Приближенные методы решения параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Михеева, Анна Игоревна

• Михеева, Анна Игоревна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Михеева, Анна Игоревна

Основные обозначения

Введение

I Операторы точного штрафа

1 Постановка задачи.

1.1 Пространства функций

1.2 Операторы. Примеры

1.3 Существование и единственность решения

1.4 Свойства операторов.

1.5 Теорема сравнения и оценки устойчивости

2 Эквивалентные формулировки задачи (V)

2.1 Формулировка задачи в виде неравенства 2-го типа

2.2 Регулярность решения

2.3 Формулировка задачи в виде уравнения.

3 Регуляризация задачи.

3.1 Оценка точности в L^Q)

3.2 Оценка точности в L2(О, Т; V)

3.3 Уточнение оценки в случае регулярных задач

3.4 Метод штрафа.

4 Устойчивость коинцидентного множества.

4.1 Первая оценка устойчивости.

4.2 Вторая оценка устойчивости

II Сеточные схемы МКЭ

1 Неявная схема Эйлера для абстрактного эволюционного неравенства.

1.1 Априорные оценки.

1.2 Существование решения. Оценка точности.

2 Сеточные схемы на основе задачи (V).

2.1 Пространство конечных элементов.

2.2 Метод прямых.

2.3 Оценка точности метода прямых.

2.4 Неявная сеточная схема. Оценка точности

2.5 Оценки погрешностей аппроксимации.

3 Сеточные схемы на основе задач {Ve) и (Vo)

3.1 Метод прямых. Оценка точности.

3.2 Неявная сеточная схема. Оценка точности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приближенные методы решения параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области»

Вариационные неравенства возникают при рассмотрении явлений, для которых связи, уравнения состояния, формулировки физических законов меняются при достижении определенными величинами некоторого порога (называемого свободной границей). Первой задачей, поставленной в виде вариационного неравенства, была задача Синьорини, сформулированная А. Синьорини в 1959 году [70]. Эволюционные неравенства были введены в гиперболическом случае в работе Ж.-Д. Лионса в 1966 году [60], параболическом — в работе Ж.-Л. Лионса и Г. Стампаккьи [59] в 1967 году. В настоящее время вариационные неравенства находят применение не только в физике и механике, но и в экономике, финансах, теориях оптимизации и игр.

Начало теоретическому исследованию вариационных неравенств положили работы Г. Фикеры [53], предложившего решение задачи Синьорини; вскоре после него свои работы по теории вариационных неравенств опубликовали Ж.-Л. Лионе и Г. Стампаккья [59], X. Брезис [44]. Подробное изложение теории вариационных неравенств с примерами различных прикладных задач можно найти в книгах Ж.-Л. Лионса [26], Г.Дюво и Ж.-Л. Лионса [19], А.Фридмана [35], Д. Киндерлерера и Г. Стампаккьи [20], К. Байокки и А. Капелло [5].

В настоящей работе мы изучаем приближенные методы решения параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области, которые формулируются следующим образом: найти функцию и G /С П W тахую, что и(0) = щ и

V) (и' + Аи - f,v - и) ^ 0 V v £ /С, где

JC={ueV = L2(0,T-,W12{tt)) : и^ф}, W = {и G V : и' £ V*}, оператор Л : V —» V* порождается квазилинейным эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка в ограниченной области Q — Q х (О, Т) по правилу т

Au,v) — J{A{t)u,v) dt = J ( ^Г"^ сд{х, t, u, ux)vxi + Xuv) dxdt, о q i=0 где vXQ — v. На протяжении всей работы предполагается, что функции a,j, i = 0,1,.,7г, удовлетворяют условиям JIepe-Лионса (условия Ка-ратеодори, линейного роста, эллиптичности и коэрцитивности), а также условиям монотонности. При рассмотрении отдельных вопросов на них накладываются также дополнительные ограничения.

Решение неравенства ("Р), согласно общепринятой терминологии, называют сильным обобщенным решением следующей системы неравенств в Q (задачи дополнительности): и^ф, u' + Au-f^ 0, (и — ф){и' + Аи — /) = 0, п(0) = щ.

