Конечномерные и распределенные системы кольцевой структуры, генерирующие грубый хаос тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Круглов Вячеслав Павлович

• Круглов Вячеслав Павлович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Круглов Вячеслав Павлович

Введение

Глава 1 Кольцевые неавтономные генераторы гиперболического

хаоса на основе базовых элементов радиоэлектроники

1.1 Генератор хаоса на основе кольцевой схемы с нелинейным элементом, управляемым периодической последовательностью радиоимпульсов с прямоугольной огибающей: модельные уравнения

1.1.1 Численное исследование хаотической динамики

1.1.2 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова

1.1.3 Анализ системы методом медленно меняющихся комплексных амплитуд

1.2 Генератор хаоса на основе кольцевой схемы с нелинейным элементом, управляемым периодической последовательностью радиоимпульсов с гладкой огибающей: модельные уравнения

1.2.1 Численное исследование хаотической динамики

1.2.2 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова

1.2.3 Визуализация распределения инвариантной меры

1.2.4 Анализ системы методом медленно меняющихся комплексных амплитуд

1.3 Генератор хаоса на основе кольцевой схемы с нелинейным элементом и периодически перестраиваемым полосовым фильтром: модельные уравнения

1.3.1 Численное исследование хаотической динамики кольцевой

схемы с периодически перестраиваемым полосовым фильтром

1.3.2 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова для кольцевой схемы с периодически перестраиваемым полосовым фильтром

1.3.3 Визуализация распределения инвариантной меры

1.4 Выводы к главе

Глава 2 Автономная система с аттрактором Смейла-Вильямса на основе кольцевой структуры из осцилляторов ван дер Поля с резонансным механизмом передачи возбуждения

2.1 Модельные уравнения и принцип функционирования модели

2.2 Численное исследование хаотической динамики

2.3 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей

Ляпунова

2.4 Выводы к главе

Глава 3 Пространственно распределенные системы с аттрактором Смейла-Вильямса

3.1 Автономная система на основе модифицированного уравнения Свифта-Хохенберга

3.1.1 Численное исследование хаотической динамики

3.1.2 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова

3.1.3 Конечномерные модели автономной системы, описывающие взаимодействие наиболее важных мод

3.2 Неавтономная система на основе модели Брюсселятор с

периодической модуляцией коэффициентов диффузии

3.2.1 Численное исследование хаотической динамики

3.2.2Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей

Ляпунова для неавтономной системы

3.2.3 Конечномерная модель неавтономной системы

3.3 Выводы к главе

Глава 4 Компьютерная проверка гиперболической природы аттракторов: анализ статистики распределения углов пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий

4.1 Методика анализа распределений углов между многообразиями

аттрактора

4.2 Результаты численной проверки гиперболичности аттракторов

систем, предложенных в работе

4.3 Результаты численной проверки гиперболичности аттракторов некоторых механических систем с хаотической динамикой

4.4 Выводы к главе

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конечномерные и распределенные системы кольцевой структуры, генерирующие грубый хаос»

Актуальность темы исследования

В последние два десятилетия значительное внимание привлекает идея применения хаотических сигналов, в частности, в системах коммуникации, поскольку, как можно полагать, хаос обладает рядом преимуществ и особенностей в сравнении с другими типами сигналов. Как отмечено в монографии [1], принципиальным для практического использования генераторов хаоса является вопрос относительно воспроизводимости устройств от образца к образцу и чувствительности хаотических режимов к изменению внешних и внутренних параметров. Следуя терминологии теории колебаний, привлекаемые для практического использования системы должны обладать свойством грубости [2]. В современной теории динамических систем его формализуют как структурную устойчивость. Среди систем с хаотической динамикой свойство грубости в строгом математическом смысле присуще только гиперболическому хаосу, что определяет необходимость проработки проблемы реализации хаотической динамики именно этого типа для систем радиофизики и электроники.

Степень разработанности темы исследования. Предложенные в математических работах примеры гиперболического хаоса (отображения Аносова, аттрактор Плыкина, соленоид Смейла-Вильямса) [3-9] представляли собой абстрактные геометрические конструкции, и в течение многих лет вопрос о физической реализации и перспективах практического применения систем с гиперболическим хаосом оставался открытым. К настоящему времени, в результате цикла исследований, проведенных в основном Саратовской группой под руководством С.П. Кузнецова, указаны и изучены примеры физически реализуемых систем с гиперболическими аттракторами [10].

Один из продуктивных подходов к построению генераторов хаоса состоит в использовании схем в виде кольцевых цепочек, составленных из

нелинейных активных и пассивных элементов и фильтров первого и второго порядка. Такие схемы в разных вариантах были предложены, исследованы теоретически и численно, а также созданы в виде реальных электронных устройств в ИРЭ РАН группой А.С. Дмитриева и его сотрудников [1]. Генерация в них обусловлена наличием обратной связи в силу замыкания кольца, а не автоколебательной природой индивидуальных элементов. Заслуживает внимания вопрос о построении на аналогичной основе генераторов грубого гиперболического хаоса.

