Напряженно-деформированное состояние, устойчивость и закритическое поведение упругих конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Лопаницын, Евгений Анатольевич

• Лопаницын, Евгений Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лопаницын, Евгений Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ И ЕЕ РЕШЕНИЕ

МЕТОДАМИ ПРОДОЛЖЕНИЯ.

§ 1.1. Формулировка проблемы и пути ее решения.

§ 1.2. Метод непрерывного продолжения по параметру.И

1.2.1. Дифференциальные уравнения траектории нагружения.И

1.2.2. Сведение системы дифференциальных уравнений траектории нагружения к нормальному виду.

1.2.3. Выбор параметров продолжения решения е и Ь.

1.2.4. Особенности численной реализации.

§ 1.3. Метод дискретного продолжения по параметру.

§ 1.4. Продолжение решения в окрестности точек бифуркации.

1.4.1. Вариационная постановка задачи.

1.4.2. Задача на собственные значения в расширенном пространстве.

1.4.3. Поведение решения уравнений продолжения в окрестности точки бифуркации.

1.4.4. Особенности численной реализации.

§ 1.5. Уточнение решения в окрестности точек бифуркации.

ГЛАВА 2. ИЗГИБ, УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ

УПРУГИХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК.

§ 2.1. Изотропная круговая пластина Фёппля-Кармана.

2.1.1. Перемещения и деформации.

2.1. 2. Напряжения и удельные усилия и моменты.

2.1. 3. Уравнения равновесия и граничные условия.

2.1.4. Разрешающие соотношения в безразмерной форме.

2.1.5. Решение в степенных рядах.

2.1.6. Результаты численного анализа.

§ 2.2. Цилиндрически ортотропная круговая пластина.

2.2.1. Перемещения и деформации.

2.2.2. Напряжения и удельные усилия и моменты.

2.2.3. Уравнения равновесия и граничные условия.

2.2.4. Разрешающие соотношения в безразмерной форме.

2.2.5. Решение в степенных рядах.

2. 2. 6. Численный анализ силовых факторов и перемещений.'.

§ 2.3. Трансверсально изотропная круговая пластина.

2.3.1. Перемещения и деформации.

2.3.2. Напряжения и удельные усилия и моменты.

2.3.3. Уравнения равновесия и граничные условия.

2.3.4. Разрешающие соотношения в безразмерной форме.

2.3.5. Решение в степенных рядах.

2. 3. 6. Результаты расчетов.

§ 2.4. Осесимметричное прощелкивание упругой круговой пластины при комбинированном нагружении.

2. 4.1. Основные соотношения.

2.4.2. Решение в степенных рядах.

2.4.3. Построение траектории нагружения пластины.

§ 2.5. Симметричное и несимметричное поведение пологих синусоидальных арок и панелей под действием симметричной поперечной нагрузки.

2.5.1. Основные соотношения. Точное решение.

2.5.2. Решение методом Бубнова (точное решение в виде ряда Фурье).

2.5.3. Решение методом конечных элементов.

ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА КРУГОВЫХ И

КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН. ОБЗОР РАБОТ.

§ 3.1. Изгиб изотропных пластин.

3.1.1. Круговые пластины.

3.1.2. Кольцевые пластины.

3.1.3. Разрезные и секториальные пластины.

§ 3.2. Изгиб трансверсально изотропных пластин.

§ 3.3. Изгиб разномодульных пластин.

§ 3.4. Ортотропные пластины.

3.4.1. Круговые пластины.

3.4.2. Кольцевые пластины.

3.4.3. Секториальные пластины.

§ 3.5. Гофрированные пластины.

3. 5.1. Круговые пластины.

3. 5.2. Кольцевые пластины.

§ 3.6. Трансверсально ортотропные пластины.

3.6.1. Круговые пластины.

3.6.2. Кольцевые пластины.

§ 3.7. Двухслойные пластины.

§ 3.8. Трехслойные пластины.

§ 3.9. Многослойные пластины.,.

ГЛАВА 4. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ КОРОТКИХ

УПРУГИХ ИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

§ 4.1. Конечные прогибы оболочек.

4.1.1. Идеализация оболочки, гипотезы, перемещения.

4.1.2. Деформации и напряжения.

4.1.3. Уравнения равновесия.

4.1.4. Напряжения, удельные усилия и моменты.

4.1.5. Геометрические характеристики оболочки.

4.1.6. Расчет тонких оболочек.

§ 4.2. Большие прогибы оболочек при малых деформациях.

4.2.1. Перемещения, деформации, напряжения.

4.2.2. Потенциальная энергия деформации, работа внешней нагрузки и уравнения равновесия.

