Расчет полимерных пластин и оболочек на силовые и температурные воздействия с учетом нелинейной ползучести тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Чепурненко Антон Сергеевич

• Чепурненко Антон Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Чепурненко Антон Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Обзор работ, посвященных расчету пластин и оболочек с учетом геометрической нелинейности и ползучести

1.2 Общие уравнения теории ползучести полимерных материалов

ГЛАВА 2. ИЗГИБ ТОНКИХ ЖЕСТКИХ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНОК ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ

2.1. Изгиб прямоугольной жесткой пластинки. Основные уравнения

2.2. Применение метода конечных элементов к задаче ползучести прямоугольной пластинки

2.3. Осесимметричный изгиб круглой жесткой пластинки

2.4. МКЭ в задаче осесимметричного изгиба круглой жесткой пластинки

2.5. Решение осесимметричной задачи методом Бубнова-Галёркина

2.6. Выводы по главе

ГЛАВА 3. ПОЛЗУЧЕСТЬ ГИБКИХ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНОК

3.1. Осесимметричный изгиб круглой гибкой пластинки при ползучести

3.2. Основные уравнения для гибкой прямоугольной пластинки

3.3. Устойчивость круглой пластинки под действием радиальных сжимающих усилий при ползучести

3.4. Апробация методики на известных аналитических решениях: устойчивость круглой бетонной пластинки при линейной ползучести

3.5. Выводы по главе

ГЛАВА 4. ПОЛЗУЧЕСТЬ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК

4.1. Основные разрешающие уравнения для трехслойной пластинки

4.2. Приближенный расчет трехслойной пластинки методом конечных элементов с учетом ползучести

4.3. Учет деформации несущих слоев. Основные уравнения для треугольного конечного элемента

4.4. Ползучесть трехслойных пологих оболочек

4.5. Расчет трехслойных конструкций на ползучесть с учетом изменения температуры

4.6. Выводы по главе

ГЛАВА 5. АПРОБАЦИЯ МЕТОДИКИ НА ИЗВЕСТНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

5.1. Конструкция и методика изготовления панелей для испытаний

5.2. Испытание панелей на действие сосредоточенных нагрузок в углах

5.3. Испытание трехслойных панелей на температурные воздействия

5.4. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение 1. Документы о внедрении результатов работы

Приложение 2. Программы расчетов на ЭВМ в пакете МаШЬ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет полимерных пластин и оболочек на силовые и температурные воздействия с учетом нелинейной ползучести»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время пластины и оболочки находят широкое применение в различных отраслях: строительство, самолетостроение, кораблестроение и т.д. Это объясняется высокой несущей способностью тонкостенных конструкций, рациональностью, экономичностью, достаточно хорошей технологичностью.

У многих конструкционных материалов при длительном действии постоянной нагрузки с течением времени наблюдается развитие деформаций (явление ползучести). Ползучесть характерна для таких материалов как бетон, дерево, полимеры, полимербетоны, металлы при высоких температурах.

Прогнозирование поведения конструкций и их элементов во времени является важным направлением строительной механики, и поэтому неслучайно к нему приковано внимание многочисленных ученых как у нас в стране, так и за рубежом.

Вопросам расчета пластин и оболочек при ползучести посвящено довольно много работ. Среди ученых, занимавшихся этой проблемой, следует отметить А. Л. Рабиновича, И. И. Гольденблата, В. Л. Бажанова, В. А. Копнова,

A. Д. Поспелова, А. М. Синюкова, Ю. Н. Работнова, Л. М. Качанова, И. Г. Терегулова, Л. М. Куршина, В. И. Климанова и С. А. Тимашева,

B. П. Пошивалова и др.

В большинстве работ авторы, как правило, ограничиваются определенным законом связи деформаций ползучести и напряжений. Универсальной методики расчета, подходящей для любых уравнений связи пока нет. Кроме того, в основном при расчете пластин и оболочек с учетом ползучести применяется геометрически линейная теория, которая может быть использована при исследовании малых прогибов порядка 1/5 ^ 1/4 толщины пластинки. Между тем, во многих областях техники применяются пластины и оболочки с прогибами, выходящими за такие пределы.

Широко применяются в различных конструкциях пластины и оболочки, составленные из трех слоев: двух одинаковых наружных слоев из материала с

высокими физико-механическими характеристиками и склеенного между ними промежуточного слоя (заполнителя). Такие конструкции при той же изгибной жесткости оказываются значительно легче однослойных.

В качестве заполнителя в трехслойных конструкциях применяются полимеры, для которых помимо упругих свойств, также характерна вязкость. Вопросами нелинейного расчета трехслойных пластинок и оболочек занимались такие ученые как А. Л. Рабинович, Ю. В. Осетинский, В. И. Мартемьянов, А. М. Иванов, А. Я. Александров, О. М. Устарханов и др.

Еще одним важным направлением строительной механики является расчет конструкций на устойчивость с учетом ползучести. Теоретические и экспериментальные исследования в этом направлении для стержней показали, что с течением времени возможен резкий рост стрелы прогиба при нагрузках значительно меньше критической силы. Аналогичное явление может произойти и для пластинок, подверженных действию нагрузок в срединной плоскости.

Резюмируя вышесказанное, была поставлена цель работы: разработка универсальной методики расчета однослойных и трехслойных пластин и оболочек на силовые и температурные воздействия с учетом ползучести, теоретическое исследование процесса ползучести указанных конструкций при различных физических законах деформирования.

Задачи исследования:

1. Разработка методики расчета жестких однослойных изотропных пластинок при нелинейной ползучести.

2. Разработка методики расчета гибких пластинок с учетом ползучести.

3. Изучение влияния геометрической нелинейности на процесс ползучести.

4. Теоретическое исследование устойчивости пластинок при ползучести.

5. Разработка методики расчета трехслойных пластин и оболочек, подкрепленных ребрами, на силовые и температурные воздействия, с учетом ползучести среднего слоя.

6. Апробация методики на известных экспериментальных данных.

Объект исследования: полимерные жесткие и гибкие пластинки, трехслойные пластинки и оболочки с вязкоупругим заполнителем.

Научная новизна работы:

- получены разрешающие уравнения и разработана методика расчета прямоугольных и круглых осесимметрично нагруженных жестких изотропных пластинок при ползучести методом конечных разностей и методом конечных элементов, подходящая для произвольных уравнений связи между напряжениями и деформациями ползучести;

- разработана методика расчета круглых осесимметрично нагруженных пластинок с учетом ползучести и геометрической нелинейности. Выполнено сравнение результатов, получаемых по геометрически линейной теории и с учетом геометрической нелинейности;

- решена задача устойчивости при ползучести круглой пластинки, имеющей начальную погибь;

- разработана универсальная методика расчета трехслойных пластин и оболочек, подкрепленных ребрами, методом конечных элементов на силовые и температурные воздействия с учетом ползучести среднего слоя.

