, насколько часто такое явление встречается в природе [28], а с другой —выяснилось, что его трудно реализовать в эксперименте. Например, по этой причине первое экспериментальное наблюдение тьюринговской неустойчивости состоялось только через 40 лет после теоретической работы Тьюринга [29]. Ещё одна проблема состоит в том, что для многих автоволновых систем область неустойчивости Тьюринга занимает на плоскости параметров относительно небольшую площадь [30, 31], что затрудняет подбор параметров для наблюдения этого эффекта. В этой связи актуальным является исследование новых, нетьюринговских механизмов самоорганизации в автоволновых системах.

Существенный прогресс в этом направлении был достигнут сравнительно недавно благодаря включению в рассмотрение не только диффузионного, но и конвективного переноса. В частности, это привело к открытию эффекта потоково-диффузионной развёртки колебаний [32] (существует два англоязычных варианта названия: «Flow and diffusion distributed structures», FDS и «Flow distributed oscillations», FDO). Большой интерес к этому эффекту как экспериментаторов [33-36], так и теоретиков [37-39] обусловлен тем, что он представляет собой новый универсальный механизм структурообразования. При этом не требуются сложные в технической реализации разностные поток или диффузия [40, 41]. Кроме того, на плоскости параметров область развёртки обычно значительно обширнее области Тьюринга [31]. Важно также, что, как показывают эксперименты, структура развёртки нечувствительна к широкому набору внешних воздействий [42]. Предполагается, что новый, легко реализуемый механизм самоорганизации будет выявлен во многих природных процессах. Например, имеются работы, объясняющие с его помощью явление осевой сегментации растущего организма [43, 44]. Однако имеющийся теоретический анализ выполнен только в линейном приближении и только для одномерных систем. Такой ограниченный подход, в частности, не позволяет объяснить результаты некоторых экспериментальных исследований.

Таким образом, в диссертации решаются актуальные задачи но исследованию сложной динамики, демонстрируемой универсальными модельными системами с высокой размерностью фазового пространства.

Цель диссертационной работы состоит в выявлении новых феноменов нетьюрингов-ской самоорганизации и гиперболического хаоса в автоволновых модельных системах, а также в разработке новых численных методов анализа хаоса в системах высокой размерности. Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

1. Разработка новых алгоритмов ляиуновского анализа хаотических систем высокой размерности и реализация их в виде комплекса программ.

2. Выявление специфики применения известных численных методов ляпуновского анализа к хаотическим системам высокой размерности.

3. Математическое моделирование стационарных структур в автоволновых системах с открытым потоком и выявление условий их существования и устойчивости.

4. Создание и выявление ключевых свойств автоволновых модельных систем, генерирующих пространственно-временной гиперболический хаос.

Научная новизна:

1. Разработан и реализован в виде комплекса программ быстрый и экономичный численный метод определения углов между касательными подпространствами динамической системы. Этот метод может быть использован в вычислительных экспериментах для проверки свойства гиперболичности хаотических диссипативных систем высокой размерности.

2. Разработан новый численный метод нахождения ковариантных ляпуновских векторов. Метод реализован в виде комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента. Его преимуществами являются высокая эффективность и нечувствительность к плохо обусловленным задачам.

3. Впервые систематически изложены теоретические обоснования существования ковариантных ляпуновских векторов и их взаимосвязей с другими типами ляпуновских векторов и показателей.

4. Впервые выполнен подробный анализ известных из литературы численных методов нахождения ковариантных ляпуновских векторов, выявлены их сильные и слабые стороны.

5. Применительно к системам с высокой размерностью детально изучен стандартный численный метод нахождения ляпуновских показателей. Выявлены специфические для таких систем источники погрешностей и грубых ошибок, предложены способы, позволяющие их диагностировать и избежать.

6. Предложен новый математический метод исследования характера динамики моделей систем высокой размерности, в основе которого лежит статистический анализ флуктуаций локальных показателей Ляпунова с применением теории больших уклонений. Метод реализуется в форме вычислительного эксперимента и позволяет выявлять присущие системе симметрии, анализировать пространственные корреляции и переход к термодинамическому пределу.

7. Выполнено комплексное исследование математических моделей эффекта потоково-диффузионной развёртки колебаний с использованием аналитических методов и технологий вычислительного эксперимента. Проанализированы условия её возникновения в зависимости от наличия в системе других типов неустойчивостей. Выявлены условия устойчивости структуры потоково-диффузионной развёртки колебаний к малому шуму на входе системы. Обнаружен режим, когда структура линейно неустойчива и, следовательно, ненаблюдаема в эксперименте, выявлены два сценария её стабилизации. Показана возможность формирования структуры потоково-диффузионной развёртки в системах с абсолютной неустойчивостью. Проанализировано взаимодействие структуры развёртки и колебательного решения, выявлены условия преобладания одного из них и их сосуществования. Доказана возможность наблюдать потоково-диффузионную развёртку в системах с течением Пуазёйля, а также выявлены сочетания параметров, при которых потоково-диффузионная развёртка в таких системах не возникает. Изучено влияние на структуру развёртки подвижного возмущения в виде частицы, увлекаемой потоком. Выявлены возможные виды отклика системы на такое возмущение.

8. Выполнено математическое моделирование автоволновой системы с открытым потоком, имеющим коническую геометрию. Продемонстрирована возможность определения критической скорости перехода от конвективной неустойчивости к абсолютной при помощи такой системы.

9. С привлечением методов вычислительного эксперимента произведено комплексное исследование математической модели с гиперболическим хаосом, построенной на основе двух связанных неавтономных амплитудных уравнений. Выполнено качественное описание динамики, проанализирована структура аттрактора, проведена проверка свойства гиперболичности. Исследована полная синхронизация двух таких систем. Показано, как в этом случае проявляются закономерности, характерные для хаотической синхронизации, такие как изрешеченный бассейн притяжения симметричного аттрактора и пузырящийся аттрактор.

10. Предложена новая математическая модель распределённой системы с диффузией и локальной гиперболической динамикой, демонстрирующая режим низкоразмерного гиперболического гиперхаоса. Этот режим возникает при уменьшении величины пространственной связи, с появлением второго положительного показателя Ляпунова, что сопровождается разрушением пространственно-однородных колебаний. Гиперболичность разрушается при появлении третьего положительного показателя Ляпунова. Предложенная модель обладает

универсальностью, но при этом не является абстрактной, как многие другие модели гиперболического хаоса, а отвечает натурным системам.

11. Предложена новая математическая модель распределённой системы, осуществляющая генерацию гиперболического хаоса. В основе механизма генерации лежит попеременное возбуждение двух пространственных мод с разными волновыми числами, сопровождающееся поочерёдной передачей возбуждения от одной моды к другой. Предложенная модель является универсальной и отвечает натурным системам разной природы.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанные и усовершенствованные в диссертации методы, применяемые при математическом моделировании сложных динамических систем, — это вклад в развитие аналитического и численного исследовательского инструментария.

Выполненный в диссертации анализ свойств гиперболического хаоса в автоволновых системах способствует дальнейшему продвижению на пути понимания фундаментальных основ пространственно-временного хаоса. Однако, несмотря на универсальность и фундаментальность изученных математических моделей, их специфика такова, что имеется ясное понимание связей моделей с реальными системами. Это открывает перспективы приложений для хорошо развитой математиками гиперболической теории, а также ставит на повестку дня проведение сравнительных исследований гиперболического и негиперболического хаоса в теории и эксперименте. Также большое значение имеют результаты анализа эффектов нетьюринговской самоорганизации в модельных системах с открытым потоком. Такие системы широко изучаются экспериментально, но только после детального теоретического исследования, выполненного в диссертации, удалось объяснить некоторые из их наблюдаемых свойств.