4.2.3. Расчет тонких оболочек постоянной толщины.

§ 4.3. Большие прогибы оболочек при конечных деформациях.

4.3.1. Перемещения, деформации, напряжения.

4.3.2. Потенциальная энергия деформации, работа внешней нагрузки и уравнения равновесия.

4.3.3. Тонкая непологая коническая оболочка под действием изгибающего момента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Напряженно-деформированное состояние, устойчивость и закритическое поведение упругих конструкций»

Проблема определения нелинейного напряженно-деформированного состояния упругих конструкций относится к разряду фундаментальных проблем механики. Она включает в себя определение для заданной нагрузки как устойчивых, так и неустойчивых напряженно-деформированных состояний конструкции, куда входит решение задач ее устойчивости и закритического поведения. Математический аспект этой проблемы тесно связан с отысканием решений систем нелинейных алгебраических уравнений большого порядка. При этом применение традиционных методов для их решения при наличии предельных и бифуркационных точек часто приводит к непреодолимым вычислительным трудностям. Поэтому разработка новых методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений, позволяющих устранить такие трудности, является актуальной.

Не менее актуальна проблема, связанная с получением аналитических решений нелинейных задач теории тонкостенных конструкций, на которых базируется проектирование современной техники. Подобные решения уникальны особенно в том случае, когда позволяют моделировать поведение конструкции с точки зрения различных подходов к ее расчету.

Поэтому цель работы с одной стороны заключается в разработке новых методов численного решения нелинейных задач статики, устойчивости и закритического поведения конструкций, а с другой стороны - в обобщении существующих аналитических решений в области исследований нелинейного поведения пластин и тонкостенных упругих поверхностей Фёппля-Кармана, Маргерра и Рейсснера.

В первой главе работы дается описание проблемы определения напряженно-деформированного состояния упругих тонкостенных конструкций, включающей в себя как непосредственно определение напряженно-деформированного состояния, так и исследование их устойчивости и закритического поведения. Приведены подходы к ее решению и изложены более экономичные с вычислительной точки зрения по сравнению с существующими модификации метода непрерывного дискретного продолжения, реализующие идею равноправия аргументов и позволяющие отыскивать решение во всех точках траектории наг-ружения объекта за исключением точек бифуркации.

Здесь же рассмотрен устойчивый метод построения вектора продолжения в любых точках траектории нагружения и способ уточнения решения при наличии точек бифуркации, которые основаны на решении полной проблемы собственных значений для дополненного якобиана системы уравнений в расширенном пространстве переменных.

Во второй главе представлено решение серии задач по определению осесимметричного напряженно-деформированного состояния изотропных, трансверсально изотропных и цилиндрически ортотропных круговых пластин конечного прогиба, даны решения задачи о про-щелкивании осесимметрично деформирующейся изотропной свободно опертой круговой пластины при комбинированном нагружении и задачи о геометрически нелинейном поведении пологих шарнирно опертых синусоидальных арок и цилиндрических панелей под действием равномерно распределенного поперечного давления. Решение для пластин построено в степенных рядах, а для арок и панелей записано точное решение, решение методом Бубнова и решение с помощью метода конечных элементов. Системы нелинейных алгебраических уравнений, к которым сводились рассматриваемые задачи, решались численно. Построены траектории нагружения пластин, арок и панелей с отображением предельных точек и точек бифуркации.

В третьей главе дан обзор развития (с 1876 года) теории и методов расчета нелинейного напряженно-деформированного состояния тонких, упругих круговых и кольцевых пластин. Рассмотрено 586 работ, посвященных изотропным, трансверсально изотропным, разно-модульным, ортотропным, гофрированным, трансверсально ортотроп-ным, двухслойным, трехслойным и многослойным пластинам. В классификации работ учтены все встречающиеся виды представления нелинейности поведения пластин, свойств их материала, различные кинематические и статические гипотезы, описывающие их деформирование, и различные случаи их нагружения и закрепления.

В четвертой главе дано обобщение кольцевой расчетной схемы на осесимметричные задачи изгиба коротких оболочек вращения канонической формы. Построены аналитические решения для упругих конических, сферических, цилиндрических оболочек и кольцевых пластин конечного прогиба, а также для аналогичных оболочек большого прогиба при малых и конечных деформациях. Показано, что предлагаемый подход в ряде случаев соответствует решению уравнений Маргерра или Рейсснера вариационными методами с одночленной аппроксимацией перемещений оболочки.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Лопаницын, Евгений Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе рассмотрена одна из актуальных проблем механики твердого деформируемого тела - проблема определения напряженно-деформированного состояния, устойчивости и закритического поведения упругих конструкций.