Помимо конечномерных систем, с точки зрения реализации гиперболического хаоса могут представлять интерес также распределенные системы кольцевой структуры с периодическими граничными условиями, описываемые уравнениями с частными производными. Первые примеры такого рода указаны в работах [11,12] (модифицированное уравнение Свифта-Хохенберга и параметрически возбуждаемая нелинейная струна). В рамках диссертационного исследования предпринят дальнейший поиск такого рода систем на основе нелинейных уравнений, известных в теории волн [13], имея в виду возможность их целенаправленной модификации для обеспечения гиперболического хаоса посредством введения дополнительных обратных связей или периодической модуляции параметров.

Цели и задачи работы

Целью диссертационной работы является разработка и изучение физически реализуемых систем кольцевой структуры, как конечномерных, так и распределенных, с грубой (структурно устойчивой) хаотической динамикой, отвечающей аттракторам типа соленоида Смейла-Вильямса, и проведение их исследования посредством компьютерного моделирования с обоснованием гиперболической природы хаоса.

Перед диссертационным исследованием были поставлены следующие основные конкретные задачи.

1. Построение и исследование кольцевой схемы генератора хаоса с нелинейным элементом, управляемым периодической последовательностью радиоимпульсов с прямоугольной огибающей или модулированного сигнала с синусоидальной огибающей.

2. Построение и исследование кольцевой схемы генератора хаоса с нелинейным элементом и периодически перестраиваемым полосовым фильтром.

3. Построение и исследование модельной автономной системы с аттрактором Смейла-Вильямса на основе кольцевой структуры из автоколебательных элементов с резонансным механизмом передачи возбуждения по кольцу.

4. Построение и исследование модельных распределенных систем, в которых хаотическая динамика обусловлена трансформацией пространственной фазы попеременно рождающихся паттернов в соответствии с растягивающим отображением окружности.

5. Разработка и применение методик компьютерной проверки гиперболической природы аттракторов на основе анализа статистики распределения углов пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий.

Научная новизна

Предложены новые схемы кольцевых неавтономных систем, генерирующих хаос, обусловленный присутствием аттрактора в виде соленоида Смейла-Вильямса в фазовом пространстве отображения Пуанкаре. Впервые предложен пример автономной распределенной системы, описываемой уравнениями с частными производными, где реализуется гиперболический аттрактор типа Смейла-Вильямса. Впервые показана возможность реализации гиперболического хаоса в модельной распределенной системе типа реакция - диффузия при периодической модуляции коэффициентов

диффузии. Впервые проведена проверка гиперболичности аттракторов на основе анализа статистики пересечения углов в отношении конечномерных моделей распределенных систем, построенных методом Галеркина.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы определяется тем, что указаны новые примеры систем с гиперболическим хаосом, допускающих физическую реализацию, что существенно расширяет круг объектов, к которым применима строгая математическая теория. Практическая значимость работы определяется тем, что она открывает возможность создания генераторов хаоса в радиофизике и электронике, характеризуемых свойством грубости, то есть малой чувствительностью к изменению параметров, помехам, погрешностям изготовления, что является принципиальным преимуществом с точки зрения возможных приложений хаоса.

Методология и методы исследования

Для построения систем с гиперболическими хаотическими аттракторами, обладающими свойством грубости, использованы подходы радиофизики и теории колебаний, такие как модуляция параметров, введение дополнительных обратных связей, генерация гармоник при нелинейном преобразовании сигнала [14]. Для описания систем используются модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Для распределенных систем также выводятся и исследуются модели, полученные аппроксимацией на базе конечного числа пространственных мод (метод Галеркина [15]). Для численного решения уравнений используются разработанные в литературе методы, для которых обоснованы сходимость и устойчивость [16]. Привлекаются методы компьютерного исследования хаотической динамики, в том числе построение фазовых портретов аттракторов и расчеты показателей Ляпунова [17,18]. На уровне конечномерных моделей используются специально разработанные методики проверки формальных критериев гиперболического хаоса, в том

8

числе условия отсутствия касаний устойчивых и неустойчивых подпространств векторов возмущения на принадлежащих аттрактору фазовых траекториях [19,20].

Положения, выносимые на защиту

1) Грубый хаос, обусловленный гиперболическим аттрактором в виде соленоида Смейла - Вильямса в отображении Пуанкаре, осуществим в кольцевой схеме, составленной из двух диссипативных осцилляторов с отличающимися вдвое частотами, и нелинейного элемента, управляемого периодической последовательностью радиоимпульсов с прямоугольной огибающей или модулированным сигналом с гладкой синусоидальной огибающей.

2) Генерация грубого хаоса, отвечающего аттрактору Смейла-Вильямса, может быть реализована в устройстве в виде кольцевой схемы, содержащей активный квадратичный нелинейный элемент и два полосовых фильтра, один из которых периодически перестраивается, так что наибольшая и наименьшая частоты на периоде перестройки различаются вдвое.

3) Грубый гиперболический хаос, обусловленный аттрактором Смейла-Вильямса, реализуется в автономной системе на основе кольцевой структуры, содержащей квадратичный нелинейный элемент и достаточно большое число автоколебательных подсистем, частоты которых плавно меняются от одного элемента к другому, так что при полном обходе кольца достигается двукратное изменение.