Предложенные и исследованные в работе автоволновые модели с регулярной и хаотической динамикой могут быть реализованы в виде систем разной природы, например электронных, оптических, спиновых, химических, биологических. Одно из возможных применений систем с гиперболическим хаосом —высоконадёжные генераторы хаоса, применяемые в устройствах защиты информации. Оптические системы, воплощающие изученные в диссертации математические модели могут найти применение при разработке широкополосных лазеров и новых устройств создания изображений. Обсуждаемые в диссертации эффекты самоорганизации используются при моделировании процессов биологического морфогенеза. Также они могут быть применены в промышленности для динамической сегрегации компо-

нентов осциллирующих реакций. Реализация исследованных моделей на основе спиновых автоволновых систем создаёт интересные перспективы но созданию новых твердотельных электронных устройств.

Полученные в диссертации результаты могут быть полезны для научных групп, занимающихся моделированием нелинейной динамики сложных систем разной природы, использованы в работе инженерных коллективов при конструировании новых систем со сложной динамикой, а также в учебном процессе университетов, осуществляющих обучение по физическим, математическим и техническим направлениям.

Достоверность полученных результатов подтверждается соответствием выводов теоретических исследований и численного моделирования, совпадением реализуемого в численном эксперименте поведения с предсказанным на основе качественных рассуждений, использованием тщательно проработанных численных методов, согласованностью наблюдаемых эффектов с известными из литературы экспериментами, а также отсутствием противоречий с известными из литературы результатами. Все результаты, представленные в диссертации, опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах и прошли проверку при рецензировании.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Обоснован теоретически и реализован в виде комплекса программ быстрый и экономичный численный метод определения угла между двумя касательными подпространствами динамической системы с размерностями к и т — к, где т - размерность всего касательного пространства. Идея метода в том, чтобы вместо второго подпространства рассматривать его ^-мерное ортогональное дополнение. Так как обычно интерес представляют ситуации, когда к «: т, достигается значительная экономия времени счёта и машинной памяти по сравнению с существующими методами, в которых рассматривается непосредственно исходное подпространство с высокой размерностью т.-к.

2. Обоснован теоретически и реализован в виде комплекса программ эффективный численный метод нахождения ковариантных ляпуновских векторов. В основе метода лежит нахождение минус- и плюс-предельных ляпуновских векторов и разложение матрицы их скалярных произведений на верхнюю и нижнюю треугольные матрицы. Преимущество метода по сравнению с одним из двух ранее известных методов в том, что требуется на одно матричное умножение меньше, а по сравнению с другим - отсутствие необходимости выполнять обращение плохо обусловленных матриц.

3. Вычисляя полный спектр показателей Ляпунова для автоволновой системы и используя для решения уравнений смешанную (полунеявную) схему численного метода конечных разностей, требуется выбирать шаги дискретизации, исходя из оценки Дг < 0.5Ax2/|i/|, где d - максимальное по модулю собственное число матрицы диффузии системы. Ограничение не противоречит известному из учебников свойству абсолютной устойчивости этой численной схемы, а обусловлено спецификой работы алгоритма вычисления показателей Ляпунова. При нарушении неравенства происходит паразитная генерация коротковолновых мод в касательном пространстве, что приводит к грубой ошибке в значениях показателей из правой (отрицательной) части спектра. Паразитная генерация не возникает независимо от величины шагов, только когда используется полностью неявная схема.

4. Предложена математическая модель генерации низкоразмерного (один положительный показатель Ляпунова) пространственно-временного гиперболического хаоса на основе взаимодействия двух возбуждаемых поочерёдно пространственных мод. Модель обладает универсальностью и не зависит от природы системы, на основе которой реализуется. Существенные компоненты модели: моды должны иметь целочисленное отношение волновых чисел, в системе должна присутствовать нелинейность порядка этого отношения, а также должна иметься пространственная неоднородность с волновым числом, разность которого с волновым числом коротковолновой моды по абсолютной величине должна быть равна волновому числу длинноволновой.

5. Предложена математическая модель автоволновой системы, построенная из локальных элементов с гиперболической динамикой, которая может демонстрировать режим низкоразмерного пространственно-временного гиперболического гиперхаоса: система, сохраняя гиперболичность, имеет два положительных показателя Ляпунова. Этот режим характеризуется степенной зависимостью энтропии Колмогорова-Синая от длины системы. Он разрушается при увеличении длины (что соответствует уменьшению пространственной связи), когда третий показатель становится положительным. Так как модель построена на основе универсальных амплитудных уравнений, она отвечает широкому классу реальных систем разной природы.

6. Структура потоково-диффузионной развёртки колебаний в автоволновых системах, существующая, как следует из линейного анализа, при превышении скоростью потока критического значения, в окрестности этого значения линейно неустойчива и, следовательно, нена-блюдаема экспериментально. Этим объясняются известные, например из [Taylor, Bamforth,

Bardsley, PCCP 4, 5640 (2002)], завышенные экспериментальные значения критической скорости. Стабилизация происходит при увеличении скорости потока.

7. Структура потоково-диффузионной развёртки существует не только при конвективной неустойчивости, но и в условиях абсолютной неустойчивости в системе. В последнем случае имеет место жёсткий переход: структура развёртки возникает, когда постоянное входное возмущение превышает пороговое значение.

8. Структура потоково-диффузионной развёртки колебаний может существовать в автоволновых системах с течением Пуазёйля (параболический профиль скорости потока). Тем не менее существуют диапазоны значений параметров, при которых развёртка не развивается. Попаданием параметров в запрещённую область объясняется неудачный эксперимент с развёрткой в такой системе [Каггп, Menzinger, Phys. Rev. Е 60, R3471 (1999)]. Является ошибочным основанный на этом эксперименте вывод, что для развёртки необходимым условием является поток с плоским профилем.

9. Для измерения критической скорости перехода от конвективной неустойчивости к абсолютной в автоволновых системах с открытым потоком можно использовать конструкцию в форме тонкого длинного расширяющегося конуса, т. е. у которого радиус выходного отверстия много меньше продольной длины. Скорость потока убывает по мере удаления от входа, и поэтому убегающий вниз по течению граничный слой развивающейся неустойчивости останавливается так, что точка, где скорость потока равна критической, оказывается в пределах этого слоя. Определив положение точки остановки и зная зависимость скорости потока от координаты, можно определить критическую скорость перехода от конвективной неустойчивости к абсолютной.

10. Из-за присущей однородно гиперболическим аттракторам весьма низкой (множество меры нуль) плотности вложенных неустойчивых инвариантных множеств полная хаотическая синхронизация двух таких аттракторов проявляется специфическим образом, (а) В изрешеченном («riddling») бассейне притяжения симметричного аттрактора точки, не принадлежащие бассейну, не образуют сколько-нибудь крупных связанных фрактальных областей, как это имеет место для негиперболических систем, (б) При наблюдении эффекта пузырящегося аттрактора («bubbling») интервалы между всплесками поперечных отклонений от аттрактора чрезвычайно велики (на много порядков больше единицы), (в) Эти эффекты можно наблюдать только в очень узком диапазоне параметра связи (Ad <s: dsyn) вблизи точки синхронизации dsyn.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и школах: Nonlinear science festival III (Kongens Lyngby, Denmark, 2001), 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS, Saratov, 2001 и 2010), PANDA Meeting (Surrey, United Kingdom, 2004), Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика (Саратов, 2008 и 2009), Sommerschule in Drittes Physikalisches Institut, Georg-August-Universitat Gottingen (Braunlage im Harz, Germany, 2009), Статистическая физика и информационные технологии (Statlnfo, Саратов, 2009), Exploring Complex Dynamics in High-Dimensional Chaotic Systems (ECODYCIO, Dresden, Germany, 2010), The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications (Dresden, Germany, 2010), XXXI Dynamics Days Europe (Oldenburg, Germany, 2011), 5th International Scientific Conference on Physics and Control (Leon, Spain, 2011), Нелинейные Волны (Нижний Новгород, 2012).

