Расчет ортотропных пластин и оболочек методом граничных элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Великанов, Петр Геннадьевич

• Великанов, Петр Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Великанов, Петр Геннадьевич

Введение.

Глава I. Фундаментальные решения линейных дифференциальных уравнений.

§1.1 Фундаментальные решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

1.1.1 Преобразование Фурье для получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений.

1.1.2 Получение фундаментальных решений с помощью решения соответствующего однородного уравнения.

1.1.3 Получение фундаментальных решений с помощью ассоциированного дифференциального оператора.

§1.2 Линейное деформирование длинной цилиндрической панели.

1.2.1 Цилиндрическая панель по модели Кирхгофа-Лява.

1.2.2 Пологая цилиндрическая панель по модели Тимошенко.

§1.3 Фундаментальные решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

1.3.1 Нахождение фундаментальных решений методом нелинейного подобия.

1.3.2 Нахождение фундаментальных решений методом факторизации дифференциальных операторов.

1.3.3 Нахождение фундаментальных решений с помощью преобразования Куммера-Лиувилля.

1.3.4 Преобразование Ханкеля для получения фундаментальных решений дифференциальных уравнений.

Сферическая и коническая оболочки.

§1.4 Фундаментальные решения систем дифференциальных уравнений в частных производных.

§1.5 Фундаментальные решения некоторых дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

1.5.1 Изгиб изотропной пластины, лежащей на сложном упругом основании.

1.5.2 Изгиб пластины, которая является гибким днищем в сосуде.

1.5.3 Изгиб ортотропной пластины.

1.5.4 Изгиб ортотропной пластины, лежащей на сложном упругом основании.

1.5.5 Плосконапряженное состояние ортотропной пластины.

1.5.6 Плосконапряженное состояние ортотропной пластины (способ II).

1.5.7 Изгиб трансверсально-изотропной пластины.

1.5.8 Изгиб двухслойной пластины.

1.5.9 Изгиб трехслойной пластины.

Глава II. Интегральные уравнения изгиба и плоского напряженного состояния пластин.

§2.1 Формулы дифференцирования в локальной системе координат.

§2.2 Метод компенсирующих нагрузок.

2.2.1 Метод компенсирующих нагрузок при изгибе пластин.

2.2.2 Метод компенсирующих нагрузок для контактных задач изгиба пластин.

§2.3 Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба пластин.

2.3.1 Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба пластины на упругом основании.

2.3.2 Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба ортотропной пластины.

§2.4 Предельные значения потенциалов на границе области для пластины на упругом основании.

§2.5 Интегральные уравнения изгиба пластины.

2.5.1 Интегральные уравнения изгиба пластины, лежащей на двухпараметрическом упругом основании.

2.5.2 Интегральные уравнения изгиба ортотропной пластины.

2.5.3 Интегральные уравнения для контактных задач изгиба пластин.

§2.6 Метод компенсирующих нагрузок для плосконапряженного состояния пластин.

§2.7 Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения плосконапряженного состояния пластины.

§2.8 Интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок для плосконапряженного состояния ортотропной пластины.

§2.9 Регуляризация расходящихся интегралов.

§2.10 Численная реализация.

2.10.1 Вычисление сингулярных интегралов по элементам контура.

Глава Ш.Изгиб изотропных и ортотропных пластин сложной формы.

§3.1 Изгиб ортотропных пластин под действием поперечных нагрузок.

§3.2 Изгиб изотропных пластин, лежащих на упругом основании.

§3.3 Температурный изгиб ортотропных пластин.

§3.4 Температурный изгиб изотропных пластин, лежащих на упругом основании.

§3.5 Изгиб многосвязных пластин.

§3.6 Изгиб пластин под действием произвольно распределенных нагрузок и специальных сил.

§3.7 Контактная задача изгиба пластин, лежащих на упругом основании.

Глава(V. Линейное и нелинейное деформирование пологих оболочек.

§4.1 Задачи линейного деформирования длинных термоупругих цилиндрических панелей МГЭ.

§4.2 Задачи линейного деформирования длинных пологих термоупругих цилиндрических панелей ступенчато-переменной жесткости МГЭ.

§4.3 Исходные соотношения задач деформирования ортотропных и изотропных пластин и пологих оболочек.

§4.4 Расчет гибких ортотропных пластин и пологих оболочек.

§4.5 Примеры решения задач о больших прогибах ортотропных пластин.

§4.6 Метод аналогии Саченкова А.В. для решения задач об изгибе ортотропных пластин и пологих оболочек.

§4.7 Примеры решения задач о больших прогибах ортотропных пологих оболочек.

§4.8 Линейные задачи теории пологих ортотропных оболочек.

§4.9 Обратные и многослойные задачи изгиба пластин и пологих оболочек.

§4.10 Задачи о больших прогибах пологих оболочек под действием термомеханического нагружения.

§4.11 Задачи линейного деформирования криволинейно-ортотропных сферических оболочек вращения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Расчет ортотропных пластин и оболочек методом граничных элементов»

Развитие различных отраслей современного машиностроения - авиационной и космической техники, судостроения, химического машиностроения, промышленного и гражданского строительства ставит задачи расчета тонкостенных конструкций, сочетающих в себе легкость с высокой прочностью, что и обуславливает их широкое использование.

Современный уровень развития производства характеризуется широким внедрением новых, перспективных технологий для изготовления материалов, обладающих самыми разнообразными свойствами (естественно или конструктивно анизотропные, одно- или многослойные), необходимостью учета при проектировании реальных конструктивных особенностей и условий эксплуатации, а также повышенными требованиями к прочностной надежности, экономичности и т.д. Одним из основных требований к конструкциям является разумное соотношение между надежностью и экономичностью. В связи с этим широкое использование анизотропных материалов и пластиков в машиностроении представляется вполне оправданным. Конструкции и детали, изготовленные из таких материалов (в отличие от изотропных), обладают высокой несущей способностью по произвольно выбранным направлениям, что позволяет снизить вес конструкций (обеспечить экономичность) с одновременным увеличением их прочности.

Повышенные требования к прочности и надежности при уменьшении материалоемкости создают сложные проблемы анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкостенных тел в зоне концентраторов напряжений. В связи с этим одной из главных задач механики тонкостенных конструкций является совершенствование методов расчета и проектирования пластин и оболочек сложной формы с различными законами изменения толщины, отверстиями, включениями, накладками при сопряженных воздействиях физических (температурных) полей и механических (локализованных и распределенных внешних силовых) нагрузок [115, 199, 200, 223, 228]. Последние возникают в местах контакта тонкостенных тел со штампами, ребрами жесткости, ложементами и др. Например, при расчете корпусов авиационных реактивных двигателей приходится определять напряженно-деформированное состояние цилиндрической или конической оболочек в области приложения местных нагрузок. Местами приложения таких нагрузок являются точки подвеса двигателя, крепления стабилизаторов и т.д. С локальным нагружением приходится иметь дело при расчете опорных узлов баков, сосудов, реакторов и пр. Наличие концентраторов напряжений в элементах конструкций, изготовленных из хрупких материалов, обычно является причиной их локального разрушения и потери работоспособности конструкции в целом. Кроме того, известно, что коррозионный износ конструкций в зонах действия больших локальных нагрузок и температур, а также в зонах сопряжения и крепления узлов конструкций значительно превышает средний уровень. Поэтому разработка методов определения НДС оболочек и пластин при локализованных внешних воздействиях является актуальной задачей. На это неоднократно указывалось в публикациях различных авторов [6, 172] и др. Именно актуальность вызывает повышенный интерес к проблеме в течение последних десятилетий.

Среди тонкостенных конструкций особенно эффективными по своим характеристикам являются пластины и оболочки сложной геометрии. В этом отношении особое значение приобретает форма конструкции. Известный испанский архитектор Эдуардо Торроха отмечал [276]: "Лучшим сооружением является то, надежность которого обеспечивается главным образом за счет его формы, а не за счет прочности его материала".

В работе Филина А.П. [261] отмечается, что наличие всевозможных невторостепенных конструктивных особенностей, как, например, элементы, подкрепляющие пластину или оболочку на контуре или в области, подкрепленные: или неподкрепленные. отверстия, местные утолщения и тому подобные нерегулярности в ряде случаев приводят к необходимости их учета. Вместе с тем классические расчетные схемы, методы и алгоритмы расчета оказываются, как правило, в этих случаях малоэффективными. :

Новожилов F.B. [199] указывает: "следует иметь в виду,, что только 10%-ая погрешность в определении напряжений приводит почти к двойной погрешности в ресурсе".

Теория тонкостенных конструкций имеет свои направления развития и недостаточно исследованные проблемы. Одной из проблем: механики тонкостенных конструкций является развитие методов исследования линейного и нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек сложной формы с. различными законами изменения толщины, в частности, оболочек ступенчато-переменной жесткости, которые находят широкое применение в технике. Так, расчетная схема пластин; и оболочек с. широкими ребрами с учетом ■ эксцентриситета. (расстояния; между срединными- поверхностями, ребер и оболочек) представляет оболочку ступенчато-переменной жесткости.

Оболочки ступенчато-переменной жесткости и оболочки, ограниченные сложным контуром, относятся- к оболочкам сложной геометрии. По определению Галимова К.З., Паймушина В.Н. [79] оболочки сложной:геометрии - это оболочки со сложной формой срединной поверхности, не описываемой простыми аналитическими выражениями и со сложной конфигурацией границы. , '

В настоящее время теория пластин и оболочек вполне разработана, и трудно ожидать принципиально; новых теоретических построений. Центр тяжести исследований сместился в область решения, прикладных задач и их обобщений, круг которых практически неисчерпаем. . Большинство прикладных, практически важных задач теории пластин и оболочек относятся к классу краевых задач, аналитическое решение которых в; силу различных обстоятельств (неоднородность области, нерегулярность геометрии;. сложность граничных условий, нелинейность дифференциальных уравнений) определить- невозможно. В? этой связи единственно возможным, средством; для получения приемлемых по точности и; затратам времени результатов при решении практически- важных задач являются численные методы. Так, ряд актуальных проблем по моделированию и по методам расчетов тонкостенных оболочек сформулирован академиками Образцовым И.Ф., Самарским Л.А. [200, 223]. По словам авторитета в области моделирования и численных методов Самарского А.А. [223], по-прежнему актуальной задачей оста.ет9Я!задача создания эффективных дискретных моделей,, разработки методов их реализации на ЭВМ^ развитие теории численных методов. Академик Образцов И.Ф. [200] считал, что основная проблема при рассмотрении сложных конструкций - создание эффективных математических моделей деформирования, которые не только обеспечивают выполнение заданных требований к информативности и точности исследований, но и одновременно являются экономичными; способствующими, в частности, минимизации затрат машинного временно и памяти ЭВМ. Здесь сразу встае т вопрос, о существовании универсальных, пригодных для; решения, численных методов исследования широкого круга практически важных задач. Относительно существования универсальных численных методов известно, что не существует ни одного метода, обладающего бесспорными; прет имуществами при решении, бесконечного разнообразия технических проблем [207]. Также; актуален вопрос, связанный с выбором наиболее эффективного численного метода для решения поставленной задачи. Здесь до недавнего времени существовали две диаметрально противоположные точки зрения: с одной стороны, считалось, что выбор того или иного приближенного метода решения краевой задачи не связан с объективными критериями (наиболее эффективным численным методом является тот метод, который хорошо освоил исследователь), а, с другой стороны, - для каждого из них (численных методов) существует круг задач, при решении которых достоинства метода проявляются наиболее полно. Каждый из этих (численных) методов обусловлен необходимостью решения определенного круга задач, имеет свою историю становления и этапы последующего развития с целью расширения области его применения. Но любой из численных методов, имея большие достоинства в плане простоты и эффективности, тем не менее, не лишен определенных недостатков, зачастую принципиального характера, которые обуславливают границы его применения [161, 207]. В'диссертации показана обоснованность именно второй точки зрения.

Далее приведен краткий обзор наиболее распространенных методов расчета пластин и оболочек.

Вариационные (проекционные) методы (метод Ритца, Бубнова-Галеркина, наименьших квадратов и др.) находят широкое применение при решении задач теории пластин и оболочек [113, 179]. Если в 50-60 гг. из-за ограниченных возможностей ЭЦВМ по объему памяти и быстродействию не удавалось решать задачи в высоких приближениях, то с вводом в действие мощных ЭВМ возможности этого метода значительно расширились [148].

Для успешного решения задачи вариационным методом необходимо удачно подобрать аппроксимирующие функции, представляющие линейную комбинацию координатных функций с неопределенными коэффициентами, которые должны удовлетворять геометрическим граничным условиям, в то время как статические условия выполняются при этом автоматически.

В качестве координатных функций применяются тригонометрические многочлены, степенные полиномы, сплайны (кусочные полиномы). Однако выбор таких функций для пластин и оболочек неканонического очертания является сложной задачей. Методы Ритца, Бубнова-Галеркина, наименьших квадратов и др. различаются лишь способом определения коэффициентов при координатных функциях.

Метод граничной коллокации. Идея метода принадлежит академику Канторовичу JI.B. [131]. Решение краевой задачи строится в виде ряда, который содержит произвольные параметры или функции, чтобы дифференциальные уравнения удовлетворялись точно, а краевые условия дискретно. Неизвестные параметры находятся из решения системы алгебраических уравнений. Обзор работ, выполненных методом коллокации, дан Рогалевичем В'.В. в [220].

Но метод граничной коллокации имеет существенный недостаток. Метод коллокаций характеризуется известным произволом в выборе точек коллокаций, что особенно существенно при решении задач в невысоких приближениях.

Метод'конечных.разностей (МКР, FDM1- от англ. finite difference method).

Одним из первых приближенных методов был МКР, основанный на замене дифференциальных уравнений соответствующими уравнениями в конечных разностях.

МКР привлекателен тем, что его в принципе можно применить к любой системе дифференциальных уравнений, но учет граничных условий задачи часто является громоздкой и трудно программируемой операцией. Также в МКР возникают трудности решения задач на сосредоточенные воздействия. Точность полученного численного решения- полностью зависит от степени измельчения сетки, определяющей узловые точки, и, следовательно, в процессе решения задачи всегда приходится иметь дело с системами алгебраических уравнений очень высокого порядка и с ухудшением обусловленности матрицы системы (при стремлении шага сетки к нулю также стремится к нулю и определитель системы).

Метод конечных элементов (МКЭ, FEM - от англ. finite element method).

МКЭ является синтезом энергетических методов, представлений о конечных разностях и структурном моделировании при помощи вычислительных машин.

