Приближенные методы решения вариационных и квазивариационных неравенств теории нелинейной фильтрации и теории мягких оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Задворнов, Олег Анатольевич

• Задворнов, Олег Анатольевич
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Задворнов, Олег Анатольевич

Введение

глава 1. Итерационные методы решения вариационных и квазивариационных неравенств.

§ 1. Итерационный метод решения вариационных неравенств с монотонным оператором в гильбертовом пространстве.

§ 2. Итерационный метод решения вариационных неравенств в гильбертовом пространстве в случае суммы монотонных операторов.

§ 3. Итерационный метод решения квазивариационных неравенств с псевдомонотонным потенциальным оператором в банаховом пространстве.

Глава 2. Исследование задач теории нелинейной фильтрации.

§4. Задача фильтрации с непрерывным законом при наличии точечного источника.

§ 5. Задача фильтрации с непрерывным законом при наличии нескольких точечных источников.

§ 6. Задача фильтрации с многозначным законом при наличии точечных источников.

Глава 3. Исследование задач теории мягких оболочек при наличии препятствия.

§ 7. Постановка задачи о равновесии мягкой оболочки, ограниченной в перемещениях препятствием.

§ 8. Существование решения обобщенной задачи для мягкой сетчатой оболочки при наличии препятствия.

§ 9. Свойства множества допустимых перемещений в задаче с препятствием выпуклой формы.

§ 10. Задача с выпуклым допустимым множеством при наличии следящей поверхностной нагрузки.

Глава 4. Приближенное решение стационарных задач теории нелинейной фильтрации и теории мягких сетчатых оболочек.

§ 11. Исследование приближенных методов решения задач о равновесии сетчатой оболочки с препятствием.

§ 12. Численное решение модельных задач о равновесии оболочки при наличии препятствия.

§ 13. Исследование приближенных методов решения задач фильтрации с точечными источниками

§ 14. Численное решение модельных задач фильтрации с точечными источниками

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенные методы решения вариационных и квазивариационных неравенств теории нелинейной фильтрации и теории мягких оболочек»

Вариационные и квазивариационные неравенства возникают при описании многих процессов механики сплошной среды, экономики, биомеханики и т.д. (см., например, [89], [115], [131], [161], [194], [197], [201]). Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения приходится использовать приближенные методы, основанные на конечномерных аппроксимациях изучаемых задач при помощи метода конечных элементов и метода конечных разностей. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например, в [97], [115], [157], [159], [165], [186], [196], [198], [211]—[216], [221]—[223].

Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, к которым относятся, в частности, нелинейная теория фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом (см., например, [94], [151], [166], [164], [206]). Другой такой областью является теория мягких оболочек. Возникающие здесь задачи находят широкое применение при проектировании различного рода конструкций, изготовленных из мягких тканевых или пленочных материалов (см., например, [135], [153], [184], [185], [199], [248]).

Диссертация посвящена построению и исследованию итерационных методов решения вариационных и квазивариационных неравенств, возникающих при математическом моделировании стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек, находящихся под воздействием поверхностных и массовых сил, при наличии препятствия и стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону фильтрации с предельным градиентом (в том числе при наличии точечных источников).

Математические модели сформулированы в виде вариационных и квазивариационных неравенств с операторами монотонного типа в банаховых пространствах. Доказаны теоремы существования и исследованы свойства решений этих неравенств. Предложены итерационные методы решения квазивариационных неравенств с псевдомонотонным оператором в банаховых пространствах, итерационные методы решения вариационных неравенств с обратно сильно монотонными операторами в гильбертовых пространствах. Проведено построение конечномерных аппроксимаций вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами, конечномерных аппроксимаций квазивариационных неравенств, доказаны теоремы разрешимости и сходимости. Получены оценки точности.

Проведено численное исследование модельных задач об определении положения равновесия бесконечно длинных и осесимметричных мягких оболочек, пространственных мягких сетчатых оболочек при наличии препятствия, задач фильтрации несжимаемой жидкости с многозначным законом фильтрации и задач об определении предельно-равновесных целиков остаточной вязко-пластичной нефти при наличии точечных источников. Результаты численных экспериментов, их сравнение с имеющимися точными решениями подтвердили их эффективность.

Результаты диссертации могут быть использованы при решении задач увеличения нефтедотдачи, при проектировании строительных конструкций, а также в учебном процессе - при разработке новых учебных курсов, при выполнении курсовых и дипломных работ, курсовых проектов.

Методы теории монотонных операторов (см., например, [80], [89], [93],

98], [99], [110], [161], [172], [174], [219], [242], [261] - [263]), а также выпуклого анализа (см., например, [95], [102] - [108], - [107], [111], [117], [123], [150], [152], [175], [183], [197], [204], [205], [210], [217], [239], [240], [243]) оказываются весьма плодотворными при исследовании указанного круга задач, построении и исследовании методов их решения.

Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.

Вопросам построения и исследования итерационных методов решения вариационных неравенств с монотонными, максимально монотонными, сильно монотонными операторами посвящено большое количество работ. Следует отметить, что, как правило, рассматривались случаи конечномерного или гильбертова пространства (см. [9], [88], [93], [100], [101], [108], [114], [115], [117], [120], [121], [149], [161], [162], [163], [197], [239], [242], [249]—[252], [255], [256], [260], [264]). В случае банаховых пространств отметим здесь работы [81], [90], [110].

Задачи с точечными источниками имеют многочисленные приложения. Достаточно хорошо эти задачи для специальных областей изучены в линейном случае (см., например, [109], [148], [225] и др.). Сеточные методы решения линейных задач с точечными источниками рассмотрены в работах [10]- [14]. Одним из приложений, в котором возникают такие задачи, является теория подземной фильтрации при наличии точечных источников, моделирующих скважины (см. [92], [154], [166], [218], [228]). Эти задачи играют важную роль при решении вопросов эффективной разработки нефтяных месторождений, и, в первую очередь, вопросов повышения нефтеотдачи. В случае, когда область фильтрации О, и функция, определяющая закон фильтрации, имеют специальный вид, указанные задачи имеют точные решения (см., например, [94], [132]—[134], [166], [191], [218]). В работах [116], [156], [158], [159], [178], [179], [180] в случае произвольной ограниченной области устанавливается существование обобщенного решения стационарной задачи фильтрации с законом, задаваемым функцией, имеющей степенной (в том числе и линейный) рост на бесконечности. При этом обобщенные задачи формулируются в виде уравнений или вариационных неравенств с оператором, действующим

О /1\ в случае линейного роста из соболевского пространства W 2 (ty в сопряженное с ним, и, соответственно, рассматривается ситуация, когда функция, описывающая плотность внешних источников, определяет ли

О /л \ нейный непрерывный функционал на W 2

В [159], [178], [156] строятся и исследуются разностные схемы для указанных задач, изучаются вопросы существования и сходимости решений разностных схем и сходимости разностных скоростей фильтрации. В [116], [159], [178] предложены и исследованы итерационные методы численного решения разностных схем.

Математические модели задач стационарной фильтрации с разрывным законом рассмотрены в работах [16], [17], [78], [155], [169], [176], где, в частности, исследованы вопросы аппроксимации разрывного закона фильтрации с предельным градиентом близким непрерывным законом без предельного градиента. В [15], [83] для задач фильтрации с разрывным законом построены конечно-разностные и конечно-элементные аппроксимации и исследована их сходимость. В [173] рассматривался вариант метода расширенного лагранжиана численной реализации конечномерной аппроксимации стационарной задачи фильтрации с разрывным законом. В [17], [18], [78], [82], [84] рассматривались итерационные методы типа Удзавы и методы, основанные на использовании расширенного лагранжиана для решения задач фильтрации с разрывным законом.

Некоторые вопросы теории разностных методов для нестационарных задач теории фильтрации в случае разрывного закона фильтрации с предельным градиентом рассмотрены в работах [170], [180]—[182], [200], где математическая модель процесса нестационарной фильтрации формулируется в виде параболического вариационного неравенства, исследуются вопросы существования и единственности решения, регуляризации разрывного закона близким непрерывным, строятся и исследуются разностные схемы.

Описанию задач теории мягких оболочек, построению приближенных методов их решения, анализу результатов численного моделирования посвящена многочисленная литература (см., например, [4]-[6], [126], [127], [207]—[209], [224]—[235], [254]). Одномерные задачи теории мягких оболочек рассматривались в [112], [118], [189]. Плоская задача о равновесном положении нити под воздействием нагрузки и ограниченной в расположении полуплоскостью поставлена в виде вариационного неравенства в [85]. Там же установлено существование решения этой задачи. В работе [122] предлагается математическая модель и доказывается теорема существования для одной одномерной нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек. В [96] построена модель сетчатой конструкции в рамках теории безмоментных оболочек. В работах [128]—[130] исследована корректность линеаризованных моделей сетчатых оболочек, находящихся в двухосном состоянии, предложены и исследованы методы их решения. В [233] для одномерной задачи теории мягких оболочек без препятствия и при других условиях на функцию, определяющую физические соотношения, получены теоремы существования.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Задворнов, Олег Анатольевич, 2007 год

1. Абрамов А. А., Гаипова А.Н. О решении некоторых уравнений, содержащих разрывные монотонные преобразования// Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1972. - Т. 12. - N 1.- С. 204-207.