Результаты диссертации использовались при выполнении работ, финансируемых грантами Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 00-02-17509-а, и 03-02-16192-а), совместно Российского фонда фундаментальных исследований и Немецкого научно-исследовательского общества (гранты 04-02-04011-ННИО_а, 08-02-91963-ННИО_а, 11-02-91334-ННИО_а), Королевского научного общества Великобритании (NATO and British FCO Chevening Programme), совместно Минобрануки РФ и Германской службы академических обменов DAAD (программа «Михаил Ломоносов II»).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 33 работах, из них 17 статей в рецензируемых журналах [45-61], 1 статья в международном сборнике [62], 13 материалов конференций [63-75], 1 депонированный отчёт [76] и 1 свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ [77].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причём вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации: введение, 7 глав, заключение и библиография, общим объёмом 352 страницы. Диссертация содержит 131 рисунок. Библиография включает 248 наименований на 20 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Купцов, Павел Владимирович

Основные результаты главы сформулированы в форме следующих положений, выносимых на защиту.

• Предложена математическая модель автоволновой системы, построенная из локальных элементов с гиперболической динамикой, которая может демонстрировать режим низкоразмерного пространственно-временного гиперболического гииерхаоса: система, сохраняя гиперболичность, имеет два положительных показателя Ляпунова. Этот режим характеризуется степенной зависимостью энтропии Колмогорова-Синая от длины системы. Он разрушается при увеличении длины (что соответствует уменьшению пространственной связи), когда третий показатель становится положительным. Так как модель построена на основе универсальных амплитудных уравнений, она отвечает широкому классу реальных систем разной природы.

• Предложена математическая модель генерации низкоразмерного (один положительный показатель Ляпунова) пространственно-временного гиперболического хаоса на основе взаимодействия двух возбуждаемых поочерёдно пространственных мод. Модель обладает универсальностью и не зависит от природы системы, на основе которой реализуется. Существенные компоненты модели: моды должны иметь целочисленное отношение волновых чисел, в системе должна присутствовать нелинейность порядка этого отношения, а также должна иметься пространственная неоднородность с волновым числом, разность которого с волновым числом коротковолновой моды по абсолютной величине должна быть равна волновому числу длинноволновой.

Заключение

1. Разработанный в диссертации комплекс программ, реализующий быстрый численный метод определения углов между касательными подпространствами, расширяет возможности исследования пространственно-временного хаоса. С его помощью можно анализировать структуру касательного пространства, в частности тестировать гиперболичность у систем достаточно высокой размерности, которые не поддаются такого рода анализу с применением других подходов из-за большого расхода машинных ресурсов.

2. Разработанный в диссертации комплекс программ для вычисления ковариантных ля-пуновских векторов обеспечивает оптимальное сочетание быстродействия, экономичности и точности. Поэтому его можно рекомендовать как наилучший выбор для работы с ковариант-ными векторами.

3. Для решения дифференциальных уравнений параболического типа часто применяют смешанную (полунеявную) схему метода конечных разностей из-за того, что она абсолютно устойчива и имеет второй порядок локальной аппроксимации производной по времени. Однако, как показано в диссертации, при вычислении с помощью этого метода показателей Ляпунова можно получить грубую ошибку, которая возникает из-за специфики взаимодействия процедур решения уравнений и ортогонализации. Это проявляется в виде характерного излома кривой спектра ляпуновских показателей, вследствие которого младшие показатели оказываются значительно завышенными. Для предотвращения ошибки требуется выбирать достаточно малый шаг по времени, согласно полученной в диссертации оценке, или использовать чистую неявную схему, которая лишена этого недостатка.

4. В диссертации предложены математические модели распределённых систем с гиперболическим пространственно-временным хаосом. В отличие от известных ранее аналогичных моделей предложенные характеризуются сильной пространственной связью, что приводит к генерации низкоразмерного хаоса. Рассмотрен случай, когда связанные диффузией локальные области сами по себе демонстрируют гиперболический хаос, а также когда их взаимодействие порождает синусоидальные пространственные моды, а гиперболичность появляется вследствие взаимодействия этих мод. Ещё одна важная отличительная черта предложенных моделей в том, что, с одной стороны, они универсальны и не привязаны к конкретной предметной области, а с другой — имеется ясное представление, каким реальным системам они соответствуют. Это выгодно отличает их от многих других моделей с гиперболическим хаосом, которые невозможно реализовать экспериментально. С одной стороны, это открывает перспективы конструирования устройств с пространственно-временным гиперболическим хаосом, а с другой — задаёт направление поиска гиперболических режимов в реальных пространственно-временных системах.

5. Ещё один результат диссертации — выявление нетривиальных свойств эффекта по-токово-диффузионной развёртки колебаний, знание которых важно для практических применений. Как оказалось, структура линейно неустойчива вблизи критической скорости потока, при которой она возникает. Поэтому экспериментально её можно наблюдать только при более высокой скорости. Показано, что развёртка возможна не только при конвективной неустойчивости (именно при таком условии её обычно изучают), но и когда имеется абсолютная неустойчивость. Наконец, обнаружено, что общепринятое среди экспериментаторов требование наличия плоского профиля скорости потока является на самом деле необязательным. Развёртку можно наблюдать и для течения Пуазёйля.

6. Переход от конвективной к абсолютной неустойчивости — это очень простой с качественной точки зрения эффект, который на самом деле достаточно сложен как для теоретического описания, так и с экспериментальной точки зрения. Очевидный способ экспериментального измерения критической скорости перехода — реализация метода половинного деления, что требует многократного повторения опытов с разными значениями скорости потока. В диссертации показано, как это можно сделать значительно проще, задав систему в виде конуса.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Купцов, Павел Владимирович, 2012 год

Литература

1. Трубецков Д. И., Мчедлова Е. С., Красичков JI. В. Введение в теорию самоорганизации открытых систем. М.: Физматлит, 2002. С. 200.

2. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. М.: Мир, 1979.

3. Пригожин И. Р., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. М.: URSS, КомКнига, 2005. С. 296.

4. Князева Е. Н„ Курдюмов С. П. Синергетика. M.: URSS, КомКни, 2007. С. 272.

5. Cross M., Greenside H. Pattern Formation and Dynamics in Nonequilibrium Systems. Cambridge University Press, 2009. C. 552.

6. Aranson I. S., Kramer L. The world of the complex Ginzburg-Landau equation // Rev. Mod. Phys. 2002. T. 74. C. 99-143.

7. Васильев В. А., Романовский Ю. M., Яхно В. Г. Автоволновые процессы / Под ред. Д. С. Чернавский. Наука, 1987.

8. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. М.: Наука, Физматлит, 1990. С. 272.

9. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. M.: URSS, 2009. С. 320.

10. Рыскин H. М., Трубецков Д. И. Нелинейные волны. М.: Наука, Физматлит, 2000. С. 272.

11. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Структуры и хаос в нелинейных средах. М.: Физматлит, 2007. С. 488.

12. Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Пельтминский С. В. Спиновые волны. Наука, 1967.

13. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. С. 464.

14. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. M.: URSS, 2009. С. 424.

15. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. С. 530.

16. Оселедец В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Труды Моск. матем. об-ва. 1968. Т. 19. С.197-231.

17. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J. M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part I: Theory. Part II: Numerical application // Meccanica. 1980. T. 15. C. 9-30.

18. Shimada I., Nagashima T. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems // Prog. Theor. Phys. 1979. T. 61. № 6. C. 1605-1616.

19. Ginelli F., Poggi P., Turchi А. и др. Characterizing dynamics with covariant Lyapunov vectors // Phys. Rev. Lett. 2007. T. 99. C. 130601.

20. Wolfe C. L., Samelson R. M. An efficient method for recovering Lyapunov vectors from singular vectors // Tellus A. 2007. T. 59. C. 355-366.

21. Eckmann J. P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. 1985.-Jul. T. 57. № 3. C. 617-656.

22. Legras В., Vautard R. A guide to Lyapunov vectors // Predictability / Под ред. Т. Palmer. ECMWF, Reading, UK, 1996. Т. 1 из ECWF Seminar. C. 135-146.

23. Андронов А. А., Вит А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. С. 568.

24. Kuznetsov S. P. Hyperbolic Chaos: A Physicist's View. Higher Education Press: Bijing and Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2012. C. 336.

25. Turing A. M. The chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans. R. Soc. B. 1952. T. 237. C.37-72.

26. Мюррей Д. Д. Математическая биология. Введение. РХД, 2009. Т. 1. С. 776.

27. Bonabeau Е. From Classical Models of Morphogenesis to Agent-Based Models of Pattern Formation // Art. life, The MIT Press. 1997. Т. 3. № 3. C. 191-211.

28. Nagahara H., Ma Y., Takenaka Y. и др. Spatiotemporal pattern in somitogenesis: A non-Turing scenario with wave propagation // Phys. Rev. E. 2009. T. 80. C. 021906.

29. Castets V., Dulos E., Boissonade J., De Kepper P. Experimental evidence of a sustained standing Turing-type nonequilibrium chemical pattern // Phys. Rev. Lett. 1990. — Jun. T. 64. № 24. C. 2953-2956.

30. Murray J. D. Parameter space for Turing instability in reaction-diffusion mechanisms: a comparison of models // J. Math. Biol. 1982. T. 98. C. 134-163.

31. Satnoianu R. A., Maini P. K., Menzinger M. Parameter space analysis, pattern sensitivity and model comparison for Turing and stationary flow-distributed waves (FDS) // Phys. D. 2001. T. 160. C. 79-102.

32. Kuznetsov S. P., Mosekilde E., Dewel G., Borckmans P. Absolute and convective instabilities in a one-dimensional brusselator flow model // J. Chem. Phys. 1997. T. 106. C. 7609.

33. Kasrn M., Menzinger M. Experiments on flow-distributed oscillations in the Belousov-Zhabotinsky reaction//J. Phys. Chem. A. 2002. T. 106. № 19. C. 4897-4903.

34. Kasrn M., Satnoianu R. A., Munuzuri A. P., Menzinger M. Controlled pattern formation in the CDIMA reaction with a moving boundary of illumination // Phys. Chem. Chem. Phys. 2002. T. 4. C. 1315-1319.

35. Bamforth J. R., Tôth R., Gâspâr V., Scott S. K. Scaling and dynamics of "flow distributed oscillation patterns" in the Belousov-Zhabotinsky reaction // Phys. Chem. Chem. Phys. 2002. T. 4. № 8. C. 1299-1306.

36. Miguez D. G., Satnoianu R. A., Munuzuri A. P. Experimental steady pattern formation in reaction-diffusion-advection systems // Phys. Rev. E. 2006. T. 73. № 2. C. 025201.

37. Bamforth J. R., Kalliadasis S., Merkin J. H., Scott S. K. Modelling flow-distributed oscillations in the CDIMA reaction // Phys. Chem. Chem. Phys. 2000. T. 2. C. 4013-4021.

38. Satnoianu R. A., Menzinger M. Non-Turing stationary patterns in flow-distributed oscillators with general diffusion and flow rates // Phys. Rev. E. 2000. T. 62. C. 113-119.

39. McGraw P. N., Menzinger M. General theory of nonlinear flow-distributed oscillations // Phys. Rev. E. 2003.-Dec. T. 68. № 6. C. 066122.

40. Kasrn M., Menzinger M. Flow-distributed oscillations: Stationary chemical waves in a reacting flow //Phys. Rev. E. 1999. T. 60. C. R3471-R3474.

41. Bamforth J. R., Merkin J. H., Scott S. К. и др. Flow-distributed oscillation patterns in the Oregonator model // Phys. Chem. Chem. Phys. 2001. Т. 3. C. 1435-1438.

42. Miguez D. G., Iziis G. G., Munuzuri A. P. Robustness and stability of flow-and-diffusion structures // Phys. Rev. E. 2006. T. 73. № 1. C. 016207.

43. Каггп M., Menzinger M., Hunding A. Segmentation and somitogenesis derived from phase dynamics in growing oscillatory media // J. Theor. Biol. 2000. T. 207. C. 473-^193.

44. Каггп M., Menzinger M., Satnoianu R. A., Hunding A. Chemical waves in open flows of active media: Their relevance to axial segmentation in biology // J. R. Chem. Soc. 2002. T. 120. C. 295-312.

45. Kuptsov P., Parlitz U. Theory and Computation of Covariant Lyapunov Vectors // Journal of Nonlinear Science. 2012. T. 22. № 5. C. 727-762.

46. Kuptsov P. V. Fast numerical test of hyperbolic chaos // Physical Review E. 2012. T. 85. C. 015203.

47. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P., Pikovsky A. Hyperbolic Chaos of Turing Patterns // Physical Review Letters. 2012. T. 108. C. 194101.

48. Kuptsov P. V., Politi A. Large-Deviation Approach to Space-Time Chaos // Physical Review Letters. 2011. T. 107. C. 114101.

49. Kuptsov P. V., Parlitz U. Strict and fussy mode splitting in the tangent space of the Ginzburg-Landau equation // Physical Review E. 2010. T. 81. C. 036214.

50. Купцов П. В. Вычисление показателей Ляпунова для распределённых систем: преимущества и недостатки различных численных методов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. № 5. С. 93-112.

51. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P. Violation of hyperbolicity in a diffusive medium with local hyperbolic attractor//Physical Review E. 2009. T. 80. № 1. C. 016205.

52. Kuptsov P. V., Satnoianu R. A. Flow- and Diffusion Distributed Structures with noise at the inlet // Mathematics and Computers in Simulation. 2008. T. 79. C. 201-218.

53. Купцов П. В., Кузнецов С. П. О феноменах, сопровождающих переход к режиму синхронного хаоса в связанных неавтономных осцилляторах, представленных уравнениями для комплексных амплитуд // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2. № 3. С. 307-331.

54. Kuptsov P. V., Satnoianu R. A. Stability of flow- and diffusion-distributed structures to inlet noise effects // Physical Review E. 2005. T. 71. № 1. C. 015204.

55. Kuptsov P. V., Satnoianu R. A., Daniels P. G. Pattern formation in a two-dimensional reaction-diffusion channel with Poiseuille flow // Physical Review E. 2005. T. 72. № 3. C. 036216.

56. Kuptsov P. V. Rigid transition to the stationary structure and imposed convective instability in a reaction-diffusion system with flow//Physica D. 2004. T. 197. C. 174-195.

57. Купцов П. В., Кузнецов С. П. Синхронизация и коллективное поведение цепочки одно-направленно связанных отображений с периодическими граничными условиями // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004. Т. 12. № 3. С. 3-22.

58. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P., Knudsen С. Convective wave front locking for a reaction-diffusion system in a conical flow reactor // Physics Letters A. 2002. T. 294. C. 210-216.

59. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P., Mosekilde E. Particle in the Brusselator model with flow // Physica D. 2002. T. 163. C. 80-88.

60. Купцов П. В. О возможности исследования перехода от конвективной к абсолютной неустойчивости в потоковой системе реакция диффузия с использованием конической геометрии реактора // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т. 9. № 6. С. 83-94.

61. Купцов П. В. Двухпараметрический анализ синхронизации хаотических отображений // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. № 6. С. 42-50.

62. Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P., Knudsen С., Mosekilde E. Absolute and convective instabilities in the one-dimensional Brusselator model with flow // Recent Research Development in Chemical Physics, Transworld research network. 2003. T. 4. C. 633-658.

63. Купцов П. В., Кузнецов С. П., Пиковский А. Гиперболический хаос в распределённых системах, возникающий в результате взаимодействия пространственных мод // Научная школа «Нелинейные Волны». Нижний Новгород, 2012.

64. Kuptsov P. V. Lyapunov exponents fluctuations as a tool for studying high-dimensional chaos // XXXI Dynamics Days Europe. Oldenburg, Germany, 2011.

65. Parlitz U., Kuptsov P. V. Towards a general theory of covariant Lyapunov vectors: mathematical background and a new effective numerical method // 5th International Scientific Conference on Physics and Control. Leon, Spain, 2011.

66. Kuptsov P. V. Hyperbolic chaos in extended systems constructed of elements with hyperbolic dynamics // Exploring Complex Dynamics in High-Dimensional Chaotic Systems: From Weather Forecasting to Oceanic Flows. Dresden, Germany, 2010.

67. Parlitz U., Kuptsov P. V. Lyapunov vectors and mode splitting of extended systems // The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications / Dresden University of Technology. Dresden, Germany, 2010.

68. Купцов П. В. Ляпуновские вектора для систем высокой размерности // IX международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур». Саратов, Россия, 2010.

69. Kuptsov P. V. Stationary patterns in ID and 2D reaction-diffusion systems with flow // Sommerschule / Drittes Physikalisches Institut, Georg-August-Universitat Gottingen. Braunlage im Harz, Germany, 2009.

70. Купцов П. В. Разрушение и восстановление гиперболического хаоса цепочки связанных осцилляторов с индивидуальной гиперболической динамикой // Международная школа-семинар «Статистическая физика и информационные технологии». Саратов, Россия, 2009.

71. Купцов П. В. Сложности, возникающие при вычислении спектра показателей Ляпунова для распределённых систем // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Саратов, Россия, 2009.

72. Купцов П. В., Кузнецов С. П. Пространственно-временной хаос в среде с диффузией, локальная динамика которой характеризуется присутствием гиперболического странного аттрактора // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Саратов, Россия, 2008.

73. Kuptsov P. V. Flow and diffusion distributed structures in 2D Lengyel-Epstein system with flow // PANDA Meeting / Department of Mathematics and Statistics, University of Surrey. University of Surrey, United Kingdom, 2004.

74. Kuptsov P. V. Analysis of absolute and convective instabilities in the one-dimensional Brusselator flow model using Ginzburg-Landau equations // Nonlinear science festival III / The Technical University of Denmark. Kongens Lyngby, Denmark, 2001.

75. Kuptsov P. V. Instabilities and patterns in one-dimensional Brusselator model with non-uniform open flow // 6-th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation. Saratov, Russia, 2001.

76. Купцов П. В. Динамика высокой размерности, демонстрируемая взаимодействующими системами со странными гиперболическими аттракторами: Депонированный отчёт по проекту 2.2.2.5/8170 аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)»: ГОУ ВПО СГАП, 2010.

77. Купцов П. В. CLVODEJLU — реализация алгоритмов вычисления ковариантных ляпу-новских векторов по методу LU-разложения и быстрой проверки свойства гиперболичности хаотической динамики. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012617576. 22 августа 2012 г.

78. Кудрявцев JI. Д. Курс математического анализа: Учебник для студентов университетов и вузов. М.: Высш. шк., 1989. Т. 3. С. 352.

79. Cross М. С., Hohenberg Р. С. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. 1993. T. 65. №2. C. 851-1114.

80. Satnoianu R. A., Menzinger M., Maini P. K. Turing instabilities in general systems // J. Math. Biol. 2000. T. 41. C. 493-512.

81. Just W., Bose M., Bose S. и др. Spatiotemporal dynamics near a supercritical Turing-Hopf bifurcation in a two-dimensional reaction-diffusion system // Phys. Rev. E. 2001. T. 64. C. 026219.

82. Flacha E., Schnell S., Norbury J. Turing pattern outside of the Turing domain // Appl. Math. Lett. 2007. T. 20. C. 959-963.

83. Араманович И. Г., Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного, операторное исчисление, теория устойчивости. М.: Наука, 1968. С. 416.

84. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

85. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. Курс высшей математики и математической физики. М.: Физматлит, 2005. С. 336.

86. Николис Г., Пригожин И. Р. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979. С. 512.

87. Трубецков Д. И. Колебания и волны для гуманитариев. Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1997.

88. Трубецков Д. И., Рожнёв А. Г. Линейные колебания и волны: Учебное пособие для вузов. М.: Издательство физико-математической литературы, 2001. С. 416.

89. Twiss R. Q. On Oscillations in Electron Streams // Proc. Phys. Soc. B. 1951. T. 64. C. 654.

90. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. M. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1954. С. 795.

91. Briggs P. J. Electron-stream interaction with plasmas. Cambridge, Mass.: Mass. Techn. Int. Press, 1964.

92. Бриггс П. Двухпучковая неустойчивость // Достижения физики плазмы. М.: Мир, 1974.

93. Bers A. Space-time evolution of plasma Instabilities - absolute and convective // Basic plasma physics / Под ред. A. A. Galaev, R. N. Sudan. North-Holland, Amsterdam, 1983. Handbook of plasma physics. C. 451-517.

94. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей. M.: Атомиздат, 1975. T. 1.

95. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. 4-е изд., перераб. и доп. изд. М.: Сов. радио, 1977. С. 749.

96. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979.

97. Федорченко А. М., Коцаренко Н. Я. Абсолютная и конвективная неустойчивость в плазме и твердых телах. М.: Наука, 1981.

98. Джеффрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики. М.: Мир, 1970. Т. 3. С. 344.

99. Федорюк М. В. Метод перевала. Москва, URSS, 2010. С. 368.

100. Dee G., Langer J. S. Propagating pattern selection // Phys. Rev. Lett. 1983. T. 50. C. 383-386.

101. Dee G. Propagation into an unstable state // J. Stat. Phys. 1985. T. 39. C. 705-717.

102. Ben-Jacob E., Brand H., Dee G. и др. Pattern propagation in nonlinear dissipative systems // Phys. D. 1985. T. 14. C. 348-364.

103. van Saarloos W. Front propagation into unstable states: Marginal stability as a dynamical mechanism for velocity selection // Phys. Rev. A. 1988.-Jan. T. 37. № 1. C. 211-229.

104. van Saarloos W. Front propagation into unstable states. II. Linear versus nonlinear marginal stability and rate of convergence // Phys. Rev. A. 1989. -Jun. T. 39. № 12. C. 6367-6390.

105. Rovinsky А. В., Menzinger M. Chemical instability induced by a differential flow // Phys. Rev. Lett. 1992.-Aug. T. 69. № 8. C. 1193-1196.

106. Rovinsky А. В., Menzinger M. Self-organization induced by the differential flow of activator and inhibitor // Phys. Rev. Lett. 1993.-Feb. T. 70. № 6. C. 778-781.

