Смешанная задача для волнового уравнения в области с углом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Ткачев, Дмитрий Леонидович

• Ткачев, Дмитрий Леонидович
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ткачев, Дмитрий Леонидович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Три примера постановок задач

2. Исторический обзор. Постановка основной задачи

3. Основное содержание работы. Методы исследования. Структура работы

4. Формулировка основных результатов. 34 ГЛАВА I. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В КООРДИНАТНОМ УГЛЕ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ НА РЕБРЕ

§1. Постановка задач и основные обозначения

§2. Получение априорной оценки решения модельной задачи

2.1. Сведение смешанной задачи (А1о) к смешанной задаче

для симметрической системы

2.2. Условия диссипативности краевых условий (2.4') и (2.5'). Получение априорной оценки решений смешанной задачи (А10) в И/21(Л+)

2.3. Исследование матричных неравенств (2.16') и (2.19'). 63 §3. Получение априорной оценки смешанной задачи (А1). 68 §4. Исследование смешанной задачи (АН). Вывод априорной

оценки решения

ГЛАВА II. КОРРЕКТНОСТЬ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ И ОБЩЕГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В КООРДИНАТНОМ УГЛЕ

§1 Априорная оценка решения и условия корректности смешанной задачи (В)

ГЛАВА III. ПРИМЕРЫ НЕКОРРЕКТНОСТИ В СМЕШАННОЙ

ЗАДАЧЕ (В)

§1 Постановка задачи и основные обозначения. Приведение задачи к каноническому виду

§2 Примеры некорректности в случае двух пространственных переменных и вещественных коэффициентов граничных условий

§3 Примеры Адамара в случае вещественных коэффициентов

граничных условий. Область некорректности задачи

§4 Область некорректности задачи (1.1 )—(1.4) в случае комплексных коэффициентов

ГЛАВА IV. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В КООРДИНАТНОМ УГЛЕ — ПРОБЛЕМА (В0). УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ. АПРИОРНАЯ ОЦЕНКА В W^(Rj)

§1 Конструкция формального решения задачи (Во) и его единственность

§2 Получение интегрального представления функций v(t,y) и

z(t,x)

§3 Априорные оценки решения

§4 Условия разрешимости задачи (1.26), (1.29) и (1.31) в декартовых координатах. Существование решения

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Смешанная задача для волнового уравнения в области с углом»

ВВЕДЕНИЕ

Смешанные задачи для гиперболических систем и уравнений в областях с особенностями на границе (угловые или конические точки, пики, рёбра и т.д.) вызывают большой интерес у математиков ввиду того, что математическое моделирование различных физических задач приводит к необходимости рассматривать подобные проблемы. Ограничусь описанием лишь двух таких весьма близких к реальности ситуаций.

1. Три примера постановок задач.

В физическом плане первая ситуация такова: равномерный поток невязкого, нетеплопроводящего газа, находящегося в состоянии локального термодинамического равновесия, стационарно обтекает плоский клин с углом а.

Для исследования устойчивости такого стационарного гидродинамического течения нужно изучить смешанную задачу для системы уравнений акустики. Именно, А.М.Блохин [5] после ряда упрощающих процедур (и прежде всего — линеаризации уравнений газовой динамики, соотношений Рэнкина - Гюгонио на ударной волне [39] относительно известного разрывного решения) сформулировал такую смешанную задачу: при t > О требуется найти решение системы уравнений

Аи1 + Вих+СМу = 0,

(0.1)

которое удовлетворяет следующим краевым условиям: на границе х = 0:

щ + йщ = 0, щ + щ = 0, и2 = ХГу//1, ^+^ап<7 =/Ш3;

(0.2)

на границе у = ж tañer — условию непротекания газа через твёрдую поверхность клина:

U2 — щ tañer = 0 (0.3)

и начальным данным (t = 0):

U(0,x,y) = U0(x,y), F(0,y) = F0(yl (0-4)

(х,у) € О С R2+<r(x,y) = {{х,у)\х > 0,у > xteina} .

Здесь Ut — (wi, щ, Щ, щ) — малые возмущения вектора скорости, давления и энтропии, х = F(t,y) — малое смещение фронта разрыва, А, В, Са — матрицы четвёртого порядка, часть элементов A ti В зависит от числа Маха М и, наконец, Л, /х, с? — некоторые константы.

