Совершенствование методов расчета пластин и оболочек на силовые и температурные воздействия при нелинейной ползучести тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, доктор наук Чепурненко Антон Сергеевич

• Чепурненко Антон Сергеевич
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Чепурненко Антон Сергеевич

1.2 Современное состояние теории и методов расчета пластин оболочек с учетом ползучести

1.3 Выводы по литературному обзору

1.4 Методика определения реологических параметров материала по кривым ползучести и релаксации

Глава 2. Общие уравнения моментной теории оболочек с учетом температурных воздействий и ползучести

2.1 Уравнения равновесия и геометрические уравнения

2.2 Физические уравнения

2.3 Учет армирования в физических уравнениях

2.4 Геометрические и физические уравнения для трехслойных оболочек с легким заполнителем

2.5 Выводы по главе

Глава 3. Ползучесть круговых цилиндрических оболочек

3.1 Статические и геометрические уравнения для круговой цилиндрической оболочки

3.2 Ползучесть замкнутой цилиндрической оболочки при осесимметричном нагружении

3.3 Численно-аналитический подход к расчету на ползучесть осесимметрично нагруженной цилиндрической оболочки

3.4 Учет температурных воздействий при расчете на ползучесть

3.5 Расчет оболочек переменной жесткости с учетом ползучести

3.6 Расчет сборного резервуара переменной жесткости на силовые и

температурные воздействия

3.7 Ползучесть ортотропной оболочки при осесимметричном нагружении

3.8 Расчет железобетонного резервуара на основе вязкоупругой модели

3.9 Выводы по главе

Глава 4. Расчет оболочек вращения произвольной формы на осесимметричную нагрузку с учетом ползучести

4.1 Вывод разрешающих уравнений

4.2 Методика решения задачи

4.3 Расчет оболочки в форме однополостного гиперболоида вращения

4.4 Конечно-элементное моделирование ползучести оболочек вращения

4.5 Решение тестовых задач методом конечных элементов

4.6 Ползучесть ортотропных оболочек вращения

4.7 Сведение задачи для железобетонной оболочки вращения к расчету ортотропной конструкции

4.8 Выводы по главе

Глава 5. Ползучесть пологих оболочек

5.1 Вывод разрешающих уравнений

5.2 Расчет пологой оболочки в форме эллиптического параболоида

5.3 Применение двойных тригонометрических рядов к расчету пологой оболочки

5.4 Расчет на ползучесть ортотропных пологих оболочек

5.5 Ползучесть железобетонной пологой оболочки

5.6 Выводы по главе

Глава 6. Конечно-элементное моделирование ползучести оболочек произвольной формы

6.1 Вывод разрешающих уравнений

6.2 Уравнения МКЭ для треугольного конечного элемента с учетом ползучести

6.3 Преобразование координат для треугольного конечного элемента

6.4 Решение тестовых задач

6.5 Прямоугольный конечный элемент для расчета с учетом ползучести цилиндрических оболочек

6.6 Геометрически нелинейные задачи изгиба пластин и оболочек с учетом ползучести

6.7 Изгиб пластин под действием сжимающих усилий в срединной плоскости в условиях ползучести

6.8 Выводы по главе

Глава 7. Учет деформаций поперечного сдвига при расчете пластин и оболочек на ползучесть

7.1 Ползучесть трехслойных конструкций с легким заполнителем

7.1.1 Осесимметричный изгиб круглой трехслойной пластинки с учетом ползучести

7.1.2 Основные разрешающие уравнения для трехслойных пологих оболочек

7.1.3 Расчет трехслойной цилиндрической оболочки при осесимметричном нагружении

7.1.4 Расчет трехслойных оболочек вращения произвольной формы на осесимметричную нагрузку с учетом ползучести

7.1.5 Конечно-элементное моделирование ползучести трехслойных конструкций

7.2 Влияние деформаций поперечного сдвига на ползучесть ортотропных пластин

7.3 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Приложение А. Элементы матрицы [Ви] для треугольного конечного элемента оболочки

Приложение Б. Программы расчета на ЭВМ

Приложение В. Внедрение результатов диссертационной работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совершенствование методов расчета пластин и оболочек на силовые и температурные воздействия при нелинейной ползучести»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Тонкостенные пространственные конструкции в виде оболочек и пластин относятся к наиболее прогрессивным видам строительных конструкций, которые совмещают в себе несущие и ограждающие функции и при этом способны перекрывать большие пролеты. Исследование напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек часто связано с большими математическими трудностями, особенно в случаях сложных схем нагружения, переменной толщины, многослойности, анизотропии, температурных воздействий и т.д.

Трудность расчета резко возрастает при учете физической нелинейности материала. Физическую нелинейность можно условно разделить на мгновенную нелинейность деформирования, обусловленную нелинейной зависимостью между напряжениями и деформациями при кратковременном воздействии, а также проявляющуюся во времени (явление ползучести). Ползучесть характерна практически для всех строительных материалов, включая дерево, бетоны, полимербетоны, пластмассы и металлы при высоких температурах. Влияние ползучести на напряженно-деформированное состояние строительных конструкций носит неоднозначный характер. С одной стороны - это значительное увеличение перемещений, потеря предварительных напряжений в железобетонных конструкциях. С другой стороны, при ползучести возможно перераспределение и снижение напряжений, уменьшение ширины раскрытия трещин и т.д. В последнее время с ростом объемов возведения уникальных зданий и сооружений вопросы точного прогнозирования влияния ползучести в сочетании с температурными воздействиями становятся все более актуальными. Международный опыт учета ползучести и усадки бетона при термосиловых воздействиях носит довольно противоречивый характер, в частности, для многих старых большепролетных мостов из железобетона наблюдаются большие прогибы.

