Численное моделирование нелинейных процессов теплопроводности с фазовыми превращениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кадыров, Рафаэль Фаридович

• Кадыров, Рафаэль Фаридович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кадыров, Рафаэль Фаридович

Введение б

1 Задача Стефана

1.1 Классическая постановка.

1.2 Обобщенная постановка.

1.3 Теорема сравнения.;.

2 Задача о непрерывной выплавке стали

2.1 Прямая задача.

2.1.1 Поточечная формулировка.

2.1.2 Дискретизация по времени.

2.1.3 МКЭ-аппроксимация.

2.1.4 Неявная схема Эйлера.

2.1.5 Выбор начального приближения.

2.1.6 Явная схема Эйлера с переменными шагами но времени

2.1.7 Численные результаты.

2.2 Задача оптимального управления

2.2.1 Общая постановка задачи оптимального управления

2.2.2 Оптимальное управление процессом выплавки стали

2.2.3 Получение градиентной информации. Сопряженное состояние.

2.2.4 Метод наискорейшего спуска.

2.2.5 Метод редукции

2.2.6 Численные результаты.

3 Расчет теплового поля при электронно-лучевой сварке пластин

3.1 Постановка задачи.

3.2 Вспомогательная задача.

3.3 МКЭ аппроксимация.

3.3.1 Слабая постановка.

3.3.2 Триангуляция области.

3.3.3 Дискретизация уравнений.

3.3.4 Регуляризация стационарной задачи.

3.4 Численные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование нелинейных процессов теплопроводности с фазовыми превращениями»

При выплавке металла, сварке и резке плавлением, термоупрочнени-ии в металлургии, ряде других производств и технологий осуществляется горячая обработка металлов. Она сопровождается поверхностным и объемным воздействием мощных источников энергии, вызывающих нагрев и плавление обрабатываемого материала с последующим охлаждением и кристаллизацией. Происходящие при этом структурные и фазовые превращения, а также остаточные напряжения определяют технологические свойства изделия.

Разработка новых технологий горячей обработки металлов, а также средств автоматического управления технологическими процессами, предполагает создание средств прогноза и оптимизации натурных экспериментов, результаты которых в значительной степени определяются динамикой температурного поля. Поэтому математическое моделирование тепловых процессов в металлах, составляющее предмет работы, является актуальным.

Реальные объекты технологических операций зачастую представляют собой трехмерные тела сложной формы, состоящие, как правило, из нескольких элементов с различными теплофизическими свойствами. Теплопроводность и теплоемкость металлов зависят от температуры. Наличие нагревателей вызывает структурные и фазовые изменения материала. Учет изменения энергии при плавлении-кристаллизации в математических моделях приводит к нелинейным задачам Стефана с неизвестной границей раздела фаз.

Непрерывное литье стали играет важную роль в металлургии. Математически процесс охлаждения и затвердевания металла описывается двухфазной задачей Стефана с предписанной конвекцией (см. J. Rulla [55], М. Makela, Т. Mannikko и Н. Schramm [48], S. Louhenkilpi, Е. Laitinen и R. Nieminen [45], A. Fasano, М. Primicerio и L. Rubenstein [38]).

Существование и единственность слабого решения задачи Стефана исследованы в работах A. Visintin [58], J. Rulla [55], F. Yi и Y. Qiu [61]. Формулировка задачи Стефана (при отсутствии конвекции) с введением функции энтальпии и обоснование существования и единственности обобщенного решения исследовались, например, в работах О. А. Олей-ник [11], О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и Н. Н. Уральцевой [3], Е. Magenes [47] и А. М. Мейерманова [20]. Существование и единственность обобщенного решения двухфазной задачи о непрерывной выплавке были исследованы F. Yi и J. F. Rodrigues [53, 54, 60]. Исследованию сходимости конечномерной аппроксимации задачи Стефана и точности сеточных схем посвящены работы Ф. П. Васильева [12], Б. М. Будака, Е. Н. Соловьевой и А. Б. Успенского [2], А. А. Самарского и Б. Д. Моисеенко [G], Р. П. Федоренко [16], Е. Magenes [47], R. Е. White [59], R. Н. Nochetto [50], С. М. Eliott [35], R. Н. Nochetto и С. Verdi [51], М. Paolini, G. Sacchi и С. Verdi [52], С. Verdi [57]. В этих работах, в частности, исследованы неявные сеточные схемы как для исходной задачи, т. е. без введения функции энтальпии, [57, 59], так и для задачи Стефана в энтальпийной постановке с использованием регуляризации разрывной функции энтальпии [2, 16, 50, 51].

