Итерационные методы решения вариационных неравенств нелинейной стационарной фильтрации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Исмагилов, Линар Наилевич

• Исмагилов, Линар Наилевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Исмагилов, Линар Наилевич

ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ

1.1 Постановка нелинейной стационарной задачи фильтрации.

1.2 Постановка задачи об определении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти.

2 ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ МЕТОДА ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПСЕВДОМОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ

2.1 Постановка общей задачи.

2.2 Метод итеративной регуляризации в случае банахова пространства.

2.3 Исследование сходимости метода итеративной регуляризации в случае банахова пространства.

2.4 Исследование сходимости метода итеративной регуляризации в случае гильбертова пространства.

2.5 Реализация метода итеративной регуляризации в случае гильбертова пространства.

2.6 Решение нелинейных стационарных задач фильтрации методом итеративной регуляризации

3 ИССЛЕДОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА

РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ

НЕРАВЕНСТВ С ОБРАТНО

СИЛЬНО МОНОТОННЫМИ ОПРЕАТОРАМИ

3.1 Задача о поиске седловой точки.

3.2 Построение итерационного метода расщепления.

3.3 Исследование сходимости итерационного метода расщепления.

3.4 Решение нелинейных стационарных задач фильтрации методом расщепления.

4 РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ

4.1 Построение внутренних аппроксимаций для вариационных неравенств с пседомо-нотонными операторами. Построение схем МКЭ для стационарных задач фильтрации.

4.2 Точные характеристики для некоторых задач фильтрации.

4.2.1 Задача определения целиков остаточной нефти в случае бесконечной цепочки скважин.

4.2.2 Задача определения целиков остаточной нефти в случае пятиточечной площадной системы скважин

4.3 Результаты численных экспериментов для модельных задач.

4.3.1 Результаты решения задачи об определении целиков остаточной нефти в случае бесконечной цепочки скважин.

4.3.2 Результаты решения задачи об определении целиков остаточной нефти в случае пятиточечной площадной системы скважин.

4.4 Результаты численных экспериментов для задач фильтрации с законами, имеющие степенной рост, и для областей, отличных от прямоугольных.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Итерационные методы решения вариационных неравенств нелинейной стационарной фильтрации»

Математическое моделирование является одним из наиболее эффективных способов решения многочисленных задач, возникающих в различных практических областях - механике, физике, экономике, биологии, медицине и т.д. Многие такие задачи описываются уравнениями и неравенствами с частными производными. В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения. Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения необходимо использовать численные методы, основанные на конечномерных аппроксимациях изучаемых задач при помощи метода конечных элементов и метода конечных разностей. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для линейных уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например, в [59], [77], [79], [85], [110], [118] - [123], [125], [126].

Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, к которым относятся, в частности, задачи нелинейной фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом (см., например, [48], [66], [73], [83], [84], [105], [106], [114], [116], [128], [129], [132]).

Диссертация посвящена построению и исследованию приближенных методов решения нелинейных стационарных задач фильтрации с предельным градиентом (см. [3], [4], [107], [116]) и задач об определении предельно-равновесных целиков остаточной вязко пластичной нефти (см. [48], [68] -[72], [83], [113], [124]). Эти классы задач описываются математически с помощью уравнений и вариационных неравенств с вырождающимися операторами монотонного типа (монотонными, обратно сильно монотонными [62], псевдомонотонными [94]) в банаховых пространствах.

Методы теории монотонных и псевдомонотонных операторов (см., например, [35],[44] - [47], [49], [50], [56], [58], [81], [91], [94], [142] - [144]), а также выпуклого анализа (см., например, [53] - [55], [57], [74], [95], [104],

115], [117], [130], [133], [140]) оказываются весьма плодотворными при исследовании указанного круга задач, построении и исследовании методов их решения.

Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.

