Математическое моделирование состояний сред с малоразмерными включениями на основе метода конечных суперэлементов Федоренко тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Лазарева, Светлана Александровна

• Лазарева, Светлана Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лазарева, Светлана Александровна

Введение 5 1. Численное решение краевых задач с особенностями для эллиптических уравнений и систем

1.1. Численное решение задачи о скважине для уравнения Лапласа

1.1.1. Модельная задача о скважине

1.1.2. Варианты задания граничных базисных функций МКСЭ

1.1.3. Зависимость ошибки от способа граничной интерполяции

1.1.4. Данные об ошибках

1.1.5. Зависимость точности от количества суперэлементов

1.1.6. Сравнение эффективности с обычным МКЭ

1.2. Численное исследование МКСЭ на примере системы уравнений линейной теории упругости

1.2.1. Постановка модельной задачи

1.2.2. Варианты МКСЭ

1.2.3. Интерполяция следов решения конечными элементами

1.2.4. Результаты расчетов

1.2.5. Задача анализа композитного материала

1.2.6. Определение усредненных параметров упругости

1.3. МКСЭ для анализа электрофизических свойств проводящих объектов

1.3.1. Постановка тестовой задачи

1.3.2. Алгоритм МКСЭ для определения электрического потенциала

1.3.3. Тестовый расчет плотности тока

1.3.4. Расчет усредненной проводимости пористого материала

1.3.5. Результаты расчетов

2. Теоретическое исследование аппроксимаций МКСЭ в соболевских пространствах

2.1. Обозначения и определения

2.2. Доказательство насыщаемости МКСЭ

2.2.1. Оценка наилучшего приближения в Н\П)

2.2.2. Насыщаемость. Неравенство Джексона в МКСЭ

2.2.3. Доказательство насыщаемости. Оценки погрешностей для v г

2.2.4. Оценки погрешностей для случая v г

2.3. Априорные оценки погрешностей МКСЭ в пространстве Н

2.4. Об общих свойствах аппроксимационных пространств метода 127 2.4.1. Свойства аппроксимационных пространств МКСЭ.

Неравенство Бернпггейна

3. Исследование влияния способов численной реализации МКСЭ на приближение производных решения

3.1. Локальная гладкость и асимптотическое представление численного решения МКСЭ вблизи границы декомпозиции

3.1.1. Свойства гладкости приближенного решения МКСЭ

3.1.2. Асимптотическое разложение функции класса НЛ(А)

3.2. Погрешности приближения производных решения МКСЭ

3.2.1. Аппроксимация производных решения в Н\С1)

3.2.2. Проблематика оценок по шкале HM(Q)

3.2.3. Локальные погрешности приближения первых производных

3.2.4. Локальные погрешности для М>

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование состояний сред с малоразмерными включениями на основе метода конечных суперэлементов Федоренко»

Актуальность работы

Широкий класс важных прикладных задач характеризуется наличием неодно-родностей (геометрической или физической природы), которые проявляются на малых участках пространственной области. Актуальной задачей является описание явлений и процессов, поведение которых в небольших подобластях сопровождается быстрым ростом или внезапным скачком исследуемой физической величины, ее производной, резкими изменениями определяющих характеристик среды или геометрии. Известны задачи, в которых неточный расчет сравнительно небольших элементов или частей решения приводит к физически неверной картине явления.

Развитие численных методов для решения данного класса задач в значительной степени это стимулируется продолжающимся процессом миниатюризации объектов исследования и необходимостью повышения эффективности численных алгоритмов и программных комплексов, позволяющих автоматизировать проведение расчетов.

Данная работа посвящена математическому моделированию состояний сред с малоразмерными включениями на основе метода конечных суперэлементов (МКСЭ), предложенного Р.П. Федоренко с соавторами [51, 74], разработке различных модификаций метода, их детальному теоретическому и численному анализу для решения задач описанного класса.

Разработка метода математического моделирования предполагает проведение исследований по трем основным направлениям: анализ математических моделей; разработка и теоретическое исследование численных алгоритмов; создание программного комплекса, в котором реализованы данные алгоритмы, и проведение с его помощью численных расчетов. В диссертации представлены все перечисленные направления.

Конкретные побудительные мотивы проведения исследований, представленных в диссертации, следующие:

1. Фундаментальной проблемой является разработка и исследование базовых математических моделей (в том числе вычислительных) процессов и явлений, протекающих в областях, которые содержат подобласти с резко неоднородными свойствами. Это, например, задачи моделирования процессов, протекающих в материалах с мелкими порами, в слоистых средах, в подобластях с разрывами характеристик (сопряжение идеального проводника и диэлектрика, сопряжение материалов с различными параметрами упругости и т.д.), задачи исследования свойств ядерных реакторов, задачи создания композитов, задачи определения полей вблизи малых частиц, задачи расчета распределения электростатического потенциала двойного слоя и многие другие. Особенности их решений включают сингулярности решения около точечных источников, около ребер и углов, точки возврата, пограничные слои, скачки производных на границах различных материалов и т.п. Известны различные методы расчета таких задач. Однако большинство подходов, применяемых на достаточно произвольных двух- и трехмерных областях, используют адаптивные сетки с большим числом узлов, что существенно увеличивает объем обрабатываемых данных. При этом погрешность расчета напрямую зависит от размера сеточного шага.

Разработка новых эффективных, теоретически и экспериментально обоснованных алгоритмов и программ для решения задач описанного класса, а также решение вопроса об определении точности их решения, является ключевым моментом в повышении эффективности решения рассматриваемых проблем в целом.

2. Метод конечных суперэлементов Федоренко уже был апробирован ранее. Изначально он был использован Р.П. Федоренко совместно с его коллегами для решения задач кинетики ядерных реакторов [30], задачи о трещине гидроразрыва [74] и других [51, 66, 67]. Однако метод был разработан только для одномерной и двумерной постановок. Расчет решения задач в пространственно-трехмерном случае представляет огромный интерес для приложений. Рассмотрение и исследование возможных модификаций метода открывает возможности для разработки в определенном смысле оптимального подхода к расчетам "сложных" в вычислительном отношении задач. Расчеты с помощью МКСЭ были проведены и несколько позже [26, 52, 62, 100, 102, 105, 108]. При этом метод показал свою высокую численную эффективность при определенном выборе способа его построения и реализации.

Теоретическое исследование МКСЭ начато в работах [25, 107, 153] и некоторых других. Однако работы [25, 107] посвящены только доказательствам его сходимости на определенном классе функций и аппроксимации соответствующих решений.

3. В последние годы большое значение придается распараллеливанию численных алгоритмов для решения краевых задач на многопроцессорных вычислительных комплексах. Метод конечных суперэлементов Федоренко входит в класс методов, в которых решение исходной задачи сводится к решению серии более простых задач. Методы данного класса в особенности эффективны в связи с возможностью реализации этих алгоритмов на многопроцессорных и параллельных электронно-вычислительных машинах (ЭВМ).

4. Построенные варианты метода наглядны и наследуют принципы проекционных методов и методов разделения области (декомпозиции). Это делает их реализацию и принципы построения распространимыми на многие типы задач в неоднородных или неодносвязных областях.

Цели и задачи исследования

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию состояний сред с малоразмерными включениями на основе метода конечных суперэлементов Федоренко.

Целью работы является численное и теоретическое исследование аппроксимаций МКСЭ, анализ его различных модификаций для задач данного класса:

1.Программная реализация и применение МКСЭ для исследования состояний сред с малоразмерными включениями и определения их характеристик.

2.Теоретический анализ вариантов МКСЭ.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Реализация и численный анализ различных вариантов аппроксимаций метода. Разработка программного комплекса для численного решения двумерной задачи для уравнения Лапласа в неодносвязной области, трехмерных задач линейной теории упругости и задачи определения эффективных параметров композитного материала, трехмерной задачи анализа электрофизических свойств неоднородных проводящих объектов.

2. Получение априорных оценок погрешностей метода в пространствах С.Л. Соболева на примере эллиптического уравнения Лапласа в двумерной постановке. Установление насыщаемости метода и вывод неравенств типа Джексона и Бернштейна для приближений МКСЭ.

3. Локальное исследование гладкости численных решений МКСЭ в окрестностях углов декомпозиции на примере уравнения Лапласа.