Теоретическая значимость работы обусловлена тем, что:

- проведен анализ распределения напряжений в полимерных пластинках в конце процесса ползучести;

- исследовано влияние геометрической нелинейности на процесс ползучести и выявлены эффекты, обусловленные геометрической нелинейностью;

- исследована устойчивость пластин при ползучести с учетом начальных несовершенств;

- исследован рост прогиба трехслойных оболочек с учетом ползучести при различной их кривизне.

Практическое значение работы заключается в том, что разработан пакет прикладных программ для определения напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек с учетом температурных воздействий и ползучести. Кроме того, введена величина длительной цилиндрической жесткости, позволяющая определить прогиб в конце процесса ползучести, не прибегая к численным методам.

Методы исследования базируются на известных положениях теории упругости, пластичности и ползучести. Исследования проводились при помощи численного моделирования на основе метода конечных разностей, метода конечных элементов, метода Бубнова-Галеркина и метода последовательных приближений.

Основные положения, выносимые на защиту:

- полученные автором разрешающие уравнения и разработанные им методики расчета с учетом ползучести жестких и гибких однослойных полимерных пластин;

- результаты исследования напряженно-деформированного состояния полимерных пластин при ползучести;

- результаты исследования устойчивости полимерных пластин при ползучести;

- основные уравнения для расчета с учетом ползучести среднего слоя трехслойных пластин и оболочек;

- результаты исследования ползучести трехслойных конструкций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- проверкой выполнения всех граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений;

- сравнением результатов, полученных численными методами, с известными решениями других авторов, а также экспериментальными данными;

- использованием при решении одной задачи нескольких методов с последующим сравнением результатов.

Вычисления проводились на базе современных ПЭВМ с использованием математического пакета Ма1ЬаЬ.

Внедрение результатов работы. Результаты работы внедрены в практику проектирования группы компаний «АКСстрой», в ООО «Олеум», а также в образовательный процесс в Ростовском государственном строительном университете. Издано учебное пособие «Метод конечных элементов в строительной механике и в теории упругости» для аспирантов направления 08.06.01 - «Техника и технологии строительства».

Апробация работы. Результаты исследования доложены на двух международных научно-практических конференциях «Строительство» (Ростов-

на-Дону, 2014, 2015 гг.); научном семинаре кафедры «Сопротивление материалов» Ростовского государственного строительного университета (Ростов-на-Дону, 2015 г.).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, пяти глав, основных выводов, списка использованной литературы и приложений. Изложена на 126 страницах машинописного текста и содержит 49 рисунков и 7 таблиц.

Основное содержание работы.

Во введении обоснована актуальность проблемы и выбранного направления исследования, сформулированы цели и основные положения, дана краткая аннотация всех глав работы.

В главе 1 дан краткий обзор работ, посвященных выбранному направлению исследования. Также приводится обзор теорий ползучести, используемых для описания характера деформирования полимерных материалов.

В главе 2 приведены основные разрешающие уравнения, а также теоретическое исследование ползучести жестких прямоугольных и осесимметрично нагруженных круглых пластинок. Дано решение модельных задач, выполнено сравнение результатов, получаемых методом конечных разностей и методом конечных элементов. Также методом Бубнова-Галеркина решена задача ползучести при осесимметричном изгибе круглой пластинки, жестко защемленной по контуру.

В главе 3 рассматривается влияние геометрической нелинейности на процесс ползучести. Приводится решение задачи изгиба осесимметрично нагруженной пластинки с учетом геометрической и физической нелинейности. Получены основные разрешающие уравнения для прямоугольных пластинок. Решена задача изгиба под действием усилий в срединной поверхности круглой пластинки, имеющей начальную погибь.

Глава 4 посвящена вопросам ползучести трехслойных пластин и оболочек. Получена система нелинейных дифференциальных уравнений изгиба трехслойной гибкой пластинки при ползучести. Приведена приближенная методика расчета методом конечных элементов с учетом только работы заполнителя на сдвиг. Также

получены уравнения МКЭ для треугольного конечного элемента с учетом деформации несущих слоев. Выполнено сравнение результатов, получаемых на основе приближенной и точной методики для пластинок, подкрепленных ребрами. Для трехслойных оболочек проведено исследование влияния кривизны оболочки на рост прогиба за счет ползучести. Получены разрешающие уравнения МКЭ с учетом температурных воздействий.

В главе 5 проводится сравнение с экспериментальными данными для трехслойных панелей, подверженных силовым и температурным воздействиям. Задачи рассматриваются исключительно в упругой постановке по причине отсутствия данных по длительным испытаниям трехслойных конструкций. В заключении приведены основные результаты и выводы по работе.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1 Обзор работ, посвященных расчету пластин и оболочек с учетом геометрической нелинейности и ползучести

Общая теория ползучести, в частности применительно к тонкостенным элементам и конструкциям, разрабатывалась Н. X. Арутюняном [1, 2, 3], Л. М. Качаловым [4], Ю. Н. Работновым [5], Н. И. Безуховым [6], Н. Н. Малининым [7], А. Р. Ржаницыным [8], В. Д. Харлабом [9, 10] и др.

Теория анизотропных пластин и оболочек изложена в известных монографиях С. А. Амбарцумяна [11] и С. Г. Лехницкого [12, 13]. Большой вклад в разработку линейной теории многослойных пластин и оболочек был сделан А. Я. Александровым, С. А. Амбарцумяном, Э. И. Григолюком, Л. М. Куршиным, А. П. Прусаковым и другими.

В ряде случаев тонкостенным конструкциям свойственны большие перемещения, сравнимые с их линейными размерами. Такое поведение пластин и оболочек может быть исследовано только при помощи геометрически нелинейной теории.

Первые значительные исследования по пластинкам большого прогиба были проведены известным русским ученым И. Г. Бубновым — основателем современной науки о прочности корабля. Им же впервые было отмечено явление внезапной потери устойчивости искривленных пластин (обшивки корабля), находящихся под гидростатическим давлением.

В трудах известного советского ученого П. Ф. Папковича и его учеников работы И. Г. Бубнова получают дальнейшее развитие.

Крупный вклад в эту область науки сделали советские ученые С. А. Алексеев, Н. А. Алумян, В. В. Болотин, В. 3. Власов, А. С. Григорьев, К. 3. Галимов,

A. С. Вольмир, Э. И. Григолюк, Н. А. Кильчевский, X. М. Муштари,

B. В. Новожилов, А. В. Погорелов, Б. И. Слепов, В. И. Феодосьев и другие. Цельное представление обо всей геометрически нелинейной теории позволили составить появившиеся в свет книги А. С. Вольмира [14] и монографии X. М. Муштари [15].

После второй мировой войны сформировалась казанская школа механиков, возглавляемая проф. X. М. Муштари, основным направлением деятельности которой была разработка общей нелинейной теории тонких пластин и оболочек. Внутри этой школы образовались многочисленные группы исследователей, занимающиеся изучением прочности и устойчивости многослойных конструкций, температурными и динамическими задачами теории пластин и оболочек, изучением поведения тонкостенных конструкций из физически нелинейных материалов и при ползучести.