Слабое обобщенное решение определяется как w € /СП С([0, Т]; Я"), для которой справедливо неравенство s

J (v'+A(t)u—f, v—u) dt>1- \\v{s)-u(8)\\2h-^ \И0)-щ\\2п Vve wn/c, 0 для всех 5 €E [0,T] (см., напр., [26, с. 280, 404]). В данной работе мы не касаемся вопросов нахождения слабого обобщенного решения; отметим только, что сильное решение (если оно существует) является также и слабым решением.

Задача (V) является нелинейной, даже если предположить линейность оператора А. Это связано с наличием множества ограничений /С, а точнее с множеством

1{и) = {(ж,*) е Q : u(x,t) = V0M)}, которое называется коинцидентным множеством решения и является дополнительным неизвестным задачи: в приложениях задачи (V) оно представляет не меньший интерес, чем само решение и (а также его граница, называемая свободной, неизвестной границей).

Первая работа Брезиса [43], содержащая достаточные условия существования слабого обобщенного решения, появилась еще в 1968 году; в этой работе он выделил и использовал класс псевдомонотонных операторов. Чтобы установить существование сильного обобщенного решения были введены дополнительные ограничения, в частности предположение о линейности оператора А (см. также [26, с. 280, с. 404]). В дальнейшем были затрачены значительные усилия разных исследователей, направленные как на расширение класса операторов, для которых удается доказать существование сильного решения, так и на совершенствование методик исследования. Обзору работ в этом направлении посвящена статья [63]. Наиболее общий результат для широкого класса задач с препятствием, соответствующих операторам JIepe-Лионса 2ш-го порядка, был опубликован в 2004 году в работе О.В. Солонухи [32]. Этот результат обеспечивает существование решения рассматриваемой нами задачи (V). Единственность решения следует из монотонности оператора А.

Целью диссертационной работы является построение и исследование приближенных методов решения задачи (V). Основное внимание уделяется следующим вопросам:

1. новым определениям решения задачи (на основе операторов точного штрафа). Эти определения оказываются полезными как с точки зрения построения приближенных решений, так и с точки зрения исследования устойчивости коинцидентного множества решения;

2. построению и исследованию точности методов регуляризации задачи (Р); эти методы позволяют в дальнейшем вместо неравенств решать уравнения;

3. построению и исследованию точности полудискретных и полностью дискретных схем решения задачи (Р); мы строим новые схемы, а также уточняем оценки погрешности решения ряда известных схем.

Мы не касаемся важных, требующих отдельного изучения, алгоритмических аспектов отыскания решений рассматриваемых нами приближенных схем; они представляют собой системы нелинейных алгебраических уравнений или неравенств, и по их решению имеется обширная литература (см., напр., [8], [25], [4]).

Приведем краткий обзор содержания диссертации, состоящей из двух глав. Первая глава состоит из 4 параграфов.

В § 1 формулируется постановка задачи; даются определения функциональных пространств и класса рассматриваемых операторов; комментируется существование и единственность решения исходного неравенства; приводятся и устанавливаются необходимые в дальнейшем свойства пространств функций, операторов и решения задачи, в том числе теоремы сравнения и устойчивости решения к возмущению правой части и начальных данных.

В §2 предлагаются две эквивалентные формулировки исходной задачи; в основе их лежат идеи работы Р.З. Даутова для эллиптических неравенств [9]. А именно, при определенных ограничениях на функцию д = ф' -f- Аф — / (слабее, чем д Е Ь-2{Я)) указывается такой выпуклый липшиц-непрерывный функционал j : V —> R, что задача (V) эквивалентна следующей задаче: найти и Е W такую, что

Vq) u(0) = щ и {и1 + Ли - /, v - и) + j{v) - V v е V.

В терминах субдифференциала j это неравенство равносильно включению и' + Ли - f + dj(u) Э 0.

Для класса задач, названных в работе регулярными, показывается, что dj(u) состоит из одного элемента, а задача (V) равносильна параболическому уравнению

Pi) и £ Я2'1 (Q) : и' + Аи - д+в{и - ф) = /, w(0) = щ, где д = ф + Аф - /; 0(A) = 0, если Л > 0 и 0(A) = 1, если А < 0; д+ — положительная часть д (для регулярных задач /,5 £ L2(Q)). Оператор и —» — д+в(и — ф) называется оператором точного штрафа, поскольку этот оператор "штрафует" ограничение и Е JC в задаче (V) с единичным параметром штрафа.

