Оценки точности и итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов решения квазилинейных эллиптических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат наук Гогин, Алексей Павлович

• Гогин, Алексей Павлович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Гогин, Алексей Павлович

Оглавление

Введение

Глава I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

§ 1. Постановка задачи с монотонным оператором

§ 2. Постановка задачи с сильно монотонным оператором

§ 3. Смешанная постановка задачи

§4. Аппроксимация пространства О)

§ 5. Дискретизация смешанной задачи

Глава II. СМЕШАННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

§ 1. Разрешимость приближенной задачи

§ 2. Слабая сходимость решений приближенной задачи

§ 3. Сильная сходимость «потоков», построенных по решению приближенной задачи

Глава III. СМЕШАННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С СИЛЬНО МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

§ 1. Единственность решения приближенной задачи

§ 2. Оценки точности приближенного метода

Глава IV. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ СМЕШАННЫХ

СХЕМ

§ 1. Задача с сильно монотонным оператором

§ 2. Итерационный метод для решения приближенной задачи с сильно

монотонным оператором

§ 3. Модификация итерационного метода

§ 4. Исследование сходимости итерационного метода

§ 5. Численные эксперименты

§ 0. Итерационный метод решения задачи с монотонным оператором

§ 7. Модификация итерационного метода

§ 8. Численные эксперименты

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки точности и итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов решения квазилинейных эллиптических уравнений»

Введение

1. Актуальность темы. Метод конечных элементов в настоящее время является одним из основных инструментов для решения различных задач математической физики. Среди преимуществ этого метода, сочетающего в себе лучшие качества разностных и вариационных методов: универсальность, сравнительная простота применения в областях сложной формы, использование различных сеток, удобство для программирования. Основные аспекты теории методов конечных элементов изложены в том числе в работах [1,6,15-17,26,27,43,48,53,54]. Кроме того, методы конечных элементов для решения различных задач механики сплошных сред рассмотрены, например, в [50,52,66].

Классические схемы метода конечных элементов подразумевают использование лагранжевых и эрмитовых элементов. Объем вычислительной работы при реализации таких методов в общем случае может быть очень большим. Кроме того, часто при решении конкретных задач математической физики возникает необходимость в вычислении различных неизвестных, связанных с производными искомого решения. Такими неизвестными могут быть: поток в задачах термодинамики, напряжение в задачах теории упругости, изгибающие моменты в задачах об изгибе тонких пластин и т.д. Использование классических методов в этом случае приводит к разрывной аппроксимации этих неизвестных (см., например, [54]). На пути решения данных проблем были предложены специальные разновидности схем МКЭ: смешанные методы конечных элементов (СМКЭ), а также смешанно-

гибридные и гибридные схемы (см., например, [72]). Одним из главных преимуществ таких схем является возможность использования простейших конечных элементов. Это становится возможным благодаря снижению порядка уравнений при помощи введения вспомогательных неизвестных, которое в свою очередь осуществляется за счет использования двойственной или смешанной переформулировки исходной задачи (см., например, [54,102-105]). В работах И. Бабушки, Ж.П. Обена, Х.Г. Бушара, М. Круазье и ГТ.А. Равьяра [49,60-62,74] впервые были изучены такие методы. Позднее подобный анализ был проведен в работах И. Бабушки, Я. Хаслингера, И. Главачека, Ф. Ки-кути, М. Фортина [64,83,87-89,97].

В работах П.А. Равьяра, Ж.М. Тома, Д.Н. Арнольда, Ф. Бреззи, Дж. Дугласа, Л.Д. Марини, Ж.Е. Роберте [59,69-71,110,111,114] были построены различные пространства треугольных и прямоугольных конечных элементов для аппроксимации смешанных схем, а также получены соответствующие оценки точности. Ж.К. Неделек [106,107] обобщил эти результаты для трехмерного случая. Кроме того, смешанные методы конечных элементов для линейных и квазилинейных эллиптических уравнений рассматривались Дж. Дугласом, Ж.Е. Роберте и Ф.А. Милнером [75,99]. Смешанным методам для решения различных нелинейных задач, отличных от рассмотренных в настоящей диссертации, посвящены работы [98,100,101,108].

Смешанные методы конечных элементов применяются для решения задач о пластине, то есть уравнений высоких порядков. Впервые СМКЭ для решения таких задач были предложены Л. Хер-манном [91] и позднее развиты в работах К. Джонсона [93, 94] и К. Хеллана [90]. Анализ таких методов, называемых также методами Хеллана—Херманна—Джонсона, проведен в работах А. Поцески [109], В. Виссера [115]. Кроме того, различные модификации СМКЭ для за-

дач о пластине и других уравнений четвертого порядка изучались в работах [23,31,33,35,36,59,65,76,78,96, ИЗ].

Ф. Бреззи и П.А. Равьяр разработали общую теорию смешанных схем для эллиптических уравнений четвертого порядка, получили оптимальные оценки точности данных методов (см., например, [67,68]).

Конечноэлементные схемы смешанного типа также используются при решении различных задач теории оболочек, которые рассматривались в работах Л.Ш. Заботиной, М.М. Карчевского и других [4,8,20,22,30,34].

Для аппроксимации решений задач Стокса и Навье—Стокса, которые состоят в отыскании двух независимых переменных — скорости и давления, также представляется естественным использовать смешанные методы конечных элементов. Изучению таких методов посвящены, например, работы В. Жиро и П.А. Равьяра [84, 85], М. Форти-на [82], Р. Стенберга [112], М. РагЫои1, Н. Мапспш [81].

Теория смешанных методов для линейных, а также различных классов нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в пространствах И^ развита к настоящему времени достаточно полно. Значительно слабее изучены теоретические вопросы смешанного метода конечных элементов для эллиптических уравнений в пространствах И^. Так, в работах М. ЕагЫои1, Н. Мапоиг! [79, 80] предложена и исследована конечноэлементная схема смешанного типа для частного случая задачи с сильно монотонным оператором, часто называемой уравнением с р-лапласианом, в пространстве \¥р1\ Исследованию смешанного метода конечных элементов для общих дивергентных квазилинейных эллиптических уравнений с сильно монотонными операторами в пространстве И^ посвящены работы А.Е. Федотова и М.М. Карчевского [37, 42, 56, 95]. В данных работах получены оценки точности смешанных схем метода конечных элементов,

основанных на использовании потока, т. е. функции а(х, и, У-и), в качестве вспомогательной переменной. Отметим, что в настоящей работе рассмотрена иная конечноэлементиая схема: в качестве вспомогательной переменной при постановке смешанной задачи выбирался градиент искомого решения. Смешанные схемы для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с монотонными операторами в пространстве И7^ рассмотрены в работах М.М. Карчевского и А.Е. Федотова [40,56]. Полученные в них результаты обобщены в данной диссертации на случай пространства .