4. Анализ погрешностей приближения производных методом конечных суперэлементов Федоренко. Получение нижней оценки погрешности в одном частном случае. '

Метод конечных суперэлементов предложен в работах Р.П. Федоренко и его коллег [30, 51, 66, 67, 74]. Он входит в класс численных методов, основанных на декомпозиции области. Метод характеризуется особой, нестандартной, аппроксимацией решения. Остановимся подробнее на его теоретическом обосновании, приведенном в работах [25,107], и основных характеристиках.

Рассмотрим в пространственной области О с границей оП задачу вида

Аи = / аа, u\sa=g. (0.1) где А - некоторый линейный эллиптический оператор, Ж - гильбертово пространство, ие1¥ - слабое решение задачи (0.1). Пусть у - оператор вычисления следа на границе, действующий из Ж в гильбертово пространство V. Далее будем использовать формулу Грина [61]. При определенных условиях существует единственный оператор 6, действующий из пространства Ж в пространство, сопряженное к V, такой, что

Аи,у) = а(и,у)-(би,1п>) \fvbW, (0.2) где (•,•) - скалярное произведение в ¡V, (•,•) - скалярное произведение в V (билинейная форма), я(-,-) - билинейная форма, порожденная оператором А [61]. Конкретный вид операторов 5, у и формы а(-,-) определяется видом оператора А.

Оператор Пуанкаре-Стеклова задачи [3, 43] действует по правилу Р(р = Ш| , где II - решение задачи

Аи = 0вП,

Представим теперь область О в виде объединения непересекающихся подобластей-суперэлементов 0.к. Тогда задача определения следов решения на границах суперэлементов может быть записана в виде следующего вариационного уравнения [25, 107] ре V: = '^Го, (0.3)

К<Р>¥) = ^(Рк<Рк,¥к)>

Рк - оператор Пуанкаре-Стеклова, соответствующий области 0.к. Решение (р этой задачи - след решения и исходной задачи на границах суперэлементов с точностью до некоторой заранее известной функции. Билинейная форма Ь(-,-) определена с помощью соответствующих операторов Пуанкаре-Стеклова; правая часть Р определена граничными условиями и правой частью исходной задачи; V , У0 -подходящие пространства следов (для функций из пространства Ж ).

МКСЭ может рассматриваться как метод Галеркина-Бубнова или Галеркина-Петрова решения уравнения (0.3) для следов. Тогда его конечномерные аппроксимации имеют вид где У/1, У0/1 - конечномерные аналоги пространств У , У0. Различный выбор пространств Уи приводит к различным вариантам метода.

Здесь существенным является наличие для конкретной задачи формулы Грина (соотношения, связывающего интегрирование по области с интегрированием по границе) и оператора Пуанкаре-Стеклова, описывающего реакцию решения задачи в целом на внешнее воздействие на границе области.

Операторы Пуанкаре-Стеклова предложены в работах В.И. Лебедева и В.И. Агошкова [3, 43] при исследовании методов разделения области. Эти методы можно рассматривать как итерационные методы решения уравнений для следов искомого решения на границах некоторых подобластей. При этом МКСЭ Федо-ренко можно рассматривать как проекционный метод решения тех же уравнений для следов. Разработанная в работах [25, 107] методика может быть формально распространена на большой класс эллиптических задач с оператором дивергентного вида.

Однако остаются открытыми следующие важные вопросы: определение порядка сходимости; выявление аппроксимационных параметров, влияющих на сходимость как решения, так и его производных; получение априорных оценок погрешности приближения МКСЭ; исследование приближенного решения в углах декомпозиции. Эти и другие исследования затруднены особой, нетривиальной аппроксимацией решения в МКСЭ. Здесь возникает необходимость работать уже не со слабыми, а преимущественно с сильными (и гладкими) решениями соответствующих задач. Такая работа сопряжена со значительными трудностями и требует нового подхода к разработке и теоретическому анализу МКСЭ.

Укажем далее некоторые известные методы решения задач с локальными особенностями и подходы, имеющие связь с МКСЭ Федоренко.

Одно из рассмотренных направлений составляют методы, основанные на технологии метода конечных элементов (МКЭ) [7, 55, 70, 152]. Здесь обычно используются сетки со сгущением в окрестностях особенностей и финитные базисные функции, имеющие полиномиальную структуру. Это приводит к увеличению размерности итоговой системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и требует создания специальных генераторов для адаптивной дискретизации области. Отдельно можно выделить трудности, связанные с разработкой сеточных методов [8, 9, 17, 64,71,75].

Другое направление посвящено разработке аппроксимаций специального вида. Подобные методы используют особые финитные функции или модифицированные способы разбиения. Как правило, используются крупные сетки, возможно сведение к граничным уравнениям, а технология приближения содержит в себе некоторую информацию об исходном уравнении или системе уравнений в частных производных. МКСЭ можно отнести к данному направлению. Метод использует аппроксимацию особого вида на крупной (суперэлементной) сетке. При этом каждая стратифицированная особенность заключена строго в одном из суперэлементов.

МКСЭ идейно связан со многими другими методами, хотя он изначально был создан и начал свое развитие в качестве самостоятельного подхода. Отметим следующие методы:

I. сеточные и конечно-элементные (КЭ) методы с аналитическим учетом особенностей [17, 97];

2.обойденный метод конечных элементов [127];

3."h-p" модификации конечных элементов [152];

4.иерархические элементы [29];

5.метод граничных элементов (МГЭ) [85];

6.гибридные конечные элементы [132];

7.элементы типа Треффтца [135];

8.особые КЭ с включениями или отверстиями [152];

9. метод фиктивных канонических областей [77];

10. метод "residual free bubbles" [86];

II. несовместные (неконформные) элементы [70, 132];

12. разрывные методы Галеркина [148];

13. векторные конечные элементы [12];

14. методы декомпозиции [87];

15. метод суперэлементов (МСЭ) [54].

Данная выборка в некоторой степени субъективна, она определенно не является исчерпывающей. Большинство из перечисленных методов отмечены тем, что повлияли на исследования автора непосредственно.

Трудности, возникающие при численном решении задач с сингулярностями решения, привели к созданию алгоритмов, сочетающих аналитические и численные методы. При этом предполагается, что численный метод строится на базе учета имеющейся особенности решения. С этой точки зрения необходимо исследовать особенность решения задачи аналитическим способом и построить численный метод, соответствующий этой особенности.

В работах [16, 17, 19] предложены сеточные методы для решения эллиптических уравнений в областях с угловыми точками. В них решение имеет особенность вида гл!", где Опр - полярная система координат, О - угловая точка, а -раствор угла [18, 58, 75, 124]. Для а>п это приводит к обращению в бесконечность первых и последующих производных при г — 0. В соответствии с предложенным подходом в углу раствора а вводится специальная сетка в координатах {г,ф), согласованная с решением и позволяющая передать особенность.

В работах [75, 76] для учета сингулярности того же типа построена схема, явным образом учитывающая имеющуюся особенность и являющаяся точной на решениях описанного класса.

Задача расчета решения, содержащего сингулярности, исторически была одной из первых задач, использующих особые конечные элементы, учитывающие особенность в рамках обычного МКЭ. В работах [47, 97] для разрешения сингулярно-стей вида г~у $т(со(р), где со, V > 0 - известные параметры, использовано расширение стандартного конечно-элементного базиса функциями вида р(г)г~1' &т((о<р), где кусочно-полиномиальная срезающая функция р(г) [58, 124] принимает единичное значение в круге 0 < г < г0, в кольце г0 < г < г, плавно убывает до нуля и тождественно равна нулю вне этого кольца (здесь г0, г\ - задаваемые и регулируемые параметры). Срезающая функция позволяет корректно избавиться от сингулярности, а также сохранить разреженность матрицы жесткости.

Идея обобщенного метода конечных элементов возникла из попыток сохранения как точности получаемого решения, так и разреженности матриц жесткости. Однако это его преимущество отягощено дополнительной алгоритмической и вычислительной сложностью.

В обобщенном МКЭ расчетная область покрыта N перекрывающимися подобластями С>( . В каждой из подобластей решение аппроксимируется независимо.

Набор финитных функций построен так, чтобы удовлетворить принципу разбиения единицы": N

Рг =1 В О, вирр^ =Ц.