2. Абрамов А.А., Гаипова А.Н. О некоторых уравнениях, содержащих монотонные разрывные операторы// Доклады АН СССР. 1973. -Т. 212. - N 3. - С. 529-532.

3. Авхадиева К.Ф., Бадриев И.В., Задворнов О.А. Сеточные методы решения стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Каз. мат. об-ва, 1999. - Вып. 21. - С. 50-67.

4. Алексеев С.А. Основы теории мягких осесимметричных оболочек// Расчет пространственных конструкций. М.: Госстройиздат, 1965. -Вып. 10. - С. 5-38.

5. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек// Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1966. - Вып. 11. -С. 31-52.

6. Алексеев С. А. Задачи статики и динамики мягких оболочек// Тр. VI Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966.- С. 28-37.

7. Алишаев М.Г. О стационарной фильтрации с начальным градиентом // В сб. Теория и практика добычи нефти. М.: Недра, 1968. - С. 202211.

8. Алишаев М.Г., Вахитов Г.Г., Гехтман М.М., Глумов И.В. О некоторых особенностях фильтрации пластовой девонской нефти при пониженных температурах// Известия АН СССР, сер. Механика жидкости и газа. 1966. - N 3. - С. 166-169.

9. Алъбер Я.И., Рязанцева И.П. Принцип невязки при решении нелинейных задач с монотонными операторами регуляризующий алгоритм// Доклады АН СССР. - 1978 - Т. 212. - N 5. - С. 1017-1020.

10. Андреев В.В., Кряквина С.А. О функции источника сеточного оператора Лапласа// Журнал вычисл. математики и матем. физики. -1972 Т. 12. - N 2. - С. 364-373.

11. Андреев В.Б., Кряквина С.А. О фундаментальном решении одно-параметрического семейства разностных аппроксимаций оператора Лапласа на плоскости// Журнал вычисл. математики и матем. физики-1973-Т. 13.-N 2.-С. 343-355.

12. Андреев В.В. Новая сеточная аппроксимация задачи о скважине// Вычислительные методы и программирование. Изд-во МГУ, 1981. - Вып. 34. - С. 95-103

13. Андреев В.Б., Архшова Е.Ю. Аппроксимация задачи о скважине на треугольной и шестиугольной сетках// Вычислительные методы и программирование. Москва: Изд-во МГУ, 1981. - Вып. 34. - С. 103125

14. Андреев В. Б. Аппроксимация задачи о скважине на полярной сетке/ / Вычислительные методы и программирование. Москва: Изд-во МГУ, 1981. - Вып. 34. - С. 125-128

15. Бадриев И.Б. Разностные схемы для нелинейных задач фильтрации с разрывным законом// Известия ВУЗов. Математика. 1983. - N 5. - С. 3-12.

16. Бадриев И. Б. О регуляризации нелинейной задачи теории фильтрации с разрывным законом// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1984. - Вып. 10. - С. 162-176

17. Бадриев И. Б. Применение метода двойственности к исследованию стационарных задач фильтрации с разрывным законом // Исследования по прикл. математике Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. -Вып. 13. - С. 67-75

18. Бадриев И.Б., Бандеров В.В., Задворнов О.А. Исследование задачи о контакте нити с препятствием // Исследования по прикладной математике и информатике. Казань: Казанский государственный университет, 2003. - Вып. 24. - С. 3-11.

19. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Исследование разрешимости стационарных задач для сетчатых оболочек// Известия ВУЗов. Математика. 1992. - N И. - С. 3-7.

20. Бадриев КБЗадворнов О.А. Исследование сходимости итерационного процесса для уравнений с вырождающимися операторами// Дифференциальные уравнения. 1996. - Т. 32. - N 7. - С. 898-901.

21. Бадриев И.В., Задворнов О.А. О сходимости итерационного процесса для решения вариационного неравенства второго рода// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 1997. - Вып. 22. - С. 5-17.

22. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. О сильной сходимости итерационного метода для операторов с вырождением// Журнал вычисл. математики и матем. физики. 1997. - Т. 37. - N 12. - С. 1424-1426.

23. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. О решении стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек с препятствием //Труды VIII Всеросс. шк.-сем. "Современные проблемы математического моделирования". Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1999. - С. 22-26

24. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. О сходимости итерационных методов решения вариационных неравенств второго рода//Тез. междун. конф. OFEA-2001, (С.-Петербург, 25-29 июня 2001 г.). С.-Петербург: Изд-во С.-ПбГУ, 2001. - С. 8-9.

25. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Построение и исследование сходимости итерационных методов решения вариационных задач с недиф-ференцируемым функционалом // Дифференциальные уравнения -2002. Т. 38. - N 7. - С. 930-935.

26. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами// Известия ВУЗов. Математика. 2003. - N 1. - С. 2028.

27. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Методы декомпозиции для решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами// Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39. - N 7. - С. 888-895.

28. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах. Казань: Казанский государственный университет, 2003. - 132 с.

29. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Исследование разрешимости осесим-метричной задачи об определении положения равновесия мягкой оболочки вращения// Известия ВУЗов. Математика. 2005. - N 1. - С. 12-18.

30. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Исследование стационарной задачи фильтрации с многозначным законом при наличии точечного источника// Дифференциальные уравнения. 2005. - Т. 41. - N 7. - С. 874-880.

31. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. О сходимости итерационного метода двойственного типа решения смешанных вариационных неравенств // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т. 42. - N 8. - С. 11151122.

32. Бадриев И.Б., Задворнов О.А. Итерационные методы решения смешанных вариационных неравенств // Труды Средневолжского математического общества. 2006. - Т. 8. - N 2. - С. 57-61.

33. Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Исмагилов JI.H. Численное исследование вариационных неравенств теории стационарной фильтрации // Труды Средневолжского математического общества. 2006. - Т. 8. -N 2. - С. 62-66.

34. Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Ляшко А.Д. Исследование итерационных методов с переменным шагом для решения вариационных неравенств второго рода// Дифференциальные уравнения. 2004. - Т. 40. - N 7. - С. 908-919.

35. Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Саддек A.M. Исследование сходимости итерационных методов решения некоторых вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами// Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37. - N 7. - С. 891-898.

36. Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Саддек A.M. О конечномерных аппроксимациях некоторых вариационных неравенств второго рода // Иссл-я по прикл. матем. и информатике. Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, 2001. - Вып. 23. - С. 8-21.

37. Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Саддек A.M. О решении некоторых вариационных неравенств второго рода //Иссл-я по прикл. матем. иинформатике. Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, 2001. - Вып. 23. -С. 22-30.

38. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. Применение метода двойственности к решению нелинейных задач теории фильтрации с предельным градиентом// Дифференциальные уравнения. 1982. - Т. 18. - N 7. -С. 1133-1144.

39. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О сходимости итерационного метода типа Удзавы для решения стационарной задачи теории фильтрации с предельным градиентом// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1985. - Вып. 13. - С. 56-67.

40. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. Методы двойственности в прикладных задачах (общая теория). Казань: Изд-во Казанск. ун-та,1987. -147 с.

41. Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О сходимости итерационного процесса в банаховом пространстве// Исследования по прикладной математике. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1990. - Вып. 17. - С. 3-15.

42. Бадриев И.Б., Ляшко А.Д., Панкратова О.В. Исследование сходимости итерационных методов решения нелинейных задач теории фильтрации// Известия ВУЗов. Математика. 1998. - N И. - С. 8-13.

43. Бадриев И.Б., Панкратова О.В. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных стационарных задач теории фильтрации// Исслед-ния по прикл. математике. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1989. - Вып. 16. - С. 17-34.

44. Бадриев И.Б., Панкратова О.В., Шагидуллин P.P. Итерационные методы решения задач фильтрации с разрывным законом с предельным градиентом// Дифференциальные уравнения. 1997. - Т. 33. -N 3. - С. 396-399.

45. Бадриев И.Б., Шагидуллип P.P. Классические и обобщенные решения уравнений одноосного статического состояния мягкой оболочки// Сеточные методы решения дифф. уравнений. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1986. - С. 14-28.

46. Бадриев И.Б., Шагидуллип P.P. Исследование одномерных уравнений статического состояния мягкой оболочки и алгоритма их решения// Известия ВУЗов. Математика. 1992. - N 1. - С. 7-17.

47. Бадриев И.Б., Шагидуллип P.P. Исследование сходимости итерационного процесса для решения одной стационарной задачи теории мягких оболочек // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанск.ун-та, 1992. - Вып. 18. - С. 3-12.

48. Бадриев И.Б., Шагидуллип P.P. О сходимости итерационного процесса с монотонным оператором в гильбертовом пространстве // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 1997. - Вып. 22. - С. 17-21.

49. Байокки К., Капелло А. Вариационные и квазивариационные неравенства Приложения к задачам со свободной границей. М.: Наука, 1988. - 448 с.

50. Бакушииский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989. - 128 с.

51. Бандеров В.В., Задворнов О.А. Численное решение вариационных неравенств, возникающих в теории мягких сетчатых оболочек// Матер. Международной конференции "Ломоносов 2004" (Москва, 10-13 апреля 2004 г.). М.: Изд-во МГУ, 2004. - С. 3.

52. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика. М - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. - 544 с.

53. Бенсусап А., Лионе Ж.-Л., Темам Р. Методы декомпозиции, децентрализации, координации и их приложения// Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1975. - С. 144274.