Многие важные практические задачи приводят к квазилинейным эллиптическим уравнениям второго порядка с монотонными операторами. К ним относится, например, изученная в работах [24,25,56] задача с нелинейным вырождающимся по нелинейности оператором, возникающим при описании фильтрации жидкости, следующей закону фильтрации с предельным градиентом.

Различные итерационные процессы для смешанных методов конечных элементов изучались в работах [9,11,21,32,39,56,95]. В данной диссертации предложены модификации построенных в [56] итерационных процессов, которые существенно уменьшают объем вычислительной работы, оценки скорости сходимости при этом сохраняются.

2. Цель работы. Построение смешанных схем метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка с монотонными и сильно монотонными операторами в пространстве \¥р1\ исследование условий разрешимости и сходимости схем. Получение оценок точности смешанной схемы для задачи с сильно монотонным оператором. Построение и исследование итерационных методов численной реализации смешанных схем МКЭ.

3. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 115 наименований. Объем работы — 108 страниц.

4. Содержание работы. Настоящая работа посвящена исследованию смешанных методов конечных элементов для квазилинейных эллиптических задач второго порядка с монотонными и сильно монотонными операторами в пространстве И^, а также построению итерационных методов их численной реализации. Работа состоит из четырех глав. В первой главе диссертации рассматриваются задачи с монотонными и сильно монотонными операторами: даны постановки задач, сформулирована смешанная задача, рассмотрены различные пространства конечных элементов, необходимые при дискретизации смешанной задачи, описан класс приближенных методов. Во второй главе диссертации изучается класс приближенных методов для задачи с монотонным оператором. Доказаны разрешимость дискретной задачи, слабая сходимость решений приближенной задачи, сильная сходимость «потоков» а(ж, ^(г^)), построенных по решению приближенной задачи. В третьей главе диссертации исследуется класс приближенных методов для задачи с сильно монотонным оператором. Показаны существование и единственность решения дискретной задачи. Получены оценки точности метода. Четвертая глава диссертации посвящена итерационным методам для двух классов смешанных схем метода конечных элементов: построено два итерационных метода, предложены модификации этих методов, исследована сходимость итерационных методов, приведены результаты численных экспериментов.

Опишем содержание работы подробнее. В первой главе диссертации приведена постановка задачи Дирихле для квазилинейного эл-

липтического уравнения второго порядка дивергентного вида

— (Му а(х, и, VII) + ао(х, и, = /(ж), х € О, (1)

и{х) =0, ж £ Г. (2)

О, а К1 — ограниченная многоугольная область, Г — граница области Здесь а(х,т]) = (ах(ж, ту),..., ап(х, ту)), ао(ж,ту) — заданные функции, непрерывные при 77 = (ту0, ?у) 6 Лп+1, ту = (ту„) 6 для всех а; 6 П.

Относительно коэффициентов задачи предполагаются выполненными условия ограниченной нелинейности, монотонности и коэрци-тивности при р > 1:

|й(яг,|)| ^ С1(1 + |ёг2) V* е е яп+1, (3)

(а(х, |) - а(Ж, 77)) • (£ - ту) ^ 0 £ Г2,£,ту £ (4)

Ф, О • С > С2|СГ - СЗ Уж £ О, ё £ (5)

здесь сх,с2,сз — положительные постоянные, а через а(-) обозначена вектор-функция вида а(-) = (а0(-), «1(0» • ■ • > ап(-))-

Эти условия, налагаемые на функции, образующие уравнение, являются довольно общими и допускают вырождение уравнения по градиенту на некоторой подобласти определения решения.

Кроме того, во втором параграфе рассмотрен случай, когда выполнены условия сильной монотонности и липшиц-непрерывности

(50г, ту) - а(х, £)) • (ту - £) (|т/| + > с0|ту - £|2 (6)

у,££/Г, хеП,

\а(х,т])-а(х,0\^ф-^-1 хеП, (7)

в случае 1 < р < 2 и

(й(я, ту) - а(я, £)) • (ту - О > с2|ту - (8)

Vr7,ZeRn+1,r],teRn, хеП,

\a(x,fj) - а(аг,0| < С3|г7-ё| (\f}\ + |ё|)Р"2 УЫе Rn+\ x e n, (9)

в случае p ^ 2; Co, Ci, C2, C3 — положительные постоянные.

Определено понятие обобщенного решения задачи (1), (2). Обобщенным решением задачи (1), (2) называется функция

о

и G Wp(P),p > 1, удовлетворяющую интегральному тождеству

L(u, v) = J(а(х, и, Vu) • Vv + ао(х, и, Vu)v)dx = п

= J fv dx = (/, v) Vvew^n), n

В третьем параграфе дана смешанная постановка задачи (1), (2). Для этого введено в рассмотрение пространство

Я, = ДДсНу, П) - {j g (L,(ft))n I divj e Lq(Q), 1 < q < 00}

с нормой 1Ы1я +

п

В качестве вспомогательной переменной при построении смешанной схемы выбран градиент искомого решения. Таким образом, положив у = V«, нетрудно видеть, что если и — обобщенное решение задачи (1), (2), то

J а(х, и, j(и)) - + ац(х,и, j(u))v dx = ^ ¡ьйх Му 6 (10)

(2 о

У ](и) • qdx + J и6.1удс1х = 0 \/q е Нд( сНу,0). (И) п п

Система (10), (11) положена в основу смешанной постановки задачи (1), (2), а именно: разыскивается пара функций (и, у) £1 = х (Ья(£1))п, удовлетворяющая интегральным тож-

дествам (10), (11).

В четвертом параграфе описана конформная, регулярная триангуляция 7н = и К области симплициальными и прямоугольными конечными элементами. Кроме того, описаны известные (см., например, [72]) пространства конечных элементов: ВОМк(К), ЯТк(К), ВВМщ{К), ЯТщ(К). Определены конечноэлементные пространства

где Мк(К) — одно из описанных пространств ВОМк(К), ЯТк(К), ВПМ[к](К), ЯТщ(К), а через Мк(К) обозначены следующие пространства полиномов:

В пятом параграфе описан класс приближенных методов, исследуемых в диссертации. Под приближенным решением задачи (1), (2) понимается пара функций (ии^и) £ Хи таких, что

У (а{х, ии^иЫ) • мЫ) + а0(х, ин,зн{ин))ун) (1х = J /ун(х) йх

для любых у и € Ми, где функция ]и{ии) £ №и определяется по ин € Ми как решение уравнения

Кроме того, сформулированы и доказаны лемммы, используемые при выводе оценок точности этих методов. Все эти результаты имеют место при выборе любого из пространств ВИМк, ЯТк, ВОМщ или ЯТщ для аппроксимации Нч.