Кроме того, в настоящее время имеет место постепенный переход на технологии В1М-проектирования (информационное моделирование зданий), когда

модель здания или сооружения содержит информацию о его элементах на всех этапах жизненного цикла. В процессе эксплуатации объекта даже при постоянных нагрузках вследствие ползучести происходит изменение напряженно -деформированного состояния строительных конструкций и их элементов, что должно быть отражено в В1М-модели.

Поэтому совершенствование методов расчета конструкций и их элементов с учетом фактора времени относится к одному из приоритетных направлений строительной механики. Этому направлению посвящено большое количество работ как отечественных, так и зарубежных ученых.

Степень разработанности проблемы. Общую теорию ползучести, в частности, применительно к тонкостенным элементам конструкций развивали Н.Х. Арутюнян, А.Р. Ржаницын, Н. И. Безухов, Н. Н. Малинин, В.Д. Харлаб и др. Вопросами расчета пластин и оболочек с учетом ползучести занимались такие ученые, как Ю.Н. Работнов, Л.М. Качанов, А.Л. Рабинович, В.Л. Бажанов, И.И. Гольденблат, О. Зенкевич, О.К. Морачковский, Ю.В. Немировский, А.П. Янковский, А.Г. Тамразян и др.

Исследования по ползучести пластин и оболочек проводятся уже более половины века, но, несмотря на это, в настоящее время многие аспекты остаются мало изученными. К таким вопросам относится термоползучесть пластин и оболочек с учетом изменения упругих и реологических параметров материала под действием температуры, расчет с учетом ползучести пластин и оболочек переменной толщины, наличие анизотропии упругих и реологических свойств материала. Нелинейная ползучесть многими авторами не рассматривается вообще, кроме того, большинство нелинейных реологических моделей относится к одноосному напряженному состоянию, что делает невозможным их применение для расчета тонкостенных конструкций.

В современных конечно-элементных пакетах возможность учета ползучести либо совсем отсутствует, либо заложен ограниченный набор реологических моделей, ориентированный на какой-то конкретный материал.

Резюмируя вышесказанное, была поставлена цель диссертационной работы: развитие теории расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости пластин и оболочек при нелинейной ползучести с учетом температурных воздействий, переменной толщины и анизотропии материала.

Задачи исследования:

- разработка методики определения реологических параметров материала из испытаний на ползучесть и релаксацию напряжений;

- получение основных разрешающих уравнений по моментной теории для оболочек произвольной формы с учетом ползучести;

- развитие методов расчета и теоретическое исследование ползучести осесимметрично нагруженных цилиндрических оболочек с учетом анизотропии материала, переменной толщины и температурных воздействий;

- совершенствование методов расчета на ползучесть изотропных и ортотропных оболочек вращения произвольной формы;

- получение разрешающих уравнений для расчета с учетом ползучести пологих изотропных и ортотропных оболочек, теоретическое исследование ползучести указанных конструкций;

- развитие метода конечных элементов для решения задач ползучести пластин и оболочек произвольной формы с учетом геометрической нелинейности;

- вывод разрешающих уравнений для расчета трехслойных пластин и оболочек с легким вязкоупругим заполнителем, исследование влияния ползучести среднего слоя на напряженно-деформированное состояние трехслойных конструкций;

- получение разрешающих уравнений для расчета ортотропных пластин с учетом деформаций поперечного сдвига.

Научная новизна работы: • разработана эффективная методика определения реологических параметров материала, входящих в нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича, позволяющая выполнять расчеты с учетом изменения свойств материала под действием температуры;

• разработана физико-математическая модель расчета однослойных и трехслойных пластин и оболочек с учетом анизотропии, температурных воздействий, изменения физико-механических характеристик материала по толщине, геометрической нелинейности и ползучести, позволяющая использовать произвольные законы связи между деформациями ползучести и напряжениями в разрешающих уравнениях;

• для железобетонных оболочек получены новые физические уравнения, учитывающие неоднородность материала конструкции, вынужденные деформации бетона и арматуры, которые могут представлять собой температурные деформации, деформации ползучести и усадки;

• выполнено развитие существующих методов расчета пластин и оболочек путем введения интегральных величин, определяющих вклад вынужденных деформаций, и их учета в разрешающих уравнениях для практического применения при решении задач ползучести;

• построена модель деформирования ортотропных пластин в условиях ползучести с учетом деформаций поперечного сдвига на основе гипотезы о параболическом распределении касательных напряжений по толщине пластины.

Теоретическая значимость работы:

- исследовано явление перераспределения напряжений в гетерогенных системах (оболочки из железобетона, армированных полимеров, трехслойные пластины и оболочки), являющееся следствием ползучести, и установлены случаи, в которых наблюдается увеличение напряжений, что свидетельствует о недостаточном запасе прочности;

- проведен анализ влияния стрелы подъема трехслойных оболочек на рост перемещений во времени и показано, что для оболочек большой кривизны ползучесть не оказывает заметного влияния на величину максимального прогиба;

- для пластин, испытывающих действие сжимающих усилий в срединной плоскости, предложена величина длительной критической нагрузки.

Практическое значение работы:

- разработана методика и программное обеспечение для обработки кривых ползучести и релаксации на основе уравнения Максвелла-Гуревича;

- предложены и обоснованы величины длительных модулей упругости и длительных коэффициентов Пуассона, длительной цилиндрической жесткости, позволяющие определить перемещения и напряжения в конце процесса ползучести с использованием известных методов решения упругих задач;

- разработан пакет прикладных программ в среде Matlab для расчета на ползучесть пластин и оболочек различной формы при произвольном законе связи между деформациями ползучести и напряжениями.