При получении априорной оценки автор [5] свёл проблему (0.1)—(0.4) к смешанной задаче в клине уже для волнового уравнения:

(M2L¡ -L\- rf) 0 (0.5)

с граничными условиями:

(mL\ + nL\-рии/М^щ = 0, я = 0; (0.6)

/3^3 = 0, у = tan ах (0.7)

и начальными данными (Li, L2, ту, /3 — некоторые дифференциальные операторы первого порядка; ш, п, ¡3 — параметры).

Вторая ситуация связана с теорией упругости — речь пойдёт о малых деформациях упругой плоской пластины, совпадающей для простоты с первым квадрантом.

При математической интерпретации удобно использовать вектор перемещений й [28]. И для его нахождения (значения на границе известны!) в [19] сформулирована следующая задача (вновь, как и в первом случае,

рассматривается линейное приближение):

d2ii\ д2щ д2щ д2щ

Р — «1 -5-9- + а12 + а2 -^-г- + Х\, otz ох1 охоу ду1

д2щ д2и-2 д2щ d2U2

Р = ai + ап + а2 ^Т" + otl оу1 охоу ох1

О < X, у < оо, 0 < t < f < 00; система уравнений Ламе [28])

u\\x=Q = hi{t,y), и2\х=0 = h2{t,y); щ\у=о = gi(t,x), и2\у=о = g2(t, х)\ dus

(0.8)

(0.9)

Us\t=о =

= Ф8(Х,У), 5 = 1,2. (0.10)

¿=0

т

где а\ — А + 2//, а2 = /г, а^ = А + /л, А, ¡1 — коэффициенты Ламе, Х( (г = 1, 2 — компоненты массовых сил, отнесённых к единице объёма. Кстати, в [19] можно найти и другие постановки задач, например, когда на части границы задаются нужные компоненты тензора деформации или рассматривается иная область — пространственный клин.

Стоит обратить внимание на то, что в отличие от предыдущих задач, граничные условия (0.9) не включают в себя производные решения по времени, что существенно упрощает задачу, позволяя активно использовать факты теории эллиптических проблем [19, 40].

Конечно, перечень формулировок рассматриваемых проблем можно продолжить, однако, ограничусь лишь следующим важным замечанием: "адекватное" математическое моделирование различных физических процессов, происходящих в средах, ограниченных поверхностями с особенностями, зачастую приводит к постановкам смешанных задач для гиперболических систем или уравнений в областях с нерегулярной границей (см., например, [60]).

2. Исторический обзор. Формулировка основной задачи.

Если говорить о смешанных задачах в областях с особенностями типа угловой точки или ребра на границе (геометрия области вблизи особенности того или иного вида требует в каждом случае создания своего математического аппарата!), то попытку получить наиболее общие результаты о корректности смешанной задачи для гиперболической системы первого порядка в двугранном координатном угле (проблема (0.1)—(0.4) легко преобразуется в задачу в квадранте) предпринял Б-ОвЬег в своей работе [61]. Общая задача в области с ребром, полученным как пересечение двух гладких поверхностей, сводится к упомянутой проблеме, правда, вообще говоря, с переменными коэффициентами.

Прежде чем привести точные формулировки фактов, полученных Б.ОзЬ-ег'ом, рассмотрим один любопытный пример [60], который даёт представление о характере возникающих сложностей.

Пусть функция и — решение следующей смешанной задачи:

Щ = С\11х + ¿1Пу, ^

Щ = с2ух - (12Уу, ^х,у> 0, с,-, > 0 (« = 1,2);

Ц0,</,г) = аг;(0,г/,*)+ /(</,*), * = 0, (0.12)

= у = 0; (0.13)

a, Ь — произвольные комплексные числа;

и(х,у,0) = ф,у),

= Ф(х,у), ¿ = 0.

Исследуется вопрос об алгебраической корректности задачи (0.11)-(0.14), т.е. необходимо описать множество значений параметров сг-, б?,-, а,

b, при которых справедлива оценка "по слоям":

и(;Т)|Ц2(ЗД) + |К.Г)|Щм,) + Сг ] (|М,«С(,) + 1К.0111л)) Л+

о

+С21 (Il«(-,t)lli,w + IK,<)lliW) dt < K(T) (|МЩЛ) + М1Ы) +

о

+C3 / \\f(-Ml(y)dt + C4j \\g(-,t)\\l2{x)dt, (0.15)

о о

где С{, К{Т) > 0.

