Исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости трехслойных цилиндрических и сферических оболочек при термосиловых воздействиях на основе уточненных моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Бушков, Алексей Александрович

• Бушков, Алексей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бушков, Алексей Александрович

Анализ современного состояния теории трехслойных пластин и оболочек.

0.1. Краткая характеристика современного состояния теории трехслойных пластин и оболочек.

0.2. Характеристика современного состояния теории устойчивости трехслойных пластин и оболочек.

0.2.1. Уточненная постановка задач устойчивости.

0.2.2. Сдвиговые формы потери устойчивости трехслойных элементов конструкций.

0.3. Основные цели и задачи исследований диссертационной работы.

Глава 1. Напряженно деформированное состояние и изгибные формы потери устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки в осесимметричном температурном поле, неоднородном по толщине

1.1. Постановка задачи и разрешающая система одномерных уравнений.

1.2. Решение задачи для оболочки с неподвижными в осевом направлении торцами верхнего слоя.

1.3. Анализ решений и результаты расчетов.

1.4. Упрошенная постановка задачи о докритическом напряженно-деформированном состоянии (НДС).

1.5. Уравнения устойчивости и их приближенное решение.

1.6. Анализ результатов исследования изгибной ФПУ.:.

Глава 2. Сдвиговые формы потери устойчивости трехслойных цилиндрических оболочек при внешнем давлении, растяжении-сжатии несущих слоев не равными силами и неоднородном по толщине температурном воздействии

2.1. Уточненные уравнения для исследования сдвиговых ФПУ трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем.

2.1.1. Постановка задачи и используемые предположения.

2.1.2. Уточненные модели деформирования трансверсально-мягкого заполнителя в возмущенном состоянии.

2.2. Уравнения нейтрального равновесия внешних слоев при их докритическом среднем изгибе.

2.3. Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия трехслойных цилиндрических оболочек с трансверсально-мягким заполнителем, описывающие их сдвиговые ФПУ.

2.4. Чистое кручение.

2.5. Осевое сжатие внешних слоев неравными усилиями.

2.6. Действие на оболочку равномерного внешнего давления.

2.7. Действие на оболочку температурного поля, неоднородного по толщине.

2.7.1. Сдвиговая ФПУ в осевом направлении.

2.7.2. Сдвиговая ФПУ в окружном направлении.

Глава 3. Сдвиговая и изгибная формы потери устойчивости трехслойной сферической оболочки в центросимметричном температурном поле, неоднородном по толщине

Введение.

3.1.Постановка задачи и разрешающая система геометрически нелинейных уравнений.

3.2. Докритическое напряженно-деформированное состояние.

3.3. Линеаризованные уравнения устойчивости.

3.3.1. Линеаризованные уравнения равновесия для заполнителя и их редукция к двумерным уравнениям.

3.3.2 Линеаризованные уравнения устойчивости для несущих слоев.

3.4. Формы потери устойчивости и критические нагрузки изотропной трехслойной сферической оболочки.

3.4.1. Исследование сдвиговой ФПУ.

3.4.2. Исследование смешанной изгибной ФПУ.

3.5. Числовые результаты и их анализ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости трехслойных цилиндрических и сферических оболочек при термосиловых воздействиях на основе уточненных моделей»

3.1.Постановка задачи и разрешающая система геометрически нелинейных уравнений.84

3.2. Докритическое напряженно-деформированное состояние.883.3. Линеаризованные уравнения устойчивости.913.3.1. Линеаризованные уравнения равновесия для заполнителя и ихредукция к двумерным уравнениям.913.3.2 Линеаризованные уравнения устойчивости для несущих слоев.943.4. Формы потери устойчивости и критические нагрузки изотропнойтрехслойной сферической оболочки.963.4.1. Исследование сдвиговой ФПУ.993.4.2. Исследование смешанной изгибной ФПУ.1023.5. Числовые результаты и их анализ.104Основные результаты и выводы.109Литература.112Анализ современного состояния теории трехслойных пластин иоболочек.

0.1. Краткая характеристика современного состояния теории трехслойных пластин и оболочек.

Создание изделий авиационной и космической техники, судостроения, строительства в настоящее время неразрывно связано с применением новых конструкционных материалов и элементов конструкций из них, обладающих высокими прочностными и жесткостными характеристиками. Таким требованиям отвечают слоистые элементы конструкций, в частности, трехслойные. Эти конструкции состоят из материалов с различными физико-механическими свойствами - несущие слои обычно изготавливаются из материалов с высокими механическими характеристиками и предназначены для восприятия основной нагрузки; связующий слой, служащий для образования монолитной конструкции, обеспечивает перераспределение усилий между несущими слоями, выполняет функции защиты от тепловых, химических, радиационных и других нежелательных воздействий. Применение в качестве заполнителя материалов с низкими массовыми характеристиками позволяет при сравнительно небольшом увеличении веса конструкции существенно повысить изгибную жесткость. Тем самым трехслойные конструкции нашли широкое применение в качестве несущих и управляющих поверхностей летательных аппаратов, обтекателей, теплозащитных и силовых экранов, разного рода панелей и других конструктивных элементов.

Теоретические и экспериментальные исследования по трехслойным конструкциям позволили выявить их основные преимущества по отношению к другим типам конструкций. Эти преимущества обусловлены тем, что несущие слои, подкрепленные заполнителем, могут воспринимать высокие напряжения сжатия. В результате эти конструкции оказываются оптимальными при работе на изгиб и возможно значительное повышение ихкритических нагрузок при минимальной массе. Их внедрение в различных отраслях техники повлекло за собой интенсивные исследования в области теории и методов их расчета. В результате за последние пятьдесят лет в механике деформируемого твердого тела сложилось отдельное направление, связанное с разработкой теории трехслойных пластин и оболочек. Большую роль в ее становлении сыграли основополагающие работы А.Я. Александрова, В.В. Болотина, Э.И. Григолюка, JI.M. Куршина, Х.М. Муштари,, А.П. Прусакова, П.П. Чулкова, и ряда других отечественных и зарубежных авторов.

К настоящему времени разработке методов расчета трехслойных оболочечных элементов конструкций, связанных с формулировкой тех или иных гипотез, построением математических моделей и разрешающих уравнений, их качественным анализом, а также созданием на их основе методов решения конкретных задач или задач отдельных классов, посвящен большой цикл исследований (работы А.Я. Александрова, И.А. Алфутова, С.А. Амбарцумяна, В.В. Болотина, Л.Э. Брюккера, Н.К. Галимова, А.И. Голованова, Я.М. Григоренко, Э.И. Григолюка, А.Н. Гузя, В.Н. Кобелева, В.И. Королева, JIM. Куршина, Х.М. Муштари, Ю.Н. Новичкова, Ю.В. Немировского, Б.Л. Пелеха, В.Н. Паймушина, В.В. Пикуля, А.П. Прусакова, A.B. Саченкова, С.Н. Сухинина, П.П. Чулкова, G.M. Folie, R.E. Fulton, G. Gegard, J.M. Hunter - Tod, A.K. Noor, W.S. Burton, Ch.W. Bert, J. Padowan, J. Lestingi, E. Reissner и многих других авторов). Обстоятельные обзоры по этим исследованиям содержатся в работах [4, 6, 10, 24, 39, 40, 59, 119, 120, 124,130,139,140,143,145].

В отличие от теории оболочек, выполненных из традиционных однородных материалов, созданная к настоящему времени теория трехслойных элементов конструкций характеризуется достаточно большим разнообразием построенных вариантов математических моделей и разрешающих уравнений. Это и неудивительно, и каждый из такихвариантов разработанных теорий имеет свою область применимости, поскольку они базируются на таких гипотезах и предположениях, которые с той или иной степенью точности отражают многообразие структуры пакета слоев трехслойных конструкций, особенности их геометрии и условий работы.