Вопросам исследования разностных методов решения нелинейных стационарных задач теории фильтрации несжимаемой жидкости, следующей непрерывному закону фильтрации с предельным градиентом посвящены работы [60], [61], [76], [78], [79], [98], [99], где математически задача сформулирована в виде квазилинейного вырождающегося эллиптического уравнения. В [78], [79], [98] доказаны теоремы существования решения и единственности скорости фильтрации, проведена и исследована аппроксимация закона фильтрации с предельным градиентом близким законом без предельного градиента. В [61], [76], [79], [98] строятся и исследуются разностные схемы для указанных задач, изучаются вопросы существования и сходимости решений разностных схем и сходимости разностных скоростей фильтрации. В [60], [79], [98] предложены и исследованы итерационные методы численного решения разностных схем.

Математическая модель задачи стационарной фильтрации с разрывным законом в виде вариационного неравенства второго рода рассмотрена в работе [89], где, в частности, исследованы вопросы аппроксимации разрывного закона фильтрации с предельным градиентом близким непрерывным законом без предельного градиента. В [93] рассматривался вариант метода расширенного лагранжиана численной реализации конечномерной аппроксимации стационарной задачи фильтрации с разрывным законом.

Вопросам корректности математических моделей стационарных задач фильтрации с разрывным законом, сформулированных в виде вариационных неравенств первого рода, задач на минимум функционала, с многозначными операторами, исследованию двойственных задач посвящены работы [8], [33], [75], [80], [96]. В частности, в работе [75] установлена эквивалентность вариационного неравенства первого рода включению с многозначным законом фильтрации. В работах [6], [31], [38], [92], [97], [99], [101] проводилось построение и исследование конечномерных аппроксимаций (конечно-разностных и конечноэлементных) для рассматриваемых задач. В работах [7], [32], [33] изучались вопросы регуляризации разрывного закона близким непрерывным.

Вопросам построения и исследования итерационных методов решения вариационных неравенств с монотонными, максимально монотонными, сильно монотонными операторами посвящено большое количество работ. Следует отметить, что, как правило, рассматривались случаи конечномерного или гильбертова пространства (см. [5], [14] - [17], [32], [43], [47], [51], [52], [58], [59], [62], [64], [65], [81], [82], [111], [130], [135] - [145]). В случае банаховых пространств отметим здесь работы [10] - [13], [28], [29], [36], [45], [46], [56].

Для задач фильтрации итерационные методы рассматривались в работах [9], [И], [15], [29], [32] - [34], [36] - [38], [40] - [43], [93], [97], [99], [101]. Эти методы предполагали предварительную регуляризацию - замену разрывного закона фильтрации близким непрерывным.

Отметим, что для ряда специальных областей и законов фильтрации в работах [3], [48], [68] - [73], [83], [107], [116], [124], [129] были построены точные характеристики решения (границы областей, где модуль градиента давления равен предельному градиенту) методами теории струй [63]. Эти характеристики оказываются весьма полезными при оценке эффективности приближенных методов, предложенных для решения задач с произвольными областями и законами фильтрации.

Некоторые вопросы теории разностных методов для нестационарных задач теории фильтрации в случае разрывного закона фильтрации с предельным градиентом рассмотрены в работах [90], [100] - [103], где математическая модель процесса нестационарной фильтрации формулируется в виде параболического вариационного неравенства, исследуются вопросы существования и единственности решения, регуляризации разрывного закона близким непрерывным, строятся и исследуются разностные схемы.

В настоящей диссертации проведено построение и исследование приближенных методов решения вариационных неравенств второго рода с псевдомонотонными операторами и недифференцируемыми выпуклыми функционалами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых и гильбертовых пространствах, возникающих при описании стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Исмагилов, Линар Наилевич, 2005 год

1.A. О решении некоторых уравнений, содержащих разрывные монотонные преобразования/А.А. Абрамов, А.Н. Гаипова// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1972. - Т. 12. - N 1. - С. 204-207.

2. Абрамов A.A. О некоторых уравнениях, содержащих монотонные разрывные операторы/А.А. Абрамов, А.Н. Гаипова// Доклады АН СССР. 1973. - Т. 212. - N 3. - С. 529-532.

3. Алишаев М.Г. О стационарной фильтрации с начальным градиентом/ М.Г. Алишаев// В сб. Теория и практика добычи нефти. М.: Недра, - 1968, - С. 202-211.