54. Бернандинер М.Г., Ентов В.М. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. - 199 с.

55. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагран-жа. М.: Радио и связь, 1987. - 400 с.

56. Бидермап В.Л., Бухин Б.Л. Уравнения равновесия безмоментной сетчатой оболочки // Инж. журн. МТТ. 1966. - N 1. - С 84-89.

57. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во Московского ун-та, 1987. - 164 с.

58. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. - 344 с.

59. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. - 416 с.

60. Вайнелът В. К численному решению вариационных неравенств // Дифференц. уравнения. 1981.- Т.17, - N 11.- С. 2029 - 2040.

61. Вайнелът В. К численному решению вариационных неравенств// Вариационно-разностные методы в математической физике. М., 1984. - С. 34 - 41.

62. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. - 542 с.

63. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980. 518 с.

64. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

65. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988. 552 с.

66. Васин В.В. Устойчивая аппроксимация бесконечномерных задач линейного и выпуклого программирования// Изв. вуз. Математика. -1978.-N 11.-С. 23-33.

67. Васин В. В. Проксимальный алгоритм с проектированием в задачах выпуклого программирования. Препринт/ИММ УНЦ АН СССР. -Свердловск, 1982. - 47 с.

68. Васин В.В., Еремин В.В. Операторы и итерационные процессы фей-еровского типа. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2005. - 200 с.

69. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 348 с.

70. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. - 336 с.

71. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во Московского ун-та, 1989. - 204 с.

72. Гимадиев Р.Ш. Расчет статических натяжений в одноосных мягких оболочках// Нестационарные задачи механики. Труды сем. Вып. 22.- Казань: Изд-во Казанск. физико-технического ин-та Казанск. филиала АН СССР, 1989. С. 69-72.

73. Гимадиев Р.Ш. Динамика мягких оболочек парашютного типа. -Казань: Казан, гос. энерг. ун-т, 2006. 208 с.

74. Главачек ИГаслипгер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. - 270 с.

75. Гловински Р.Г., Лионе Ж.-Л., Тремолъер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 576 с.

76. Глушенков В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации// Прикладная математика в научно-технических задачах. Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 1976. - С. 12 - 21.

77. Голъштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Jla-гранжа. М.: Наука, 1989. - 400 с.

78. Гулин Б.В., Ридель В.В. Статика одноосных сосотояний мягкой оболочки/ / Нелинейные задачи строительной механики. Оптимизация конструкций. Киев: Изд-во Киевского инж. - строит, ин-та, 1978. -С. 119-122.

79. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1961.- 496 с.

80. Даутов Р.З. Об операторах точного штрафа для эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области // Дифферент уравнения. 1995.- Т.31, - N 6.- С. 961 - 970.

81. Даутов Р.З., Павлова М.Ф., Шагидуллип P.P. Теорема существования для нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек // Сеточные методы решения дифф. уравнений. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1986. - С. 50-57.

82. Демьянов В.Ф., Васильев JI.B. Недифференцируемая оптимизация.- М.: Наука, 1981. 384 с.

83. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. - 432 с.

84. Девликамов В.В., Хабибуллин З.А., Кабиров М.М. Аномальные нефти. М.: Недра, 1975. - 168 с.

85. Днепров И.В., Пономарев А. Т., Радченко А.В., Рысев О.В. К определению напряженно-деформированного состояния мягкой несущей системы // Известия АН СССР. Серия МТТ. 1991. - N 2. - С 140148.

86. Днепров И.В., Пономарев А.Т., Рысев О.В., Семушин С.А. Исследование процессов нагружения и деформирования парашютов// Математическое моделирование. 1993. - Т. 5. - N 3. - С .97-109.

87. Дьяконов Е.Г. Об одной задаче теории сетчатых оболочек и ее разностном аналоге// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. - Т. 9.- N 2. С 350-361.

88. Дьяконов Е.Г., Николаев И.К. Оценки области разрешимости для системы уравнений безмоментной сетчатой цилиндрической оболочки в случае первой краевой задачи //Дифференц. уравнения. 1967. - Т. 3. - N 8. - С .1313-1324.

89. Дьяконов Е.Г., Николаев И.К. О решении некоторых задач теории сетчатых оболочек // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. -Т. 13. - N 4. - С .938-951.

90. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 384 с.

91. Ентов В.М., Малахова Т.А., Панков В.Н., Панъко С.В. О расчете предельно равновесных целиков при вытеснении вязкопластической нефти из слоисто-неоднородного пласта// Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44. - N 1. - С. 113-123.

92. Ентов В.М., Панков В.Н., Панъко С.В. Математическая теория целиков остаточной вязкопластичной нефти. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1989. - 196 с.

