Схемы метода конечных элементов для эллиптических краевых задач с негладкими решениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Даутов, Рафаил Замилович

• Даутов, Рафаил Замилович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Даутов, Рафаил Замилович

Содержание

Обозначения

1 Схема МКЭ для задач в областях с углами

1.1 Особенности решения в угловых точках для уравнения Пуассона

1.1.1 Угловая точка типа ББ

1.1.2 Угловая точка типа БМ

1.2 Уравнение с переменными коэффициентами

1.3 Мультипликативное выделение особенностей

1.4 Построение схемы МКЭ

1.5 Обусловленность системы алгебраических уравнений

1.6 Оценка точности приближенного решения

1.6.1 Оценка т£ ||г/ — г^Цх д

уЕУи

1.6.2 Оценка неконформности метода

1.7 Тестовые вычисления

2 Задачи в областях с периодической структурой

2.1 Уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами

2.1.1 Исходная задача

2.1.2 Конформная схема Федоренко

2.1.3 Неконформная схема

2.2 Уравнения в перфорированных областях

2.2.1 Исходная задача

2.2.2 Неконформная схема

2.3 Уравнения теории упругости

3 Задачи с препятствием внутри области

3.1 Операторы точного штрафа, регуляризация, устойчивость свободной границы

3.1.1 Исходное неравенство с ограничением

3.1.2 Эквивалентное неравенство без ограничений

3.1.3 Эквивалентное операторное уравнение

3.1.4 Регуляризация и оценки точности

3.1.5 Устойчивость коинцидентного множества по мере

3.2 Приближенное определение свободной границы в задаче с препятствием

3.2.1 О восстановлении области по ее приближенной характеристической функции

3.2.2 Одномерная задача с препятствием

3.2.3 Двумерная задача с препятствием

3.3 Тестовые вычисления

4 Моделирование кавитации в тонком слое

4.1 Модификация уравнения Рейнольдса

4.2 Математическая модель гидростатического подшипника-уплотнения

4.2.1 Физическая постановка задачи

4.2.2 Математическая модель

4.2.3 Определение обобщенного решения

4.3 Существование обобщенного решения

4.3.1 Дискретизация по времени задачи (7-^)

4.3.2 Предельный переход по г в полудискретной задаче

4.4 Сравнение с вариационным неравенством

4.5 Интерпретация задачи (V) как задачи со свободной границей

4.6 Сравнение задачи (V) с вариационным неравенством

4.7 Неявная сеточная схема

4.7.1 Формулировка дискретной задачи

4.7.2 Сходимость решения сеточной схемы

Обозначения

В евклидовом пространстве Яп мы обозначаем через е\ = (1, 0,..., 0), б2 = (0,1,..., 0), еп = (0,..., 1) базис и через х = (жх,..., хп), у = {Уъ- ■ •) Уп)-, • - • ~ точки пространства,

п

х • у — х\у\ +

|ж| =у/х • х - длина х Е В?1,

Вг(х) - открытый шар радиуса г с центром х Е Яп.

В, - множество всех действительных чисел, = {х Е И : х > 0}.

Буквой "с" обозначаются различные постоянные, не зависящие от стоящих рядом величин.

Для частных производных функции и по х^ (обычных и обобщенных) используются обозначения

Лр их., дги, их = ^аЛи-^и = (иХ11...,иХп).

Если а = (скх,..., ап) - мультииндекс, то Иа - это дифференциальный оператор

д\

а

Если ¡а[ = 0, то Ва - тождественный оператор.

Пусть О - область в К11 с границей Г, О = О и Г. Будем пользоваться следующим определением во всех тех случаях, когда требуется

определенная гладкость границы. Оно допускает рассмотрение всех общеупотребительных видов границ без точек заострения. Следуя Нечасу [1], будем говорить, что открытое множество О имеет непрерывную по Липшицу границу Г, если выполняются следующие условия: существуют постоянные сх>0и/5>0и конечное число (т) локальных координатных систем

Ur : {хг = (хг2,..., хгп) : | < а, г = 2,..., п},

такие что

тп

Г = U : = аг(хг), £ Ur},

Г—1

{(ж1, хг) : аг(хг) < х\ < аг(хг) + /?, (Е С/г} С О, 1 < г < т, {(жь £г) : or(£p) ~(5<xi< ar(xr), xr е Ur} С Rn \ О, 1 < г < т.

Заметим, что открытое множество с непрерывной по Липшицу границей ограничено.

Будем называть также границу границей класса класса X, если аг : Ur.—> R - функции класса X (например Ск или Ск,а).

Через meas (О) или |П| обозначается мера Лебега множества О. Пусть О, С Rn - ограниченная область, dx = dx\

Ск{р) множество к раз непрерывно дифференцируемых в О, функций;

Ck,x(ft) пространство всех функций и £ Ск(0), для которых производные Dau с \а\ = к удовлетворяют условию Гельдера с показателем А, т.е.

\Dau(x)-Dau(y)\<c\x-y\x \/x,yeü-

Cfc(Q) пространство всех функций и 6 Ck(Q), таких что для каждого а, |ск| < к, производная Dau обладает единственным непрерывным продолжением на О. Пространство Ск{0,) становится банаховым пространством, если ввести в нем норму

||ií||c* = maxsup |.Daií(cc)|;

H<fc хеп

Ck'X(ñ) подпространство функций Ск(й) с конечной нормой

|Dau(x) -Dau(y) |

и\\скх = I|w||cfc +max sup . ,

M=кх,уеП,хфу \x — у\л

Cq°(Q) множество бесконечно дифференцируемых в О функций с компактным носителем;

Lp(£l) пространство измеримых по Лебегу функций на О, для которых конечна норма

/ \ 1/Р

Ы\о#,п = 1Ми„(П) = f\u\pdx\ , 1<р<оо;

41 )

£оо(0) пространство измеримых по Лебегу ограниченных функций, IMIo,oo,o = IMUTO(fl) = inf{ М :\и\<М п.в. в О};

Wp{£l) пространство Соболева, 1 < р < оо, к - целое число,

Wk(il) = {и: ие ЬР(П), Dau G Lp(ft), \а\ < к}.

Wk{Q) - сепарабельное банахово пространство. При 1 < р < оо оно оснащается нормой

( \1/р

IMIfc^fi = |M|w£(ii) =

£ /1Dau\pdx \ Н<* о

и является рефлексивным.

Для полунорм в И7^ (О) используются обозначения

в < к.

р

( \1/р

= \иЩ(П) =

£ / \ваи\4х \ Н=« п )

При р = 2 для норм и полунорм в И^П) используются сокращенные обозначения

|Р||в,П = ||«||в,2,П, = \Щз,2,П-

УУр^) подпространство функций из И^(О), обращающихся в нуль на границе области П;

при нецелом в = к-{-¡л, 0<^<1, 1<р<оо - пространство Соболева-Слободецкого. Норма в нем задается выражением

/ , ч , ч , \ 1/Р

=

мр ^^ п\Р*ч{х)-Рач[у)\* д л

И^Д(О) класс функций из Ск 1(0), производные к — 1 порядка которых удовлетворяют в й условию Липшица ;

X* пространство, двойственное (сопряженное) к пространству X;

(•, •) билиненйная форма, приводящая в двойственность основное банахово пространство и его двойственное;

1 °

(П) пространство, двойственное к И-^(П), 1/р+1/р' = 1, 1 < р < оо. Элементы И/Гр71(0) можно рассматривать как обобщенные производные функций ^ из 1у(П); точнее говоря, если / £ И^Т^О), то найдутся такие функции /о, /ь • • •, /п С что

</,£} = / (ж - Е ¿X щ ет^(П);

Wpkloc(n) совокупность функций, принадлежащих W^(O') для любой ограниченной подобласти П', Q1 с П;

Lp(О, Т; X) , Т < оо, X - банахово пространство - банахово пространство измеримых функций t —> /(t):[0, Т] —У X, таких, что

/ Т \ !/Р

Lp(0,T-,X) = I Wf\\x dt < +00 {рф +00), \0 /

ИЛкооСодо) = sup ess ||/||х < +00.

te(o,T)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Схемы метода конечных элементов для эллиптических краевых задач с негладкими решениями»