Количество публикаций по МКЭ не поддается учету (не говоря уже о научно-технических отчетах). Отметим лишь некоторые знаковые обзорные статьи [27, 140]. Подтверждением развития МКЭ служат многочисленные пакеты прикладных программ, которые появляются и исчезают уже на протяжении 40 лет [85].

По одним сведениям первой работой, в которой фактически был реализован МКЭ, была работа Хренникоффа А., 1941 г. [38], по другим - статья, опубликованная Курантом в 1943 г., а название "метод конечных элементов" вводится Клафом в 1956 г.

Применение МКЭ связано с предварительным разбиением континуальной области на конечные элементы какой-либо формы и представлением решения в пределах элемента в виде многочлена с малым конечным носителем. Система уравнений МКЭ непосредственно получается из условия минимума полной потенциальной энергии, т.е. из вариационного уравнения Лагранжа. В ряде работ устанавливается связь МКЭ с вариационными методами Бубнова-Галеркина и Ритца [85]

Хотя МКЭ в настоящее время является одним из наиболее популярных методов, тем не менее применение его к двумерным нелинейным задачам сопряжено с большими затратами машинного времени.

Метод граничных элементов (МГЭ, ВЕМ - от англ. boundary element method).

В последнее время интенсивно развивается МГЭ, или метод граничных интегральных уравнений (МГИУ), представляющий собой вариант общего метода потенциала [65]. Применение МГЭ для получения решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных уходит своими корнями в классический анализ. Многие обозначения и терминология в этой области связаны с развитыми в девятнадцатом веке представлениями о силах притяжения в ньютоновских гравитационных полях, тогда же были получены функции Грина для некоторых частных конфигураций. В 1905 г. вышла работа Фредгольма по исследованию интегральных уравнений [299].

Современная библиография МГЭ обширна. Опубликованы многочисленные научные работы, монографии, в которых изложены теоретические основы метода и различные аспекты его применения. Среди первых монографий, посвященных различным аспектам МГЭ (в основном для расчета трехмерных тел), отметим работы Крузе Т., Риццо Ф. [293, 294], Бенерджи П., Баттерфилда Р. [31], Domingues J., Бреббия К. (именно им приписывают введение терминов "граничные интегральные уравнения" (ГИУ) и МГЭ), Теллеса Ж., Вроубела Л., Уокера С. [38, 39, 282, 283], Крауча С., Старфилда А. [156], Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М. [257], Партона В.З., Перлина П.И. [208], Алексидзе М.А., Верюжского Ю.В. [65], Коренева Б.Г. [137-142], Купрадзе В.Д. [164], Мусхелишвили Н.И. [185, 186]. Игумнов Л.А. утверждает, что МГЭ в его нынешнем виде появился именно в работе Мусхелишвили Н.И. в 1937 г., а затем в работе Горгидзе А.Я. и Рухадзе А.К. Математическому обоснованию МГЭ обязан работам Купрадзе В.Д. [164], которые стали возможны благодаря результатам Зигмунда А., Кальдерона А., Михлина С.Г. [177-179] по теории сингулярных интегральных операторов; расширению теоретических основ МГЭ - работам Кальдерона А., Сили Р., Эренпрейса [296], Мальгранжа, Хермандера Л. [263, 297]. В то время, в период возрастающего интереса к МКЭ, эти работы не привлекли должного внимания ученых. Развитие МГИУ относится, очевидно, к семидесятым годам, когда стало ясно, что не во всех случаях МКЭ является достаточно эффективным.

Библиографический анализ показывает, что МГЭ по востребованности уверенно занимает третью позицию (после МКЭ и МКР) среди численных методов.

Главное в идейной стороне метода - зависимость между значениями искомых функций внутри рассматриваемой области и их значениями на границе. Эта зависимость устанавливается переходом от дифференциальных уравнений к следующим из них интегральным соотношениям. Последовательное использование этой идеи приводит к замене дифференциальных уравнений, требующих нахождения неизвестной функции во всей области, на эквивалентные (в определенном смысле) интегральные уравнения на границе области. Такие уравнения и называются граничными интегральными уравнениями (ГИУ). Поэтому МГЭ, который представляет собой численную реализацию решения таких уравнений, часто называют МГИУ.

Причины задержки в развитии МГЭ по сравнению с МКЭ в том, что работы по теории ГИУ написаны на строгой математической основе, которая не вполне знакома большинству ученых-прикладников. В этой связи актуальным представляется популяризовать фундаментальные математические разработки МГЭ, начиная, прежде всего, с университетов, дающих классическое математическое образование (ведь идеи МГЭ зачастую лежат в стороне от дисциплин, изучаемых в технических вузах).

Кроме непосредственного использования МГЭ возможно использование его в сочетании с МКЭ, объединяя преимущества обоих методов. Так, МКЭ позволяет учитывать сложные граничные условия, значительную неоднородность свойств материала и т.д., а использование МГЭ удобно в областях с большими градиентами искомых функций [31].

Параллельное развитие, взаимовлияние и комбинированное использование МКЭ и МГЭ привело к более глубокому пониманию общности этих методов и введению понятия обобщенного метода конечных элементов (ОМКЭ) [126]. В ОМКЭ методы, связанные с использованием ГИУ, трактуются как конечноэлементные со специальным выбором базисных функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям краевой задачи. Разрешающие уравнения МГЭ получаются в этом случае с помощью метода взвешенных невязок. Такой подход позволяет с единых методологических позиций исследовать сходимость методов, получать оценку точности численного решения и строить процедуры адаптивного уточнения решения, интерес к которым значительно возрос в последнее время. Несмотря на обобщенную трактовку МКЭ и МГЭ, алгоритмическая структура методов значительно различается.

Несомненный интерес представляет всестороннее сопоставление МКЭ и МГЭ.

1. МКЭ предполагает дискретизацию всей области, в то время как МГЭ - лишь границы области, на геометрию контура которой практически нет ограничений. В результате использование МГЭ снижает на единицу геометрическую размерность исходной задачи, что является одним из главных преимуществ МГЭ (особенно для трехмерных областей), а значит усилий, направленных на подготовку данных в МГЭ, существенно меньше, чем требуется для МКЭ, включающего геометрическое моделирование внутренней части тела. В результате снижение затрат на подготовку информации приводит к снижению затрат на память, время, а, значит, и стоимость вычислений. Время решения трехмерных задач МКЭ и МГЭ при близкой точности обычно оказываются в 4-10 раз меньше для МГЭ.

2. Так как в МГЭ используется аналитическое решение, которое справедливо всюду в области, то он потенциально более точен, чем МКЭ, в котором аппроксимации производятся в каждой подобласти. Кроме того, в МГЭ не возникает проблемы по обеспечению совместности элементов, как в МКЭ.

3. Решение внутри области в МГЭ полностью непрерывно, что делает МГЭ незаменимым методом при анализе областей с быстро меняющимся напряженным состоянием в отличие от МКЭ.

4. В МГЭ сначала определяются неизвестные величины на границе и только потом определяются неизвестные величины в любой точке области (если требуется), которые находятся как отдельный шаг, вместо автоматической привязки результатов к ряду фиксированных точек, как в МКЭ. В МКЭ решение в узлах области вычисляется сразу для всей конструкции, а напряжения вычисляются отдельно для каждого конечного элемента (поэлементно).

5. МГЭ приводит первоначальное дифференциальное уравнение к граничному интегральному уравнению, которое является точной формулировкой поставленной задачи. Накопление погрешностей происходит в ходе численного решения интегральных уравнений вследствие появления погрешностей дискретизации, аппроксимации и счета. Необходимо отметить, что численное интегрирование, используемое в МГЭ, является устойчивым процессом и позволяет получить существенно меньшие уровни погрешностей, чем численное дифференцирование, являющееся составным элементом МКЭ. Величина погрешности МКЭ зависит от многих параметров самой разнообразной природы, среди которых важнейшие: размеры и число узлов отдельных конечных элементов; аппроксимирующие функции; особенности вычисления матрицы жесткости; алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ); качество программ; тип используемой ЭВМ и др. Практика использования МКЭ в решении сложных задач показывает, что следует обратить особое внимание на аппроксимирующие функции внутри отдельного конечного элемента.

6. Задача, решенная МГЭ, сводится к СЛАУ с полностью заполненной несимметричной матрицей, а решенная МКЭ - к СЛАУ с редкозаполненной симметричной положительно определенной матрицей. Различия в структуре СЛАУ, полученных МГЭ и МКЭ, приводят к различным методам для их эффективного решения. Так, основой для решения СЛАУ МГЭ, например, является метод Гаусса, а МКЭ - метод Холецкого. Существенным преимуществом СЛАУ МГЭ в сравнении с СЛАУ МКЭ для рассматриваемой задачи является существенно меньший порядок СЛАУ.

Но МКЭ имеет ряд важных преимуществ, определивших его популярность:

- свобода в размещении узловых точек;

- неограниченные возможности совершенствования аппроксимаций с учетом тех или иных физических особенностей задачи;

- гибкость и удобство приближения сложных формулировок граничных условий;

- возможность сочетания в одном ансамбле конечных элементов различных типов, причем имеется возможность сгущения сетки в местах ожидаемой концентрации напряжений;

- возможность решения задач с непрерывными или частными изменениями свойств среды;

- большой выбор средств для учета нелинейных эффектов и анизотропии в объемах среды, однако, их применение сопряжено с большими затратами машинного времени;

- простота используемого математического аппарата;

- большое количество коммерческих пакетов программ и, как следствие, физическая наглядность, сделали его одним из самых популярных методов решения задач механики.

Задачи, решение которых МГЭ предпочтительнее (или единственно возможно) в сравнении с МКЭ:

- задачи об остром концентраторе, причем МГЭ позволяет аналитически описывать особенности решения;

- особенно эффективен МГЭ при анализе систем, границы которых частично находятся в бесконечности или содержат полу бесконечные области с "ненагруженными" участками свободной границы; ' - ; ; ; г :; !

- задачи расчета удлиненных областей из-за невозможности описания с необходимой точностью поведения модели при дискретизации как двумерных, так и трёхмерных задач линейной упругости;

- основные преимущества МГЭ проявляются в тех задачах, где рассматриваемая область ■ представляется ограниченным набором однородных подобластей; , .

- МГЭ легко может быть использован для несжимаемых тел, тогда как вариант МКЭ в перемещениях в этом случае неприменим. ; 1 " : ;

Сказанное позволяет, сделать вывод, что нет необходимости противопоставлять эти. методы. При решении практических задач следует применять тот метод, который лучше .; ; соответствует особенностям рассматриваемой задачи. ;",.■' / .■:: :;

Таким образом, показано,, что выбор'в диссертации МГЭ применительно к исследова-:'" нию деформирования изотропных и анизотропных материалов с ограниченным набором однородных подобластей и действующих распределенных, сосредоточенных нагрузок и температурного поля, представляется вполне оправданным. ; . /

В связи с запросами практики в начале XX'века были заложены основы теорий пластин и оболочек, естественным направлением развития которой стала нелинейная теория' ; оболочек. Практическая важность их рассмотрения вызвана требованиями промышленности^ особенно таких ее отраслей, как авиация- судостроение, приборостроение, строитель- ■ ; ство. Интерес к исследованию нелинейных! эффектов: здесь обусловлен, с одной стороны; необходимостью их учета при проектировании и расчете конструкций; а с другой стороны — 1 сознательным их использованием для придания конструкциям требуемых характеристик. ' В связи с этим, по словам Андронова А.А., необходимо создать нелинейную культуру, ! включающую надежный математический аппарат и физические представления, адекватные : новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там,.'где оказывается непригод-, ной интуиция, выработанная на линейных задачах. , :

К настоящему времени нелинейная теория в механике твердого дефор.мируемого тела (МДТ.Т) стала обширным разделом, интерес к которому, судя по числу публикаций, непре-! рывно возрастает. Трудно перечислить: всех ученых, внесших значительный вклад в разви-; тие вопросов нелинейной теории. Но выдающийся! вклад в1 эту теорию внесли: . Новожилов ' В.В., Морозов Н.Ф., Черных К.Ф. (ленинградская школа; внесли большой вклад в постановку и исследования проблем нелинейной теории упругости); Муштари Х.М., Гали.мов КЗ., Корнишин М.С., Саченков А.В. (к^анская;школа;: внесли большой вклад в формулирование и разработку задач нелинейной теории пластин и, оболочек); Ляв А., Бубнов И.Г., Тимошенко С.П., Власов В.З., Болотин В.В., Ворович И.И., Григолюк Э.И., Кабанов B.B., Ильюшин А.А., Лурье А.И., Феодосьев В .И.; Динник А.Н., Алфутов Н.А., Андреева Л.Е., Бидерман В.Л., Вольмир А.С., Михлин С.Г., Петров В.В., Попов Е.П., Свирский И.В., Оден Д. и др. , : , ■ ; / , . • ■.■ - ' J;' f ' Длительное время, развитие нелинейной'теории значительно опережало;ее приложе ния, что объясняется значительными; вычислительными трудностями» (причем трудность ^ теоретического решения этих задач является принципиальной и связана1 в основном'с нёли-, I нейным характером упругого деформирования и сложностью разработки алгоритма их чис- ; | ленного решения), возникающими при решении нелинейных задач; Поэтому' до появления 5 ЭВМ такие решения, были единичными. С бурным развитием вычислительной техники поя- ; вилась возможность преодолеть эти трудности и решать важные для практического прилоj. ' ' ' ' 10 • V/ г . . ' ■ жения нелинейные задачи. Среди таковых особенно трудны задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел, а, значит, остается много открытых вопросов в постановках и решениях нелинейных задач МДТТ [151].

В настоящее время в литературе все большее внимание уделяется исследованию вопросов изгиба и устойчивости тонких пластин и оболочек под действием нагрузок, отличающихся от классических значительной сложностью по своему характеру. Естественным при этПм является стремление учесть всевозможные факторы, оказывающие влияние на величины критических нагрузок, такие, как комбинированное действие нагрузок, момент-ность начального состояния, начальная погибь, анизотропия и неоднородность материала, различные граничные условия и т.д. Решение этих вопросов в последнее время стало возможным благодаря широкому использованию средств вычислительной техники. На этом пути было получено много новых интересных результатов, касающихся оценке изгиба и устойчивости пластин и оболочек и разработки алгоритмов решения подобного рода задач. Однако многие задачи остаются нерешенными до сих пор. К настоящему времени накоплен определенный материал по расчету гибких пластин и оболочек при различных видах на-гружения, однако он недостаточен для удовлетворения растущих запросов практики. Данных для расчета гибких панелей в литературе приводится очень мало, причем большинство задач решаются в линейной постановке.