Так, в работе [16] В. И. Даниловым на основе линеаризации соотношений ползучести исследуется влияние краевого эффекта на напряженное состояние круговой конической оболочки при установившейся ползучести. В статье [17] им же рассматриваются вариационным методом задачи устойчивости цилиндрических и конических оболочек по теории наследственной ползучести. Работа [18] посвящена исследованию изгиба и устойчивости тонкостенных конструкций на основе линеаризованных соотношений теории течения и деформаций.

В статьях [19] и [20] И. В. Даутовым рассмотрены вопросы изгиба и устойчивости цилиндрической оболочки при установившейся ползучести.

В работах X. М. Муштари [21] и Р. Г. Суркина [22], исследованы поперечный изгиб опертой квадратной пластинки и сферической панели с гибкими в своей плоскости краями при малой физической нелинейности по теории среднего изгиба. Задача приводится к интегрированию системы уравнений относительно функции напряжения и функции прогиба, линейных относительно коэффициентов функции напряжения и нелинейных относительно коэффициентов прогиба. Прогиб и функция напряжения аппроксимируются тригонометрическими рядами, удовлетворяющими граничным условиям. Уравнения совместности деформаций и изгиба интегрируются по методу Бубнова—Галеркина. Решая систему уравнений относительно неизвестных, авторы получили расчетные формулы для определения прогиба и напряжений в центре как для пластинки, так и для сферических панелей различной кривизны.

В статье [23] А. В. Саченкова на основе теории локальной устойчивости Ю. Н. Работнова рассматривается устойчивость цилиндрических и конических оболочек эллиптического сечения под действием продольного сжатия. Полученные результаты близки к результатам соответствующих точных решений [24]. Для материалов, подчиняющихся степенному закону упрочнения, рассмотрен ряд задач устойчивости конической оболочки постоянной и переменной толщины под действием равномерного внешнего давления.

В статье [25] И. Г. Терегуловым формулируется вариационный принцип возможных скоростей для установившейся ползучести с учетом геометрической нелинейности. На примере показано существенное влияние геометрической нелинейности на процесс изгиба. В статьях [26, 27, 28, 29] при малых прогибах рассматриваются вариационные теоремы для неустановившейся ползучести и решается задача об изгибе пологого сферического сегмента.

Ползучесть в пограничной зоне тонких оболочек на основе линеаризации соотношений ползучести рассмотрена в статье [29]. Изгиб и устойчивость пластин и оболочек на основе соотношений наследственной ползучести рассмотрены в статьях [24, 30, 28]. В статье [28] разработаны различные приближенные методы и показана их эффективность.

Экспериментальные данные для подкрепленных ребрами оболочек из оргстекла приводятся в работе В. И. Климанова и С. А. Тимашева [31]. Физические соотношения принимаются в виде:

о

Здесь К° — т) — функция влияния, которая характеризует ползучесть материала при растяжении(сжатии); К^^ — т) — функция влияния, характеризующая сдвиговую ползучесть; Е0 и С0 — соответственно модуль упругости и модуль сдвига, у0 — коэффициент Пуассона.

Функции влияния принимаются в виде:

е^(А^Т(о))П •1ап

т = е— X

Г(ап)

п=1

где Г(ап) — гамма функция; параметры а, р, А определяются экспериментально. В табл. 1.1 приведены значения этих параметров для оргстекла, взятые из работы [31].

Таблица 1.1 — Реологические параметры оргстекла

Функция влияния Параметр функции влияния

а р • 103 А • 10

Кг 0,05 0,045 0,26945

К2 0,2 0,833 0,13184

В работе [31] также проводится исследование устойчивости ребристых пологих оболочек на основе уравнений (1.1). Задачи детального исследования процессов ползучести материала не ставится, поэтому рассматривается простая теория ползучести (линейная теория наследственности).

Из последних работ по проблеме расчета пластин и оболочек с учетом ползучести можно выделить [32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41]. В данных работах имеется достаточно сложная постановка задачи (наличие армирования, анизотропия, воздействие высоких температур и коррозии), однако в основном рассматривается установившаяся ползучесть, либо линейные теории.

В работе [42] предложен достаточно оригинальный и эффективный метод расчета гибких пластин, являющийся одним из вариантов метода коллокации. Сущность его заключается в том, что искомая функция прогиба представляется в виде произведения главной и корректирующей частей, удовлетворяющих граничным условиям. Главная часть является точным решением линейной задачи

изгиба и содержит три корректирующих коэффициента, корректирующая часть представляется экспоненциальной функцией с двумя коэффициентами, подлежащими определению. Развитие метода на класс более сложных нелинейных краевых задач приводится в работе [43]. Недостатком метода является то, что при больших прогибах количество необходимых для получения качественного решения корректирующих коэффициентов возрастает.

Задачи расчета гибких пластин и оболочек коллокационными методами приводятся также в работах [44] и [45].

В связи с массовым появлением ПЭВМ в конце второй половины ХХ века широкое распространение получили численные методы расчета. Первыми исторически появились конечно-разностные методы, которые и в настоящее время остаются эффективными средствами численного решения дифференциальных уравнений в частных производных.

Сущность метода конечных разностей (МКР) заключается в замене дифференциальных уравнений приближенными разностными отношениями по формулам численного дифференцирования. Однако такой подход совершенно неприемлем при рассмотрении тел сложной геометрии. Также недостатками метода являются высокий порядок систем уравнений, трудности при рассмотрении многосвязных областей и их стыковке.

Вопросы построения конечно-разностной аппроксимации краевых задач, алгоритмы формирования и решения систем разностных уравнений подробно изложены в работах [46, 47, 48].

Вариационно-разностный метод и метод конечных элементов свободны от некоторых недостатков МКР, поскольку основаны на вариационных принципах механики. Это дает возможность избежать формулировки краевой задачи для системы дифференциальных уравнений и непосредственно перейти к системе алгебраических уравнений. При этом матрица коэффициентов хорошо обусловлена и всегда имеет симметричную структуру.

Идея вариационно-разностного метода состоит в замене вариационной задачи ее дискретным аналогом в сеточной области. При переходе к системе

алгебраических уравнений исходный функционал энергии, записанный для всей области, заменяется некоторой конечной суммой, а входящие в него производные — конечными разностями. Метод облегчает формулировку краевых и контактных задач и позволяет исключить из специального рассмотрения статические граничные условия, называемые естественными.

В основе метода конечных элементов (МКЭ) лежит идея разделения конструкции на отдельные элементы. В МКЭ функционал энергии для всей рассматриваемой области представляется в виде суммы функционалов отдельных ее частей — конечных элементов. В каждом элементе независимо от других задается закон распределения функций, выбранных в качестве разрешающих. На первой стадии сопряжение конечных элементов в единую систему проводилось путем удовлетворения условий совместности перемещений только в узловых точках. В последние годы разрабатываются приемы, в которых условия совместности деформации удовлетворяются по всей длине границ между элементами, а не только в отдельных точках.

Обширная информация по теории МКЭ, а также применение метода в различных областях техники приводится в работах [49, 50, 51, 52, 53, 54].