ВВЕДЕНИЕ

Метод конечных элементов (МКЭ), наряду с методом конечных разностей, в настоящее время является одним из самых распространенных и эффективных методов решения задач математической физики и техники. Теория этих методов для линейных краевых задач изложена в монографиях A.A. Самарского [2], В.Б. Андреева и A.A. Самарского [3], A.A. Самарского и Е.С. Николаева [4], A.A. Самарского A.A. и A.B. Гулина [5], Г.И. Марчука [6], Г.И. Марчука и В.В. Шайдурова [7], H.H. Яненко [8], Е.Г. Дьяконова [9], O.K. Зенкевича [10], J1.A. Оганесяна, В.Я. Ривкинда и Л.А. Руховца [11], [12], В.Г. Корнеева [13], Ж.П. Обэна [14], Г. Стренга и Дж. Фикса [15], Ф. Сьярле [16], Г.И. Марчука и В.И. Агошкова [17], В.В. Шайдурова [18] и других. Значительные результаты получены в теории сеточных методов для нелинейных уравнений математической физики. Различные аспекты этой проблематики отражены в монографиях Е.Г. Дьяконова [9], М.М. Карчевского и А.Д. Ляшко [19], Р. Гловински [20], Ф. Сьярле [16], Дж. Одена [21], Р. Темама [22] и многочисленных статьях.

История вариационных и проекционных методов решения задач математической физики восходит к работам В. Ритца и отечественных математиков И.Г. Бубнова и Б.Г. Галеркина. Основы метода конечных элементов были заложены в статье Р. Куранта [23]. Современная теория МКЭ базируется на теории обобщеных решений краевых задач

(включая теорию регулярности обобщенных решений), на теории аппроксимации функций и численных методах алгебры. Процесс решения конкретной задачи математической физики с использованием этого метода обычно прпредполагает реализацию следующих основных этапов:

1. вариационная (обобщенная) формулировка задачи;

2. выбор аппроксимирующих сплайнов и пространства конечных элементов, базис в котором образуют функции с малым носителем, и определение понятия приближенного решения;

3. решение соответствующей системы алгебраических уравнений.

Несмотря на большое и постоянно увеличивающееся число работ по МКЭ, на каждом из этих этапов возникают проблемы, которые недостаточно полно исследованы с теоретической точки зрения даже для классических краевых задач, не говоря уже о новых задачах, для которых само построение приближенного метода является не очевидным. Кратко перечислим наиболее важные и актуальные, на наш взгляд, проблемы.

В настоящее время известно, как определять обобщенные решения для широкого круга задач. Для таких задач актуальной является разработка таких новых вариационных формулировок, которые были бы более эффективными с вычислительной точки зрения для определения основных неизвестных задачи и обеспечивали бы более высокую точность. Например, в последние годы все более важное значение приобретают смешанные вариационные формулировки, различные формулировки краевых задач со свободными границами в виде вариационных неравенств и дифференциальных включений и т.п.. Естественно, актуальным по-прежнему является определение обобщенных решений задач,

для которых вариационные формулировки до сих пор не были известны.

Благодаря успехам в теории аппроксимации, в настоящее время достаточно хорошо известно, как эффективно выбирать пространство конечных элементов, если решение краевой задачи обладает достаточной регулярностью (гладкостью). Значительно слабее разработан вопрос о том, как выбирать аппроксимирующие функции в случае, когда решение краевой задачи не обладает достаточной регулярностью и имеет различного типа особенности. С такой ситуацией приходится сталкиваться, когда рассматриваются задачи в областях с угловыми точками (в областях с негладкой границей), уравнения с малым праметром при старших производных, задачи с многозначными или разрывными операторами и т.п.. Использование в этих случаях стандартных аппроксимаций, не учитывающих специфику решаемой задачи, как правило приводит к существенному понижению точности получаемых приближенных решений (по сравнению с регулярным случаем) и, в конечном итоге, приводит к существенному понижению эффективности всего метода в целом. Поэтому актуальным является построение таких конеч-ноэлементных аппроксимаций краевых задач с особенностями решения, которые бы имели повышенную точность по сравнению со стандартными аппроксимациями. Это может быть достигнуто только в том случае, когда конструкция пространства конечных элементов будет основана на априорной информации об особенностях решения аппроксимируемой задачи. Естественно, актуальным также является построение и исследование конечноэлементных аппроксимаций новых, ранее не решавшихся задач.

Эффективность МКЭ существенно зависит и от выбранного метода решения системы алгебраических уравнений, которая обычно являет-

ся разреженной системой и имеет большую размерность (особенно для многомерных задач). На размерность системы главным образом влияет качество аппроксимаций, использованных на втором этапе. Как правило, увеличение точности аппроксимаций приводит к уменьшению размера решаемой системы уравнений.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы, касающиеся, в основном, первых двух этапов в реализации метода конечных элементов при решении следующих задач.

1. Двумерные линейные эллиптические краевые задачи в областях с угловыми точками. Показано, что в окрестности угловой точки решение задачи и(х) можно представить в факторизованном виде и(х) = р(х)у(х), в котором функция р(х) определяет особенность решения, а у(х) обладает достаточной гладкостью и принадлежит весовому пространству Соболева. Это представление решения позволяет ввести новое определение приближенного решения, имеющего повышенную точность по сравнению с решениями стандартных сеточных схем.

2. Линейные эллиптические краевые задачи с быстро осциллирующими периодическими (с малым периодом е) коэффициентами и краевые задачи в периодически перфорированных областях. Особенность решений этих задач заключается в том, что они также являются быстро осциллирующими и обладают малой гладкостью: в произвольной подобласти диаметра г решение задачи естественно предполагать принадлежащим лишь И7^. Построены схемы точности 0(у/е).

3. Определение неизвестной границы в задаче с препятствием внутри области. Даны новые определения обобщенного решения задачи. Эти определения оказываются полезными как с точки зрения

исследования устойчивости свободной границы, так и с точки зрения построения приближенных решений. Построены алгоритмы, позволяющие определить неизвестную границу с большей точностью, чем это позволяют делать известные алгоритмы.

4. Задача со свободной границей, моделирующая кавитаци-онное течение в тонком зазоре. Сформулирована математическая модель рассматриваемой задачи и дано определение обобщенного решения, сводящее задачу со свободной границей к решению эволюционного дифференциального включения. Исследованы качественные свойства и существование решения, построены и исследованы приближенные методы его нахождения.

Приведем теперь более подробный обзор содержания диссертации, состоящей из четырех глав.

Первая глава посвящена исследованию поведения решения линейной эллиптической краевой задачи второго порядка в плоской области с углами произвольного раствора, построению и исследованию точности схемы МКЭ для этой задачи. Точки смены типа краевых условий на гладкой части границы области также считаются угловыми и им приписывается внутреннй угол, равный 7г. Предполагается также, что граница области образована отрезками прямых, и на отрезках, примыкающих к угловой точке, заданы либо однородные краевые условия Дирихле (угловая точка типа ББ), либо однородные краевые условия разных типов, а именно Дирихле и Неймана (угловая точка типа Б1\Г). Коэффициенты и правая часть уравнения предполагаются достаточно гладкими.

Хорошо известно [24], что в окрестности угловой точки 6 решение краевой задачи в общем случае имеет степенную особенность, завися-

щую от величины внутреннего угла ф в этой точке. Точнее, решение представимо в виде (за исключением нескольких значений ф)

и = сор + с\гХ1 8т(А1<р) + го, р = гхзт(Хср), с0 € Л, (0.1)

где (г, ф) - полярные координаты с началом в точке 6, угол ср отсчи-тывается от стороны с краевым условием Дирихле, А = тг/ф, = 2А, если Ь - точка типа ББ, А = О.Ьтт/ф, Ах = ЗА, если Ь - точка типа Б1М. Функция и) в этом разложении является гладкой: ги Е И7!- Отметим, что р Е ~£ для любого £ > 0 и р Е только тогда, когда ф < 7г,

если Ъ - точка типа ББ и ф < 7г/2, если Ъ - точка типа БЫ.

Из представления (0.1) следует, что в общем случае решение краевой задачи принадлежит лишь пространству

Соболева ТУ21+А~£ и использование стандартных сеточных схем для ее решения при наличии углов близких или равных 2тт становится неэффективным.