Значительное распространение получили итерационные методы, с помощью которых решаются многие сложные линейные и нелинейные задачи МДТТ. При этом одними из основных вопросов являются вопросы о выборе итерационных параметров и об ускорении сходимости итерационного процесса. Желательно, чтобы итерационные параметры и процедуры ускорения сходимости можно было выбирать без использования какой-либо априорной количественной информации об операторе краевой задачи или о системе уравнений, что позволяет использовать разработанные алгоритмы для широкого класса задач.

Как уже отмечалось, специфичность нелинейных задач создает серьезные трудности при разработке методов их решения. Но среди всех нелинейных задач можно выделить заметный класс задач, содержащих параметр. Появившись сначала как инструмент исследования общих свойств решений, идея продолжения по параметру приобрела новый смысл в работах Лаэя и Давиденко Д.Ф., где она была использована для построения численных алгоритмов решения нелинейных задач. Главное в ней - это использование для получения решения на текущем значении параметра той информации, которую дает решение для предыдущего значения параметра.

Кроме задач нелинейного деформирования, которые являются областью традиционного применения метода продолжения по параметру, этот метод может быть эффективно применен и в других задачах. Поэтому цель диссертационной работы также состоит в расширении области применения метода продолжения по параметру и в решении на этой основе практически важных задач.

Для более полного изложения вопросов актуальности и научной новизны исследований, представленных в работе, для раскрытия их связи с другими исследованиями, приводится краткий обзор литературы. Тема диссертационного исследования довольно обширна и отражена в многочисленных публикациях. Приводимый обзор литературы не претендует на полноту. В него, в основном, вошли работы по определению напряженно-деформируемого состояния пластин и пологих оболочек, по развитию метода граничных элементов для решения задач в этой и смежных областях.

В настоящее время классическая теория оболочек является хорошо разработанной областью МДТТ. По теории изотропных и анизотропных оболочек имеются фундаментальные работы [3, 4, 33, 67, 68-71,77-79, 108-111, 122-124, 187-192,210, 251,261,269].

Обзоры публикаций по оболочкам сложной формы приведены в работах [78, 149, 196, 212, 275].

Отметим, что уравнения ортотропных цилиндрических оболочек впервые были введены Муштари Х.М., а общий случай анизотропии был рассмотрен Амбарцумяном С.А., однако, в отношении методов интегрирования уравнений при общей анизотропии первые результаты получены Саркисяном B.C. [225].

Даревским В.М., учитывая факт неограниченного возрастания значений некоторых искомых функций около места приложения сосредоточенной нагрузки, выведены простые асимптотические формулы, характеризующие поведение этих функций в окрестности особых точек, а в [267] Христенко А.С. — аналогичные формулы для ортотропных цилиндрических оболочек

В работе Мовсисяна JI.A. [180] рассмотрено несколько частных случаев деформации цилиндрической ортотропной оболочки вращения с опорными концами. Исследован вопрос об оптимальном выборе необходимых механических характеристик.

Вопрос определения малых перемещений тонких упругих цилиндрических изотропных и ортотропных оболочек конечной и бесконечной длины при воздействии линейной окружной нагрузки освещен в работе Жигалко Ю.П. [123]

В работе Артюхина Ю.П. и Саченкова А.В. [24] устанавливается аналогия, согласно которой решение некоторых задач для ортотропных пластин и оболочек может быть получено из соответствующего решения для изотропных пластин и оболочек. Аналогия справедлива в случае, когда два модуля упругости ортотропного материала могут быть заменены одним приведенным. Таким путем получены асимптотические формулы для усилий, моментов и прогиба цилиндрической оболочки при радиальной сосредоточенной силе, формула для прогиба в точке приложения радиальной силы к свободно опертой оболочке.

В статье Васильева В.В. [48] рассмотрена свободно опертая по торцам круговая цилиндрическая оболочка из ортотропного материала с локальной радиальной нагрузкой. Исследуются напряжения и прогибы в оболочке на основе уравнений, учитывающих деформацию поперечного сдвига.

В работе Саченкова А.В. [226] в линейной постановке решается задача об изгибе пологих ортотропных оболочек. Уравнения изгиба оболочки относительно нормального прогиба и функции усилий в срединной поверхности записываются в виде одного уравнения в комплексной форме. Показывается, что путем аффинного преобразования координат задача сводится к двум задачам для некоторого изотропного материала. Рассматриваются также возможности применения предложенного подхода к решению плоской задачи теории упругости для ортотропного тела.

Отметим, что весьма пологие изотропные и ортотропные оболочки впервые исследовались в работах Фейнберга С.М. [259], Амбарцумяна С.А. [3, 4], а также при решении различных задач теории пологих оболочек в работах Векуа И.Н. [51], Хачатуряна Т.Т. [262] и др.

Несмотря на многочисленные журнальные статьи, известны лишь некоторые монографии, посвященные анизотропным оболочкам. В этой области большое место занимают труды Амбарцумяна С.А. [3, 4].

Немалую роль в развитии теории анизотропных пластинок и оболочек сыграли и монографии Лехницкого С.Г. [167, 168].

Достаточно полная библиография по теории оболочек и пластин имеется в книге Огибалова П.М. и Колтунова М.А. [201].

Некоторые вопросы теории пластин и оболочек исследованы в монографии Саркисяна B.C. [225] методом малого физического и геометрического параметра.

Корнишин М.С. с учениками [144-150] решают линейные и нелинейные задачи изгиба пластин и оболочек непрерывной и ступенчато-переменной жесткости.

Грибов А.П. [94] решает задачу об изгибе пологой оболочки с двумя скачками жесткости. На внешнем контуре оболочки рассмотрены граничные условия шарнирного опирания и жесткой заделки. Автор делает вывод, что увеличение толщины жесткой области позволяет в некоторых случаях снижать прогибы и напряжения наполовину.

В связи с развитием вычислительной техники интенсивно развиваются исследования по расчету оболочек численными методами на ЭВМ. Публикаций на эту тему очень много. Отметим только часть наиболее известных монографий [43, 68-70, 86, 111, 113, 114, 125, 144, 157,211,217-219].

Для расчета оболочек сложной геометрии применяются различные модификации метода конечных разностей (МКР). В работах Вайнберга Д.В., Вольмира А.С., Григоренко Я.М., Мукоеда А.П., Корнишина М.С., Петухова Н.П., Крысько В.А., Столярова Н.Н. и др. изложены способы построения разностных схем [43, 44, 68, 69, 70, 113, 114-146, 160,212, 241].

Исследованию и разработке методов расчета пластин и пологих оболочек сложной геометрии посвящен цикл работ Корнишина М.С., Паймушина В.Н., Якупова Н.М. и их учеников [79, 147, 202, 204, 276]. В этих работах излагаются вопросы выбора поверхности приведения, позволяющие эффективно проводить параметризацию для областей неканонической формы, приведен вывод необходимых соотношений, получены многочисленные результаты по прочности, устойчивости и динамике элементов конструкций.

Одним из универсальных методов решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. По этому методу опубликовано очень большое число работ, в том числе известные монографии и работы Бате К., Вилсона Е., Голованова А.И., Корнишина М.С., Зенкевича О., Моргана К., Постнова В.А., Рикардса К. и других [27, 83-86, 125, 126, 217, 219].

Значительное применение в теории пластин и оболочек получили методы коллокации. Их развитию и реализации посвящены работы Корнишина М.С., Рогалевича В.В., Григоренко Я.М. [112, 144, 220, 221] и др.

В работах Артюхина Ю.П., Серазутдинова М.Н. дается развитие вариационного метода в задачах статического и динамического расчета пластин и оболочек сложной формы, рассматриваются вопросы подкрепления пластин и оболочек сложной конфигурации ребрами, построения координатных функций для сложных областей [230, 231, 277].

Одним из эффективных методов, позволяющих исследовать НДС и устойчивость пластин и оболочек сложной формы, является теоретико-экспериментальный метод, предложенный Саченковым А.В. [227] и развитый в работах [153, 196].

Отметим также ряд оригинальных численных методов, эффективных при решении определенного круга задач. К ним относятся методы изопараметрических неравенств, методы, основанные на применении специальных координат, теории вероятности, специфических разложений и представлений решений [160], метод электрического моделирования [132].

Развитию и применению метода продолжения по параметру для исследования нелинейного деформирования пластин и оболочек посвящены работы Вольмира А.С., Воровича В.В., Григолюка Э.И., Шалашилина В.И., Баженова В.А., Валишвили Н.В.,

Петрова В.В., Крысько В.А., Корнишина М.С., Столярова Н.Н., Танеевой М.С.и др. [45, 6871, 80, 111, 157-159, 211,239-243].

Как отмечает Григолюк Э.И. в предисловии к переводу монографии [38], историческим предшественником и основой метода граничных элементов является теория интегральных уравнений. Впервые Грин Г. получил интегральное уравнение в теории потенциала, которое является альтернативой дифференциальному уравнению. Существенный вклад в становление и развитие теории граничных интегральных уравнений принадлежит Фредгольму. Он использовал метод теории потенциала и теорию линейных интегральных уравнений для решения статической задачи теории упругости [300]. В дальнейшем теоретические исследования в области граничных интегральных уравнений проводились главным образом в приложении к теории поля. Фундаментальные исследования в этом направлении принадлежат математикам Михлину С.Г., Купрадзе В.Д., Мусхелишвили Н.И., Смирнову В.И. и др. [164, 177-179, 185, 186]. Так, Михлин С.Г. рассматривал интегральные уравнения не только со скалярными подынтегральными функциями, но и с векторными, что в значительной мере расширяет область применения теории интегральных уравнений. Кроме того, подынтегральные функции могли содержать различные особенности и разрывы непрерывности в области интегрирования. Большое внимание уделено представлению гармонических потенциалов через комбинацию поверхностных потенциалов простого и двойного слоя, что автоматически приводит к интегральным уравнениям Фредгольма. В дальнейшем, как оказалось, такого рода представление стало возможным использовать в качестве основы для формулировки непрямого метода граничных элементов (НМГЭ).

В работе Купрадзе В.Д. [164] разрабатываются подходы к формулировке и решению задач теории упругости на основе сингулярных граничных интегральных уравнений. Исходя из теории потенциала, получены векторные интегральные уравнения, характеризующие поведение упругих тел. Приведены основные сингулярные решения в виде фундаментальных решений для некоторых видов дифференциальных уравнений теории упругости. Подробному изучению и анализу подверглись сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Предложены подходы в вопросе регуляризации сингулярных интегралов. Введенное понятие распределенной поверхностной плотности потенциала источника позволило установить зависимость перемещений и напряжений на границе упругой среды, что представляет большие потенциальные возможности в решении основных задач формулировки метода граничных интегральных уравнений и приведено, видимо первое, доказательство их эквивалентности.

В настоящее время теория линейных, а также некоторых классов нелинейных сингулярных уравнений хорошо разработана и изложена в известных монографиях Михлина С.Г., Гахова Ф.Д., Векуа Н.П., Партона В.З., Перлина П.И. и др. [50, 81, 177, 178, 208, 209].

Из теории известно, что сингулярные интегральные уравнения в замкнутом виде решаются в очень редких случаях. Поэтому для приложений первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений.

В этом направлении выполнены фундаментальные работы Корнейчука А.Л., Белоцерковского С.М., Лифанова И.К., Габдулхаева Б.Г., Бойкова И.В., Плещинского Н.Б. [30, 35-37, 72, 143, 197, 214, 215].

В работах Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [73-76, 330] построены интегральные уравнения, ядрами которых служат не фундаментальные решения, а функции или матрицы Грина соответствующих уравнений или систем для областей, границы которых частично совпадают с рассматриваемыми. Идея построения таких неклассических потенциальных представлений принадлежит Купрадзе В.Д. и применялась Гавелей С. П., Мельниковым Ю.А. и их учениками, где соответствующие функции и матрицы Грина строились приближенно.

Численной реализации методов потенциала в задачах теории упругости посвящены работы Партона В.3., Перлина П.И., Верюжского Ю:В;, Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М., Бреббия К., Уокера С., Бенерджи П., Баттерфилда Р., Крауча С., Старфилда А., Круза Т., Риццо Ф., Теллеса Ж., Вроубела Л., Громадки Т., Лея Ч. и др. [38, 39, 65, 118, 156, 208, 209, 257,293,294,248]. : ;

Среди методов построения ГИУ можно выделить два основных направления. Прямой МГЭ, основанный на формуле Сомйлиана, полученной, из теоремы о взаимности работ Бетти, где неизвестные плотности в интегральном уравнении имеют реальный физический, смысл. В теории оболочек такими; величинами являются перемещения и усилия; С прикладной точки зрения впервые этот метод описан в работе Круза Т. и Риццо Ф. [293]. В непрямом МГЭ ядра интегральных уравнений представляют фундаментальное решение и его производные, распределенные на границе рассматриваемой области с некоторой плотностью. Функции плотности, не обладают каким-либо физическим смыслом, но если они определены, то решение в области определяется вычислением граничных интегралов, отвечающих рассматриваемой задаче: ' Непрямой МГЭ в задачах изгиба пластин известен как метод компенсирующих нагрузок. Функциям плотности придается смысл нагрузок, приложенных к бесконечной пластине и распределенных по границе области, или по некоторому контуру, внутри которого находится, область. В задачах изгиба пластин первые работы в этом направлении, выполнены Кореневым Б.Г. [137], и дальнейшее развитие этот метод получил в работах Толкачева В.М., Артюхина Ю.П., Венцеля Э.С. и др. [20г22, 56-64^ 252-254].

Монография Верюжскош Ю.В1 [65] посвящена разработке методов исследования деформирования плоских и пространственных, тел при статическом нагружении. Для основных видов граничных условий при дискретизации границы и аппроксимации; плотностей; выполнен переход от интегральных соотношений к их алгебраическим аналогам. Интегральные соотношения записаны на основе формулы Сомилиана. Предложена методика вычисления эластопотенциаловг в виде замкнутых аналитических выражений для кусочно-линейных и сплайновых аппроксимаций функций; плотностей. Рассмотрено решение задач изгиба пластин, плоской и пространственной задач теории упругости.