В обзорах Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [40], A.A. Дудченко, С.А. Лурье, И.Ф. Образцова [48], A.K. Noor, W.S. Burton, Ch.W. Bert [143] указаны основные пути построения таких теорий. Наиболее ранний и простейший из них заключается в сведении трехмерных задач теории упругости к двумерным на основе гипотез Кирхгофа - Лява для всего пакета слоев оболочки в целом. Он получил широкое распространение на практике и вполне корректен для тонких оболочек, у которых жесткостные параметры материалов слоев отличаются незначительно. Однако применение этой теории к расчету оболочек, обладающих низкой сдвиговой жесткостью слоев, может привести к значительным погрешностям. Поэтому за последние пятьдесят лет интенсивно развивались уточненные теории, учитывающие в слоях оболочки поперечные составляющие тензора деформаций.

Как указано в [40], существует два основных направления построения таких уточненных теорий. В соответствии с первым из них разрешающие уравнения строятся на основе гипотез, привлекаемых ко всему пакету слоев в целом и отличных от гипотез Кирхгофа - Лява. Порядок уравнений в этом случае не зависит от числа слоев. К данному направлению, в частности, следует отнести соотношения теории, основанные на привлечении к пакету слоев сдвиговой модели С.П. Тимошенко [23].

К другому направлению относятся работы, в которых применяются кинематические и статические гипотезы для каждого отдельного слоя. При этом порядок разрешающих уравнений зависит от числа слоев, что делает задачу более сложной.

В подавляющем большинстве публикаций, посвященных в рамках второго направления разработке теории трехслойных пластин и оболочек, приводятся соотношения, которые базируются на гипотезах Кирхгофа -Лява для несущих слоев и гипотезах, учитывающих влияние деформаций поперечных сдвигов в заполнителе. Учет влияния деформаций поперечного сдвига обычно производится или на основе задания распределения тангенциальных и нормальных перемещений по толщине заполнителя (например, [28]), или на основе задания изменения касательных напряжений в заполнителе по его высоте (например, [66]).

В становлении указанного второго направления исследований особую роль сыграли работы Э.И. Григолюка. В [37, 38] им была сформулирована кинематическая модель "ломаной" линии, согласно которой к внешним слоям привлекаются гипотезы Кирхгофа - Лява, а к заполнителю- - гипотеза о постоянстве по его толщине поперечных сдвигов.

Последующие многочисленные исследования показали, что теория трехслойных оболочек, использующая гипотезу ломаной линии Э.И. Григолюка, имеет достаточно широкую область применения.

Более сложные законы изменения тангенциальных и нормальных перемещений по толщине трехслойного пакета по сравнению с моделью ломаной линии при разработке уточненных вариантов теории трехслойных пластин и оболочек были предложены в работах Н.К. Галимова [28], Х.М. Муштари [65], А.П. Прусакова [122,123] и других авторов.

Приемлемость и пределы применимости всех используемых гипотез и допущений к настоящему времени достаточно полно изучены [143] путем сопоставления и анализа уравнений и численных результатов, получаемых при решении различного класса задач по приближенным и более точным теориям, а также путем их сравнения с данными экспериментальных исследований.

Следует отметить, что даже в наиболее простой постановке в рамках модели "ломаной" линии без учета поперечного обжатия заполнителя задачи механики трехслойных пластин и оболочек конечного прогиба сводятся к решению системы пяти дифференциальных уравнений в перемещениях или к системе четырех уравнений при введении функций усилий (для пластин и пологих оболочек). Поэтому в 60 - 80-е годы большой цикл исследований в теории трехслойных пластин и оболочек был связан с упрощением основных уравнений путем приведения их к меньшему числу и понижением порядка системы. Одним из наиболее эффективных приемов для таких упрощений явилось представление векторных полей, входящих в разрешающие уравнения, в виде суммы потенциальной и вихревой частей. Такое представление широко использовалось во многих работах Э.И. Григолюка и П.П. Чулкова [42, 43] и их учеников, Н.К. Галимова [26, 27] и некоторых других авторов. Преимуществом преобразованных таким образом уравнений является то, что в случае изотропных пластин и оболочек выделяется однородное независимое уравнение относительно вихревой функции, связанное с другими уравнениями системы в общем случае через граничные условия. При решении конкретных задач возможность пренебрежения этим уравнением целиком определяется тем, как сформулированы граничные условия, связанные со взаимным смещением слоев в касательном к контуру направлении. В ряде работ по исследованию возможности использования усеченной системы уравнений изотропных трехслойных пластин и оболочек установлено, что краевой эффект, описываемый уравнением относительно вихревой функции, является второстепенным для большинства задач по определению интегральных характеристик, таких как критическая нагрузка и первая частота свободных колебаний.

Отдельный цикл исследований, включающий и современные исследования в области механики трехслойных конструкций, состоит врасширении круга решенных задач на основе уже опробированных расчетных схем. Благодаря развитию вычислительной техники появилась возможность отказаться от ряда вводимых упрощений и решать более сложные задачи численными методами. Основные направления разработок включают исследования НДС и устойчивости трехслойных оболочек с неканоническим очертанием контура и (или) формой срединной поверхности заполнителя, элементов с переменными геометрическими и жесткостными характеристиками слоев пакета, составных трехслойных конструкций, изучение механизма потери устойчивости моментного невозмущенного равновесного состояния, осесимметричного и неосесимметричного НДС трехслойных оболочек вращения, вопросы определения критических нагрузок и форм потери устойчивости трехслойных конструкций со слоями из композитных материалов, обладающих значительной анизотропией свойств и некоторые другие направления, широкого класса динамических задач.

0.2. Характеристика современного состояния теории устойчивости трехслойных пластин и оболочек.

Отдельную группу исследований в области механики трехслойных элементов конструкций составляют задачи устойчивости, которым до настоящего времени было посвящено большое количество работ как отечественных, так и зарубежных авторов. Необходимые сведения об этих исследованиях можно найти в работах А.Я. Александрова [4], Л.М. Куршина [60], Э.И. Григолюка и П.П. Чулкова [42,43], В.Н. Кобелева [58], их монографиях и книгах справочного характера [21,115], а также обзорах (например, [127]).

Ключевыми в теории устойчивости трехслойных конструкций являются вопросы, связанные с выявлением и классификацией всех возможных форм потери устойчивости (ФПУ) и построением для ихописания соответствующих математических моделей и разрешающих уравнений.

До последнего времени была общепринятой такая классификация задач устойчивости трехслойных конструкций, в рамках которой различали общую синфазную (кососимметричную), антифазную (симметричную) и местную формы потери устойчивости.

Первая из них характерна для относительно тонких трехслойных пластин и оболочек и связана с кососимметричным выпучиванием внешних слоев. Для выявления такой формы потери устойчивости в соответствующих уравнениях допустимо пренебрежение поперечным обжатием заполнителя [42,43].

Вторая форма потери устойчивости характерна для относительно толстых трехслойных плит и связана с волнообразованием внешних слоев, симметричным относительно срединной поверхности заполнителя, которая может быть выявлена только на основе использования уравнений, построенных с учетом поперечного обжатия заполнителя [20].

Описываемая в литературе местная форма потери устойчивости является чисто специфической и характерна для трехслойных элементов с заполнителем типа сот и с весьма тонкими внешними слоями. Она связана с их потерей устойчивости в пределах одной ячейки заполнителя [114,115] или гофра [5].

В рамках указанных ограничений на ФПУ многими исследователями проводился анализ возможности неучета деформации поперечного обжатия заполнителя, поперечных сдвигов во внешних слоях, моментности докритического состояния и ряда других факторов при постановке задач устойчивости. Однако, во всех этих работах преобладала классическаяпостановка задач устойчивости, в рамках которой в уравнениях вводились исследуемые уточнения или упрощения при описании лишь возмущенного состояния, а невозмущенное равновесное состояния конструкции полагалось недеформированным и безмоментным.

Поскольку одно из главных преимуществ трехслойных конструкций заключается в их оптимальности при работе на изгиб, то они используются там, где невозможно избежать моментности докритического напряжено-деформированного состояния.