В первом параграфе главы 1 приводится постановка задачи и получаются необходимые для дальнейшего вспомогательные результаты об асимптотических представлениях обобщенного решения в окрестности угловых точек для уравнения Пуассона. Во втором параграфе эти результаты распространяются на уравнения с переменными коэффициентами. Характер особенности обобщенного решения в окрестности угловых точек для более общих краевых задач, чем те, которые рассматриваются нами, изучался во многих работах. Отметим лишь обзорную статью В.А. Кондратьева и О.А. Олейник [25] и работу В.А. Кондратьева [24], в которой содержатся требуемые нам асимптотические представления решения в случае задачи Дирихле для углов не равных 27г. В случае смешанной краевой задачи такие представления решения для углов, кратных 7г/2, автору неизвестны. При получении разложений мы следуем методике работы Л.А. Оганесяна, В.Я. Ривкинда и Л.А.

Руховца [12], в которой получены несколько другие асимптотические разложения решения.

Отметим, что точность стандартных схем МКЭ для рассматриваемых задач имеет порядок Нх в энергетической норме [12].

Известны различные подходы к повышению точности конечнораз-ностных и конечноэлементных схем, основанные на различных способах преодоления недостаточной гладкости решения задачи в окрестности угловых точек. Не имея возможности перечислить все подходы и работы в этом направлении, отметим лишь следующие. В работах Е.А. Волкова [26], [27], Бабушки [28], Стренга и Фикса [15], Шатса [29], [30] и В.В. Шайдурова [31] исследуются способы локального сгущения узлов сетки в окрестности угловых точек. В работе Фикса [32] (см. также [12]) предлагается вводить в базис пространства конечных элементов подправленные функции р, учитывающие особенности решения. В работах В.Б. Андреева [33], [34] исследуются возможности локальной модификации сеточных схем на равномерных сетках. Г.И. Марчук и В.В. Шайдуров [7], Е.П. Жидков и Б.Н. Хоромский [35] исследовали метод экстраполяции Ричардсона на последовательности сеток. Отметим также методику, основанную на комбинированном использовании аналитического представления решения в окрестности особых точек и МКЭ вне этих окрестностей, которой посвящены работы Г.И. Марчука и В.В. Шайдурова [7], Живоли [36] и Лиза [37].

Особо выделим следующие работы, идейно наиболее близкие к нашей.

И.В. Фрязиновым в [38] построена пятиточечная разностная схема повышенной точности для уравнения Пуассона в области, которую можно покрыть равномерной ортогональной сеткой. Улучшения точности в

этой схеме удается достичь благодаря тому, что ее погрешность аппроксимации равна нулю на главных членах асимптотики р. Метод основан на аддитивном выделении особенности. Точность схемы устанавливается в сеточной норме И^1-

Для первой краевой задачи Бабушка и Розенцвейг [39] предложили схему на основе метода Петрова-Галеркина, в которой в качестве пробных функций берутся произведения стандартных базисных функций на весовые функции, соответствующие угловым точкам, - функции вида гА. Точность схемы устанавливается в весовой норме. Аналогичная идея, но на основе другого определения решения, была использована В.В. Шайдуровым в [31] и В А. Рукавишниковым [40].

Многочисленность работ и разнообразие методик построения схем для рассматриваемого круга задач объясняется как актуальностью тематики, так и многообразием практических ситуаций, с которыми приходится сталкиваться в расчетной практике. Так, в задаче может быть одна или несколько угловых точек, порождающих особенность в решении, а может быть таких точек несколько десятков; часто возникает необходимость решения систем дифференциальных уравнений на одной сетке, а каждая неизвестная функция может иметь в угловой точке свой тип особенности и т.д..

Предлагаемый в диссертации подход к повышению точности конеч-ноэлементных схем основывается на мультипликативном представлении решения в окрестности угловой точки. Поскольку функция р обращается в нуль только там, где заданы краевые условия Дирихле, то ясно, что в окрестности угловой точки решение задачи и(х) можно представить в факторизованном виде и(х) = р(х)у(х). Проблемой является лишь установление класса гладкости функции у(х). Этому посвящен

третий параграф главы 1. Здесь доказывается, что v{x) может быть представлена в виде

v(x) — со + ф(х) + гу(аг), с0 = const, ф(х) = Е(г)Ф(<р),

где (г, <р) - полярные координаты с началом в особой точке, Ф(у>) - бесконечно дифференцируемая функция, R{r) ведет себя в нуле как функция сг 11 In" г, /3 > 0, w является элементом весового пространства Соболева Wlp с нормой

Ы1 Р,п = /( £ + r2A_2|Vw|2 + r2X~4u2)dx.

SI l«l=2

Отметим, что весовая функция р имеет разный характер вырождения на разных частях границы области: в окрестности граничных точек с краевыми условиями Дирихле, исключая угловую точку, р ведет себя как расстояние до границы, тогда как в окрестности угловой точки -как гА.

Это представление решения позволяет ввести определение приближенного решения, имеющего повышенную точность по сравнению с решениями стандартных сеточных схем. В параграфах 4-6 определяется схема МКЭ, исследуется обусловленность возникающей системы алгебраических уравнений, а также ее точность. Схема МКЭ строится на регулярной триангуляции с использованием разных аппроксимаций вблизи точек с особенностями и вдали от них. Так, в окрестности углов типа DD, больших 7г, а также в окрестности углов типа DN, больших 7г/2, приближенное решение ищется в виде Uh = pvh, в то время как Uh = Vh - в оставшейся части области, где Vh - линеиная на каждом элементе функция. Сопряжение разных аппроксимаций осуществляется так, чтобы функция Uh была непрерывной в вершинах элементов. В результате мы приходим к неконформному методу МКЭ с такой же

структурой разреженности и обусловленности системы алгебраических уравнений, что и в стандартном методе МКЭ. Точность схемы оценивается в аналоге нормы Доказанная оценка точности имеет, практически, такой же порядок, какую бы имела соответствующая схема МКЭ на основе линейных элементов, если ее погрешность аппроксимации в окрестности особых точек вычислить на вторых членах асимптотического разложения решения.

В заключительном параграфе главы приводятся результаты тестовых вычислений, подтверждающие эффективность предложенных схем.

Вторая глава диссертации посвящена построению и исследованию точности схем МКЭ для линейных эллиптических краевых задач в областях с периодической структурой. Простейшим примером задачи такого типа может служить следующая задача.

о

Требуется найти функцию и£ еу^П), удовлетворяющую в обобщенном смысле уравнению

- сИу А(х/е)^ие = /(ж), хеП, (0.2)

где положительно определенная матрица коэффициентов А(у) является 1-периодической как по г/1, так и по у2, у — (уъут), А(у) £ £оо> £ > 0 -малый параметр.

Специфика задач рассматриваемого типа заключается в том, что коэффициенты уравнения могут иметь разрывы первого рода и изменяются на конечную величину при изменении х на величину порядка е, то есть являются быстро осциллирующими разрывными функциями. Следовательно, решение задачи как на макроуровне (в целом по области О), так и на микроуровне (на подобластях диаметра е) обладает малой гладкостью. На любом уровне можно предполагать лишь, что решение принадлежит В связи с этим, учитывая малость £, представляется

практически невозможным численное решение уравнений такого типа с приемлемой точностью стандартными сеточными методами. Таким образом, для численного решения задач типа (0.2) необходимы специальные сеточные методы, в достаточной мере учитывающие специфику задачи.

Исследованию эллиптических уравнений в областях с периодической структурой посвящены многочисленные работы. Отметим лишь монографии [41], [42], [43], [44] и статьи [45], [46], [47], в которых можно найти дополнительные ссылки. Эти работы посвящены методу осреднения (гомогенизации) уравнений в периодических средах и содержат, в частности, разнообразные примеры физических задач, приводящих к уравнению типа (0.2). Метод осреднения представляет собой метод асимтотического разложения решения исходной задачи по степеням параметра е:

2 /£ Qu

и£(х) = щ(х) + Г]£(х), щ(х) = и{х) + £ £ Nt(-) д—,

i=1 £ CfXi

где функции Ni(y) являются решениями задач на стандартной ячейке Y — [0,1]2, нулевой член разложения и(х) не зависит от е и его гладкость определяется лишь гладкостью правой части f(x) и гладкостью границы сШ. Для рассматриваемых нами задач для остаточного члена справедлива оценка

belli,П < Су/ё.

