Смешанный гибридный метод конечных элементов и метод декомпозиции области для вариационных неравенств второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Игнатьева, Марина Александровна

• Игнатьева, Марина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Игнатьева, Марина Александровна

Введение

1 Обзор известных результатов

1.1 Формулировка вариационного неравенства.

1.2 Функциональные пространства.

1.3 Примеры вариационных неравенств.

1.4 Теоремы существования, единственности и гладкости . 30 ^ 1.5 Задача Стефана.

1.6 Монотонные операторы и выпуклые функции.

1.7 Аппроксимации вариационных неравенств

1.7.1 Аппроксимация задачи о препятствии.

1.7.2 Аппроксимация задачи Синьорини.

1.7.3 Аппроксимация контактной задачи.

1.7.4 Алгебраические формулировки сеточных вариационных неравенств. 1.7.5 Аппроксимация задачи Стефана.

1.8 Некоторые итерационные методы.

1.8.1 Метод верхней релаксации

1.8.2 Методы расщепления

1.9 Задача с седловым оператором для вариационных неравенств.

Смешанные гибридные методы для эллиптических вариационных неравенств

2.1 Смешанная гибридная схема для задачи Синьорини.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Смешанная гибридная постановка.

2.1.3 Аппроксимация.

2.1.4 Итерационный метод

2.1.5 Численные результаты.

2.1.6 Метод решения конечноэлементной схемы для задачи Синьорини.

2.1.7 Численные результаты.

2.2 Задача с ограничениями во внутренних точках области

2.2.1 Смешанная гибридная постановка.

2.2.2 Аппроксимация.

2.2.3 Численные результаты

Метод декомпозиции области для задачи о препятствии

3.1 Постановка задачи.

3.2 Эквивалентная задача с суммой двух максимально монотонных операторов.

3.2.1 Аппроксимация.

3.2.2 Метод расщепления.

3.3 Метод декомпозиции области с использованием функции Лагранжа

3.3.1 Аппроксимация.

3.3.2 Метод расщепления.

3.3.3 Другие варианты выбора предобусловливателя

3.4 Численные результаты.

4 Решение задачи Стефана с предписанной конвекцией

4.1 Смешанная гибридная схема

4.1.1 Математическая модель.

4.1.2 Смешанная гибридная формулировка задачи

4.1.3 Аппроксимация.

4.1.4 Численные результаты ф 4.2 Декомпозиция области в задаче Стефана.

4.2.1 Схемы предиктор-корректор.

4.2.2 Численные результаты.

Обозначения

Rn — евклидово пространство n-мерных вещественных векторов

О, — область, т. е. открытое подмножество в Жп дО, — граница области Q

Ck(Q) — множество к раз дифференцируемых в Г2 функций

О) — пространство бесконечно дифференцируемых финитных в области ft функций

LP(Q) — пространство Лебега вещественных измеримых функций, интегрируемых с р-й степенью в области Q

W™(£t) — пространство Соболева таких функций, что все их обобщенные производные до порядка т включительно принадлежат Lp

Hm{Q) =

Я*(П) ={иеН1(П)| 4^ = 0} mes (Q) — мера Лебега области Q int Q — множество внутренних точек ГI

Ct — замыкание О

D(A) — область определения оператора А : V —► V*, D(A) = {xeV\ Ахф 0}

R(A) — область значений оператора А : V —► V*, R(A) = {у € V*\ D{A) :уеАх} graph А — график оператора А : V —► V*, graph А = {(ж, у) eV xV*\xe D(A), у € Ах}

D(t£>) — эффективная область функционала (р : V —> К. U {+оо},

D(y>) = {a; G V| <р(х) < +оо} 1к — индикаторная функция множества К dtp — субдифференциал (множество субградиентов) выпуклого полунепрерывного снизу функционала <р

Ker А — ядро матрицы А, Кег А = {ж : Ах = 0}

Im А — образ матрицы A, Im А = {у : 3 х такой, что у = Ах}

Е — единичная матрица п. в. — почти всюду, почти все пн. сн. — полунепрерывный снизу

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Смешанный гибридный метод конечных элементов и метод декомпозиции области для вариационных неравенств второго порядка»

Теория вариационных неравенств является интенсивно развивающейся областью нелинейного анализа, сформировавшейся к настоящему времени как самостоятельная дисциплина и занимающей важное место в математике и механике. В виде вариационных неравенств формулируются задачи математической физики со свободными границами, описывающие, например, фильтрацию жидкости в пористой среде, пластические и вязко-пластические деформации, контакт упругих тел, фазовые переходы.