1.2 Общие уравнения теории ползучести полимерных материалов

К наиболее известным теориям ползучести относятся теории старения, течения, упрочнения и наследственная теория ползучести.

Как известно, уравнения ползучести по теории старения включают в себя в явном виде время и имеют следующий общий вид:

/(£, о, t) = 0.

Легко видеть, что эта теория, если ее применять к переменным нагрузкам, может привести к абсурдным результатам. Поэтому введение явной зависимости от времени в основное соотношение между напряжениями и деформациями можно рассматривать как рабочую гипотезу, пригодную для приближенных расчетов при определенных режимах нагружения. Исследования показали, что теория старения имеет право на существование для материалов, в которых происходят внутренние

процессы, например изменение физико-механических свойств стеклопластика по мере его старения. Следует, однако, помнить об условиях применимости теории старения. Если в основу этой теории ползучести положить экспериментальные данные, полученные при постоянных напряжениях, то ее можно применять только при постоянных внешних нагрузках. Если теория старения основана на экспериментальных данных для меняющихся по определенному закону и с определенными скоростями напряжений, то эта теория может применяться в таких же или близких к ним условиях.

Уравнения ползучести по теории течения устанавливают связь между медленно меняющимся напряжением, скоростью деформации ползучести и временем в следующем общем виде:

[(а, ¿, О = 0.

Возможность использования в расчетах для полимерных материалов этого варианта теории ползучести изучена пока недостаточно.

Среди современных технических теорий ползучести наибольшее значение имеют теории упрочнения и наследственные теории.

Уравнения теории упрочнения связывают в форме некоторой аналитической зависимости напряжения, деформации, скорости напряжений и скорости деформаций, т.е. имеют следующий общий вид:

[(а, д, £, ¿) = 0.

Так, например, для пенопластов используется закон Фойгта [22], который при сдвиговой ползучести запишется в виде:

т = ж^ + Ну, (12)

где х — коэффициент вязкости пенопласта; Н — длительный модуль сдвига; т — касательное напряжение; у — угол сдвига.

Наиболее общий характер среди всех теорий ползучести носит теория наследственности, описывающая зависимость деформации ползучести в данный момент времени от предыдущего деформирования материала. При этом учет предшествующей деформации производится на основе принципа суперпозиции.

Простейшая из наследственных теорий ползучести была предложена еще

А. Вольтерра (1931 г.). Значительное развитие эта теория получила в работах

Ю. Н. Работнова [5] и И. И. Гольденблата [55, 56].

Связь между напряжениями и деформациями в момент времени t > f

согласно наследственной ползучести выражается соотношением:

t

a(t) f

s(t) + I K(t — f)a(f)dx,

0

где ï — переменная интегрирования, изменяющаяся от 0 до t; a(t) — напряжение; K(t —f) — ядро интегрального уравнения, установленное опытным путем.

Первый член в приведенном уравнении ползучести отображает мгновенную деформацию £0 в момент времени t, вызванную напряжением &(t), а второй член — развивающуюся во времени деформацию, вызванную переменным во времени напряжением &(т).

Подавляющее большинство экспериментов по ползучести гомогенных и армированных полимеров относится к одноосному напряженному состоянию. В то же время многие элементы конструкций работают в условиях сложного напряженного состояния, и, следовательно, изучение поведения материала в таких условиях имеет большое значение.

Для полимеров хорошо согласуется с экспериментальными данными при многоосном напряженном состоянии обобщенное нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича, которое в случае объемного напряженного состояния имеет вид [57]:

CS * С *

д£и fij

= i = (x,y,z); j = (x,y,z),

dt ц

где f* — функции напряжений.

3

fii = 2(ач — v8iJ) — Eœ£*ij,

Ox + Oy + Oz

где р =-j--среднее напряжение; о^ — символ Кронекера; Eœ — модуль

высокоэластичности.

1 1 [1ГтаХ1\ — = — ехр I-— ),

ц* \ т* у

* *

где — начальная релаксационная вязкость; т — модуль скорости.

Методики определения релаксационных констант опытным путем можно найти в работе [58].

ГЛАВА 2. ИЗГИБ ТОНКИХ ЖЕСТКИХ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНОК ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ

2.1. Изгиб прямоугольной жесткой пластинки. Основные уравнения

При выводе основного разрешающего уравнения будем использовать гипотезы, на которых основана теория Кирхгофа-Лява:

- гипотеза прямых нормалей;

- гипотеза о недеформируемости срединной плоскости;

- гипотеза отсутствия давления между слоями пластинки, параллельными срединной плоскости.

В соответствии с теорией Кирхгофа-Лява, связь между перемещениями и деформациями будет иметь вид:

д2w

£у = —2^:т'> (21)

д2ш ду2 '

д2w

Уху 2г'дх ду

Физические уравнения с учетом деформаций ползучести для плоского

напряженного состояния запишутся в виде:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чепурненко Антон Сергеевич, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арутюнян Н. Х. Некоторые вопросы теории ползучести. М.: Гостехтеориздат, 1952. 323 с.

2. Арутюнян Н. Х. Расчет строительных конструкций с учетом ползучести/ Н. Х. Арутюнян, А. А. Зевин. М.: Стройиздат, 1988. 257 с.

3. Арутюнян Н. Х. Контактные задачи теории ползучести/ Н. Х. Арутюнян, А. В. Манжиров. НАН РА, 1999. 318 с.

4. Качанов Л. М. Теория ползучести. М.: Физматгиз, 1960. 680 с.

5. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752

с.

6. Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. 512 с.

7. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1968. 400 с.

8. Ржаницын А. Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. Л.: Гостехиздат, 1949. 543 с.

9. Харлаб В. Д. Энергетическая теория нелинейной ползучести и длительной прочности хрупко разрушающихся материалов // Механика стержневых систем и сплошных сред: Межвуз. тематич. сб. тр. Л., ЛИСИ. 1981. №14. С. 11 — 17.

10. Харлаб В. Д., Гурьева Ю. А. Устойчивость стойки Шенли в упрощенной теории нелинейной ползучести нестареющего бетона при сжатии // Вестник гражданских инженеров. 2008. С. 38 — 42.

11. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М.: Гос. изд-во физико-математической лит-ры, 1961. 448 с.

12. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1957. 463 с.

13. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977.

416 с.

14. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1956. 419 с.

15. Муштари Х. М., Галимов К. З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Таткнигоиздат, 1957. 437 с.

16. Данилов В. И. Ползучесть конической оболочки в зоне краевого эффекта. Сб. «Исслед. по теор. пласт, и обол.». Казань: изд-во КГУ, 1964. С. 175 — 178.

17. Данилов В. И. К вопросу устойчивости цилиндрической и конической оболочек при ползучести. Сб. «Исслед. по теор. пласт, и обол.», № 3. Казань: изд-во КГУ, 1965. С. 244 — 254.

18. Данилов В. И., Терегулов И. Г. К вопросу изгиба и устойчивости тонкостенных конструкций при неустановившейся ползучести // Исслед. по теор. пластин и оболочек. 1966. №4. С. 441 — 457.