В первом параграфе главы 2 анализируется конформная схема МКЭ для уравнения с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами, основанная на использовании непрерывных L - сплайнов и предложенная Л.Г. Страховской и Р.П. Федоренко в [48]. При приближенном решении этих задач естественно предполагать, что шаг сетки

имеет порядок е. Схема считается приемлемой, если ее оценка точности имеет вид

\\и - щ\\ = 0(еа), а> 0.

Работа [48] не содержит теоретических оценок точности предложенной схемы. Несмотря на убедительность эвристических соображений, заложенных в конструкцию расчетной схемы, как показывает анализ, она оказывается не сходящейся. Точнее, для решения схемы нами доказана оценка

\\и - Uh\\b2{n) > с Ve > 0,

где постоянная с не зависит от е. Далее проводится модификация схемы так, чтобы добиться ее сходимости. Получающаяся при этом схема принадлежит семейству неконформных схем МКЭ. Доказывается оценка

|\и£ - Uh\\ljh < \\r]e\\l,iî + C£||/||0)iî,

где щ - решение сеточной схемы, || • ||i,/j - аналог нормы W\ в пространстве приближенных решений.

Во втором параграфе построена аналогичная схема для уравнений в перфорированных областях. В третьем параграфе проводится обобщение метода на системы эллиптических уравнений плоской теории упругости. Нетривиальным при исследовании соответствующих схем является лишь доказательство дискретного аналога неравенства Корна. Для всех рассмотренных задач получена оценка точности

IlUe - Uh\\l,h < C\fz-

В третьей главе диссертации изучаются вариационные неравенства с препятствием внутри области, строятся и исследуются сеточные

методы их решения, а также методы приближенного определения возникающих при этом неизвестных границ.

Хорошо известно, что немалое число стационарных задач со свободными границами может быть непосредственно (или после некоторых преобразований) сформулировано в виде эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области

ие К : (Ащ V - и) > (/, V - и) \/у е К, (0.3)

с сильно монотонным и липшиц-непрерывным квазилинейным эллиптическим оператором второго порядка А, где К соответствует одностороннему ограничению:

к = {и € V9 : V > 0 в О}, V9 = {V Е IV} (П) IV = д на <90}.

Область О С В? предполагается ограниченной, / 6 £2(0), 9 £ И^1^), д > 0 на 30,. В монографиях [49], [50], [51] рассмотрены примеры различных физических задач, приводящих к таким неравенствам.

Сильной стороной формулировки задачи со свободной границей в виде вариационного неравенства является то, что оно не содержит явно неизвестных, характеризующих свободную границу. Это оказывается весьма полезным, так как позволяет изучать свойства решения и строить алгоритмы его приближенного определения (схемы сквозного счета), практически, игнорируя наличие неизвестной границы: она восстанавливается после решения неравенства (0.3) как граница Р множества I - множества примыкания решения к препятствию:

1 = {хеП: и(х) = 0}, ^ = <9(0 \ /) П О.

Отметим, что во многих практических ситуациях граница Р и множество I (коинцидентное множество) представляют не меньший интерес,

чем решение неравенства и(х). Для их приближенного определения традиционной является следующая последовательность действий.

Используя какой-либо сеточный метод, например, метод конечных элементов, получаем последовательность приближений щ(х), сходящуюся к точному решению и(х) задачи (0.3). Зная Uh(x), находим приближенное коинцидентное множество Д и приближенную свободную границу Fh- Заметим, что последние операции неоднозначны и множества Ih, Fh можно определить разными способами.

Наиболее естественно принять

Ih = {х е О : uh(x) = 0}, Fh = д(П \ Ih) П ÍÍ.

Этот способ определения Fh был изучен Брецци и Каффарелли [52]. Ими рассматривалась схема МКЭ на основе линейных конечных элементов в случае, когда А - оператор Лапласа с обратным знаком. В предположении справедливости дискретного принципа максимума, а также при условии

/ < с/ < 0 в О, с/ = const, (0.4)

показано, что при достаточно малых h

(1°) meas(/A4) < £ = 0(\\и -

(2°) Fh С 0£(F), 0£(F) = {xeR2: dist(®, F) < e},

где А означает симметричную разность множеств. Доказательство утверждения (Io) опирается на следующее свойство решения неравенства:

(Al) 3ei > 0 и Э71 > 0 такие, что Ve < г\ :

meas (Oe(F) П {x G O, : 0 < u(x) < s2}) < ji£, а доказательство (2o) - на свойство:

(А2) Зб2 >0 и З72 >0 такие, что Уе < £2'.

{хеП:0< и(х) < Ъе2} С

Если учесть, что, при условии и £ и при справедливости дис-

кретного принципа максимума, в [53] доказана оценка ||м — щЦь^П) < сН2\п(1/к), то из (2°) следует, что в наилучшем случае ^ аппроксимирует .Р по расстоянию с точностью 0(/г. 1п1//2(1//г)). Это, практически, оптимальный результат при таком определении Надо заметить, однако, что требование выполнимости дискретного принципа максимума является достаточно сильным ограничением, сужающим как круг рассматриваемых задач, так и класс допустимых схем (в первую очередь из-за ограничения на триангуляцию области).

Отметим также работы Вайнельта [54], [55], [56], в которых рассматривалось аналогичное определение свободной границы при использовании разностной схемы на ортогональной сетке для решения неравенства с линейным оператором без смешанных производных. Им получена оценка точности по расстоянию порядка при выполнении

условия (0.4).

Другой способ определения Д и ^ предлагается и исследуется в работах Ночетто Р. [57], [58], [59]. Сначала специальным образом регуля-ризованная задача (0.3) решается методом МКЭ (линейные элементы) и находится и^. Затем определяется

1Н = {х £ П : щ(х) < £2}, = д(П \ Д) П П, где е = 0(\\и - ин||^2(0)).

Доказывается оценка точности — идЦд^п) < с/г21п2(1//г), а также, при условии (0.4), утверждения (1°) и (2°) на основе (^41) и (А2) соответственно.

Выполнимость свойств (^41) и (у42), называемых свойствами невырожденности решения задачи (0.3) по мере и расстоянию соответственно, исследовалась разными авторами [60, с.121], [49, с.146], [61], [62], [63]. Для их справедливости, в частности, необходима достаточная гладкость исходных данных задачи и условие (0.4). Свойство (А2), очевидно, более сильное, чем (^41). При достаточной гладкости исходных данных оно выполняется, например, если .Р € С0'1.

Хотелось бы обратить внимание на условие (0.4), фигурирующее во всех упомянутых работах. На необходимость ограничения такого типа указывает следующий простой пример.

Пусть О = (—1,1), Аи ■ —и", / = 0, если |ж| < с, и / = —2, если \х\ > с, с = 2/3. Вариационное нераенство с такими данными имеет решение и(х) такое, что и(х) = 0, если \х\ < с, и и(х) = (|ж| — с)2, если |ж| > с. При этом ¥ — {—с, с}. Если рассмотреть вомущение функции / равное /е = / + £,£> 0, то решением неравенства будет функция

и£ = и + е/2(1 - х2) > 0,

и возмущенная свободная граница станет пустой.

Оригинальный подход к определению свободных границ предложен

в работах Д. Фаге [64], [65]. Однако, с нашей точки зрения, этот метод

*

строго обоснован только для одномерных задач в случае, когда коин-цидентное множество является односвязным. Согласно этому методу имеется принципиальная возможность определить свободную границу с точностью 0(/г21п(1//г)).

Развиваемый нами подход основан на использовании приближенной характеристической функции коинцидентного множества. С этой целью в первом параграфе третьей главы мы вводим новые эквивалентные определения решения вариационных неравенств с препятствием внутри

области. Показано, что эта задача может быть сформулирована в виде вариационного неравенства 2-го типа (пункт 2)

ueV: {Au,v - и) + j(v) - j(u) > (f,v - и) Vu £ V (0.5)

с выпуклым липшиц-непрерывным функционалом j, а в случае регулярных задач (т.е., когда краевая задача Аи = / имеет решение и £ W2 ) в виде операторного уравнения (пункт 3)

и £ V : Аи + /3{и) = f в V* (0.6)

с монотонным, ограниченным, разрывным оператором (3. Постановка (0.5) интересна тем, что позволяет легко исследовать гладкость решения задачи (0.3), не прибегая к процедурам штрафа или регуляризации, а также может служить основой конструирования новых схем приближенного решения задачи, не требующих аппроксимации множества ограничений К.