Начало теоретическому исследованию вариационных неравенств положили работы G. Fichera [51], J.-L. Lions и G. Spampaccia [58], Н. Brezis [36]. Подробное изложение теории вариационных неравенств и ее применения к решению различных прикладных задач можно найти в книгах Ж.-Л. Лионса [18], Г. Дюво и Ж.-Л. Лионса [7], А. Фридмана [29], Д. Киндерлерера и Г. Стампаккьи [13].

Одним из наиболее широко используемых методов решения задач математической физики является метод конечных элементов (МКЭ). Теория МКЭ изложена, например, в работах О. К. Зенкевича [8], Г. Стренга и Дж. Фикса [26], Ф. Сьярле [27]. Несмотря на то, что этот метод в достаточной степени теоретически разработан, остается много проблем его эффективного использования при решении прикладных задач, в особенности, задач большой размерности, нелинейных задач и т. д.

Основными проблемами при использовании МКЭ являются проблемы повышения точности численного решения и эффективности реализации построенных сеточных схем. Смешанные и смешанные гибридные МКЭ позволяют повысить точность нахождения градиентов решения.

В диссертации рассмотрены смешанные формулировки некоторых вариационных неравенств, которые отличаются от исходных тем, что содержат две неизвестные функции — вводится новая переменная, являющаяся градиентом решения задачи. Гибридная постановка основана на разбиении области, в которой отыскивается решение, на некоторые подобласти, после чего задача формулируется относительно следующих двух неизвестных: значений искомой функции во внутренних точках элементов и ее значений на границах элементов. Таким образом, по своей идее гибридный метод близок методу декомпозиции области, про который будет сказано ниже. Смешанная гибридная формулировка основана на объединении двух упомянутых подходов.

Смешанные и смешанные гибридные формулировки краевых задач позволяют применять МКЭ с одновременной аппроксимацией искомой функции и ее градиента. Это позволяет находить градиент решения более точно по сравнению с приемом численного дифференцирования уже найденного решения задачи. Следовательно, в прикладных задачах, где интерес представляют также градиенты решения, смешанные МКЭ являются важным инструментом численного решения.

Теория смешанных и гибридных МКЭ достаточно полно развита для линейных краевых задач (см. монографии F. Brezzi и М. Fortin [38], J. Е. Roberts и J. М. Thomas [83] и библиографии в них). Существенные результаты по сходимости и точности схем таких конечных элементов получены для нелинейных эллиптических уравнений в работах F. A. Milner [71], F. A. Milner и E.-J. Park [72], Е.-J. Park [79], М. Lee и F. A. Milner [65], F. A. Milner и М. Suri [73], М. Farhloul [49], Z. Chen [40] и других.

Смешанные и гибридные МКЭ для задачи Синьорини и контактных задач исследованы J. Haslinger и I. Hlav&cek [52], P. Coorevits, P. Hild и J.-P. Pelle [42], Р. Coorevits, P. Hild, К. Lhalouani и Т. Sassi [74], L. Baillet и Т. Sassi [32], В. F. Belgacem и Y. Renard [35], R. Hassani, P. Hild, I. R. Ionescu и N.-D. Sakki [75]. В перечисленных работах исследована точность методов при наличии предположений о регулярности решений. Получены априорные и апостериорные оценки погрешности решения и проведены численные исследования.

Результаты, касающиеся смешанных гибридных методов для вариационных задач, рассматриваемых в диссертации, являются новыми.

В результате аппроксимации вариационных неравенств, как в классической, так и в смешанной гибридной постановке, получаются, как правило, сеточные вариационные неравенства большой размерности и возникает проблема, связанная с необходимостью построения эффективных итерационных методов их решения.

Построение быстрых итерационных методов численной реализации схем МКЭ для линейных уравнений большей частью основывается на построении "хороших" предобусловливателей для матриц соответствующих сеточных схем. Предобусловливание может быть как явное, когда строятся спектрально эквивалентные матрицы для матрицы сеточной схемы, допускающие эффективное обращение, так и неявное. К последнему классу относятся многосеточные методы и методы декомпозиции области.

В работе Ю. А. Кузнецова [60] построен спектрально эквивалентный предобусловливатель для матрицы уравнения, к которому сводится решение смешанной гибридной аппроксимации линейного эллиптического уравнения при применении элементов первого порядка. В качестве пре-добусловливателя выступает сеточный оператор Лапласа на более мелкой сетке. В настоящей работе построены смешанные гибридные схемы первого порядка для эллиптических вариационных неравенств с ограничениями на искомую функцию на границе (например, задача Синьорини) или внутри области (задача о препятствии), предложен и исследован итерационный метод их решения.