19. Даутов И. В. Определение прогибов замкнутой круговой цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия и внешнего давления при установившейся ползучести // Исслед. по теор. пластин и оболочек. 1965. №3. С. 255 — 259.

20. Даутов И. В. Потеря устойчивости цилиндрической оболочки под действием внешнего давления при установившейся ползучести // Сб. «Исслед. по теор. пласт, и обол.». 1966. № 4. С. 112 — 119.

21. Муштари Х. М., Суркин Р. Г. Средний изгиб пологой сферической панели, квадратной в плане при нелинейной зависимости между деформацией и напряжением // ПМТФ. 1960. № 2. С. 92 — 101.

22. Муштари Х. М., Суркин Р. Г. Поперечный изгиб опертой квадратной пластинки при нелинейной зависимости между деформацией и напряжением // Изд. КФАН СССР, сер, физ.-мат. и техн. наук. 1960. №14. С. 55 — 63.

23. Саченков А. В. Об устойчивости оболочек за пределом упругости // Изв. КФАН СССР, сер. физ.-мат. и техн. наук. 1956. №10. С. 38 — 46.

24. Терегулов И. Г. Устойчивость пластин и оболочек при неустановившейся ползучести // Сб. «Исслед. по теор. пласт, и обол.». 1965. № 3. С. 237 — 243.

25. Терегулов И. Г. К вариационным методам решения задач установившейся ползучести пластин и оболочек в случае конечных прогибов // ПММ. 1962. т. 26. №2 3.

26. Терегулов И. Г. Неустановившаяся ползучесть тонких пластин и оболочек при малых перемещенинях // ПММ. 1962. т. 26. №4.

27. Терегулов И. Г. Ползучесть в пограничной зоне тонких оболочек // Изв. АН СССР, ОТН, сер. мех. и маш. 1963. №6.

28. Терегулов И. Г., Муртазин Р. З. Квазистатический изгиб и устойчивость оболочек при ползучести (теория наследственности) // Сб. «Исслед. по теор. пласт, и обол.». 1964. № 2. C. 145 — 148.

29. Терегулов И. Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести. Казань: Наука, 1969. 208 с.

30. Терегулов И. Г. Устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля в условиях неустановившейся ползучести // Сб. «Исслед. по теор. пласт, и обол.». 1964. № 2.

31. Климанов В. И., Тимашев С. А Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: АН СССР. УНЦ, 1985. 291 с.

32. Altenbach H., Altenbach J., Naumenko K. On the prediction of creep damage by bending of thin-walled structures // Mechanics of Time-Dependent Materials 1997. №1. P. 181 — 193.

33. Altenbach H., Huang C., Naumenko K. Creep-damage predictions in thin-walled structures by use of isotropic and anisotropic damage models // The Journal of Strain Analysis for Engineering Design. 2002. P. 265 — 275.

34. Altenbach H., Morachkovsky O., Naumenko K^ др. Geometrically nonlinear bending of thin-walled shells and plates under creep-damage conditions // Archive of Applied Mechanics. 1997. №67. P. 339 — 352.

35. Altenbach H., Naumenko K. Creep bending of thin-walled shells and plates by consideration of finite deflections // Computational mechanics. 1997. №19. P. 490 — 495.

36. Белов А.В., Поливанов А.А., Попов А.Г. Оценка работоспособности многослойных пластин и оболочек с учетом повреждаемости материалов вследствие ползучести и высокотемпературной водородной коррозии // Современные проблемы науки и образования. 2007. C. 80-85.

37. Белов А. В. и др. Анализ напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек с учетом и без учета повреждаемости материалов вследствие температурной ползучести и водородной коррозии // Изв-ия Волгоградского гос. тех. ун-та. 2007. C. 104 — 107.

38. Белов А. В. и др. Длительная прочность вращающейся конической оболочки переменной жесткости с учетом повреждаемости материала при ползучести и высокотемпературной водородной коррозии // Современные проблемы науки и образования. 2008. C. 48 — 53.

39. Бреславский Д. В., Морачковский О. К., Татаринова О. А. Высокотемпературная ползучесть и длительная прочность элементов конструкций при циклическом нагружении // Проблемы прочности. 2008 C. 45 — 48.

40. Немировский Ю. В. Ползучесть однородных и композитных оболочек // Актуальные проблемы механики оболочек: Тр. междунар. конф. 2000. C. 42 — 49.

41. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Равнонапряженное армирование металлокомпозитных пластин при установившейся ползучести // Механика композитных материалов. 2008. №44. C. 11 — 34.

42. Рогалевич В. В., Тимашев С. А. Новый приближенный метод расчета гибких пластин постоянной и переменной толщины // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2012. №1. С. 67 — 71.

43. Рогалевич В. В., Тимашев С. А. Эффективный приближенный метод расчета гибких пластин // Академический вестник УралНИИпроект РААСН. 2012. №3. С. 60 — 65.

44. Рогалевич В. В. Об одном методе решения линейных краевых задач математической физики // Математическое моделирование и краевые задачи : тез. докл. Всерос. науч. конф. Самара. 2004. С. 189 — 192.

45. Букша В. В., Машкин О. В., Рогалевич В. В. Расчет пластин и пологих оболочек коллокационными методами. Екатеринбург: Изд-во АМБ, 2007. 353 с.

46. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. Москва: Высшая школа, 2005. 483 с.

47. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Рипол Классик, 2013. 437 с.

48. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 304 с.

49. Басов К. А. ANSYS: справочник пользователя. М.: ДМК Пресс, 2005. 640

с.

50. Ельмуратов С. К., Жадрасинов Н. Т. Построение разрешающих уравнений пологой оболочки в векторной форме // Вестник ПГУ им. С.Торайгырова. Серия «Физика и математика». Павлодар. 2005. С. 43 — 47.

51. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 542 с.

52. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974. 240 с.

53. Леонтьев Н. Н. Метод конечных элементов в теории сооружений: учебное пособие. М.: МИСИ, 1979. 329 с.

54. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

392 с.

55. Бажанов В. Л., Гольденблат И. И., Копнов В. А. Пластинки и оболочки из стеклопластиков. М.: Высшая школа, 1970. 408 с.

56. Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. ГИТЛ, 1955. 413 с.

57. Рабинович А. Л. Введение в механику армированных полимеров. М.: Наука, 1970. 482 с.

58. Бабич В. Ф. Исследование влияния температуры на механические характеристики полимеров. Дисс. канд. техн. наук. М., 1966. 140 с.

59. Клименко Е. С., Аминева Е. Х., Литвинов С. В.и др. Устойчивость сжатых неоднородных стержней с учетом физической нелинейности материала: монография. Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2012. 77 с.

60. Козельская М. Ю., Чепурненко А. С., Литвинов С. В. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный вестник Дона. 2013. №2. URL: http: //ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.

61. Чепурненко А. С., Андреев В. И., Языев Б. М. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Вестник МГСУ. 2013. №1. C. 101 — 108.

62. Андреев В. И. Об устойчивости полимерных стержней при ползучести // Механика полимеров. 1968. №1. C. 45 — 50.