Существенным вкладом в развитие метода компенсирующих нагрузок для пластин сложной формы являются работы Толкачева В.М; [252-254], где .особое, внимание'уделено-теоретическому анализу. В частности, в связанной с контуром системе координат получены аналитические формулы для ядер интегральных уравнений, дан анализ поведения > ядер в особых точках, ■ определены предельные значения основных потенциалов, предложены способы устранения неинтегрируемых особенностей. Заложены теоретические основы к анализу интегралов с сильной особенностью типа l/r2 ; при г—> 0 , которые позволяют определить подходы по приданию определенного смысла таким интегралам и их последующего вычисления;. . ' . ' . '

Работы Венцеля Э.С. и его соавторов [56-64] посвящены применению метода компенсирующих нагрузок к! решению линейных задач теории упругости, пластин и пологих сфет рических оболочек. В некоторых из них компенсирующие плотности располагаются вне контура пластины, что приводит к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода.: Наиболее полно их исследования опубликованы в монографии [60]. ,

-v: , ' ■ ' 15 " . ,''.

Существенное развитие по многим направлениям метод компенсирующих нагрузок получил в работах Артюхина Ю.П. с учениками [6, 14, 15-18, 20-23], в которых метод компенсирующих нагрузок был применен к решению задач изгиба тонких изотропных пластин произвольного очертания при различных способах опирания и произвольном нагружении; выполнен детальный анализ и решены возникающие проблемы при получении и вычислении различных сингулярных интегралов; применен метод компенсирующих нагрузок к задаче изгиба пластин средней толщины, при решении данной проблемы получены основные граничные интегральные соотношения с ядрами в виде функций Макдональда нулевого порядка и дан исчерпывающий анализ возникающих при этом особенностей. Решен вопрос об учете температурного воздействия на пластину совместно с силовым нагружением. Метод граничных элементов получил развитие не только применительно к линейным, но и к нелинейным задачам теории пластин и оболочек. Рассмотрены и решены методом граничных элементов задачи изгиба ортотропных пластин, контактные задачи изгиба для тонкостенных элементов и плоских тел. Метод получил развитие в приложении к расчету пологих сферических оболочек и оболочек положительной двоякой кривизны. Итогом исследований по целому ряду направлений явились диссертационные работы Крамина Т.В. [155], Крамина М.В. [154] и Малкина С.А. [174], которые свидетельствуют о применении метода граничных элементов к новым типам задач.

Заметный вклад в развитие метода граничных элементов внесен Грибовым А.П. В ряде работ [14-18, 91-95, 98-107] с соавторами проведено исследование большого круга проблем, связанных с расчетом пластин и оболочек, как в линейной, так и в нелинейной постановках с использованием прямого и непрямого вариантов метода граничных элементов. Для решения конкретных задач производился детальный анализ предельных значений потенциалов. На основе проводимого анализа сингулярных ядер предложен ряд методик по вычислению сингулярных интегралов. В наиболее полном виде результаты исследований изложены в диссертационной работе [95] и последующей за ней монографии [17] в соавторстве с Артюхиным Ю.П. и в [103-105] с Малаховым В.Г.

Основой построения ГИУ являются фундаментальные решения. Построению и исследованию фундаментальных решений теории пластин и оболочек посвящены работы Артюхина Ю.П., Белоносова С.М., Власова В.З., Григолюка Э.И., Даревского В.М., Жигалко Ю.П., Куканова Н.И., Лукасевича С., Мельникова Ю.А., Нерубайло Б.В., Ольшанского В.П., Толкачева В.М., Хижняка В.К., Чернышева Г.Н., Шевченко В.П., Образцова И.Ф., Мораря Г.А., Buchwald V.T., Kwang Chien Но, Fu Chen, Sanders J.L., Sim-monds J.G., Bradly M.R. и др. [6, 17, 29, 100, 172, 264, 265, 269, 271, 272]. Отметим, что в [17, 172, 269] приведены существенно отличающиеся друг от друга представления фундаментальных решений задачи изгиба ортотропных пластин, в результате чего возникла задача отыскания истинного фундаментального решения.

В постановке многих краевых задач предполагается, что решения считаются непрерывными. Однако при решении практических задач нагрузочные члены содержат различного рода особенности: например, сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, локальные температурные источники и т.д. Применение обобщенных функций решает эту проблему и расширяет возможности применения методов интегральных преобразований Фурье. В работах [264, 265, 272] с использованием методов интегрального преобразования Фурье получены фундаментальные решения для пластин и пологих оболочек, проанализирована их асимптотика при малых значениях аргумента и выделены особенности частных решений.

В работах Мораря Г.А. [181-184] разработан метод разрывных решений, который позволяет решать методом граничных интегральных уравнений задачи расчета пластин и пологих оболочек с дефектом типа трещин, включений. Для плоской задачи теории упругости этот метод излагается также в монографии [156].

Метод построения граничных интегральных уравнений теории оболочек сложной геометрии на основе формулы Сомилиана предложен Паймушиным В.Н. и Сидоровым И.Н. [203].

Синтезу метода граничных элементов и вариационного метода при расчете пластин и оболочек посвящены работы Серазутдинова М.Н., Банцарева К.Н. [26, 231, 232]. Предложенный подход использует основные достоинства МГЭ - возможность удовлетворить краевым условиям на линии сложной формы, а также известные достоинства вариационных методов. Решение основано на известном фундаментальном решении некоторого дифференциального оператора (в частности, задачи изгиба изотропной пластины).

В [334] Сидоровым И.Н. предложен метод построения интегрального представления решения разрешающих уравнений равновесия теорий оболочек типа Тимошенко, основанный на: записи уравнений равновесия для фундаментального решения трехмерной теории упругости — вектора Кельвина; выделении из точных уравнений равновесия для вектора Кельвина дифференциального оператора, соответствующего дифференциальному оператору рассматриваемой теории оболочек; построении интегрального представления решения уравнений равновесия рассматриваемой теории оболочек с помощью формулы Грина дифференциального оператора этих уравнений.

В настоящее время широкое использование МГЭ для определения напряженно-деформированного состояния (НДС) как изотропных, так и в особенности ортотропных оболочек сопряжено со значительными вычислительными трудностями, связанными с невозможностью определения фундаментальных решений дифференциальных уравнений в явном аналитическом виде для оболочек произвольной геометрии (если для изотропных оболочек частного вида такие фундаментальные решения существуют, то для ортотропных оболочек они вообще отсутствуют).

В работе [271] отмечается, что для пологих оболочек двоякой кривизны получение фундаментальных решений в замкнутом виде связано с большими трудностями. Для пологих сферических оболочек матрицы фундаментальных решений существенно упрощаются и выражаются через функции Кельвина-Томпсона [271, 183].

В работах [323, 325] построены» фундаментальные решения пологих сферических оболочек теории Рейснера с учетом поперечного сдвига. Фундаментальные решения для пластин средней толщины приведены в монографии Мораря Г.А. [183].

Решению задач изгиба изотропных пластин сложной формы МГЭ посвящено большое число работ [17, 278, 279, 282, 291, 292, 295, 301, 302, 304-306, 313, 314, 319, 321, 346, 349]. В этих работах рассмотрено применение прямого и непрямого МГЭ к решению задач изгиба пластин при различных силовых и температурных нагружениях; рассмотрены различные способы дискретизации границы, различные аппроксимации функций плотности; дан анализ ядер интегральных уравнений; разработаны методики вычисления сингулярных интегралов. Для различных граничных условий получены числовые результаты. Исследована практическая сходимость приближенного решения. Решению задач изгиба ортотропных пластин посвящено гораздо меньшее число работ (в основном статей) [17, 41, 47, 48, 136, 167, 168, 260, 345], из них решению МГЭ - [17, 136].

Работ, посвященных решению задач изгиба пластин сложной формы, лежащих на сложном упругом основании Пастернака-Власова, практически нет, а на упругом основании Винклера - сравнительно мало [46, 61, 93, 98, 137, 175, 203, 269, 280, 324]. В своей работе [137], Коренев Б.Г. приводит решение задачи изгиба круглой пластины, лежащей на упругом основании типа Винклера и находящейся под действием сосредоточенной силы или распределенной поперечной нагрузки. В работе [93] Грибовым А.П. предлагается решать задачи изгиба пластин и пологих оболочек, лежащих на упругом основании типа Винклера, методом граничных элементов. Ядрами разрешающих интегральных уравнений являются фундаментальное решение задачи изгиба пластины и его производные. Такой подход позволяет решать задачи для контура пластины сложного очертания. В [269] рассматривается прямоугольная плита на упругом однослойном основании, шарнирно опертая по краям, под действием нагрузки, равномерно распределенной по части длины плиты. В [280] в программе расчета толстых плит на упругом основании по МГЭ проведен анализ свойств несингулярного фундаментального решения. Исследуются найденные граничные интегралы в случаях однородного и линейного распределения нагрузки. Под действием обобщенной нагрузки выявлены внутренние силовые факторы с оценкой погрешности полученных результатов.

В работах [99, 102, 161] приведена методика расчета пологих оболочек в линейной и геометрически нелинейной постановках на основе предварительно найденного фундаментального решения задачи изгиба пластины, лежащей на упругом основании Винклера, и известной матрицы фундаментального решения Кельвина.

Вопросы применения МГЭ к решению задач плоского напряженного состояния пластины достаточно разработаны и отражены в многочисленных публикациях. Приведем лишь некоторые из них [17, 284, 290, 293, 311,317, 329, 335, 348].

Решению задач изгиба пологих оболочек в линейной постановке посвящены работы [10, 12, 38, 41, 157, 51-54, 186, 212, 190, 202, 127].

Применение непрямого МГЭ к расчету пологих сферических оболочек рассматривается в работах Венцеля Э.С., Трофимова М.А. [60, 63]. В работах [60, 255] используется фундаментальное решение, полученное на основе плосковолнового разложения дельта-функции Дирака. Оно характеризуется алгоритмичностью и единообразной формой представления фундаментального решения и его производных, а также представлением последних в виде суммы регулярного быстро сходящегося ряда и расходящейся части, записанной в аналитическом виде.

В публикациях Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [73-76] матрицы фундаментальных решений оболочек строятся в виде тригонометрических рядов. Решение задач сводится к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Получено решение ряда задач статики и динамики оболочек.

Среди известных ученых, занимающихся вопросами развития метода граничных элементов, особое место принадлежит Бреббия К., который с рядом соавторов имеет большое число публикаций в этой области. Именно ему часто приписывают авторство в названии метода граничных элементов, которое было вынесено в качестве заголовка одной из его книг. Так, одной из первых работ Бреббия К. в соавторстве с Уокером С. является книга [39]. В ней, прежде всего, предпринята попытка дать некую классификацию известных приближенных методов и определить место метода граничных элементов в этом ряду. На примере классической задачи о потенциале приводится прямая и непрямая формулировки метода граничных элементов. Обсуждается роль фундаментальных решений исходных дифференциальных операторов в данном методе. Рассматривается вопрос установления фундаментальных решений для некоторых типов известных дифференциальных уравнений, в том числе и тех, которые зависят от времени, выполнена постановка решения как линейных, так и нелинейных задач.

В следующей монографии Бреббия К. в соавторстве с Теллесом Ж. и Вроубелом JI. [38] дан более детальный анализ по классификации приближенных методов и их возможной связи. Высказывается соображение о том, что в основе известных приближенных методов, в том числе и метода граничных элементов, возможно, лежит концепция метода взвешенных невязок. Помимо задач, связанных с теорией потенциала, обсуждаются подходы к решению задач теплопроводности, теории пластичности и вязкоупругости. Наиболее подробному рассмотрению и анализу подверглись задачи теории упругости. В кратком изложении дается постановка задачи изгиба тонких пластин и приводятся результаты решения для нескольких примеров. Введена глава, в которой обсуждаются возможные подходы по совместному применению различных методов, в частности метода конечных и метода граничных элементов. В целом усматривается тенденция по расширению сферы применения метода граничных элементов в обоих его вариантах.

Большое исследование по различным аспектам применения метода граничных элементов при решении задач механики проведено в монографии Бенерджи П. и Баттерфилда Р. [31]. Акцент сделан на практические стороны приложения метода в различных его вариантах. Уделено внимание таким вопросам, как формирование систем интегральных уравнений при выполнении граничных условий, анализу получаемых сингулярностей. Значительное внимание уделено дискретизации границы и аппроксимации искомых граничных функций в пределах отдельных граничных элементов. Проанализированы подходы по учету влияния ребер и угловых точек на границе изучаемой области. Одна из глав посвящена изгибу тонких пластин, как в прямом, так и непрямом вариантах метода граничных элементов.

Монография Крауча С. и Старфилда А. [156] посвящена в основном применению вариантов МГЭ к задачам линейной теории упругости. Книга акцентирована на практические аспекты приложения метода в решении различных задач.

Большим вкладом в развитие МГЭ и расширению сферы его применения представляет книга Угодчикова А.Г. и Хуторянского Н.М. [257]. Книга содержит описание численно-аналитических подходов к решению трехмерных задач теории упругости анизотропного тела, термоупругости и вязкоупругости. Также рассматриваются нестационарные динамические задачи теории упругости и вязкоупругости.

Предметом обсуждения в монографии Громадки Т. и Лея Ч. [118] является комплексных метод граничных элементов. Помимо постановки задач, описываемых уравнением Лапласа, рассматриваются вопросы аппроксимации границы и аппроксимации искомых граничных функций. Анализируются подходы по оценке точности аппроксимации и вырабатываются критерии по оптимизации принятой аппроксимации.

Gospodinov G.K. в статье [303] рассматривает применение МГЭ к решению линейных задач пологих сферических оболочек. Обсуждаются проблемы формирования разрешающих интегральных соотношений.

Tottenhem Н. в работе [344] рассматривает применение различных вариантов МГЭ к расчету пологих оболочек.

Ivanova Jordanka, Valera Varbinka в статье [312] рассматривают МГЭ задачу изгиба пологой сферической оболочки. Приведен пример расчета пологой сферической оболочки с защемленными краями.

Lu Pin, Huang Mao-quang а работах [325] рассматривают МГЭ задачу о напряженно- « деформированном состоянии пологих оболочек при действии поперечной нагрузки. Используется уточненная теория с учетом поперечного сдвига.

Решению нелинейных задач теории изотропных пластин и пологих оболочек методом граничных элементов посвящены работы [17, 315, 316, 319, 323, 336, 341, 343], а решению нелинейных задач теории ортотропных пластин и оболочек - [2, 42, 133, 153, 158, 213, 218, 287].

Schang Xin-chun, Cheng Chang-jun в работе [336] рассматривают осесимметричную геометрически нелинейную задачу полярноортотропных круглых пластин. Линеаризированная задача решается с использованием обобщенных функций.