4. Алишаев М.Г. О некоторых особенностях фильтрации пластовой девонской нефти при пониженных температурах/М.Г. Алишаев, Г.Г. Ва-хитов, М.М. Гехтман, И.В.Глумов// Известия АН СССР, сер. Механика жидкости и газа. 1966. - N 3. - С. 166-169.

5. Алъбер Я. И. Принцип невязки при решении нелинейных задач с монотонными операторами регуляризующий алгоритм/Я.И. Альбер, И.П. Рязанцева// Доклады АН СССР. - 1978 - Т. 212. - N 5. - С. 10171020.

6. Вадриев И.Б. Разностные схемы для нелинейных задач фильтрации с разрывным законом// Изв. ВУЗов. Матем. 1983. - N 5. - С. 3-12.

7. Вадриев И. Б. О регуляризации нелинейной задачи теории фильтрации с разрывным законом/ И.Б. Вадриев // Исследования по прикл. математике, Вып. 10. Казань: изд-во Казан, гос. ун-та, - 1984. -С. 162-176.

8. Бадриев И. Б. Применение метода двойственности к исследованию стационарных задач фильтрации с разрывным законом/ И.Б. Бадриев// Исследования по прикл. математике, Вып. 13. Казань: изд-во Казан, гос. ун-та, - 1985.- С. 67-75.

9. Бадриев И.Б. Исследование сходимости итерационного процесса для уравнений с вырождающимися операторами/И.Б. Бадриев, O.A. За-дворнов// Дифф. уравнения. 1996 - Т. 32. - N 7. - С. 898-901.

10. Бадриев И. Б. О сходимости итерационного процесса для решения вариационного неравенства второго рода/И.Б. Бадриев, O.A. Задвор-нов// Исследования по прикл. математике. Вып. 22. Казань: Изд-во Казан, матем. общ-ва, - 1997. - С. 5-17.

11. Бадриев И. Б. О сильной сходимости итерационного метода для операторов с вырождением/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов//Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1997. - Т.37, - N 12. - С. 1424-1426.

12. Бадриев И. Б. Построение и исследование сходимости итерационных методов решения вариационных задач с недифференцируемым функционалом/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов// Дифф. уравн. 2002, -Т. 38. - N 7, - С. 930-935.

13. Бадриев И. Б. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов// Известия ВУЗов. Математика. 2003. - N 1. - С. 20-28.

14. Бадриев И. Б. Методы декомпозиции для решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов// Дифф. уравнения. 2003, - Т. 39. -N 7. - С. 888-895.

15. Бадриев И. Б. Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах./И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов// Казань: Изд-во КГУ, 2003. - 132 с.

16. Бадриев И. Б. Исследование сходимости итерационных методов решения некоторых вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов, A.M. Саддек// Дифф. уравн. 2001, - Т. 37. - N 7, - С. 891-898.

17. Бадриев И. Б. О конечномерных аппроксимациях некоторых вариационных неравенств второго рода/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов,A.M. Саддек //Иссл-я по прикл. матем. и информатике, Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, 2001. - Вып. 23. - С. 8-21.

18. Бадриев И. Б. О решении некоторых вариационных неравенств второго рода/И.Б. Бадриев, O.A. Задворнов, A.M. Саддек //Иссл-я по прикл. матем. и информатике, Казань: Изд-во Каз. матем. об-ва, -2001. Вып. 23. - С. 22-30.

19. Бадриев И.Б. Применение метода двойственности к решению нелинейных задач теории фильтрации с предельным градиентом/И.Б. Бадриев, М.М. Карчевский// Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. -N 7. - С. 1133-1144.

20. Бадриев И.Б. Методы двойственности в прикладных задачах (общая теория)./И.Б. Бадриев, М.М. Карчевский// Казань: Изд-во Казанск. ун-та,- 1987. - 147 с.

21. Бадриев И.Б. О сходимости итерационного процесса в банаховом пространстве/И.Б. Бадриев, М.М. Карчевский// В сб. Исслед по прикл. матем-ке, Вып. 17. Казань: Изд-во Казан, ун-та, - 1990. - С. 3-15.

22. Бадриев И. Б. Исследование сходимости итерационных методов решения нелинейных задач теории фильтрации/И.Б. Бадриев, А.Д. Ляш-ко, О.В. Панкратова// Известия ВУЗов. Матем. 1998. N 11. - С. 8-13.