63. Турусов Р. А. Температурные напряжения и релаксационные явления в осесимметричных задачах механики жестких полимеров. Дисс. канд. техн. наук. М., 1970. 160 с.

64. Литвинов C. В., Языев Б. М., Чепурненко А. С. Метод конечных элементов в строительной механике и в теории упругости: учебное пособие. Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2013. 96 с.

65. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep//Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland.

66. Белоус П. А. Устойчивость полимерного стержня при ползучести с учетом начальной кривизны // Труды Одесского политехнического института. 2001. №2. C. 43 — 46.

67. Тамразян А. Г. Механика ползучести бетона: монография/ А. Г. Тамразян, С. Г. Есаян. — Москва: МГСУ, 2012. — 490 с.

68. Garrido M., Correia J., Branco F. Creep behavior of sandwich panels with rigid polyurethane foam core and glass-fibre reinforced polymer faces: Experimental tests and analytical modeling // Journal of Composite Materials. 2013. P. 21 — 28.

69. Гаврилов А. К., Осетинский, Ю. В. Расчет трехслойной пластинки с учетом ползучести среднего слоя // Расчет оболочек и пластин: Сб. научн. тр. Ростов-на-Дону. 1975. C. 85 — 90.

70. Мартемьянов В. И., Осетинский Ю. В. Трехслойные строительные конструкции. Учебное пособие. Ростов-на-Дону: Рост. инж.-строит. ин-т, 1977. 109 с.

71. Осетинский Ю. В. Ползучесть пологой трехслойной оболочки // Облегченные конструкции покрытий зданий. Сборник статей. Ростов-на-Дону. 1976. C. 62 — 77.

72. Демченко Д. Б. Экспериментально-теоретическое изучение несущей способности шестиугольной трехслойной панели покрытия. Дисс. канд. техн. наук. Ростов-на-Дону, 1999. 163 с.

73. Чепурненко А. С., Андреев В. И., Языев Б. М. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести//Вестник МГСУ. №1 2013, с.101-108.

74. Vladimir I. Andreev, Batyr M. Yazyev, Chepumenko Anton S. On the Bending of a Thin Plate at Nonlinear Creep//Advanced Materials Research Vol. 900 (2014) pp 707-710. Trans Tech Publications, Switzerland.

75. Янковский А. П. Численно-аналитический метод решения плоской задачи равнонапряженного армирования металлокомпозитных пластин при установившейся ползучести // Вычислительная механика сплошных сред. 2009. №2. — с. 108-120.

76. Жгутов В. М. Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости ребристых оболочек с учетом ползучести материала при конечных прогибах // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского гос. политех. ун-та. 2010. С. 53 — 59.

77. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Интегрирование задачи динамического вязкопластического деформирования изотропных цилиндрических оболочек обобщенным методом Рунге—Кутты // Вестник Чувашского гос. пед. унта. 2008. C. 5 - 10.

78. Немировский Ю. В., Янковский А. П. Установившаяся ползучесть слоисто-волокнистых изгибаемых металлокомпозитных пластин // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2008. №2. C. 66 — 76.

Приложение 1. Документы о внедрении результатов работы

Приложение 2. Программы расчетов на ЭВМ в пакете Matlab Расчет трехслойных оболочек. Основной модуль shell.m

clc;

clear all; Ь=80;%толщина, мм

E=2*10A4;%модуль упругости обшивок, кг/ммА2 nu=0.3;%коэффициент Пуассона обшивок t p=1.5;%толщина нижней обшивки, мм t m=1.5;%толщина нижней обшивки, мм G=0.25; %модуль сдвига заполнителя, кг/ммА2 q=2*10A(-4);

R=56000*12; %Радиус кривизны r=8000;%радиус в плане f=R-(RA2-rA2)A0.5;%Подъем оболочки %Формировании геометрии оболочки g=[4 4 4 4 0 r 0 -r r 0 -r 0 -r 0 r 0

0 r 0 -r

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r r

0 0 0 0];

%Формирование сетки конечных элементов [p,e,t]=initmesh(g,'Hmax',r/8); %pdemesh(p,e,t); np=size(p,2);%количество узлов nt=size(t,2);%количество элементов ne=size(e,2);%количество элементов fs = 8;

z=zeros(np,1); for i=1:np x=p(1,i); y=p(2,i);

z(i)=-((RA2-xA2-yA2)A0.5+f-R); end

E1=E/(1-nuA2); %Матрица упругих постоянных D=[E1*t_p E1*t_p*nu 0 0 0 0 0 0 E1*t_p*nu E1*t_p 0 0 0 0 0 0 0 0 t_p*E/2/(1+nu) 0 0 0 0 0 0 0 0 E1*t_m E1*t_m*nu 0 0 0 0 0 0 E1*t_m*nu E1*t_m 0 0 0 0 0 0 0 0 t_m*E/2/(1+nu) 0 0 0 0 0 0 0 0 G*h 0 0 0 0 0 0 0 0 G*h]; K=sparse(5*np,5*np);%Матрица жесткости P=sparse(1,5*np);%Вектор нагрузки for i=1:nt ii(1)=t(1,i);%Номер первого узла ii(2)=t(2,i);%Номер второго узла ii(3)=t(3,i);%Номер третьего узла matrK;%Локальная МЖ Kt=L'*Ke*L; A_=0.5*det([1 xi yi

1 xj yj

1 xk yk]);

Pe=q*A*[0;0;0;0;1/3;0;0;0;0;1/3;0;0;0;0;1/3;]; Pt=L'*Pe; for j=1:5 for k=1:5

for l=1:3

for m=1:3

K(5*ii(l)+j-5,5*ii(m)+k-5)=K(5*ii(l)+j-5,5*ii(m)+k-5)+Kt(5*l+j-

5,5*m+k-5);

end

end

end

end for j=1:5

for l=1:3

P(5*ii(l)+j-5)=P(5*ii(l)+j-5)+Pt(5*l+j-5);

end

end end

%Граничные условия for i=1:ne i1=e(1,i); i2=e(2,i); for j=1:5 if j~=3&&j~=4 K(5*i1-5+j, 1:5*np)=0; K(1:5*np, 5*i1-5+j)=0; K(5*i1-5+j, 5*i1-5+j)=1; end end end

KM=KA(-1);%Обратная матрица КЛ(-1)

T=100;%время, час

nT=50;

dt=T/nT;

Cz=0.077;%релаксационные константы

alpha=0.077;

Wmax=zeros(1,nT+1);

Tmax=zeros(1,nT+1);

time=zeros(1,nT+1);

gamma xz=zeros(1,nt);%вектор деформаций ползучести

gamma yz=zeros(1,nt);%вектор деформаций ползучести

%Векторы напряжений в элементах:

sigma x p=zeros(nt,1);

sigma y p=zeros(nt,1);

tau p=zeros(nt,1);

sigma x m=zeros(nt,1);

sigma y m=zeros(nt,1);

tau m=zeros(nt,1);

tau xz=zeros(nt,1);

tau yz=zeros(nt,1);

for_it=1:nT+1

P=sparse(1,5*np); for i=1:nt ii(1)=t(1,i);%Номер первого узла ii(2)=t(2,i);%Номер второго узла ii(3)=t(3,i);%Номер третьего узла matrB;