Методы исследования. Исследование базируется на современных методах теории упругости и теории ползучести. Используется численное моделирование на основе метода конечных разностей и метода конечных элементов. Вычисления проводились на базе современных ПЭВМ с использованием пакета MatLab. Основные положения, выносимые на защиту:

- методика обработки кривых ползучести и релаксации напряжений;

- полученные автором общие физические уравнения оболочек с учетом анизотропии, вынужденных деформаций и неоднородности материала;

- основные разрешающие уравнения и алгоритм расчета с учетом ползучести на температурные и силовые воздействия осесимметрично нагруженных цилиндрических оболочек постоянной и переменной толщины, результаты теоретического исследования ползучести цилиндрических оболочек из изотропных и ортотропных материалов;

- разрешающие уравнения, алгоритмы расчета и результаты теоретического исследования ползучести осесимметрично нагруженных оболочек вращения произвольной формы;

- основные уравнения и алгоритмы решения задач ползучести пологих изотропных и ортотропных оболочек, результаты теоретического исследования влияния ползучести на напряженно-деформированное состояние указанных конструкций;

- алгоритм конечно-элементного моделирования ползучести оболочек c учетом геометрической нелинейности;

- основные разрешающие уравнения для расчета с учетом ползучести трехслойных пластин и пологих оболочек, алгоритм их решения, а также результаты теоретического исследования ползучести трехслойных конструкций;

- разрешающие уравнения, а также результаты исследования напряженно-деформированного состояния ортотропных пластин с учетом деформаций поперечного сдвига.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- проверкой выполнения всех граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений;

- применением различных методов к решению одной задачи с последующим сопоставлением результатов;

- сравнением результатов с решениями в существующих программных комплексах, реализующих метод конечных элементов.

Внедрение результатов работы. Результаты диссертационной работы в виде пакета прикладных программ внедрены в практику проектирования группы компаний АКССтрой (г. Аксай), ООО «СевкавНИПИагропром» (г. Ростов-на-Дону), ООО «Научно-исследовательский центр «НИКА»» (г. Казань).

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на международных научно-практических конференциях CATPID-2019 (г. Кисловодск), CATPID-2018 (г. Нальчик), Russian-Slovak-Polish seminar 2018 «Theoretical Foundation of Civil Engineering», ICMTMTE 2017 (г. Севастополь), «Пром-Инжиниринг - 2016» (г. Челябинск), SPbWOSCE - 2016 «Smart City» (г. Санкт-Петербург), «Пром-Инжиниринг - 2017» (г. Санкт-Петербург), 15-й международной научной конференции «Underground Urbanisation as a Prerequisite for Sustainable Development» (г. Санкт-Петербург, 2016), международной научно-практической конференции, посвященной 95-летию ФГБОУ ВПО «ГГНТУ им. акад. М. Д. Миллионщикова (г. Грозный, 2015), I Всероссийской многопрофильной научно-практической конференции молодых ученых опорных университетов

России (г. Ростов-на-Дону, 2017), научно-практической конференции «Строительство и архитектура - 2017» (г. Ростов-на-Дону, 2017), семинаре кафедры «Сопротивление материалов» Московского государственного строительного университета (г. Москва, 2018), XIV Международной научно-практической конференции «Новые полимерные композиционные материалы. Микитаевские чтения» (г. Нальчик, 2018).

Структура и объем работы. Диссертационная работа включает в себя введение, семь глав, заключение и 3 приложения; основной текст изложен на 278 страницах машинописного текста, приложения — на 55 страницах, включает 172 рисунка, 10 таблиц и список литературы из 152 наименований.

Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность проблемы и выбор направления исследования, сформулированы цели и задачи, основные положения, приведена краткая аннотация всех глав работы.

В главе 1 приведен литературный обзор работ, посвященных численному и аналитическому решению задач ползучести пластин и оболочек. Рассмотрены основные теории ползучести конструкционных материалов, как линейные, так и нелинейные. Приведена разработанная автором методика обработки кривых ползучести и релаксации на основе нелинейного уравнения Максвелла-Гуревича. Представлены полученные автором эмпирические формулы для определения реологических параметров вторичного поливинилхлорида с учетом изменения температуры.

В главе 2 приводится система дифференциальных уравнений для расчета с учетом ползучести оболочек произвольной формы, включающая в себя статические, геометрические и физические уравнения. Статические и геометрические уравнения по сравнению с классической теорией оболочек при учете ползучести не претерпевают изменений. Физические уравнения выводятся с учетом анизотропии материала, изменения физико-механических характеристик по толщине, наличия вынужденных деформаций, которые могут включать в себя

температурные деформации, деформации ползучести, усадки и т.д. Также рассматриваются частные случаи: ортотропный и изотропный материал.

Производится вывод физических уравнений для железобетонных конструкций при наличии ортотропного армирования. Помимо вынужденных деформаций бетона учитываются вынужденные деформации арматуры, состоящие из температурных деформаций, а также деформаций ползучести для композитной арматуры.

Получены геометрические и физические уравнения для расчета на ползучесть трехслойных оболочек с легким заполнителем.

Глава 3 посвящена вопросам расчета круговых цилиндрических оболочек по моментной теории. Рассматривается случай осесимметричного нагружения замкнутой цилиндрической оболочки. Представлен разработанный автором численно-аналитический алгоритм расчета резервуаров с учетом ползучести материала. Приведено решение задач ползучести оболочек постоянной и переменной толщины при совместном действии гидростатического давления и температурного поля. Рассмотрен случай осесимметричного нагружения ортотропной оболочки из однонаправленного стеклопластика. Представлена методика расчета сборных резервуаров переменной толщины на силовые и температурные воздействия.

В главе 4 рассматривается задача расчета произвольных оболочек вращения на осесимметричную нагрузку. Получена система дифференциальных уравнений для анализа напряженно-деформированного состояния изотропных и ортотропных оболочек при ползучести. Приведен пример расчета на действие собственного веса и гидростатического давления резервуара в форме однополостного гиперболоида. Рассмотрены вопросы конечно-элементного моделирования ползучести оболочек вращения при помощи конечных элементов в виде усеченных конусов.