Моментные зоны у оболочек, как правило, локализованы и возникают вблизи опорных закреплений, в местах приложения сосредоточенных нагрузок и ступенчатого изменения толщины и жесткости слоев, в областях быстрого изменения геометрических параметров и т.п. В подобных случаях существенно моментного состояния пакета слоев в целом в зонах, где невозмущенное состояние одного внешнего слоя значительно отличается от другого, возможна реализация смешанных ФПУ, которые в общем случае характеризуются различными формами потери устойчивости слоев и наибольшими амплитудами выпучиваний в местах преимущественно моментного докритического состояния. Однако, использование предположения о безмоментности докритического НДС пакета слоев в целом привело исследователей к формулировке ряда некорректных выводов, касающихся классификации форм потери устойчивости и построения для них соответствующих линеаризованных уравнений. Данное утверждение следует из анализа результатов исследований [30,86,87] посвященных постановке и решению задач устойчивости трехслойных пластин при поперечном и продольно-поперечном изгибах, а в статье [83] была дана уточненная классификация ФПУ трехслойных конструкций. В нее, кроме хорошо изученных в литературе синфазных и антифазных форм, была включена также и смешанная ФПУ внешних слоев. Для описания этойФПУ в этой же статье построены уравнения, базирующиеся на использовании гипотез Кирхгофа - Лява для внешних слоев и модели трансверсально - мягкого слоя для заполнителя. В нем закон изменения тангенциальных и нормальных перемещений, как и во многих работах, посвященных разработке теории трехслойных и многослойных пластин и оболочек [15], принят линейным, что предполагает постоянство поперечных касательных напряжений и напряжения поперечного обжатия по толщине. Главное отличие этих уравнений от известных состоит в учете моментности докритического напряженно-деформированного состояния пакета слоев в целом, выражающийся различием в несущих слоях докритических тангенциальных усилий. Учет этого фактора и служит основой для выявления смешанных ФПУ в трехслойных конструкциях.

В статье [80] на базе выведенных в [83] уравнений решена задача об устойчивости бесконечно - широкой пластины симметричного строения, подверженной осевому сжатию через один несущий слой. Результаты этого решения показали, что критические нагрузки, соответствующие смешанной ФПУ, значительно ниже критических нагрузок синфазной и антифазной форм выпучивания, а для их определения необходимо использовать уравнения устойчивости, в которых наряду с поперечными сдвигами учитывается поперечное обжатие заполнителя при обязательном учете моментной работы внешних слоев и моментного характера докритического НДС.

Исследованию смешанных ФПУ бесконечно - широких трехслойных пластин в условиях продольно - поперечного изгиба, прямоугольных пластин при одностороннем и двустороннем сжатии одного несущего слоя, цилиндрических оболочек при осевом сжатии через один несущий слой, изучению влияния "деформационных" параметрических слагаемых на критические нагрузки посвящены работы [81,82 и др.]. Обобщение всехотмеченных выше результатов, полученных В.Н. Паймушиным и С.Н. Бобровым, на трехслойные оболочки вращения со слоями переменной толщины, находящихся в осесимметричном докритическом НДС, отражено в работе [70].

0.2.1. Уточненная постановка задач устойчивости.

Построенные в работах [15,83] уравнения, основанные на привлечении модели Кирхгофа - Лява к несущим слоям и модели трансверсально - мягкого слоя к заполнителю в первом приближении, в рамках которой компоненты вектора перемещений этого слоя по его толщине приняты линейно изменяющимися, следует считать предельно упрощенными для исследования смешанных ФПУ. К данному выводу приводит в частности, анализ результатов решения задач, полученных численными методами для оболочек вращения и освещенных в статьях [70,88]. В них установлено, что в зонах моментного напряженного состояния в трехслойных оболочках реализуется чисто локальная смешанная ФПУ с масштабами изменения параметров возмущенного НДС порядка толщины трехслойного пакета. При таком характере волнообразования несущих слоев следует ожидать значительную погрешность выведенных в работах [15,83] уравнений устойчивости. Эта погрешность должна быть тем больше, чем меньше отношение толщин несущих слоев к толщине заполнителя. Исследованиям в этом направлении были посвящены работы В.Н. Паймушина, В.А. Иванова, С.Н. Боброва, Т.В. Поляковой, результаты которых отражены в статьях [72,84,78,79 и др.]. В них предметом рассмотрения являются трехслойные пластины и оболочки, у которых толщины слоев относятся к классу тонких, а заполнитель - к классу трансверсально - мягких. В соответствии с классификацией, разработанной В.В. Болотиным [15], в трансверсально мягком заполнителе считаются равными нулю тангенциальные компоненты тензора напряжений, т.е.=(у,2 =а22 =0 (1)Построена уточненная геометрически нелинейная модель, основанная на последовательном интегрировании соотношений трехмерной теории упругости по поперечной координате, упрощенных в соответствии с (1). Рассмотрены два вида напряженно - деформированного состояния заполнителя. Первый из них отвечает случаю малой изменяемости поперечных касательных напряжений в тангенциальных направлениях, а второй - большой их изменяемости. Отмечено, что при введении предположения о малой изменяемости из выведенных соотношений следуют соотношения известного варианта теории, разработанной В.В. Болотиным и Ю.Н. Новичковым [16].

Линеаризацией общих геометрически нелинейных соотношений в окрестности некоторого моментного докритического НДС составлен полный комплекс уточненных уравнений устойчивости с сохранением как "силовых", так и "деформационных" параметрических слагаемых. Данные уравнения позволяют исследовать как описанные в литературе синфазные и антифазные ФПУ, так и смешанные ФЕГУ с большим и малым показателями изменяемости параметров возмущенного НДС пологих и непологих оболочек.

Проведено упрощение выведенных уравнений устойчивости общего вида для случая малой изменяемости параметров возмущенного НДС.

На основе выведенных уравнений получено решение задачи о цилиндрической ФПУ бесконечно- широких трехслойных пластин симметричного строения с шарнирно опертыми кромками, подверженныхосевому сжатию через несущие слои усилиями разной величины. Численные результаты получены для трех случаев нагружения пластины через несущие слои, имеющих принципиальное значение для формулировки основных выводов [54].

Первые из них соответствуют сжатию пластины через несущие слои силами одинаковой величины, детально исследованный в разные годы многими авторами; второй случай - сжатию пластины через один несущий слой, что наиболее часто встречается на практике; третий - чистому изгибу пластины усилиями, приложенными на торцах. Исходя из анализа полученных результатов, установлено, что потеря устойчивости трехслойных пластин, находящихся в условиях чистого изгиба, всегда сопровождается образованием большого количества полуволн. Исследование таких ФПУ необходимо проводить только в рамках использования уточненных вариантов теории.

Как известно, уравнения теории оболочек при большом показателе изменяемости параметров НДС допускают упрощения, положенные в основу теории пологих оболочек. Такой характер НДС возможен при потере устойчивости в трехслойных пластинах в условиях поперечного изгиба, пологих трехслойных панелях практически при всех видах их нагружения, а также в непологих трехслойных оболочках в зонах их моментного докритического НДС. В связи с этим для исследования смешанных ФПУ указанных классов конструкций проведена редукция общих уравнений устойчивости, записанных относительно восьми искомых неизвестных, к системе двух уравнений, разрешенных относительно прогибов несущих слоев. Показано, что точность этих уравнений находится в пределах точности допущений, положенных в основу теории тонких пологих оболочек. Так как критические нагрузки оболочек при локальной потере устойчивости слабо зависят от вида граничных условий при постановкезадачи устойчивости, а зависят, главным образом, от характера докритических тангенциальных усилий в несущих слоях, представляется возможным построение общего решения выведенных уравнений устойчивости, разрешенных относительно прогибов несущих слоев, в приближенной постановке. Построено такое приближенное аналитическое решение задачи [51], которое содержит в себе все описанные выше ФПУ.