Мк = К € ЬР(П); ун\К € Мк(К) УК € %} , ^ = УКеТи],

Хи = Ми х

Рк-1(К), если ^{К) = ВВМк{К) или ВВМщ[К)-Рк(К), если Щ(К) = ЯТк(К);

если Щ(К) = ЯТщ(К).

(12)

Во второй главе диссертации изучен данный класс приближенных методов для задачи с монотонным оператором. Доказано, что имеет место

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3)-(5). Тогда задача (12), (13) имеет по крайней мере одно решение при любой правой части / € Ья(0). Для любого решения задачи (12), (13) справедлива априорная оценка

\\лЫ)\\Ьр(п) ^ с||/||Ьв(п)

где с — постоянная, не зависящая от К.

Относительно сходимости последовательностей решений щ и Зн{ии) в простраитсве Ьр{0) справедлива следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия (3)-(5). Тогда существуют последовательности решений и^ и ¿н^ин) и функции и*,з* такие, что щ —^ и*, jh(uh) 3* в ЬР(П), причем пара функций и*,з* является точным решением задачи (10), (11).

Заменив условие монотонности (4) более сильным условием подчинения (см., например, [58])

\а{х,£)-а{х,ч)\ ^ С4((а(х,е)-а(Ж,77))-(е-7?))^(1 + |е|р+НР)Ь^ (14)

для любых 7] € Яп+1, где г = тах(р, 2),р > 1, нам удалось получить следующие результаты.

Лемма 1. Пусть выполнены условия (3)-(5), (14). Тогда «поток» а(х,и,Ли)), построенный по решению задачи (10), (11) и его конечноэлементная аппроксимация а(х,и}г,Зи^ь)), построенная по решению задачи (12), (13), определяется исходными данными задачи (1), (2) однозначно.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (3), (5), (14). Тогда существует последовательность Н 0 такая, что имеет ме-

сто сильная сходимость а(х,и, з{и)) в простран-

стве Ь8(£1), где

_ \ Я,Р > 2> | 2,1 < р < 2.

В третьей главе диссертации изучен построенный в первой главе класс приближенных методов для задачи с сильно монотонным оператором.

Относительно разрешимости приближенной задачи имеет место

Теорема 4. Пусть выполнены условия (6)-(9). Тогда при любой правой части / 6 Ья(£1) решение задачи (12), (13) существует и единственно. При этом справедлива оценка

\\Зн{ин)\\ьр{И) < с11/1 где с — постоянная, не зависящая от Н.

Получены оценки точности рассмотренного приближенного метода. А именно, доказано, что имеет место

Теорема 5. Пусть и — решение задачи (1), (2) — удовлетворяет условиям гладкости

ие зе (\У^к+1\п)у.

Пусть также каждая триангуляция области Г2 с меньшим шагом строится по триангуляции с большим шагом путем разбиения ее элементов. Тогда

IIй - иь\\ьр(П) + IIЛ") - Мин)\\рЬд(п) <

в случае 1 < р < 2 и

1К - и\\рЬтМ + \\зн{и}1) - з{и)^ 13

< сЫ1^ (||

и

П)

+ 1 Ш\\1

) + сНр{к+1^\\и\\рц

в случае р ^ 2.

В четвертой главе диссертации построены и изучены итерационные методы для двух классов смешанных схем метода конечных элементов.

В первом параграфе рассмотрен частный случай задачи (1), (2)

П С Яп - ограниченная многоугольная область, Г граница области О. Здесь а(х,£) = (ах(х,€),... ,ап(х,£)), £ е Яп для всех х е VI. Относительно коэффициентов задачи предполагаются выполненными условия сильной монотонности (6) и липшиц-непрерывности (7) при р = 2, а также условие на функцию ао(-)

Приведена смешанная постановка задачи (15), (16). В качестве вспомогательной переменной при постановке смешанной задачи в этом случае использовался «поток», построенный по обощенному решению задачи (15), (16). При этом возникает необходимость использования обратной к а(х,-) : Яа —> Яп функции а-1 (ж,-) : Яп —> Яп. Функция а-1 существует и обладает аналогичными (6), (7) свойствами:

(а-\х,0-а-\х,г]))-^-г])^с^-г]\2 Щ^ЕЯ^хЕП, (17) К^О-в'Ч^Кс^"^ Яп, хЕП, (18)

— сПу а(х, V«) + ао(х, Ум) = /(х), х е П, и(х) = О, х е <90.

(15)

(16)

(а0{х, О - а0{х, 1])) ■ (£ - г]) > 0.

где сз,с4 — положительные постоянные.

Таким образом, если и — обобщенное решение задачи (15), (16), то у € (сНу, и выполнены интегральные тождества

J [—]ао,(х,и)]у (1х = У /(х)у(х)с1х\/уЕЬ2(£1), (19) п п

J сГ1{хл)-д(1х + j и сНу д = 0 \/д € Я2(сНу, О), (20) п п

которые положены в основу смешанной постановки задачи (15), (16):

разыскивается пара функций (и€ X = 1*2 (£1) х Яг(с11у, О), удовлетворяющих интегральным тождествам (19), (20).

Далее, дана приближенная постановка смешанной задачи. Отметим, что описанная в первом параграфе приближенная схема в случае, когда для аппроксимации ^(сПу, П) выбирается пространство Равьяра — Тома, подробно рассмотрена в работах [56,95]. Предполга-ется, что проведена конформная, регулярная триангуляция 7л области При построении смешанной схемы конечных элементов использовались конечномерные пространства М/м Л^, опредленные в общем виде в первой главе. Под приближенным решением задачи (15), (16) понималась пара функций {ин^Зи) £ ^н — Мц х удовлетворяющих уравнениям

J(- divjh + а0(х, ин)у}1)(1х = j }\х)ук{х)йх, (21)

п и

У а_1(х, Зн) ■ ц4х + J ин сНу = 0 V дп) 6 Хн. (22)

Во втором параграфе описан итерационный метод для решения задачи (21), (22), построенный в работах [56,95]. Определен нелинейный конечномерный оператор Аи соотношением

А}гиц = J(- (Му ]{ин) + а0(х, и^ун ¿х Уик, ун е Мн, (23)

где ¿(ин) £ Nh определяется уравнением

У а~10"л(и/1)) • + IинХудьсЬ = 0 € (24)

Матрица определена соотношением

• ун = - J сНУ ЛХифк ¿х \/ип, Ун е Мн, (25)

п

где Л{иь) € N¡1 удовлетворяет тождеству

J ЗнЫ • Як <}х + ! ик сНу дн<1х = 0 € Л^. (26)

я п

Для решения задачи (21), (22) предлагается использовать следующий итерационный процесс:

Он11иКлн4 = /н, к = 0,1,..., (27)

г

где задана, а г > 0 — итерационный параметр.