2. Для ее решения разработана серия новых методов. Новая модификация методов непрерывного и дискретного продолжения для решения систем нелинейных алгебраических уравнений во всех регулярных в смысле Пуанкаре точках траектории, включая предельные точки, является более экономичной по сравнению с существующими в смысле использования возможностей вычислительных машин. Она реализует идею равноправия аргументов и заключается в доопределении исходной системы нелинейных алгебраических уравнений, записанной в приращениях, таким образом, чтобы процесс перехода от нее к задаче Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений осуществлялся с помощью системы линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей, если первоначально якобиан системы был симметричен.

Кроме этого, дано новое решение фундаментальной задачи отыскания неявной функции, описывающей экстремаль, которая доставляет минимальное значение функционалу, являющемуся в данном случае полной потенциальной энергией деформации конструкции. Вычислительной основой предлагаемого метода является решение задачи на собственные значения для дополненного ■якобиана системы в расширенном пространстве аргументов. В силу особенностей явления бифуркационной потери устойчивости бифуркационные собственные векторы этой задачи на собственные значения ортогональны к вектору продолжения по основной ветви нагружения. Они образуют активное подпространство решений системы уравнений продолжения. Остальные собственные векторы задачи образуют пассивное подпространство, в котором лежит вектор продолжения по основной ветви нагружения. В результате весь процесс вычисления вектора .продолжения решения в любой точке траектории нагружения сводится к определению собственных векторов расширенного якобиана, идентификации их по принадлежности к активному или пассивному подпространствам и формировании на их основе вектора продолжения. Единый алгоритм, реализующий данное решение в рамках методов непрерывного и дискретного продолжения, позволяет строить траекторию нагружения конструкции, имеющую как предельные точки, так и точки бифуркации и включающую в себя все образующие ее бифуркационные ветви.

3. Эффективность разработанных методов продемонстрирована на примере решения задач о прощёлкивании круговых пластин конечного прогиба при комбинированном нагружении и пологих синусоидальных арок и цилиндрических панелей, находящихся под действием симметричной поперечной нагрузки. Дискретизация рассмотренных континуальных задач для сравнения осуществлялась различными методами, в число которых вошли метод Бубнова-Пап-ковича, метод конечных элементов и точные решения в степенных рядах.

4. Впервые выполнено систематическое исследование геометрически нелинейного напряженно-деформированного состояния изотропных, цилиндрически ортотропных и трансверсально изотропных круговых пластин, сделанное в рамках единого подхода к построению решения краевых задач в виде степенных рядов. На основе фактического материала, который охватывает длительный период, начиная с 1876 года, показано, что теория изгиба пластин конечного прогиба практически близка к своему завершению, весомый вклад в ее развитие принадлежит отечественным ученым и дальнейшее ее развитие должно быть связано со стандартизацией существующих расчетов.

5. На основе кольцевой расчетной схемы, базирующейся на дополняющей гипотезы Кирхгоффа гипотезе Тимошенко о недеформируемости радиального поперечного сечения, построена обобщенная модель нелинейного поведения коротких оболочек вращения. В ее рамках удалось получить новое аналитическое решение основных задач теории тонких упругих изотропных оболочек, куда включены осесимметричные задачи изгиба и прощелкивания пологих и непологих оболочек, случаи их конечных прогибов и прогибов при произвольных углах поворота нормали, задачи деформирования оболочек в предположении о малости и конечности их деформаций. Показано, что такой подход соответствует решению уравнений Маргерра или Рейсснера вариационными методами с одночленной аппроксимацией перемещений оболочки. На основе выполненных расчетов сделаны выводы, что в ряде случаев уравнения пологих оболочек могут применяться для оболочек вращения с углами наклона образующей до 30°, а уравнения конечных прогибов - для оболочек, при деформировании которых угол поворота нормали может достигать 40°. При полном выворачивании оболочки обнаружены вторые верхние и нижние критические нагрузки, которые являются предельными для оболочки и при которых она выворачивается на 3600 в свое начальное положение.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лопаницын, Евгений Анатольевич, 1997 год

1. Вайнберг М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М.: Наука, 1969,- 527 с.

2. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Ко-ши//Прикл. матем. и мех, 1965.- Т. 29, вып. 5,- С. 894-901.

3. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Об одной модификации метода дискретного продолжения по параметру//Журнал ПМТФ.-1990.- №5,- С. 95-99.

4. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. 0 методе непрерывного продолжения по параметру//Доклады РАН. 1994,- Т. 335, №5.- С.582-585.

5. Григолюк Э.И., Мамай В.И. 0 методах сведения нелинейной краевой задачи к задаче Коши//Прикл. пробл. прочности и пластичности.- Горький.: 1979.- С.3-19.

6. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. 0 некоторых формах метода продолжения по параметру в нелинейных задачах теории упруго сти//Журнал ПМТФ.- 1980,- №5.- С. 158-162.

7. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Метод продолжения по параметру в задачах нелинейного деформирования стержней, пластин и оболочек//Успехи механики. 1981.- Т. 4, №2.- С.89-122.

8. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования.- М.: Наука, 1988.- 231 с.

9. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ,- Киев: Вища школа, 1983,- 286 с.

10. Гуляев В.И., Баженов В.А., ГоцулякЕ.А. Устойчивость нелинейных механических систем,- Льв1в: Вища школа, 1982.- 254 с.

11. Давиденко Д.Ф. О приближенном решении систем нелинейных уравнений//Украинский матем. журнал. 1953,- Т. 5, №2.- С.196-206.

12. Еругин И.П. Неявные функции,- Л.: ЛГУ, 1956.- 127 с.

13. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутиц-кий Я. Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторныхуравнений. М.: Наука, 1969. - 455 с.

14. Шалашилин В.И. Оптимизация параметра продолжения решения уравнений нелинейного деформирования упругих систем. //Статика и динамика гибких систем.- М.: Наука, 1987.- С.81-104.

15. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Наилучший параметр продолжения решения//Доклады РАН.- 1994.- Т. 334, №5.- С.566--568.

16. Fox L. Numerical solution of ordinaryand partial differential equations. Oxf.: 1962.

17. Fujikake M. A simple approach to bifurcation and limit point calculation//Int. J. Numer. Math. Eng. 1985.- V. 21, №1.- P. 183-191.

18. Hunt G.W., Wiliams K.A.J. Closed-form and asymptotic solutions for an interactive buckling model//J. Mech. and Phys. Solids.- 1984,- V. 32, Г2,- P. 101-118.

19. Koiter W.T. Elastic stability and post-buckling behavi-our//Proc. Sympos. on Nonlinear Problems. Ed. Langer R.E.- Univ. of Wisconsin, 1963,- P.257-275.

20. Kubor I. Nonlinear deformation and buckling of shells weakened by holes of complex currilinear configurati-ons//Collapse: Buckl. Struct. Theory and Pract. Symp. London, 1982. Cambridge: 1983.- P.395-408.

21. Lange G.N. Numerical methods for high speed computers.- L.: 1960.

22. Riks E. The application of Newton's method to the problem of elastic stability//Trans. ASME.- 1972.- E39, №4,- P. 1060-1065.

23. Samuels P. Bifurcation and limit poit instability of dual egenvalue thrid order systems//Int. J. Solids and Struct.- 1980,- V. 16, №8. P. 743-756.

24. Thompson J.M.T., Hunt G.W. A general theory of elastic stability.- London: 1973,- 322 p.

25. Thompson J.M.T., Hunt G.W. Towards a unified bifurcation theory//J. Appl. Math, and Phys. 1975,- V.26.- P. 581-603.

26. Thurston G.A. Continuation of Newton's method through bifurcation points//Trans. ASME.- 1969.- E36, №3,- P.425--430.1. К главе 2

27. Григолюк Э.И. К расчету устойчивости пологих арок//Инж. сб.- 1951.- Т. 9.- С. 178-201.

28. Григолюк Э.И., Андрианов H.H. Нелинейное статическое поведение пологих стержней//Некот. прикл. задачи теории пластин и оболочек. М.: Изд-во МГУ, 1981.- С.3-83.

29. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные прогибы и прощел-кивание тонких упругих пологих панелей//Прикл. матем. и мех. 1996.- Т. 60, вып. 5,- С. 865-876.

30. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике,- М.: Мир, 1975.- 541 е.

31. Лопаницын Е.А. Несимметричное поведение пологой арки//Из-вестия РАН. МТТ.- 1994.- №2.- С. 116-121.

32. Томпсон Дж.М. Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985.- 254 с.1. К главе 3

33. Абрамова 0.П. Исследование круглых гибких пластинок при их силовом загружении и температурном поле//Теор. и прикл. мех.- Киев-Донецк: 1986.- Вып.17.- С.89-93.

34. Аксельрад Э.Л. Большие осесимметричные прогибы пологой оболочки вращения при нагреве и нагрузке//Расчет простр. констр.- 1961,- Вып. 6.- С. 275-298.

35. Аксельрад Э.Л. Большие прогибы гофрированной мембраны как непологой оболочки//Изв. АН СССР, Механика и машиностр.- 1964.- №1.- С. 46-53.