1=1

Тогда решение и может быть представлено следующим образом:

N N

И = = XX' ' ГДе и1 ~ и(Рь ~ еГ° КОМПОНеНТ На •

1 ¿=1

Если предположить, что локально, в пределах каждой подобласти О., решение и1 аппроксимируется линейной комбинацией некоторых базисных функций а то результирующая система , разложением по которой ищется решение, будет построена из функций gi a с весом ^:

Главным достоинством обобщенного МКЭ является возможность произвольного задания аппроксимационных функций (которые не ограничены множеством полиномов) и, следовательно, существует достаточная гибкость выбора приближения в окрестностях особенностей решения. В сравнении со схемой МКЭ метод как алгоритмически, так и с точки зрения вычислений отягощен дополнительными сложностями. Умножение на функции (р{ усложняет результирующую систему функций ц/1а, может привести не только к ее плохой обусловленности, но даже линейной зависимости ее элементов [79]. Применение метода усложняет задание граничных условий, вычисление градиентов и в некоторых случаях может существенно увеличить число степеней свободы элементов [147].

В соответствии с принципами МКЭ в окрестностях особенностей проводится перестройка конечных элементов. Существует множество способов ее осуществления. Все они направлены на уменьшение погрешностей и адаптивную подстройку приближения под тип особенности после получения конечно-элементного решения. В широком смысле выделяются две категории: техника "Ъ-" и "р-" измельчения КЭ [152]. Процедура Ь-измельчения использует единственный класс элементов, размер которых изменяется. Процедура р-измельчения не изменяет размер элемента, но увеличивает порядок используемых им полиномов. Как правило, увеличение порядка происходит иерархически. Этот тип аппроксимации резко отличается от приближения стандартного вида, где уточнение решения происходит посредством увеличения общего числа используемых базисных функций при остающейся неизменной форме базисных функций низших степеней: для которого й - приближенное решение; а1 - параметры разложения, отождествляемые со значениями аппроксимации в узлах; (р1 - фундаментальный многочлен Лагранжа степени N. В разложении (0.4) базисные функции разных степеней существенно отличаются по виду, и для разных порядков аппроксимации получаются совершенно различные матрицы элементов.

Иерархические базисные функции МКЭ - это полиномиальные функции высших степеней, определяемые посредством аддитивного уточнения. К линейной базисной функции добавляется квадратичная (г = 2), затем кубическая и так далее до порядка N. Многочлены степени г подобраны так, чтобы обеспечить непрерывность аппроксимации между КЭ, а значения параметров а1 отличны от значений N

0.4) решения в узлах сетки [29]. В результате использования иерархических функций на каждом шаге уточнения аппроксимации полученные на предыдущем шаге матрицы элементов встречаются вновь, и нет необходимости их перевычисления.

Отсутствие пересчета матриц, впрочем, не уменьшает порядок получившейся СЛАУ. Метод конечных элементов по-прежнему требует мощных генераторов сеточной дискретизации пространственных областей и адаптивной подстройки сетки под особенности задачи.

Существует класс методов, основанных на той или иной процедуре решения граничных уравнений. В качестве базисных многие из них имеют гладкие функции, удовлетворяющие исходному уравнению (или системе уравнений) задачи. Как и в случае МКСЭ Федоренко, приближенное решение находится в виде линейной комбинации таких базисных функций. Самые известные из таких методов не используют разделения области расчета, например, метод граничных уравнений [85] или классический метод Треффтца (впервые в работе [145]).

Разделение области расчета позволяет решить (тем или иным способом) проблему учета многих мелких стратифицированных особенностей решения. Тем не менее с появлением декомпозиции и связано возникновение основных проблем методов этого типа. Действительно, на границах смежных подобластей должны быть обеспечены определенные условия совместности ("сшивки") решения. В литературе для обозначения таких границ иногда употребляется термин "поверхность раздела" или "граница раздела" по аналогии с обозначением границ между различными материалами. Основной вопрос состоит в том, каким образом должна быть построена схема расчета для достижения "наилучшего" результата применительно к данной задаче. Проблема актуальна на сегодняшний день и имеет непосредственное отношение к методу аппроксимации уравнений для следов (0.3), представляющих условия совместности на границах раздела. Схема дискретизации одних и тех же граничных уравнений и способ интерполяции приближенного решения при этом могут быть сильно различны. Каждый из методов имеет свои преимущества и недостатки и свою сферу применения. Рассматриваемый в работе МКСЭ Федоренко со многими из них имеет некоторые сходства.

Методы граничных элементов (МГЭ) возникли как мощная альтернатива методу конечных элементов для решения инженерных задач с особенностями типа точечной концентрации напряжений, в которых требовалось повышение точности расчетов [13, 85]. В МГЭ задача сводится к решению дискретного аналога граничного уравнения. Главной чертой методов является возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от МКЭ, применение которых требует дискретизации всей области).

По существу, МГЭ основан на идеях интегральных уравнений. Если исходная система линейных дифференциальных уравнений (0.1) имеет дивергентную форму, то она может быть преобразована в граничное интегральное уравнение относительно неизвестных поверхностных величин (путем повторного применения формулы Грина (0.2)). Для численного решения полученного граничного уравнения вся поверхность тела разбивается на ряд элементов, в пределах которых неизвестные величины на поверхности интерполируются с помощью полиномиальных функций через их значения в узловых точках.

Например, слабую формулировку краевой задачи для уравнения Лапласа где ди/ дп - обобщенная производная. Это уравнение - характерная форма метода взвешенных невязок для обычного МКЭ. Продолжив процесс интегрирования по частям, получим интегральное уравнение вида:

-Ли = 0 в О, с граничными условиями и = и на Г,, ди — = # на Г2 дп где П - расчетная область, дО. = Г1 Г2 - ее граница, и<=Н\С1) - искомая функция, можно записать следующим образом: о и(Ам>)с1П- \и—¿Г + \-wdT- \й—с1Г+=0. р дп * дп ^ дп

1 2 1 1 1 1

Оно и является отправной точкой для реализации МГЭ. Набор линейно независимых функций IV, аппроксимирующий неизвестное решение, выбирается одним из следующих способов [85]: (а) функции удовлетворяют исходному уравнению -Ату=0, (б) функции удовлетворяют уравнению -км>-дп где д. - дельта-функция Дирака, дающая при интегрировании по области значение в единственной узловой точке границы.

Как правило, именно второй вариант, т.е. выбор аппроксимантами фундаментальных решений, традиционно относят к МГЭ. В результате такой аппроксимации для нахождения решения в п -мерном случае (в любой точке области) получаем сингулярное интегральное уравнение относительно функции, зависящей от (п -1) переменных, с неинтегрируемой особенностью. Соответствующий интеграл в этом случае нужно понимать в смысле главного значения. Численное решение уравнений подобного рода является отдельной проблемой. По этой причине использование метода несколько затруднительно, хотя и преимущества МГЭ для решения краевых задач очевидны.

К основным подходам, сочетающим в себе преимущества методов граничных интегральных уравнений с методами МКЭ и используемых для расчетов решений задач с изолированными особенностями или сингулярностями решения, можно отнести так называемые гибридные элементы, неконформные (несовместные) КЭ, элементы типа Треффтца и некоторые особые типы элементов, встраиваемые в схему МКЭ [132].

Основы гибридных элементов заложены обычным МКЭ. Если необходимо разрешить некоторую обособленную сингулярность, то будет логичным пытаться построить один "большой" элемент, обладающий особыми характеристиками в окрестности данной сингулярности, вместо использования огромного числа стандартных КЭ. Некоторые ссылки на такой подход можно найти в известной монографии О. Зенкевича [152, гл.13]. Особые виды конечных элементов с круглыми отверстиями были предложены для двумерных задач механики твердого тела в работах [133, 139]. Также особые КЭ для расчета композитных включений в материалах разработаны в статье [126].

Под термином гибридный элемент обычно понимаются такие элементы, для которых соответствующие вариационные принципы сведены к ослабленным условиям непрерывности на границах элементов. Их частные вариации используют гладкие функции, определяемые исходным однородным уравнением [131, 132].

Термин "методы Треффтца" общепринят для методов расчёта, использующих решения исходного однородного дифференциального уравнения или его сопряженного, определенные в подобластях. Для аппроксимации здесь чаще всего использованы "Т-полные" базисные функции, впервые предложенные И. Херрера в работах [109, 110, 111]. Дополнительная информация может быть найдена в обзорах [112, 135]. Первый тип элемента, который был назван гибридным элементом Треффтца, был разработан в 1970-х г.г. применительно к проблемам механики твердого тела [116, 119]. Этот подход сочетает в себе повышение точности аппроксимации и возможность сведения вычислений интегралов по области к поверхностным интегралам.