Tanaka Masatuka, Mitsumoto Toshiro, Zheng Zhundong в работе [341] изучают нелинейное деформирование тонкой пластины на основе уравнений Кармана. Получены результаты для круглой пластины.

Lei Xiboyan, Huang Maokuang в статье [323] применили МГЭ к расчету геометрических нелинейных пластин Рейснера. Приведен пример расчета.

Kamiya N., Sawaki Y. в статье [316] рассматривают МГЭ задачу о больших прогибах тонких линейно-упругих пластин. Представлены результаты решения для круглых и прямоугольных пластин. В работе [315] этих же авторов на основе уравнений Бергера рассматривается применение МГЭ к решению задач нелинейного изгиба пластин и пологих оболочек.

Katsikadelis J.T. в работе [320] рассматривает задачу изгиба тонких линейно-упругих пластин на упругом однородном и неоднородном основаниях. В основу расчета положен МГЭ. В статье [319] рассматриваются подходы и способы вычисления интегралов с логарифмической особенностью и интегралов типа Коши для одномерных и двумерных областей интегрирования при численной реализации МГЭ в приложении к некоторым задачам механики.

Sladek V., Sladec J. в работе [339] рассматривают задачу о больших прогибах пластины на упругом основании. Для пластины взяты уравнения Бергера. Выведены интегральные уравнения МГЭ.

В работе [309] дается оценка гиперсингулярным интегралам на конечном интервале. Для вычисления таких интегралов используется квадратурная формула Гаусса для вычисления главной части интеграла типа Коши.

Из приведенного обзора видно, что работ по методам решения линейных и нелинейных задач изгиба ортотропных пластин и пологих оболочек явно недостаточно (практически нет для нелинейных задач), особенно МГЭ. А те работы, в которых все-таки встречается расчет ортотропных конструкций, относятся, в основном, к расчету пластин канонической формы. Почти отсутствуют работы посвященные вопросу расчета изотропных пластин сложной формы, лежащих на двухпараметрическом упругом основании Пастернака-Власова. Чтобы сформировать разрешающие интегральные уравнения для решения методом граничных элементов задач теории пластин и пологих оболочек, требуется знание фундаментального решения соответствующей задачи. Получение фундаментального решения является само по себе довольно сложной задачей, поэтому в настоящее время известно небольшое количество работ, посвященных решению этой проблемы. Кроме того, большинство полученных фундаментальных решений для оболочек имеют сложную структуру, трудную для анализа, что приводит к существенным проблемам при реализации расчетов на практике. Таким образом, получение фундаментальных решений для широкого круга задач теории пластин и пологих оболочек является актуальной задачей.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы, содержащего 350 наименований, изложена на 200 страницах машинописного текста, содержащего 25 таблиц и 135 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Великанов, Петр Геннадьевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получены фундаментальные решения задач деформирования длинных цилиндрических панелей без учета и с учетом поперечного сдвига (по моделям Кирхгофа-Лява и Тимошенко);

2. Получены фундаментальные решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами: растяжения и изгиба длинной пластины переменной жесткости, осесимметричного деформирования криволинейно-ортотропных сферической и конической оболочек вращения;

3. Получены фундаментальные решения задач изгиба ортотропных и лежащих на сложном упругом основании изотропных пластин; фундаментальное решение задачи изгиба пластины, которая является гибким днищем в сосуде; матрицы фундаментальных решений задачи о плосконапряженном состоянии ортотропной пластины и изгиба трансверсально-изотропной пластины; фундаментальные решения изгиба двух- и трехслойных пластин;

4. Разработаны алгоритмы решения непрямым МГЭ многосвязных задач изгиба ортотропных и лежащих на упругом основании изотропных пластин сложной формы при сопряженных воздействиях распределенных (по некоторому закону и области), сосредоточенных (сил, моментов, "изгибных" температурных источников) нагрузок и температурного поля при различных граничных условиях. Представлены примеры расчетов, демонстрирующие эффективность применения МГЭ;

5. Для задач изгиба ортотропных и лежащих на упругом основании изотропных пластин исследовано влияние представления частного решения (в виде аналитической функции и квадратурах) на окончательный результат решения задач.

6. Разработан алгоритм решения непрямым МГЭ контактной задачи изгиба изотропной пластины, лежащей на упругом основании Винклера, под действием жесткого штампа.

7. Предложен алгоритм решения прямым и непрямым МГЭ линейных задач изгиба пластин и пологих цилиндрических панелей с учетом и без учета поперечного сдвига, непрерывной и ступенчато-переменной жесткости, находящихся под действием термомеханического нагружения, основанный на применении соответствующих матриц фундаментальных решений;

8. На основе полученного фундаментального решения решена задача осесимметричного деформирования криволинейно-ортотропной сферической оболочки вращения;

9. Предложен итерационный процесс для решения непрямым МГЭ линейных и нелинейных задач деформирования ортотропных пологих оболочек произвольной формы при различных граничных условиях и действии термомеханического нагружения, основанный на применении матрицы фундаментального решения плосконапряженного состояния и фундаментального решения задачи изгиба ортотропной пластины;

10. Проведено аналитическое вычисление интегралов с особенностями типа Коши и Адамара для задач изгиба и плосконапряженного состояния ортотропных пластин;

11. Изложены разработанные алгоритмы решения задач нелинейного деформирования ортотропных пластин и пологих оболочек со сложным контуром при различных граничных условиях, основанные на решении нелинейных задач и методе продолжения по параметру. За ведущий параметр принят прогиб в заданной точке;

12. Предложены итерационные процедуры решения нелинейных задач на основе МГЭ, не требующие больших затрат времени на подготовку исходных данных. Реализация итерационного процесса сводится к решению систем линейных уравнений, описывающих изгиб и растяжение ортотропной пластины, с хорошо обусловленными матрицами. Это следствие сингулярности ядер интегральных уравнений;

13. Рассмотрена возможность использования предложенной методики для расчета пластин и пологих оболочек со слабо выраженными ортотропными свойствами (практически изотропных). Даны рекомендации по использованию предложенной методики для расчета изотропных пластин и пологих оболочек.

14. Рассмотрена возможность использования метода аналогии Саченкова А.В., позволяющего ряд результатов для изотропных пластин и оболочек свести к расчету ортотропных. Показано, что представленная аналогия для рассмотренных задач дает погрешность по прогибам порядка 8 %;

15. Приведено исследование по выбору оптимальных параметров релаксации. Исследована сходимость решения с ростом числа граничных элементов, возможность ускорения сходимости итерационного процесса, увеличения диапазона кривизн. Исследовано влияние линейного по толщине температурного поля на величину критических нагрузок. Решены задачи изгиба прямолинейно- и криволинейно-ортотропных оболочек при варьировании направления максимальной жесткости;

16. Разработана методика решения обратных задач и задач изгиба многослойных пластин и оболочек на основе предложенного итерационного процесса. В результате были решены нелинейная обратная задача изгиба ортотропной пологой оболочки и линейная задача изгиба двухслойной пластины;

17. Сопоставление результатов диссертационной работы с известными теоретическими и численными результатами других авторов позволяют сделать вывод о высокой точности и эффективности предложенных в диссертации методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Великанов, Петр Геннадьевич, 2008 год

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа.- М.: Наука, 1978.

2. Альвар Нелинейный анализ ортотропных косоугольных пластинок// Индийский институт технологии.- С. 99-103.

3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек.- М.: Физматгиз, 1974.

4. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин.- М.: Наука, 1987.- 360 с.

5. Артюхин Ю.П. Расчет однослойных и многослойных ортотропных оболочек на локальные нагрузки// Исследования по теории пластин и оболочек.- Вып. 4.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1966,- С. 91-110.

6. Артюхин Ю.П. Действие локальной нагрузки на ортотропную пластину// Исследования по теории пластин и оболочек.- Вып. 4. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1966.- С. 110114.

7. Артюхин Ю.П. Исследование прочности слоистых ортотропных оболочек при локальных воздействиях// Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04.- Казань: Казанский гос. ун-т, 1967. 174 с.

8. Артюхин Ю.П., Великанов П.Г. Действие локальных нагрузок на ортотропную сферическую и коническую оболочки вращения// Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Материалы Всерос. семинара Казань,- 2008 - С. 22-23.

9. Артюхин Ю.П., Великанов П.Г. Метод аналогии А.В. Саченкова и непрямой МГЭ в решении задачи о больших прогибах ортотропных пластин и пологих оболочек// Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек Казань.- 2008,- С. 22-24.

10. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Развитие метода граничных элементов в линейных и нелинейных задачах теории пластин и оболочек// Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин.- Т.З.- Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т, 1997.- С. 3-9.

11. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Применение метода граничных элементов к исследованию изгиба ортотропных пластин сложной формы// Исследования по теории оболочек. Труды семинара.-Вып 21.-4.1.- Казань: КФАН СССР, 1988.- С. 146-156.

12. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов Казань: Фэн, 2002 — 199 с.

13. Артюхин Ю.П., Гурьянов Н.Г., Котляр JI.M. Система Математика 4.0 и ее приложения в механике: Учебное пособие.— Казань: Казанское математическое общество. Изд-во КамПИ, 2002.-415 с.

14. Артюхин Ю.П., Гурьянов И.Н., Крамин М.В., Крамин Т.В. Метод потенциала в задачах механики пластин и оболочек// Лаврентьевские чтения. Тез. докл. 4 межд. конф. по математике, механике и физике.- Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, 1995.- С. 89.

15. Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Определение напряженно-деформированного состояния оболочек двоякой положительной кривизны методом граничных элементов.- Казань: Казанск. гос. ун-т, 1994.- 19 с.

16. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Расчет пластинчатых конструкций и пологих оболочек методом граничных элементов// Труды 17 Межд. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 2.- Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 1995.- С. 77-81.

17. Артюхин Ю.П., Саченков А.В. К расчету ортотропных пластин и оболочек// Исследования по теории пластин и оболочек. Сб. V.- Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1967.- С. 300-310.

18. Банцарев К.Н. Исследование составных пластин методом граничных элементов в сочетании с вариационным методом// Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04.- Казань: Казанский гос. ун-т, 2001.- 116 с.

19. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов.- М.: Стройиздат, 1982.- 448 с.

20. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.Т. 2. М.: Наука, 1974. 295 с.

21. Белоносов С.М. Математическое моделирование равновесных состояний упругих тонких оболочек.- М.: Наука, 1993.- 159 с.

22. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их приложения в аэродинамике, теории упругости, электродинамике.- М.: Наука, 1985.- 253с.

23. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. Пер с англ.- М.: Мир, 1984.- 496 с.

24. Беркович Л.М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений. Методы и приложения М.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002 - 464 с.

25. Бидерман B.JI. Механика тонкостенных конструкций.-М.: Машиностроение, 1977.-488 с.

26. Биргер Б.И. Температурные напряжения в анизотропных телах// Прикладная механика. Отделение математики, механики и кибернетики АН УССР.- Т. VII,- Вып. 3.- 1971. -С. 71-76.

27. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов.- Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1983.- 210 с.

28. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф. Об оптимальных по точности алгоритмах вычислеиия интегралов Адамара// Оптимальные методы вычислений и их применение. Межвуз. сб. научн. трудов.- Пенза.- 1985.- С. 14-28.

29. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф. Весовые квадратурные формулы для интегралов Адамара.- Пенза: Пензенский политехи, ин-т, 1989.- 7с.

30. Бреббия К., Теллес Ж., Броубел JL Методы граничных элементов. Пер. с англ.- М.: Мир, 1987.- 524 с.

31. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. Пер. с англ.-М.: Мир, 1982.-248 с.

32. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.- 13-е изд., испр.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.- 544 с.

33. Бурмистров Е.Ф. Некоторые случаи изгиба треугольной ортотропной пластинки// Вестник инженеров и техников.- № 2.- 1947.- С. 63-64.

34. Бурмистров Е.Ф. Расчет пологих ортотропных оболочек с учетом конечных деформаций// Институт механики Академии наук СССР. Инженерный сборник.- Т. XXII.- 1955.- С. 83-97.

35. Вайнберг Д.В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин.- Киев: Будивельник, 1973.- 488 с.

36. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Пластинки, диски, балки-стенки. Прочность, устойчивость и колебания.- Киев.- 1953.- 1051с.

37. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ.- М.: Машиностроение, 1976.- 278 с.

38. Варданян В.В. К теории расчета плит на упругом основании// Теория оболочек и пластин. Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. АН АрмССР. Институт математики и механики.- Ереван: Издательство АН АрмССР, 1964. -С. 313-319.

39. Василенко А.Т., Урусова Г.П. Решение задачи об изгибе свободно опертой анизотропной эллиптической пластины// Прикладная механика.- 1998.- Т. 34 (44).- № 5. -С. 98-104.

40. Васильев В.В. О воздействии локальной нагрузки на цилиндрическую оболочку из ор-тотропного стеклопластика//Механика полимеров.- № 1.- 1970.

41. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1.- М.: Ин. лит-ра, 1949.- 779 с.

42. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи,- М.: Наука, 1970,- 380 с.

43. Векуа И.Н. К теории тонких пологих упругих оболочек//ПММ,-Т. 12.- Вып. 1.- 1948.

44. Великанов П.Г. Метод граничных интегральных уравнений для решения задач изгиба изотропных пластин, лежащих на сложном двухпараметрическом упругом основании//

45. Известия Сарат. университета. Серия Математика. Механика. Информатика.- Вып. 1.Т. 8.- Саратов.- 2008.- С. 36-42.

46. Великанов П.Г., Малкин С.А. Контактные задачи о давлении жесткого штампа на пластину, лежащую на упругом основании// Тезисы докладов 60-й юбилейной научной конференции.- Казань: КГАСУ (КИСИ), 2008.- С. 65.

47. Венцель Э.С. Некоторые вопросы применения метода компенсирующих нагрузок для решения краевых задач изгиба тонких плит// Проблемы машиностроения.- 1982.-№ 7.-С. 54 -57.

48. Венцель Э.С. Построение функции и матриц Грина для некоторых краевых задач теории тонких пластин и пологих оболочек// Харьков, инж. строит, ин-т.- Харьков.-1989.- 95 с.

49. Венцель Э.С. Применение метода компенсирующих нагрузок к расчету пластин сложной формы// ДАН УССР. Сер. А.- 1980.- № 9.- С. 43 45.

50. Венцель Э.С., Токаренко В.М. Об одном варианте реализации метода компенсирующих нагрузок применительно к расчету пластин сложной формы// Строительная механика и расчет сооружений.- 1982, № 2.- С. 21-24.