В постановке (0.6) оператор (3 имеет вид (3(и) = —f~x{u)i х{и) ~ характеристическая функция коинцидентного множества и, следовательно, из уравнения (0.6) вытекает формула для вычисления характеристической функции коинцидентного множества решения и(х). Это уравнение является основным на протяжении всей главы.

На основе этих формулировок в пункте 4 рассматриваются методы штрафа и регуляризации неравенства (0.3). Из этих методов, достаточно полно изученных в литературе [66], [49], выделяется один класс, для которого нам удалось получить более точные оценки погрешности в энергетической норме. А именно, известная оценка \\и — tie||i,i2 = 0(у/е) (см., напр., [67]) для этого класса заменяется на

11« - ue\\i,a = о(у/е) или \\и - ие\\^ = 0(е3/4)

в зависимости от гладкости исходных данных задачи. Для всех схем регуляризации доказывается оценка точности

11« - ИеИ^П) < б.

обобщающая оценку, полученную в [49].

В пункте 5 рассматривается устойчивость по мере коинцидентного множества решения и вариационного неравенства (0.3) к возмущению правой части /. При этом используется формулировка неравенства в виде уравнения (0.6). Оператор А предполагается регулярным. Известные автору аналогичные оценки устойчивости получены для линейных задач и при более сильных требованиях на гладкость входных данных задачи. Оценки типа (см., напр., [60, с. 195])

полученные в случае линейных операторов А, улучшаются до следующих

»(1(й)А1(и)) = о (II/ - , м/(й)д/(«)) = о (II/ - /I\ьт) >

Л

где и и и - решения неравенства (0.3) с правыми частями / и / соответственно. Последняя оценка имеет место, если и > 0 на сШ.

Во втором параграфе строится и исследуется схема МКЭ для задачи (0.3) и предлагается новый метод определения свободной границы. В случае, когда множество / звездное, граница .Р допускает аналитическую параметризацию, а сИв^Р, <9П) > с// > 0, доказана оценка

£ = 0(Н21п3(1//г)).

Отдельно рассматривается одномерная задача и показывается, что свободная граница может быть локализована с точностью О {К2).

Глава заканчивается описанием результатов тестовых вычислений, подтверждающих теоретические оценки точности.

В четвертой главе рассматривается задача моделирования процесса течения вязкой ньютоновской жидкости между двумя поверхностями малого зазора на примере задачи из гидродинамической теории смазки о гидростатическом подшипнике-уплотнении. Полученная математическая модель представляет собой эволюционное дифференциальное включение с нелокальными краевыми условиями. Изучаются вопросы существования решения, дается интерпретация задачи в виде задачи со свободной границей, рассматриваются некоторые качественные свойства решения, предлагаются и обосновываются приближенные методы его отыскания.

Основным уравнением гидродинамической теории смазки является уравнение Рейнольдса [68], которое получается осреднением трехмерных уравнений Навье-Стокса по толщине зазора. Главным упрощающим предположением при его выводе служит гипотеза о постоянстве поля давления р по осредняемой координате. Жидкость считается несжимаемой. Уравнение Рейнольдса представляет собой эллиптическое уравнение второго порядка относительно р, коэффициенты и правая часть которого параметрически зависят от переменной времени (через функцию описывающую толщину зазора).

С нашей точки зрения гипотеза о несжимаемости жидкости не всегда применима. Дело в том, что в диффузорной части области течения (функция зазора /г здесь монотонно возрастает) при достаточно больших скоростях течения, как известно, давление в жидкости значительно падает и, следовательно, также должна существенно меняться плотность жидкости. При использовании уравнения Рейнольдса сказанное

проявляется в том, что в этой области, называемой областью кавитации, функция давления принимает большие отрицательные значения, что не соответствует физической картине течения [68, с. 14].

Область кавитации заранее неизвестна (обозначим его через /(¿)). При моделировании кавитационных течений в тонких зазорах наиболее широко используемым является следующий подход (см., напр., [49, с. 184] и цитируюмую там литературу). Считается, что давление в области кавитации постоянно и равно давлению парообразования ру, вне зоны кавитации поле давления удовлетворяет уравнению Рейнольдса. На неизвестной границе д1 принимаются условия, предложенные Рей-нольдсом:

др п Р=Ру, 7Г~ — Ооп

Полученную задачу с неизвестной границей назовем моделью Рейнольдса. Ее обобщенное решение может быть сформулировано в виде вариационного неравенства с препятствием внутри области [49, с. 184]. Основным недостатком этой математической модели, вытекающим из краевого условия Рейнольдса, является возможный дисбаланс массы: масса втекающей в область жидкости не равна массе вытекающей. При определенных режимах течения дисбаланс может стать значительным, а модель непригодной для использования [69, с.35].

Мы предлагаем считать жидкость сжимаемой, точнее баротропной, и использовать соответствующие осредненные уравнения [68, с.25]. Зависимость плотности р от давления мы предлагаем выбирать в виде многозначной функции " ступеньки", что является достаточно хорошим приближением для реальных жидкостей [68, с.89] и является простым в том смысле, что для ее определения необходимо знать лишь зависимость давления парообразования от температуры. В итоге мы приходим

к задаче отыскания двух функций (р(х, ¿), р(х, ¿)), удовлетворяющих в обобщенном смысле уравнениям

после присоеденения к ним необходимых краевых условий (например первого рода) и начального условия. Здесь Н(-) - многозначная в нуле функция Хевисайда, функция £7(ж,£) - задана и определяется скоростями движения поверхностей, образующих зазор, ц - вязкость. Выводу уравнений (0.7), (0.8) и интерпретации полученной задачи как задачи со свободной границей посвящен первый параграф главы. Показывается, что основное отличие предложенной нами модели от модели Рейнольдса заключается в отсутствии дисбаланса массы. Это достигается благодаря краевым условиям на неизвестной границе, принимающим вид

где V • п - скорость перемещения д1{£) в направлении нормали п. Из второго краевого условия следует, что условие Рейнольдса др/дп — 0 выполнено только на части

границы области кавитации. Во втором параграфе уравнения (0.7), (0.8) дополняются краевыми условиями (нелокальными на части границы области) , а также начальным условием и дается определение обобщенного решения задачи. Существование обобщенного решения методом дискретизации по временной переменной доказывается в третьем параграфе. Попутно устанавливается существование обобщенного решения стационарной задачи. Аналогичный подход к исследованию разрешимости стационарной задачи фильтрации через плотину применялся в [60, с.487].

(0.7) (0.8)

р е р0Н(р-ру),

д+1 = {хед1: (и-У)-п> 0}

В параграфах 4-6 нестационарные и стационарные обобщенные решения изучаемой модели сравниваются с соответствующими решениями по модели Рейнольдса (решениями вариационных неравенств). Доказывается, что если и(х, ¿) - решение вариационного неравенства,

и;(£) = {х Е П : и(х,£) — ру} соответствующая область кавитации, то

рОМ) < и{х,ь), с /(*), УжеП, £>о.

то есть решения неравенств мажорируют решения дифференциальных включений.

В заключительном параграфе главы рассматривается полностью дискретная, чисто неявная сеточная схема для нестационарной задачи и изучается ее сходимость. Доказывается слабая сходимость подпоследовательностей решений по параметрам дискретизации к решению задачи. Для аппроксимации конвективных слагаемых по пространству используется техника аппроксимации против потока, введенная и исследованная для линейных уравнений в работе Табаты [70] и для стационарной задачи фильтрации через плотину Пьетрой в [71]. Необходимость таких аппроксимаций вызвана тем, что уравнение (0.7) можно трактовать как уравнение конвекции-диффузии, в котором коэффициент перед конвективным слагаемом может быть бесконечным. Надо отметить, что для рассматриваемых схем нетривиальным является доказательство разрешимости возникающей на слое по времени конечномерной задачи. Для этого мы воспользовались методикой, развитой Альтом в [72].