Реализация итерационного метода (27) может быть сведена к решению следующей системы уравнений с седловой матрицей:

= о,

(28)

= гг^ + тю^. Здесь и Сн матрицы, определяемые соотношени-

ями

ВнЗн ■ фг = j Зк • Фг (1,х Узн, цк е АГ„, (29)

о

С ну к ■ Я ¡1 = У сИу (цх с1х е М/„фг е АГтг, (30)

п

а С^ - транспонированная матрица Сн- Вектор определён соотношением

г/, • Ук = j (-сНу^ + а0(х, - ./>/, с!х Муп € М}1)

а ^ — решение уравнения

У а_1(.7л) ' Яьйх + У сПу г/Д (1Х = О е (31)

а я

В третьем параграфе рассмотрен важный для многих приложений, например, теории фильтрации, частный случай задачи (15), (16), когда ао = 0- Кроме того, введен в рассмотрение конечномерный нелинейный оператор определяемый соотношением

Ьн(зь) • Чн = У а~1{х,лг) ■ цк с1х У]к, дк € К, , (32)

о

обладающий свойствами

(ЬЛОЛ) - ^Ы) • (:к - Як) > сБ\ук - дн\\2В/1, (33)

\\LhUh) - Ыдн)\\в-1 < с6\ун - <7Л||д„ (34)

для любых ]к) (щ из Агк.

Таким образом, задача (21), (22) записывается в виде

(35)

Ьл ел ПЛ = / о -С1 О) \щ) 1л

Для решения системы нелинейных уравнений (35) используется итерационный процесс

к = 0,1, ... и® заданы, г > 0 — итерационный параметр.

Понятно, что при такой модификации метода (27) удается избежать применения «внутреннего» итерационного процесса, то есть решения уравнения (31).

В четвертом параграфе исследована сходимость построенного итерационного метода. Доказана общая теорема о сходимости итерационных процессов вида (30).

Теорема 6. Пусть матрицы Вь, П^ = С^В^Сн положительно определены, оператор Ьи удовлетворяет условиям (33), (34),

0 < г < 2се/с2.

Тогда итерационный процесс (36) сходится при любом начальном приближении и®.

Из этой теоремы, в частности, следует сходимость предложенного в третьем параграфе итерационного метода.

Если дополнительно к условиям этой теоремы оператор Ьь является диффернцируемым по Гато и его производная симметрична, то оценка скорости сходимости итерационного метода (36) может быть улучшена. Справедлива

Теорема 7. Пусть оператор Ьь{зн) имеет производную Га-то Ь^С/л) 6 каоюдой тючке пространтства Лг/,, которая при любом 9н £ удовлетворяет условиям

сюИялНдь ** Ьь)9н • 9П ^ £ц|Ы1к- (37)

Тогда при г = то = 2/(сю + сц) итерационный метод (36) сходится и для погрешностей верны оценки:

-йв, ^ р{т)\\а -йв,, 18

где р(т) = (1 - 0/(1 + 0, £ = сю/сц.

В пятом параграфе приведены примеры численной реализации представленного итерационного метода.

Шестой параграф посвящен описанию построенного в работе [56] итерационного метода для решения приближенной задачи (12), (13) с оператором, который удовлетворяет лишь условию монотонности.

Введен в рассмотрение нелинейный оператор : —» линейный оператор : М}1 —у М]х при помощи сооотношений

Анин -ун = У (а(х, ин,эн(ин)) ■ Зн^н) + а0(ж, щ, л{ин))ин)(1х я

\/ин,ун е мн,

Rh.Uk ■ У\1 = У jhi.Uk) • ¿11{У1г)(1х Уи1,,У11 е Мн, п

а также вектор Д б

Последовательные приближения в итерационном процессе, определяются путем решения уравнений

Щгик,1+1 ~ + АНи\ = Л, к = 0,1, ..., (38)

т

где задано.

Реализация этого итерационного метода подразумевает вычисление вектора невязки г\ = Аки\ — Д по известному и^ € и решение уравнения

= -4, (39)

относительно поправки гуд = (ик+1 — и\)/т.

При вычислении значения А}гикг на каждом шаге итерационного метода (38) приходится решать систему линейных уравнений вида (13) относительно jh{ukh). В седьмом параграфе предлагается модификация итерационного метода (38), при реализации которой

данная операция опускается. Дискретная задача (12), (13) представляется в виде

В/, Л + = О,

= /л,

где

к(ик^к) • Як = У а(х,ин,л) ■ сц4х Уцп е Л^, п

О

Предложенный итерационный процесс записывается в виде

+ = 0, (40)

-СЫГ1 = -СК + г{Ьн{иЦ) - Л). (41)

При реализации данного метода на каждом шаге по сравнению с методом (38) экономится одно обращение матрицы масс.

При начальном приближении таком, что В^ + С}ги\ = 0,

и выполнении условий (5) и (14) при р = 2 имеет место сходимость итерационного метода (40), (41) по невязке.

В восьмом параграфе приведены примеры численной реализации предложенной модификации итерационного метода (40), (41).

5. Обозначения. Далее в работе для ссылки внутри одного параграфа используется одно- либо двухзначное число (XX). Для ссылок в пределах одной главы используется пара чисел разделенная точкой (XX.XX). Ссылки между главами оформляются как тройки чисел (ХХ.ХХ.ХХ), причем первое число в тройке представляется римскими цифрами.

6. Апробация работы.

1. XVII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, г. Алушта, Крым, 25-31 мая 2011 года.

2. Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование». Ижевск, 15-18 мая 2012 года.

3. Девятая Всероссийская конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань, 17-22 сентября 2012 года.

4. XVIII Международная конференция по вычислительной механике и современным программным системам, г. Алушта, Крым, 22-31 мая 2013 года.

5. XII Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения-2013». Казань, 24-29 октября 2013 года.

6. Итоговые научные конференции КФУ.

7. На защиту выносятся.

1. Теоремы о сходимости смешанных схем МКЭ для задач с квазилинейными монотонными операторами в пространствах \Ур1\

2. Оценки точности смешанных схем МКЭ для задач с квазилинейными сильно монотонными операторами в пространствах И7^.