51. Венцель Э.С., Джан-Темиров К.Е., Трофимов A.M. Метод компенсирующих нагрузок в задачах теории тонких пластинок и оболочек.- Харьков.- 1992.- 92 с.

52. Венцель Э.С., Кобылинский В.Г., Левин A.M. Применение метода регуляризации для численного решения задач изгиба тонких плит// Журнал вычислительной математики и физики.- 1984.- Т. 24,- Вып. 2.- С. 323 328.

53. Венцель Э.С., Левин A.M. Метод компенсирующих нагрузок в задачах изгиба пластинок и пологих оболочек неканонической формы// Эксперим. расчет, методы автоматиз. проектир.- Киев.- 1988.- С. 35- 39.

54. Венцель Э.С., Левин A.M. Решение граничных задач теории упругости путем численной реализации метода компенсирующих нагрузок// Проблемы машиностроения.-1989.-Т. 25.- Вып. 12.- С. 101-107.

55. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики.-Киев: Вища школа, 1978.- 181 с.

56. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов.- М.: Физико-математическая литература, 2000.-400 с.

57. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании.- М.: Физ-матгиз, I960.- 340 с.

58. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. ГИТЛ.- М.,1956.

59. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.- М.: Наука, 1972,- 432 с.

60. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем.- М.: Наука, 1967.-984 с.

61. Ворович И.Н. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек.- М.: Наука, 1989.-376 с.

62. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980.

63. Гавеля С.П. О сохранении разрешимости граничных задач теории пологих оболочек при приведении их к интегральным уравнениям// Изв. Вузов. Математика.- № 5.- 1969.-С. 14-19.

64. Гавеля С.П. Об одном способе построения матриц Грина для сочлененных оболочек// ДАН УССР.- Сер. А.- 1969.-№ 12.-С. 1107-1111.

65. Гавеля С.П., Мельников Ю.А., Давыдов И.А. Решение некоторых граничных задач теории оболочек.- Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского ун-та, 1971.-51 с.

66. Гавеля С.П., Скрыпник В.П. К исследованию деформированного состояния тонких оболочек при конечных прогибах/ЯТрикладная механика. 1971.- № 7.- вып. 10.- С.26-30

67. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек.- Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1975.- 326 с.

68. Галимов К.З. О некоторых направлениях развития механики деформируемого тела в Казани// Исследования по теории пластин и оболочек.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1979.- вып. 14,- С. 14-82.

69. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985.- 208 с.

70. Танеева М.С. Прочность и устойчивость оболочек вращения,- М.: Наука, 1992.- 161 с.

71. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- М.: Наука, 1977.- 640 с.

72. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними.- М.: Добро-свет, 2000,- 412 с.

73. Голованов А.И. Сравнительный анализ различных схем расчета оболочек произвольной геометрии методом конечных элементов// Исследования по теории оболочек. Труды семинара.- Вып. 21.- Ч. 1.- Казань: Казанский физ.-техн. ин-т КФАН СССР.- С. 104-111.

74. Голованов А.И. Универсальный конечный элемент тонкой оболочки// Исследования по теории оболочек. Труды семинара.- Вып. 25.- Казань: Казанск. физ.-техн. ин-т КНЦ АН СССР, 1990.- С. 66-83.

75. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел-Казань: ДАС, 2001.-301 с.

76. Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек.- Казань: Казан, физ.-техн. ин-т, 1989.- 270 с.

77. Гольдштейн Р.В., Холмянский M.JI. Развитие метода граничных интегральных уравнений и его применение в двумерных задачах теории упругости и пластичности// Материалы VII Всесоюзной конференции.- Новосибирск.- 1982.- С. 314-319.

78. Гольцев А.С., Филимонова Т.О. Исследование локального термоупругого изгиба ортотропных пластин на базе итерационной теории// Труды ИПММ НАН Украины.- 2006.-Вып. 13.

79. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.: Наука, 1971.-1108 с.

80. Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пологих оболочек методом граничных элементов// Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин.- Т.З.- Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т, 1997.- С. 49-54.

81. Грибов А.П. Итерационный алгоритм метода граничных элементов для расчета гибких пластин и пологих оболочек переменной жесткости// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды шестой межвуз. конф.- Ч. I.- Самара.- 1996.- С. 24-26.

82. Грибов А.П. Исследование напряженно-деформированного состояния гибкой пологой оболочки ступенчато-переменной жесткости. Актуальные проблемы механики оболочек// Тезисы докладов Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов.- Казань.-1983.- С. 43.

83. Грибов А.П. Большие прогибы пластин и пологих оболочек со сложным контуром// Диссертация на соиск. уч. степ. д. ф.-м. н. по спец. 01.02.04.- Ульяновск: Ульяновский гос. техн. ун-т, 1998.- 239 с.

84. Грибов А.П., Великанов П.Г. Применение преобразования Фурье для получения фундаментального решения задачи изгиба ортотропной пластины// Мат. моделирование и краевые задачи. Труды Всерос. научной конференции.- Самара.- 2004.- С. 67-71.

85. Грибов А.П., Куканов Н.И. Решение задачи изгиба пластины на упругом основании методом граничных интегральных уравнений// Вестник УлГТУ.- Ульяновск.- 2001,- № 3.-С. 60-71.

86. Грибов А.П., Куканов Н.И. Решение задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек методом граничных элементов// Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник.- Вып. 64.- Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2002. -С. 32-36.

87. Грибов А.П., Куканов Н.И. Решение задач деформирования пологой длинной цилиндрической панели с учетом и без учета поперечного сдвига// Вестник УлГТУ.- Ульяновск.- 2003.- № 4.- С. 53-64.

88. Грибов А.П., Малахов В.Г. Итерационный алгоритм прямого метода граничных элементов для расчета пластин и пологих оболочек// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой межвуз. конф.- Ч. I.- Самара.- 1997.- С. 31-33.

89. Грибов А.П., Малахов В.Г. Алгоритм расчета гибких пологих оболочек с использованием прямого метода граничных элементов// Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин.- Т. 3.- Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т, 1997.-С. 54-59.

90. Грибов А.П., Малахов В.Г. Алгоритм расчета гибких пластин методом граничных элементов// Нелинейное моделирование и управление. Тезисы докладов международного семинара.- Самара.- 1997.- С. 45-46.

91. Грибов А.П., Петухов Н.П. Численные методы расчета тонкостенных конструкций при статических воздействиях. Учебное пособие.- Казань: Казанск. хим.-технол. ин-т, 1986.79 с.

92. Грибов А.П., Столяров Н.Н., Куканов Н.И. Об одном алгоритме расчета пластин и пологих оболочек методом граничных элементов// Вестник УлГТУ.- Ульяновск.- 2000.- № 2.- С. 47-54.

93. Григолюк Э.И. Конечные прогибы упругих тонких пластин.- М.: НИИ Механики МГУ, 1995.- 60 с.

94. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные прогибы, устойчивость и закритическое поведение тонких пологих оболочек.- М.: МГТУ "МАМИ", 2004.- 162 с.

95. Григолюк Э.И., Мамай В.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций.-М.: Наука. Физматлит, 1997.- 272 с.

96. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования.- М.: Наука, 1988.- 232 с.

97. Григоренко Я.М., Беренов М.Н. О численном решении задач статики пологих оболочек на основе метода сплайн-коллокации// Прикл. механика.- 1988.- Вып. 24.- № 5. С. 32-38.

98. ИЗ. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ.- Киев: Вища школа, 1979.-280 с.

99. Григоренко Я.М., Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ,-Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1983.- 286 с.

100. Гузь А.Н. О современных направлениях механики твердого деформированного тела// Прикладная механика.- 1985.- Т. 21.- № 9,- С.3-11.

101. Гурьянов И.Н. Метод разрывных решений в задачах исследования деформации анизотропных пластин сложной формы// Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04.- Казань: Казанский гос. ун-т, 1997.- 212 с.

102. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Ортотропные пластины и пологие оболочки. Теория, методы решения краевых задач.- Казань.- 2002 112 с.

103. Громадко II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов. М.: Мир, 1990. 304 с.

104. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.- СПб: "Изд-во и типография АО ВНИИГ им. Б.В. Веденеева", 1995. 176 с.

105. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление- М.: Наука, 1974- 544 с.

106. Дудченко А.А., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки. ВИНИТИ.- 1983.- С. 3-63.

107. Жигалко Ю.П. Статика оболочек при силовых локальных воздействиях// Исследования по теории пластин и оболочек.- №11.- Казань.- 1975.

108. Жигалко Ю.П. Изгиб тонких изотропных и ортотропных цилиндрических оболочек радиальной линейной нагрузкой// Нелинейная теория пластин и оболочек.- Казань: КГУ, 1962.

109. Жигалко Ю.П. Статика оболочек при силовых локальных воздействиях// Исследования по теории пластин и оболочек,- №. 11.- Казань: Изд-во КГУ, 1975,- С. 62-91

110. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике,- М.: Мир, 1975,- 511 с,

111. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация.- М.: Мир, 1986,- 318 с.

112. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. В 2 ч.- М.: Наука. Физмат-лит, 2000.

113. Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей. ПММ.- Т. XX.- Вып. 6.- 1956.

114. Ишлинский А.Ю., Черный Г.Г. Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные аспекты и приложения в механике.- М.: Мир, 1978.- 212 с.

115. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям М.: Физмат-гиз, 1961.-703 с.

116. Канторович JI.B. Об одном методе приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных// Докл. АН СССР. 1934.- Т. 2.- № 9.- С. 532-536.

117. Карандаков Г.В., Керопян К.К., Назаров В.М. Расчет изотропной пластинки на упругом основании методом электрического моделирования// Строительная механика и расчет сооружений.- № 5 (65).- 1969.- С. 26-30.

118. Колгадин В.А., Гинесина Э.М. К задаче поперечного изгиба пластин из ортотропного стеклопластика// Прикладная механика.- Т. VI.- Вып. 7.- 1970.- С. 100-106.

119. Кончковский 3. Плиты. Статические расчеты. Пер. с пол.- М.: Стройиздат, 1984. 480 с.

120. Копейкин Ю.Д. Прямое решение двух- и трехмерных краевых задач теории упругости и пластичности при помощи сингулярных интегральных уравнений теории упругости// Численные методы механики сплошной среды.- Новосибирск.- 1974.- Т. 5.- № 2.-С. 46-56.

121. Копейкин Ю.Д. Интегральные уравнения задач об изгибе ортотропных пластинок// Известия АН. Механика твердого тела.- № 3.- 1994. -С. 175-178.

122. Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях.- М.: Физматгиз.- I960.- 458 с.

123. Коренев Б. Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. Решения в бесселевых функциях.- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы.-1980.- 401 с.

124. Коренев Б.Г., Черниговская Е.И. Расчет плит на упругом основании.- М.: Гос. изд-во литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам.- 1962.- 356 с.

125. Корнеев В.Г. Некоторые вопросы построения и исследования схем метода конечных элементов// Численные методы механики сплошной среды.- Т. 5.- № 1.- Новосибирск,-1974.- С. 59-87.

126. Коренев Б.Г. К вопросу о применении компенсирующих нагрузок// Прикладная математика и механика.- 1942.- Т. 6.- № 1.- С. 91-94.

127. Коренев Б.Г. Метод компенсирующих нагрузок в приложении к задачам о равновесии, колебаниях и устойчивости плит и мембран// Прикладная математика и механика.-1940.- Т. 4.- Вып. 5-6.- С. 61-72.

128. Корнейчук А.А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов// Численные методы решения дифференциальных уравнений и квадратурные формулы. Научн. сб.- М.: Наука, 1964,- С. 64-74.

129. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения.- М.: Наука, 1964.- 192 с.

130. Корнишин М.С., Александров М.А., Столяров Н.Н. Об одном алгоритме расчета гибких пластинки пологих оболочек переменной жесткости. Труды семинара по теории оболочек.- Вып. VI.-Казань.- 1975.- С.196-201.

131. Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели.- М.: Наука, 1968.260 с.

132. Корнишин М.С., Паймушин В.Н. К вопросу о параметризации срединной поверхности пластин и оболочек со сложной границей// Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара.- Вып. 9.- Казань: Казанск. физ-техн. ин-тКФАН СССР, 1977.- С. 17-25.

133. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Файзуллина М.А. Большие прогибы треугольных и четырехугольных пластин// Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара.-Вып. 13.- Казань: Казанск. физ.-техн. ин-т КФАН СССР, 1980.- С. 21-28.

134. Корнишин М.С., Файзуллина М.А. Обзор работ по расчету на изгиб и устойчивость пластин и оболочек сложного очертания.- Казань: КФАН СССР, 1986.- 39 с.

135. Корнишин М.С., Савинов В.И. Расчет гибких составных тонкостенных конструкций методом суперэлементов// Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара.- Вып. 19.- Казань: Казанск. физ-техн. ин-т КФАН СССР, 1986.- С. 94-102.

136. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел.- Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.- 262 с.

137. Костин В.А., Снегуренко А.П. Идентификация поля цилиндрических жесткостей изотропных и ортотропных пластин// Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева.- Казань.- 2001.- № 2.- С. 3-9.

138. Крамин М.В. Решение задачи термоупругости пологих оболочек методом граничных элементов// Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань: Казанский гос. Ун-т, 1995.- 173 с.

139. Крамин Т.В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций сложной формы методом граничных элементов// Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань: Казанский гос. Ун-т, 1995.- 107 с.

140. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела.- М.: Мир, 1987.- 328 с.

141. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек.- Саратов.-1976.-214 с.

142. Крысько В.А. Расчет ортотропных пластинок при больших прогибах методом последовательных нагружений// Некоторые задачи прочности и устойчивости плоских и пространственных систем.- Саратов.- 1966.- С. 124-135.

143. Крысько В.А., Жигалов М.В. Метод решения геометрически нелинейных задач МДТТ// Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин.- Т. 3.- Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т, 1997.- С. 118-122.

144. Крысько В.А., Соколов С.С. К вопросу о решении задач теории упругости для областей, произвольных в плане// Устойчивость пластин и оболочек: Межвуз. сб.- Саратов: изд-во Саратов, ун-та, 1981.- С. 73-75.

145. Кулаков В.М., Толкачев В.М. Изгиб пластин произвольного очертания// ДАН СССР.-1976.- Т. 230.- № 1.- С. 56-59.

146. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости.- М.: Физматгиз, 1963.- 472 с .

147. Курант Р. Уравнения с частными производными.- М.: Мир, 1964.- 832 с.

148. Левицкий И.А., Тишина Л.В. Применение вариационных методов для приближенного построения функции Грина в задачах изгиба пластин// Прикладная механика.- Т. XIV (XXIV).-№7.- 1978.-С. 128-131.

149. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки-М.: ГИТЛ, 1947.- 355 с.

150. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.-М.: Наука, 1977.- 416 с.

151. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент — М.: ТОО "Янус", 1995.- 520 с.

152. Логвинская А.А., Рогалевич В.В. К расчету гибких пологих оболочек комбинированным способом// Некоторые вопросы теории пластин и оболочек.- Казань: КФАН АН СССР, 1967.- С. 54-62.

153. Лужин О.В. Статический и динамический расчет балок, плит и оболочек приемом "расширения" заданной системы// Исследования по теории сооружений.- Вып. 13.- М.-С. 63-76.

154. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках.- М.: Мир, 1982,- 542 с.

155. Лукашевич Д.И., Табаке К.К. Преобразование обыкновенных дифференциальных уравнений методом подобия// Вопросы динамики и прочности.- Т. XII.- Рига.- 1966.

156. Малкин С.А. Решение контактных задач теории пластин и плоских негерцевских контактных задач методом граничных элементов// Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04.- Казань: Казанск. гос. ун-т, 2004,- 166 с.

157. Матвеев С.А., Зырякова С.А. Расчет плиты на упругом основании методом конечных элементов// Тезисы докладов II Международной научно-технической конференции "Автомобильные дороги Сибири".- Омск: Изд-во СибАДИ, 1998.- С. 375-378.

158. Михайлов Б.К., Гаянов Ф.Ф. Оболочки и пластины при локальных нагрузках (обзор работ за 10 лет)// Деп. ВИНИТИ.- 1983.- № 6675-83.

159. Михлин С.Г. Интегральные уравнения.- М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

160. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.- М: Физматгиз, 1962,- 254 с.

161. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физики.- М.: Наука, 1970. 512 с.

162. Мовсисян Л.А. Об осесимметрично нагруженной цилиндрической оболочке. ИАИ Арм. ССР, сер. физ.-мат. н.- 1962,- № 15.- № 2.

163. Морарь Г.А. Метод разрывных решений в теории пластин Тимошенко// Изв. АН СССР. Механика твердого тела.- 1989.- № 2.- С. 171-178.

164. Морарь Г.А. Метод разрывных решений в пространственной теории упругости// Изв. АН СССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук.- 1989.- № 3.- С. 3-6.

165. Морарь Г.А. Метод разрывных решений в механике деформируемых тел.- Кишинев: Штинца, 1990.- 130 с.

166. Морарь Г.А. Метод разрывных решений в теории пластин//Мат. исслед.-Кишинев.-1989.- С. 56 -62.

167. Мусхелишвилли Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.

168. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.-М.: Наука, 1979.- 707 с.

169. Муштари Х.М. Средний изгиб пологой оболочки прямоугольной в плане и опирающейся на гибкие в своей плоскости ребра.- Казань: Изв. КФАН СССР. Серия физ.-мат. и техн. наук, 1958.- № 12.

170. Муштари Х.М. Некоторые обобщенные теории тонких оболочек. ПММ.- Т. 2.- вып. 4.- 1939.

171. Муштари Х.М. Об обратных краевых задачах нелинейной теории пологих оболочек. ДАН СССР.- 1957.-Т. 116.-№ 1.

172. Муштари Х.М. Некоторые обратные краевые задачи нелинейной теории пологих оболочек вращения.- Казань: Изв. КФАН СССР. Серия физ.-мат. и техн. наук, 1958.- № 12.

173. Муштари Х.М. Об основных достижениях советских ученых в разработке теории пластин и оболочек// Труды семинара по теории оболочек.- Казань: Изв. КФАН СССР, 1974.-№5.- С. 5-14.

174. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек.- Казань: Таткниго-издат, 1957.

175. Мэттьюз Ф., Роллингс Р. Композитные материалы. Механика и технология.- 2004.

176. Назаров А.А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек.- JL: Стройиздат, 1966.- 304 с.

177. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.- М.: Наука, 1969 528 с.

178. Нехотяев В.В., Саченков А.В. Большие прогибы тонких упругих пластин// Исследования по теории пластин и оболочек.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1972.- Вып. 8,- С. 42-77.

179. Никольский С.М. Квадратурные формулы.- М.: Наука, 1979.- 256 с.

180. Новацкий В. Вопросы термоупругости.- М.: Изд-во АН СССР, 1962.- 364 с.

181. Новожилов Г.В Надежность широкофюзеляжных самолетов// Вестник АН СССР. 1985.-№ 8.- С. 85-92.

182. Образцов И.Ф. О проблемах статики и динамики современных инженерных конструкций. Состояние вопроса, новые проблемы и перспективы// Проблемы прочности.-1982.-№ П.-С. 3-11.

183. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины.- М.: Изд-во МГУ, 1969.

184. Паймушин В.Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета// Прикладная математика и механика.- 1978.-Вып. 42.- № 4.- С. 762-772.

185. Паймушин В.Н., Сидоров И.Н. Вариант метода граничных интегральных уравнений для решения задач статики изотропных оболочек произвольной геометрии// Изв. АН СССР. Мех. тв. тела.- 1991.-№ 1.- С. 160-169.

186. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Об одном способе математического описания и решения краевых задач механики и деформирования оболочек, лежащих на сплошном или дискретном упругом основании//Проблемы машиностроения.- 1982.- Вып. 16.- С. 18-23.

187. Панич О.И. О потенциалах полигармонического уравнения четвертого порядка// Мат. сборник.- Одесса.- Вып. 3.- I960.- Т. 50.- С. 335-354.

188. Пановко Я.Г. Механика деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1985.- 287 с.

189. Перельмутер М.Н. Разработка алгоритма и программы расчета напряженно-деформированного состояния деталей ГТД методом граничных элементов// Технический отчет ЦИАМ им. П.И. Баранова.- 1984.- 83 с.

190. Партон В.З., ПерлинП.И. Методы математической теории упругости.- М.: Наука, 1981,688 с.

191. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости.- М.: Наука, 1977.-311 с.

192. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью.- Киев: Наукова думка,1973.- 478 с.

193. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек.- М.: Наука, 1975.- 119 с.

194. Петухов Н.П. О некоторых подходах к расчету пластин и оболочек со сложным опорным контуром// Исследования по теории оболочек: Тр. семинара.- Вып. 10,- Казань: КФАН СССР, 1978.-С. 5-18.

195. Петухов Н.П. Статика гибких пластин и панелей с областью в плане, составленной из прямоугольников// Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04.- Казань: Казанкий физ.-техн. ин-т КФАН СССР, 1978.- 187 с.

196. Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре для граничных задач теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектами вдоль гладкой дуги.- Казань: Казанское матем. общество, 1997.- 22 с.

197. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами,- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987.- 160с.

198. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.- 576 с.

199. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций.- Л.: Судостроение,1974,- 344 с.

200. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин.- Рига: Зинатне, 1988.-284 с.

201. Рогалевич В.В. Решение краевых задач теории пластин и оболочек методом коллокации// Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара.- Казань: КФАН СССР.-Вып. 13.- 1980.-С. 5-20.

202. Рогалевич В.В. Метод переопределенной внутренней коллокации в задачах прочности, устойчивости, колебаниях пластин и оболочек// Строительная механика и расчет сооружений.- 1982.- № 5.- С. 33-38.

203. Рябенков Н.Г. Аффинное преобразование в пространственной задаче теории упругости с анизотропией// Расчет пластин и оболочек в химическом машиностроении.— Казань.-1992.- С. 110-112.

204. Самарский А.А. Всесоюзная школа молодых ученых: Теория и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики // Журнал вычислит, математики и математич. физики.- 1983.- 23, № 1.- С. 246-247.

205. Саподжян О.Н. Изгиб свободно опертой полигональной плиты// Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.-мат. и естеств. наук.- 1952.- Т. 5.- № 2.- С. 29-46.

206. Саркисян B.C. Некоторые задачи теории упругости анизотропного тела.- Ереван: Изд-во Ереванского университета, 1970.- 445 с.

207. Саченков А.В. О сведении расчета ортотропных пластин и оболочек к расчету изотропных// Исследования по теории пластин и оболочек.- Вып. 11.- Казань: КГУ, 1975.

208. Саченков А.В. Теоретико-экспериментальный метод исследования устойчивости пластин и оболочек.- Вып. 6-7 Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1970.- С. 391-433.

209. Свищев Г.П. Актуальная проблема машиностроения// Вестник АН СССР.- 1985.- № 8.-С. 72-73

210. Сегерлинд Л.Дж. Применение метода конечных элементов,- М.: Мир, 1979,- 392 с.

211. Серазутдинов М.Н. О методе построения аппроксимирующих функций в задачах расчета пластин и оболочек сложной формы// Теория и численные методы расчета пластин и оболочек. Труды Всесоюзн. совещания-семинара в Тбилиси.- Т.2.- С. 294-304.

212. Серазутдинов М.Н. К методам расчета пологих оболочек со сложной формой контура// Известия АН СССР. Механика твердого тела.- 1988.- № 3.- С. 144-149.

213. Серазутдинов М.Н., Банцарев К.Н. Синтез метода граничных уравнений и вариационного метода при расчете пластин и оболочек// Изв. Вузов.- М.: Машиностроение, 1992.-№ 10-12.- С. 48-52.

214. Сидорин Я.С. Изгиб свободно опертых ортотропных эллиптических пластин// Механика полимеров.- 1977.- № 6.- С. 1048-1050.

215. Слезингер И.Н., Барская С.Я. Расчет свободно опертых эллиптических пластин от действия произвольной поперечной нагрузки// АН Латвийской ССР. Механика композитных материалов.- Рига: Зинатне, 1980.- № 3.- С. 543-546.

216. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания.- М.: Стройиздат, 1978.- 300 с.

217. Снеддон И. Преобразования Фурье.- М.: Иностр. литература, 1955.

218. Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей) под редакцией Варвака П.М. и Рябова А.Ф.- Киев: Будивельник, 1971.- 418 с.

219. Столяров Н.Н. Несимметричные задачи упругопластического изгиба гибких пологих оболочек и пластин переменной жесткости// Прочность и устойчивость оболочек: Труды семинара.- Вып. 13.- Казань: КФАН СССР, 1980.- С. 47-58.

220. Столяров Н.Н. Об одном эффективном методе решения геометрически и физически нелинейных задач теории оболочек// Прикл. механика.- 1977.- №11.- С. 126-129.

221. Столяров Н.Н. Несимметричные задачи упругопластического изгиба гибких пологих оболочек и пластин переменной жесткости// Прочность и устойчивость оболочек: Труды семинара.- Вып. 13.- Казань: КФАН СССР, 1980.- С. 47-58.

222. Столяров Н.Н., Додзина Р.Н. Об одном алгоритме исследования устойчивости гибких панелей// Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций.-Куйбышев.- 1983.- С. 57-63.

223. Стрельбицкая А.И., Матошко С.И. Анализ работ по исследованию гибких пластин// Прикладная механика.- Т. VI.- Вып. 7.- 1970.- С. 3-19.

224. Ступаков М.И. Ортотропная прямоугольная пластина под действием одномерного температурного поля// Расчет пространственных конструкций. Сб. статей.- Вып. XV.- М.: Стройиздат, 1973.- С. 201-214.

225. Танака Масатака. Использование граничных элементов в механике сплошных сред// Кикай-но кэнкю, Sci. Mach.-1982.- Т. 34.- № 2.- С. 1385-1389.

226. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач.-М.: Стройиздат, 1987.- 160 с.

227. Теории подобия и размерностей. Моделирование. Алабужев П.М. и др.- М.: Высшая школа, 1968.- 208 с.

228. Терегулов И.Г. Нелинейные задачи теории оболочек и определяющие соотношения.-Казань: Фэн, 2000.- 335 с.

229. Терегулов И.Г., Каюмов Р.А. Плоское напряженное состояние в ортотропной полосе с бесконечным рядом шайб// Исследования по теории оболочек.- В. VII.- Казань: КФАН СССР, 1976.

230. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.-М.:Наука, 1966.-635 с.

231. Толкачев В.М. Уравнения изгиба пластин произвольного очертания с угловыми точками// Труды XXVII Международн. конф. по теории оболочек и пластин.- Т.1.- Казань: Изд-во гос. ун-та, 1996.-С. 145-153.

232. Толкачев В.М. Метод компенсирующих нагрузок в теории изгиба пластин// Известия АН СССР. Механика твердого тела.- 1988.- № 3.- С. 155 -160.

233. Толкачев В.М., Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач изгиба пластин сложного контура методом граничных элементов// Актуальные проблемы механики оболочек. Тезисы докладов II Всесоюзного совещания-семинара молодых ученых.- Казань.- 1985.-С. 218.

234. Трофимов A.M. Построение граничных интегральных уравнений метода компенсирующих нагрузок для пологих оболочек переноса// Матер, науч.- техн. конф. Харь-ковск. инж.-стр. ин-та.- 1990.- С. 71-83.

235. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике твердого деформируемого тела.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986.- 296 с.

236. Файзуллина М.А. Гибкие треугольные и четырехугольные пластины при шарнирном и комбинированном закреплении краев// Исследования по теории оболочек. Труды семинара.- Вып. XV.- Казань: КФАН СССР, 1982.- С. 70-81.

237. Фейнберг С.К. К вопросу о построении приближенной моментной теории тонкостенных оболочек произвольного очертания// Исследования по теории сооружений.- М.: Гос-стройиздат, 1939.

238. Феодосьев Р.-Е.В. Изгиб анизотропной треугольной пластинки// Ученые записки Кишиневского госуниверситета (физико-математический).- Т. XXIX.- Кишинев.- 1957. С. 77-87.

239. Филин А.П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела.- Л., Стройиздат. Ленинградское отделение, 1974

240. Хачатурян Т.Т. Пологие цилиндрические оболочки. Сообщения Ин-та мат. и мех. АН Арм. ССР.-№4.- 1949.

241. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4-х т. Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. Пер. с англ.- М.: Мир, 1986.464 с.

242. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Смешанные задачи теории пластин и оболочек. Донецк: Изд-во Донецкого университета, 1980.- 128 с.

243. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Действие сосредоточенных сил на анизотропные оболочки// Известия АН СССР. Механика твердого тела.- 1972.- № 4.

244. Хомасуридзе Н.Г. О некоторых предельных переходах в теории упругости и о "парадоксе Саподжяна'У/ Механика твердого тела.- № 3.- 2007.- С. 46-54.