Традиционно используемые методы решения задачи Стефана с предписанной конвекцией основаны на применении классического МКЭ по пространственным переменным. Аппроксимации задачи непрерывной выплавки посвящены работы Z. Chen [29], Z. Chen и L. Jiang[30], А. Лапина, Е. Laitinen и J. Pieska [39]. Для аппроксимации конвективного члена и производной по времени используются следующие схемы: аппроксимации с использованием характеристик дифференциального оператора [29, 34], полуявные схемы, в которых значение конвективного члена берется с предыдущего временного слоя [30], и неявные сеточные аппроксимации [39]. Эти схемы безусловно устойчивы, но при их использовании возникают системы нелинейных уравнений, численное решение которых проводится методами типа верхней релаксации. Эти итерационные методы имеют небольшую скорость сходимости при достаточно подробных сетках. Их ускорение достигается методами декомпозиции области [31, 40] и/или использованием многосеточных процедур [32]. Но в любом случае, даже использование этих подходов приводит к возникновению систем нелинейных уравнений, решение которых по-прежнему проводится итерационными методами типа метода верхней релаксации. С другой стороны вычислительная сложность одного шага явной схемы совпадает со сложностью одной итерации метода типа верхней релаксации. Хорошо известно, что явные схемы с постоянным шагом по времени обладают лишь условной устойчивостью, это существенно сужает область их применения в прикладных задачах. В то же время в работах [23, 41, 42] построены эффективные алгоритмы на основе явных разностных схем с переменными шагами по времени для решения как линейных, так и нелинейных нестационарных задач.

Качество производимой стали существенно зависит от теплового режима при затвердевании, при этом первостепенное значение имеет поведение поверхностной температуры и фронта затвердевания. Экспериментальный выбор режима охлаждения слитка является дорогостоящим и не всегда реализуемым процессом, поэтому актуальным является численное моделирование процесса охлаждения. Особенно важным аргументом в пользу численного моделирования служит необходимость управления процессом охлаждения в режиме реального времени. В диссертационной работе численно решается задача оптимизации процесса охлаждения в режиме реального времени, которая формулируется как задача идентификации коэффициентов и решается методами оптимального управления (J.-L. Lions [14], Т. К. Сиразетдинов [18], А. Г. Бутковский [13], К. А. Лурье [17]). В работе представлены алгоритмы решения задачи оптимального управления охлаждением с использованием как явных, так и неявных разностных схем.

В сварочных технологиях важную роль играют процессы с так называемыми высококонцентрированными источниками, среди которых наибольшее распространение получила электронно-лучевая сварка (ЭЛС). ЭЛС позволяет обрабатывать соединения с глубоким проплавлением и узкой зоной нагрева при высокой скорости сварки и низком тепловло-жении (см. А. Б. Мазо [22]). Специфика теплового воздействия электронного луча на металл состоит в том, что радиус действия теплового источника много меньше характерных размеров области, при этом резкие пространственно-временные изменения температуры сосредоточены в малой окрестности траектории движения луча. В то же время численное моделирование ЭЛС предполагает детальный расчет динамики температурного поля, которое формируется под действием движущегося нагревателя. Актуальным является повышение точности решения тепловой задачи, которое в значительной степени определяет степень достоверности результатов расчета напряженно-деформированного состояния изделия, оценки качества сварного соединения.

Целями работы являются:

1. Постановка задачи оптимального управления процессом охлаждения слитка при выплавке стали и конструирование эффективных численных алгоритмов ее решения в режиме реального времени.

2. Построение сеточной схемы и итерационного алгоритма для решения стационарной и нестационарной задач электронно-лучевой сварки металлических пластин, проведение вычислительных экспериментов.