4) Гиперболический хаос, обусловленный трансформацией пространственной фазы попеременно рождающихся паттернов в соответствии с растягивающим отображением окружности, реализуется в предложенной автономной распределенной системе на основе модифицированного уравнения Свифта-Хохенберга, и в неавтономной

системе типа реакция-диффузия с периодической модуляцией коэффициентов диффузии.

5) На защиту выносятся результаты проверки гиперболической природы аттракторов, опирающейся на анализ статистики распределения углов пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий, в применении к конкретным примерам систем кольцевой структуры, в том числе для распределенных систем на основе конечномерных моделей, построенных методом Галеркина.

Достоверность результатов работы определяется применением апробированных в радиофизике подходов к конструированию кольцевых схем, содержащих нелинейные элементы, а также распределенных систем на основе модификации эталонных моделей, выработанных в теории нелинейных волн, использованием схем численного решения уравнений, обеспечивающих аппроксимацию и устойчивость при тестированном надлежащим образом выборе шагов интегрирования.

Личный вклад соискателя. Все включенные в диссертацию результаты получены лично автором, производившим выбор методик решения задач, программирование, численные расчеты, графическую обработку и анализ данных. Постановка задач и интерпретация результатов выполнялись совместно с научным руководителем и другими соавторами совместных опубликованных работ.

Публикации и апробация

Основные результаты диссертации были представлены докладами на X и XI международных школах «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010, 2013 гг.), XVI и XVII научных школах «Нелинейные волны» (Нижний Новгород, 2012, 2016 гг.), Международной конференции "Dynamics, Bifurcations and Strange Attractors" (Нижний Новгород, 2013), Международной конференции "Nonlinear Dynamics of

Deterministic and Stochastic Systems" (Саратов, 2014), Международной конференции "Hamiltonian Dynamics, Nonautonomous Systems, and Patterns in PDE's" (Нижний Новгород, 2014), Международной школе-конференции "Dynamics, Bifurcations and Chaos 2015" (Нижний Новгород, 2015), 12-й молодежной конференции им. Ивана Анисимкина "Современные проблемы радиотехники и электроники" (Москва, 2015), Международной конференции "Geometry, Dynamics, Integrable Systems" (Ижевск, 2016), XVI Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Волгоград, 2010 г.), на V, VI, VIII, IX и X Всероссийских конференциях молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2010, 2011, 2013-2015 гг.), на научных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (2009-2014 гг.), на Студенческой научной конференции Саратовского государственного университета (2012 г.) а также на научных семинарах базовой кафедры динамических систем СГУ.

Частично результаты диссертации получены в процессе выполнения Работ, поддержанных грантом РФФИ 16-32-00449 (руководитель Круглов В.П.), а также грантами РФФИ 11-02-91334, 12-02-00342, 14-0231162, 16-02-00135, грантом Президента РФ поддержки научных школ НШ-1726.2014.2, грантом Президента РФ для молодых ученых МК-905.2010.2, грантом DAAD (Forschungsstipendien für Doktoranden und Nachwuchswissenschaftler), грантом Российского научного фонда № 15-1220035.

По результатам диссертации опубликовано 25 работ, из них статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК - 7 [А1-А7], статей в сборниках и тезисов докладов - 19 [А8-А26].

Структура и объем работы. Работа содержит 140 страниц, из них 87 страниц основного текста, 45 страниц иллюстраций и список литературы из 51 наименования на 8 страницах.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, и заключения.

В первой главе рассмотрены варианты построения систем кольцевой структуры, содержащих два полосовых фильтра и элемент с квадратичной нелинейностью и насыщением [А1,А3]. Функционирование схемы в одном варианте обеспечивается периодическим воздействием на систему последовательности радиоимпульсов [А1] или, в другом варианте -модулированного сигнала с синусоидальной огибающей. Математически модель описывается неавтономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Произведен также переход к уравнениям для медленных комплексных амплитуд и к отображению возврата Пуанкаре. В предложенных системах реализуется гиперболический хаотический аттрактор.

Во второй главе рассмотрена автономная система с аттрактором типа Смейла-Вильямса, динамика которой осуществляется вблизи гетероклинического цикла кольцевой цепочки из автогенераторов при поочередной активации элементов с передачей возбуждения по кольцу [А2]. Большое число элементов вводится для того, чтобы обеспечить резонансную передачу возбуждения между соседними звеньями по кольцу, собственные частоты которых близки. При этом собственные частоты постепенно уменьшаются от начала к концу цепи, так что частоты первого и последнего осцилляторов отличаются в два раза, а передача возбуждения между последним и первым элементами цепи осуществляется через квадратичный нелинейный элемент, так что частота и фаза колебаний удваиваются.

В третьей главе рассматриваются примеры распределенных систем, демонстрирующих гиперболический хаос и описываемых уравнениями с частными производными. Первая модель - это автономная система, построенная на основе модификации уравнения Свифта-Хохенберга [А4]. Вторая распределенная система - неавтономная, сконструированная на базе модели реакция - диффузия типа брюсселятора с периодически модулированными коэффициентами диффузии [А6].