Сформулируем основные результаты диссертации.

1. Для линейных эллиптических краевых задач второго порядка на плоскости в областях с угловыми точками

- предложен и исследован способ мультипликативного выделения осо-

бенности решения в окрестности угловой точки;

- построена и исследована новая схема МКЭ на регулярной триангу-

ляции, обладающая повышенной точностью по сравнению со стандартными методами приближенного решения задачи.

2. Для линейных эллиптических краевых задач второго порядка в областях с периодической структурой (быстро осциллирующие коэффициенты и перфорированные области) построена и исследована схема МКЭ той же точности, что и у первого приближения в методе осреднения.

3. Для краевых задач со свободной границей, сводящихся к эллиптическим вариационным неравенствам с препятствием внутри области с квазилинейным оператором 2-го порядка

- даны эквивалентные определения решения в виде вариационных нера-

венств 2-го типа с выпуклым липшиц-непрерывным функционалом и в виде уравнения с разрывной слабой нелинейностью;

- построены новые методы регуляризации, для которых получены оцен-

ки точности, лучшие известных ранее;

- доказаны оценки устойчивости по мере коинцидентного множества к

возмущению правой части неравенства, существенно улучшающие известные оценки;

- построена и исследована новая схема МКЭ для приближенного реше-

ния задачи;

- предложен и обоснован новый подход к приближенному определению

свободных границ.

4. Сформулированы новые математические модели для описания явления кавитации при стационарных и нестационарных течениях ньютоновской жидкости в тонких зазорах. Для них

- доказаны теоремы о существовании обобщенных решений;

- исследованы качественные свойства решений;

- построены и исследованы схемы МКЭ для их приближенного реше-

ния.

Основные результаты диссертации докладывались на 5-ой Всесоюзной конференции "Вариационно-разностные методы в математической физике", Москва, 1983, на Всесоюзной конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности", Саратов, 1985, на Всесоюзной конференции "Современные проблемы вычислительной математики", Москва, 1986, на Всесоюзной школе "Математическое моделирование в науке и технике", Пермь, 1986, на 5-ой Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики", Новосибирск, 1987, на VII совместном Франко-итало-советском симпозиуме по вычислительной математике и приложениям", Москва, 1987, на VI Сибирской школе "Вычислительная математика. Теория и практика", Новосибирск, 1989, на Всесоюзном научно-координационном совещании "Газовая смазка в машинах и приборах", г.г. Ростов-на-Дону-Новороссийск, 18-20 сентября 1989 г., на Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева, Казань, 1994, на Международной научной конференции АМСА-95 : Advanced Mathematics, Computations and Applications, Novosibirsk, Russia, June 20-24,1995, на Международной научной конференции OFEA-95: Optimization Of Finite Element Approximations, St.-Petersburg, Russia,

June 25-29, 1995, на Международной научной конференции Advanced Numerical Analisys, Moskow, August 16-22, 1995, на школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева, Казань, 1997, на семинаре кафедры вычислительной математики МГУ (руководитель Н.С. Бахвалов), на семинаре кафедры вычислительной математики КГУ (руководитель А.Д. Ляшко), на семинаре института математики и механики Казанского университета (руководитель А.В. Костерин), на итоговых научных конференциях Казанского университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [73 - 90]. Соавтор статьи [86] принимал участие в разработке алгоритма реализации изучаемых сеточных схем.

В заключение считаю приятным долгом выразить искреннюю благодарность своему научному консультанту А.В. Лапину, всем членам семинара по вычислительной математике Казанского университета и особенно его руководителю А..Д. Ляшко, плодотворное сотрудничество с которыми оказали существенное влияние на выбор научной тематики и мое научное становление. Я признателен А.В. Лапину и М.М. Карчев-скому, любезно согласившимся прочитать диссертацию, за замечания, способствовавшие заметному улучшению изложения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Даутов, Рафаил Замилович, 1998 год

Библиография

[1] Ñecas J. Les méthodes directes en théorie des equations elliptiques. -Paris: Masson, 1967.

[2] Самарский A.A. Теория разностных схем. - M.: Наука, 1977.

[3] Андреев В.Б., Самарский A.A. Разностные методы для эллиптических уравнений. - М.: Наука, 1977.

[4] Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978.

[5] Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973.

[6] Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1980. - 535 с.

[7] Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. - М.: Наука, 1979. - 320 с.

[8] Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, 1967.

[9] Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. - М.: Из-во МГУ, 1971. - 242 с.

[10] Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.

[11] Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений (часть 1). -В сб.: "Дифференциальные уравнения и их применение", вып. 5. Вильнюс, 1974.

[12] Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений (часть 2). -В сб.: "Дифференциальные уравнения и их применение", вып. 8. Вильнюс, 1974. - 322 с.

[13] Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высокого порядка точности. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. - 206 с.

[14] Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. - М.: Мир, 1977.

[15] Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977. - 349 с.

[16] Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М: Мир, 1980. - 512 с.

[17] Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно сеточные методы. - М.: Наука, 1981.

[18] Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. -М.: Наука, 1989. - 289 с.

[19] Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. - Казань, Из-во Казанского унта, 1976. - 160 с.

[20] Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems.

- N.Y.: Springer, 1984.

[21] Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976.

[22] Темам Р. Уравнения Навъе-Стокса. - М.: Мир, 1981.

[23] Courant R. Variational methods for the solutions of problems of equilibrium and vibrations. // Bull. Amer. Math. Soc., 49, 1943.

- pp. 1 - 23.

[24] Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. // М.: Тр. Ма-тем. ин-та АН СССР, 16, 1967. - С. 209 - 292.

[25] Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. // УМН, Т.38, вып. 2(230), 1983. - С. 3 - 76.

[26] Волков Е.А. Метод сеток для конечных и бесконечных областей с кусочно-гладкой границей. // ДАН СССР, 168, №3, 1966.

[27] Волков Е.А. О методе регулярных составных сеток для уравнения Лапласа на многоугольниках. // М.: Тр. Матем. ин-та АН СССР, 140, 1976. - С. 68 - 102.

[28] Babuska I. Finite element method for elliptic equations with corners. // Computing, V. 6, №3, 1970.

[29] Schatz A., Walbin L. Maximum norm estimates in the finite element method on plane poligonal domains. Parts 1. // Math. Comput., V.

32, 1978. - pp. 73 - 109.

[30] Schatz A., Walbin L. Maximum norm estimates in the finite element method on plane poligonal domains. Parts 2. // Math. Comput., V.

33, 1979. - pp. 465 - 492.

[31] Шайдуров В.В. Вычислительные методы в прикладной математике., chapter Численное решение задачи Дирихле в области с углами. Новосибирск, Наука, 1982. - С. 173 - 188.

[32] Fix G. Higher-order Rayleigh-Ritz approximations. // J. Math. Meth., V. 18, 1969. - pp. 645 - 658.

[33] Андреев В.Б. Асимтотика решения сеточного уравнения Лапласа в угле. //Докл. АН СССР, Т. 244, №6, 1979. - С. 1289 - 1293.

[34] Андреев В. Б. О точности модифицированных разностной и конечно-элементной схем для модельной задачи о трещине. // Дифференц. уравнения, Т. 18, №7, 1981. - С. 1184 - 1192.

[35] Жидков Е.П., Хоромский Б.Н. Численные алгоритмы на последовательности сеток и их приложения в задачах магнитостатики и теоретической физики. // Физика элементарных частиц и атомного ядра, Т. 19, Вып. 3, 1988. - С. 622 - 668.

[36] Givoli D., Rivkin L., Keller J. Finite element method for domains with corners. // Int. J. Numer. Meth. Eng., V. 35, №6, 1992. - pp. 1329-1345.

[37] Liz С., Bui Т. Coupling strategy for matching different methods in solving singularity problems. // Computing, V. 45, №4, 1990. - pp. 311-319.

[38] Фрязинов И.В. Разностные схемы для уравнения Лапласа в ступенчатых областях. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., Т. 18, №5, 1978. - С. 1170 - 1185.

[39] Babuska I., Rozenzweig М.В. A finite element scheme for domains with corners. // Numer. Math., V. 20, №1, 1971. - pp. 1 - 21.