93. Ентов В.М., Панъко С.В. К вариационной формулировке задачи о целиках остаточной нефти// Прикладная математика и механика. -1984. Т. 48. - N 6. - С. 966-972.

94. Ермолов В.В. Воздухоопорные здания и сооружения. М.: Строй-издат, 1980. - 304 с.

95. Задворнов О.А. О стационарных задачах контакта мягкой оболочки с препятствием // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Четвертого Всероссийского семинара. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2002. - С. 55-61.

96. Задворнов О.А. Постановка и исследование стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием// Известия ВУЗов. Математика. 2003. - N 1. - С. 45-52.

97. Задворнов О.А. О сходимости итерационного метода решения квазивариационного неравенства // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы Пятого Всероссийского семинара. Казань: Казанский государственный университет, 2004. - С. 71-75.

98. Задворнов О.А. Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника// Известия ВУЗов. Математика. 2005. - N 1. - С. 58-63.

99. Задворнов О.А. О сходимости полуявного метода с расщеплением для решения вариационных неравенств второго рода // Известия ВУЗов. Математика. 2005. - N 6. - С. 61-70

100. Иваненко Д.Д., Соколов А.А. Классическая теория поля (новые проблемы). М.: Гостехиздат, 1951. - 480 с.

101. Игнатьева М.А., Лапин А.В. Решение задачи о препятствии методом декомпозиции области // Ученые записки Казанского государственного университета. Физико-математические науки. 2005. - Т. 147. - Кн. 3. - С.112-126.

102. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. -М.: Физматлит, 2003. 304 с.

103. Ильинский И.В., Шешуков Е.Г. Задача нелинейной фильтрации с неоднолистной областью годографа скорости// Изв. вузов. Математика. 1972. - N 10. - С. 34-40.

104. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 480 с.

105. Исследование парашютов и дельтапланов на ЭВМ / Белоцерков-ский С.М., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. / Под ред. Бе-лоцерковского С.М. М.: Машиностроение, 1987. - 260 с.

106. Кадетт В.В. Методы математической физики в решении задач нефтегазового производства. М,- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004 - 148с.

107. Карчевский М.М., Бадриев И.Б. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами// В сб. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР. - 1979. - Т. 10. - N 5. - С. 63-78.

108. Карчевский М.М., Лапин А.В. Исследование разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ. -1979. - Вып 6. - С. 23 - 31.

109. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. I // Изв. вузов. Математика. 1972. - N 11. - С. 23-31.

110. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Исследования нелинейных задач теории фильтрации// Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во КГУ, 1974. - Вып.11. - С. 64-72.

111. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1976. -156 с.

112. Киндерлерер Д., Стампаккъя Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. - 256 с.

113. Конное И.В. Комбинированный релаксационный метод для обобщенных неравентсв // Известия ВУЗов. Математика. 2001. - N 12. - С. 45-54.

114. Конное И. В. Двойственный подход для одного класса смешанных вариационных неравенств// Журнал вычислительной математики и математической физики. 2002. - Т. 42, - N 9. - С. 1324-1337.

115. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. - 166 с.

116. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. J1: изд-во Лениградского ун-та, 1977. - 208 с.

117. Котляр JI.M., Скворцов Э.В. Плоские стационарные задачи фильтрации жидкости с предельным градиентом. Казань: Изд-во Ка-занск. ун-та, 1978. - 144 с.

118. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

119. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. - 407 с.

120. Лапин А.В. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. - Т. 19.- N 3. С. 689 -700.

121. Лапин А.В. Исследование одного нестационарного нелинейного вариационного неравенства // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16.- N 7. С. 1245-1254.

122. Лапин А.В. Аппроксимация нелинейных стационарных вариационных неравенств // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1981. - Вып. 9. - С. 9-24.

123. Лапин А.В. Сеточные аппроксимации вариационных неравенств. -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1984. 96 с.

124. Лапин А.В. Метод расширенного лагранжиана для задач фильтрации с предельным градиентом// Вычислит, процессы и системы. -М.: Наука, 1987. Вып. 6. - С. 192-198.

125. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 588 с.

126. Jlopan П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. -496 с.

127. Ляшко А.Д., Бадриев И.Б., Карчевский М.М. О вариационном методе для уравнений с разрывными монотонными операторами //Известия ВУЗов. Математика. 1978. - N И. - С. 63-69.

128. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации// Изв. ВУЗов. Математика. 1975. - N 6.- С. 73-81.

129. Ляшко А.Д., Карчевский М.М. Разностные методы решения нелинейных задач теории фильтрации// Изв. ВУЗов. Математика. 1983.- N 7. С. 28-45.

130. Ляшко А.Д., Карчевский М.М., Павлова М.Ф. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. - 122 с.

131. Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. Исследование неявной разностной схемы для одного вариационного неравенства нелинейной теории фильтрации// Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16. - N 7. - С. 1255-1264.

132. Ляшко А.Д., Павлова М.Ф. О разностной аппроксимации нелинейного нестационарного вариационного неравенства // Дифференц. уравнения. 1984. - Т. 20. - N 7. - С. 1237-1247.

133. Магарил-Илъяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 176 с.

134. Магула В.Э. Обзор работ, выполненных в лаборатории мягких оболочек в 1959-1967 г.г.// Сообщ. Лаборатории мягких оболочек. Владивосток: ДВВИМУ, 1967. - Вып. 1. - С. 5-53.

135. Магула В.Э. Судовые эластичные конструкции. Л.: Судостроение, 1978. - 263 с.

136. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. - 456 с.

137. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1977. - 264 с.

138. Мирзаджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в нефтедобыче. Баку: Азнефтиздат, 1966. - 409 с.

139. Мифтахов Р.Н. Исследование ткани желудка человека при одноосном растяжении// В сб. Гидроупругость оболочек. Труды семинара. Вып. 16. Казань: Изд-во Казанского физико-технического института Казанского Филиала АН СССР, 1983. - С. 163-171.

140. Мифтахов Р.Н., Абдюшева Г.Р., Бадриев И.Б., Задворнов О.А., Шагидуллин P.P. Математическое моделирование перистальтики кишечника// Вестник СПбГУ. Серия 4 (физика, химия). 1994. - N 1 -С. 147.

141. Мифтахутдинов Б.А., Молокович Ю.М., Скворцов Э.В. Некоторые вопросы плоской стационарной нелинейной фильтрации// В сб. Проблемы гидродинамики и рациональной разработки нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1971. - С. 51-70.

142. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. - 430 с.

143. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений вязко-пластической среды // Прикладная математика и механика. 1965. - Т. 29. - Вып. 3. - С. 468 - 492.

144. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред.- М.: Наука, 1981. 208 с.

145. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. М.: Физматлит, 1958. - 244 с.

146. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.- М.: Мир, 1980. 384 с.

147. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. - 516 с.

148. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

149. Отто Ф., Тростелъ Р. Пневматические строительные конструкции. М.: Стройиздат, 1967. - 320 с.

150. Павлова М. Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации// Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - N 8. - С. 14361446.

151. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. М.: Мир, 1989. - 496 с.

152. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. - 664 с.

153. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. - 320 с.

154. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 320 с.

155. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: Наука, 1969. - 546 с.

156. Ридель В.В. К расчету каркасированных мягких оболочек// В сб. Гидроупругость оболочек. Труды семинара. Вып. 16. Казань: Изд-во Казанск. физико-технического ин-та Казанск. филиала АН СССР, 1983. - С. 133-145.

157. Ридель В.В. Математическое моделирование и расчет мягких каркасированных оболочек// Нестационарные задачи механики. Труды семинара. Вып. 22. Казань: Изд-во Казанск. физико-технического ин-та Казанск. филиала АН СССР, 1989. - С. 48-68.

158. Ридель В.В., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек. М.: Наука, 1990. - 206 с.

159. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 466 с.

160. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.- 552 с.

161. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656 с.

162. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

163. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. - 315 с.

164. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.- 432 с.

165. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 590 с.

166. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. - 244 с.

167. Скворцов Э.В. Подземная гидромеханика аномальных жидкостей.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. 76 с.

168. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990. - 448 с.

169. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1959. - 656 с.

170. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 512 с.

171. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980. 512 с.

172. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. -М.: Мир, 1981. 408 с.

173. Усюкин В. И. Об уравнениях теории больших деформаций мягких оболочек// Изв. АН СССР. Сер. МТТ. 1976. - N 1. - С. 70-75.

174. Хермандер JI. Линейные дифференциальные операторы с чатными производными. М.: Мир, 1965. - 380 с.

175. Христианович С. А. Движение грунтовых вод, не следующих закону Дарси // Прикладная математика и механика. 1940. - Т. 4. - Вып. 1. - С. 33-52.

176. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостехиздат, 1963. - 396 с.

177. Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтя-ных пластах. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1982. - 208 с.

178. Шагидуллип P.P. Тензорные аргументы для функционала полной энергии мягкой оболочки// Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач. Материалы Всероссийского семинара. Казань: изд-во Казанского мат. об-ва, 1998.- С. 79-81.

179. Шагидуллип P.P. Минимизация функционала полной энергии для мягкой оболочки // Известия ВУЗов. Математика. 1998. - N 3. -С. 65-73.

180. Шагидуллин P.P. Исследование одномерных уравнений статического состояния мягкой оболочки // Известия ВУЗов. Математика. -1999. N 5. - С.73-80.