Четвертая глава посвящена компьютерной проверке гиперболической природы аттракторов систем, рассмотренных в предыдущих главах диссертации, и некоторых других примеров [А5, А6, А7]. Метод численной проверки гиперболичности основан на свойстве трансверсальности многообразий гиперболических аттракторов. Благодаря использованию новой модификации алгоритма, объем вычислений оказывается относительно небольшим, что позволяет эффективно применять тест к системам произвольной размерности. В диссертационной работе метод применяется только к системам с одномерным неустойчивым подпространством, однако его можно распространить и на системы с произвольными размерностями устойчивых и неустойчивых подпространств.

В заключении обобщаются результаты диссертации и обсуждаются возможные направления дальнейшего развития работ.

Глава 1. Кольцевые неавтономные генераторы гиперболического хаоса на основе базовых элементов радиоэлектроники

Подход к конструированию кольцевых систем с хаотической динамикой на основе структурных элементов теории колебаний и радиотехники (осцилляторы, цепи обратной связи, линии задержки) был предложен Дмитриевым и Кисловым [21]. Известный пример кольцевого генератора хаоса - генератор Дмитриева - Кислова [21,18]. В конце 60-х - начале 70-х годов в институте радиотехники и электроники АН СССР под руководством В.Я. Кислова была создана кольцевая схема на основе ламп бегущей волны, в которой реализуются хаотические автоколебания. Позднее Дмитриев и Кислов разработали и изучили простую модель-аналог, представляющую собой замкнутую в кольцо систему из нелинейного усилителя, фильтра второго порядка и фильтра первого порядка. Эта модель в некоторой области параметров обладает хаотическим аттрактором, который, однако, не является однородно гиперболическим. Представляет интерес возможность возникновения гиперболического аттрактора в системах такого типа.

В настоящей главе предложены неавтономные кольцевые системы, генерирующие гиперболический хаос и допускающие несложную реализацию в виде радиотехнического устройства. Модели описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Схемы составлены из линейных осцилляторов - фильтров второго порядка, которые включены в кольцевую цепь вместе с активными элементами усилительного типа, обеспечивающими усиление, стабилизацию, и надлежащее преобразование фазы колебаний при передаче возбуждения. Модели не содержат автоколебательных элементов, а внешний сигнал подается только на один элемент цепи, что можно рассматривать как достоинство с точки зрения простоты практической реализации.

1.1 Генератор хаоса на основе кольцевой схемы с нелинейным элементом, управляемым периодической последовательностью радиоимпульсов с прямоугольной огибающей: модельные уравнения

Рассмотрим кольцевую неавтономную систему, состоящую из двух линейных фильтров второго порядка (осцилляторов) и двух нелинейных элементов, блок-схема которой показана на рис. 1.1. Через х и у обозначены, соответственно, сигналы от первого и второго осцилляторов. Собственная частота второго осциллятора равна удвоенной частоте первого. Первый нелинейный элемент (Н.Э. I) обладает квадратичной характеристикой в области малых амплитуд и насыщением в области больших амплитуд. На схеме преобразованный сигнал обозначен как / (х), вид этой функции указан ниже. На втором нелинейном элементе (Н.Э. II) производится смешение сигнала удвоенной частоты со вспомогательным внешним сигналом g(t), представляющим собой последовательность радиоимпульсов с прямоугольной огибающей.

Модельные уравнения системы в безразмерных переменных выглядят следующим образом:

d2 х

— + у— + ю0 х = у—yg <7 X dt dt dt (1 1)

d0 у Лу . 0 d г, ч _ + у _ + 4©0 у = у-/(х).

Здесь у - коэффициент затухания, собственная частота первого осциллятора равна ю0, а второго - 2ю0.

Функция, описывающая преобразование сигнала на первом нелинейном элементе, имеет вид

/ (х)

х2

1 + х2 Функция

/ ч Гa2 sin(ro0t), 0 < t < т g(t )=[0, т < t < T

описывает внешний сигнал, который включается с периодом T = 2nN /ю0 (N - целое число) на короткий временной интервал т, a -коэффициент усиления. Введя дополнительно переменные u и v, можно перейти от уравнений (1.1) к системе уравнений первого порядка

dx

= -&0u - Yx + Yg(t)y,

dt du

— = ®0 x,

dt (1.2)

dy x

— = -2®0v - Yy + Y--^

dt 1 + x

dv

— = 2®0 y. dt

Возбуждение в системе передается между линейными фильтрами резонансным образом. Резонансный характер передачи возбуждения позволяет реализовать необходимое для возникновения аттрактора Смейла-Вильямса преобразование фазы в широком диапазоне параметров.

Осциллятор 1 X Н.Э. I и Ж) Осциллятор II У Н.Э. II

УШ) -4-

% 80)

Рис. 1.1. Блок-схема рассматриваемой системы

Рассмотрим принцип работы системы. Пусть сначала внешний сигнал выключен, а первый осциллятор совершает затухающие гармонические колебания на частоте ю0 с фазой ф. Когда сигнал от первого осциллятора проходит через первый нелинейный элемент, возникают постоянная составляющая сигнала и его вторая гармоника с удвоенной фазой и частотой. Вторая гармоника находится в резонансе с собственной частотой второго осциллятора и возбуждает в нем колебания. При включении вспомогательного сигнала происходит смешение этих колебаний с сигналом от второго осциллятора на втором нелинейном элементе. В результате появляется составляющая сигнала с фазой 2ф и частотой, близкой к ю0. Эта составляющая воздействует на первый осциллятор и передает ему свою фазу. Таким образом, через каждый период внешнего воздействия фаза колебаний удваивается, и ее динамика приближенно описывается отображением Бернулли:

Фп+1 = 2фп + const (mod 2п), (1.3)

где п - номер периода, а константа учитывает добавку к фазе при передаче сигнала от одного осциллятора к другому (ее можно устранить сдвигом начала отсчета переменной ф).