Научная новизна. В диссертационной работе развиты и практически реализованы методы численного решения двух прикладных задач. Первая из них — это задача оптимального управления охлаждением при выплавке стали в режиме реального времени. Математически она равносильна определению коэффициентов в граничных условиях двухфазной задачи Стефана с предписанной конвекцией. Разработаны и апробированы алгоритмы численного решения этой задачи. Вторая — задача описания динамики температурного поля при сварке пластин движущимся источником. Предложены новые эффективные методы численного решения задачи в нестационарной и стационарной постановках, основанные на методе конечных элементов с использованием композиционной сетки со сгущением в окрестности движущегося источника.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением математических моделей механики сплошной среды и численных методов, строгими доказательствами сформулированных утверждений. Достоверность числовых расчетов обосновывается совпадением результатов с известными решениями в частных случаях.

Научное и практическое значение работы. Предложенная постановка задачи оптимального управления охлаждением при непрерывной выплавке металла и алгоритмы ее численного решения использованы как часть автоматической системы управления процессом плавки на сталелитейном заводе "Raahe steel company", Финляндия в 2004 г. Предложенный подход к построению сеточной схемы и итерационные алгоритмы решения задачи об электронно-лучевой сварке пластин применены для расчета упруго-пластических характеристик сварного шва при заданном режиме сварки при выполнении работ в рамках международного проекта INTAS-Airbus №04-80-6951, 2006 г.

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кадыров, Рафаэль Фаридович

Основные выводы и результаты работы

1. Разработана модификация итерационного метода релаксационного типа для расчета температурного поля в процессе непрерывной выплавки стали. Построен эффективный алгоритм выбора начального приближения.

2. Поставлена и решена задача оптимального управления охлаждением в процессе непрерывной выплавки металла. Построены эффективные алгоритмы численного решения для управления процессом в режиме реального времени.

3. Разработаны эффективные алгоритмы численного решения нелинейных тепловых задач электронно-лучевой сварки на сгущающихся композиционных сетках в нестационарной и стационарной постановках.

4. Проведен сравнительный анализ эффективности построенных методов: установлена большая по времени эффективность алгоритма решения стационарной задачи конвективной теплопроводности со специальным выбором начального приближения. Показано, что решение стационарной задачи с достаточной точностью описывает динамику температурного поля, когда электронный луч расположен на достаточном удалении от границ пластины.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кадыров, Рафаэль Фаридович, 2007 год

1. Баранов П. А. Расчет колебаний цилиндрического маятника в наполненной вязкой жидкостью полости с использованием скользящих многоблочных сеток / П. А. Баранов, С. А. Исаев, Н. А. Кудрявцев, В. Б. Харченко // ИФЖ.-V. 76.

2. Будак Б. М. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана / Б. М. Будак, Е. Н. Соловьева, А. Б. Успенский // ЖВМ и МФ. 1965. - Т. 5, № 5. - С. 828-840.

3. Ладыо1сенская 0. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. — М.: Наука, 1967. — 736 с.

4. Рутес В. С. Непрерывная разливка стали. / В. С. Рутес, Б. Н. Ка-томин. — Москва: Трудрезервиздат, 1957. — С. 221.

5. Самарский А. А. Экономичная схема сквозного счёта для многомерной задачи Стефана / А. А. Самарский, Б. Д. Моисеенко // ЖВМ и МФ. 1965. - Т. 5, № 5. - С. 816-827.

6. Журавлев В. А. Теплофизика формирования непрерывного слитка. / В. А. Журавлев, Е. М. Китаев— Москва: Металлургия, 1974. — С. 215.

7. Фогель Г. Н. Непрерывное производство изделий из жидкого металла. / Г. Н. Фогель. — Москва: Госпланиздат, 1940. — С. 90.

8. Бойченко М. С. Непрерывная разливка стали. / М. С. Бойченко. — Москва: Металлургиздат, 1957. — С. 236.

9. Олейник О. А. О б одном методе решения общей задачи Стефана / О. А. Олейник // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 135, № 5. - С. 10541057.

10. Васильев Ф. П. Разностный метод решения задач типа Стефана для квазилинейного параболического уравнения с разрывными коэффициентами / Ф. П. Васильев // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 157, № 6. - С. 1280-1283.

11. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. — Москва: Наука, 1965. С. 474.

12. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. — Москва: Мир, 1972.-С. 480.

13. Мейрманов А. М. Пример несуществования классического решения задачи Стефана. / А. М. Мейрманов // Докл. АН СССР. 1974. — Т. 258, № 3. — С. 547-559.