Представим его на примере задачи теории упругости [116]. Положим, что упругая среда (не обязательно линейно упругая) занимает область Q с границей Г, а дифференциальные уравнения равновесия под действием внешней силы р в терминах перемещений и записаны в виде: где Ь - дифференциальный оператор, и - вектор обобщенных перемещений, р -вектор нагрузок. Для замыкания системы (0.5) необходимо поставить граничные условия в перемещениях и или напряжениях Т:

Lu = p в Q,

0.5) и = и на Г и Т = Т на Г и

Т '

0.6) где Г = Ги Г г •

Область £2 делится на непересекающиеся подобласти-элементы Пу с границами Г^. Ограничение и] решения и на область D.J аппроксимируется независимо: и} = 7р] + ■ 1

Для того, чтобы оно удовлетворяло системе уравнений равновесия (0.5), на функции (р накладываются следующие условия:

Щ=Р] и Щ = ОвО. (0.7)

При этом на них не наложено никаких условий на границах Г. Требование непрерывности между элементами задано затем в слабом (интегральном) смысле. Различают два различных подхода к построению таких элементов Треффтца, основанных на первичности задания независимых компонент поля перемещений и либо поля напряжений Т на межэлементных границах.

Рассмотрим первый случай (второй сопряжен с ним), предполагая, что на Г/ = 7Ту. заданы граничные перемещения и. Из принципа минимума потенциальной энергии получим (предварительно просуммировав решения и. по всем подобластям и перегруппировав нужные члены) [116]:

I = Щи) - \ludT - |7ЫГ ~\и{Т~ Т)е1Г -> езйг, (0.8) ги г, гг где и (и) = П£ + | Тис1Г - дополнительная энергия; Пс - полная энергия; функг„ г, ционал I задан равенством I ~Ие+ |и(Т - Г)с?Г.

Гг

Для вариации дополнительной энергии (согласно теореме Кастильяно [60]) выполнено 511 (и) = 0. Вариация 51 функционала (0.8) на перемещениях и после перегруппировки переменных на Г7 приводит к уравнению:

51 = \5Т(и - й)с1Т + |5Т(и - и)с!Г - 15и(Т - Т)с1Т = 0. г„ г, гг

Таким образом, условие стационарности функционала влечет выполнение граничных условий (0.6), а также непрерывность перемещений и = и на Г7. Выберем независимые перемещения и, удовлетворяющие главному граничному условию на Гц, и перейдем от вариационного уравнения к уравнению в проекциях. Тогда для любой функции (р, удовлетворяющей соотношениям (0.7) (с соответствующими нагрузками Т' ), получим:

J T9{u — u)dT = - JV(r - T)dF. г„ г/ гг

В качестве литературных источников по методам Треффтца можно выделить работы [89, 116 - 120, 133, 144, 151], а среди достаточно новых работ - [78, 114, 121, 122, 134, 138, 141 - 143, 149, 150]. Основные недостатки методов Треффтца -большая трудоемкость решения задач в неодносвязных областях, а также возможность лишь приближенного учёта правой части. Наличие малых отверстий или малых областей сингулярностей ведет к измельчению элементов, что в свою очередь приводит к потере качества аппроксимации [78]. Приближенный учет правой части [123] связан с аналитической структурой базисных функций и влечет невозможность определения "большого" элемента, описывающего и содержащего мелкую локальную особенность решения целиком внутри него. В методах типа Треффтца все базисные функции имеют простую аналитическую структуру. Несмотря на это, способ построения, а также свойства специфического (например, "Т-полного") базиса совсем не очевидны. Поэтому методы Треффтца используются в основном для расчета пространственно-двумерных задач (в качестве примера расчета в трех измерениях можно указать работу [130]).

Разобраться в проблемах сходимости и корректности, построить некоторую методику выбора базисных функций, обеспечивающую успех применения метода Треффтца, но для случая, когда область представляет собой единственный элемент, позволила предложенная в 1973 г. геометрическая интерпретация процесса решения краевых задач. В дальнейшем она получила название метода канонических областей (МКО) [77].

Пусть требуется рассчитать напряженно-деформированное состояние упругого тела в области П, на поверхности Г которого заданы граничные условия в перемещениях или в напряжениях (задача (0.5), (0.6)).

Наряду сПв рассмотрение введем некоторую фиктивную каноническую область V (ФКО), внутри которой мысленно выделены контуры заданного тела. Поскольку область V является канонической (например, круг, эллипс и др.), то для нее методом разделения переменных Фурье можно построить решение дифференциальных уравнений теории упругости, имеющее вид

Ф) = ^спип(х), хеУ, (0.9) п в котором ип(х) - функции координат х, тождественно удовлетворяющие решаемым дифференциальным уравнениям, а сп — постоянные коэффициенты. Задачу удовлетворения граничных условий на поверхности области Г можно решить методом коллокаций в N точках, лежащих на Г, или минимизируя на этой поверхности функционал граничных условий. Последний может быть сформулирован с использованием классического метода Треффтца, метода наименьших квадратов, энергетических представлений и т.п.

Суть критерия выбора ФКО заключается в требовании продолжимости в V искомого решения как функции, удовлетворяющей уравнениям задачи, причем под V подразумевается минимальная содержащая О область из семейства областей, для которых имеет место используемое разложение (0.9). При выполнении этого условия решение является суммой ряда по базисным функциям для V. Тогда разложение (0.9) представляет собой частичную сумму и для него применимы соответствующие теоремы сходимости. Если же продолжимость отсутствует, то такого ряда не существует. Сумма же в правой части (0.9) может рассматриваться только как линейная комбинация функций IIп(х). Но для такой аппроксимации задача нахождения коэффициентов сп не является корректной по Адамару. В этом случае при увеличении N некоторые из коэффициентов сп неограниченно возрастают [27].

Нарушение продолжимости может происходить из-за наличия особенностей, т.е. точек, в которых искомое решение обращается в бесконечность, имеет разрывы, изломы и т.п. Таким образом, задача выбора ФКО сводится к тому, чтобы: (а) предсказать возможные места расположения особых точек, (б) подобрать и расположить ФКО так, чтобы особые точки искомого решения лежали за пределами области V (или на ее поверхности). Предварительное применение подобного подбора сильно усложняет использование метода. А в случае наличия множества мелких особенностей решения в области расчета и при отсутствии ее прямого разделения метод теряет многие из своих положительных качеств.

В соответствии с методом "residual free bubbles" [86] стандартное пространство базисных функций, заданных на некоторых элементах, дополнено функциями, в точности удовлетворяющими исходному дифференциальному уравнению (без учета граничных условий). Этот метод схож с ранее описанными методами типа Треффтца. Однако он представляет собой разностную схему вместо галеркинской. Непрерывность перемещений достигается путем обнуления "bubble''-функций на межэлементных границах. Подобные "bubble''-функции, как правило, суть иерархические базисные функции КЭ. Такие функции (как и в МКЭ) взяты из множества полиномов.

Существует подход к построению элементов, имеющих в качестве базисных нефинитные функции. Такие функции, как правило, имеют полиномиальную структуру, они не обращаются в нуль на границах разбиения, элементы не обеспечивают непрерывности, а аппроксимационное пространство не является подпространством исходного (скажем, //'). Непрерывность решения, однако, гарантируется в вершинах триангуляций. Такие элементы получили название неконформных. Специальные процедуры их выбора обеспечивают сходимость конечноэле-ментной аппроксимации для конкретной задачи [70]. Основные недостатки этих подходов таковы. Устойчивость и сходимость метода зависит в этом случае от количества и размера элементов. Различные разбиения расчетной области соответствуют качественно различным дискретным решениям даже в том случае, если число степеней свободы элементов остается постоянным.

Идея ослабления требований непрерывности между элементами стандартного МКЭ и использования неконформных элементов была высказана уже на ранних стадиях развития МКЭ [92]. В последние годы немалое число работ посвящено так называемым разрывным методам Галеркина [84, 88]. Многие из подходов работают со "смешанной" вариационной формулировкой, которая включает в себя добавочные неизвестные функции для потоков на ребрах (или гранях). Эти неизвестные заменяются своими численными аналогами, что в свою очередь приводит к "прямой" вариационной формулировке в терминах только одного потенциала. Разрывные методы Галеркина обеспечивают межэлементную непрерывность решения, по-крайней мере, в слабом смысле, не допуская скачков поверхностных интегралов. Отметим, что обычно даже для простого эллиптического уравнения это требование может привести к задаче о нахождении седловой точки [146].