36. Аксельрад Э.Л., Сонин Э.Б. Большие осесимметричные прогибы пластин//Расчет простр. конструкций.- М.: 1962.- Вып. 7,- С. 193-204.

37. Алексеева М.К. О напряженном состоянии пластин, ослабленных отверстием, при больших упругих перемещениях//Прикл. механика.- 1968.- Т.4, №5,- С. 109-115.

38. Алексеева М.К. Напряженно-деформированное состояние кольцевых пластин при температурном нагреве/УТеплов. напряж. в элем, турбомашин. Респ. межвед. сб. 1975.- Вып.15.-С.135-140.

39. Алексеева М.К. Термонапряженное состояние гибких пластин с отверстием//Прикл. механика. 1975,- Т. И, №5.- С. 69-77.

40. Аленин В.П. Применение метода коллокаций к расчету гибких пластинок//Иссл. по строит, конструкциям и фундаментам.- Томск: 1979,- С. 3-10.

41. Алибаев А., Юлдашев А. О действии равномерно распределенной нагрузки на кольцевую пластинку//Технол. обраб. матер. и конструир. машин. Ташкент: 1983,- С. 97-102.

42. Амбарцумян С.А. Некоторые основные уравнения теории тонкой слоистой оболочки//Доклады АН АрмССР.- 1948,- Т.8, №5.- С. 203-210.

43. Амбарцумян С. А. К общей теории анизотропных оболочек// Прикл. матем. и мех.- 1958,- Т. 22, №2.- С. 226-237.

44. Амбарцумян С.А. К теории изгиба анизотропных пластинок// Изв. АН СССР. ОТН,- 1958.- №5,- С. 69-77.

45. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания, М.: Наука, 1967.- 266 с.

46. Андреев А.Н., Немировский Ю. В. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек//Изв. АН СССР. МТТ,- 1977.- №5.- С. 87-96.

47. Андреев Л.В., Дьяченко В.Е. Исследование больших прогибов и закритического поведения круглых пластин методом динамического программирования//Прикл. механика.- 1975.-Т.И, №8.- С. 64-73.

48. Андреева Л.Е. Расчет мембран пильчатого профиля//Расчеты упругих эл-тов машин и приборов.- 1952,- Вып. 16. С. 55-75. •

49. Андреева Л.Е. Расчет мембран с пологой трапецойдальной гофрировкой//Расчеты на прочн., жест, и ползучесть эл-тов машиностр. констр.- 1953,- Вып. 26.- С. 125-141.

50. Андреева Л. Е. Расчет гофрированных мембран//Расчеты на прочн. в машиностр.- 1955,- Вып.46.- С.100-123.

51. Андреева Л.Е. Расчет гофрированных мембран, как анизотропных пластинок//Инж. сб.- 1955.- Вып.21.- С.128-141.

52. Андреева Л.Е. Расчет характеристик гофрированных мемб-ран//Приборостроение. 1956.- №3.- С. 11-17.

53. Андреева Л.Е. Определение характеристик и эффективной площади гофрированной мембраны с жестким центром//Научн. докл. высш. школы, сер. Машиностр. и приборостр.- 1958.-- №1.- С. 218-227."

54. Андреева Л.Е, Упругие элементы приборов. М.: Машгиз, 1962. - 455 с.

55. Андреева Л.Е. Численное решение задачи о больших прогибах . гофрированной мембраны//Изв. АН СССР, МТТ.- 1967.- Т.1,3,- С. 83-89.

56. Андреева Л. Е. Методика проектирования гофрированных мемб-ран//Приборы и сист. управл. 1969.- №9,- С. 22-27.

57. Андреева Л.Е., Богданова Ю.А. Методы проектирования мембранных упругих элементов//ЦНИИТЭИ.- М.: 1972.- 38 с.

58. Андреева Л.Е., Богданова Ю.А., Ольшевец Г. Л. Исследование эффективной площади мембран, работающих в условиях силовой компенсации//Приборы и сист. управл.- 1970.- №10.-С-££ £5.

59. Андрианов И. В. Построение упрощенных уравнений нелинейной динамики пластин и пологих оболочек на основе метода ос-ре днения//Прикл. матем. и мех.- 1986.- Т.50, № 1. С.171--175.

60. Артюхин Ю.П. Прочность и устойчивость односвязной круглой пластинки в температурном поле//Итог. научн. конф. Казан, гос. ун-та за 1963 г. Секц. матем., кибернет. и теория вер-ти, механики. Казань: 1964.- Вып.6.- С. 129-130.

61. Артюхин Ю.П. Деформация и выпучивание круглой пластинки, подверженной нагреву и давлению//Иссл. по теории пластин и оболочек. Казань: 1966.- Вып. 4.- С. 466-479.