Глава 5 посвящена задаче ползучести пологих оболочек. Получены разрешающие уравнения и разработан численный алгоритм их решения. Приведен пример расчета изотропной и ортотропной пологой оболочки в форме эллиптического параболоида. Метод расчета пластин и пологих оболочек с

использованием двойных тригонометрических рядов адаптирован для решения задач с учетом ползучести.

В главе 6 рассматриваются вопросы конечно-элементного моделирования ползучести оболочек произвольной формы с учетом неоднородности, геометрической нелинейности, анизотропии. Приведено решение для пологой оболочки и выполнено сравнение с результатами, полученными на основе теории пологих оболочек в главе 5. Также в объемной постановке при помощи плоских прямоугольных конечных элементов решена задача осесимметричного нагружения цилиндрической оболочки, проведено сравнение с результатами, представленными в главе 3.

Рассматриваются геометрически нелинейные задачи, в частности задача осесимметричного изгиба круглой гибкой пластинки при ползучести, а также задача выпучивания пластинки с начальной погибью под действием сжимающих усилий в срединной плоскости.

Глава 7 посвящена исследованию ползучести пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига. Рассматриваются трехслойные конструкции с легким заполнителем, а также ортотропные пластины с низким модулем поперечного сдвига. Приведено решение задачи осесимметричного изгиба круглой трехслойной пластины. Получена система дифференциальных уравнений для расчета трехслойных пологих оболочек, а также осесимметрично нагруженных оболочек произвольной формы. Проведен анализ влияния стрелы подъема оболочки на рост прогиба за счет ползучести среднего слоя. Представлены выражения для матрицы жесткости и вектора нагрузки треугольного и прямоугольного в плане конечного элемента трехслойной пологой оболочки с учетом анизотропии несущих слоев, ползучести не только среднего слоя, но и обшивок, а также температурных воздействий.

Для ортотропных пластин на основе теории С.А. Амбарцумяна о параболическом распределении касательных напряжений по толщине пластины получена и решена система дифференциальных уравнений относительно функции сдвигов и прогиба.

В заключении приведены основные результаты и выводы по работе.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Основные теории ползучести конструкционных материалов

Среди множества существующих в настоящее время теорий ползучести наиболее известными являются теория старения, упрочнения, течения, а также наследственная теория.

Уравнения теории старения содержат время в явном виде и записываются следующим образом:

В работах M. Garrido и др. [1, 2] для описания ползучести пенополиуретана используется относящийся к типу (1.1) степенной закон Финдли:

где Ее и - соответственно упругий и вязкоупругий модуль деформации материала.

Уравнения вида (1.1) имеют существенный недостаток. Введение в основное соотношение явной временной зависимости является рабочей гипотезой, пригодной только для приближенных расчетов при конкретных режимах нагружения [3]. К примеру, если в основу данной теории положены экспериментальные данные, полученные при постоянных напряжениях, то и применять ее можно только при условии постоянства внешних нагрузок. Как показывают исследования, теория старения справедлива для материалов, в которых имеют место внутренние процессы (изменение свойств полимеров в процессе их старения и т.п.).

В теории упрочнения в некоторой форме устанавливается связь между напряжением, деформацией, скоростью роста напряжения и скоростью деформации:

Известной реологической моделью, принадлежащей к данному типу, является закон Фойгта, имеющий вид [4]:

/(£, a, t) = 0.

(1.1)

(1.2)

f(a, á,s,é ) = 0

(1.3)

а = жё + Н£, (1.4)

где х - коэффициент вязкости, Н - длительный модуль упругости.

Помимо закона Фойгта к типу (1.3) относится линейное уравнение Максвелла-Томпсона, имеющее вид [5]:

пЕ£ + Н£ = пд + а, (1.5)

где Е и Н - соответственно мгновенный и длительный модуль упругости, п - время релаксации.

В уравнениях теории течения устанавливается связь между напряжением, скоростью деформации и временем:

/(а,£,^ = 0. (1.6)

Недостатком уравнения (1.6), как и уравнения (1.1), является наличие в явном виде времени.

Согласно линейной теории наследственной ползучести связь между

напряжениями и деформациями определяется следующим соотношением:

с

= ^ + т)а(т)йт, (1.7)

о

где оЮ - напряжение, t - текущий момент времени, т - переменная интегрирования, меняющаяся от 0 до К(1 — т) - ядро ползучести.

В научно технической литературе по теории ползучести бетона [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14] принято представлять связь £^) — а^) аналогично (1.7)

интегральным уравнением:

с

дса.т) Г

ат, (1.8)

Е(Т)

где С(1, т) - мера ползучести.

Нижний предел интегралов в (1.8) равен т0, а не нулю, т.к. учитывается взросление бетона (увеличение его модуля упругости во времени). Интегральное уравнение (1.8) на феноменологической основе получено Н.Х. Арутюняном [7] и является общепринятым. Однако в работе А.Г. Тамразяна [15] указывается, что

данное уравнение искажает сущность взросления материала и вместо него

предлагается использовать следующий закон:

t

a(t) Г dC(t,r)

,, f ,,dC(t,T)

] дт

Перейдем к рассмотрению нелинейных теорий ползучести. П.И. Васильевым [16, 17, 18] и Н.Х. Арутюняном [7] независимо было предложено учитывать нелинейную составляющую деформации ползучести, обобщив уравнение Арутюняна-Маслова следующим образом:

, , а(г) С д \ 1 ^ СдС(^т) г , ^

=ЖГ)-}дГгШ. а(т)йт-I (110)

т0 т0

где Е[(г(т)] - функция нелинейности.

Функцию нелинейности указанными авторами предлагалось принимать в

виде:

Р[а(т)] = [1 + ^а(т)]а(т), (1.11)

где % — параметр, определяемый опытным путем.

П.И. Васильевым [16, 17, 18] и В.М. Бондаренко [19, 20, 21] также были предложены следующие функции нелинейности:

П°) = Ь(~) , Е(а) = а + ь(~) . (112)

В [22] рекомендуется принимать функцию F в виде:

Р[а(т)] = а(т)[1 + и5^(т)], (1.13)

где V - коэффициент, зависящий от класса бетона, Б(т) = - относительное

напряжение, ф = 4.