107. Borckmans P., Dewel G., Witt A. D., Walgraef D. The differential flow instabilities // Chemical Waves and Patterns / Под ред. К. S. R. Kapral. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1995. C. 87-95.

108. Wu X.-G., Nakata S., Menzinger M., Rovinsky A. B. Differential flow instability in a tubular flow reactor: its convective nature // J. Phys. Chem. 1996. T. 100. C. 15810-15814.

109. Yakhnin V. Z., Rovinsky А. В., Menzinger M. Convective instability induced by a differential transport in the tubular packet-bed reactor // Chem. Eng. Sci. 1996. T. 50. C. 2853-2859.

110. Satnoianu R. A., Merkin J. H., Scott S. K. Differential flow induced instability in a cubic autocatalator system // J. Eng. Math. 1998. T. 33. C. 77-102.

111. Satnoianu R. A., Merkin J. H., Scott S. K. Spatio-temporal structures in a differential flow reactor with cubic autocatalator kinetics // Phys. D. 1998. T. 124. № 4. C. 345-367.

112. Борисович Ю. Г., Близняков H. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н. Введение в топологию. М.: Наука, Физматлит, 1995. С. 416.

113. Хьюзмоллер Д. Расслоённые пространства. Москва, Мир, 1970. С. 443.

114. Toth Z., Kalnay Е. Ensemble forecasting at NMC: The generation of perturbations. // Bull. Am. Met. Soc. 1993. T. 74. C. 2317-2330.

115. Toth Z., Kalnay E. Ensemble Forecasting at NCEP and the Breeding Method // Month. Weath. Rev. 1997. T. 125. C. 3297-3319.

116. Buizza R., Tribbia J., Molteni F., Palmer T. Computation of optimal unstable structures for a numerical weather prediction model // Tellus A. 1993. T. 45. C. 388-407.

117. Buizza R., Palmer T. The singular-vector structure of the atmospheric global circulation // J. Atm. Sc. 1995. T. 52. C. 1434-1456.

118. Frederiksen J. S. Adjoint sensitivity and finite-time normal mode disturbances during blocking//J. Atm. Sc. 1997. T. 54. C. 1144-1165.

119. Vastano J. A., Moser R. D. Short-time Lyapunov exponent analysis and the transition to chaos in Taylor-Couette flow // J. Fluid Mech. 1991. T. 233. C. 83-118.

120. Trevisan A., Pancotti F. Periodic orbits, Lyapunov vectors, and singular vectors in the Lorenz system // J. Atm. Sc. 1998. T. 55. C. 390-398.

121. Takeuchi K. A., Ginelli F., Chate H. Lyapunov Analysis Captures the Collective Dynamics of Large Chaotic Systems//Phys. Rev. Lett. 2009.-Oct. T. 103. № 15. C. 154103.

122. Yang H., Radons G. Lyapunov modes in extended systems // Phil. Trans. R. Soc. A. 2009. T. 367. C. 3197-3212.

123. Robinson J. C. Finite dimensional behavior in dissipative partial differential equations // Chaos. 1995. T. 5. C. 330-345.

124. Takeuchi K. A., Yang H., Ginelli F. и др. Hyperbolic decoupling of tangent space and effective dimension of dissipative systems // Phys. Rev. E. 2011, —Oct. T. 84. C. 046214.

125. Pazo D., Szendro I. G., Lopez J. M., Rodriguez M. A. Structure of characteristic Lyapunov vectors in spatiotemporal chaos // Phys. Rev. E. 2008.-Jul. T. 78. № 1. C. 016209.

126. Romero-Bastida M., Pazó D., López J. M., Rodríguez M. A. Structure of characteristic Lyapunov vectors in anharmonic Hamiltonian lattices // Phys. Rev. E. 2010.— Sep. T. 82. № 3. C. 036205.

127. Morriss G. P. Localization properties of со variant Lyapunov vectors for quasi-one-dimensional hard disks // Phys. Rev. E. 2012.-May. T. 85. C. 056219.

128. Golub G. H., van Loan C. F. Matrix computations. 3rd изд. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD, 1996. C. 694.

129. Reynolds C. A., Errico R. M. Convergence of singular vectors toward Lyapunov vectors // Month. Weath. Rev. 1999. T. 127. C. 2309-2323.

130. Parker T. S., Chua L. O. Practical numerical algorithms for chaotic systems. Springer-Verlag, 1989. C. 348.

131. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J. M. All Lyapunov characteristic numbers are effectively computable // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A. 1978. T. 286. C. 431-433.

132. Ershov S. V., Potapov A. B. On the concept of stationary Lyapunov basis // Phys. D. 1998. T. 118. № 3-4. C. 167-198.

133. Geist K., Parlitz U., Lauterborn W. Comparision of different methods for computing Lyapunov exponents //Prog. Theor. Phys. 1990. T. 83. № 5. C. 875-893.

134. Magnus W. On the exponential solution of differential equations for a linear operator // Comm. Pure and Appl Math. 1954. T. 7. № 4. C. 649-673.

135. Ruelle D. Ergodic theory of differentiable dynamical systems // Publ. Math, de L'IHÉS. 1979. Т. 50. С. 27-58.

136. Гукенхеймер Д., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Ижевск: РХД, 2002. С. 560.

137. Pazó D., Rodríguez М. A., López J. М. Spatio-temporal evolution of perturbations in ensembles initialized by bred, Lyapunov and singular vectors // Tellus A. 2010. T. 62. C. 10-23.

138. Knyazev A. V., Argentati M. E. Principal angles between subspaces in A-based scalar product: algorithms and perturbation estimates // SI AM H. Sei. Comput. 2002. T. 23. № 6. C. 2008-2040.

139. Anderson E., Bai Z., Bischof С. и др. LAPACK Users' Guide. 1999.

140. Bochkanov S., Bystritsky V. ALGLIB NET. http://www.alglib.net. 2010.

141. Fujisaka H. Statistical dynamics generated by fluctuations of local Lyapunov exponents // Prog. Theor. Phys. 1983. T. 70. № 5. C. 1264-1275.

142. Benzi R., Paladin G., Parisi G., Vulpiani A. Characterisation of intermittency in chaotic systems // J. Phys. A. 1985. T. 18. № 12. C. 2157.

143. Prasad A., Ramaswamy R. Characteristic distributions of finite-time Lyapunov exponents // Phys. Rev. E. 1999.-Sep. T. 60. № 3. C. 2761-2766.

144. Beigie D., Leonard A., Wiggins S. Statistical relaxation under nonturbulent chaotic flows: Non-Gaussian high-stretch tails of finite-time Lyapunov exponent distributions // Phys. Rev. Lett. 1993.-Jan. T. 70. № 3. C. 275-278.

145. Amitrano C., Berry R. S. Probability distributions of local Liapunov exponents for small clusters // Phys. Rev. Lett. 1992.-Feb. T. 68. № 6. C. 729-732.

146. Sepulveda M. A., Badii R., Pollak E. Spectral analysis of conservative dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 1989.-Sep. T. 63. № 12. C. 1226-1229.

147. Боровков А. А. Теория вероятностей. 5-е изд. изд. М.: Либроком, 2009. С. 656.

148. Touchette Н. The large deviation approach to statistical mechanics // Phys. Rep. 2009. T. 478. № 1-3. С. 1 - 69.

149. Beck C., Schlögl F. Thermodinamics of chaotic systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

150. Рюэль Д. Термодинамический формализм: Математические структуры классической равновесной статистической механи. М.: Ин-т компьют. исслед, 2002. С. 288.