На основе этого решения получены формулы для описания критических нагрузок потери устойчивости круговых цилиндрических оболочек при торцевом сжатии обоих несущих слоев одинаковыми усилиями (классическая задача), при сжатии одного несущего слоя, когда второй несущий слой ненагружен; а также при равномерном внешнем давлении.

Точность уравнений построенной в [50,54] теории, как показали последующие исследования [21] по установлению пределов их применимости, практически приближается к точности линеаризованных уравнений трехмерной теории упругости при определении таких интегральных характеристик, как критическая нагрузка трехслойных и многослойных конструкций с заполнителями, относящимися к классу трансверсально -мягких. В то же время в заполнителях компоненты напряжений возмущенного состояния в рамках этих уравнений определяются со значительной погрешностью, если размеры выпучиваний несущих слоев оказываются одного порядка с их толщинами. В этом случае НДС возмущенного состояния носит трехмерный характер, что не может быть учтено в полной мере при использовании модели трансверсально -мягкого заполнителя. Как следствие, применение этой модели сужает диапазон изменения значений определяющих физико- механических и геометрических параметров, при которых критические нагрузки могут быть определены с малой погрешностью. В то же время применение уравнений трехмерной теории упругости для заполнителя приводит к неоправданномуусложнению решения задачи, в силу чего использование этой теории для трехслойных конструкций в общем случае нецелесообразно.

В свете вышеизложенного, в развитие цикла работ [34,35,50,54,72,74 и др.], в статьях [89,90,91] и диссертации [62] была построена уточненная геометрически нелинейная модель и линеаризованная теория устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально - жестким заполнителем, обобщающие модель [52,53 и др.] с трансверсально -мягким заполнителем и позволяющие с необходимой степенью точности определять значение критических нагрузок и устанавливать поля напряжений в заполнителях в возмущенном состоянии при реализации локальных смешанных ФПУ; проведено исследование пределов применимости и степени точности уточненных моделей трансверсально - жесткого и трансверсально - мягкого заполнителей для решения задач устойчивости трехслойных конструкций при различных типах докритического напряженного состояния в них.

Завершают рассматриваемые в данном разделе исследования статьи [71,77,79,84,95]. В них составлена более точная по сравнению с [83] классификация форм потери устойчивости в трехслойных пластинах и оболочках при статическом нагружении. Было установлено, что в зависимости от вида НДС в несущих слоях и заполнителе следует различать:1) кососимметричную (синфазную) и симметричную (антифазную) ФПУ, реализующиеся в конструкциях при одинаковых значениях докритических усилий в несущих слоях и нулевых значениях докритических поперечных касательных напряжений в заполнителе;2) смешанную изгибную ФПУ, реализующуюся при неравных значениях докритических усилий в несущих слоях и нулевых докритических поперечных касательных напряжениях в заполнителе;3) чисто сдвиговую ФПУ, реализующуюся при нулевых значениях докритических усилий в несущих слоях и ненулевых докритических поперечных касательных напряжениях в заполнителе;4) изгибно-сдвиговую ФПУ, реализующуюся при ненулевых значениях докритических тангенциальных усилий в несущих слоях и поперечных касательных напряжений в заполнителе;5) сдвиговую ФПУ в тангенциальных направлениях, реализующуюся при малых значениях модуля сдвига материала несущих слоев в тангенциальной плоскости в условиях чистого сдвига;6) произвольную ФПУ, представляющую собой комбинацию указанных форм при докритическом НДС произвольного вида.

Результаты, содержащиеся в указанных статьях, отличаются от известных в литературе учетом ряда принципиальных особенностей в механическом поведении трехслойных конструкций. Эти особенности в той или иной степени могут проявиться и при динамических процессах деформирования, которые к настоящему времени были исследованы в уточненной постановке в работах [93,94,96-101].

Подытоживает все указанные выше исследования статья В.Н. Паймушина [77], в которой проанализированы основные этапы развития теории устойчивости трехслойных пластин и оболочек, связанные с выявлением особенностей их докритического деформирования и выпучивания, математическим описанием этих особенностей и построением соответствующих уравнений устойчивости. В ней рассмотрены также примеры решения конкретных задач, иллюстрирующие приведенную выше классификацию ФПУ и подтверждающие сформулированные выводы, которые в совокупности указывают и направления дальнейших исследований.

0.2.2. Сдвиговые формы потери устойчивости трехслойных элементовконструкций.

Результаты, полученные В.Н. Паймушиным в работе [104], в последние годы заставили существенно скорректировать перечисленные выше выводы, касающиеся составленной в [71,77] классификации. Они были основаны на выявленной возможности потери устойчивости по чисто сдвиговой форме кругового трехслойного кольца при действии равномерного внешнего давления, когда в докритическом состоянии формируются ненулевые тангенциальные усилия в несущих слоях и нулевые поперечные касательные напряжения в заполнителе.

При дальнейшем и более глубоком исследовании сформулированной в [104] задачи о сдвиговой ФПУ трехслойного кольца при действии равномерного внешнего давления В.Н. Паймушиным и В.И. Шалашилиным в работе [102] было установлено, что выведенные в [84] и им подобные уравнения устойчивости, использованные в [104], содержат в себе лишь второстепенные параметрические слагаемые для описания и выявления сдвиговых ФПУ, а главной же причиной реализации этих ФПУ при отсутствии докритических касательных напряжений в заполнителе является появление в нем докритических напряжений сжатия в поперечном направлении. В связи с этим для тонких трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем в [102] построены уточненные геометрически нелинейные уравнения, основанные на использовании для внешних слоев соотношений классической теории среднего изгиба, а для заполнителя. - линейной аппроксимации перемещений в поперечном направлении. От всех известных в литературе вариантов теории слоистых оболочек, основанных на использовании указанных моделей, в выведенных уравнениях допускается конечность деформации поперечных сдвигов в заполнителе, обусловленных возможностью значительных взаимных смещений внешних слоев в тангенциальных направлениях при их среднемизгибе. Без учета деформационных параметрических слагаемых выведены линеаризованные уравнения устойчивости, исходя из которых построено уточненное решение задачи о сдвиговой ФПУ трехслойного кольца при внешнем давлении. Показано, что реализация этой ФПУ возможна и при действии внутреннего давления, критическое значение которого совпадает с критическим значением внешнего давления. Более того, установлено, что при соответствующих условиях на торцах и действии внешнего или внутреннего давления в трехслойной цилиндрической оболочке сдвиговая ФПУ реализуется и в ее осевом направлении.

0.3. Основные цели и задачи исследований диссертационной работы.

Как показывает анализ существующей научной литературы, большинство публикаций по теории устойчивости трехслойных элементов конструкций относится к исследованию критических параметров и форм потери устойчивости конструкций при их силовом нагружении. В то же время известно, что применение трехслойных конструкций позволяет обеспечить хорошую теплоизоляцию за счет применения в качестве заполнителей материалов с малыми коэффициентами теплопроводности. При тепловом нагружении таких конструкций по их толщине может создаться значительный перепад температур (т.е. неоднородное по толщине температурное поле), из-за которого в них появляется возможность формирования неоднородного по толщине поля напряжений. Тем самым могут создаться условия реализации в трехслойных конструкциях неклассических форм потери устойчивости, к которым относятся формирование в несущих слоях неодинаковых по величине тангенциальных. сжимающих усилий, а в заполнителе - напряжений сжатия в поперечном направлении. Первое из них обеспечивает возможность реализации смешанных изгибных ФПУ внешних слоев, а второе -возможность реализации чисто сдвиговых ФПУ.

Однако, все указанные выше вопросы к настоящему времени практически не исследовались и не ставились соответствующие задачи даже для типовых трехслойных элементов конструкций.