Заметим, что при любых значениях а, Ь Е С на каждой из граней х = 0 и у — 0 выполняется строгое условие Kreiss'a — необходимое и достаточное условие корректности в Ь2 смешанной задачи для гиперболической системы в полупространстве [56, 62]. В силу конечности скорости распространения возмущений [37] и с физической точки зрения это требование вполне оправданно.

С помощью метода интегралов энергии (см., например, [13]) нетрудно получить оценку (0.15), когда

\ab\<y/(c2/d2)(d1/c1) = Z*. (0.16)

Но, оказывается, что если не выполнено соотношение (0.16), то оценка (0.15) уже не имеет места [60]! Так, например, при \ab\ > £ > 1 контрпример даёт следующее решение задачи (0.11)—(0.14) (/ = д = 0):

u{x,y,t) = {dxx + ciy)Pp(t + 7iz + 723/)5 v(x,y,t) = b(dix + dic2y/d2yp{t + 71 ж + 722/),

/3 = — lnab/ln£, ji > 0 — константы, зависящие от параметров сг-, d{, а

функция р(х) Е Cq°(R) с носителем suppp = [ffi,^], > 0, е2 < оо, причём

р(х) > 0 при Е\ < Х < с2•

Дело в том, что ввиду нашего предположения Re/З < —(!), а, с ледова-

2

тельно, при t —> £\ неравенство не соблюдается ни при каких С{ > 0.

Физическая интерпретация этих фактов достаточно проста: решение (0.17) представляет собой плоскую волну, {t + ^\x + ^2y = const), идущую в

начало координат х = 0, у = 0 при t | е\. Она двигается по характеристикам от одной границы до другой, причём, если t f £1, то время прохождения пути от одной границы до другой стремится к нулю. При этом амплитуда волны после каждого цикла отражений увеличивается в \ab\ раз (рис. 1 и проекция его на плоскость (х, у) — рис. 2 иллюстрируют этот процесс).

И для конечности энергии системы (оценка (0.15)) необходимо связать \ab\ (эта величина влияет на амплитуду волны) с угловым коэффициентом характеристик (неравенство (0.16)).

Таким образом, для корректности в Ь2 смешанной задачи для гиперболической системы в угловой области не достаточно лишь выполнения строгого условия Kreiss'a на каждой границе — необходима информация о поведении решения в окрестности особенности.

Известно [24, 25, 31], что решение эллиптических задач в конических или угловых областях ведёт себя степенным образом вблизи особенности, поэтому ввиду возможности применения преобразования Фурье - Лапласа по переменным í, z S.Osher [61] предложил рассмотреть следующие нормы (при фиксированных ü>, s):

2 СЮ

Ke = //(i + H2 + N2)Qx

Р

х£

3=0

о о

2

rdOdr,

оо

Ы2р,<з = /(1 + И2 + М2)сх

Р

хЕ

3=О

о

[xéí §{х>*>8)

dx, (0.18)

где <5 — вещественное число, а Р — целое и неотрицательно, й = г) + г'£, г] > 0, со — двойственные к £ координаты, (г, в) — полярная система координат.

Рисунок 1. 10

Рисунок 2.

Сформулируем теперь результаты работы [61], касающиеся корректности смешанной задачи для гиперболической системы в двугранном угле в пространствах, определяемых нормами (0.18).

Расматривается следующая проблема (коэффициенты — постоянные матрицы) :

т-. , /-У , 7^ 7-,/ ^

Аих + Виу + CjUZj + Du - щ = F(x, у, z, t), з=з

t,x,y> 0; z — ■ • ■, zn), Zi E R, причём система гиперболична в том смысле, что уравнение

(0.19)

ск^ (^Л + гг]В + £ ^зСз - ХЕ1 = 0, С+ + И2 Ф 0

имеет относительно Л только чисто мнимые корни. Предположим, также, что матрица А диагональна:

А =

а\ 0

0

\

а/

«/+1

0

0 а

то

a,j < 0, j — 1, • • •,/; > 0, А; = / + 1,

и существует невырожденная матрица Т такая, что

m

ТВТ

1 Ъг 0 ......... 0Х

о

о ъг

< 0; Ьр+ь---,Ьт > 0. Краевые условия.задаются в таком виде [54]:

и1 = 8ип + х = 0, (0.20)

(Ти)ш = Я (Ти)1У + Ь(.г, г, г), у = 0; (0.21)

начальное условие однородно:

и{х,у,г, 0) = 0. (0.22)

Здесь и1 = и11 = (щ+и - ■ • ,итУ; и111 = (щ, ■ • •, ир)\ и1У =

(ир+1, • • •, ит)и, 5 и К — прямоугольные матрицы размерами I х (т — I) и р х (ш — р) соответственно.