Pe=q*A*[0;0;0;0;1/3;0;0;0;0;1/3;0;0;0;0;1/3;]+B'*D*A*[0;0;0;0;0;0;gamma_xz(i);gamm a_yz(i)];

Pt=L'*Pe; for j=1:5

for l=1:3

P(5*ii(l)+j-5)=P(5*ii(l)+j-5)+Pt(5*l+j-5);

end end end

%Граничные условия for i=1:ne i1=e(1,i); i2=e(2,i); for j=1:5 if j~=3&&j~=4

P(5*i1-5+j)=0; end end end U=KM*P'; W=zeros(1,np); U p=zeros(1,np); U m=zeros(1,np);

V p=zeros(1,np);

V m=zeros(1,np); for i=1:np

W(i)=U(5*i); U_p(i)=U(5*i-4); V_p(i)=U(5*i-3); U_m(i)=U(5*i-2); V_m(i)=U(5*i-1); end

%Вычисление напряжений sigma x p=zeros(nt,1); sigma y p=zeros(nt,1); tau p=zeros(nt,1); sigma x m=zeros(nt,1); sigma y m=zeros(nt,1); tau m=zeros(nt,1); tau xz=zeros(nt,1); tau yz=zeros(nt,1); for i=1:nt

ii(1)=t(1,i);%Номер первого узла ii(2)=t(2,i);%Номер второго узла ii(3)=t(3,i);%Номер третьего узла Ue=zeros(15,1); for j=1:5 for l=1:3

Ue(5*l+j-5)=U(5*ii(l)+j-5);

end end matrB; Ut=L*Ue;

%Вычисление напряжений

sigma=D*(B*Ut-[0;0;0;0;0;0;gamma xz(i);gamma yz(i)]);

sigma x p(i)=sigma(1)/t p;

sigma y p(i)=sigma(2)/t p;

tau p(i)=sigma(3)/t p;

sigma x m(i)=sigma(4)/t m;

sigma y m(i)=sigma(5)/t m;

tau m(i)=sigma(6)/t m;

tau xz(i)=sigma(7)/h;

tau yz(i)=sigma(8)/h;

%Определение деформаций ползучести

gamma xz(i)=gamma xz(i)+(Cz/G*tau xz(i)-alpha*gamma xz(i))*dt; gamma yz(i)=gamma yz(i)+(Cz/G*tau yz(i)-alpha*gamma yz(i))*dt; end

Tmax(it)=max(tau xz); time(it)=(it-1)*dt; Wmax(it)=max(W); clc

proc=fix(it/(nT+1)*100) %Вывод процента выполнения программы end

plot(time, Wmax/Wmax(1));%График роста прогиба hold on

Подпрограмма matrK.m для вычисления локальной матрицы жесткости

xi=p(1,ii(1));

yi=p(2,ii(1));

xj=p(1,ii(2));

yj=p(2,ii(2));

xk=p(1,ii(3));

yk=p(2,ii(3));

zi=z(ii(1));

zj=z(ii(2));

zk=z(ii(3));

AA=(yj-yi)*(zk-zi)-(yk-yi)*(zj-zi); BB=-(xj-xi)*(zk-zi)+(xk-xi)*(zj-zi); CC=(xj-xi)*(yk-yi)-(xk-xi)*(yj-yi); %Матрица направляющих косинусов lamda=zeros(3,3); lamda(1,1)=-BB/(AAA2+BBA2)A0.5; lamda(1,2)=AA/(AAA2+BBA2)A0.5; lamda(1,3)=0;

lamda(2,1)=-AA*CC/((AAA2+BBA2)*(AAA2+BBA2+CCA2))A0.5;

lamda(2,2)=-BB*CC/((AAA2+BBA2)*(AAA2+BBA2+CCA2))A0.5;

lamda(2,3)=(AAA2+BBA2)/((AAA2+BBA2)*(AAA2+BBA2+CCA2))A0.5;

lamda(3,1)=AA/(AAA2+BBA2+CCA2)A0.5;

lamda(3,2)=BB/(AAA2+BBA2+CCA2)A0.5;

lamda(3,3)=CC/(AAA2+BBA2+CCA2)A0.5;

x =lamda*[xi;yi;zi];

xi_=x_(1);

yi_=x_(2);

zi =x (3);

x =lamda*[xj;yj;zj]; xj_=x_(1); yj_=x_(2); zj_=x_(3);

x =lamda*[xk;yk;zk];

xk_=x_(1);

yk_=x_(2);

zk =x (3);

bi=yj -yk ;

bj=yk -yi ;

bk=yi -yj ;

ci=xk_-xj_;

cj=xi -xk ;

ck=xj_-xi_;

A=0.5*det([1 xi_ yi_

1 xj_ yj_

1 xk yk ]);%площадь элемента L=zeros(15,15); %матрица преобразования координат

for j=1 3

L(1+5* j-1) ,1+5*( j-1) =lamda(1, 1)

L(1+5* j-1) ,2+5*( j-1) =lamda(1, 2)

L(1+5* j-1) ,5+5*( j-1) =lamda(1, 3)

L(2+5* j-1) ,1+5*( j-1) =lamda(2, 1)

L(2+5* j-1) ,2+5*( j-1) =lamda(2, 2)

L(2+5* j-1) ,5+5*( j-1) =lamda(2, 3)

L(3+5* j-1) ,3+5*( j-1) =lamda(1, 1)

ь 3+5*( j-l) ,4+5*( j-l) =lamda(l, 2);

ь 3+5*( j-l) ,5+5*( j-l) =lamda(l, 3);

ь 4+5*( j-l) ,3+5*( j-l) =lamda(2, 1);

ь 4+5*( j-l) ,4+5*( j-l) =lamda(2, 2);

ь 4+5*( j-l) ,5+5*( j-l) =lamda(2, 3);

ь 5+5*( j-l) ,1+5*( j-l) =lamda(3, 1)/2;

ь 5+5*( j-l) ,2+5*( j-l) =lamda(3, 2)/2;

ь 5+5*( j-l) ,3+5*( j-l) =lamda(3, 1)/2;

ь 5+5*( j-l) ,4+5*( j-l) =lamda(3, 2)/2;

ь 5+5*( j-l) ,5+5*( j-l) =lamda(3, 3);

end

Ке: Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке Ке

гоб(15,15); %Локальная матрица жесткости

1)=t_p/4/A*(El*biA2+E/2/(l+nu)*ciA2)+A*G/6/h;

2)=t_p/4/A*(E/2/(l+nu)*bi*ci+nu*El*bi*ci);

5)=bi*G/6;

6)=t_p/4/A*(El*bi*bj+E/2/(l+nu)*ci*cj)+A*G/l2/h;

7)=t_p/4/A*(nu*El*bi*cj+E/2/(l+nu)*bj*ci);