23. Бадриев И.Б. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных стационарных задач теории фильтрации/И.Б. Бадриев, О.В. Панкратова// В сб. Исслед-ния по прикл. математике. Вып. 16. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, - 1989. - С. 17-34.

24. Бадриев И.Б. Итерационные методы решения задач фильтрации с разрывным законом с предельным градиентом/И.Б. Бадриев, О.В. Панкратова, P.P. Шагидуллин// Дифференциальные уравнения. 1997. -Т. 33. - N 3. - С. 396-399.

25. Бадриев И.Б. О сходимости итерационного процесса с монотонным оператором в гильбертовом пространстве/И.Б. Бадриев, P.P. Шаги-дуллин//В сб. Исследования по прикладной математике. Вып. 22. -Казань: Изд-во Казан, математ. общества, 1997. - С. 17-21.

26. Байокки К. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей./К. Байокки, А. Капелло//-М.: Наука, 1988. 448 с.

27. Бакушинский А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. /А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский// М.: Изд-во МГУ, 1989. - 199 с.

28. Бакушинский А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач. /А.Б. Бакушинский, A.B. Гончарский// М.: Наука, 1989. - 128 с.

29. Бенсусан А. Методы декомпозиции, децентрализации, координации и их приложения/А. Бенсусан , Ж.-Л. Лионе, Р. Темам// Методы вычислит, математики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1975. -С. 144-274.

30. Бернандинер М.Г. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей./ М.Г.Бернандинер , В.М. Ентов. М.: Наука, 1975. - 199 с.

31. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. / М.М. Вайнберг. М.: Гостехиздат, 1956. - 344 с.

32. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. / М.М. Вайнберг. М.: Наука, 1972. - 416 с.

33. Вайнелът В. К численному решению вариационных неравенств / В. Вайнельт // Дифференц. уравнения. 1981.- Т.17. - № 11.- С. 2029 - 2040.

34. Вайнелът В. К численному решению вариационных неравенств / В. Вайнельт// Вариационно-разностные методы в математической физике. М., 1984. - С. 34 - 41.

35. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1980. - 518 с.

36. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1981. - 400 с.

37. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. / Ф.П. Васильев. М.: Наука, 1988. - 552 с.

38. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения./Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. -М.: Мир, 1978. 336 с. Захариас

39. Галеев Э.М. Краткий курс теории экстремальных задач./ Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. М.: Изд-во Московского ун-та, 1989. - 204 с.

40. Главачек И. Решение вариационных неравенств в механике./ И. Гла-вачек, Я. Гаслингер, И. Нечас, Я. Ловишек М.: Мир, 1986. - 270 с.

41. Гловински Р.Г. Численное исследование вариационных неравенств./ Р.Г. Гловински, Ж.-Л. Лионе, Р. Тремольер. М.: Мир, 1979. - 576 с.

42. Глушенков В.Д. Об одном уравнении нелинейной теории фильтрации/ В.Д. Глушенков // Прикладная математика в научно-технических задачах. Казань: Изд-во Казан, гос. ун-та, - 1976. - С. 12 - 21.

43. Глушенков В.Д. Разностная схема для одного вырождающего квазилинейного эллиптического уравнения / В.Д. Глушенков // Применение ЭВМ к решению задач мат. физики и АСУ. Казань: Изд-во КГУ.- 1977. С. 121-126.

44. Голъштейн Е.Г. Модифицированные функции Лагранжа./ Е.Г. Голь-штейн, Н.В. Третьяков.- М.: Наука. 1989. - 400 с.

45. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости./ М.И. Гуревич. -М.: Наука, 1961. 496 с.

46. Даутов Р.З. Об операторах точного штрафа для эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области/Р.З. Даутов// Дифференц. уравнения. 1995.- Т.31. - № 6.- С. 961 - 970.

47. Девликамов В.В. Аномальные нефти./ В.В. Девликамов, З.А. Ха-бибуллин, М.М. Кабиров. М.: Недра, 1975. - 168 с.

48. Дюво Г. Неравенства в механике и физике./ Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе. -М.: Наука, 1980. 384 с.