В результате так называемой процедуры конденсации (исключения из смешанной гибридной схемы двух неизвестных) соответствующие схемы МКЭ сводятся к сеточным вариационным неравенствам относительно вспомогательных переменных (по существу, множителей Лагранжа) с симметричной положительно определенной матрицей. В [60] показано, что эта матрица спектрально эквивалентна дополнению Шура сеточного оператора Лапласа на более мелкой сетке, что позволяет построить итерационные методы, где сеточный оператор Лапласа является предо-бусловливателем. Метод сходится со скоростью, не зависящей от шага сетки. Следует однако отметить, что реализация каждой итерации этого метода состоит в решении вариационного неравенства с сеточным оператором Лапласа и, тем самым, эффективность построенного метода зависит от способа двухступенчатой процедуры его реализации. Для решения уравнения с оператором Лапласа разработаны быстрые методы и имеется готовое программное обеспечение, в то время как для рассматриваемого случая вариационного неравенства этого сказать нельзя. В диссертации предложен эффективный итерационный метод решения классической (не смешанной) схемы МКЭ для задачи Синьорини, который в свою очередь применен для построения двухступенчатого итерационного метода решения смешанной гибридной схемы МКЭ для задачи Синьорини.

Методы декомпозиции области — это класс методов, основанных на разделении (декомпозиции) области, в которой нужно решить задачу, на подобласти. Особенностью метода является то, что он позволяет свести решение исходной сеточной задачи к решению подзадач, которые имеют меньшую алгебраическую размерность и связаны между собой некоторыми условиями на линиях разрезов области. Таким образом, строится итерационный процесс, на одной итерации которого нужно решать задачи в подобластях. Методы декомпозиции области делятся на методы с налегающими подобластями и методы без налегания. В данной работе рассматриваются только методы с неналегающими подобластями.

Мотивацией применения декомпозиции области может быть сложная геометрия исходной области, использование различных математических моделей и аппроксимаций в подобластях, возможность использования прямых методов в подобластях. В последнее время метод декомпозиции области приобрел большую популярность в связи с развитием вычислительных систем с параллельной архитектурой. При реализации метода на многопроцессорных компьютерах итерации организуются таким образом, что решение задач в подобластях осуществляется параллельно, за счет чего достигается выигрыш во времени вычислений.

В настоящее время наибольшее развитие получили методы декомпозиции области для эллиптических уравнений второго порядка (см., например, работы В. И. Агошкова [1], A. Quarteroni [80], A. Quarteroni, J. Periaux, Ю. Кузнецова и О. В. Widlund [45], В. Smith, P. Bj0rstad и W. Gropp [87], P. Le Tallec [66]).

Как уже было отмечено, использование явных предобусловливате-лей для вариационных неравенств, как правило, не приводит к желаемому результату эффективной численной реализации конечномерных вариационных неравенств, поскольку построенные с их помощью итерационные методы снова требуют решения некоторых вариационных неравенств на каждой итерации, а эта задача по трудоемкости решения может быть сравнима с исходной. В то же время, метод декомпозиции области для задач с ограничениями, как с налегающими, так и с неналегающими подобластями, может привести к эффективно реализуемым алгоритмам.

Дополнительным аргументом в пользу применения метода декомпозиции области в случае задач со свободными границами является следующий. Как правило, на основе некоторой априорной информации можно выделить подобласти, содержащие свободную границу, причем размеры этих подобластей могут быть достаточно малы по сравнению со всей областью, в которой отыскивается решение краевой задачи. При соответствующем разбиении области на подобласти мы приходим к необходимости решать в большой подобласти краевую задачу для уравнения и лишь в малой подобласти, содержащей свободную границу, — задачу с ограничениями. Коме того, в подобластях, содержащих свободную границу, можно применять сеточные аппроксимации на мелкой сетке, если особый интерес представляет положение свободной границы.

В диссертации на примере задачи о препятствии внутри области с известной локализацией свободной границы рассмотрены схемы декомпозиции области без налегания с несогласованными сетками, предложены некоторые подходы к их решению и проанализированы результаты вычислительных экспериментов.

Отдельная глава настоящей работы посвящена задаче Стефана с предписанной конвекцией в энтальпийной постановке, моделирующей процесс непрерывной выплавки металла.

Формулировка задачи Стефана (при отсутствии конвекции) с введением функции энтальпии и обоснование существования и единственности обобщенного решения исследовались, например, в работах О. А. Олей-ник [20], О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и Н. Н. Уральцевой [14], Е. Magenes [69] и А. М. Мейерманова [19]. Исследованию сходимости конечномерной аппроксимации задачи Стефана и точности сеточных схем посвящены работы Ф. П. Васильева [4], Б. М. Будака, Е. Н. Соловьевой и А. Б. Успенского [3], А. А. Самарского и Б. Д. Моисеенко [23], Р. П. Федоренко [28], Е. Magenes [69], R. Е. White [92], R; Н. Nochetto [76],

С. М. Eliott [48], R. Н. Nochetto и С. Verdi [77], М. Paolini, G. Sacchi и С. Verdi [78], С. Verdi [90]. В этих работах, в частности, исследованы неявные сеточные схемы как для исходной задачи, т. е. без введения функции энтальпии, [90,92], так и для задачи Стефана в энтальпийной постановке с использованием регуляризации разрывной функции энтальпии [3,28,76,77].