Поскольку схема описывается неавтономной системой дифференциальных уравнений четвертого порядка, фазовое пространство системы (с учетом времени) пятимерное. Для исследования аттрактора системы удобно перейти к отображению Пуанкаре за период внешнего воздействия, пространство мгновенных состояний которого четырехмерное. В качестве секущей поверхности в расширенном фазовом пространстве можно взять гиперплоскость tn = nT, где T - период внешнего воздействия, п - номер периода.

1.1.1 Численное исследование хаотической динамики

Система уравнений (1.2) решалась численно методом Рунге-Кутты четвертого порядка с шагом 0.001. На рис. 1.2 представлены временные зависимости динамических переменных х и y в установившемся режиме на протяжении трех периодов внешнего воздействия при значениях параметров ю0 = 6к,т = 3,T = 13,a = 24,у = 0.4. Представлен также график функции g(t),

описывающей внешний сигнал. На рис. 1.3 изображено наложение реализаций динамических переменных х и y.

Хаос в системе проявляется в случайной вариации фаз и максимумов амплитуд колебаний осцилляторов на последовательных периодах воздействия внешним сигналом.

Были получены спектры сигналов от первого и второго осцилляторов. Для этого были записаны в файл временные реализации динамических переменных х и y (каждая десятая точка) длительностью 6553600 точек. Значения х и y были получены при решении уравнений (1.2) методом Рунге-Кутты с шагом 0.001. Данные были прорежены в 10 раз, чтобы точнее отобразить составляющие спектра с частотами, близкими к собственным частотам осцилляторов. Реализации были разделены на 100 фрагментов длительностью 65536 точек. К каждому фрагменту реализаций была применена процедура преобразования Фурье с использованием оконной функции w(n) = sin2 (2пп/(N -1)), где N - число точек во фрагменте. Оконное преобразование [22] использовалось, чтобы сгладить сигналы и исключить появление в спектре гармоник, связанных с отличными от нуля значениями на концах фрагментов. На рис. 1.4 представлены спектры плотности мощности сигналов от первого (красный цвет) и второго (синий цвет) осцилляторов, полученные усреднением по всем фрагментам.

130 143 156 169

t

Рис. 1.2. Временные зависимости динамических переменных х и у в установившемся режиме, полученные при численном решении системы уравнений (1.2) при значениях параметров ю0 = 6л, т = 3, Т = 13, а = 24, у = 0.4, и график функции g(t).

130 143 156 169

Г

Рис. 1.3. Наложение временных реализаций динамических переменных х и у в установившемся режиме.

Полученные спектры иллюстрируют передачу возбуждения между осцилляторами. Максимум плотности мощности первого осциллятора приходится на частоту ю0, второго - на 2ю0, эти частоты отмечены на графиках вертикальными пунктирными линиями. Спектры колебаний сплошные, это подтверждает хаотическое поведение исследуемой системы.

На рис. 1.5 показан аттрактор системы в расширенном фазовом пространстве в трехмерной проекции (х,иД), выполненный в технике кодирования плотности распределения тонами серого цвета. Для этого на каждом шаге вычисления фазовой траектории на экран выводилась точка, которой присваивался оттенок серого цвета, зависящий от оттенка пикселя в предыдущий момент. При попадании новой точки в данный пиксель число, кодирующее яркость, увеличивается на единицу.

На рис. 1.6 изображен аттрактор отображения возврата Пуанкаре за период внешнего воздействия в проекции на плоскость (х,и) и его увеличенный фрагмент. Полученный портрет визуально похож на аттрактор Смейла-Вильямса; это позволяет предполагать, что аттрактор системы однородно гиперболический. На рисунке отчетливо видна фрактальная структура аттрактора.

На рис. 1.7 представлена итерационная диаграмма отображения Пуанкаре для фазы колебаний второго осциллятора при значениях параметров ю0 = 6п, т = 3, Т = 13, а = 24, у = 0.4 . Фаза отнесена к интервалу от

0 до 2п и определяется выражением у = а^(у +).

Как видно из диаграммы, динамика фазы приближенно описывается растягивающим отображением окружности: за полный проход точкой уп

интервала от 0 до 2п ее образ у п1 проходит этот интервал дважды.

О 371 671 971 1271 1571

СО

О 371 671 971 1271 1571

СО

Рис. 1.4. Спектры плотности мощности сигналов от первого (синий) и второго (красный) осцилляторов (ю0 = 6п, т = 3, Т = 13, а = 24, у = 0.4). Значения по оси ординат отложены в логарифмическом масштабе в децибелах.