Для решения проблем, возникающих при моделировании процессов, описываемых векторными переменными (например, электромагнитных полей, газо- и гидродинамических величин), до сих пор не существует такого единообразия методов и подходов, как при решении скалярных задач. В 1980 г. в статье [129] были представлены новые семейства неконформных конечных элементов для аппроксимации систем уравнений Максвелла и теории упругости. Впоследствии такой подход был использован в области электромагнетизма [83]. Дальнейшее развитие соответствующей теории привело к появлению векторного метода конечных элементов [12].

Рассмотрим в качестве примера единственный прямоугольный элемент. В отличие от узлового МКЭ базисные функции в векторном МКЭ ассоциированы не с вершинами, а со сторонами этого прямоугольника. Векторные функции ЛГ, 1 < г < 4, выбраны таким образом, чтобы поле Л^. имело нулевую тангенциальную составляющую вдоль всех сторон прямоугольника за исключением /-той, вдоль которой она должна быть равна единице. Если предположить линейный характер изменения некоего искомого поля и в пределах одного элемента, то оно может быть вычислено по формулам: 4 1 где г7(;) - значение тангенциальной составляющей поля вдоль г-той стороны.

Функции N. выступают в роли базисных. Корректное построение таких функций позволяет обеспечить тангенциальную непрерывность поля на границах смежных конечных элементов. Все Ni удовлетворяют условию сНуЛ^. = 0 и таким образом отлично подходят для представления векторных полей в областях, не содержащих источников [12]. Существуют и многие другие варианты построения векторных КЭ.

Векторный метод конечных элементов является современным методом моделирования. Одним из его недостатков является наличие плохих спектральных свойств у матриц систем линейных алгебраических уравнений, полученных после дискретизации непрерывной задачи.

Методы декомпозиции (методы разделения области) [87, 113] - это методы решения задач для уравнений в частных производных, связанные с итерационным расчетом решений вспомогательных задач, определенных на меньших подобластях. Их основными преимуществами являются легкая параллелизация алгоритмов и возможность локального разрешения особенностей сложной и нерегулярной топологии, обособленных сингулярностей решения и т.п. Существует несколько способов построения методов разделения области. Они оперируют подходами, основанными на методах Шварца [2], мортарных элементах, сетках Химера [87] и др. Теоретический анализ построения вводит в рассмотрение операторы Пуанка-ре-Стеклова [1]. Наиболее распространенный из подходов можно рассматривать как итерационный метод решения уравнения для следов решения на границах некоторых подобластей, поэтому идеи этого метода теоретически близки к МКСЭ Федоренко, но сильно различны по способам реализации и исследования.

В заключение отметим, что термин "суперэлемент", используемый в теории метода конечных элементов [54], не совпадает с понятием "суперэлемент", используемом в методе конечных суперэлементов Федоренко.

Этот метод, который обычно называется методом суперэлементов (МСЭ), целесообразно применять для расчета сложных конструкций, состоящих из множества различных деталей. Расчетная схема МСЭ в этом случае построена не сразу для всей конструкции, а в несколько этапов. Полная конструкция представлена в виде совокупности подконструкций-блоков, уже дискретизированных конечными элементами. При этом искомые величины, соответствующие внутренним узлам блоков, исключены из результирующей системы. Такое построение схемы дискретизации объекта конечными элементами позволяет сократить время, затрачиваемое на подготовку исходных данных и выполнение расчета.

Метод конечных суперэлементов Федоренко принципиально отличен как от МКЭ, так и от МСЭ. В нем после разбиения области на подобласти-суперэлементы осуществляется переход от исходной задачи к задаче для следов на границах суперэлементов. Именно она аппроксимируется далее тем или иным проекционно-сеточным методом. Области сосредоточения неоднородностей заключаются внутрь суперэлементов, а границы сетки декомпозиции проходят по участкам относительной гладкости решения. При этом оператор взятия следа на гладкое решение действует особым образом.

В качестве примера рассмотрим некоторое решение задачи (0.1). Разобьем область О на непересекающиеся подобласти-суперэлементы С1к, О,- 0.к. Пусть решение и принадлежит пространству Соболева Нм (то есть обладает суммируемыми с квадратом обобщенными производными до порядка М>1) в окрестности границы (или части границы) между суперэлементами 0.к. Непосредственный переход к задаче для следов (0.3) не учитывает регулярность такого решения. Действительно, оператор взятия следа у действует на решение и так, что на всех достаточно гладких частях границы разбиения / (на отдельных сторонах или гранях суперэлементов), уи принадлежит пространству функций Нм~и2(1) [81, 115]. Однако анализ образа оператора следа на стыках ребер необходимо проводить отдельно. Этот факт является одной из проблем теоретического характера, которая ранее не была разрешена. Она связана с получением аппроксимантов повышенного порядка точности для МКСЭ.

Опишем схему МКСЭ подробно. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в двумерной неодносвязной области Ос 2. Область П получена из од-носвязной области удалением некоторого числа кругов, радиус которых существенно меньше (на несколько порядков) ее характерных размеров, см. рис. 0.1: где и - искомое решение, ¿Ю - граница расчетной области, g — известная функция на дО. Полагаем, что в окрестностях таких мелких отверстий сосредоточены все локальные особенности решения. Радиус отверстий не рассматривается далее в работе в качестве отдельного параметра задачи. Данная величина, как и вся расчетная область, полагается фиксированной, а параметр - некоторой константой. Задача, явно показывающая зависимость ошибки решения от радиуса отверстия для данной конкретной задачи, решена в работе [153].

Отметим, что такая задача служит широко распространенным тестом при разработке нестандартных методов численного решения. Эта задача, в частности, исследована в [74, 153] и других работах.

Подобно обычному методу конечных элементов расчетную область разобьем на некоторое число подобластей, называемых теперь суперэлементами (СЭ) [74, 102]. Каждое место сосредоточения особенности (отверстие, неоднородность и т.п.) заключено строго в одном суперэлементе. На рис. 0.2 показано равномерное разбиение квадратной области О на квадратные суперэлементы С1к с границами к-1,.,КЕ, где КЕ - общее число подобластей-суперэлементов. Функции, разложением по которым ищется решение задачи, финитны, их носители связаны с суперэлементами. При этом начальное задание аппроксимаций в МКСЭ связано не со всей такой двумерной подобластью 0.к, а только с ее одномерной границей.

-Аи = 0 в С2, и - g най1,

0.10) (0.11) о / о о о / к о о

Рис. 0.1. Рис. 0.2. Рис. 0.3.

Область О Разделение П Область и узлы СЭ на квадратные СЭ

Рассмотрим аппроксимации МКСЭ в одном суперэлементе С1к, где к есть некоторое фиксированное число. На всей его одномерной границе Бк зададим набор функций {(Р,-(*)}"=0> которые назовем граничными базисными функциями. Они принимают следующие значения 1 = 0, ,п, (0.12) в узлах Р., ] — 1, ,п, суперэлемента и на границе его отверстия Р0, где - символ Кронекера. Узлы Р] суперэлемента расположены только на его ребрах и в углах, см. рис. 0.3. Символ Р0, имеющий нулевой индекс, обозначает не один узел, а всю границу отверстия. В том случае, если суперэлемент С1к не содержит отверстия, полагаем, что <р0 = 0 на всей .

В настоящей работе предложены и исследованы различные варианты продолжения этих функций с узлов Pj на ребра суперэлемента. На каждом из ребер границы они представлены некоторым "стандартным" интерполянтом [63]: полиномиальным, сплайном и др. На рисунках 0.4-0.6 показаны по одной из таких граничных базисных функций (х): при кусочно-линейной зависимости (см. рис. 0.4) и полиномиальной зависимости второго порядка (см. рис. 0.5) на ребрах границы суперэлемента.

Граничные базисные функции заданы для всех узлов и всех суперэлементов в области расчета О. Предполагается, что функции ср1 (х), <ру(х), определенные на одном и том же ребре соседних суперэлементов 0.к и С1т, совпадают, то есть: для всех и всех соседних суперэлементов 0.т \/к,т. Кроме того, на внешней границе дО. задано условие (0.11): р№) = ¿КЭД, V/» еао, 7 = 0, ,п. Каждая построенная граничная базисная функция <рг (х) однозначно определяет функцию ФДх) в суперэлементе С1к как решение задачи Дирихле следующего вида (в МКЭ подобные, но не те же самые, функции носят название "функции формы"):

-ДФ; = 0в£\, (0.13)

Ф, = Яна5Л. (0.14)

Рис. 0.5. Граничная базисная функция, полиномиальная интерполяция 2-го порядка

Рис. 0.6. Пример рассчитанной функции Ф, (д;) в СЭ

Рис. 0.4. Граничная базисная функция в СЭ при кусочно-линейной интерполяции

Функции ФД*) единообразно заданы в каждом суперэлементе 0.к, к = 1,., КЕ, в области расчета О. Пример рассчитанной функции Ф,(;с) в суперэлементе показан на рис. 0.6. Он соответствует граничной базисной функции (р{, заданной полиномом второго порядка (см. рис. 0.5). Представляет дальнейший интерес рассмотрение вариантов МКСЭ при полиномиальной либо сплайновой граничной интерполяции.