3. Модификации итерационных методов решения смешанных схем МКЭ для уравнений с монотонными и сильно монотонными операторами в пространстве И7^-

4. Оценки скорости сходимости модифицированного итерационного метода решения смешанных схем МКЭ для задач с сильно монотонными операторами в пространстве И7^.

8. Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ [9-14,86], в том числе две статьи в изданиях из списка ВАК [9,12].

Глава I

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

§ 1. Постановка задачи с монотонным оператором

Рассматривается задача Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка дивергентного вида

— div а(х, и, Vu) + а0(ж, и, Vu) — f(x), жбП, (1)

и{х) = 0, ж G Г. (2)

с Rn — ограниченная многоугольная область, Г — граница области П. Здесь a(x,rf) = {а\{х, г/),..., ап(х:т])), а0(х,Т]) — заданные функции, непрерывные при f] = (770,r/) G Rn+1, г] = (771,..., 7]п) G Rn, для всех х G О,. Не ограничивая общности класса рассматриваемых задач, будем также считать, что

а(х, 0,..., 0) = 0, а0(ж,0,...,0) = 0. (3)

Относительно коэффициентов задачи будем предполагать выполненными условия ограниченной нелинейности, монотонности и коэр-цитивности при р > 1:

Iä0r,f)| < Ci(l + Ifr1) Vre € n,£eRn+\ (4)

(ä(x,£) - ä(x, T])) ■ (£ - ту) > 0 Vie G (5)

Ö - f ^ - c3 Vx Rn+l (6)

здесь Ci, C2, C3 — положительные постоянные, а через й(-) также обозначена вектор-функция вида а(-) = (üq(-), ai(-),..., а„(-)). Здесь и в

дальнейшем точкой обозначаем стандартное скалярное произведение в арифметическом пространстве К1 соответствующей размерности.

Условия (4)-(6) являются довольно общими и допускают вырождение уравнения по градиенту на некоторой подобласти определения решения.

Обобщенным решением задачи (1), (2) будем называть функцию

о

"и 6 Ц^р^^тР > 1, удовлетворяющую интегральному тождеству

L(u, v) = J(а(х, и, Vw) ■ Vi> + ао(.т, и, Vu)v)dx -íi

= J fvdx = (f, v) VvewKíl),

(7)

n

o

где VFp(O) — пространство Соболева с нормой

у H + \Vu\"dx\ . (8)

Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)-(6). Тогда задача (1), (2) имеет хотя бы одно обобщенное решение и для этого решения выполнена априорная оценка

IMIi* < c||/||¿í(ü), (9)

где постоянная с зависит только от констант с2 и сз из условия (6). Здесь и далее через q будем обозначать такое число, что 1/р + 1 ¡4 = 1.

При исследовании существования обобщенного решения (7) используются методы монотонных операторов (см., например, [18]). Доказательство теоремы 1 приведено, например, в [50].

§ 2. Постановка задачи с сильно монотонным оператором

Рассмотрим задачу (1.1), (1.2), однако при этом для коэффициентов задачи будем предполагать выполненными условия сильной монотонности и липшиц-непрерывиости

(а(х, ф - а(х, О) • (V - О (М + к1)2~Р ^ Ыг) - (1)

У77,£еЛп+1,77,£еЯ", хеп, \а{х,<п)-а{х&\ Чт}, £ в Яп+1, х е П, (2)

в случае 1 < р < 2 и

(а(х,ч) - ■('П-0^ с2\г, - (3)

Я", хео,

в случае р ^ 2; со, С1, с2, сз — положительные постоянные.

Покажем, что условия (1.4)—(1.6) являются более общими, чем условия (1)-(4). Очевидно выполнено

(а(:г, О - а(.х, г/)) • {£ - п) > с2|£ - г;|р ^ 0.

Положим в условиях (3), (4) £ — 0, тогда в силу (1.3)

^ОКсГЧс^Г + с.

Таким образом, условия (1.4)-(1.6) являются «ослаблениями» условий (1)- (4).

Обобщенным решением задачи (1.1), (1-2) назовем функцию

о

и еИ7^), р > 1, удовлетворяющую интегральному тождеству (1.7). Поскольку условия (1.4)—(1.6) являются более общими, чем (1)-(4), то существование обобщенного решения непосредственно следует из теоремы 1. Также имеет место (см., например, [18]) следующая

Теорема 2. Если выполнены условия (1)-(4), то задача (1.1), (1-2) uAieem единственное обобщенное решение при любой правой части f G Lq(Q,). При этом справедлива априорная оценка (1.9), в которой константа с зависит от постоянных cq и с2 из условий (1), (3).

Доказательство теоремы единственности обобщенного решения приведено в [18, с. 55].

Примером задачи с сильно монотонным оператором может слу-

о

жить задача минимизации на пространстве w],{&)• v > 1 (см- [54,

о

с. 305]): найти такую функцию и что

J {и) = inf J(v), (5)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гогин, Алексей Павлович, 2014 год

Литература

1. Бесселинг, И.Ф. Методы конечных элементов / И.Ф. Бессе-линг // Механика деформированных твердых тел. Направления развития. — М.: Мир, 1983. - С. 22-51.

2. Быченков, Ю.В. Итерационные методы решения седловых задач / Ю.В. Быченков, Е.В. Чижонков. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010.

3. Вайнберг, М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. — М.: Наука, 1972.

4. Вербицкий, A.B. Смешанный метод конечных элементов в задаче о пологой оболочке с функцией напряжений /A.B. Вербицкий, В.В. Вербицкий //Известия вузов. Математика, №5, 2009.

с. 13 22

5. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравенния и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грёгер, К. Захариас. - М.: Мир, 1978.

6. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы. — М.: Мир. 1984.

7. Гилбарг, Д. Элиптичсские дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, М. Тру-дингер. М.: Наука, 1989

8. Голушков, В.Г. Смешанный метод конечных элементов в задачах теории оболочек / В.Г. Голушков, Л.В. Масловская // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 34, 5 (1994). — с. 748-769.

9. Гогин, А.П. Об одном итерационном методе для смешанных схем конечных элементов / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Ученые записки Казанского ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2011, т. 154, ки 4, с. 5-10.

10. Гогин, А.П. Итерационный метод для смешанных схем конечных элементов / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование», Ижевск, 15-18 мая 2012 г. — с. 15 -17.

11. Гогин, А.П. Об итерационных методах для некоторых классов смешанных схем для квазилинейных эллиптических уравнений / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Материалы Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», Казань, 17-21 сентября 2012 г. — Казань: Отечество. - 2012. - с. 90-94.