В.М. Бондаренко было выполнено обобщение уравнения Васильева-Арутюняна:

ЛКО] Г д ( 1 \ ГдС(^т)

т0

где б^) = о(£)/Я(£), - мгновенная прочность бетона, Д и f2 - нелинейные функции, соответствующие мгновенной и длительной деформации.

Уравнение Бондаренко, в отличие от уравнения (1.10), позволяет учитывать нелинейность мгновенных деформаций.

Закон ползучести (1.8) может быть так же обобщен путем, указанным в

работе Ю.Н. Работнова [23].

г г

1

a(t) Г д 1 [ dC(t,T)

=W)-\irrW).a{T)dT -1 -w-"™^ (115)

dC(t, t) ~dr

То T0

где f(ß) - нелинейная функция деформации.

Уравнение (1.15) постулирует одинаковый характер нелинейности для мгновенных и длительных деформаций, что не соответствует реальному реологическому поведению бетона.

Помимо уравнения (1.10) П.И. Васильевым был предложен специальный способ описания необратимой ползучести первого рода:

£(t)= | F[T(a)]da, (1.16)

о

где omax{t) - максимальное значение напряжения на интервале времени от 0 до t; Т(о) - длительность действия напряжения о; F[T(a)] - нелинейная функция, которая строится путем обработки экспериментальных данных.

Данное направление развивалось А.А. Гвоздевым и К.З. Галустовым. Как в части построения нелинейной функции F, так и в части применения к решению конкретных задач, использование уравнения (1.16) связано с большими трудностями.

Появляющиеся в последнее время варианты нелинейных теорий ползучести в большинстве представляют развитие одного из перечисленных выше направлений. С.В. Александровским предложено следующее обобщение уравнения (1.10):

г г

а (г) Г а(т) Г а(т)

£(*)=Щ+ I Щ?)к(1:'т)ат+ I №(*№«(*>*№> (117) т0 т0 где к(1,т) и кн(1,т) - соответственно линейное и нелинейное ядро, f[o(т)] -

нелинейная функция напряжений.

г г

№(т)] =

(118)

а

где т - константа материала, а0 - некоторое постоянное напряжение, в качестве которого может выступать прочность материала.

д

к(1,х) = -Е(т) — д

1

+ С(г,т)

Е( )

(1.19) д

кн(Ьт) = -Е(т) — Сн(Ьт).

Дейвенпорт и И.И. Улицкий сделали обобщение теории старения на нелинейную область работы материала:

¿ = щ+[аа + рат]С, (1.20)

где а, р, т - некоторые константы.

При использовании уравнения (1.20) вся ползучесть бетона оказывается необратимой, что не соответствует экспериментальным данным.

Развитие уравнения упругой наследственности Больцмана (1.7) с учетом нелинейной ползучести было выполнено Е.А. Яценко [24]:

аИ) = ~ ' у

В данном уравнении, как и (1.10), в вся мгновенная деформация объявляется линейной.

К.З. Галустовым [25, 26] предложена двухкомпонентная нелинейная теория ползучести бетона. В данной теории учитывается наследственность, старение и необратимые деформации, не связанные со старением. В результате проведения испытаний К.З. Галустов выдвинул гипотезу о линейной зависимости обратимых

(О = Е£(г) + I К(г- г) f[£(т)]dт. (1.21)

деформаций от вызвавших их напряжений, независимо от уровня напряжений и возраста материала. Экспериментальное подтверждение выдвинутой гипотезы было получено в работах О.М. Попковой, Н.А. Колесникова и др.

Для одноосного напряженного состояния уравнение ползучести по двухкомпонентной теории имеет вид:

t $тах

£№=щ + щ Js(T)K(t,T)dT+ J f\S\F[T(S,t)]dS, (1.22)

To 0

где Smax - максимальный уровень напряжений, достигнутый к моменту t; R -призменная прочность бетона, Т - суммарная длительность действия уровня напряжения к моменту времени t, ядро K(t,r) характеризует линейную составляющую деформации ползучести.

Выражение для нелинейной необратимой деформации в (1.22) практически совпадает с формулой, предложенной П.И. Васильевым (1.16).

Р.С. Санжаровским и А.Д. Бегловым [27] было предложено следующее уравнение:

t t Ф(а,г) Г д 1 Г д

т=~т~- J Ф(а'т)йтг~1 пшт)]^,^, (1.23)

То т0

Функция Ф(а,т) в (1.23) учитывает нелинейность мгновенных деформаций, ffä(<7,r)] - нелинейность деформаций ползучести, C§(t,T) представляет меру ползучести, предложенную Н.Х. Арутюняном:

C^(t,T) = (с* +^ф)[1- ехр(-7ф (t - т))]. а24)

А.Г. Тамразян на случай нелинейной ползучести выполнил обобщение уравнения (1.9):

т0

Перечисленные выше теории ползучести применимы только для одноосного напряженного состояния. В.Д. Харлабом [28, 29, 30, 31] была разработана

энергетическая теория ползучести и длительной прочности хрупко разрушающихся материалов, относящаяся к объемному напряженному состоянию. В данной теории учитывается два вида необратимых деформаций (необратимость первого рода, обусловленная повреждением структуры материала, и второго рода, являющаяся следствием старения), описывается снижение прочности в процессе ползучести.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Чепурненко Антон Сергеевич, 2021 год

// // -

10

20

30

40 50 60 /, сугп

70

80

90

100

Рисунок 7.15 - Изменение во времени наибольших касательных напряжений в верхней и нижней обшивке: сплошные линии - уравнение Максвелла-Томпсона, штриховые - уравнение Максвелла-Гуревича

Для подтверждения достоверности результатов был выполнен расчет в программном комплексе ЛИРА-САПР 2013 при //а = 1/15. В качестве модуля сдвига заполнителя подставлялась величина длительного модуля Я. Несущие слои моделировались плоскими оболочечными конечными элементами, а средний слой - одним рядом объемных призматических элементов. По опорному контуру выполнялось обрамление из пластин, толщина которых была равна толщине несущих слоев. Расчетная схема генерировалась в виде текстового файла при помощи программы, написанной в пакете МаНаЬ (приведена в приложении). Далее этот текстовый файл импортировался в ПК ЛИРА.