X ^

О

30

Рис. 1.5. Аттрактор исходной системы (1.2) в расширенном фазовом пространстве, представленный в трехмерной проекции (х,ипри значениях параметров ш0 = 6п, т = 3, Т = 13, а = 24, у = 0.4.

Рис. 1.6. Аттрактор системы в сечении Пуанкаре на плоскости динамических переменных (х,и) и его увеличенный фрагмент при значениях ю0 = 6п, т = 3, Т = 13, а = 24, у = 0.4 .

Рис. 1.7. Итерационная диаграмма для фазы колебаний второго осциллятора

1.1.2 Уравнения в вариациях и вычисление спектра показателей Ляпунова

Расчет спектра показателей Ляпунова позволяет количественно подтвердить присутствие хаоса в системе. Для аттрактора в сечении Пуанкаре были вычислены показатели Ляпунова по известному в литературе алгоритму [23,24]. В соответствии с этим методом, выполняется совместное численное решение уравнений (1.2) и четырех наборов уравнений в вариациях за период внешнего воздействия. Набор уравнений в вариациях можно получить линеаризацией системы (1.2) в окрестности точек ее фазовой траектории:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Круглов Вячеслав Павлович, 2016 год

Список литературы

[1] Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Максимов Н.А., Панас А.И. Генерация хаоса. М.: Техносфера, 2012. 424с.

[2] Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916с.

[3] Синай Я. Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979, с. 192-212.

[4] S. Smale. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 1967. vol. 73, p. 747-817.

[5] R.F. Williams. Expanding attractors // Publications mathématiques de l'I.H.É.S. 1974. vol. 43, p. 169-203.

[6] D.V. Anosov, G.G. Gould, S.K. Aranson et al. Dynamical Systems IX: Dynamical Systems with Hyperbolic Behaviour (Encyclopaedia of Mathematical Sciences) . Springer. 1995

[7] R.V. Plykin, N.E. Klinshpont. Strange attractors. Topologic, geometric and algebraic aspects // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. vol. 15, No 2-3, p. 335-347.

[8] Shilnikov L. Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1997, vol. 7, p. 1353-2001.

[9] Afraimovich V. S., Hsu S. B. Lectures on chaotic dynamical systems. American Mathematical Society. 2003. 353p.

[10] Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: от математики к физике //УФН, 2011, Т. 181, №2, с. 121-149.

[11] Kuptsov P. V., Kuznetsov S. P., Pikovsky A. Hyperbolic chaos of Turing patterns //Physical review letters. 2012. vol. 108. p. 194101.

[12] Isaeva O.B., Kuznetsov A.S., Kuznetsov S.P. Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated parametrically by a modulated pump source. //Phys. Rev. E. 2013. vol. 87. p. 040901.

[13] Cross M. C., Hohenberg P. C. Pattern formation outside of equilibrium //Reviews of Modern Physics. 1993. vol. 65. p. 851-1112.

[14] Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 432с.

[15] Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. М.: Мир, 1988. 352с.

[16] Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512с.

[17] Шустер Г. Детерминированный Хаос: Введение. М.: Мир, 1988. 240с.

[18] Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006. 356с.

[19] Lai Y.-C., Grebogi C., Yorke J.A., Kan I. How often are chaotic saddles nonhyperbolic? // Nonlinearity. 1993. vol. 6, p. 779-798.

[20] Anishchenko V.S., Kopeikin A.S., Kurths J., Vadivasova T.E., Strelkova G.I. Studying hyperbolicity in chaotic systems // Physics Letters A. 2000. vol 270. p. 301-307.

[21] Дмитриев А. С., Кислов В. Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. 279с.

[22] F.J. Harris. On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform //Proceedings of the IEEE. 1978. vol. 66. p. 51-83.

[23] G.Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, J.-M. Strelcyn. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. //Meccanica. 1980. vol. 15. p. 9-30.

[24] I. Shimada and T. Nagashima. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems. //Prog. Theor. Phys. 61, 1979, p. 1605-1616.

[25] J.L. Kaplan, J.A. Yorke, Chaotic behavior of multi-dimensional differential equations, in: H.O. Peitgen, H.O. Walther (Eds.), Functional Differential Equations and Approximations of Fixed Points, Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin, N.Y. 1979. 730. p. 204-227.

[26] Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors // The Theory of Chaotic Attractors. Springer New York. 2004. p. 170-189.

[27] TSTOOL Home Page: http://www.physik3.gwdg.de/tstool/

[28] B. Van der Pol. A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations //Radio Review 1. 1920. p. 701-710.

[29] Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1958. 408с.

[30] А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, Н.М. Рыскин, Нелинейные колебания, М.: Физматлит, (2005).

[31] Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Пиковский А.С., Тюрюкина Л.В.. Хаотическая динамика в системах связанных неавтономных осцилляторов с резонансным и нерезонансным механизмом передачи возбуждения. //Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика. 2007. т.15. №6. с. 75-85.

[32] Л.В. Тюрюкина, А.С. Пиковский. Гиперболический хаос в нелинейно связанных осцилляторах Ландау - Стюарта с медленной модуляцией параметров. //Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика. 2009. т.17. №2. с. 99-113.

[33] Kuznetsov S.P., Pikovsky A., Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors //Physica D. 2007. 232. p. 87-102.