14. Федоренко Р. П. Разностная схема для задачи Стефана / Р. П. Фе-доренко // ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 5. - С. 1339-1344.

15. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики / К. А. Лурье. — Москва: Наука, 1975. — С. 480.

16. Сиразетдинов Т. К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. / Т. К. Сиразетдинов. — Москва: Наука, 1977. — С. 479.

17. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. / Ф. П. Васильев. Москва: Наука, 1980. - С. 504.

18. Мейермапов А. М. Задача Стефана / А. М. Мейерманов. — Новосибирск: Наука, 1986.

19. Лапин А. В. Методы типа релаксации для суммы квадратичного и выпуклого функционалов / А. В. Лапин //Язе ВУЗов. Математика. 1993. - Т. 15, № 8. - С. 30-39.

20. Мазо А. Б. Математическое моделирование процессов горячей обработки металлов / А. Б. Мазо. — Казань: Казанский фонд "Математика", 1996. С. 209.

21. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. / В. И. Лебедев. Москва: Наука, 2000. - С. 290.

22. Агошков В. И. Методы разделения области в задачах математической физики / В. И. Агошков // Вычислительные процессы и системы. 1991. - № 8. - С. 4-51.

23. Friedman A. One dimensional stefan problem with nonmonotone free boundary. / A. Friedman// Trans. Amer. Math. Soc.— 1968.— V. 177.-P. 89-114.

24. Bangerth W. Adaptive finite element methods for differential equations. Lectures in Mathematics / W. Bangerth, R. Rannacher. — Ztirich. Basel: Birkhauser.: ETH.-P. 207.

25. Brent R. P. Algorithms for Minimization without Derivatives / R. P. Brent. — Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, 1973. -P. 195.

26. Cannon J. R. Continuous differentiability of the free boundary for weak solution of the stefan problem. / J. R. Cannon, D. B. Henry, D. B. Kot-lov // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. - V. 80. - P. 45-48.

27. Chen Z. Numerical Methods for Free Boundary Problems (International Series of Numerical Mathematics 99) / Z. Chen // Numerical solutions of a two-phase continuous casting problem / Ed. by P. Neittaanmaki. — Basel: Birkhauser, 1991.- P. 103-121.

28. Chen Z. Approximation of a two phase continuous casting problem / Z. Chen, L. Jiang // J. Pari. Diff. Equations. 1998. - V. 11. - P. 5972.

29. Comparison of domain decomposition methods for solving continuous casting problem / E. Laitinen, J. Saranen, J. Pieska, L. A. // Domain Decomposition Methods DDM. 2002. - No. 13. - P. 411 - 418.

30. Domain decomposition methods in science and engineering / A. Quar-teroni, J. Periaux, Yu. Kuznetsov, 0. Widlund // AMS. — 1994.

31. Eliott С. M. Error analysis of the enthalpy method for the Stefan problem / С. M. Eliott // IMA J. Numer. Anal. 1987. - V. 7. - P. 61-71.

32. Ewing R. Local refinement techniques in the finite element and finite difference methods / R. Ewing, R. Lazarov // Proc. International Conf. of Num. Methods and Applications. — Sofia: Sofia, 1989.

33. Rodrigues J. F. On a two-phase continuous casting stefan problem with nonlinear flux. / J. F. Rodrigues, F. Yi // Euro. Jnl of App. Math.— 1990.-V. l.-P. 259-278.

34. Fasano A. A model for heat conduction with a free boundary in a concentrated capacity / A. Fasano, M. Primicerio, L. Rubenstein //J. Inst. Math. Appl. 1980. - V. 26. - P. 327-347.

35. Laitinen E. Mesh approximation and iterative solution of the continuous casting problem / E. Laitinen, A. Lapin, J. Pieska // ENUMATH 99 / Ed. by P. Neittaanmaki, T. Tiihonean, P. Tarvainen. — Singapore: World Scientific, 2000. P. 601-617.

36. Laitinen E. Asinchronous domain decomposition methods for solving continuous casting problem / E. Laitinen, A. Lapin, J. Pieska // J. of Сотр. and Appl. Math. 2003. - V. 154. - P. 393 - 413.