Полученные в результате изополя вертикальных перемещений приведены на рисунке 7.16. Наибольшее значение перемещений, полученное в ПК ЛИРА, составило 0.652 мм. При решении методом конечных разностей =

0.635 мм, что отличается о результата в МКЭ комплексе на 2.6%.

Рисунок 7.16 - Изополя вертикальных перемещений Введение длительного модуля упругости и длительного модуля сдвига позволяет получить решение в конце процесса ползучести теми же методами, что и решение упругой задачи. Однако в некоторых задачах опасное состояние может

возникнуть между началом и концом процесса ползучести. В качестве примера такой задачи приведем результаты расчета шарнирно опертой по контуру трехслойной пластины с пенополиуретановым заполнителем при И = 8 см, Е = 2-105 МПа, V = 0.3, 8 =1.5 мм, а = Ь = 3 м, под действием равномерно распределенной по площади нагрузки д = 10 кПа. В качестве закона ползучести использовалось нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича.

На рисунке 7.17 представлен график изменения во времени максимальных касательных напряжений в обшивках. В начале процесса ползучести наблюдается рост напряжений, а далее происходит медленный возврат к упругому решению. В заполнителе касательные напряжения в начальный момент времени убывают, и далее также происходит возврат к начальному значению, что демонстрирует рисунок 7.18. Нормальные напряжения в обшивках для рассматриваемой задачи во времени постоянны, однако если пластина не квадратная, а прямоугольная, то происходит изменение во времени и нормальных напряжений.

26-1-1-1-1-1-1-1-1-1-

24.5

24 1_I_I_I_I_I_|_I_|_I_

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

сут

Рисунок 7.17 - Изменение во времени максимальных касательных напряжений в

обшивках

Выявленный эффект наблюдается только при использовании нелинейного закона ползучести. В случае линейной ползучести напряжения в трехслойной пластине во времени не меняются.

Рисунок 7.18 - Изменение во времени максимальных касательных напряжений в

заполнителе

7.1.3 Расчет трехслойной цилиндрической оболочки при осесимметричном нагружении

В главе 3 диссертации рассматривались задачи расчета однослойных цилиндрических оболочек при осесимметричном нагружении. Здесь мы рассмотрим аналогичную задачу для трехслойной цилиндрической оболочки. Расчетная схема задачи приведена на рисунок 7.19.

Рисунок 7.19 - Осесимметрично нагруженная трехслойная цилиндрическая

оболочка

Для рассматриваемой задачи в представленных в главе 2 общих уравнениях следует положить ^ = 0, = 1/Д, а = х, Д = 0, Л = 1, В = Д. Деформации обшивок при этом примут вид:

з^аи^ в(н) 1 аИн) ш

£х ах '£0 д ая + Д ; 1 аив(н) аИн)

(7.51)

в(н) _ 1 __

7x0 д ая ах .

Деформации сдвига среднего слоя запишутся в виде:

1 1аш аш

7^ = & - £ (^ + + -—; 72сх = ал + (7.52)

При осесимметричном нагружении формулы (7.52) примут вид:

7^ = 0; 72сх = ^+^. (7.53)

Из формулы (7.53) видно, что деформации 72Х, а следовательно и напряжения т£х по толщине среднего слоя распределяются равномерно.

Касательные напряжения в заполнителе с учетом ползучести определяются следующим образом:

т2Сх = ^х - 72Сх*) = + - 72Сх*), (7.54)

Деформации обшивок при осесимметричном нагружении запишутся в виде:

в(н) _ -Цв(н) в(н) _ ^ (7 55)

£х = йх ; = Д. ( . )

Поскольку касательные напряжения по толщине заполнителя

распределяются равномерно, поперечную силу запишем следующим образом:

йх

В случае упругих изотропных обшивок изгибающий момент Мх представляется в виде:

Сх = тГжЛ = СзЛ(ай+-^-7гх). (7 56)

М^Л^А (7.57)

Продольные силы Мх и вычисляются по формулам:

2ES (du w\

+ (7.58)

2ES /w du\

Приравнивая усилие Nx к нулю и выражая величину ^ через прогиб,

получим следующую формулу для Ne:

2ESw

Уравнения равновесия цилиндрической оболочки (3.1) при наличии осевой симметрии примут вид:

dMx dQx Ne

Здесь, в отличие от главы 3, поперечная сила не исключается из статических уравнений.

Подставляя (7.56) и (7.57) в первое уравнение равновесия в (7.60), получим:

d2ah ^ ( dw

dx

Подставив (7.56) и (7.58) во второе уравнение равновесия в (7.60), получим:

d2ah ( dw \

d2w dah dy^X- 1 2ESw q

—7 + —- - ---— + — = 0. (7.62)

dx2 dx dx G3h R2 G3h

Таким образом, задача расчета трехслойной цилиндрической оболочки при

осесимметричном нагружении свелась к системе из двух дифференциальных

уравнений (7.61) и (7.62) относительно функций ah и w.

Для жестко защемленной в основании оболочки граничные условия имеют

вид:

при x = 0: ah = 0,w = 0;

dah dw (7 63)

при x = I: Mx = 0 ^ —— = 0,QX = 0 ^ ah+ — = 0.

d x d x

Решение системы уравнений (7.61) и (7.62) может быть выполнено численно методом конечных разностей в сочетании с методом Эйлера или Рунге-Кутта для определения деформаций ползучести.