12. Гогин, А.П. Об оценках погрешности одного варианта смешанного метода конечных элементов / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Ученые записки Казанского ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2013, т. 155, кн. 2, с. 44-53.

13. Гогин, А.П. О сходимости одного класса смешанных методов для квазилинейных эллиптических уравнений / А.П. Гогин, М.М. Карчевский /'/ Материалы XII Всероссийской молодежной школы-конференции "Лобачевские чтспия-2013". — Казань, 2013. с. 29-31.

14. Гогин, А.П. Об оценках точности одного варианта смешанного метода конечных элементов / А.П. Гогин, М.М. Карчевский // Материалы XVIII Международной конференции по вычислительной механике и современным программным системам, 2231 мая 2013, г. Алушта с. 60 68.

15. Голованов, А.И. Введение в МКЭ статики тонких оболочек / А.И. Голованов, М.С. Корнишин. — Казань: изд-во КФ АН СССР, 1990. - 269 с.

16. Даутов, Р.З. Введение в теорию метода конечных элементов: учебное пособие. Изд. 2-е, испр. / Р.З. Даутов, М.М. Карчевский. — Казань: Казан, ун-т, 2011. — 240 с.

17. Деклу, Ж. Метод конечных элементов. — М.: Мир, 1976.

18. Дубинский, Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка// Успехи мат. наук. — Т. 23, вып 1 (1968) с. 45-90.

19. Дьяконов, Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. — М.: Наука. 1989. - 272 с.

20. Заботина, Л.III. Исследование смешанных схем конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек: дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-матем. наук Казань, 1996.

21. Заботина, Л.III. Итерационные методы для смешанных схем конечных элементов решения нелинейных задач теории оболочек / Л.Ш. Заботина, М.М. Карчевский //' Вычислительные технологии, 3, N 4, 1998. - с. 24-35.

22. Заботина, JI.III. О смешанных схемах конечных элементов для нелинейных задач теории непологих оболочек / Л.Ш. Заботина, М.М. Карчевский // Вестник КГТУ им А.Н. Туполева. 1998. N 1- с. 48-54.

23. Заботина, Л.Ш, Схемы типа Германа-Джонсона для неиней-ных задач теории оболочек / Л.Ш. Заботина, М.М. Карчевский /7 Актуальные проблемы механики оболочек. Труды международной конференции, посвященной 100-летию профессора Х.М.Муштари, 90-летию профессора К.З.Галимова и 80-летию профессора М.С. Корнишина. Казань. с. 26 30.

24. Задворнов, O.A. Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника / O.A. Задворнов /7 Известия вузов. Математика. — 2005. — №1. — с. 5863.

25. Задворнов, O.A. Применение смешанных схем МКЭ для ра-шения задач нелинейной теории фильтрации / O.A. Задворнов, М.М. Карчевский, А.Е. Федотов // Известия вузов. Математика. - 2007. - №8. - с. 1G-2G.

26. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.

27. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган. — М.: Мир, 1981.

28. Икрамов, Х.Д. Несколько замечаний по поводу обобщенного алгоритма Холесского / Х.Д. Икрамов / / Журнал вычисл. ма-тем. и матем физ. 1992. - Т. 32, N 7, С. 1126-1130.

29. Карчевский, М.М. Разностные схемы для нелинейных уравнений математической физики / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко. — Казань: Изд-во КГУ, 1976.

30. Карчевский, М.М. О смешанном методе конечных элементов в нелинейной теории тонких оболочек / М.М. Карчевский // Журнал вычисл. матем. и матем физ. 1998. Т. 38 N 2. — С. 324329.

31. Карчевский, М.М. Схемы типа Германа - Джонсона для вариационных задач теории оболочек / М.М. Карчевский // Третий Всероссийский семинар "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач". Материалы всероссийского семинара (Казань, 18-21 сентября 2000 года), Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2000. — с. 48-50.

32. Карчевский, М.М. Об итерационных методах численной реализации смешанных схем для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка / М.М. Карчевский /'/' Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ, вып. 25, 2000. - с. 59-69.

33. Карчевский, М.М. Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений четвертого порядка / М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко, М.Р. Ти-мербаев /7 Дифференциальные уравнения. Т. 36 N 7 (2000). — 12 с.

34. Карчевский, М.М. Смешанные методы конечных элементов в нелинейной теории оболочек / М.М. Карчевский /'/ Всероссийская конференция "Математическое моделирование и проблемы

экологической безопаности сборник трудов, Ростов-на-Дону, Издательство РГУ, с. 101-110.

35. Карчевский, М.М. Смешанные схемы типа Германа-Джонсона для геометрически нелинейных задач теории оболочек / М.М. Карчевский /7 Современные проблемы математического моделирования. Ростов-на-Дону, 2001.

36. Карчевский, М.М. Исследование смешанных методов типа Германа - Джонсона для нелинейных задач теории оболочек / М.М. Карчевский, Л.Ш. Мовчан // Вестник Казанского технического университета им. А.Н. Туполева, 2002, N 3, с. 30-35.

37. Карчевский, М.М. Об одном варианте смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений / М.М. Карчевский, А.Е. Федотов // Исследования по прикладной математике и информатике. — Казань: КГУ, 2003, вып. 24. - с. 74-80.

38. Карчевский, М.М. Об одном подходе к построению смешанных схем МКЭ для квазилинейных эллиптических уравнений / М.М. Карчевский // Материалы Пятого Всероссийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и их приложения», Казань 17-21 сентября 2004 г. — Казань: Изд-во Казанского ун-та. - 2004. - С. 108-111.

39. Карчевский, М.М. Об итерационных методах численной реализации смешанных схем для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка / М.М. Карчевский // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ. 2004. Вып. 25. С. 59-69.

40. Карчевский, М.М. Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся эллиптических уравнений / М.М. Карчевский, А.Е. Федотов // Ученые записки Казанского государственного университета, т. 147, кн. 3, 2005, с. 127-140.

41. Карчевский, М.М. Апостериорная оценка погрешности смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений / М.М. Карчевский, А.П. Гогин // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта, Крым, 25 31 мая 2011 г. М: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. - С. 89-90.

42. Карчевский, М.М. Об оценке погрешности одного варианта смешанного метода конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений / М.М. Карчевский // Материалы Девятой Всероссийской конференции «Сеточные методы для краевых задач и приложения», Казань, 17-21 сентября 2012 г. — Казань: Отечество. - 2012. - С. 220-222.

43. Корнеев, В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. — Л.: ЛГУ, 1977.

44. Ладыженская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа /' O.A. Ладыженская. H.H. Уральцева. — М.: Наука, 1973

45. Масловская, JI.B. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач / Л.В. Масловская / ' Журнал вычисл. матем. и матем физ. - 1989. - Т. 29. - N 1. - С. 67-74.