151. Cencini М., Cecconi F., Vulpiani A. Chaos: From Simple Models to Complex Systems. World Scientific Publ., 2010. C. 480.

152. Politi A., Torcini A. Towards a statistical mechanics of spatiotemporal chaos // Phys. Rev. Lett. 1992.-Dec. T. 69. № 24. C. 3421-3424.

153. Derrida B. Non-equilibrium steady states: fluctuations and large deviations of the density and of the current // J. Stat. Mech. 2007. T. 2007. № 07. С. P07023.

154. Lecomte V., Appert-Rolland C., van Wijland F. Chaotic Properties of Systems with Markov Dynamics //Phys. Rev. Lett. 2005.-Jun. T. 95. № 1. C. 010601.

155. Gallavotti G,, Cohen E. G. D. Dynamical Ensembles in Nonequilibrium Statistical Mechanics // Phys. Rev. Lett. 1995.-Apr. T. 74. № 14. C. 2694-2697.

156. Gallavotti G., Cohen E. Dynamical ensembles in stationary states // J. Stat. Phys. 1995. T. 80. C. 931-970.

157. Гельфанд И. M. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1971. С. 271.

158. Аносов Д. В., Арансон С. X., Гринес В. 3. и др. Динамические системы с гиперболическим поведением. Динамические системы - 9 изд. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 66 из Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. С. 242.

159. Каток А., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

160. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. М.: МЦНМО, 2005.

161. Aston P. J., Dellnitz М. Symmetry breaking bifurcations of chaotic attractors // Int. J. Bif. Chaos. 1995. T. 5. C. 1643-1676.

162. Kostelich E., Kan I., Grebogi C. et al. Unstable dimension variability: A source of nonhyper-bolicity in chaotic systems //Physica D. 1997. Vol. 109. no. 1. P. 81-90.

163. Песин Я. Б. Лекции по теории частичной гиперболичности и устойчиво эргодичности. М: МЦНМО, 2006. С. 144.

164. Pugh С., Shub М., Starkov A. Stable ergodicity // Bull. Am. Math. Soc. 2004. T. 41. C. 1-41.

165. Bonatti C., Diaz L. J., Viana M. Dynamics beyond uniform hyperbolicity. Springer, 2005. T. 102 из Encyclopedia of Mathematical Sciences. C. 384.

166. Синай Я. Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С. 192-212.

167. Kuznetsov S. P., Sataev I. R. Hyperbolic attractor in a system of coupled non-autonomous van der Pol oscillators: Numerical test for expanding and contracting cones // Phys. Lett. A. 2007. T. 365. C. 97-104.

168. Morales C. A., Pacifico M. J., Pujals E. R. Robust Transitive Singular Sets for 3-Flows Are Partially Hyperbolic Attractors or Repellers // Ann. of Math. 2004. T. 160. № 2. C. 375-432.

169. Kuznetsov S. P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale-Williams type // Phys. Rev. Lett. 2005. T. 95. C. 144101.

170. Кузнецов С. П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: от математики к физике. // УФН. 2011. Т. 181. № 2. С. 121-149.

171. Wilczak D. Uniformly hyperbolic attractor of the Smale-Williams type for a Poincare map in the Kuznetsov system // SIAM J. App. Dyn. Syst. 2010. T. 9. C. 1263—1283.

172. Aston P. J., Laing C. R. Symmetry and chaos in the complex Ginzburg-Landau equation. I. Reflectional symmetries // Dyn. Stabil. Syst. 1999. T. 14. № 3. C. 233-253.

173. Press W. H., Teukolsky S. A., Vettering W. Т., Flannery B. P. Numerical recipes in C. Cambridge University Press, 1992. C. 994.

174. Калиткин H. H. Численные методы, учебное пособие. М.: Наука, 1978. С. 512.

175. Strikwerda J. С. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Pacific Grove, CA, Wadsworth and Brookes/Cole, 1989.

176. Yang H., Takeuchi K. A., Ginelli F. и др. Hyperbolicity and the Effective Dimension of Spatially Extended Dissipative Systems // Phys. Rev. Lett. 2009. —Feb. T. 102. № 7. C. 074102.

177. Bochi J., Viana M. The Lyapunov exponents of generic volume-preserving and symplectic maps //Ann. of Math. 2005. T. 161. C. 1423-1485.

178. Yang H., Radons G. When Can One Observe Good Hydrodynamic Lyapunov Modes? // Phys. Rev. Lett. 2008.-Jan. T. 100. C. 024101.

179. Bryc W. A remark on the connection between the large deviation principle and the central limit theorem // Stat. Prob. Lett. 1993. T. 18. № 4. C. 253-256.

180. Martin-Lof A. A Laplace approximation for sums of independent random variables // Z. Wahrsch. Verw. Gebiete. 1982. T. 59. № 1. C. 101-115.

181. Лоэв M. Теория вероятностей. Издательство иностранной литературы, Москва, 1962.

182. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: «Наука*, 1989.

183. Демиденко Е. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статистика, 1981.

184. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ, (в 2-х т.). М.: Финансы и статистика, 1987.

185. Dressier U. Symmetry property of the Lyapunov spectra of a class of dissipative dynamical systems with viscous damping // Phys. Rev. A. 1988.-Aug. T. 38. № 4. C. 2103-2109.

186. Chirikov В. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep. 1979. T. 52. № 5. C. 263 -379.

187. Politi A., Torcini A. Periodic orbits in coupled Henon maps: Lyapunov and multifractal analysis // Chaos. 1992. T. 2. C. 293-300.

188. Bosch A. J. The Factorization of a Square Matrix Into Two Symmetric Matrices // Am. Math. Month. 1986.-Jun. - Jul. T. 93. C. 462-464.

189. Yang H., Radons G. Geometry of Inertial Manifolds Probed via a Lyapunov Projection Method//Phys. Rev. Lett. 2012.-Apr. T. 108. C. 154101.

190. Manneville P. Liapounov exponents for the Kuramoto-Sivashinsky model // Macroscopic modelling of turbulent flows. Springer Berlin / Heidelberg, 1985. T. 230 из Lecture notes in physics. C. 319-326.

191. Kaneko K. Lyapunov analysis and information flow in coupled map lattices // Phys. D. 1986. T. 23. C. 436-447.

192. Kaneko K. Towards thermodynamics of spatiotemporal chaos // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1989. T. 99. C. 263-287.

193. Yang H., Radons G. Lyapunov Spectral Gap and Branch Splitting of Lyapunov Modes in a Diatomic System//Phys. Rev. Lett. 2007.-0ct. T. 99. № 16. C. 164101.

194. Deissler R. J. Noise-sustained structure, intermittency, and the Ginzburg-Landau equation // J. Stat. Phys. 1985. T. 40. C. 371-95.

195. Deissler R. J., Farmer J. D. Deterministic noise amplifiers // Phys. D. 1992. T. 55. C. 155-165.

196. Landa P. S. Turbulence in nonclosed fluid flows as a noise-induced phase transition // Europhys. Lett. 1996. T. 36. № 6. C. 401-406.

197. Ланда П. С. Возникновение турбулентности в незамкнутых течениях жидкости как неравновесный шумоиндуцированный фазовый переход второго рода // ЖТФ. 1998. Т. 68. С. 31-39.

198. Kuznetsov S. P. Noise-induced absolute instability // Math. Сотр. Sim. 2002. Т. 58. С. 435-442.

199. Taylor A. F., Bamforth J. R., Bardsley P. Complex pattern development in a plug-flow reactor // Phys. Chem. Chem. Phys. 2002. T. 4. № 22. C. 5640-5643.