Задача Стефана с предписанной конвекцией в классической постановке была изучена A. Fasano, М. Primicerio и L. Rubenstein [50]. Существование и единственность слабого решения исследованы в работах A. Visintin [91], J. Rulla [86], F. Yi и Y. Qiu [94].

Важным частным случаем задачи Стефана с предписанной конвекцией, когда перенос осуществляется в одном направлении, является задача о непрерывной выплавке, моделирующая процесс охлаждения и затвердевания металла (см. J. Rulla [86], М. Makela, Т. Mannikko и Н. Schramm [70], S. Louhenkilpi, Е. Laitinen и R. Nieminen [68]). Существование и единственность обобщенного решения двухфазной задачи о непрерывной выплавке были исследованы F. Yi и J. F. Rodrigues [84,85,93].

Традиционно используемые методы решения задачи Стефана с предписанной конвекцией основаны на применении классического МКЭ по пространственным переменным. Аппроксимации задачи непрерывной выплавки посвящены работы Z. Chen [39], Z. Chen и L. Jiang [41], А. Лапина, Е. Laitinen и J. Pieska [62]. Для аппроксимации конвективного члена и производной по времени используются следующие схемы: аппроксимации с использованием характеристик дифференциального оператора [39,46], полуявные схемы, в которых значение конвективного члена берется с предыдущего временного слоя [41], и неявные сеточные аппроксимации [62].

Поскольку в прикладных задачах требуется, как правило, определять не только температурное поле, но и тепловые потоки, смешанные методы конечных элементов имеют большое практическое значение при решении задачи Стефана.

В диссертационной работе построена и решена смешанная гибридная схема для полудискретной задачи Стефана. Полудискретизация проведена методом характеристик.

Для решения задачи Стефана в настоящей работе также применены методы декомпозиции области. В отличие от других задач, рассматриваемых в диссертации, задача Стефана является нестационарной. При приближенном решении нестационарных задач математической физики могут быть использованы, так: называемые, безытерационные варианты метода декомпозиции, отличающиеся от традиционных тем, что на каждом временном слое осуществляется лишь один шаг метода декомпозиции. Возможность применения безытерационного метода обусловлена тем, что при переходе на новый расчетный слой мы, как правило, уже располагаем хорошим приближением к решению. Отсюда следует, что область применения таких схем ограничена задачами, решение которых слабо изменяется во времени.

Безытерационные методы решения параболических уравнений были исследованы, например, М. Dryja [47] и Ю. М. Лаевским [15]. Методы, предложенные в этих работах, представляют собой схемы с дробными шагами, когда нахождение решения на текущем временном слое осуществляется за два шага. Если ограничиться рассмотрением двух подобластей, то последовательность получения решения выглядит следующим образом: на первом шаге решается неявная схема в одной из подобластей, после чего на втором шаге решается неявная схема во второй подобласти, с использованием значения, вычисленного на первом шаге, для определения граничных условий на разрезе. Однако, как отмечено М. Dryja, его метод в общем случае не обладает достаточной точностью. Что касается метода, построенного Ю. М. Лаевским, в случае декомпозиции более чем на две подобласти метод становится неустойчивым и погрешность имеет порядок единицы.

Ю. А. Кузнецов предложил использовать для решения параболического уравнения, так называемую явно-неявную схему [59], суть которой состоит в следующем. На разрезе (общей границе подобластей) вычисляется значение искомой функции по явной схеме (этот шаг назван предиктором). Затем осуществляется решение неявных схем в подобластях, причем в каждой подобласти граничные условия дополняются уже найденными значениями на разрезе. Альтернативная версия явно-неявной схемы была предложена С. N. Dawson, Q. Du и Т. F. Dupont [44].

В работах Y. Zhuang и Х.-Н. Sun [95,96] были предложены различные варианты стабилизации методов, рассмотренных в [44,59]. Смысл стабилизации заключается в уменьшении погрешности, вызванной явным предиктором. Показано, что стабилизированные варианты методов обладают более хорошей устойчивостью по сравнению с исходными.

В работах W. Rivera и J. Zhu [81] и W. Rivera, J. Zhu и D. Huddleston [82] при решении одномерного теплового уравнения предложено к схеме Ю. А. Кузнецова применить так называемый "неявный корректор". Устойчивость полученной схемы численно сравнена с устойчивостью некоторых других известных схем. Из экспериментов следует безусловная устойчивость построенной схемы.