В связи с изложенным целью данной диссертационной работы является:1) постановка задач и построение их аналитических решений для определения напряженно-деформированного состояния трехслойных цилиндрических оболочек с одним закрепленным на торцах внешним слоем и замкнутых сферических оболочек при их температурном нагружении, неоднородном по толщине;2) построение уточненных математических моделей и соответствующих уравнений для корректной постановки и решения задач о смешанных изгибных и чисто сдвиговых ФПУ трехслойных оболочек указанных видов, имеющих заполнитель немалой толщины;3) построение аналитических решений задач о смешанных изгибных ФПУ цилиндрических и сферических оболочек при их температурном нагружении, неоднородном по толщине пакета слоев;4) построение аналитических решений задач о чисто сдвиговых ФПУ трехслойных цилиндрических оболочек при осевом растяжении-сжатии внешних слоев, внешнем (внутреннем) давлении, неоднородном по толщине температурном нагружении, а также трехслойных сферических оболочек при неоднородном по толщине температурном нагружении.

Диссертационная работа, кроме вводной главы, состоит из трех глав.

Первая глава посвящена постановке задачи и построению ее аналитического решения по определению осесимметричных полей напряжений в несущих слоях и заполнителе трехслойной цилиндрической оболочки, находящейся в температурном поле, неоднородном в направлении толщины трехслойного пакета. Исходя из результатов этого решения, сформулирована задача о смешанных изгибных ФПУ несущихслоев, решение которой построено методом Бубнова с удержанием в уравнениях устойчивости параметрических слагаемых различной степени точности.

Во второй главе, исходя из основных положений и требований, сформулированных в работах В.Н. Паймушина, В.И. Шалашилина [102, 106], для трехслойных оболочек с заполнителем немалой толщины в линиях кривизны на срединной поверхности заполнителя построены такие линеаризованные уравнения, которые позволяют в корректной постановке исследовать не только изгибные, но и сдвиговые ФПУ, если в заполнителе в докритическом состоянии формируются напряжения сжатия в поперечном направлении. На основе этих уравнений построены аналитические решения задач о сдвиговых ФПУ трехслойной цилиндрической оболочки для некоторых типовых случаев термосилового нагружения и сформулированы условия, при выполнении которых возможна реализация сдвиговых ФПУ в рассматриваемых оболочках.

Третья глава диссертации посвящена замкнутым сферическим оболочкам. Показано, что для таких оболочек, отнесенных к сферической системе координат, связанной со срединной поверхностью заполнителя, двумерные линеаризованные уравнения нейтрального равновесия, позволяющие в корректной постановке исследовать все ее возможные ФПУ, удается построить путем интегрирования линеаризованных трехмерных уравнений теории упругости по радиальной координате практически без введения каких-либо ограничений на относительную толщину заполнителя. Найдено решение задачи о докритическом НДС оболочки, находящейся в центросимметричном температурном поле. Показано, что при таком докритическом НДС для трехслойной сферической оболочки с изотропными слоями построенные уравнения устойчивости при введении новых неизвестных разделяются на две несвязанные между собой системы уравнений. Первой из них описываются чисто смешанные изгибные ФПУвнешних слоев, а второй - чисто сдвиговые ФПУ. Найдены аналитические решения построенных уравнений и проведены соответствующие численные расчеты по определению критических параметров температур и форм потери устойчивости.

Научная новизна диссертации состоит в построении для трехслойных цилиндрических и сферических оболочек с нетонким трансверсально-мягким заполнителем уточненных математических моделей и соответствующих линеаризованных уравнений, которые позволяют в корректной постановке исследовать смешанные изгибные и чисто сдвиговые ФПУ, постановке и решениям задач о формировании полей напряжений в несущих слоях и заполнителе оболочек указанных классов в условиях их температурного нагружения, неоднородного по толщине, исследованию исходя из построенных уравнений смешанных изгибных и чисто сдвиговых форм потери устойчивости.

Достоверность результатов и выводов, сформулированных в диссертации, обеспечивается: физической и математической корректностью постановок задач, построенных моделей и разрешающих уравнений, математической строгостью построения аналитических решений конкретных задач и их соответствием уже известным результатам при предельных переходах к частным случаям.

Практическая значимость диссертации заключается в возможности более точного и глубокого исследования причин разрушения трехслойных цилиндрических и сферических оболочек из-за их потери устойчивости по исследованным формам, и, как следствие, в возможности создания более надежных и рациональных по весу трехслойных элементов конструкций при использовании результатов решений конкретных задач.

Публикации и апробации работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в восьми статьях и тезисах докладов. Прошли апробацию на республиканской научно практической конференции «Интеллектуальные системы и информационные технологии» (Казань, 2001), VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2002), VIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 2002), на научных семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством проф. Паймушина В.Н. в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Бушков, Алексей Александрович

Основные результаты и выводы

1. Получены точные аналитические решения задач о формировании осесимметричного напряженно-деформированного состояния (НДС) в круговой трехслойной цилиндрической оболочке при температурном воздействии, неоднородном по толщине. Предполагается, что торцевые сечения верхнего несущего слоя в осевом направлении неподвижны, а нижнего несущего слоя -свободны. В силу малой относительной толщины внешние слои приняты безмоментными, а трансверсально-мягкий заполнитель имеет произвольную толщину. Его НДС описывается уравнениями термоупругости, упрощенными в рамках принятой для него модели. Формулируемые для поперечного (радиального) направления граничные условия на торцах оболочки соответствуют или свободному краю (первый вариант конструктивного исполнения концевых сечений оболочки), или наличию диафрагмы (второй вариант конструктивного исполнения).

Получено решение задачи об устойчивости по изгибной форме трехслойной цилиндрической оболочки с трансверсально-мягким заполнителем произвольной толщины. Предполагается, что оболочка, находящаяся в условиях неоднородного по толщине температурного поля, на торцах имеет такие условия закрепления и конструктивного исполнения (в осевом направлении торцевые сечения верхнего слоя неподвижны, а внутреннего - свободны), в силу которых в оболочке формируется неоднородное по толщине слоев докритическое напряженно-деформированное состояние. Показано, что в таких условиях форма потери устойчивости оболочки является смешанной изгибной, для выявления и исследования которых требуется использование уравнений докритического равновесия и устойчивости соответствующей степени точности.

2. Для трехслойных оболочек с нетонким трансверсально-мягким заполнителем в линиях кривизны срединной поверхности заполнителя построены такие уточненные линеаризованные уравнения устойчивости, которые предназначены для описания форм потери устойчивости как с нулевой (чисто сдвиговые), так и большой (смешанные изгибные) изменяемостью параметров возмущенного напряженно-деформированного состояния в тангенциальных направлениях. Исходя из них составлены уравнения, позволяющие в корректной постановке и с необходимой для практических целей точностью описывать сдвиговые формы потери устойчивости (ФПУ) трехслойных цилиндрических оболочек с трансверсально-мягким заполнителем произвольной толщины. На их основе получены решения ряда задач о потере устойчивости оболочки по сдвиговым формам при некоторых видах силового и теплового нагружений. Установлено, что эти ФЕТУ реализуются в оболочке как в окружном, так и осевом направлениях, если в докритическом состоянии в заполнителе формируется нормальное напряжение сжатия в поперечном направлении. Показано, что данное условие выполняется в следующих рассмотренных случаях: при растяжении оболочки неравными силами, приложенными на торцах к несущим слоям (параметр критической нагрузки максимальный, если к несущим слоям приложены равные по величине растягивающие силы); при внешнем (внутреннем) давлении; при охлаждении верхнего и нагревании внутреннего несущих слоев.

Полученные результаты представлены в виде простых аналитических формул для определения соответствующих критических параметров силового или теплового воздействий.