62. Ахалая Т.Г. К численному решению задачи об изгибе круглых пластин переменной толщины//Прикл. механика.- 1979.-Т.15, №8,- С. 110-112.

63. Ахалая Т.Г. О численном решению задач несимметричного изгиба гибких круглых пластин переменной жесткости//Вторая Укр. респ. конф. молод, ученых по мех. Киев: 1979.- С.15-17.

64. Ахалая Т.Г. К расчету гибких круглых пластин переменной толщины//Матер. Всес. конф. молод, специалистов.- Телави: 1979.- С. 125-126.

65. Ахалая Т.Г. О численном решении нелинейных краевых задач статики гибких круглых пластин переменной толщины//Труды ВЦ АН ГССР, йн-т Вычисл. матем.- 1983.- Т. 23, №1,- С.З-- 8.

66. Ахметшин М.Г. Умеренный изгиб круглой изотропной пласти-НЫ//Рук. деп. в ВИНИТИ 4 июля 1978 г., №2263-78ДЕП.

67. Ахметшин М. Г. Об умеренном изгибе круглой изотропной пластины//Казан. хим.-технол. ин-т.- Казань: 1982.- 12 с. Рук. деп. в ВИНИТИ 25 ноября 1982 г., №5827-82ДЕП.

68. Безухов Н.И., БажановВ.Л., Гольденблат И.И., Николаенко H.A., Синюков А.М. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур.- М.: Машиностроение, 1965.- 566 с.

69. Березовский A.A. Про велик1 прогини в!льно оперто!' кругло! пластинки//Допов1д1 АН УССР.- 1963,- №10.- С. 1295-1299.

70. Березовский А.А. Нелинейные интегральные и-интегродиффе-. ренциальные уравнения пологих оболочек и их приложениях/Теория оболочек и пластин.- Ереван: 1964.- С.226--233.

71. Блумберг Н.Н., Тамуж В.П. Краевые эффекты и концентрация напряжений в многослойных композитных пластинах//Мех. композ. материалов. 1980,- №3. - С. 424-435.

72. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М: Машиностроение, 1980.- 376 с.

73. Бубнов И.Г. Напряжения в. обшивке судов от давления во-ды//Морской сб. 1902. - том 311, №8.- С. 117-141; - том312, №9.- С. 111-139; том 312, №10.- С. 119-138; - том313, №12,- С. 107-130.

74. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля,- С.-Петербург: Типограф. Морск. мин-ва, 1914,- часть. 2, §§15-25, С.331-640.

75. Бубнов И. Г. Труды по теории пластин. Напряжения в обшивке судов от давления воды. М. : ГИТТЛ, 1953,- 424 с.

76. Буриев Г., Юлдашев А. Статический расчет гибких круглых пластин методом сеток на ЭВМ//Докл. АН УзССР.- 1973.- №4.- С. 6-8.

77. Бурмистров Е.Ф. Симметричный изгиб ортотропных оболочек вращения с учетом больших прогибов//Инж. сб. 1956.-Т.24.- С.139-150.

78. Бурмистров Е.Ф. Симметричный изгиб неоднородных и однородных ортотропных оболочек ' вращения с учетом больших прогибов и неравномерного температурного поля//Инж. сб.- 1960.- Т.27.- С.185-199.

79. Бурмистров Е.Ф. Симметричная деформация конструктивно-ор-тотропных оболочек вращения.- Саратов: Издательство СГУ, 1962.- 108с.

80. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ.-М.: Машиностроение, 1976,- 278 с.

81. Валишвили Н.В., Силкин В.Б. Расчет круглых пластин при больших перемещениях//Расчеты на прочность. 1.975.- Вып. 16.- С. 145-156. .

82. Василенко А.Т., Голуб Г.П., Григоренко Я.М. Определение напряженного состояния многослойных ортотропных оболочек переменной жесткости в уточненной постановке//Прикл. мех. 1976,- Т. 12, №2.- С. 40-47.

83. Винокуров С.Г. Температурные напряжения в пластинках и оболочках//Изв. Казан, фил. АН.СССР, сер. физ.- мат. и техн. наук.- 1953.- Вып. 3.- С. 18-38.

84. Винокуров С.Г. Применение метода Галеркина к решению задачи о больших прогибах круглой шарнирно опертой пластин-ки//Изв. Казан, фил. АН СССР, сер. физ.-мат. и техн. на' ук,- 1956.- Вып. 10,- С. 57-61.

85. Власов Б.Ф. Об одном случае изгиба прямоугольной толстойплиты//Вестн. МГУ. Сер. мат., мех., астроном., физ,, хим.- 1957.- №2. С. 25-34.