[40] Рукавишников В.А. Весовые оценки скорости сходимости разностных схем задачи дирихле для уравнения гельмгольца. // Препринт ВЦ ДВНЦ АН СССР. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1986. -20 с.

[41] Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. - М.: Наука, 1984. - 352 с.

[42] Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. -М.: Мир, 1984. - 472 с.

[43] Papanicolaou G. Bensoussan A., Lions J.-L. Asimptotic metods in periodic structures. - Amsterdam: North Holland, 1978. - 700 p.

[44] Хруслов Е.Я. Марченко В.А. Краевые задачи в областях мелкозернистой границей. - Киев: Наукова думка, 1974.

[45] Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой. //ДАН СССР, Т. 218, №4, 1974. - С. 1046 - 1048.

[46] Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами. //ДАН СССР, Т. 221, №3, 1975. - С. 516 - 519.

[47] Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстроосциллирующими коэффициентами. - В кн.: Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. - М.: Наука, 1982. - С. 38 - 47.

[48] Страховская Л.Г., Федоренко Р.П. Об одном варианте метода конечных элементов. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., (№4), 1979. - С. 950- 960.

[49] Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. - М.: Мир, 1983. - 256 с.

[50] Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. - М: Мир, 1980. - 383 с.

[51] Бенсусан А., Лионе Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. - М: Мир, 1987. - 597 с.

[52] Brezzi F., Caffarelly L. Convergence of the discrete free boundaries for finite element approximations. // KAIRO Numer. Anal., V. 17, N°. 4, 1983. - pp. 385 - 395.

[53] Nitsche J. L^ - convergence of finite element approximations. // Lect. Notes Math., V. 606, 1977. - pp. 261 - 274.

[54] Domschke S., Weinelt W. Optimale Konvergenzaussagen für ein Differenzenverfahren zur Lösung einer Klasse von Variatiosungleichungen. // Beiträge zur Numerischen Mathematik, №10, 1981. - S. 37 - 45.

[55] Вайнельт В. К численному решению вариационных неравенств. // Дифференц. уравнения, т.17, №11, 1981. - с. 2029-2040.

[56] Вайнельт В. К численному решению вариационных неравенств. В кн.: Вариационно-разностные методы в математической физике. М., 1984. - с. 34-41.

[57] Nochetto R. Sharp I оо — error estimates for semilinear elliptic problems with free boundaries. // Numer. Math., Bd. 54, 1988. - S. 243 - 255.

[58] Nochetto R. A note on the approximation of free boundaries by finite element methods. // M2AN: Model Math, et Anal. Numer., V. 20, №. 2, 1986. - pp. 355 - 368.

[59] Nochetto R. Pointwise accuracy of a finite element method for nonlinear variational inequalities. // Numer. Math., Bd. 54, 1989. - S. 601 - 618.

[60] Фридман А. Вариационные принципы и задачи со свободной границей. - М.: Мир, 1990. - 536 с.

[61] Caffarelly L. The regularity of free boundaries in higher dimensions. // Acta Math., V. 139, 1977. - pp. 155 - 184.

[62] Caffarelly L. Compactness methods in free boundary problems. // Commun. Partial Differ. Equations, №. 5, 1980. - pp. 427 - 448.

[63] Caffarelly L. A remark on the housdorf measure of a free boundary and the convergence of coincidence sets. // Boll. Unione mat. ital. Ser V., V. 18, 1981. - pp. 109 - 113.

[64] Fage D.M. The indicatrix method in free boundary problems. // Numer. Math., Bd. 38, №2, 1981. - S. 39 - 52.

ч

[65] Fage D.M. The indicatrix method. II. // Numer. MathBd. 38, №3, 1981. - S. 255 - 261.

[66] Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых' задач. - М: Мир, 1972. 587 с.

[67] Bensoussan A., Lions J.-L. Application des inequations variationelles en control stochastique. - Paris: Dunod, 1978.

[68] Галахов M.A., Гусятников П.В., Новиков А.П. Математические модели контактной гидродинамики. - М.: Наука, 1985. - 293 с.

[69] Гнеденкова В.Л., Карчевский М.М., Саримов Н.Н. Численное моделирование задач гидродинамической теории смазки. - Казань: изд-во Казанского ун-тета, 1989. - 85 с.

[70] Tabata М. Uniform convergence of the up-wind finite element approximation for semilinear parabolic problems. //J. Math. Kyoto Univ., 18, 1978. - pp. 327 - 351.

[71] Pietra P. An up - wind finite element method for a filtration problem. // RAIRO Numer. Anal., V. 16, №. 4, 1982. - pp. 463 - 481.

[72] Alt H. Numerical solution of steady-state porous flow free boundary problems. //Numer. Math., Bd. 36, 1980. - S. 78 - 98.

[73] Даутов Р.З. Метод конечных элементов для эллиптических уравнений в областях с периодической структурой. // Дифференц. уравнения, Т. 21, №7, 1985. - С. 1155 - 1164.

[74] Даутов Р.З. Метод конечных элементов для краевых задач в перфорированных областях с периодической структурой. // Новосибирск, ЧММСС, Т. 17, №1, 1986. - С. 57 - 69.

[75] Даутов Р.З. Операторы точного штрафа для вариационных неравенств первого рода. - В сб.: Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1987. - С. 66 - 67.

[76] Даутов Р.З. О точности схем МКЭ для задачи Дирихле с нелокальными краевыми условиями. // Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Тезисы докл., Москва, ИММ РАН, 1991. - С. 23 - 24.

[77] Даутов Р.З. Схема мкэ для краевой задачи в области с углами. // Тез. докл. межд. научной конференции "Алгебра и анализ" (5-11 июня 1994, Казань). Изд-во КРУ, 1994. - С. 51 - 52.

[78] Даутов Р.З. Схема точности 0(h2) определения свободной границы для одномерной задачи с препятствием внутри области. // Тез. докл. межд. научной конференции "Алгебра и анализ" (5-11 июня 1994, Казань). Из-во КГУ, 1994. - С. 50 - 51.

[79] Даутов Р.З. Схема точности 0(h2) определения свободной границы для одномерной задачи с препятствием. // Казань: Изв. Вузов. Матем., №9, 1994. - С. 39 - 48.

[80] Dautov R.Z. 0(h2\na{l/h)) accuracy in distance for free boundaries in finite element'approximation to the obstacle problems. // Advanced Mathematics, Computations and Applications. Abstracts of Int. Conf. AMCA-95, NCC Publisher, Novosibirsk, 1995. - p. 82 - 83.

[81] Dautov R.Z. 0(h2 lna(l//i)) accuracy in distance for free boundaries in finite element approximation to the obstacle problems. // Proc. Int. Conf. AMCA-95, NCC Publisher, Novosibirsk, 1995. - p. 477-490.

[82] Dautov R.Z. High accuracy post-processing technique for free boundaries in finite element approximations to the obstacle problems. // Optimization Of Finite Element Approximations, (St.-Petersburg, Russia, June 25-29, 1995), Abstracts of Int. Conf., 1995. - pp. 49-50.

[83] Даутов Р.З. Об операторах точного штрафа для эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области. // Дифференц. уравнения, Т. 31, №6, 1995. - С. 961 - 970.

[84] Даутов Р.З. Схема точности 0(h21па(1//г)) для определения свободной границы в задаче с препятствием внутри области. // Дифференц. уравнения, Т. 31, №7, 1995. - С. 1191 - 1199.

[85] Даутов Р.З. Схема метода конечных элементов на основе мультипликативного выделения особенностей для краевых задач в областях с углами. // Казань: Изв. Вуз. Матем., №4, 1995. - С. 29-39.

[86] Даутов Р.З., Саримов Н.Н. Численный метод решения задачи Дирихле с нелокальными краевыми условиями. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., Т. 35, №9, 1995. - С. 1356 - 1374.

[87] Даутов Р.З. Моделирование кавитации в рамках приближения тонкого слоя. // Тезисы докл. конф., посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева (16-22 июня 1997, Казань) Казань, Из-во Казанского мат. об-ва, 1997. - С. 67.

[88] Даутов Р.З. Моделирование кавитации в рамках приближения тонкого слоя. // Казань, Из-во Каз. мат. об-ва, Иссл. по прикладной математике, вып.22, 1997. - С. 32 - 47.