Пусть на каждой грани выполнено строгое условие КтБэ'а [56], которое при х = 0, например, выглядит так:

сЬ^ ([/,-5] [Фь- • • ,Ф/]) Ф 0 для всеха^,^,причём Ле > 0, (0.23)

где в), 3 = 1,2 — набор линейно независимых решений

системы

их + А~1 |'ги2В + г со{С{ — и = 0, Г1е 5 > 0,

экспоненциально убывающих при х —> +оо [54], [/,—5] — прямоугольная матрица I х т.

Предполагая, что ^ = 0, Ь = 0 и решение задачи (0.19)-(0.22) существует, получим, следуя работе [61], необходимое "уголковое условие". Пусть функция V определяется следующим образом:

если 0 < х < оо, 0, если - оо < х < 0.

Тогда, очевидно, V удовлетворяет системе

Аьх + Вьу + (шС-з)у = А6(х)и+(0,у,и,з), у> 0 (0.24)

13

и граничному соотношению

\Ш г „ (Л , . „\ T3frr„.\IV,

{TvYu{x,0,üj,s) - R{Tvyv{x,0,cj,s) = О,

■оо < X < ОС.

(0.25)

\ / { ^ \

+

V

0

/

Нам известно, что

/

Применяя к (0.24) и (0.25) преобразование Фурье - Лапласа по х, приходим к краевой задаче на полупрямой:

уу + В~1({и\А + шС — в)у = м+(0,2/,ш, 5),

(ТУ)1П(ШЪ 0, и, в) - К(ТУ)1У(Ш 1,0,Ы,5) = 0,

которая, если выполнено строгое условие Ктвв'а, при любой финитной и+ однозначно разрешима в классе функций, растущих при у —» оо не быстрее полинома.

Аналогично, пусть

и(х,у,си, в), если 0 < у < оо,

0, если — оо < у < 0.

Естественно, функция т является решением следующей задачи:

Атх + Ви)у + [гюС - з)ги = В8(у)у+(х, 0, и, з), ж>0 (0.26)

ш^О.у.и.в) - 3и)п(0,у,и,з) = д(у}и,в), у > 0, (0.27)

«/(0- 5^/7(0,2/,о;, 5) = у < 0. (0.28)

И с учётом того, что у — решение проблемы (0.24), (0.25), получаем соотношение

[Т„,а - 1] Ф = -Ри>ад, (0.29)

где ТиРш>3 — псевдодифференциальные операторы, определяемые задачами (0.24), (0.25) и (0.26)—(0.28).

Потребуем, чтобы уравнение (0.29) (с заменой правой части на финитную функцию Л (у)) было разрешимо с оценкой

ор о / В \р 2

¡\Ф(у,и,з)\2 ¿у < К! / £ у— %) ¿2/(1 + М2 + МУ» (0.30)

О 0

ду)

при всех вещественных и, в = г\ + г£, т/ > О, К\ > О, К2 — натуральное число, а /<з — вещественно.

При его соблюдении (впрочем, сюда следует добавить и несколько других, но уже менее существенных ограничений) З.ОэЬег [61] обосновал корректность постановки задачи (0.19)—(0.22) и получил следующую априорную оценку:

О? - ^1)1М|о,о + К*=о)1о,о + |%=о)1о,о < < (0.31)

где г} > К\ > 0, 5 = г] +

Основной момент доказательства — построение оператора, близкого по свойствам к " симметризатору" Ктвз'а [56].

К сожалению, на наш взгляд, у этих результатов есть два существенных недостатка:

1) обычно в граничные условия входит целый набор параметров, и выделить область их значений, при которых выполнено " уголковое условие", даже в случае простых по форме постановок практически невозможно, что, по существу, отмечает и сам автор [60];

2) оценка (0.31) — с потерей гладкости, что происходит, отчасти, потому, что не выявлена зависимость показателя степени г и 1пг в асимптотическом разложении решения в окрестности ребра от значений параметров, т.е. нормы (0.18) выбраны не самым удачным образом — они не отвечают сути задачи.