Заметим, что сингулярности задачи в окрестностях отверстий учтены посредством базисной функции с нулевым индексом Ф0(.х) в каждом суперэлементе. Остальные функции Ф, (х), г ф 0, при наличии отверстия в суперэлементе £1к обращаются в нуль на его границе согласно (0.12). Если в суперэлементе отверстия нет, то Ф0(;с) = 0.

Решение задачи внутри каждого отдельного суперэлемента может быть найдено в виде: м(х) = £агФ,.(х), хеС1к. (0.15) о

Таким образом определено приближенное решение МКСЭ й(х) во всей расчетной области С2 = кО,к. При этом неизвестные значения а1 необходимо определить с помощью обычной схемы метода Бубнова-Галеркина при выборе функций Ф,(;с) в качестве базисных и пробных.

В теоретической части диссертации исследован МКСЭ для решения уравнения Лапласа (0.10) - (0.11) в двумерной неодносвязной области, полученные результаты могут быть расширены на более широкий класс задач с необходимыми оговорками.

Структура и содержание работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Лазарева, Светлана Александровна

Выводы

Диссертация посвящена математическому моделированию состояний сред с малоразмерными включениями на основе метода конечных суперэлементов (МКСЭ), предложенного Р.П. Федоренко, разработке различных модификаций метода, их детальному теоретическому и численному анализу для решения задач описанного класса. Основные выводы и результаты работы перечислены ниже.

Предложены различные варианты МКСЭ Федоренко для моделирования состояний сред с малоразмерными включениями. Проведен их численный анализ. Реализованы алгоритмы и построен программный комплекс для численного решения краевых задач с особенностями. Решены двумерная задача для уравнения Лапласа в неодносвязной области, трехмерная задача линейной теории упругости и трехмерная задача определения электрофизических свойств пористого материала.

Проведено теоретическое обоснование различных вариантов МКСЭ для эллиптических уравнений и систем на примере уравнения Лапласа. Получены априорные оценки погрешностей приближения в пространствах Соболева. Определен порядок сходимости МКСЭ. Выявлены аппроксимационные параметры, влияющие на скорость сходимости.

Исследовано влияние аппроксимации следов решения сплайн-функциями на приближение решения. Получена нижняя оценки погрешности метода в одном частном случае. Проведен анализ приближенного решения в углах декомпозиции и определено влияние геометрических характеристик на свойства приближения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лазарева, Светлана Александровна, 2010 год

1. Агошков В.И. Методы разделения области: некоторые результаты теории и приложения. - М.: Отдел вычислительной математики АН СССР, 1990. - 40 с.

2. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики. М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

3. Агошков В.И., Лебедев В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и методы разделения области в вариационных задачах // Вычислительные процессы и системы. -1985.-Т. 2.-С. 173-227.

4. Агранович М.С. Обобщенные функции и соболевские пространства. М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2008. -128 с.

5. Агранович М.С. Спектральные задачи для сильно эллиптических систем второго порядка в областях с гладкой и негладкой границей // Успехи математических наук. 2002. - Т. 57, вып. 5. - С. 3-78.

6. Агранович М.С. Регулярность вариационных решений линейных граничных задач в липшицевых областях // Функциональный анализ и его приложения. -2006.-Т. 40, вып. 4.-С. 1-21.

7. Андреев В.Б. Лекции по методу конечных элементов. М.: Изд-во Московского университета, 1997. - 178 с.

8. Андреев В.Б. Устойчивость разностных схем для эллиптических уравнений по граничным условиям Дирихле // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. - Т. 12, №3. - С. 598-611.

9. Андреев В.Б. Эквивалентная нормировка сеточных функций из JV2U2(x) II Исследования по теории разностных схем для эллиптических и параболических уравнений. М.: Изд-во Московского университета, 1973. - С. 6-39.

10. Бабенко К.И. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука, 1979. - 296 с.

11. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. - 744 с.

12. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Векторный метод конечных элементов. -Новосибирск: Изд-во Новосибирского государственного университета, 2001. -69 с.

13. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.о ^

14. Берг И., Лёфстрём И. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир, 1980.-264 с.

15. Васильчик М.Ю. Граничные свойства функций из пространства Соболева, определенных в плоской области с угловыми точками // Сибирский математический журнал. 1995. - Т. 36, №4. - С. 787-804.

16. Волков Е.А. Метод сеток для конечных и бесконечных многоугольников и оценка погрешности через известные величины // Труды МИАН СССР. 1968. -Т. 96.-С. 149-187.

17. Волков Е.А. Метод составных сеток для конечных и бесконечных областей с кусочно-гладкой границей // Труды МИАН СССР. 1968. - Т. 96. - С. 117-148.

18. Вожов Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона на прямоугольнике // Труды МИАН СССР. 1965. -Т. 77.-С. 89-112.

19. Волков Е.А. О методе регулярных составных сеток для уравнения Лапласа на многоугольниках // Труды МИАН СССР. 1976. - Т. 140. - С. 68-102.

20. Галанин М.П., Лазарева С.А. Локальная гладкость и асимптотика решения метода конечных суперэлементов в угловых точках разбиения. М., 2008. - 31 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №49).

21. Галанин М.П., Лазарева С.А., Савенков Е.Б. Качественный анализ и численное исследование метода конечных суперэлементов Федоренко // КВМ 2007: Тезисы докладов Всероссийской конференции по вычислительной математике. -Новосибирск, 2007. - С. 23.

22. Галанин М.П., Лазарева С.А., Савенков Е.Б. Качественный анализ и численное исследование метода конечных суперэлементов Федоренко

23. Математические модели и моделирование в лазерно-плазменных процессах: Тезисы докладов V международного семинара. М., 2008. - С. 100-102.

24. Галанин М.П., Лазарева С.А., Савенков Е.Б. Метод конечных суперэлементов для решения трехмерных задач теории упругости. Численное исследование. -М., 2006. 28 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №44).

25. Галанин М.П., Лазарева С.А., Савенков Е.Б. Численное исследование метода конечных суперэлементов на примере решения задачи о скважине для уравнения Лапласа. М., 2005. - 30 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №79).

26. Галанин М.П., Савенков Е.Б. К обоснованию метода конечных суперэлементов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. -Т. 43, №5.-С. 711-727.

27. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Метод конечных суперэлементов для задачи о скоростном скин-слое. М., 2004. - 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №3).

28. Гусман С .Я., Ясницкий Л.Н. О критерии выбора базовых функций в методе фиктивных канонических областей // Геометрическое моделирование и начертательная геометрия: Тезисы докладов Уральской научно-технической конференции. Пермь, 1988. - С. 46-48.

29. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -271 с.

30. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

31. Климов А.Д., Страховская Л.Г., Федоренко Р.П. Гомогенизация в математическом моделировании ядерных реакторов канального типа методом конечных суперэлементов. М., 1990. - 27 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, №4).

32. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московского математического общества. 1967. - Т. 16. - С. 209-292.

33. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наук. Думка, 1992. - 304 с.

34. Лазарева С.А. Анализ метода конечных суперэлементов Федоренко // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Тезисы докладов третьей научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей. М., 2009. -С. 39-42.

35. Лазарева С.А. Анализ точности приближений метода конечных суперэлементов Федоренко // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. -2009. №2. - С. 3-27.

36. Лазарева С.А. Аппроксимационные свойства метода конечных суперэлементов Федоренко // Вычислительные технологии. 2008. - Т. 13, №8. - С. 75-81.

37. Лазарева С.А. Априорные оценки погрешностей и гладкость приближенного решения МКСЭ Федоренко // Студенческая научная весна 2007: Тезисы докладов общеуниверситетской научно-технической конференции. - М., 2007. -С. 100-101.

38. Лазарева С.А. О неравенствах типа Джексона и Бернштейна для приближений метода конечных элементов Федоренко. М., 2008. - 25 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №102).