[89] Dautov R.Z. High accuracy post-processing technique for free boundaries in finite element approximations to the obstacle problems. // Журн. выч. мат. и матем. физ., 38, №2, 1998. - С. 239-246.

[90] Даутов Р.З. Мультипликативное выделение особенности решения эллиптических краевых задач в окрестности угловых точек области. // Материалы Всерос. сем. "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань, Из-во Казанского мат. об-ва., 1998. - С. 16-18.

[91] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М: Наука, 1964. - 538 с.

[92] Харди, Литтлвуд, Пойа. Неравенства. - М.: ИЛ, 1948 (1964).

[93] Clement P. Approximation by finite element functions using local regularization. // Rev. Française Automat. Informat. Recherche Opérationnelle, Sér. Rouge Anal. Numér. R-2. 1975. - pp. 77 - 84.

[94] Тимербаев M.P. Оценки погрешности n-мерной сплайн-интерполяции в весовых нормах. // Казань: Изв. Вузов. Матем., №10, 1992. - С. 54 - 60.

[95] Тимербаев М.Р. Теоремы вложения весовых пространств Соболева. // Казань: Изв. Вузов. Матем., №9, 1991. - С. 56 - 60.

[96] Даутов Р.З., Лапин А.В. Исследование сходимости в сеточных нормах схем метода конечных элементов с численным интегрированием для эллиптических уравнений четвертого порядка. // Дифференц. уравнения, Т. 17, №7, 1981. - С. 1256 - 1270.

[97] Даутов Р.З. Суперсходимость схем МКЭ с численным интегрированием для квазилинейных эллиптических уравнений четвертого

порядка. // Дифференц. уравнения, Т. 18, №7, 1982. - С. 1172 -1181.

[98] Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. - М.: Мир, 1974.

[99] Marchuk G.I., Shaydourov V.V. Increase of accurasy of projective-diiference skemes. // Lecture Notes in Computer Math., 11, 1974. -pp. 120-140.

[100] Михлин С.Г. Вариционно-сеточная аппроксимация. Записки научных семинаров ЛОМИ. - Л.: Наука, 1974. - 48 с.

[101] Федорова O.A. Вариационно-разностная схема для одномерного уравнения диффузии. // Матем. заметки, Т. 17, №6, 1975. - С. 893 - 898.

[102] Злотник A.A. Проекционно-разностная схема для одномерного параболического уравнения с негладким решением. // Вестник МГУ. Сер. Выч. Мат. и киберн., №1, 1977. - С. 78 - 83.

[103] Агошков В.И. О вариационной форме интегрального тождества Г.И.Марчука. // Препринт ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1977.

[104] Злотник A.A. Проекционно-разностная схема для уравнения колебания струны. //ДАН СССР, Т. 245, №2, 1979. - С. 292-295.

[105] Катрахова A.A. Об одном численном методе для некоторых сингулярных краевых задач. // Дифференц. уравнения, №5, 1995. -С. 805 - 819.

[106] Амосов A.A., Амосова O.A. Оценка погрешности вариационно-разностной схемы для общего одномерного стационарного урав-

нения теплопроводности с негладкими коэффициентами и слабым вырождением. // Препринт №46. М.: ОВМ АН СССР, 1983.

[107] Амосов A.A., Амосова O.A. Оценка погрешности вариационно-разностной схемы для вырожденного уравнения диффузии с разрывными коэффициентами. Вариационно-разностные методы в математической физике. - М.: ОВМ АН СССР, 1984. - С. 4 - 12.

[108] Bramble J.H., Hilbert S. Bounds for the class of linear functionals with applications to Hermite interpolation. // Numer. Math., V. 16, №4, 1971. - pp. 362 - 369.

[109] Григолюк Э.И., Фильштинский JI.А. Перфорированные пластины и оболочки. - М.: Наука, 1970.

[110] Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Панасенко Г.П. Асимптотическое разложение решения системы теории упругости с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами. // ДАН СССР, Т. 266, №1, 1982. - С. 18 - 22.

[111] Олейник O.A., Иосифьян Г.А. Оценка отклонения решения системы теории упругости в перфорированной области от решения усредненной системы. // УМН, Т. 37, №5, 1982. - С. 195 - 196.

[112] Шамаев A.C. Осреднение решений и собственных значений краевых задач для эллиптических уравнений в перфорированных областях. // УМН, Т. 37, №2, 1982. - С. 243 - 244.

[113] Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Усреднение собственных значений и собственных функций краевой задачи теории упругости в перфорированной области. // Вест. Моск. ун-та. Сер I. Матем. и механ., №4, 1983. - С. 53 - 63.

[114] Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. - М.: Мир, 1974.

[115] Бабенко К.И. Основы численного анализа. - М.: Наука, 1986.

[116] Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное иследование вариационных неравенств. - М: Мир, 1979. 574 с.

[117] Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптичекие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. - М: Наука, 1989. - 463 с.

[118] Уральцева Н.Н. О регулярности решений вариационных неравенств. // УМЕ, Т. 42, Вып. 6(258), 1987. - С. 151 - 174.

[119] Лапин А.В., Соловьев Д.О. Решение сеточных задач с препятствием внутри области. // Препринт №140. М.: ОВМ АН СССР, 1986. - 21 с.

[120] Natterer F. Uber die punktweise Konvergent Finiter Elemente. // Numer. Math., Bd. 25, №1, 1975. - S. 67 - 77.

[121] Falk R. Error estimates for the approximation of a class of variational inequalities. //Math. Comput., V. 28, №. 28, 1974. - pp. 963 - 971.

[122] Mosco U., Strang G. One-sided approximations and variational enequalities. // Bull. Amer. Math. Soc., V. 80, №. 2, 1974. - pp. 308 - 312.

[123] Freshe J., Rannacher R. Asymptotic L^ - error estimates for linear finite element approximations of quasilinear boundary value problems. // SI AM J. Numer. Anal., V. 15, 1978. - pp. 418 - 431.

[124] Rannacher R. Zur L^ - konvergenz linearer finiter elemente beim Dirichlet-problem. //Math. Z., V. 149, 1976. - pp. 69 - 77.

[125] Schatz A., Walbin L. On the quasi-optimality in L^ of the Hq projection into finite element spaces. // Math. Comput., V. 38, 1982. - pp. 1 - 22.

[126] Falk R.S. Approximation of an elliptic boundary value problem with unilateral constraints. // Rev. Française Automat. Informat. Recherche Opérât., Sér. Rouge Anal. Numér. R-2, 1975. - pp. 5-12.

[127] Berger A.E. The trancation method for the solution of a class of variational enequalities. // Rev. Française Automat. Informat. Recherche Opérationnelle, Sér. Rouge Anal. Numér, №10, 1976. -pp. 29 - 42.

[128] Noor M.A. /2 estimates for variational inequalities. // C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada, V. 4, №. 3, 1982. - pp. 165 - 170.

[129] Noor M.A., Noor K.I. Error estimates for the finite element solutions of variational inequalities. // Annal. Pol. Math., V. 4, №. 2, 1983. -pp. Ill - 115.

[130] Ривкинд В.Я. Метод конечного элемента (МКЭ) для решения задач с ограничениями. - Труды 3-й Всесоюзной конф. по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1974. - С. 74 - 82.

[131] Brezis F., Hager W., Raviart P. Error estimate for the finite element solution of variational inequalities. // Numer. Math., №. 28, 1977. -pp. 431 - 443.

[132] Овсянников JI.В. Лекции по основам газовой динамики. - М.: Наука, 1981. - 368 с.

[133] Архангельский Е.П. О границах несущего слоя смазки в сложно нагруженном подшипнике скольжения. - В сб.: Исследование смазочных материалов при трении. М.: Наука, 1981. - С. 60 - 66.

[134] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977. - 742 с.

[135] Ciarlet P., Raviart P. Maximum principle and uniform convergence for the finite element method. // Comput. Methods Appl. Engrg., 2, 1973. - pp. 17 - 31.

[136] Красносельский M.A., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 455 с.

[137] Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. - Noordhoff Intern. Publ., 1976.

[138] Лапин А.В. Методы релаксации для некоторых классов вариационных неравенств. - В сб.: Численный анализ и математическое моделирование. М.: ОВМ АН СССР, 1989. - С. 127 - 143.