Был выполнен расчет оболочки с пенополиуретановым заполнителем при следующих исходных данных: I = 3 м, Я = 2 м, О = 4.85 МПа, Е = 2105 МПа, V = 0.3, И = 8 см, у = 10 кН/м3, 5 = 1 мм. В качестве закона ползучести использовалось нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича.

На рисунке 7.20 приведен график изменения максимальной величины прогиба w. Ползучесть среднего слоя не оказывает заметного влияния на перемещения оболочки, т.е. результаты аналогичны тому, что было получено в предыдущем параграфе для пологих оболочек с //а > 1/15.

2.74 2.73 2.72 2.71 2.7 2.69

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t, сут

Рисунок 7.20 - Изменение во времени максимальной величины прогиба

Из рисунка 7.21, показывающего изменение во времени максимальных касательных напряжений в заполнителе, видно, что в среднем слое происходит релаксация напряжений.

23 22 21

ей

с

* 20

«

19 18 17

0 10 20 30 40 50

Г, сут

Рисунок 7.21 - Изменение во времени наибольших касательных напряжений в

заполнителе

Изгибающие моменты также убывают во времени, что демонстрирует рисунок 7.22. Поскольку кольцевая сила пропорциональна прогибу w, то она во времени постоянна. Таким образом, в целом ползучесть среднего слоя положительно сказывается на напряженно-деформированном состоянии рассматриваемой конструкции.

Рисунок 7.22 - Изменение во времени максимальной величины изгибающего

момента Мх

Приведенные результаты говорят о том, что выявленные в предыдущем параграфе эффекты влияния кривизны трехслойной оболочки на ползучесть конструкции не являются следствием использования гипотез теории пологих оболочек.

7.1.4 Расчет трехслойных оболочек вращения произвольной формы на осесимметричную нагрузку с учетом ползучести

Положив в общих уравнениях (2.35), (2.36), (2.38) а = = в,А = R1,B = г = R2sin(,k1 = l/R1,k2 = а также учитывая осевую симметрию,

получим для внутренних усилий следующие соотношения:

(1 dаh у2 \

Мс

= я (

d(p R2 аду Vldаh\

(7.64)

/ 1 Йи У2 +

_ 2^5 ф 1 — ' Д2

+ 7ТС ^ < • и +

1 у2 Д2

^ =

( Л

1 — 0 = ^

У1 Йи С ^ < • и + —--;--+ +

1

Д2-

( и 1

Формулы (7.64) за исключением выражения для поперечной силы по структуре совпадают с зависимостями, представленными в параграфе 4.6 для однослойной ортотропной оболочки. Опуская промежуточные выкладки, приведем для рассматриваемой задачи окончательную систему разрешающих уравнений:

«2 Й2^^ Й<2

—--1--

Й<2

д

< У+^ <+^(—у2—^ дг =

= -("Г" (М>) — cos < мД

~2\1 , т// ^2^1 . 9 Я1 2^5

(7.65)

— =

Д2 ^

где

Ф( <) = (1 + У2)

— рЯА

Sin2 <

с ^ < +

(1 + У1)^2 Д1

Д2 sin2 <

F(<)ct<g< + Д2 -г ( —+ -^т^ (^ + ^ яг \ sin2 <

(¿+0);

Ф*( г) = ——--Д2 ————— + Д^г (л^

Й <

«2-

— (1+ У2)Л£ ).

В уравнениях (7.65), как и ранее, К = Д2@.

Был выполнен расчет трехслойного купола в виде полусферы, жестко защемленного в основании и нагруженного равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью ^ на горизонтальную проекцию оболочки. Обшивки принимались упругими и изотропными.

Граничные условия в вершине ( < = 0) для рассматриваемой конструкции имеют вид:

£в =

ah = 0;V = 0. (7.66)

В защемлении (ф = п/2) граничные условия записываются в виде:

«h = 0;

ucosy + w sin^

= (7.67)

г

1

2 ES

1 dV

+ PR2-~

1 v

U + R2)

vctg<p

V

= 0.

Rt d<p sin2 ^ \Rt R2) R2

Вычисления выполнялись при R = 6 м, h = 8 см, 5 = 1 мм, q = 1 кПа. В качестве материала обшивок и заполнителя принимались соответственно сталь и пенополиуретан. Для описания ползучести материала среднего слоя использовалось нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича.

В результате расчета было установлено, что, как и для цилиндрической оболочки, максимальные перемещения во времени постоянны, а касательные напряжения в заполнителе и изгибающие моменты убывают. Графики изменения максимальных величин и М^ приведены соответственно на рисунках 7.23 и 7.24.

Рисунок 7.23 - Изменение во времени максимальных напряжений в заполнителе

Рисунок 7.24 - Изменение во времени максимальных изгибающих моментов Усилия и Ы(р, как и перемещения, во времени не меняются.

7.1.5 Конечно-элементное моделирование ползучести трехслойных конструкций

Вывод уравнений выполним с учетом ортотропии несущих слоев, различной их толщины, температурных воздействий, а также учтем возможность ползучести обшивок. Для расчета будем использовать треугольный трехслойный элемент пологой оболочки, приведенный на рисунке 7.25, а также прямоугольный в плане конечный элемент (рисунок 7.26).

Рисунок 7.25 - Треугольный конечный элемент трехслойной оболочки

Рисунок 7.26 - Прямоугольный в плане конечный элемент трехслойной пологой

оболочки

Связь между деформациями и напряжениями для несущих слоев запишется

в виде:

,в(н) _

1

£ = ■ О

х —в(н) V х

е

( в(н) в(н) в(нА . ) — )^;у( )) +

в(н> _

х ;

1

в(н) 1 ( в(н) в(н) в(НЛ I в(н>

;

Е.