39. Лазарева С.А. Теоретические оценки погрешностей приближения производных для метода конечных суперэлементов. М., 2008. - 36 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №100).

40. Лазарева С.А. Теоретический анализ и численное исследование метода конечных суперэлементов Федоренко // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: Тезисы докладов международной конференции. М., 2009. - С. 72-73.

41. Лазарева С.А. Точность аппроксимаций метода конечных суперэлементов Федоренко в пространствах Соболева. М., 2008. - 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №101).

42. Лазарева С.А. Численное исследование метода конечных суперэлементов для решения задач теории упругости // Студенческая научная весна 2006: Тезисы докладов общеуниверситетской научно-технической конференции. - М., 2006. -С. 143-144.

43. Лебедев В.И., Агошков В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. -М.: Отдел вычислительной математики АН СССР, 1983. 184 с.

44. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -М.: Мир, 1971.-371 с.

45. Локуциевский О.В., Гавриков М.Б. Начала численного анализа. М.: Янус, 1995.-582 с.

46. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М., 1988. - Т. 27, Ч. 2. - С. 131-288.

47. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981.-416 с.

48. Математическая энциклопедия; в 5 т. / Гл. ред. И.М. Виноградов М.: Советская Энциклопедия, 1977. - Т.2: Джексона неравенство. - С. 109.

49. Математическая энциклопедия; в 5 т. / Гл. ред. И.М. Виноградов М.: Советская Энциклопедия, 1977. - Т.З: Меллина преобразование - С. 635.

50. Математическая энциклопедия; в 5 т. / Гл. ред. И.М. Виноградов М.: Советская Энциклопедия, 1977. - Т.1: Гармонический многочлен - С. 886.

51. Метод конечных суперэлементов в задачах конвекции-диффузии / В.Т. Жуков, Н.Д. Новикова, Л.Г. Страховская и др. М., 2001. - 36 с. (Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, №8).

52. Метод конечных суперэлементов и его применения для решения задач науки и техники /М.П. Галанин, С.А. Лазарева, Е.Б. Савенков, Д.А. Яковлев

53. Параллельные вычислительные технологии 2007: Сборник трудов международной конференции. - Челябинск, 2007. - С. 87-100.

54. Метод конечных суперэлементов Федоренко и некоторые его применения / М.П. Галанин, С. А. Лазарева, Е.Б. Савенков и др. // Инженерные системы 2007: Сборник трудов научно-практической конференции. - М., 2007. - С. 100-114.

55. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений / Под ред. В.А. Постнова. JL: Судостроение, 1979. - 286 с.

56. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. -М.: Мир, 1981.-216 с.

57. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1957.-476 с.

58. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.-432 с.

59. Назаров С.А, Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991. - 336 с.

60. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. M.-JL: Изд-во техн.-теор. литерат., 1949. - 688 с.

61. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. - 872 с.

62. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.-383 с.

63. Применение метода конечных суперэлементов для расчета распределений электрического потенциала и плотности тока в проводящих объектах / В.Э. Боро-дай, М.П. Галанин, С.А. Лазарева и др. М., 2008. - 25 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №17).

64. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику. М.: Физматлит, 1994.-336 с.

65. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

66. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. - 336 с.

67. Страховская Л.Г., Федоренко Р.П. Об аппроксимации уравнений Ламе на нерегулярных сетках. М., 1993. - 29 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №35).

68. Страховская Л.Г., Федоренко Р.П. Расчет диффузии в многосвязной области методом конечных суперэлементов. М., 1987. - 26 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, №171).

69. Страховская Л.Г., Федоренко Р.П. Расчет напряжений в композитном теле методом конечных суперэлементов. М., 1994. - 26 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, №97).

70. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. -351 с.

71. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.-511 с.

72. Теория численных методов / В.Б. Андреев, A.B. Гулин, Е.С. Николаев, Б.Н. Четверушкин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. Спец. выпуск.-2005. С. 39-52.

73. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002. - 488 с.

74. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. - 664 с.

75. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ, 1994. -528 с.

76. Фрязинов И.В. Разностные схемы для уравнения Лапласа в ступенчатых областях // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1978.-Т. 18, №5.-С. 1170-1185.

77. Фрязинов И.В. Разностные схемы для уравнения Пуассона и теплопроводности в многоугольнике при различных типах краевых условий на различных частях границы. М., 1977. - 66 с. (Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, №25).

78. Ясницкий Л.Н. Метод фиктивных канонических областей в механике сплошных сред. М.: Наука, 1992. - 128 с.

79. A direct constraint-Trefftz FEM for analysing elastic contact problems / K.Y. Wang, Q.H. Qin, Y.L. Kang, et al. // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2005. - №63. - P. 1694-1718.

80. Babuska I., Melenk J.M. The partition of unity method // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1997. - V. 40, №4. - P. 727-758.

81. Bacuta C., Bramble J.H., Xu J. Regularity estimates for elliptic boundary value problems with smooth data on polygonal domains // Journal of Numerical Mathematics. 2003. - V. 11, №2. - P. 75-94.

82. Bernardi Ch., Dauge M., Maday Y. Polynomials in the Sobolev world. Paris, 2003. - 97 p. (Internal report, laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie).

83. Borsulc M., Kondratiev V. Elliptic boundary value problems of second order in piecewise smooth domains. North-Holland: Elsevier, 2006. - 538 p.

84. Bossavit A. Computational electromagnetism: variational formulations, complementarity, edge elements. San Diego: Academic press, 1997. - 352 p.

85. Bottasso C.L., Micheletti S., Sacco R. The discontinuous Petrov-Galerkin method for elliptic problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2002. - V. 191, №31.-P. 3391-3409.

86. Brebbia C.A., Dominguez J. Boundary elements. An introductory course. Boston: WIT, 1998.-314 p.

87. Brezzi F., Franca L.P., Russo A. Further considerations on residual free bubbles for advective-diffusive equations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1998. - №166. - P. 25-33.

88. Chan T.F., Mathew T.P. Domain decomposition algorithms // Acta Numerica. -1994.-№3.-P. 61-143.

89. Cockburn B., Karniadakis G.E., Shu C.-W. The development of discontinuous Galerkin methods // Discontinuous Galerkin methods. Theory computation and applications: Ser. Lecture Notes in Comput. Sei. Eng. New York: Springer-Verlag, 2000. -№11.-P. 3-50.

90. Comparative study of p-extension based on conventional assumed displacement and hybrid-Trefftz FE models / J. Jirousek, A. Venkatesh, A.P. Zielinski, H. Rabeman-antsoa // Computers & Structures. 1993. - V.46, №2. - P. 261-278.

91. Costabel M.5 Dauge M. Construction of corner singularities for Agmon-Douglis-Nirenberg elliptic systems // Mathematische Nachrichten. 1993. - V. 162, №1. -P. 209-237.

92. Costabel M., Dauge M. Stable asymptotics for elliptic systems on plane domains with corners // Communications in Partial Differential Equations. — 1994. V. 19, №9-10.-P. 1677-1726.

93. Crouzeix M., Raviart P.A. Conforming and nonconforming finite element methods for solving the stationary Stokes equation // RAIRO Anal. Numer. 1973. - V. 7, №3. - P. 33-76.

94. Dahlke St., DeVore R.A. Besov regularity for elliptic boundary value problems // Communications in Partial Differential Equations. 1997. — №22. — P. 1-16.

95. DeVore R.A. Nonlinear approximation // Acta Numerica. 1998. - №7. - P. 51150.

96. Ding Z. A proof of the trace theorem of Sobolev spaces on Lipschitz domains // Proceedings of American Mathematical Society. 1996. - V. 124, №2. - P. 591-600.

97. Fabes E., Mendez O., Mitrea M. Boundary layers on Sobolev-Besov spaces and Poisson's equation for the laplacian in Lipschitz domains // Journal of Functional Analysis. 1998. - №159. - P. 323-368.

98. Fix G.J., Gulati S., Wakoff G.I. On the use of singular functions with finite elements approximations //Journal of Computational Physics. 1973. - №13. -P. 209-228.

99. Galanin M., Lazareva S. Theoretical and Numerical Analysis of the Fedorenko Finite Superelement Method // Applications of Mathematics in Technical and Natural Sciences: Abstracts of 1st euro-american consortium. Sozopol, 2009 . - P. 33.

100. Galanin M., Lazareva S., Savenkov E. Fedorenko finite superelement method and its applications // Computational Methods in Applied Mathematics. 2007. - V. 7, №1.-P. 3-24.