Также в этом параграфе обсуждаются вопросы, связанные с исследованиями гладкости (регулярности) решения исходной задачи; приводится обзор работ в этом направлении, в частности, отмечаются работы, в которых формулируются достаточные условия регулярности задачи.

В §3 изучаются методы регуляризации задачи (V), построенные на основе указанных выше эквивалентных формулировок, доказываются оценки близости решений исходной и регуляризованной задачи в нормах Loo(Q) и £2(0, Т\ V).

Регуляризованная задача может быть построена двояким способом: регуляризацией (сглаживанием) липшиц-непрерывного функционала j дифференцируемым j£ в неравенстве (Ро), либо регуляризацией разрывной функции 9 в неравенстве (Vi) непрерывной в£. В обоих случаях приходим к задаче вида

Ve) и'£ + Аие - qOe(ue) = /, ue(0) = щ, где функция 9£(А) отличается от 9(А) лишь на интервале (—£1,6:2), £ = maxjei, £2}, q ^ д+- В научной литературе известны многочисленные формулы для 0е\ они получаются из различных соображений и полезны также с обратной точки зрения (когда задача (V£) является исходной, а задача (V) является ее приближением). Получаемые нами формулы для этой функции не являются новыми и использовались, ранее (например, в [20]); однако, способ ее получения позволяет нам при исследовании точности регуляризации оценивать близость решения задач ('Ре) и (Pq) (илиЧП) и (Pi)), а не {Ve) и (V).

Это позволяет нам при получении оценок точности метода регуляризации не предполагать условия типа липшиц-непрерывности оператора А и повышенной гладкости решения задачи, как этого требуют известные нам методики получения оценок точности. Мы опираемся на условие монотонности и одно, достаточно легко проверяемое для конкретного оператора А условие: для любой константы е > 0 справедлива оценка

А(и + e),v) ^ (Au,v) Vu,v е V, v ^ 0.

Мы доказываем следующие оценки точности: и - El < ие ^ и + е2 п.ВС. в Q, ||гх - ue\\Ln^T.v) ^ се1/2.

Также доказывается, что подобные оценки справедливы и для классических методов штрафа. Вторая оценка является характерной для различных вариантов метода штрафа для регулярных задач (см. [6], [42], [68] для задач с линейным оператором А, [75], [61] для задач со слабо нелинейным оператором).

Для методов регуляризации с £\ — 0 в случае регулярных задач мы доказываем, что

IIU - U£\\L3(04t.V) = о{е1/2), и выделяем те задачи, для которых эта оценка улучшается до оценки 11^ ~ щ\\ь2{о,т-у) — 0(вП Аналогичные этим результаты получены и для одного варианта метода штрафа.

В § 4 предлагается "энергетическая" техника исследования устойчивости коинцидентного множества решения задачи к возмущению данных / и щ. Пусть и и й — решения регулярных вариационных неравенств (V) с правыми частями / и / и начальными данными щ и щ соответственно, а 1{и) и 1{й) — соответствующие им коинцидентные множества. Задача состоит в оценке (п + 1)-мерной меры Лебега множества

Д/ = 1{й)А1(и) = {1(й) U I(u)) \ (1{й) П 1{и)), представляющего собой симметричную разность этих множеств.

Эта задача существенно сложнее, чем исследование устойчивости решения и. Даже для задач с линейным оператором А, нам известна методика таких исследований лишь в случае, когда априори известно, что ий' ^ 0 п.вс. в Q (типа однофазной задачи Стефана). В этом случае удается воспользоваться методикой, разработанной для эллиптических задач с препятствием внутри области: анализируя локальное поведение решения и его производных в окрестности свободной границы получаются локальные оценки устойчивости (см., например, [35, с. 192]).