46. Масловская, JI.В. Об условиях применимости обобщенного алгоритма Холесского / JI.B. Масловская // Журнал вычисл. ма-тем. и матем физ. - 1992. - Т. 32. - N 3. - С. 339-347.

47. Михлин, С.Г. Численная реализация вариационных методов. — М.: Наука, 1966.

48. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. Фриз. - М.: Мир, 1981.

49. Обен, Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач / Ж.П. Обен. Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.

50. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976. — 465 с.

51. Самарский, A.A. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самарский, Е.С. Николаев. — М.: Наука, 1978.

52. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов -М.: Мир, 1979.

53. Стренг, Г. Теория МКЭ / Г. Стренг, Дж. Фикс — М.: Мир, 1977.

54. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с.

55. Темам, Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ. - М.: Мир, 1981.

56. Федотов, А.Е. Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений: дисс. на соискание ученой степени канд. физ.-матем. наук — Казань, 2007. — 112 с.

57. Шакиров, А.Р. Исследование итерационных методов численной реализации смешанных схем для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Дипломная работа, выполненная в КФУ. — Казань: 2012. — 71 с.

58. Яковлев, Г.Н. Некоторые свойства решений квазилинейных эллиптических уравнений. Труды Математического института АН СССР - 1975, т. 134, с. 389-404.

59. Arnold, D.N. Mixed and nonconforming finite element methods: implementation, postprocessing and error estimates / D.N. Arnold, F. Brezzi // RAIR.0 - Modélisation mathématique et analyse numerique, 19 no. 1 (1985). — pp. 7-32.

60. Aubin, J.P. Some aspects of the method of the hypercircle applied to elliptic variational problems / J.P. Aubin, H.G. Burchard, in SYNSPADE 1970 (B.Hubbard, editor), Academic Press, New York, 1971.

61. Babuska, I. Error-bounds for finite element method / I. Babuska // N inner. Math. 16 (1971). - pp. 322-333.

62. Babuska, I. The finite element method with lagrangian multipliers // Numer. Math., 20 (1973). - pp. 179-192.

63. Babuska, I. Mixed-hybrid finite element approximations of second-order elliptic boundary-value problems / I. Babuska, J. T. Oden, J. K. Lee /'/' TICOM Reports 75—7. The University of Texas at Austin, Austin, 1975.

64. Babuska, I. Analysis of mixed methods using mesh dependent norms / I. Babuska, J. Osborn, J. Pitkaranta /7 Math. Сотр. 35, no. 152, (1980). pp. 1039 1062.

65. Blum, H. On mixed finite element methods in plate bending analysis / H. Blum, R. Rannacher // Computational Mechanics, Volume 6, Issue 3, 1990. — pp. 221-236.

66. Braess, D. Finite Elements: Theory, Fast Solvers, and Applications in Solid Mechanics. — Cambridge: Cambridge University Press, 2007.

67. Brezzi, F. On the existence, uniqueness and approximation of saddle-point problems arising from lagrangian multipliers / F. Brezzi / / ES AIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis -Modélisation Mathématique et Analyse Numerique, Volume 8, Issue R2 (1974). - pp. 129-151.

68. Brezzi, F. Mixed finite element methods for 4th order elliptic equations / F. Brezzi, P. A. Raviart // Rapport interne No. 9, Centre de Mathématiques Appliquées, Ecole Polytechnique, Palaiseau, 1976.

69. Brezzi, F. Two families of mixed finite elements for second order elliptic problems / F. Brezzi, J. Douglas, L.D. Marini // Numer. Math., 47 (1985). - pp. 217-235.

70. Brezzi, F. Recent results on mixed finite element methods for second order elliptic problems / F. Brezzi, J. Douglas, L.D. Marini // in Vistas in Applied Math., Numerical Analysis, Atmospheric Sciences. Immunology (Balakrishanan. Dorodnitsyn, and Lions, eds.), Optimization Software Publications, New York, 1986.

71. Brezzi, F. Mixed finite elements for second order elliptic problems in three variables / F. Brezzi, J. Douglas, R. Duran, M. Fortin. — Numer. Math., 51 (1987), pp. 237-250

72. Brezzi, F. Mixed and Hybrid Finite Element Methods / F. Brezzi, M. Fortin. — Springer series in Corrip. Math., 1991.

73. Carstensen, C. Three Matlab Implementations of the Lowest-order Raviart-Thomas Mfem with a Posteriori Error Control / C. Bahriawati, C. Carstensen // Comput. Methods Appl. Math. Volume 5, Issue 4 (2005) - pp. 333-361.

74. Crouzeix, M. Conforming and non-conforming finite element methods for solving the stationary Stokes equations / M. Crouzeix, P.A. Raviart // R.A.I.R.O. Anal. Numer. 7 (1973). - pp. 33-76.

75. Douglas, J. Global estimates for mixed methods for second order elliptic equations / J. Douglas, J.E. Roberts // Math. Comp., vol. 44, 169, (1985). - pp. 39-52.

76. Duran, R.G. On the convergence of a triangular mixed finite elementmethod for Reissner-Mindlin plates / R.G. Duran, E. Liberman // Math. Mod. Meth. Appl. Sci. 6(3), 1996. - pp. 339352.

77. Duran, R.G. Mixed Finite Element Methods / R.G. Duran // Mixed finite elements, compatibility conditions, and applications. — Berlin: Springer; Florenz: Fondazione CIME Roberto Conti. Lecture Notes in Mathematics 1939, 2008. pp. 1-44.

78. Falk, P.S. Error estimate for mixed method / P.S. Falk, J.E. Osborn // RAIRO. Numer. Anal. V. 14, N 3 (1980). - pp. 249-277.

79. Farhloul, M. A mixed finite element method for a nonlinear Dirichlet problem / M. Farhloul /'/' IMA. J. Num. Analysis, 18. — 1998 pp. 121-132.

80. Farhloul, M. On a mixed finite element method for the p-laplasian / M. Farhloul, H. Manouzi // Canadian Applied Mathematics Quathrly, V. 8, No 1, Spring, 2000. - pp. C7-78.

81. Farhloul, M. Mixed finite element analysis of a non-linear three-fields Stokes model / M. Farhloul, H. Manouzi// IMA J Numer Anal, 21, 1 (2001). - pp. 143-164.

82. Fortin, M. Résolution numérique des équations de Navier-Stokes par des éléments finis de type mixte / M. Fortin // in Journées Eléments Finis, Université de Rennes, Rennes, 1976.