49. Ентов В.М. О расчете предельно равновесных целиков при вытеснении вязкопластической нефти из слоисто-неоднородного пласта/В.М. Ентов, Т.А. Малахова, В.Н. Панков, C.B. Панько// Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44. - N 1. - С. 113-123.

50. Ентов В.М. К расчету целиков остаточной вязко-пластической нефти/В.М. Ентов, В.Н. Панков, C.B. Панько// Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44. - N 5. - С. 847-856.

51. Ентов В.М. О форме целика остаточной вязкопластичной нефти при разработке круговой скважины/В.М. Ентов, В.Н. Панков, C.B. Панько// Известия АН СССР, сер. МЖГ. 1984. - N 4. - С. 88-93.

52. Ентов В.М. Математическая теория целиков остаточной вязкопластичной нефти. / В.М. Ентов, В.Н. Панков, C.B. Панько. Томск: Изд-во Томского ун-та. - 1989. - 196 е.

53. В.М. Ентов К вариационной формулировке задачи о целиках остаточной нефти/В.М. Ентов, C.B. Панько // Прикладная математика и механика. 1984. - Т. 48. - N 6. - С. 966-972.

54. Ильинский Н.В. Задача нелинейной фильтрации с неоднолистной областью годографа скорости/Н.Б. Ильинский, Е.Г. Шешуков// Изв. вузов. Математика. 1972. - N 10. - С. 34-40.

55. Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач. / А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. М.: Наука, 1974. - 480 с.

56. Карчевский М.М. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами/М.М. Карчевский, И.Б. Бадри-ев//Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР. - Т. 10. - N 5. - 1979. - С. 63-78.

57. Карчевский М.М. Исследование разностной схемы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации/М.М. Карчевский, A.B. Лапин// Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ. - 1979. - Вып 6. - С. 23 - 31.

58. Карчевский М.М. Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений. 1/М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко// Изв. вузов. Математика. 1972. - N 11. - С. 23-31.

59. Карчевский М.М. Исследования нелинейных задач теории фильтрации. /М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко//Труды семинара по краевым задачам. Вып.11. Казань: Изд-во КГУ, 1974. - С. 64-72.

60. Карчевский М.М. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики./М.М. Карчевский, А.Д. Ляшко// Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1976. - 156 с.

61. Кипдерлерер Д. Введение в вариационные неравенства и их приложе-ния./Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья// М.: Мир, 1983. - 256 с.

62. Конное И.В. Обобщенные вариационные неравентсва на произведении множеств/ И.В. Коннов// Исследования по информатике, Казань: Изд-во Отечество. 2001. -Вып. 3. - С. 111-120.

63. Котляр Л.М. Плоские стационарные задачи фильтрации жидкости с предельным градиентом./Л.М. Котляр, Э.В. Скворцов// Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1978. - 144 с.

64. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. / А.Н. Коновалов. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. -166 с.

65. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. / В.Г. Корнеев. JI: изд-во Лениградского ун-та, 1977. -208 с.

66. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений./ М.А. Красносельский. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

67. Лаврентьев М.А. Методы теории функции комплексного переменного./ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат М.: Наука, 1977. -700 с.

68. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики./ O.A. Ладыженская М.: Наука, 1973. - 407 с.

69. Лапин A.B. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации/ A.B. Лапин // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.1979. Т. 19. - N 3. - С. 689 -700.

70. Лапин A.B. Исследование одного нестационарного нелинейного вариационного неравенства/ A.B. Лапин // Дифференц. уравнения.1980. Т. 16. - N 7. - С. 1245-1254.

71. Лапин A.B. Введение в теорию вариационных неравенств./ A.B. Лапин. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1981. - 122 с.

72. Лапин A.B. Сеточные аппроксимации вариационных неравенств./ A.B. Лапин. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1984. -96 с.

73. Лапин A.B. Метод расширенного лагранжиана для задач фильтрации с предельным градиентом/ A.B. Лапин.// Вычислит, процессы и системы. М.: Наука, 1987. - Вып. 6. - С. 192-198.

74. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач./Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. - 588 с.

75. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация./ П.-Ж. Лоран. М.: Мир, 1975. - 496 с.

76. Ляшко А. Д. О вариационном методе для уравнений с разрывными монотонными операторами/А.Д. Ляшко, И.Б. Бадриев, М.М. Карчев-ский//Известия ВУЗов. Математика. 1978. - N 11. - С. 63-69.

77. Ляшко А.Д. О решении некоторых нелинейных задач теории фильтрации/А. Д. Ляшко, М.М. Карчевский// Изв. ВУЗов. Математика. -1975. N 6. - С. 73-81.

78. Ляшко А.Д. Разностные методы решения нелинейных задач теории фильтрации/А.Д. Ляшко, М.М. Карчевский// Изв. ВУЗов. Математика. 1983. - N 7. - С. 28-45.

79. Ляшко А.Д. О нестационарных неравенствах с разрывными монотонными операторами и их сеточных аппроксимациях/А.Д. Ляшко, М.М. Карчевский, М.Ф. Павлова// Численные методы и их приложения. София. - 1984. - С. 70-74.

80. Ляшко А.Д. Разностные схемы для задач фильтрации с предельным градиентом/А.Д. Ляшко, М.М. Карчевский, М.Ф. Павлова// -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. 122 с.

81. Ляшко А.Д. Исследование неявной разностной схемы для одного вариационного неравенства нелинейной теории фильтрации/А.Д. Ляшко, М.Ф. Павлова//Дифф. уравнения.- 1980. Т. 16.^ 7. - С. 12551264.

82. Ляшко А. Д. О разностной аппроксимации нелинейного нестационарного вариационного неравенства/А.Д. Ляшко, М.Ф. Павлова// Дифферент уравнения. 1984. - Т. 20. - N 7. - С. 1237-1247.

83. Магарил-Илъяев Г.Г. Выпуклый анализ и его приложения. /Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров// М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 176 с.

84. Мирзаджанзаде А.Х. О теоретической схеме явления ухода раствора/ А.Х. Мирзаджанзаде // Известия АН АзССР. 1953, - Т. 9 - N 4. - С. 203-205.

85. Мирзаджанзаде А.Х. Вопросы гидродинамики вязко-пластичных и вязких жидкостей в нефтедобыче./ А.Х. Мирзаджанзаде. Баку: Аз-нефтиздат, 1966. - 409 с.

86. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов./ С.Г. Михлин. М.: Наука, 1966. - 430 с.

87. Мосолов П.П. Вариационные методы в теории течений вязко-пластической среды/П.П. Мосолов, В.П. Мясников// Прикладная математика и механика. 1965. - Т. 29, Вып. 3. - С. 468 - 492.

88. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач./ Ж.П. Обэн. М.: Мир, 1980. - 384 с.

89. Обен Ж.-П. Прикладной нелинейный анализ./Ж.-П. Обен, И. Эк-ланд. М.: Мир, 1988. - 516 с.

90. Павлова М.Ф. Исследование уравнений нестационарной нелинейной фильтрации/М.Ф. Павлова// Дифф. уравнения. 1987. - Т. 23. - N 8. -С. 1436-1446.

91. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод./ П.Я. Полубаринова-Кочина. М.: Наука, 1977. - 664 с.

92. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи./ Б.Н. Пшеничный. М.: Наука, 1980. - 320 с.

93. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: Наука, 1969. - 546 с.

94. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ./ Р. Рокафеллар. М.: Мир, 1973. - 466 с.

95. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем./ A.A. Самарский. М.: Наука,- 1971. - 552 с.

96. Самарский A.A. Теория разностных схем./ A.A. Самарский. М.: Наука, 1977. - 656 с.

97. Самарский A.A. Разностные методы для эллиптических уравнений. /A.A. Самарский, В.Б. Андреев. М.: Наука, 1976. - 352 с.

98. Самарский A.A. Устойчивость разностных схем./A.A. Самарский, A.B. Гулин. М.: Наука, 1973. - 315 с.

99. Самарский A.A. Численные методы./A.A. Самарский, A.B. Гулин.-М.: Наука, 1989. 432 с.

100. Самарский А. А. Методы решения сеточных уравнений./А.А. Самарский, Е.С. Николаев// М.: Наука, 1978. - 590 с.