Предлагаемая нами методика исследования базируется, во-первых, на формулировке неравенства в виде операторного уравнения (Pi) и замечании о том, что функция Xi(u)(x,t) = 0(u(x,t) — i/j(x,t)), определенная в Q, представляет собой характеристическую функцию множества 1{и)\ во-вторых, на равенстве

АI = J \Хт - xi(u)\dxdt. Q

Исследования проводятся в предположении, что

9,9 е Q = {д е L2(Q) : Сд = const > 0 в Q}, где д = ф' + Aip — f, д = ip' + Aip — /. Нами получены две оценки устойчивости, соответствующие различным предположениям относительно оператора А. Наилучшая оценка справедлива для монотонных операторов, обладающих следующим свойством:

Аи — Av, sigп£(и — v)) ^ 0, для всех £>0, и^бУ, и имеет следующий вид: mesn+i(1(й)А1(и)) ^ с (||й0 - wolU^) + ||/ - /IUi(<?))

Здесь signe(A) = sign(A) при |А| > е, signe(A) = Х/е при |А| ^ е.

Во второй главе строятся и исследуются три типа сеточных схем для приближенного решения исходной задачи. Две из них являются общепринятыми и получаются аппроксимацией либо исходного неравенства (Р), либо регуляризованной задачи (Ре) (задачи со штрафом). Третья схема является новой и получаются аппроксимацией задачи (Pq).

Для аппроксимации задачи по пространственным переменным используется метод конечных элементов (МКЭ),' а по временной переменной — метод конечных разностей; традиционно используются простейшие методы (простейшие треугольные или четырехугольные элементы и неявная схема Эйлера). Последнее объясняется тем, что решение задачи обладает малой гладкостью, даже при сколь угодной высокой гладкости данных задачи. А именно, можно предполагать, что решение задачи таково, что и' е Ь2{О, Т] НП Loo(0, Т; L2(S2)), и е Ь2{О, Г; Я 2(Q)), (1) но и" не принадлежит как L2(Q), так и L2(0,T; Я-1(П)), если не предполагать специальных условий согласования данных, а и не принадлежит L2(0,T] H3(Q)). Отсутствие гладкости решения по временной переменной является серьезной проблемой при теоретическом исследовании точности сеточных схем даже в энергетической норме •

IMU = lluIUoo(0,r;L2(n)) + 1Ми2(0,Т;ЯЧП))> естественной для параболических задач, и приводит к заниженным оценкам (по сравнению с параболическими уравнениями).

Так для модельной задачи (Л — линейный оператор, ф — 0) для сеточной схемы на основе задачи (V) в [56], [67], получена оценки точности порядка 0(h + г1/2); в случае дополнительных предположений относительно поведения решения в окрестности свободной границы — 0(h + In1/4 г [56], [73]. Оценка погрешности улучшается до 0(т + h), если предположить, что и" G L2(Q) [73], либо и" € L2(0,Г;H~l(Q)) [56], [74]. Однако, как отмечалось выше, эти предположения не выполняются для несогласованных данных. Отметим также работы [50], [52], [41], в которых получены оценки в других нормах.

Для сеточных схем, полученных после дискретизации задачи со штрафом, проблема получения оптимальных оценок точности усугубляется из-за наличия дополнительного параметра е. Так в [68] при оптимальном выборе е = 0(h2) получена оценка точности порядка 0{h + r/h)\ она является неудовлетворительной, поскольку приводит к требованию т = 0(h2), что нехарактерно для неявных схем. В [61] получена оценка О (г + /г), е = 0(h2), при условии u" Е L2{Q).

В главе 2 мы доказываем, что для задачи с препятствием, не зависящим от времени, при достаточно гладких данных задачи, предположений (1) достаточно, чтобы гарантировать ожидаемую оценку точности порядка О (г + h) для всех трех типов схем.

Глава состоит из трех параграфов. В § 1 исследуется неявная схема Эйлера для абстрактного параболического неравенства вида т

J ({u' + A{t)u-f1v-u) + (j>{t1v)-<f>(t,u))dt^ 0 Vv€V{(p)i о с выпуклым полунепрерывным снизу функционалом ф и сильно монотонным, липшиц-непрерывным оператором А (при каждом t). Исследования проводятся в контексте тройки гильбертовых пространств V С Я С У*; указываются условия, которые обеспечивают как существование и единственность решения этого неравенства, так и оценку точности порядка 0(т) для неявной схемы Эйлера. Эти исследования являются обобщением результатов работы [66], в которой А (линейный оператор) и ф предполагались не зависящими от t, и играют центральную роль в следующих параграфах. Во-первых, они позволяют исследовать разрешимость как полудискретных, так и дискретных схем. Во-вторых, позволяют разбить исследование точности дискретной схемы на два шага: на первом гттаге исследовать точность полудискретной схемы по пространству; на втором шаге, оценить точность дискретной схемы.