Перейду теперь к формулировке смешанной задачи для волнового уравнения в квадранте — основного предмета настоящего исследования:

Щг ~ ихх - иуу -ро(г,х,у)щ

-Р2&х,у)иу - р3(г,х,у)и = /(г,х,у), (0.32)

г > О, X > 0, у > 0, т.е. (г, ж, г/) Е Д+;

щ - а(^у)их - 6(г,у)иу + с(г,у)и = ¡1 (*,?/), (0.33)

ж

= (),(*, у) е ДЗ. = {(*,2/)|*,2/>0};

щ - а(£, х)иу - ДО, х)их + х)и = /2(г, ж), (0.34)

2/= (),(*,Я) Е =

4=0 = ^,2/): .

(0.35)

м|4=0 = Ф(х,у),

Потребуем, чтобы при х = 0 и у = 0 выполнялось равномерное условие Ло-патинского [58, 64] (аналог строгого условия Ктяв'а (0.23) для уравнений). В терминах коэффициентов граничных условий (0.33), (0.34) это выглядит так [16]:

> 0, < 1, если t,y > 0]

а(г,х)> 0, |/?(г,ж)| < 1, если£,ж>0. (0.36)

Проблема (0.32)—(0.35) носит некоторый модельный оттенок, однако оказалось, что изучение различных её обобщений, например, на случай плоского клина, многранного угла требует лишь усовершенствования техники, но не более того. Поэтому есть прямой резон в исследовании корректности задачи (0.32)-(0.35) в Ц^КВ2^) и выяснении особенностей поведения решения.

(Пространство W2(R2+) снабжено энергетической нормой:

\№)\\тв?+) = I («2 + + + u¡) dxdy). (0.37)

«I

Необходимо отметить, что G.Eskin в [50], опираясь, в основном, на факты эллиптической теории и технику псевдодифференциальных операторов, изучал более общую проблему (сохранены авторские обозначения):

(--Е-

V дхо к=i дх1 )

где ü = R1 х G, хо Е R1 и (^1, • • •, xn) е G, G е Rn — клин, ограниченный плоскостями X2 — 0, у2 = Х\ sin oí — Х2 cos а, х" — (жз,---,жп) Е Rn~2 (на рис. 3 он заштрихован).

Граничные условия таковы:

BI(DI,D2, Д), D")\r+ = hi(x\,XQ, x"), (0.39)

B2(DuD2,D0,D")\T; = h2(yux0,x"), (0.40)

причём Dk = к = 0, • • •, n, Bj(£i, £2, Co? £") — однородные полиномы степени rrij, i = 1, 2, а у\ = —Ж1 cos a — x2 sin а. Начальное условие выбирается в следующем виде:

и = 0 при Xq < 0, х Е П (0.41)

(значит и hj = 0, если xq <0, х Е Гf,j = 1,2).

Чтобы сформулировать основной результат G.Eskin'a, определим некоторые пространства распределений. Пусть i7S)í,!ro(iín+1) — пространство распределений в Rn+l, зависящих от параметра т Е (го,+оо) с конечной нормой

и/С* = su? / (Й+г2+Й+Й+1ПТ№г)|Ч.

(жо,

х,

(0.38)

Рисунок 3.

Как обычно, пространство состоит из распределений в О, имею-

щих продолжение в Яп+1 и принадлежащих Н8>Р)То(Яп+1):

11/112™ = ^ Шм

а т£ берётся по всем таким продолжениям.

Н+ — специальное пространство распределений со свойствами: 1)

и{х) = 0, х0 < 0; 2) е~х°ти(х) £

'Норма элемента и £ #+р/Го(0) определена равенством

и

Аналогичным образом вводятся пространства Я5>Р!Го(Г^), (Г&),

Нз,р,т0{Г?), к = 1,2.

После замены функции мг = е_:СоТ задача (0.38)-(0.41) преобразуется таким образом:

■ д \2 п д2

(0.38')

(0.39') (0.40') (0.41')

Б2(1)1,1)2, Г>0 + «г, 17>г|г+ = ^ В2( А, Аг, А + «Г, А>г|г_ = Л2г,

иг = 0 для жо < 0, ж Е О;

причём ккт = к — 1,2.

Обозначим как А (£ь £2, £о + — символ граничного оператора

Б1(А,А,А + г'г, ¿}") (£г- — двойственны к г = 0,---,п), а через -62^(»7ьСо + символ Б2(А, А, А + г'г, Г>"), но здесь щ двой-

ственны к т/г, 1/2. Тогда равномерное условие Лопатинского выглядит так:

(6, "А, + «V, О / 0, -А, 6 + ¿г,^ 0,

(0.42)

г > 0, (6,^0, г,Г) т^ 0, А = Л(6,ео + гг,Г) = ^/(6 + ^2-|£Т-62,аветвь корня выбрана, исходя из того, что его мнимая часть положительна, когда г > 0.