8)=-G*A/l2/h; 10)=^^/6;

11)=t_p/4/A*(El*bi*bk+E/2/(l+nu)*ci*ck)+A*G/l2/h;

12)=t_p/4/A*(nu*El*bi*ck+E/2/(l+nu)*bk*ci);

13)=^^/^/^ l5)=bk*G/6;

2)=t_p/4/A*(El*ciA2+E/2/(l+nu)*biA2)+A*G/6/h;

5)=^^/6;

6)=t_p/4/A*(E/2/(l+nu)*bi*cj+nu*El*bj*ci);

7)=t_p/4/A*(El*ci*cj+E/2/(l+nu)*bi*bj)+A*G/l2/h;

9)=-G*A/l2/h;

10)=^^/6;

11)=t_p/4/A*(nu*El*bk*ci+E/2/(l+nu)*bi*ck);

12)=t_p/4/A*(El*ci*ck+E/2/(l+nu)*bi*bk)+A*G/l2/h;

l5)=ck*G/6;

3)=t_m/4/A*(El*biA2+E/2/(l+nu)*ciA2)+A*G/6/h;

4)=t_m/4/A*(nu*El*bi*ci+E/2/(l+nu)*bi*ci);

5)=-bi*G/6;

6)=-G*A/l2/h;

8)=t_m/4/A*(El*bi*bj+E/2/(l+nu)*ci*cj)+A*G/l2/h;

9)=t_m/4/A*(nu*El*bi*cj+E/2/(l+nu)*bj*ci);

10)=-^^/6;

13)=t_m/4/A*(El*bi*bk+E/2/(l+nu)*ci*ck)+A*G/l2/h;

14)=t_m/4/A*(nu*El*bi*ck+E/2/(l+nu)*bk*ci);

15)=-bk*G/6;

4)=t_m/4/A*(El*ciA2+E/2/(l+nu)*biA2)+A*G/6/h;

5)=-^^/6;

7)=-G*A/l2/h;

8)=t_m/4/A*(nu*El*bj*ci+E/2/(l+nu)*bi*cj);

9)=t_m/4/A*(El*ci*cj+E/2/(l+nu)*bi*bj)+A*G/l2/h;

10)=-^^/6; 12)=^^/^/:^

13)=t_m/4/A*(nu*El*bk*ci+E/2/(l+nu)*bi*ck);

14)=t_m/4/A*(El*ci*ck+E/2/(l+nu)*bi*bk)+A*G/l2/h;

15)=-ck*G/6;

5)=G*h/4/A*(biA2+ciA2);

6)=bi*G/6;

7)=^^/6;

8)=-bi*G/6;

9)=-^^/6;

10)=G*h/4/A*(bi*bj+ci*cj);

11)=bi*G/6;

Ke 5, 12)=ci*G/6;

Ke 5, 13)=-bi*G/6;

Ke 5, 14)=-ci*G/6;

Ke 5, 15)=G*h/4/A*(bi*bk+ci*ck);

Ke 6, 6)=t p/4/A*(E1*bjA2+E/2/(1+nu)*cjA2)+A*G/6/h;

Ke 6, 7)=t p/4/A*(nu*E1*bj*cj+E/2/(1+nu)*bj*cj);

Ke 6, 8)=-G*A/6/h;

Ke 6, 10)=bj*G/6;

Ke 6, 11)=t p/4/A*(E1*bj*bk+E/2/(1+nu)*cj*ck)+A*G/12/h;

Ke 6, 12)=t p/4/A*(nu*E1*bj*ck+E/2/(1+nu)*bk*cj);

Ke 6, 13)=-G*A/12/h;

Ke 6, 15)=bk*G/6;

Ke 7, 7)=t p/4/A*(E1*cjA2+E/2/(1+nu)*bjA2)+A*G/6/h;

Ke 7, 9)=-G*A/6/h;

Ke 7, 10)=cj*G/6;

Ke 7, 11)=t p/4/A*(nu*E1*bk*cj+E/2/(1+nu)*bj*ck);

Ke 7, 12)=t p/4/A*(E1*cj*ck+E/2/(1+nu)*bj*bk)+A*G/12/h;

Ke 7, 14)=-G*A/12/h;

Ke 7, 15)=ck*G/6;

Ke 8, 8)=t m/4/A*(E1*bjA2+E/2/(1+nu)*cjA2)+A*G/6/h;

Ke 8, 9)=t m/4/A*(nu*E1*bj*cj+E/2/(1+nu)*bj*cj);

Ke 8, 10)=-bj*G/6;

Ke 8, 11)=-G*A/12/h;

Ke 8, 13)=t m/4/A*(E1*bj*bk+E/2/(1+nu)*cj*ck)+A*G/12/h;

Ke 8, 14)=t m/4/A*(nu*E1*bj*ck+E/2/(1+nu)*bk*cj);

Ke 8, 15)=-bk*G/6;

Ke 9, 9)=t m/4/A*(E1*cjA2+E/2/(1+nu)*bjA2)+A*G/6/h;

Ke 9, 10)=-cj*G/6;

Ke 9, 12)=-G*A/12/h;

Ke 9, 13)=t m/4/A*(nu*E1*bk*cj+E/2/(1+nu)*bj*ck);

Ke 9, 14)=t m/4/A*(E1*cj*ck+E/2/(1+nu)*bj*bk)+A*G/12/h;

Ke 9, 15)=-ck*G/6;

Ke 10 ,10)=G*h/4/A*(bjA2+cjA2);

Ke 10 ,11)=bj*G/6;

Ke 10 ,12)=cj*G/6;

Ke 10 ,13)=-bj*G/6;

Ke 10 ,14)=-cj*G/6;

Ke 10 ,15)=G*h/4/A*(bj*bk+cj*ck);

Ke 11 ,11)=t p/4/A*(E1*bkA2+E/2/(1+nu)*ckA2)+A*G/6/h;

Ke 11 ,12)=t p/4/A*(nu*E1*bk*ck+E/2/(1+nu)*bk*ck);

Ke 11 ,13)=-G*A/6/h;

Ke 11 ,15)=bk*G/6;

Ke 12 ,12)=t p/4/A*(E1*ckA2+E/2/(1+nu)*bkA2)+A*G/6/h;

Ke 12 ,14)=-G*A/6/h;

Ke 12 ,15)=ck*G/6;

Ke 13 ,13)=t m/4/A*(E1*bkA2+E/2/(1+nu)*ckA2)+A*G/6/h;

Ke 13 ,14)=t m/4/A*(nu*E1*bk*ck+E/2/(1+nu)*bk*ck);

Ke 13 ,15)=-bk*G/6;

Ke 14 ,14)=t m/4/A*(E1*ckA2+E/2/(1+nu)*bkA2)+A*G/6/h;

Ke 14 ,15)=-ck*G/6;

Ke 15 ,15)=G*h/4/A*(bkA2+ckA2);

%Заполнение ячеек матрицы жесткости, расположенных ниже главной диагонали for m=1:15 for n=m:15 Ke(n,m)=Ke(m,n); end

end