В § 2 изучается полудискретная сеточная схема, построенная на базе исходной задачи (V): вводится пространство конечных элементов, определяются квадратурные формулы (мы рассматриваем схемы МКЭ с численным интегрированием) и множество ограничений К^ определяется схема полудискретизации по пространственным переменным, устанавливаются оценки близости полудискретной и непрерывной задачи. После чего, с помощью неявной схемы Эйлера, осуществляется переход к полиостью дискретной задаче; в результате доказывается оптимальная оценка точности порядка О (г + К) в энергетической норме.

В §3 аналогичным образом исследуются два других типа схем; при выборе г порядка 0(h2) доказывается оценка точности 0(т + h) в энергетической норме.

В работе получены следующие основные результаты: для квазилинейных параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области

1. даны эквивалентные определения решения в виде вариационных неравенств 2-го типа с выпуклым липшиц-непрерывным функционалом и в виде параболического уравнения с разрывной слабой нелинейностью; на их основе изучены методы штрафа и регуляризации, для которых получены оценки точности, лучшие известных ранее;

2. доказаны оценки устойчивости коинцидентного множества решения (по мере Лебега) к возмущению правой части и начальных данных, существенно улучшающие известные оценки;

3. построена новая неявная схема МКЭ с численным интегрированием для приближенного решения задачи; для нее доказана оптимальная оценка точности в энергетической норме;

4. получены оптимальные оценки точности в энергетической норме двух известных сеточных схем приближенного решения задачи.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Пятый всероссийский семинар "Сеточные методы для краевых задач и приложения посвященный 200-летию Казанского государственного университета, г. Казань, 17-21 септября 2004 г.; Шестой всероссийский семинар "Сеточные методы для краевых задач и приложения г. Казань, 1-4 октября 2005 г.; Седьмой Казанской летней школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы г. Казань,27 июня - 4 июля 2005 г.; Всероссийской молодёжной школ е-конференции "Численные методы решения задач математической физики г. Казань, 26 июня — 2 июля 2006 г; Седьмом всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения 21 — 24 сентября 2007 г.; 51-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук г. Москва, 28-30 ноября 2008 г.; на семинарах кафедры вычислительной математики КГУ (руководитель М.М. Карчевский), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета.

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Казанского государственного университета.

По теме диссертации опубликовано 11 работ ( [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [28], [29] , [30]), в том числе 3 статьи в журналах, входящих в список ВАК РФ. Совместные работы выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому в этих работах принадлежит постановка задач, выбор направлений и методов исследования.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Рафаилу Замиловичу Даутову за постановку задачи, постоянную поддержку и помощь при выполнении работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Михеева, Анна Игоревна, 2010 год

1. Апугикинская Д., Уральцева Н., Шахголян X. О липшицевости свободной границы в параболичской задаче с препятствием // Алгебра и анализ. 2003. Т. 15, .№ 3. С. 78-103.

2. Апушкинская Д. Е., Уральцева Н. Н., Шахголян X. О глобальных решениях параболической задачи с препятствием // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, К0- 1. С. 3-25.

3. Архипова А. А. О предельной гладкости решения нестационарной задачи с одним или двумя препятствиями // Проблемы мат. анализа. 1983. Т. 9. С. 149-156.

4. Бадриев И. Б., Задворнов О. А. Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах. Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 2003. 131 с.

5. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Мир, 1988. 448 с.

6. Бенсусан А., Лионе Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. М.: Мир, 1987. 596 с.

7. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

8. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. 576 с.

9. Даутов P. 3. Об операторах точного штрафа для эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области j j Дифферент уравнения. 1995. Т. 31, № 6. С. 1008-1017.

10. Даутов Р. 3., Карчевский М. М. Введение в теорию метода конечных элементов. Казань: Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина, 2004. 239 с.

11. Даутов Р. 3., Михеева А. И. О точности метода штрафа для параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области // Изв. Вузов. Математика. 2008. № 2. С. 41-47.

12. Даутов Р. 3., Михеева А. И. Операторы точного штрафа и регуляризация параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 1. С. 7784.

13. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

14. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.

15. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Ленинград: Из-во Ленинградского университета, 1977. 205 с.

16. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Физматгиз, 1956. 392 с.

17. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

18. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 578 с.

19. Лапин А.В. Итерационные методы решения сеточных вариационных неравенств. Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 2008. 132 с.

20. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

21. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 с.

22. Михеева А. И., Даутов Р. 3. Об устойчивости коинцидептного множества решения параболического вариационного неравенства с препятствием // Изв. Вузов. Математика. 2010. № 3. С. 88-91.

23. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 510 с.

24. Солонуха О. В. О нелинейной параболической задаче с препятствием // УМН. 2004. Т. 59, № 3. С. 181-182.

25. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 511 с.

26. Уральцева Н. Н. О регулярности решений вариационных неравенств // Успехи математических наук. 1987. Т. 42, № 6. С. 151-174.

27. Фридман А. Вариационные прииципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990. 536 с.

28. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

29. Addou A., Mermri В. Topological degree and application to a parabolic variational inequality problem // Internat. J. Math. Math. Sci. 2001. Vol. 25. Pp. 273-287.

30. Apushkinskaya D. E., Matevosyan N., Uraltseva N. N. The behavior of the free boundary close to a fixed boundary in a parabolic problem // Indiana Univ. Math. J. 2009. Vol. 58, no. 2. Pp. 583-604.

31. Baiocchi C. Discretization of evolution inequalities // Partial Differential Equations and the Calculus of Variations / Ed. by F. Colombini, L. M. A. Marino, S. Spagnolo. Boston: Birkauser, 1989. Pp. 59-92.

32. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. Leyden: Nordhof, 1976. 352 pp.

33. Berger A., Falk R. An Error Estimate for the Truncation Method for the Solution of Parabolic Obstacle Variational Inequalities // Math. Computation. 1977. Vol. 31, no. 139. Pp. 619-628.

34. Boman M. A posteriori error analysis in the maximum norm for a penalty finite element method for time-dependent obstacle problem // Technical Report. Chalmers Finite Element Center. 2000. Vol. 12.

35. Brezis H. Equations et inequations non lineaires dans les espaces vecto-riels en dualH^ // Comm. Pure Appl. Math. 1968. Vol. 18. Pp. 115-175.

36. Brezis H. Problemes unilateraux // J.Math. Pures. Appl. 1972. Vol. 51. Pp. 1-168.

37. Brezis H. Un probleme devolution avec contraintes unilaterales dependant du temps // C. R. Acad. Sci. Paris. 1972. Vol. 274. Pp. 310-312.

38. Browder F. E., Hess P. Nonlinear mappings of monotone type in Banach spaces // J. Funct. Anal. 1972. Vol. 11, no. 2. Pp. 251-294.

39. Caffarelli L. The regularity of free boundaries in higher dimensions // Acta. Math. 1977. Vol. 139. Pp. 155-184.

40. Caffarelli L. A remark on the Hausdorff measure of a free boundary, and the convergence of coincidence sets // Boll. Un. Mat. Ital. A. 1981. Vol. 18, no. 5. Pp. 109-113.

41. Charrier P., Troianiello G. On strong solutions to parabolic unilateral problems with obstacle dependent on time // J. of Math. Anal, and Appl. 1978. Vol. 65, no. 1. Pp. 110-125.

42. Cortey-Dumont P. On finite element approximation un the L°°-norm of parabolic variational inequalities and quasi-variational inequalities // CMAP de l'Ecole Polytechn. 1983. T. 112. C. 599-606.

43. Donati F. A penalty method approach to strong solutions of some nonlinear parabolic unilateral problems // Nonlinear Anal. 1982. no. 6. Pp. 585-597.

44. Fetter A. Loo-error estimate for an approximation of a parabolic variational inequality // SIAM J. Numer. Math. 1987. Vol. 50. Pp. 557-565.

45. Fichera G. Elastostatic problems with unilateral constraints: the Signori-ni problem with ambiguous boundary conditions // Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962-1963. Rome: Edizioni Cremonese, 1964. Pp. 613-679.

46. Friedman A., Kinderlehrer D. A one phase Stefan problem j I Indiana. Univ. Math. J. 1975. no. 24. Pp. 1005-1035.

47. Hartman P., Stampacchia G. On some nonlinear elliptic differential functional equations // Acta Math. 1966. Vol. 115. Pp. 271-310.