Близкими по тематике к этому вопросу являются работы А. А. Самарского и П. Н. Вабищевича [21], П. Н. Вабищевича [89], А. А. Самарского, П. Н. Вабищевича и П. П. Матуса [22], в которых развита теория так называемых регионально-аддитивных схем (схем расщепления с декомпозицией области) для линейных задач диффузии и конвекции-диффузии. Доказана устойчивость схем и получены оценки погрешности.

Существенным отличием задачи, рассматриваемой в диссертации, от задач, которым посвящены упомянутые выше работы, является ее нелинейность. В частности, технику исследования из [21,22,89] в этом случае применить не удается из-за негладкости решения. Построенные в настоящей работе схемы для задачи Стефана с предписанной конвекцией развивают идеи работ [81,82]. Полученные схемы трактуются как схемы с расщеплением сеточного оператора, аппроксимирующего эллиптическую часть уравнения. Полученные в диссертационной работе результаты существенным образом опираются на результаты работы А. В. Лапина и J. Pieska [64], обобщая их на трехмерный случай.

Целями работы являются:

1. Построение схем смешанных гибридных конечных элементов для вариационных неравенств с дифференциальными операторами второго порядка.

2. Построение алгоритмов решения вариационных неравенств на основе метода декомпозиции области.

3. Разработка и исследование численных методов решения конечномерных уравнений, полученных в результате аппроксимации рассматриваемых задач.

4. Проведение численных экспериментов и анализ их результатов.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации, состоит в следующем.

1. Построены и исследованы смешанные гибридные схемы МКЭ для эллиптических вариационных неравенств с ограничениями на решение внутри или на границе области. Сконструированы эффективные итерационные методы их численной реализации.

2. Для задачи о препятствии построены сеточные схемы на основе метода декомпозиции области с неналегающими подобластями и несогласованными сетками в подобластях. Для построенных схем теоретически исследованы и численно реализованы итерационные схемы расщепления.

3. Построена смешанная гибридная схема для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией. Для ее решения применен метод, разработанный в данной работе для решения эллиптических вариационных неравенств.

4. Построены и численно исследованы схемы типа предиктор-корректор для двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими доказательствами сформулированных утверждений. Достоверность численных расчетов подтверждается хорошим совпадением результатов вычислений с известными решениями тестовых задач.

Научное и практическое значение работы. Работа носит, в основном, теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в развитие численных методов решения нелинейных задач. Вместе с тем, разработанные методы использованы при численном решении задачи Стефана с предписанной конвекцией, моделирующей процесс непрерывной выплавки металла. Предложенные подходы, методы и алгоритмы могут быть использованы при решении и других прикладных задач.

Структура диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Игнатьева, Марина Александровна, 2004 год

1. Агошков В. И. Методы разделения области в задачах математической физики / В. И. Агошков // Вычислительные процессы и системы. Вып. 8.- М.: Наука, 1991.- С. 4-51.

2. Бесов О. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. — М.: Наука, 1975.

3. Будак Б. М. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана / Б. М. Будак, Е. Н. Соловьева, А. Б. Успенский // ЖВМ и МФ. 1965. - Т. 5, № 5. - С. 828-840.

4. Васильев Ф. П. Разностный метод решения задач типа Стефана для квазилинейного параболического уравнения с разрывными коэффициентами / Ф. П. Васильев // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157, № 6. - С. 1280-1283.

5. Воеводин В. В. Матрицы и вычисления / В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. — М.: Наука, 1984. 320 с.

6. Гловински Р. Численное исследование вариационных неравенств: пер. с франц. / Р. Гловински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. — М.: Мир, 1979. 576 с.

7. Дюво Г. Неравенства в механике и физике: пер. с франц. / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. М.: Наука, 1980. - 384 с.

8. Зенкевич О. К. Метод конечных элементов в технике / O.K. Зенкевич. — М.: Мир, 1975.

9. Игнатьева М. А. О методе решения двумерной задачи теплопроводности с фазовым переходом / М. А. Игнатьева // Матер, шк.-конф.: Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. — Каг зань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 1999. — С. 107-108.

10. Киндерлерер Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения: пер. с англ. / Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. — М.: Мир, 1983.

11. Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — М.: Наука, 1967. — 736 с.

12. Лаевский Ю. М. Об одном алгоритме декомпозиции области без налегания подобластей решения параболических уравнений / Ю. М. Лаевский // ЖВМ и МФ. 1992. - Т. 32, № 11. - С. 17441755.

13. Лапин А. В. Методы типа релаксации для суммы квадратичного и выпуклого функционалов / А. В. Лапин // Изв ВУЗов. Математика. 1993. - Т. 15, № 8. - С. 30-39.

14. Лапин А. В. Итерационные схемы расщепления для вариационных неравенств / А. В. Лапин, Д. О. Соловьев. — Новосибирск, 1988. — 24 с. — (Препр./ АН СССР Сибирское отделение. Вычислительный центр).

15. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. — М.: Мир, 1972.

16. Мейерманов А. М. Задача Стефана / А. М. Мейерманов. — Новосибирск: Наука, 1986.

17. Олейник О. А. Об одном методе решения общей задачи Стефана / О. А. Олейник // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 135, № 5. - С. 10541057.

18. Самарский А. А. Факторизованные регионально-аддитивные схемыдля задач конвекции-диффузии / А. А. Самарский, П. Н. Вабище-вич // Докл. АН России. 1996. - Т. 346, № 6. - С. 742-745.

19. Самарский А. А. Разностные схемы с операторными множителями / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, П. П. Матус. — Минск, 1998. — 442 с.

20. Самарский А. А. Экономичная схема сквозного счёта для многомерной задачи Стефана / А. А. Самарский, Б. Д. Моисеенко j j ЖВМ и МФ. 1965. - Т. 5, № 5. - С. 816-827.

21. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. — М.: Наука, 1978. — 591 с.

22. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. JI. Соболев. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.

23. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Д. Фикс. М.: Мир, 1977. — 349 с.

24. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: пер. с англ. / Ф. Сьярле. — М.: Мир, 1980. — 512 с.

25. Федоренко Р. П. Разностная схема для задачи Стефана / Р. П. Фе-доренко // ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 5. - С. 1339-1344.

26. Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободными границами: пер. с англ. / А. Фридман. — М.: Наука, 1982. — 536 с.

27. Экланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы: пер. с англ. / И. Экланд, Р. Темам. — М.: Мир, 1979. — 399 с.

28. Adams R. A. Sobolev spaces / R. A. Adams. — Academic Press, 1975.

29. Baillet L. Simulations numeriques de differentes methodes d'elements finis pour les problemes de contact avec frottement / L. Baillet, T. Sas-si // C. R. Acad. Sci., Paris. 2003. - V. 331, No. 11. - P. 789-796.

30. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces / V. Barbu. — Nordhoff Intern. Publ., 1976.

31. Belgacem B. F. Numerical simulation of some variational inequalities arisen from unilateral contact problems by the finite element methods / B. F. Belgacem // SI AM J. Numer. Anal 2000.- V. 37, No. 4.-P. 1198-1216.

32. Belgacem B. F. Hybrid finite element methods for the Signorini problem / B. F. Belgacem, Y. Renard // Math. Comput.— 2003.- V. 72, No. 243.-P. 1117-1145.

33. Brezis H. Problemes unilateraux / H. Brezis // J. de Math. Pures et Applicuees. 1972. - V. 51. - P. 1-168.

34. Brezis H. Sur la regularite de la solution d'inequations elliptiques / H. Brezis, G. Stampacchia // Bull. Soc. Math. France.— 1968.— V. 96.-P. 153-180.

35. Brezzi F. Mixed and hybrid finite element methods / F. Brezzi, M. Fortin. — New-York: Springer Verlag, 1991.

36. Chen Z. Numerical Methods for Free Boundary Problems (International Series of Numerical Mathematics 99) / Z. Chen // Numerical solutions of a two-phase continuous casting problem / Ed. by P. Neittaanmaki. — Basel: Birkhauser, 1991.- P. 103-121.

37. Chen Z. Expanded mixed finite element methods for linear second orderelliptic problems I, II / Z. Chen // M2AN. — 1998.- V. 32, No. 4.-P. 479-499, 500-520.

38. Chen Z. Approximation of a two phase continuous casting problem / Z. Chen, L. Jiang // J. Part. Diff. Equations. 1998. - V. 11. - P. 5972.

39. Coorevits P. A posteriori error estimation for unilateral contact withmatching and non-matching meshes / P. Coorevits, P. Hild, J.-P. Pelle // J. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2000. - V. 186, No. 1. — P. 6583.

40. Dawson C. N. A finite difference domain decomposition algorithm for numerical solution of the heat equation / C. N. Dawson, Q. Du, T. F. Dupont // Math, of Computation. 1991. - V. 57. - P. 63-71.

41. Domain decomposition methods in science and engineering / A. Quar-teroni, J. Periaux, Yu. Kuznetsov, О. B. Widlund. — Providence: AMS, 1994.

42. Dryja M. Substructuring methods for parabolic problems / M. Dryja // Proc. of the Fourth Int. Symposium on Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations.— Philadelphia: SIAM, 1991. — P. 264-271.

43. Eliott С. M. Error analysis of the enthalpy method for the Stefan problem / С. M. Eliott // IMA J. Numer. Anal- 1987. V. 7. - P. 61-71.

44. Farhloul M. A mixed finite element method for a nonlinear Dirichlet problem / M. Farhloul // IMA J. of Numer. Anal. — 1998. V. 18. — P. 121-132.