86. Власов Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок//Изв. АН СССР. ОТН 1957.- №12,- С. 57-60.

87. Вознесенский A.A. Расчет гибких круглых и кольцевых пластин на основе комплексного метода//Иссл. простр. конструкций. Свердловск: 1983.- Вып.4.- С.34-41.

88. Вольмир A.C. Изгиб круглых пластинок, М.: Изд. ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1949.- 144 с.

89. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки.- М.: Гостехтео-ретиздат, 1956'. 419 с.

90. Вольмир A.C. Обзор исследований по теории гибких пластин и оболочек за период с 1941 по 1957 г. г. //Расчет простр. констр. М. : 1958. - Вып. 4.- С. 451-475.

91. Галимов Н.К., Паймушин В.Н., Снигирев В. Ф. Большие прогибы и устойчивость -защемленной трехслойной круглой пластины при действии поперечной нагрузки//Тр. X Всес. конф. по теории оболочек и пластин.- Кутаиси: 1975.- Т.1.- С.568--576.

92. Галиньш А.К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям// Иссл. по теор. пл-н и об-к. Казань: 1967. - №5.- С.66-92.

93. Танеева М.С. Осесимметричный изгиб круглых пластин и пологих сферических куполов с учетом физической и геометрической нелинейности//Иссл. по теор. пластин и оболочек.-Казань: 1972.-'Вып. 9. С. 256-270.

94. Танеева М.С. Основные нелинейные соотношения уточненной теории многослойных ортотропных нетонких оболочек/Статика и динамика оболочек.- Казань: КФТИ АН СССР, 1977.-- Вып. 8.- С. 19-31.

95. Танеева М.С., Корнишин М.С., Муштари Х.М. Конечные прогибы трансверсально-изотропных пластин и пологих' оболо-чек//Мех. сплошн. среды' и родств. пробл. анал.- М.: 1972.- С. 145-154.

96. Ганиев Н.С. Применение метода наименьших квадратов к нелинейной задаче изгиба круглой пластины постоянной и переменной толщины//Иссл. по теор. пластин и оболочек.- Казань: 1970, Вып. 6-7.- С. 207-212.

97. Гольденблат И.И., Николаенко Н.А. Расчеты температурных напряжений в ядерных реакторах. М.: Госатомиздат, 1962.- 159 с.3. 68. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким за-полнителем//Изв. АН СССР. ОТН. 1957.- №1,- .С. 77-84.

98. Григолюк Э.И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем//Изв. АН СССР. ОТН. 1958. - №1,-С.26-34.

99. Григолюк Э.И. Конечные прогибы упругих тонких пластин.-М.: НИИ Механики МГУ, 1995.- 60 с.

100. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек//Прикл. мех.- 1972.-Т. 8, №6.- С.З--17.

101. Григолюк Э.И.,, Куликов Г.М. Об упрощенном методе решения нелинейных задач теории упругих пластин и оболочек//Не-кот. прикл. задачи теории пластин и оболочек,- М.: 1981.- С.94-121.

102. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин.- М.: Машиностр., 1988.- С.94-121.

103. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Об одной модификации метода дискретного продолжения по параметру//Журнал ПМТФ.- 1990.- №5.-. С. 95-99.

104. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек//Итоги науки и техники. Мех. тв. деформ. тел. М: Наука, 1973,- Т. 5,- 272 с.

105. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Теория вязкоупругих многослойных оболочек с жесткими заполнителями при конечных проги-бах//Журнал ПМТФ, 1964.- №5,- С. 109-117.

106. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения тонких упругих слоистых анизотропных пологих оболочек с жестким заполнителем//Изв. АН СССР. Механика.- 1965.- №5,- С. 68

107. Григолюк Э.И.; Чулков П. П. Нелинейные уравнения пологих многослойных оболочек регулярного строения//Инж. журнал. МТТ,- 1967.- №1.- С. 163-169.

108. Григоренко Я.М., Крюков H.H. О численном, решении нелинейных краевых задач теории гибких круглых пластин//Вычисл. и прикл. матем,- Киев: 1980,- №11.- С. 46-52.

109. Григоренко Я.М., Крюков H.H. 0. неосесимметричной деформации гибких круговых слоистых о.ртотропных пластин с переменными жесткостными параметрами/УПрикл. . мех. 1982.Т. 18, №3.- С. 49-54.

110. Григоренко Я.М., Крюков H.H., Ахалая. Т.Г. О нелинейной деформации круглых- пластин переменной толщины//Докл. АН УССР.- 1979,- Сер. А, №8.- С. 622-626.