[34] O.B. Isaeva, A.Yu. Jalnine, S.P. Kuznetsov, Arnold's cat map dynamics in a system of coupled nonautonomous van der Pol oscillators //Phys. Rev. E. 2006. 74. p. 046207.

[35] O.B. Isaeva, A.S. Kuznetsov, S.P. Kuznetsov. Hyperbolic chaos in parametric oscillations of a string //Rus. J. Nonlin. Dyn. 2013. vol. 9. No 1, p. 3-10.

[36] S.P. Kuznetsov, Hyperbolic Chaos: A Physicist's View, Higher Education Press: Beijing and Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg. 2012.

[37] Кузнецов С. П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы: от математики к физике //Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2013. 488c.

[38] С.П. Кузнецов. Гиперболические странные аттракторы систем, допускающих физическую реализацию //Известия вузов - Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17. №4. с. 5-34.

[39] S.P. Kuznetsov. Example of a Physical System with a Hyperbolic Attractor of the Smale-Williams Type // Phys. Rev. Lett. 2005. vol. 95. p. 144101.

[40] J.-P. Eckmann, D. Ruelle. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. 1985. vol. 57. p. 617-656.

[41] S.P. Kuznetsov and E.P. Seleznev. A strange attractor of the Smale-Williams type in the chaotic dynamics of a physical system //JETP. 2006. vol. 102. p. 355-364.

[42] P.V. Kuptsov. Fast numerical test of hyperbolic chaos //Phys. Rev. E. 2012. vol. 85. p. 015203.

[43] A.Katok, B. Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge. Cambridge University Press. 1996.

[44] B. Hasselblatt, A. Katok, A First Course in Dynamics: with a Panorama of Recent Developments, Cambridge University Press. Cambridge. 2003. 436.

[45] C. L. Wolfe and R. M. Samelson. An efficient method for recovering Lyapunov vectors from singular vectors. //Tellus A 59A. 2007. p. 355-366.

[46] F. Ginelli, P. Poggi, A. Turchi, H. Chate, R. Livi, and A. Politi. Characterizing dynamics with covariant Lyapunov vectors. Phys. Rev. Lett. 99. 2007. p. 130601.

[47] P.V.Kuptsov, U. Parlitz. Theory and computation of covariant Lyapunov vectors //Journal of nonlinear science. 2012. vol. 22, No. 5. pp. 727-762

[48] Л.В. Тюрюкина. Гиперболический хаос в системах с импульсным периодическим воздействием //Нелинейный Мир. 2010. Т. 8. №2. С. 7273.

[49] С.П.Кузнецов, Л.В. Тюрюкина. Аттракторы типа Смейла - Вильямса в модельных системах с импульсным периодическим воздействием // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. №5. С. 8092.

[50] S.P. Kuznetsov. Some Mechanical Systems Manifesting Robust Chaos //Nonlinear Dynamics and Mobile Robotics. 2013. V. 1. No 1. p. 3-22.

[51] О.Б. Исаева, А.С. Кузнецов, С.П. Кузнецов. Гиперболический хаос при параметрических колебаниях струны //Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. №1. С. 3-10.

Публикации по теме диссертации

[A1] В.П. Круглов. Кольцевой неавтономный генератор гиперболического хаоса // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18. №5. с. 138-150.

[A2] V.P. Kruglov and S.P. Kuznetsov. An autonomous system with attractor of Smale - Williams type with resonance transfer of excitation in a ring array of van der Pol oscillators // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2011. 16. p. 3219-3223.

[A3] В.П. Круглов. Аттрактор типа Смейла - Вильямса в кольцевой системе с периодической модуляцией частоты // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2012. Т. 20. №1. с. 124-128.

[A4]V.P. Kruglov, S.P. Kuznetsov, A. Pikovsky. Attractor of Smale-Williams type in an autonomous distributed system // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. 19. No 4. p. 483-494.

[A5] В.П. Круглов, А.С. Кузнецов, С.П. Кузнецов. Гиперболический хаос в системах с параметрическим возбуждением паттернов стоячих волн. // Нелинейная динамика. 2014. т.10. №3. с. 265-277.

[A6] В.П. Круглов. Методика и результаты численной проверки гиперболической природы аттракторов для редуцированных моделей распределенных систем // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2014. Т. 22. №6. с. 79-93.

[A7]S.P. Kuznetsov, V.P. Kruglov. Verification of Hyperbolicity for Attractors of Some Mechanical Systems with Chaotic Dynamics // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. 21. No 2. p. 160-174.

[А8] В.П. Круглов. Аттрактор типа Смейла - Вильямса в кольцевой неавтономной системе // Шестнадцатая Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых. Материалы конференции, информационный бюллетень. Волгоград, 22-29 апреля 2010 г. Екатеринбург: Волгоград: Изд-во АСФ России. 2010. с.568-569.

[А9] В.П. Круглов. Кольцевой неавтономный генератор гиперболического хаоса // В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2009. 16-18 ноября 2009 г. Материалы научной школы-конференции. Саратов, ООО ИЦ «Наука». 2010. с.73-76.