37. Lebedev V. Explicit difference schemes for solving stiff systems of ODEs and PDEs with complex spectrum / V. Lebedev // Russ. J. Nurner. Anal. Math. Modelling. 1998. - V. 13, No. 2. - P. 107 - 116.

38. Lebedev V. Explicid difference schemes for solving stiff schemes with complex or partitioned spectrum / V. Lebedev // JNM and MP.— 2000. V. 40, No. 12. - P. 1801 - 1812.

39. Louhenkilpi S. On the simulation and control of the continues casting process. / S. Louhenkilpi, E. Laitinen, R. Nieminen // Univ. of Jyvasky-la, Dep. of Math. 1989. - V. 43. - P. 112.

40. Louhenkilpi S. Real-time simulation of heat transfer in continuous casting. / S. Louhenkilpi, E. Laitinen, R. Nieminen. — Jyvaskyla: Univ. of Jyvaskyla, Dep. of Math., Rep. 43, 1989.- P. 112.

41. Louhenkilpi S. Real-time simulation of heat transfer in continuous casting / S. Louhenkilpi, E. Laitinen, R. Nieminen // Metallurgical Trans. B. 1996. - V. 24B. - P. 685-693.

42. Lu. Z. Investigation of lagrangian and eulerian finite element methods for modelling the laser forming process / Z. Lu., P. Michaleris // Finite elements in analysis and design. — 2004. — V. 40. — P. 383-405.

43. Magenes E. Problemi di Stefan bifase in piu variabili speziali / E. Ma-genes // 'V.S.A.F.A. Catania, Le Matematichle. — 1981.- V. 36.-P. 65-108.

44. Makela M. Applications of nonsmooth optimization methods to continuous casting of steel: Rep. 421 / M. Makela, T. Mannikko, H. Schramm: Math.Ins., Univ. Bayreuth., 1993.

45. MSC.Sowtware Corp. Msc.marc: Theory and user information: Users-guide / MSC.Sowtware Corp. — MSC.Software Corp.: printed in USA, 2005.

46. Nochetto R. H. Error estimates for two-phase Stefan problems in several space variables, I: Linear boundary conditions / R. H. Nochetto // Calcolo. 1985. - V. 22. - P. 457-499.

47. Nochetto R. H. Approximation of degenerate parabolic problems using numerical integration: Publ. 505 / R. H. Nochetto, C. Verdi. — Pavia: I.A.N., 1986.

48. Paolini M. Finite element approximations of singular parabolic problems: Publ. 565 / M. Paolini, G. Sacchi, C. Verdi. Pavia: I.A.N., 1987.

49. Rodrigues J. F. Variational methods in the Stefan problem / J. F. Ro-drigues // Lect. notes in math. — Springer Verlag, 1994. — P. 149-212.

50. Rodrigues J. F. On a two-phase continuous casting Stefan problem with nonlinear flux / J. F. Rodrigues, F. Yi // Euro. J. Appl. Math. — 1990. — No. l.-P. 259-278.

51. Rulla J. Weak solutions to Stefan problems with prescribed convection / J. Rulla // SIAM J. Math. Anal. 1987. - V. 18. - P. 1784-1800.

52. Shanghvi J. Thermo-elasto-plastic finite element analysis of quasi-state processes in eulerian reference frames / J. Shanghvi, P. Michaleris // Int. Journal for Numerical Methods in Engineering. — 2002. — V. 53. — P. 1533-1566.

53. Verdi C. Optimal error estimates for an approximation of degenerate parabolic problems / C. Verdi // Numer. Funct. Anal. Optirn. — 1987. — V. 9. P. 657-670.

54. Visintin A. General free boundary evolution problems in several space dimensions / A. Visintin Ц J. Math. Anal. Appl— 1983.— V. 95.— P. 117-143.

55. White R. E. An enthalpy formulation of the Stefan problem / R. E. White // SI AM J. Numer. Anal 1982.- V. 19.- P. 11291157.

56. Yi F. An evolutionary continuous casting problem of two-phase and its periodic behaviour / F. Yi // J. Part. Diff. Eq.- 1989.- V. 2.-P. 7-22.

57. Yi F. On Stefan problem with prescribed convection / F. Yi, Y. Qiu // Mathematica Acta Scientia. 1992. - V. 2, No. 14. - P. 153-166.