48. Johnson C. A convergence estimate for an approximation of a parabolic variational inequality // SIAM J. Numer. Anal. 1976. no. 13. Pp. 599606.

49. Landes R., Mustonen V. On pseudo-monotone operators and nonlinear noncoercive variational problems on unbounded domains // Math. Arm. 1980. Vol. 248, no. 2. Pp. 241-246.

50. Leray J., Lions J.-L. Quelques resultats de Visik sur des problemes el-liptiques non linaires par les methodes de Minty-Browder // Bull. Soc. Math. France. 1965. Vol. 93. Pp. 97-107.

51. Lions J.-L., Stampacchia G. Variational inequalities // Comm. Pure Ap-pl. Math. 1967. Vol. XX. Pp. 493-519.

52. Lions J.-L. . Sur un nouveau type de probleme non lineaire pour op-erateurs hyperboliques du deuxieme ordre // Sem. J. Leray. College de France. 1966. Vol. II. Pp. 17-33.

53. Nair P., Pani A. K. Finite Element Methods for Parabolic Variational Inequalities with a Volterra Term // Numerical functional analysis and optimization. 2003. Vol. 24, no. 1,2. Pp. 107-127.

54. Nochetto R., Savare G., Verdi C. A posteriori error estimates for variable time-step discretizations of nonlinear evolution equations // Comm. on Pure and Appl. Math. 2000. Vol. 53, no. 5. Pp. 525-589.

55. Rudd M., Schmitt K. Variational inequalities of elliptic and parabolic type // Taiwanese J. Math. 2002. no. 6. Pp. 287-322.

56. Rulla J. Error Analysis for Implicit Approximations to Solutions to Cauchy Problems // SIAM J. Numer. Anal. 1996. Vol. 33, no. 1. Pp. 6887.

57. Savare G. Approximation and regularity of evolution variational inequalities // Rnd.Acc. Naz. Sci. dei XL, Memorie di Matematica. 1993. Vol. XVII. Pp. 83-111.

58. Savare G. Weak solutions and maximal regularity for abstract evolution inequalities // Adv. Math. Sci. Appl. 1996. no. 6. Pp. 377-418.

59. Scarpini F., Vivaldi M. Evaluation de l'erreur d'approximation pour une enequation parabolique relative aux convexes dependant du temps // Appl. Math. Optim. 1978. no. 4. Pp. 121-138.

60. Scholz R. Numerical solution of the obstacle problem by the penalty method. Part II. Time-Dependent Problems // Numer. Math. 1986. Vol. 49. Pp. 255-268.

61. Sholz R. Numerical solution of the obstacle problem by the penalty method // Computing. 1984. Vol. 32. Pp. 297-306.

62. Signorini A. Questioni di elasticita non linearizzata e semilinearizzata // Rend. Mat. Appl., V. Ser. 1959. Vol. 18. Pp. 95-139.

63. Tartar L. Remarks on some interpolation spaces // Boundary value problems for PDEs and applications. 1993. Pp. 229-252.

64. Vivaldi M. Existence of strong solutions for nonlinear parabolic variational inequalities // Nonlinear Anal. 1987. Vol. 11, no. 2. Pp. 285-295.

65. Vuik C. An L2-Error Estimate for an Approximation of the Solution of a Parabolic Variational Inequality // Numer. Math. 1990. Vol. 57. Pp. 453-471.

66. Zenisek A. Approximation of parabolic variational inequalities // Ap-likace Matematiky. 1985. Vol. 30. Pp. 11-35.

67. Wang S., Huang C.-S. A power penalty method for solving a nonlinear parabolic complementarity problem // Nonlinear Analysis. 2008. no. 69. Pp. 1125-1137.

68. Ziemer W. Regularity of weak solutions parabolic variational enequali-ties // Tranc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 39, no. 2. Pp. 763-786.

69. Zlamal M. Curved elements in finite element method. I. // SIAM J. Numcr. Anal. 1973. Vol. 10, no. 1. Pp. 229-240.

70. Zlamal M. Curved elements in finite element method. II. // SIAM J. Numer. Anal. 1974. Vol. 11, no. 2. Pp. 347-362.