[А10] В.П. Круглов. Аттрактор типа Смейла - Вильямса в кольцевой неавтономной системе, описываемой уравнениями с гладкими коэффициентами // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов V Всероссийской конференции молодых ученых. 6-8 сентября 2010 г. Изд-во Саратовского университета. 2010. с. 50-51.

[А11] В.П. Круглов Аттрактор типа Смейла - Вильямса в кольцевой неавтономной системе, описываемой уравнениями с гладкими коэффициентами // Материалы IX международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур", 4-9 октября 2010 г. Саратов. 2010. с. 120.

[А12] В.П. Круглов. Аттрактор типа Смейла - Вильямса в кольцевой системе с периодической модуляцией частоты // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов VI Всероссийской конференции молодых ученых. 13-15 сентября 2011 г. Изд-во Саратовского университета. 2011. с. 122-123.

[А13] В.П. Круглов. Автономная система с аттрактором Смейла-Вильямса на основе кольцевой структуры из осцилляторов ван дер Поля с резонансным механизмом передачи возбуждения // В сб.: Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2010. 6 октября, 24, 26 ноября 2010 г.

Материалы научной школы-конференции. Саратов, ООО ИЦ «Наука». 2011. c.61-64.

[A14] В.П.Круглов. Генератор гиперболического хаоса на основе кольцевой схемы, содержащей периодически перестраиваемый фильтр // Нелинейные волны - 2012. XVI научная школа. 29 февраля - 6 марта 2012 г. Тезисы докладов молодых ученых. РАН, ИПФ РАН, НГГУ, Нижний Новгород. 2012. с. 80.

[A15] В.П. Круглов. Кольцевые системы с гиперболическим хаотическим аттрактором типа Смейла - Вильямса // Материалы итоговой студенческой научной конференции. 14 мая 2012 г. Саратов, изд. Саратовского университета. 2012. с.6-8.

[A16] V.P. Kruglov. Ring systems with hyperbolic attractors // International Conference "Dynamics, Bifurcations and Strange Attractors" dedicated to the memory of L.P. Shil'nikov (Nizhni Novgorod, Russia, July 1-5, 2013). Book of Abstracts. Nizhni Novgorod. 2013. p.68.

[A17] В.П. Круглов, С.П. Кузнецов, А.С. Пиковский. Гиперболический хаос в автономной пространственно распределенной системе // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов VIII Всероссийской конференции молодых ученых. 3-5 сентября 2013 г. Изд-во Саратовского университета. 2013. с. 133-134.

[A18] В.П. Круглов, С.П. Кузнецов, А.С. Пиковский. Аттрактор типа Смейла - Вильямса в автономной пространственно распределенной системе // Материалы X международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур", 7-12 октября 2013 г. Саратов. 2013. с.22.

[A19] V.P. Kruglov. Attractor of Smale-Williams type in modified Brusselator model // Book of Abstracts. International Conference «Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems: Unraveling Сomplexity» 19-23 May 2014, Saratov: Saratov State University. 2014. с. 26.

[A20] В.П. Круглов. Аттрактор Смейла-Вильямса в модели Брюсселятора // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов

IX Всероссийской конференции молодых ученых. 2-4 сентября 2014 г. Изд-во Саратовского университета. 2014. с. 79-80.

[A21] V.P. Kruglov, A.S. Kuznetsov, S.P. Kuznetsov, A. Pikovsky. Some distributed systems with chaotic pattern dynamics associated with Smale-Williams attractors // International Conference "Hamiltonian Dynamics, Nonautonomous Systems, and Patterns in PDE's". Nizhni Novgorod, Russia, December 10-15, 2014. Book of Abstracts, Nizhni Novgorod: Lobachevsky State University. 2014. p. 17-19.

[A22] V.P. Kruglov. Hyperbolic chaos in model systems with ring geometry // International Conference-School "Dynamics, Bifurcations and Chaos 2015" (DBC-II) (Nizhny Novgorod, Russia, July 20-24, 2015). Book of Abstracts. Nizhny Novgorod. 2015. p.16-17.

[A23] В.П. Круглов, С.П. Кузнецов. Гиперболический хаос в распределенных системах с кольцевой геометрией // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов X Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, 8-10 сентября 2015 г. Саратов, изд-во «Техно-Декор». 2015. с. 69-70.

[A24] Л.М.-Б. Хаджиева, В.П. Круглов. Аттрактор Смейла-Вильямса в модифицированной модели Неймарка // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика. Тезисы докладов X Всероссийской конференции молодых ученых. Саратов, 8-10 сентября 2015 г. Саратов, изд-во «Техно-Декор». 2015. с. 182-183.

[A25] В.П. Круглов. Модели распределенных систем с аттрактором типа Смейла - Вильямса // Нелинейные волны - 2016. XVII научная школа. 27 февраля - 4 марта 2016 г. Тезисы докладов молодых ученых. ИПФ РАН, Нижний Новгород. 2016. с. 85.

[A26] L. Khadzhieva and V. Kruglov. Smale-Williams attractor in a modified Neimark model // Sixth International Conference "Geometry, Dynamics, Integrable Systems - GDIS 2016": Book of abstracts. — Мoscow-Izhevsk: Publishing Center "Institute of Computer Science". 2016. p. 27.