245. Христенко А.С. Напряженное состояние ортотропной цилиндрической оболочки вблизи точки приложения сосредоточенной нагрузки// Труды Ун-та Дружбы Народов им. П. Лумумбы.- 1965.-№ Ю.

246. Цурпал И.А., Тамуров Н.Г. Расчет многосвязных слоистых нелинейно-упругих пластин и оболочек.- Киев: Вища школа, 1977.- 334 с.

247. Чернышев Н.Г. О действии сосредоточенной силы и сосредоточенного момента на анизотропную пластинку // Инженерный журнал,- Т. 4, вып. 1, 1964

248. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация.- М.: Эдиториал УРСС, 1999. 224 с.

249. Шевченко В.П. Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек.- Донецк: Донецкий государственный университет, 1977.-115 с.

250. Шевченко В.П. Методы фундаментальных решений в теории тонких упругих оболочек// Диссертация на соиск. уч. степ. д. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань: Казанский гос. ун-т, 1982.- 337 с.

251. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс // Под ред. О.А. Олей-ник, В.П. Паламодова, Б.П. Панеяха. 2-е перераб. изд. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 208 с.

252. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физики.-М.:МЦНМО, 2001.-303 с.

253. Якупов Н.М. О некоторых работах по расчету оболочек сложной геометрии// Исследования по теории оболочек: Тр. семинара.- Вып. 25.- Казань: Казанский физ.-техн. ин.-т КНЦ АН ССР.- 1990.- С. 43-55.

254. Якупов Н.М. Прикладные задачи механики упругих тонкостенных конструкций. КНЦ РАНИММ.- Казань.-1994.- 124 с.

255. Якупов Н.М., Серазутдинов М.Н. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии. ИММ РАН.- Казань.- 1993,- 206 с.

256. Abdel-Akher A., Hartley G.A. Domain integration for plate bending analysis by beam// Commun. Appl. Numer. Meth. 1989. 5. N1. pp. 23-28.

257. Abdel-Akher A., Hartley G.A. Evaluation of boundary integrals for plate bending // Int. Numer. Math. Eng. 1989. 28. N1. pp.75-93.

258. Al-Hosani K. A non-singular fundamental solution for boundary element analysis of thick plates on Winkler foundation under generalized loading. Comput. and Struct. 2001. 79, №31, pp. 2767-2780

259. Alvarez Rubio S. Cuantificacion del efecto local en el registro sismico mediante la aplicasion del metodo de elementos de contorno. Tesis doctoral. 2001. Universidad politecnica de Madrid. 186 p.

260. Brebbia C.A., Long S.Y. Boundary element analysis of plates using Reissner's theory. Boundary elements 9. 9th Int. Conf. Stuttgard, Aug. 31st Sept. 4th, 1987, Vol. 1, Southampton, 1987, pp. 3 - 18.

261. Brebbia C.A. The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London; Halstead Press, New York, 1978.

262. Cadegh All M. On the Green's function and boundary integral formulation of elastic plates with contours// Mech. struct, and mach., 1991. 16, N3, pp. 293-311.

263. Camp C.V., Gipson G.S. Biharmonic analysis of rectilinear plates by the beam // Int. J. Numer. Math. Eng. 1990. 30, N3, pp. 517-539.

264. Chaves A. P., Ribeiro G.O. An evaluation of BEM Algorithms for 3-D elastostatics/ Computer methods in mechanics. Poland. 2003. 8 p.

265. Chia C.Y. Nonlinear analysis of plates.- NY etc. Mc. Graw-Hill intern, 1980, XIV, 422.

266. Carini A., Salvadori A. Analytical integrations in 3D beam: preliminaries// Computational mechanics 28 (2002). pp. 177-185.

267. Carini A., Diligenti M., Maranesi P., Zanella M. Analytical integration for two-dimensional elastic analysis by the symmetric Galerkin boundary element method// Computational mechanics 23 (1999). pp. 308-323.

268. Choi J.H., Kwak B.M. A formulation in derivative unknowns for two-dimentional potential problems// Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1989. 56, 3, pp. 617-623.

269. Costa J.A., Brebbia C.A. Bending of plates on elastic foundation using the boundary element method. "Boundary element 6" Berlin e. a., 1984, pp. 3/43 3/63.

270. Costa J.A., Brebbia C.A. Plate bending problems using boundary element method. "Boundary element 6" Berlin, 1984, pp. 3/43 3/63.

271. Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Int. J. Math. Anal. Applies, 1968, 22, pp. 244-259.

272. Cruze T.A. Application of the boundary-integral equation method to three dimensional stress analysis, Computers and Structures, 3, 509-527 (1973).

273. Ding F., Li Z. Calculation of boundary integrals and load integrals for plate bending // J. Lanzhou Univ. 1991.27, N2, pp. 1 -7.

274. Ehrenpreis Solutions of some problems of division I// Amer. J. Math. 76 (1954), pp. 883-903.

275. Hormander L. Local and global properties of fundamental solutions// Math. Scad. 5 (1957), pp. 27-39.

276. Fernandes J.R., Venturini W.S. Stiffened plate bending analysis by the boundary element method// Computational mechanics 28 (2002). pp. 275-281.

277. Fredholm I. Sur une classe d'equations fonctionelles. Acta Mathematica. 27. 365-390 (1903).

278. Fredholm I. Solusion d'on probleme fondamental de la theorie de e'elasticite. Arkiv for Metametik, Astromomi och Fysic, 2, 28, 3-8 (1906).

279. Gallego Juarez. Axisymmetric vibrations of circular plates with stepped thickness. "J. Sound and Vibr.", Vol. 26, N 3, 1973 .

280. Giroire. J. A system of bies with hipersingular kernels for the free edge plate// Comput. Mech.'88: Theory and Appl.: Proc. Int. Conf., Comput. Ing. Sci., Atlanta, GA, Apr., 10-14, 1988, Vol.1 Berlin, 1988. 23.11.1-23.11.4 p.

281. Gospodinov G.K. The boundary element method applied to shellow spherical shells. "Boundary Elements 6", Proc. 6th Int. Conf. Board Liner, Queen Elizabeth 2, Southampton, N.Y., Ju ly, 1984.", Berlin, e.a., 1984, pp. 3/65-3/77.

282. Guo-Shu Song, Mukherjee S. Boundary element method analysis of bending of elastic plates of arbitrary shape with general boundary conditions. "Eng. Anal.", 1986, 3, № 1, pp. 36-44.

283. Hartmann F. Kirchhoff plates// Boundary elem. X, Vol.3, Stress analysis. Southampton etc., Berlin etc., 1988. pp. 409-423.

284. Hartmann F., Zotemanter R. The direct BEM in plate bending. "Int.J.Numer. Meth. Eng.", 1986, 23, N11, pp. 2049-2069.

285. Hayami K. Variable transformations for nearly singular integrals in the boundary element method// Pabl. RIMS. Kyoto Univ. 41 (2005), pp.821-842.

286. Hsiao G.C., Wendland W.L. BIE// Appl. Math. Science. V. 164. 2008.

287. Hui C.-Y., Shia D. Evaluations of hypersingular integrals using Gaussian quadrature. Int. J. Numer. Math. Eng. 1999. 44, №2, pp. 205-214.

288. Hunter P., Pullan A. FEM/BEM Notes /Department of Engineering Science The University of Auckland New Zealand, 2001, 147 p.

289. Ivan M., Dubina D., Ciocirlic H. Application of the beam to plane problem of elastisity// Bui. Sti. Si. tehn. Inst, politehn. Timisoara Constr., 1986, 31, N1-2, pp. 41-46.

290. Ivanova J., Valeva V. Bending analysis of shallow spherical shells by BEM// Trans. 10th. Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol. Anaheim. Calif. 14-18 Aug. 1989. Vol. B. Los Angeles (Calif.). 1989. pp. 19-24.

291. IrschikH., HeuerR., ZieglerF. BEM using Green's functions of rectangular domains. Static and dynamic problems of bending of plates. Boundary elements 9. 9th Int. Conf. Stuttgard, Aug. 31st Sept. 4th, 1987, Vol. 1, Southampton, 1987, pp. 35 - 49.

292. Johnson D. Plate bending by a boundary point method// Comput. and Struct., 1987, 26, N4, pp. 673-680.

293. Kamiya N., Sawaki Y. A simplified nonlinear bending analysis of flat plates and shallow shells by boundary element approach based an Berger equation// Numer. Meth. Ind. Form. Processes. Swansea. 1982. pp. 289-297.

294. Kamiya N., Sawaki Y. An integral equation approach to finite deflection of elastic plates// Int. J. Non Linear Mech. 1982. 17.N3.pp. 187-194.

295. Katayama Т., Siguiyama Y. A formulation of beam for plane stress problem// Bui. Univ. Osaka Prefect, 1986, A35, N1, pp. 12-22.

296. Katslkadelis J.T., Armenakas A.E. A new boundary equation solution to the plate problem// Trans. ASME J. Appl. Mech., 1989, 56, №2, pp. 364-734.

297. Katslkadelis J.T., Armenakas A.E. Numerical evaluation of double integrals with a logarithmic or Cauchy-tape singularity // Trans. ASME J. Appl. Mech., 1983, 50, pp. 682-684.

298. Katsikadelis J.T., Sapountzakis E.J., Zorba E.G. A BEM approach to static and dynamic analysis of plates with internal supports. Comput. Mech. 1990. 7, № 1, pp. 31-40.

299. Kubic J., Clerc M., Faugeras O., Keriven R., Papadopoulo T. Fast multipole methods for the symmetric the Boundary Element Method in MEG/EEG/ Institute national de recherche en informatique et en automatique. № 5415. 2004

300. Lei Xiboyan, Huang Maokuang. A new boundary element method for Reissners plate with new boundary values// Lixue Xuebao. Acta mech. sin. 1995. 27. N5. pp. 551-559.

301. Liu F. Rectangular thick plates on Winkler foundation: differential quadrature element solution// J. Solids and Struct. 2000. 37. №12, pp. 1743-1763.

302. Lu Pin, Huang M. Calculation of the fundamental Solution for the theory of shallow shells considering shear deformation// Appl. Math, and Mech. 1992. 13. N6. pp. 537-545.

303. Lu X., Du Q. Boundary element method for Kirchhoff type plate bending problems by regular integration technique. "J. Tsinghua Univ.", 1988, 28, N2, pp. 12-22.

304. Mackerle J. Finite element and boundary element modeling of surface engineering system. A bibliography (1996-1998)// Finite elements in analyses and design 34 (2000). pp. 113-124.

305. Mackerle J. Heat transfer analyses by finite element and boundary element methods. A bibliography (1997-1998)//Finite elements in analyses and design 34 (2000). pp. 309-320.

306. Masinda J. Application of the boundary element method to elasticity and thermoelasticity problems// Monogr. and Mem, Nat. Res. Inst. Mach. Des. Praha-Bechavice, 1986, N36, 58 p.

307. Melnikov Yu.A. Influence function and matrices. New-York-Basel: Marcel Dekker, Inc. 1999. 469 p.

308. Mochihara M., Kamiwakida I. Numerical solution of plane stress problems by beam// Kagoshima Techn. Coll. Res. Repts., 1987, №21, pp. 29-35.

309. Mukherjee S. Boundary Element Method in Solid Mechanics a Tribute to Frank Rizzo/ Electronic Journal of Boundary Elements, Vol. 1, No. 1, pp. 47-55 (2003).

310. Ricardella P.C. An implementation of the boundary-integral technique for planar problems in elasticity and elastoplasticity, Ph. D. Thesis, Carnegie-Mellon Univ., 1973.

311. Rizzo F.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics. Q. Appl. Math. 1967, v. 25, pp. 83 - 90.

312. Sawada Т., Imanari M. Error estimate of numerical integration in boundary element method analysis// Bulletin of JSME, Vol. 29, №258, December 1986. pp. 4072-7079.

313. Shang Xin-chun, Cheng Chang-jun. Qualitative investigation and monotonic iterative solutions for nonlinear bending of polar ortotropic circular plates// Appl. Math, and Mech. 1990. 11. N12. pp.1137-1154.

314. Shanz M., Antes H. A Boundary Integral Formulation for the Dynamic Behavior of a Timoshenko Beam// Electronic Journal of Boundary Elements, Vol. BETEQ 2001, No. 3, pp. 348-359 (2002).

315. Schanz M., Steinbach O. Boundary element analysis. Mathematical aspects and analysis// Lecture notes in applied and computational mechanics. V. 29. 2007.

316. Sladek V., Sladek J. Nonsinqular formulation of BIE for plate bending// Eur. J. Mech. A. 1992. 11. № 3. pp. 335-348.

317. Symm, GT: Integral equation method in potentional theory 2, Proc. Roy. Soc. Series A 275, 33 (1963).

318. Tanaka Masataka, Mitsumoto Toshiro, Zheng Zhundong. BEM analyses of finite deflection problems for von Karman-type plates// Nihon Kikai Gakkai Ronbunscu. A. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1995. 1. N589. pp. 2079-2085.

319. Telles J.C.F. A Report on Some Boundary Element Adventures// Electronic Journal of Boundary Elements, Vol. 1, No. 1, pp. 56-60 (2003).

320. Tosaka N, Miyake S., A boundary shallow shell bending problems. "Boundary Elem. Proc. 5th Int. Conf., Hiroshima, Nov., 1983", Berlin, 1983, pp.527-538.

321. Tottenhem H. The boundary element method for plates and shells. "Develop Boundary Elem. Math. 1" London. 1979. pp. 173-205.

322. Vasilenko A.T. Bending of an anisotropic elliptic plate on an elastic foundation// Int. Appl. Mechanics, Vol. 38, No. 3, 2002.

323. Wang Zuo-hui. Nonsingular kernel beam for thin plate bending problem// Appl. math, and mech. 1993, 14, N8, pp. 729-738.

324. Watson J.O. Boundary Elements from 1960 to the Present Day/ Electronic Journal of Boundary Elements, Vol. 1, No. 1, pp. 34-46 (2003).

325. Wearing J.L., Abdul Rahman A.G. A regular indirect beam for stress analysis. Boundary elements 9. 9th Int. Conf. Shtutguard, Aug. 31st Sept. 4th, 1987, Vol. 1, Southampton, 1987, pp. 183-198.

326. Werner H., Protosaltis B. A boundary superposition element method for the Kirchoff plate bending problems. Boundary Elements 7. Proc. 7th Int. Conf. Lake Como, Sept. 1985, Vol.1, Berlin, 1985, pp. 4/63-4/80.

327. Whye-Teong Ang. A beginner's course in boundary element method. 2007.