101. Galanin M., Lazareva S., Savenkov E. Finite Superelements method and its applications // Mathematical modelling and analysis. Computational methods in applied mathematics: Abstracts of 10th and 2nd international conferences. Trakai, 2005. -P. 114.

102. Galanin M., Lazareva S., Savenkov E. Finite superelements method for solution of problems of mathematical physics in sharply inhomogeneous domains // Tikhonov and contemprorary mathematics: Abstracts of international conference. M., 2006. -P. 52-53.

103. Galanin M., Lazareva S., Savenkov E. Numerical investigation of the Finite superelement method for the 3D elasticity problems // Mathematical Modelling and Analysis. 2007. - V. 12, №1. - P. 39-50.

104. Numerical study of finite superelements approximations for elasticity problems / M. Galanin, S. Lazareva, E. Savenkov, J. Temis // Mathematical modelling and analysis: Abstracts of 11th international conference. Jurmala, 2006. - P. 24.

105. Galanin M., Savenkov E. Fedorenko finite superelement method as special Galerkin approximation // Mathematical Modelling and Analysis. 2002. - V. 7, №1. -P. 41-50.

106. Galanin M., Savenkov E., Temis J. Finite superelements method for elasticity problems // Mathematical Modelling and Analysis. 2005. - V. 10, №3. - P. 237-246.

107. Herrera I. Boundary methods: a criterion for completeness // Applied Mathematical and Physical Sciences. 1980. - V. 77, №8. - P. 4395-4398.

108. Herrera I. Connectivity as an alternative to boundary integral equations: construction of bases //Applied Mathematical and Physical Sciences. 1978. - V. 75, №5.-P. 2059-2063.

109. Herrera I. General variational principles applicable to the hybrid element method //Applied Mathematical and Physical Sciences. 1977. - V. 74, №7. -P. 2595-2597.

110. Herrera I. Trefftz method: a general theory //Numerical Methods for Partial Differential Equations. 2000. - V. 16, №6. - P. 561-580.

111. Hsiao G.C., Steinbach O., Wendland W.L. Domain decomposition methods via boundary integral equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. -2000.-№125.-P. 521-537.

112. Hybrid-conventional finite element for gradient-dependent plasticity /Z.M. Wang, X.A. Zhu, C.T. Tsai, et al. // Finite Elements in Analysis and Design. 2004. -№40.-P. 2085-2100.

113. Jerison J., Kenig C.E. The inhomogeneous Dirichlet problem in Lipschitz domains // Journal of Functional Analysis. -1995.-№130.-P. 161-219.

114. Jirousek J. Basis for development of large finite elements locally satisfying all field equations // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1978. -№14.-P. 65-92.

115. Jirousek J. Hybrid-Trefftz plate bending elements with p-method capabilities //International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1987. - №24. -P. 1367-1393.

116. Jirousek J. Variational formulation of two complementary hybrid-Trefftz FE models // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1993. - №14. -P. 65-92.

117. Jirousek J., Leon N. A powerful finite element for plate bending // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1976. - №12. - P. 77-96.

118. Jirousek J., Theodorescu P. Large finite elements for the solution of problems in the theory of elasticity // Computers & Structures. 1982. - V.15, №5. - P. 575-587.

119. Jirousek J., Wroblewski A. T-elements: a finite element approach with advantages of boundary solution methods //Advances in Engineering Software. 1995. -№24.-P. 71-88.

120. Jirousek J., Zielinski A.P. Survey of Trefftz-type element formulations // Computers & Structures. 1997. - V.63, №2. - P. 225-242.

121. Kita E., llceda Y., Kamiya N. Indirect Trefftz method for boundary value problem of Poisson equation //Engineering Analysis with Boundary Elements. 2003. -№27.-P. 825-833.

122. Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. Providence: AMS, 1997. — 414 p.

123. Lehman R.Sh. Developments at an analytic corner of solutions of elliptic partial differential equations // Journal of Mathematics and Mechanics. 1959. - V.8, №5. -P. 727-760.

124. Meguid S.A., Zhu Z.H. A novel finite element for treating inhomogeneous solids //International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1995. - №38. -P. 1579-1592.

125. Melenk J.M., Babuska I. The partition of unity finite element method: basic theory and applications // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. -1996.-№139.-P. 289-314.

126. Mitrea M., Taylor M. Potential theory on Lipschitz domains in Riemannian manifolds: Sobolev-Besov space results and the Poisson problem // Journal of Functional Analysis. 2000. - №176. - P. 1-79.

127. Nedelec J.C. Mixed finite elements in R3 //Numer. Math. 1980. - V. 35, №3.-P. 315-341.

128. Peters K., Stein E., Wagner W. A new boundaiy-type finite element for 2-D-and 3-D-elastic structures // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1994. -№37. - P. 1009-1025.

129. Pian T.H.H. A historical note about 'hybrid elements' //International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1978. - №12. - P. 891-892.

130. Pian T.H.H., Wu C.-C. Hybrid and incompatible finite element methods. -London-New York: Chapman & Hall/CRC, 2006. (Ser. Modern mechanics and mathematics; Ch. 4). 378 p.

131. Piltner R. Special finite elements with holes and internal cracks // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1985 . -№21. - P. 1471-1485.

132. Piltner R. Recent developments in the Trefftz method for finite element and boundary element applications //Advances in Engineering Software. 1995. - №24. -P.107-115.

133. Qin Q.-H. Trefftz finite element method and its applications // Transactions of ASME. 2005. - №58. - P. 316-337.

134. Sândig A.-M. Regularity results for linear elliptic boundaiy value problems in polygons. Prague, 2005. - 38 p. (Lectures at the Charles university Prague).

135. Showalter R.E. Hilbert space methods for partial differential equations. London: Pitman, 1977.-212 p.

136. Soh A.K., Long Z.F. A high precision element with a central circular hole // International Journal of Solids and Structures. 1999. - №36. - P. 5485-5497.

137. Soh A.K., Long Z.F. Development of two-dimensional elements with a central circular hole // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2000. -№188.-P. 431-440.

138. Sweers G. Hopfs lemma and two dimensional domains with corners //Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste. 1997. - V. 28. -P. 383-419.

139. Teixeira de Freitas J.A., Cismasiu C. Numerical implementation of hybrid-Trefftz displacement elements // Computers & Structures. 1999. - №73. - P. 207-225.

140. Teixeira de Freitas J.A., Wang Z.M. Elastoplastic dynamic analysis with hybrid stress elements // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2002. -№53.-P. 515-537.

141. Teixeira de Freitas J.A., Wang Z.M. Hybrid-Trefftz stress elements for elasto-plasticity //International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1998. -№43.-P. 655-683.

142. Tong P., Pian T.H.H., Lasry S.J. A hybrid-element approach to crack problems in plane elasticity //International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1973.-№7.-P. 297-308.

143. Trefftz E. Ein Gegenstück zum ritzschen Verfahren //2nd Int. Cong. Appl. Mech.: Proceedings.-Zurich, 1926.-P. 131-137.

144. Tsukerman I. A class of difference schemes with flexible local approximation // Journal of Computational Physics. 2006. - №211. - P. 659-699.

145. Tsukerman I. Toward generalized finite element difference methods for electro-and magnetostatics // Ser. Mathematics in Industry. Berlin: Springer, 2004. - V.4. -P. 58-77.

146. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems / D.N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, L.D. Marini // SIAM Journal of Numerical Analisys. -2002. V. 39, №5. - P. 1749-1779.

147. Xiaoping Z., Zhen-han Y. Some applications of the Trefftz method in linear elliptic boundary-value problems // Advances in Engineering Software. 1995. - №24. -P. 133-145.

148. Zielinski A.P. Special Trefftz elements and improvement of their conditioning // Communications in Numerical Methods in Engineering. 1997. - №13. - P. 765-775.

149. Zielinski A.P. Trefftz method: elastic and elastoplastic problems //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1988. - №69. - P. 185-204.

150. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. - V.l. The basis. - 708 p.

151. Андреев В.Б. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987. - Т. 27, №10. - С. 1529-1535.

152. Galanin M., Lazareva S. Local regularity and asymptotic behaviour of Fe-dorenko finite superelement method solution // Int. J. Computing Science and Mathematics. 2009. - V.2, №3. - P. 201-221.

153. Galanin M., Lazareva S. On the Analysis of the Fedorenko Finite Superelement Method for Simulation of Processes with Small-Scale Singularities // American Institute of Physics Conference Proceedings. 2009. - V. 1186. - P. 327-334.