3. Проведено исследование форм потери устойчивости трехслойной сферической оболочки, которая состоит из тонких изотропных внешних слоев, трансверсально-мягкого заполнителя произвольной толщины и находится в центросимметричном температурном поле, неоднородном по толщине оболочки. Для их постановки используются двумерные уравнения теории среднего изгиба тонких оболочек Кирхгофа-Лява, составленные для внешних слоев с учетом их взаимодействия с заполнителем, а для заполнителя - максимально упрощенные геометрически нелинейные уравнения теории термоупругости, в которых сохранено минимальное количество нелинейных слагаемых с целью сохранения возможности корректного описания чисто сдвиговой ФПУ в заполнителе. Найдено точное аналитическое решение сформулированной задачи о начальном

Ill центросимметричном деформировании оболочки, у которой приращения температур во внешних слоях считаются постоянными по их толщинам. Показано, что линеаризованные в окрестности этого решения трехмерные уравнения для заполнителя допускают интегрирование по радиальной координате практически без наложения каких-либо существенных ограничений на толщину заполнителя и сводятся к двум двумерным дифференциальным уравнениям в дополнение к шести уравнениям, которыми описывается нейтральное равновесие внешних слоев.

Установлено, что составленная система восьми дифференциальных уравнений устойчивости при введении новых неизвестных в виде скалярных и вихревых потенциалов распадается на две несвязанные системы уравнений. Первая из них имеет два вида решений, которыми описывается чисто сдвиговая ФПУ при одинаковом значении параметра критической температуры. Второй системой описывается смешанная изгибная ФПУ, реализация которой при определенных комбинациях определяющих параметров оболочки и в широких диапазонах их изменения возможна при таких значениях параметра критической температуры, которые на порядки превосходят значения аналогичного параметра сдвиговой ФПУ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бушков, Алексей Александрович, 2005 год

1. Александров А.Я., Брюккер Л.Э., Куршин Л.М. и др. Расчет трехслойных панелей. М.:Оборонгиз, 1960, 272 с.

2. Александров А.Я., Бородин М.Я., Павлов В.В. Конструкции с заполнителями из пенопластов. 2-е изд. перераб.и доп. М.: Машиностроение, 1972. - 211с.

3. Александров А.Я., Куршин Л.М. Многослойные пластинки и оболочки.// Тр. VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука,1970, с. 714721.

4. Александров А.Я., Шпак Г.С. О расчете на местную устойчивость трехслойных пластин с заполнителем типа гофра при сжатии. // Тр. XIII Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. 4.1. Таллин, 1983, с. - 48-58.

5. Алумяэ H.A. Теория упургих оболочек и пластинок.// Механика в СССР за 50 лет. Т.З.: Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1972, с.227-266.

6. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М: Машиностроение, 1991, 342с.

7. Амбарцумян С.А. Некоторые вопросы развития теории анизотропных слоистых оболочек. Изв. АН Арм. ССР. Сер. Физ.- мат. наук. - 1964, т. 17, №3, с.29-53.

8. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974, 448с.

9. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001, с. 288.

10. П.Бабич И.Ю., Гузь А.Н. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек. Киев: Вища школа, 1980, 167с.

11. Бабич И.Ю., Гузь А.Н., Дериглазов JI.B. Устойчивость трехслойных анизотропных цилиндрических оболочек. // Прикладная механика. 1983, т. 19, №9,с. 14-20.

12. Баженов В.Г., Журавлев Е.А. Вариационно-разностный метод решения нелинейных осесимметричных задач динамики слоистых оболочек. -Прикладные проблемы прочности и плачничности.

13. Бенсон А., Мейерс Д. Общая неустойчивость и колебания несущих слоев трехслойных пластин унифицированная теория и приложение. // Ракетная техника и космонавтика. - 1967, т.5, №4, с. 150-163.

14. Богданович А.Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. Рига: Зинатне, 1987. - 295 с.

15. Болотин В.В. , Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980, 375 с.

16. Ван Фо Фы Г.А., Семенюк Н.П. Устойчивость моментного докритического состояния трехслойной ортотропной цилиндрической оболочки при равномерном и неравномерном внешнем давлении. Механика полимеров. -1972, №5, с. 874-879.

17. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967, 984 с.

18. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казанского университета, 1975, 328 с.

19. Галимов К.З. О некоторых направлениях механики деформируемого твердого тела в Казани. // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань: Казане. Гос. ун-т, 1979, Вып. 14, с.11-82.

20. Галимов H.K. К вариационным методам решения задач нелинейной теории трехслойных пологих оболочек. // Исслед. по теории пластин и оболочек. -Казань: Казан, гос. ун-т, 1965, вып.З, с. 91-122.

21. Галимов Н.К. К теории тонких пологих оболочек с заполнителем при конечных прогибах. // Нелинейная теория пластин и оболочек. Казань: Казан, гос. ун-т, 1963, с. 61-95.

22. Галимов Н.К. О применении полиномов Лежандра к построению уточненных теорий трехслойных пластин и оболочек. // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань: Казан, гос. ун-т, 1973. Вып. 10, с. 371-385.

23. Галимов Н.К., Муштари Х.М. К теории трехслойных пластин и оболочек. -Казань: Казан. Гос. ун-т, 1964, вып.2, с. 56-62.

24. Галимов Н.К., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Большие прогибы и устойчивость защемленной трехслойной круглой пластины под действием поперечной нагрузки. // Тр. X Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 1. Тбилиси, 1975, с. 576-574.

25. Галимов Н.К., Саченков A.B. Определение частот свободных колебаний и устойчивость трехслойных сферических оболочек и плоских пластин. Исслед. по теории пластин и оболочек. - Казань: Казан, гос. ун-т, 1965, вып. 3, с. 148156.

26. Гатауллин М.З., Иванов В.А. К расчету критических нагрузок для двух соосных цилиндрических оболочек, связанных упругим заполнителем. Тр. семинара по теории оболочек. - Казань: физ.-техн. ин-т АН СССР, 1974. Вып. 4, с.284-291.

27. Голованов А.И. Динамическая устойчивость трехслойных оболочек. Дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук. - Казань, гос. университет, 1982, с 116 с.

28. Голованов А.И., Иванов В.А., Паймушин В.Н. Численно аналитический метод исследования локальных форм потери устойчивости несущих слоев трехслойных оболочек по смешанным формам. - Механика композит. Материалов, 1995, №1, с. 88-100.

29. Голованов А.И., Паймушин В.Н. Напряжено -деформированное состояние и устойчивость трехслойных оболочек из композитных материалов, имеющих зону расслоения заполнителя с несущим слоем. Механика композитных материалов, 1993, т.29, №5, с. 640-652.

30. Горшков А.Г., Пожуев В.И. Стационарные задачи динамики многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1992,224 с.

31. Григолюк Э.И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем. Изв. АН СССР. ОТН, 1958, № 1, с. 26-34.

32. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем. // Изв. АН СССР. ОТН. 1957, №1, с. 77-84.

33. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение; 1988,288 с.

34. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек. Прикладная механика. 1972, т. 8, №6, с. 5-17.

35. Григолюк Э.И., Чулков П.П. К расчету трехслойных пластин с жестким заполнителем. // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1964, №1, с. 67-74.

36. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Критические нагрузки трехслойных цилиндрических и конических оболочек. Новосибирск, 1966, 223 с.

37. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973, 168 с.

38. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные слоистые оболочки врщения переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973, 212 с.

39. Григоренко Я.М. Решение задач теории оболочек методами численного анализа. Прикладная механика, 1984, т. 20, №10, с. 3-22.

40. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1971.-275 с.

41. Гурьянов Н.Г. Уточненные соотношения для клеевой прослойки слоистой пологой оболочки. // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань, 1990. Вып. 22, с. 69-75.

42. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки. В кн.: Механика деформируемого твердого тела. - М., 1983, т. 15, с. 3-277.

43. Ендогур А.И., Вайнберг М.В., Иерусалимский K.M. Сотовые конструкции. Выбор параметров и проектирование. М.: Машиностроение, 1986. 199 с.

44. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточненная теория устойчивости трехслойных конструкций (нелинейные уравнения докритического равновесия оболочек с трансверсально мягким заполнителем). - Изв. ВУЗов. Математика, 1994, №11, с. 29-42.

45. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Устойчивость пологих многослойных оболочек с трансверсально мягкими заполнителями. - Механика композит Материалов,1994, №3, с. 372-390.

46. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточненная постановка динамических задач трехслойных оболочек с трансверсально мягким заполнителем численно 0 аналитический метод их решения. - Прикладная механика и техническая физика, 1995, т. 36, №4, с. 147-151.

47. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточнение уравнений динамики многослойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем. Изв. РАН, МТТ, 1995, №3, с. 142-152.

48. Иванов В.А., Паймушин В.Н., Полякова Т.В. Уточненная теория устойчивости трехслойных конструкций (линеаризованные уравнения нейтрального равновесия и простейшие одномерные задачи). Известия ВУЗов. Математика,1995, №3, с. 15-24.

49. Ильгамов М.А., Иванов В.А., Гулин Б.В. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1977,331 с.

50. Кобелев В.Н., Коварский Л.М., Тимофеев С.И. Расчет трехслойных конструкций. Справочник. М.: Машиностроение, 1984. - 303 с.

51. Куршин Л.М. Обзор работ по расчету трехслойных пластин и оболочек. -Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1962, Вып. 7, с. 163192.

52. Куршин Л.М. Уравнения трехслойных непологих и пологих оболочек. -Расчеты элементов авиационных конструкций. Вып. 3, М.: Машиностроение, 1965, с. 106-157.

53. Марчук A.B., Пискунов В.Г. Разработка математических моделей вынужденных колебаний слоистых конструкций в трехмерной постановке с учетом диссипации энергии. Механика композитных материалов и конструкций. 1999, т 5, №3, с. 119-130.

54. Муштари Х.М. О применимости различных теорий трехслойных пластин и оболочек. Изв. АН СССР. ОТН Механика и машиностроение,1960, №6, с. 163165.

55. Муштари Х.М. К общей теории пологих оболочек с заполнителем. Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1961, №2, с. 24-29.

56. Муштари Х.М. Об области применения приближенных теорий трехслойных пластин несимметричного строения с заполнителем. Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963, №5, с. 176-178.

57. Муштари Х.М. Об одном уточнении приближенной теории трехслойных пластин с заполнителем. Тр. Всесозн. конф. по теории пластин и оболочек.: Изв. АН УССР. ОТН. - Киев, 1962, с. 128-131.

58. Муштари Х.М. Основные зависимости теории упругих трехслойных оболочек переменной жесткости. Механика твердого тела, 1996, №2, с. 145-149.

59. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 431 с.

60. Немировский Ю.В., Андреев А.Н. К теории упругих многослойных анизотропных оболочек. Тр. междунар. симпозиума "Тонкостенные элементы и строительные конструкции". - Ладзь,1976, с. 191-218.

61. Паймушин В.Н. Теория устойчивости трехслойных элементов конструкций. Анализ современного состояния и уточненная классификация форм потери устойчивости. Механика композитных материалов, Рига: Зинатне. -1999, т. 35, №6, с. 707-716.

62. Паймушин В.Н., Вариант нелинейной теории тонких трехслойных оболочек, находящихся в условиях термосилового воздействия. Актуальные проблемы механики оболочек. Межвузов, сб., Казань: авиац. институт, 1990, с. 64-70.

63. Паймушин В.Н. К вариационным методам решения нелинейных пространственных задач сопряжения деформируемых тел. Доклады АН СССР, 1983, т. 273, №5, с. 1083-1086.

64. Паймушин В.Н. Нелинейная теория среднего изгиба трехслойных оболочек с дефектами в виде участков непроклея. Прикладная механика, 1987, №11, с. 3238.

65. Паймушин В.Н. Уточненная нелинейная теория среднего изгиба трехслойных оболочек с трансверсально мягким заполнителем. - Изв. ВУЗов. Авиационная техника, 1989, №4, с. 8-12.

66. Паймушин В.Н. Вариант уточненной нелинейной теории тонких упругих трехслойных оболочек итерационного типа. Прикл. математика и механика, 1990, т. 54, вып. 1, с. 86-92.

67. Паймушин В.Н. Теория устойчивости трехслойных пластин и оболочек (Этапы развития, современное состояние и направления дальнейших исследований). Изв. РАН, МТТ, 2001, №2, с. 148-162.

68. Паймушин В.Н., Бобров С.Н., Иванов В.А., Полякова Т.В. Устойчивость трехслойного кругового кольца под равномерным внешним давлением. -Механика композитных материалов., 2000, т.36, №3, с.317-328.

69. Паймушин В.Н., Бобров С.Н., Голованов А.И. Методы конечно-элементного анализа произвольных форм потери устойчивости трехслойных пластин и оболочек. Механика композитных материалов., 2000, т.36, №4, с. 473-486.

70. Паймушин В.Н., Бобров С.Н. Исследование устойчивости трехслойной бесконечно широкой пластины при осевом сжатии одного слоя. Механика композитных материалов, 1985, №2, с. 284-291.

71. Паймушин В.Н., Бобров С.Н. Исследование устойчивости бесконечно широкой пластины симметричного строения при осевом сжатии одного слоя с учетом искривления. Изв. ВУЗов Авиационная техника, 1985, №1, с. 55-69.

72. Паймушин В.Н., Бобров С.Н. Критические нагрузки шарнирно опертых трехслойных пластин симметричного строения при двустороннем сжатии одного внешнего слоя. Изв. ВУЗов, Авиационная техника, 1985, №2, с. 51-55.

73. Паймушин В.Н., Бобров С.Н. О формах потери устойчивости трехслойных пластин и оболочек с внешними слоями из однородных и армированных материалов. Механика композитных материалов, 1985, №1, с. 79-86.

74. Паймушин В.Н., Галимов Н.К. Об использовании приема С.П. Тимошенко в теории трехслойных пластин с легким заполнителем. // Тр. семинара по теории оболочек. Казань: Казан, физ.-техн. ин-т АН СССР, 1973, вып.З, с.103-121.

75. Паймушин В.Н., Галимов Н.К. Об устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем при изгибе. Тр. семинара по теории оболочек. - Казань: Казан, физ.-техн. ин-т АН СССР, 1974, Вып.5, с.35-42.

76. Паймушин В.Н., Орлов Ю.В. Проблема устойчивости моментного равновесия трехслойных элементов конструкций в уточненной постановке. Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1990, №2, с. 22-26.

77. Паймушин В.Н., Муштари А.И. Уточненная теория устойчивости трехслойных оболочек трансверсально-жестким заполнителем. 1. Нелинейные уравнения равновесия. Механика композитных материалов. 1996, т. 32, №4, с. 513-524.

78. Паймушин В.Н., Муштари А.И. Уточненная теория устойчивости трехслойных оболочек трансверсально-жестким заполнителем. 2.

79. Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия. Механика композитных материалов. 1997, т. 33, №6, с. 786-795.

80. Паймушин В.Н., Муштари А.И. Уточненная теория устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем. 3. Простейшие одномерные задачи. Механика композитных материалов. -Рига: Зинатне. -1998, т.34, №1. - с.57-65.

81. Паймушин В.Н., Петрушенко Ю.Я. Вариационный метод решения задач механики пространственных составных тел. Обобщенный вариационный принцип Гамильтона -Остроградского. Сообщения АН Грузинской ССР, 1988, т. 131, №1, с. 130-135.

82. Паймушин В.Н., Иванов В.А. Формы потери устойчивости однородных и трехслойных пластин при чистом сдвиге в тангенциальных направлениях. -Механика композитных материалов. 2000, т.36, №2, с. 215-228.

83. Паймушин В.Н., Иванов В.А., Хусаинов В.Р. Анализ уравнений и задач о свободных колебаниях трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем и симметричным по толщине строение. Изв. вузов "Авиационная техника", 2001, №4, с.

84. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Уточненные уравнения среднего изгиба трехслойных оболочек и сдвиговые формы потери устойчивости. Доклады РАН, т. 392, № 2, 2003, с. 195 - 200.