101. Скворцов Э.В. Подземная гидромеханика аномальных жидкостей./ Э.В. Скворцов. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985. - 76 с.

102. Стренг Г. Теория метода конечных элементов./Г. Стренг, Дж. Фикс// М.: Мир, 1977. - 512 с.

103. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач./ Ф. Сьярле. М.: Мир. 1980. - 512 с.

104. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ./ Р. Темам. М.: Мир, 1981. - 408 с.

105. Фаткуллин Р.Г. Теоремы сравнения для некоторых задач фильтрации в неоднородных грунтах/Р.Г. Фаткуллин , Н.Д. Якимов // Известия АН СССР "Механика жидкости и газа", 1981 N2. - С.165-169.

106. Христианович С.А. Движение грунтовых вод, не следующих закону Дарси/ С.А. Христианович// Прикл. матем-ка и мех-ка. 1940. - Т. 4, Вып. 1. - С. 33 - 52.

107. Экланд И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы./И. Экланд, Р. Темам// М.: Мир, 1979. - 400 с.

108. Эроу К. Исследования по линейному и нелинейному программиро-ванию./К. Эроу , Гурвиц, Удзава// М.: ИЛ, 1962. - 334 с.

109. Якимов Н.Д. Исследование разрешимости задачи фильтрации в неоднородной земляной плотине./ Н.Д. Якимов//Докл. АН СССР, 1979, Т.249 N 2 - С. 307-310.

110. Auchmuty G. Variational principles for variational inequalities/ G. Auchmuty// Numer. Funct. Anal, and Optimiz. -1989. V. 10. - N 9-10. - P. 863-874.

111. Badriev I.B. On the methods of iterative regularization for the variational inequalities of the second kind/I.B. Badriev, O.A. Zadvornov, L.N. Ismagilov// Computational Methods in Applied Mathematics. -2003, Is.3. - N. 2. - P.223-234

112. Gabay D. A dual algorithm for the solution of nonlinear variational problems via finite element approximation/D. Gabay, B. Mercier// Comp. and Math, with Applications, Pergamon Press. 1976. - V. 2 . - P 17-40.

113. Konnov I. V. On the generalized vector variational inequality problem/I.V. Konnov, J.-C. Yao// O. Math. Anal. Appl. 1997. - V.226. -№.-P. 42-58.

114. Lions P.L. Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators/P.L. Lions, B. Merscier//SIAM J. Numer. Anal. 1979. - V. 16. - N 6. - P. 964-979.

115. Opial Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings/ Z. Opial// Bull. Amer. Math. Soc. 1967. -V. 73. - P. 591-597

116. Résolution numériques de problèmes aux limites par des méthodes de Lagrangien augmenté /Eds M.Fortin, R.GIowinski. Paris: Dunod, 1983. -320 p.

117. Maruster S. The solution by iteration of nonlinear equations in Hilbert spaces/ S. Maruster // Proc. Amer. Math. Soc. 1977. - V. 63 (1). - P. 69 -73

118. Rockafellar R.T. Convex functions, monotone operators and variational inequalities/ R.T. Rockafellar// in Theory and Applications of Monotone Operators, Tipografía Oderisi Editrice, Gubbio, Italy, 1969. P. 35-65.

119. Rockafellar R.T. Augmented Lagrangian multiplier rule and duality in nonconvex programming/ R.T. Rockafellar// SIAM J. Control and Optimization. 1974. - V. 12 - N 2, - P. 268-285.

120. Rockafellar R.T. Monotone Operators and Augmented Lagrangian Methods in Nonlinear Programming/ R.T. Rockafellar// Nonlinear Programming, Acad. Press. 1978. - N 3, - P. 1-25.

121. Tzeng P. Futher Applications of a Splitting Algorithm to Decomposition in Variational Inequalities and Convex Programming/ P. Tkeng// Mathematical Programming. 1990. - V. 48, - P. 249-264.

122. Zhu D. New classes of generalized monotonicity/D. Zhu, P. Marcotte// Journal of Optimazation Theory and Applications. 1995. - V. 87. - N 2, -P. 457-471.