45. Fasano A. A model for heat conduction with a free boundary in a concentrated capacity / A. Fasano, M. Primicerio, L. Rubenstein // J. Inst. Math. Appl. 1980. - V. 26. - P. 327-347.

46. Fichera G. Problemi elastostatici con vinsoli unilaterali: il problema di signorino con ambigue condizioni al contorno / G. Fichera // Atti Acc. Naz. Lincei Mem. Ser. 1964. - V. 8, No. 7. - P. 71-140.

47. Haslinger J. Approximation of the Signorini problem with friction by a mixed finite element method / J. Haslinger, I. Hlavacek // J. Math. Anal. Appl. 1982. - V. 86. - P. 99-122.

48. Hoppe R. H. W. A globally convergent multi-grid algorithm for moving boundary problems of two-phase Stefan type / R. H. W. Hoppe // IMA J. of Numerical Analysis. — 1993. — V. 13. P. 235-253.

49. Hoppe R. H. W. Multi-grid solution of two coupled Stefan equations arising in induction heating of large steel slabs / R. H. W. Hoppe, R. Ko-rnhuber // Int. J. for Numer. Meth. in Engineering. — 1990. — V. 30. — P. 779-801.

50. Ignatieva M. A. A domain decomposition method for Stefan problem with prescribed convection / M. A. Ignatieva // Iterative methods andmatrix computations. The International Summer School. — Rostov-on-Don, 2002.-P. 401-407.

51. Ignatieva M. A. Mixed hybrid finite element scheme for Stefan problem with prescribed convection / M. A. Ignatieva, A. V. Lapin-// Lobachevskii J. Math. 2003.- V. 13.- P. 15-24.— (http://ljm.ksu.ru/voll3/ila.htm).

52. Ignatieva M. A. Iterative solution of a mixed hybrid finite element scheme for the Signorini problem / M. A. Ignatieva, A. V. Lapin // Сотр. Meth. in Appl. Math. 2004. - V. 4, No. 2. - P. 180-191.

53. J.-L. Lions J.-L. Variational inequalities / J.-L. J.-L. Lions, G. Stam-pacchia // Comm. Pure Appl. Math. 1967. - V. 20. — P. 449-461.

54. Kuznetsov Yu. A. New algorithms for approximate realization of implicit difference schemes / Yu. A. Kuznetsov // Sov. J. Numer. Anal, and Math. Model. 1988. - V. 3. - P. 99-114.

55. Kuznetsov Yu. A. Spectrally equivalent preconditioners for mixed hybrid discretizations of diffusion equations on distorted meshes / Yu. A. Kuznetsov // J. Numer. Math. 2003. - V. 11. - P. 61-74.

56. Kuznetsov Yu. New mixed finite element methods on polygonal and polyhedral meshes / Yu. Kuznetsov, S. Repin // Russian J. Numer. Anal. Math. Modeling. 2003. - V. 18, No. 3. - P. 261-278.

57. Laitinen E. Mesh approximation and iterative solution of the continuous casting problem / E. Laitinen, A. Lapin, J. Pieska // ENUMATH 99 / Ed. by P. Neittaanmaki, T. Tiihonean, P. Tarvainen. — Singapore: World Scientific, 2000. P. 601-617.

58. Lapin A. Semi-implicit mesh scheme and splitting iterative methods for the solution of continuous casting problem: Preprint / A. Lapin, E. Laitinen. — Oulu, Finland: University of Oulu, 1999.

59. Lapin A. On the parallel domain decomposition algorithms for time-dependent problems / A. Lapin, J. Pieska // Lobachevskii J. of Math.— 2002. V. 10. - P. 27-44.

60. Lee M. Mixed finite element methods for nonlinear elliptic problems: the p-version / M. Lee, F. A. Milner // Numer. Meth. for Part. Diff. Eq. — 1996.-V. 12.-P. 729-741.

61. Le Tallec P. Domain decomposition methods in computational mechanics / P. Le Tallec // Comput. Mechanics Advances. — 1994.— V. 1.— P. 121-220.

62. Lions P. L. Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators / P. L. Lions, B. Mercier // SIAM J. Numer. Anal. 1979. - V. 16. -P. 964-979.

63. Louhenkilpi S. Real-time simulation of heat transfer in continuous casting / S. Louhenkilpi, E. Laitinen, R. Nieminen // Metallurgical Trans. B. 1996. - V. 24B. - P. 685-693.

64. Magenes E. Problemi di Stefan bifase in piu variabili speziali / E. Ma-genes // V.S.A.F.A. Catania, Le Matematichle.— 1981.— V. 36.— P. 65-108.

65. Makela M. Applications of nonsmooth optimization methods to continuous casting of steel: Rep. 421 / M. Makela, T. Mannikko, H. Schramm: Math.Ins., Univ. Bayreuth., 1993.