(7.68)

2

в(н) _ ТхУ . в(н)* ^ху £в(н) + ^ху '

в(н)* в(н)* в(н)* 1 г

где £х , £у ,7ху - вынужденные деформации обшивок, представляющие сумму температурных деформаций и деформаций ползучести. Выразим из (7.68) напряжения через деформации:

в(н)

в(н) О ^ =

Ев Е1

в(н)

л в(н) в(н) 1 — У^ '

в(н) в(н)

,в(н)*

х

+ У2£

в(н)=< У

в(н) О = ОУ

Е

в(н) 2

в(н)

в(н) в(нм у

1—

в(н)

+ ^1£х( )

—1

в(н> . в(н)* Ь у + У^х

(7.69)

_в(н) = ~в(н) ( ув(н) — ув(н)Л ьху и \/ху /ху )■

Потенциальная энергия деформации записывается в виде:

П _ 1 § (ахс£хс,е 1 + 17У£У,е1 + тхуУху,е1] А

К/2

+ Зв[ах£х,е1 + °у£У,е1 + тхууху,е1\ + ^ тгхугх,е1 dz (7.70)

-К/2

§ тгуу2.у,е1

К/2

| „.с с

-К/2

где индексы еI соответствуют упругим деформациям, представляющим разность между полными и вынужденными деформациями:

в(н) _ в(н) _ в(н)*. ьх,е I ьх ьх '

вМ _ „в(н^ в(н)*. ьу, е I ьу ьу '

ув(н) _ ув(н) - ув(н)*ш (7.71)

уху,е1 _ уху уху '

с _ с *

угх,е1 угх угх'

с _ с *

угу,е1 угу угуш

Интегралы по толщине пластинки в (7.70) представим в виде:

К/2 К/2

§ т^у^х.е^г _ § G3(z)(уCх-уZх)2dz -К/2 -К/2

К/2 К/2

_(уСх)2 § G3(z)dz - 2угсх § G3(z)у*Zхdz (7.72)

— г

К/2 -К/2

К/2

+ § Gз(z)(уZzx)2dz.

-К/2

В (7.72) учитывается изменение модуля сдвига заполнителя по толщине пластины вследствие температурного воздействия. Для упрощения введем величины усредненного модуля сдвига G3 и усредненных деформаций ползучести у*хиу*у:

Л/2

Л/2

-Л/2 3 -Л/2

Л/2

(7.73)

^ [

= ТГй. '

Л/2

Равенство (7.72) с учетом (7.73) можно записать в виде:

Л/2

^ ^х^х^г ~ т2х(7гх УгхХ -Л/2

(7.74)

где т£х = 6з (у2сх — у2*х) - средняя величина касательного напряжения в заполнителе.

Потенциальная энергия деформации примет вид:

П = 1 |МТ ({ £} — { £*}Ж

(7.75)

л

где {М}т = { оХ1^ оу5н тНу5н ов5в ау5в тХу5в т^ - вектор

н н н в в в

внутренних усилии, {£} = { £х £у Тху £х £у Тху 7гх Угу Г - вектор

н* н* н* в* в* в* * *

полных деформации, { £ } = { ^х £у Уху £х £у Уху 7гх Угу}7 - вектор вынужденных деформации.

Внутренние усилия связаны с деформациями следующим образом:

где [Д] - блочная матрица упругих постоянных, имеющая вид:

"Рн]

[Дв]

[Дз!

(7.76)

[Д] =

(7.77)

где

[Дв(н)] =

1

в(н) в(н)

1-

в(н) г-в(н) в(н)

V Ч( ) 0

в(н) в(н) Е1 ^2

Е

в(н)

0 0

0 Св(н) (1 - у^У^)

[Дз] = ^

10 01

В качестве степеней свободы элемента выступают перемещения обшивок в плоскости хОу (ив(н), у2(н)), а также прогиб ш. Поле перемещений треугольного КЭ запишем в виде:

{ и}_

{Рг} {Р2} {Рз}

(7.78)

где {р¡} _ {ин ун и2 у1

Для перемещений в пределах конечного элемента принимается следующая аппроксимация:

ив(н) _ Ы1ив1(н) + Щив2(н) + Щи23(н)' ув(н _ + Щу** + М3ув(н)'

(7.79)

ш _ И1ш1 + И2\м2 + И3ш3, где N1 _ - функции формы, совпадающие с Ь - координатами, определяемыми по формулам (6.19).

Вектор деформаций КЭ запишется в виде:

Г дин

хн

н

у

Ухну

{ £}_

х 2

2

х

2 у

ух у

у^х

Vуух}

_

дх + кх™

дун

-ду + куш

дин дун д у д х

д и2

ду2

1у+ку№

ди2 ду2

д у д х

дш

ин - и2

к

+

ун - у2

к

Подставляя (7.79) в (7.80), получим:

{е} _ [В]{и}.

+

д х дш

ду.

(7.80)

(7.81)

<

[В]

ь_ — 0 2А

С1 0 — 2А

с_ Ьц_ 2А 2А

00 00

0 0

0

ь__

2А 0

1

0 0 -_ 2 А

N N

— 0--1

к к

0 -_ 0

к

0 0

0

0

с__

2А ___

2А 0

Л_ к

кхИ_ _2 2А 0

куЫ_ 0 С2 2А

0 2 _2

2 А 2 А

кхИ_ 0 0

куЫ_ 0 0

0 0 0

_1 N2 0

2А к

с_ 0 N2

2А к

0 0

0

_2_ 2А

0

С2_ 2А

Л2 к

0 0

0

0

С2_ 2А _2_ 2А

0

Л2 к

кхN2 _3 2А 0 0 0 кхN3

куN2 0 Сз 2А 0 0 куЩ

0 с-3 2А _з 2А 0 0 0

кхN2 0 0 _з 2А 0 кхN3

куN2 0 0 0 Сз 2А куN3

0 0 0 Сз 2А _з 2А 0

_2 2А N3 к 0 N3 к 0 _3 2А

¿2 0 N3 0 N3 С3