83. Fortin, M. An analysis of the convergence of mixed finite element methods / M. Fortin /7 R.A.I.R.O. Anal. Numer. 11, (1977). -pp. 341-354.

84. Girault, V. Finite element approximation of Navier—Stokes equations / V. Girault, P.A. Raviart // Lecture Notes in Math. 749, Springer-Verlag, Berlin, 1979.

85. Girault, V. Finite element methods for Navier Stokes equations, theory and algorithms / V. Girault, P.A. Raviart. — Berlin, SpringerVerlag, 1986.

86. Gogin, A.P. An iterative method for mixed finite element schemes / A.P. Gogin, M.M. Karchevsky // Lobachevskii Journal of Mathematics, Volume 33, Issue 4 (2012). pp. 400 404.

87. Haslinger, J. Curved elements in a mixed finite element method close to the equilibrium model / J. Haslinger, I. Hlavacck //' Apl. Mat. 20 (1975) - pp. 233-252.

88. Haslinger, J. A mixed finite element method close to equilibrium model / J. Haslinger, I. Hlavacek /7 Numer. Math. 26 (1976) — pp. 85-97.

89. Haslinger, J. A mixed finite element method close to equilibrium model applied to plane elastostatics / J. Haslinger, I. Hlavacek // Apl. Mat. 21 (1976) - pp. 28-42.

90. Hellan, K. Analysis of Elastic Plates in Flexure by a Simplified Finite Element Method / K. Hellan // Acta Polytechnica Scandinavica, Ci 46, Trondheim, 1967. — pp. 1-29.

91. Hermann, L. Finite element bending analysis for plates / L. Herrmann /7 Journal of Mechanics Divivision, ASCE. EM5 93 (1967). pp. 49-83.

92. Hoppe, R.H.W. Lectures on Finite Element Methods. University of Houston. URL: http://www.math.uh.edu/~rohop/spring_ll/ index.html, свободный, 2005.

93. Johnson, C. Convergence of another mixed finite-element method for plate bending problems /' C. Johnson // Report No. 1972-27, Department of Mathematics, Chalmers Institute of Technology and the University of Goteborg, Goteborg, 1972.

94. Johnson, C. On the convergence of a mixed finite-element method for plate bending problems / C. Johnson // Numer. Math. 21 (1973). - pp. 43-62.

95. Karchevsky, M.M. Error estimates and iterative procedure for mixed finite element solution of second-order quasi-linear elliptic problems / M.M. Karchevsky, A.E. Fedotov // Computational

Methods in Applied Mathematics. - 2004. - V. 4. - No 4. - pp 445-4G3.

96. Kikuchi, F. On the convergence of a mixed finite element scheme for plate bending /' F. Kikuchi, Y. Ando // Nuclear Engineering and Design, Volume 24, Issue 3 (1973). - pp. 357-373.

97. Kikuchi, F. Theory and examples of partial approximation in the finite element mathod / F. Kikuchi // Internal. J. Numer. Methods Engrg. 10 (1976) - pp. 115 122.

98. Kim, D. A priori and a posteriori analysis of mixed finite element methods for nonlinear elliptic equations / D. Kim, E.-J. Park // SIAM Journal on Numerical Analysis, 2010, Vol. 48, No. 3. — pp. 1186-1207.

99. Milner, F.A. Mixed finite element methods for quasilinear second-order elliptic problems / F.A. Milner // Math. Cornp. 44, no. 170 (1985). - pp. 303-320.

100. Milner, F.A. A mixed finite element method for a strongly nonlinear second-order elliptic problem / F.A. Milner, E.-J. Park // Math. Comp. Vol.64 (1995). - pp. 973-988.

101. Milner, F.A. Mixed finite clement methods for Hamilton-Jacobi-Bellman-type equations / F.A. Milner, E.-J. Park // IMA J. Numer. Anal. Vol.16 (1996). pp. 399 412.

102. Miyoshi, T. Finite element method for the solutions of fourth order partial differential equations / T. Miyoshi /7 Kumamoto J. Sci. (Math.) 9 (1973). - pp. 87-116.

103. Miyoshi, T. A mixed finite element method for the solution of the Karman equations / T. Miyoshi // Numer. Math. 26 (1976). — pp. 255-269.

104. Miyoshi, T. Application of a mixed finite element method to a nonlinear problem of elasticity / T. Miyoshi //In Proceedings of the Symposium on the Mathematical Aspects of the Finite Element Methods, Rome, Decembre 1975, Lect, Notes Math. 606, (1977). — pp. 210-223.

105. Miyoshi, T. Some aspects of a mixed finite element method applied to fourth order partial differential equations / T. Miyoshi //In Proceedings of the Second IRIA Symposium on the Computer Methods in Applied Science and Engineering, Versailles, Decembre 1975, Lecture Notes Phys. 58 (1976). - pp. 237-256.

106. Nedelec, J.C. Mixed finite elements in 7?3 /' J.C. Nedelec — Numer. Math., 35 (1980), pp. 315-341.

107. Nedelec, J.C. New family of mixed finite elements in R3 / J.C. Nedelec //' Numer. Math. 50 (1986). - pp. 57-81.

108. Park, E.-J. Mixed finite element methods for nonlinear second-order elliptic problems / E.-J. Park // SI AM J. Numer. Anal. 32 (1995), no. 3. - pp. 865-885.

109. Poceski, A. A mixed finite element method for bending of plates / A. Poceski // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 9 (1975). — pp. 3-15.

110. Raviart, P.-A. A mixed finite element method for 2-ond order elliptic problems / P.-A. Raviart, J.M. Thomas //' Lecture Notes in Math. 606 (1977). pp. 292 315.

111. Roberts, J.E. Mixed and hybrid finite element methods / J.E. Roberts, J.M. Thomas // in Handbook of numerical analysis, Vol. II, Finite element methods, Part 1 (P.G. Ciarlet and J.L. Lions, eds.). North-Holland, Amsterdam, 1989.

112. Stenberg, R. Some New Families of Finite Elements for the Stokes Equations / R. Stenberg // Numer. Math. 5G (1990). — pp. 827-838.

113. Stenberg, R. Postprocessing schemes for some mixed finite elements / R. Stenbeg // ES AIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis - Modélisation Mathématique et Analyse Numerique, Volume 25, Issue 1 (1991). — pp. 151-167.

114. Thomas, J.M. Sur l'analyse numerique des methodes d'elements finis hybrides et mixtes / J.M. Thomas // These, Universite Pierre et Marie Curie, Paris, 1977.

115. Visser, W. A refined mixed type plate bending element /' W. Visser // AIAA Journal, Vol. 7, No. 9 (1969).- pp. 1801-1803.