200. Lengyel I., Rabai G., Epstein I. R. Batch oscillations in the reaction of chlorine dioxide with iodine and malonic acid // J. Am. Chem. Soc. 1990. T. 112. C. 4606-4607.

201. Lengyel I., Epstein I. R. Modelling of Turing structures in the chlorite-iodide-malonic acid-starch reaction system // Science. 1991. T. 251. C. 650-652.

202. Lengyel I., Epstein I. R. Chemical approach to designing Turing patterns in reaction-diffusion systems // PNAS. 1992. T. 89. № 2. C. 3866-3979.

203. Jensen O., Pannbacker V. O., Mosekilde E. и др. Localized structures and front propagation in the Lengyel-Epstein model // Phys. Rev. E. 1994,-Aug. T. 50. № 2. C. 736-749.

204. Dolnik M., Berenstein I., Zhabotinsky A. M., Epstein I. R. Spatial Periodic Forcing of Turing Structures //Phys. Rev. Lett. 2001.-Nov. T. 87. № 23. C. 238301.

205. Berenstein I., Yang L., Dolnik M. и др. Superlattice Turing Structures in a Photosensitive Reaction-Diffusion System // Phys. Rev. Lett. 2003.-Jul. T. 91. № 5. C. 058302.

206. Berenstein I., Munuzuri A. P., Yang L. и др. Breathing spiral waves in the chlorine dioxide-iodine-malonic acid reaction-diffusion system // Phys. Rev. E. 2008. —Aug. T. 78. №2. C. 025101.

207. Kaern M., Menzinger M. Pulsating wave propagation in reactive flows: Flow-distributed oscillations//Phys. Rev. E. 2000. T. 61. C. 3334-3338.

208. Satnoianu R. A. Coexistance of statonary and traveling waves in reaction-diffusion-advction systems // Phys. Rev. E. 2003. T. 68. C. 032101.

209. McGraw P. N., Menzinger M. Flow-distributed oscillation, flow-velocity modulation, and resonance // Phys. Rev. E. 2005. T. 72. C. 027202.

210. McGraw P. N., Menzinger M. Pattern formation by boundary forcing in convectively unstable, oscillatory media with and without differential transport // Phys. Rev. E. 2005. T. 72. C. 026210.

211. Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. Москва, URSS, 2004. С. 240.

212. Jordan D. W., Smith P. S. Nonlinear ordinary differential equations. Clarendon press, Oxford, 1987.

213. Merkin J. H., Satnoianu R. A., Scott S. K. The development of spatial structure in an ionic chemical system induced by applied electric fields // Dyn. Stabil. Syst. 2000. T. 15. C. 209-230.

214. Couairon A., Chomaz J.-M. Primary and secondary nonlinear global instability // Phys. D. 1999. T. 132. C. 428-456.

215. Andresén P., Bâche M., Dewel G. и др. Stationary space periodic structures with equal diffusion coefficients //Phys. Rev. E. 1999. T. 60. C. 297.

216. Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Теоретическая физика: Гидродинамика. M.: Наука, 1986. Т. 4. С. 736.

217. Peaceman D. W., Rachford H. H., Jr. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Soc. Indust. App. Math. 1955. T. 3. C. 28-41.

218. Hohenberg P. С., van Saarloos W. Fronts, pulses, sources and sinks in generalized complex Ginzburg-Landau equations // Phys. D. 1992. T. 56. C. 303-367.

219. Chomaz J. M. Absolute and convective instabilities in nonlinear systems // Phys. Rev. Lett. 1992,- Sep. T. 69. № 13. C. 1931-1934.

220. Couairon A., Chomaz J.-M. Absolute and convective instabilities, front velocities and global modes in nonlinear systems // Phys. D. 1997. T. 108. № 3. C. 236 - 276.

221. Выготский M. Я. Справочник по элементарной математике. M.: ACT Астель, 2006. С. 509.

222. Osipov G. V., Sushchik M. M. Synchronized clusters and multistability in arrays of oscillators with different natural frequencies // Phys. Rev. E. 1998. T. 58. C. 7198.

223. Aston P. J., Laing C. R. Symmetry and chaos in the complex Ginzburg-Landau equation. II. Translational symmetries // Phys. D. 2000. T. 135. C. 79-97.

224. Anosov D. V., Gould G. G., Aranson S. K., et al. Dynamical Systems IX: Dynamical Systems with Hyperbolic Behaviour. Springer, 1995. T. 9 из Encyclopaedia of Mathematical Sciences. C. 242.

225. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Am. Math. Soc. 1967. T. 73. № 2. C. 747-817.

226. Williams R. F. Expanding attractors // Publ. Math, de L'lHES. 1974. T. 43. C. 169-203.

227. Плыкин P. В. Источники и стоки А-диффеоморфизмов поверхностей // Матем. сб. 1974. Т. 94(136). № 2(6). С. 243-264.

228. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / Под ред. Р. В. Гамкрелидзе. Изд. ВИНИТИ АН СССР, Москва, 1985. Т. 2 из Итоги науки и техники.

229. Afraimovich V., Hsu S.-B. Lectures on chaotic dynamical systems. American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, 2003. T. 28 из AMS/IP Studies in Advanced Mathematics.

230. Кузнецов С. П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. С. 295.

231. Кузнецов С. П., Селезнев Е. П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла-Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Т. 129. С. 400.

232. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. М.: Физматлит, 2002. С. 292.

233. Шустер Г. Детерминированный хаос: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. С. 250.

234. Ott Е. Chaos in dynamics systems. Cambridge University Press, 1993.

235. Пиковский А., Розенблюм M., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. Техносфера, 2003. С. 508.

236. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных шумом // Радиотех. и электрон. 2002. Т. 47. № 2. С. 133-165.

237. Piatt N., Spiegel Е. A., Tresser С. On-Off intermittency: a mechanism for bursting // Phys. Rev. Lett. 1993. T. 70. C. 279-282.

238. Heagy J. F., Piatt N., Hammel S. M. Characterization of on-off intermittency // Phys. Rev. E. 1994. T. 49. C. 1140-1150.

239. Milnor J. On the concept of attractor // Comm. Math. Phys. 1985. T. 99. C. 177.

240. Pikovsky A. S. On the interaction of strange attractors // Z. Phys. B. 1984. T. 55. C. 149-154.

241. Bunimovich L. A., Sinai Y. G. Spacetime chaos in coupled map lattices // Nonlinearity. 1988. Т. 1. C. 491-516.

242. Bunimovich L. A., Sinai Y. G. Statistical mechanics of coupled map lattices // Theory and application of coupled map lattices, Под ред. К. Kaneko. John Wiley and Sons Ltd, Chichester, 1993. C. 169-189.

243. Young L. Chaotic phenomena in three settings: large, noisy and out of equilibrium // Nonlinearity. 2008. T. 21. С. T245-T252.

244. Wolfram S. Theory and applications of cellular automata. Advanced Series on Complex Systems. Singapore: World Scientific Publication, 1986.

245. Keefe L. Properties of Ginzburg-Landau attractors associated with their Lyapunov vectors and spectra // Phys. Lett. A. 1989. T. 140. № 6. C. 317-322.

246. Junge L., Parlitz U. Synchronization and control of coupled Ginzburg-Landau equations using local coupling // Phys. Rev. E. 2000. T. 61. № 4. C. 3736-3742.

247. Kuznetsov S. P., Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors // Phys. D. 2007. T. 232. № 2. C. 87-102.

248. Isaeva O. B., Kuznetsov S. P., Mosekilde E. Hyperbolic chaotic attractor in amplitude dynamics of coupled self-oscillators with periodic parameter modulation // Phys. Rev. E. 2011. T. 84. C. 016228.