181. Шагидуллин P.P. Исследование положительных по кривизне решений системы уравнений равновесия мягкой замкнутой цилиндрической оболочки // Известия ВУЗов. Математика, 2000. N И. -С. 85-96.

182. Шагидуллин P.P. Проблемы математического моделирования мягких оболочек. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2001. - 235 с.

183. Шешуков Е.Г. О нелинейной фильтрации в анизотропной среде// В сб. Гидродинамика и разработка нефтяных месторождений. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. - С. 183-194.

184. Шешуков Е.Г. О нелинейной фильтрации в анизотропной грунте// Труды семинара по краевым задача. Выпуск 12. Казань: Изд-во Казанского государственного ун-та, 1975. - С. 194-203.

185. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. - 400 с.

186. Эрроу К., Гурвиц, Удзава Исследования по линейному и нелинейному программированию. М.: ИЛ, 1962. - 334 с.

187. Яковлев Г.Н. Граничные свойства класса Wpl) на областях с угловыми точками //ДАН СССР. -1961. Т. 140, N 1. - С.73-76.

188. Alber У., Ryazantseva I. Nonlinear Ill-posed Problems of Monotone Type. Berlin: Springer, 2006. - 410 p.

189. Auchmuty G. Variational principles for variational inequalities// Numerical Funct. Anal, and Optimiz. 1989. - V. 10. - N 9-10. - P. 863874.

190. Browder F.E., Petryshin W. V. The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banach spaces// Bull. Amer. Math. Soc. 1966. - V. 72. - P. 571-575

191. Browder F.E., Petryshin W.V. Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces// J. Math. Anal. Appl. 1967. - V. 20. -P. 197-228

192. Edward W. A general theory of parachute opening// J. Aircraft. 1972.- V. 9. N 4. - P. 257-258

193. Gabay В., Mercier B. A dual algorithm for the solution of nonlinear variational problems via finite element approximation// Сотр. and Math, with Applications, Pergamon Press. 1976. - V. 2 . - P 17-40.

194. Konnov I. Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities.- Berlin: Springer, 2001. 181 p.

195. Lapin A.V. Geometric convergence of iterative methods for variational inequalities with M-matrices and diagonal multivaued operators. -//Computational Methods in Applied Mathematics. 2002. - Is. 2. -N. 1. - P. 26-40.

196. Kydoniefs A.D. Finite Axisymmetric Deformations of an Initially Cylindrical Elastic Membrane Enclosing a Rigid Body// Quart. Journ. Mech. and Applied Math. 1969. - V. XXII. - Pt. 3. - P 319-331.

197. Kydoniefs А.В., Spenger A.J.M. Finite Axisymmetric Deformations of an Initially Cylindrical Elastic Membrane // Int. Journ. Engng. Sci. -1967. V. 367. - N. 5. - P 87-95.

198. Lions P.L., Merscier B. Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators//SIAM J. Numer. Anal. 1979. - V. 16. - N 6. -P. 964-979.

199. Maruster S. The solution by iteration of nonlinear equations in Hilbert spaces// Proceedings of Amer. Mathem. Soc. 1977. - V. 63 (1). - P. 6973.

200. Numerov S.N. Nonlinear seepage in anisotropic media// 15th Congr. Int. Assoc. Hydraul. Res. V. 3. - Istanbul, 1973. - P. 39 - 46.

201. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings// Bull. Amer. Math. Soc. 1967. - V. 73. N 4. - P. 591-597

202. Raviart P.A. Sur l'approximation de certaines equations linearies et non linearies // J. Math. Pures et Appl. 1967. - V. 46. - P. 11-183.

203. Resolution num£riques de problfemes aux limites par des methodes de Lagrangien augmente /Eds M.Fortin, R.Glowinski. Paris: Dunod, 1983. - 320 p.

204. Rockafellar R. T. Convex functions, monotone operators and variational inequalities// in Theory and Applications of Monotone Operators, Tipografia Oderisi Editrice, Gubbio, Italy, 1969. P. 35-65.

205. Rockafellar R.T. Augmented Lagrangian multiplier rule and duality in nonconvex programming// SIAM J. Control and Optimization. 1974. -V. 12. - N 2. - P. 268-285.

206. Rockafellar R.T. Monotone Operators and Augmented Lagrangian Methods in Nonlinear Programming// Nonlinear Programming, Acad. Press. 1978. - N 3. - P. 1-25.

207. Tzeng P. Futher Applications of a Splitting Algorithm to Decomposition in Variational Inequalities and Convex Programming// Mathematical Programming. 1990. - V. 48. - P. 249-264.

208. Zhu D., Marcotte P. New classes of generalized monotonicity// Journal of Optimazation Theory and Applications. 1995. - V. 87. - N 2. - P. 457471.