85. Паймушин В.Н., Иванов В.А. Устойчивость кругового трехслойного кольца,находящегося в осесимметричном температурном поле, неоднородном потолщине // Механика композитных материалов 2001- Т. 37, № 5/6 - С. 761— 782.

86. Паймушин В.Н. Сдвиговая форма потери устойчивости трехслойного кругового кольца при равномерном внешнем давлении. -Механика композитных материалов, 2001. - Т.37, №2, - с. 209-214; - Доклады РАН, т. 378, № 1,2001, с. 58-60.

87. Паймушин В.Н., Иванов В.А., Бобров С.Н., Полякова Т.В. Устойчивость трехслойного кругового кольца под равномерным внешним давлением. -Механика композитных материалов, 2000. - Т.36, №3, - с. 317-328.

88. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Непротиворечивый вариант теорий деформаций сплошных сред в квадратичном приближении. Доклады РАН, т. 396, № 4,2004, с. 492 - 495 .

89. Паймушин В.Н., Иванов В.А., Луканкин С.А., Бушков A.A. Исследование изгибных форм потери устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки при температурном нагружении, неоднородном по толщине. Механика композитных материалов, - 2004. - Т.40, №6, - с.

90. Паймушин В.Н., Вялков А.Е. Уточненная геометрически нелинейная теория трехслойных цилиндрических оболочек с трансверсально-мягким заполнителем произвольной толщины // Изв. вузов. Авиационная техника. 2002. №3. С. 10-14.

91. Панин В.Ф. Конструкции с сотовым заполнителем. М.: Машиностроение, 1982, 153 с.

92. Панин В.Ф., Гладков Ю.А. Конструкции с заполнителем. М.: Машиностроение, 1991, 272 с.

93. Пелех Б.Л., Лазько В.А. Слоистые анизотропные пластины и оболочки с концентратами напряжений. Киев: Наук. Думка, 1982,295 с.

94. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций. М.: Наука, 1985, 182 с.

95. Пискунов В.Г., Вериженко В.Е., Линейные и нелинейные задачи расчета слоистых конструкций. Киев: Бущвельник, 1986, 176 с.

96. Преображенский И.Н. Обзор гипотез и допущений, принимаемых при исследовании устойчивости многослойных оболочек вращения. Гидроаэродинамика и теория упругости, 1970. Вып. 12, с. 78-87.

97. Прохоров Б.Ф., Кобелев В.Н. Трехслойные конструкции в судостроении. JL: Судостроение, 1972,334 с.

98. Прочность. Устойчивость. Колебания. / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. Т.2. М.: Машиностроение, 1968, 463 с.

99. Прусаков А.П. К теории расчета ортотропных трехслойных пластин с жестким заполнителем. Расчеты элементов авиационных конструкций. - М.: Машиностроение, 1965, Вып.З, с. 189-196.

100. Прусаков А.П. Основные уравнения изгиба и устойчивости ортотропных трехслойных пластин с легким заполнителем. //Изв. ВУЗов. Строительств и архитектура. 1960. - №5. - С. 9-17.

101. Рассказов А.О., Соколовская И.И., Шульга H.A. Теория и расчет слоистых ортотропных пластин и оболочек. Киев: Вища школа, 1986. - 192 с.

102. Саченков A.B. Свободные колебания трехслойных пологих сферических оболочек. Исслед. по теории пластин и оболочек. - Казань: Казан. Гос. ун-т, 1967. - Вып. 5. - С.410-413.

103. Семенюк Н.П. Об эффекте неустойчивости материала в анизотропных оболочках. Прикладная механика. - 1981. - Т. 17. - №9. - С. 115-118.

104. Сухинин С.Н., Микишева В.И. Устойчивость трехслойных оболочек из композитных материалов при совместном действии осевого сжатия и бокового давления. Механика композитных материалов. 1981 ,№6,с. 1035-1041.

105. Сухинин С.Н. Некоторые особенности потери устойчивости трехслойных оболочек из композитных материалов при кручении. Рига, Механика композитных материалов. 1990 г., №2, с. 305-311.

106. Сухинин С.Н. Некоторые особенности потери устойчивости трехслойных оболочек из композитных материалов при кручении. Рига. Механика композитных материалов, 1990, №2, с. 305-311.

107. Хэбип JI.M. Обзор современного состояния исследований по трехслойным конструкциям. \\ Механика.: Периодич. сб. переводов иностранных статей. -1996. Т.96, №2. - С. 119-130.

108. Akkas N. And Bauld N.R. Buckling and initial postbuckling behavior of clamped spherical sandwich shells. Int. J. Solids Struct, 1971,№7, p. 1237-1259.

109. Bert C.W. Research of dynamic behavior of composite and sandwich plates//Shock and Vibration Digest, 1991, vol. 23, № 7, p. 9-21.

110. Chang C.C. and Ebcioglu I.K. Elastic instability of rectangular sandwich panel of orthotropic core with different face thickness and materials. J.Appl. Mech., ASME, 1960, V.27, № 3, p. 474-480.

111. Cruz J. R. Optimization of composite sandwich cover panels subjected to compressive loads. 1991, NASA TP -3173.

112. Eringen A.C. Bending and buckling of rectangular sandwich plates / Proc. First U.S. Congr. Appl. Mech, 1952.

113. Folie G.M. The behaviour and analysis of orthotropic sandwich plates. Build. Sch., 1971, vol. 6. P. 57-67.

114. Foss J.J. For the space age, a bibliographi of sandwich plates and shells. Rept. SM 42883, Douglas Airer. Co., Santa Monica, Calif., 1962.

115. На K.H. Finite element analysis of sandwich plates: an overview, Comput. Struct., 1990, V. 37, № 4, p. 397-403.

116. Habip L.M. A review of Russuan work on sandwich structures. Inernat. Journal of Mech. Science, 1964, v. 6, №6, p. 483-487.

117. Habip L.M. A review of receny work on multilayered structures Internat. Journal of Mech. Science, 1965, v. 7, № 8, p. 589-593.

118. Habib L.M. A survey of modern developments in the analysis of sandwich structures. Appl. mech. Rev., 1965, v. 18, № 2, p. 93-98.

119. Hunter- Tod J. H. The elastic stability of sandwich plates. Aero. Res. Counc. Rep. Meto., London, № 2778, 1953.

120. Noor A. K., Burton W.S., Bert Ch. W. Computational models for sandwich panels and shells. Applied Mechanics Reviews, 1996, V. 49, №3, p. 155-199.

121. Noor A. K., Burton W. S., Peters J. M. Hierarchical adaptive modeling of structural sandwiches and multilayered composite panels. Appl. Num. Math., 1994, № 14, p. 69-90.

122. Plantema F. J. Literature search on sandwich construcyion. Study of the literature search on sandwich construction. I, II, III, IV (in Dutch). Luchvaartlab, Amsterdam, 1948, № 334, 9 pp., NS.-342, 6pp., NS. 343, 7 pp., 1949, NS. 364,13 pp.

123. Reissner E. Small bending and stretching of sandwich type shells. NASA T.R. № 975, 1950.

124. Reissner E.Finite deflection of sandwich plates. Journ. Aeronaut. Sci., 15, № 7, 1948, Errata: 17, № 2, 125, 1950.

125. Romanov F. Hyperbolisher dreiaxialer Vershiebungzustand von flachen Sandwich Konstructionen und schwachyewolbaten Sandwichschalen. - Baaingenieur, 1983, 58, №6, s. 209-212.

126. Solvey J. Bibliography and summaries sandwich construction (1939 1954) Aeronaut. Res. Lab. Melburne, Australia, 1955, ARL. SM 2.

127. Stein M., Magers J. Compressive bukling of simply supported curved plates and cylinders of sandwich construction. NASA TN 1 2601,1952.

128. Wrzecioniarz Piotr Stability investigations of veriable core sandwich. J. Eng. Mech, 1983,1 6, p. 1460-1471.

129. Zencert D. An introduction to sandwich constructions. Cameleon press, London, 1995.