66. Milner F. A. Mixed finite element methods for quasilinear second-order elliptic problems / F. A. Milner j I Math. Сотр.— 1985.— V. 44.— P. 303-320.

67. Milner F. A. A mixed finite element method for a strongly nonlinear second order elliptic problem / F. A. Milner, E.-J. Park // Math. Сотр. — 1995. V. 64. - P. 973-988.

68. Milner F. A. Mixed quasilinear second-order elliptic problems: the p-version / F. A. Milner, M. Suri // M2AN. — 1992.- V. 26.- P. 913931.

69. Mixed finite element methods for unilateral problems: Convergence analysis and numerical studies / P. Coorevits, P. Hild, K. Lhalouani, T. Sas-si // Math. Comput.- 2002.- V. 71, No. 237.- P. 1-25.

70. A mixed finite element method and solution multiplicity for Coulomb frictional contact / R. Hassani, P. Hild, I. R. Ionescu, N.-D. Sakki // J. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2003. - V. 192, No. 41-42. — P. 517-531.

71. Nochetto R. H. Error estimates for two-phase Stefan problems in several space variables, I: Linear boundary conditions / R. H. Nochetto // Calcolo. 1985. - V. 22. - P. 457-499.

72. Nochetto R. H. Approximation of degenerate parabolic problems using numerical integration: Publ. 505 / R. H. Nochetto, C. Verdi. — Pavia: I.A.N., 1986.

73. Paolini M. Finite element approximations of singular parabolic problems: Publ. 565 / M. Paolini, G. Sacchi, C. Verdi. Pavia: I.A.N., 1987.

74. Park E.-J. Mixed finite element methods for nonlinear second order elliptic problems / E.-J. Park // SIAM J. Numer. Anal — 1995. — V. 32. —P. 865-885.

75. Quarteroni A. Domain decomposition and parallel processing for the numerical solution of partial differential equations / A. Quarteroni // Survey on Mathematics for Industry. — 1991. — V. 1. — P. 75-118.

76. Roberts J. E. Mixed and hybrid methods / J. E. Roberts, J. M. Thomas // Numer. Anal- 1991.- V. II.- P. 523-639.

77. Rodrigues J. F. Variational methods in the Stefan problem / J. F. Ro-drigues // Lect. notes in math. — Springer Verlag, 1994. — P. 149-212.

78. Rodrigues J. F. On a two-phase continuous casting Stefan problem with nonlinear flux / J. F. Rodrigues, F. Yi // Euro. J. Appl Math. — 1990. — No. 1. P. 259-278.

79. Rulla J. Weak solutions to Stefan problems with prescribed convection / J. Rulla 11 SIAM J. Math. Anal 1987. - V. 18. - P. 1784-1800.

80. Smith В. Domain decomposition. Parallel multilevel method for elliptic partial differential equations / B. Smith, P. Bj0rstad, W. Gropp. — Cambridge University Press, 1996.

81. Tseng P. Further applications of a splitting algorithm to decomposition in variational inequalities and convex programming / P. Tseng // Math. Programming. 1990. - V. 48. - P. 249-263.

82. Vabishchevich P. N. Parallel domain decomposition algorithms for time-dependent problems of mathematical physics / P. N. Vabishchevich // Advances in Numer. Meth. and Appl.— Singapore: World Scientific, 1994.-P. 293-299.

83. Verdi C. Optimal error estimates for an approximation of degenerate parabolic problems / C. Verdi // Numer. Funct. Anal. Optim. — 1987. — V. 9. P. 657-670.

84. Visintin A. General free boundary evolution problems in several space dimensions / A. Visintin // J. Math. Anal. Appl. — 1983. — V. 95. — P. 117-143.

85. White R. E. An enthalpy formulation of the Stefan problem / R. E. White // SIAM J. Numer. Anal- 1982.- V. 19.- P. 11291157.

86. Yi F. An evolutionary continuous casting problem of two-phase and its periodic behaviour / F. Yi // J. Part. Diff. Eq. 1989. - V. 2. — P. 7-22.

87. Yi F. On Stefan problem with prescribed convection / F. Yi, Y. Qiu // Mathematica Acta Scientia. — 1992. — V. 2, No. 14. — P. 153-166.

88. Zhuang У. A domain decomposition based parallel solver for time dependent differential equations / Y. Zhuang, X.-H. Sun // 9th SIAM Conf. on Parallel Processing for Scientific Computing. — 1999.

89. Zhuang Y. Stabilized explicit-implicit domain decomposition methods for the numerical solution of parabolic equations / Y. Zhuang, X.-H. Sun // SIAM J. Sci. Comput. 2002. - V. 24, No. 1. - P. 335-358.