111. Григоренко Я.М., Крюков H.H., Ахалая Т.Г. Неосесимметрич-ная деформация гибких круглых пластин переменной жесткос-Ти//Прикл. мех,- 1979.- Т. 15, №10,- С. 75-80

112. Григоренко Я. М'., Крюков H.H., Ахалая Т. Г. Термонапряженное состояние гибких круговых пластин переменной жесткос-Ти//Прикл. мех.- 1981.- Т. 17, №7,- С.84-88.

113. Григоренко Я.М., Овлякулиев 0. К численному решению краевых задач о деформации гибких круглых пластин переменной жесткости//Прикл. мех. 1978. - Т. 14, №4.- С. 63-70.

114. Демьянушко И.В., Венедиктов В.И. Решение для пологих оболочек вращения с учетом больших прогибов методом интегральных уравнений//Изв. ВУЗов. Машиностроение.1972.-№7.- С. 5-10.

115. Долгополов В.Н. Изгиб ортотропной круглой пластинки переменной толщины с учетом больших прогибов//Некот, задачи теор. упр. о концентр, напр. и деформ. упр. тел.- Саратов: 1970.- Вып. 5.- С. 111-123.

116. Долгополов В.Н. Большие прогибы кольцевой ортотропной пластины переменной толщины//Некот. задачи теор. упр. о концентр, напр. и деформ. упр. тел.- Саратов: 1971.- Вып. 6,- С. 89-97.

117. Долгополов В.Н., РодичевЮ.А. Численное решение задачи о больших прогибах круглых ортотропных пластин//Мат. физ.-Куйбышев: 1979,- С. 87-95.

118. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки/ХИтоги науки и техники. Мех. деформ. тв. тела. М. : ВИНИТИ, 1983.- Вып.15.- С.З--68.

119. Жилин П.А. Осесимметричный изгиб круглой гибкой пластинки при больших перемещениях//Тр. Ленингр. политехи, ин-та.- Л.: 1982.- №388,- С. 97-106.

120. Жилин П.А. Осесимметричный изгиб круглой гибкой пластинки при больших перемещениях//Изв. АН COOP, Механика тв. тела.- 1984.- №3.- С. 138-144.

121. Зайнашев А.М. Основные зависимости и уравнения уточненной нелинейной теории круглых пластинок//Исслед. по теории пластин и оболочек.-Казань: 1985.- Вып.19.- С.86-93.

122. Ильминский В.Я. Исследование упругих характеристик мембран с синусоидальным и угловым гофром//Изв. АН СССР, ОТН.- 1955.- №4.- С. 3-21.

123. Йокои Рендзо. Нелинейные максимальные перемещения гофрированной металлической анероидной коробки//Сеймицу кикай, J. Jap. Soc. Precis. Eng.- 1971.- V.37, №3. P. 196-203.

124. Кантор Б.Я. Нелинейные задачи теории неоднородных пологих оболочек.- Киев: Наукова Думка, 1971.- 136 с.

125. Геккер Ф.Р. Расчет упругих систем с тарельчатыми пружина-ми//Вестник машиностроения.- 1971.- №9.- С. 16-17.

126. Григолюк Э. И. Вопросы истории механики деформируемых твердых тел. Пружины Бельвилля//Некот. прикл. задачи теории пластин и оболочек.- М.:Изд-во МГУ, 1981,- С.223-225.

127. Григолюк Э.И., Лопаницын Е. А. Приближенный расчет диаф-рагменной пружины автомобильного сцепления//Изв. ВУЗов. Машиностроение.- 1989.- №4.- С. 11-15.

128. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные осесимметричные прогибы тонких коротких оболочек вращения//Проблемы машиностроения и надежности машин. 1996,- №4.- С. 39-46.

129. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Расчет конечных осесиммет-ричных прогибов тонких коротких оболочек вращения//Проб-лемы ( машиностроения и надежности машин.- 1996.- №5,- С.36-45.

130. Малинин H.H. Расчет дисковых пружин//Расчеты на прочностьв машиностроении. M.: 1950,- №11.- С.46-67.4.'9. Новожилов В. В." Основы нелинейной теории упругости. М. -- Л.: Гостехтеореиздат, 1948.- 211 с.

131. Феодосьев В. И. Расчет пружин Бельвилля//Новые методы расчета пружин. М. : 1946,- С. 83-102. .

132. Almen J.0., Laszlo A. The uniform-section disk spring// Trans. ASME.- 1936.- V. 58, №4. P. 305-315.

133. Rateau A. Formule pratique pour le calcul des rondelles Belleville//Comptes Rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des. Sciences.- 1887.- V. 104, №24.- P. 1690.