Пусть, наконец, с = + ¿т)2 — |£"|2, 1ш с > 0, если г > 0, и

/

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Ткачев, Дмитрий Леонидович

Основные результаты этой главы опубликованы в работах [48, 65].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ткачев, Дмитрий Леонидович, 1997 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. - М.: Паука, 1979. - 830 с.

2. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.: Наука, 1978. - 351 с.

3. Артюшин А.Н. Частное сообщение.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. II. -М.: Наука, 1979. - 830 с.

5. Блохин A.M. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. - Новосибирск: Наука, 1986. - 239 с.

6. Блохин A.M., Ткачёв Д.Л. Смешанная задача для векторного волнового уравнения в области с углом // Функциональный анализ и математическая физика. - Новосибирск, 1987. - С. 111-124.

7. Блохин A.M., Ткачёв Д.Л. Смешанная задача для волнового уравнения в области с углом (скалярный случай) // Сиб. мат. журн. - 1989. -Т. XXX, N 3. - С. 16-23.

8. Блохин A.M., Ткачёв Д.Л. Смешанная задача для векторного волнового уравнения в области с углом // Ред. Сиб. мат. журн.- Новосибирск, 1988. - Деп. в ВИНИТИ, N 6890-В.

9. Блохин A.M., Ткачёв Д.Л. Смешанная задача для волнового уравнения в области с углом // Качественный анализ решений дифференциальных уравнений с частными производными. - Новосибирск, 1985. -С. 5-17.

10. Блохин А.М., Ткачёв Д.Л. Смешанная задача для векторного волнового уравнения в области с углом // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики. - Новосибирск, 1986. - С. 20-31.

11. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразованиия обобщённых функций. - М.: Наука, 1977. - 286 с.

12. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

13. Годунов С.К. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1979. - 389 с.

14. Годунов С.К., Гордиенко В.М. Смешанная задача для волнового уравнения // Дифференц. уравнения с частными производными / Тр. семинара С.Л. Соболева. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. - Новосибирск, 1977, N2.-0. 5-31.

15. Годунов С.К., Костин В.И. Приведение гиперболического уравнения к симметрической гиперболической системе в' случае двух пространственных переменных // Сиб. мат. журн. - 1980. - Т. XXI, N 6. -С. 3-20.

16. Гордиенко В.М. Примеры некорректности и диссипативные интегралы энергии в смешанной задаче для векторного волнового уравнения. -Новосибирск, 1978. - 12 с. - (Препринт / ВЦ СО АН СССР; N 137.)

17. Гордиенко В.М. Смешанная задача для гиперболического уравнения уравнения второго порядка в полуплоскости: Дисс. ... канд. физ. -мат. наук: 01. 01. 02. - Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1979.

18. Гэлбарг Д., Трудингер Н.С. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. - М.: Наука, 1989. -463 с.

19. Добрушкин В.А. Краевые задачи динамической теории упругости для клиновидных областей. - Минск: Наука и техника, 1988. - 416 с.

20. Дюкова М.В., Ткачёв Д.Л. Примеры некорректности в смешанной задаче для волнового уравнения в негладких областях // Дифференц. уравнения с частными производными. - Новосибирск, 1990, N 1. -С.101-120.

21. Дюкова М.В., Ткачёв Д.Л. О достаточных условиях корректности смешанной задачи для волнового уравнения в области с углом // Краевые задачи для уравнений с частными производными. - Новосибирск, 1990, N 1. - С. 77-87.

22. Иванов В.В. Теория приближённых методов и её применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. - Киев: Наукова думка, 1968. - 287 с.

23. Комеч А.И. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с кусочно гладкой границей // Мат. сб., 1973. - Т. 92, вып. 1. - С. 89-134.

24. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. о-ва. - 1967. - Т. 16. - С. 209-292.

25. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными прозводными в негладких областях // Успехи мат. наук. - 1983. -Т. 38, вып. 2. - С. 3-76.

26. Крейн М.Г., Гохберг И.Ц. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи мат. наук. - 1958. - Т. XIII, вып. 2. - С. 3-72.

27. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплекного переменного. - М.: Физматгиз, 1951. - 606 с.

28. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. -246 с.

29. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986. -736 с.

30. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1978. - 280 с.

31. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи конических точек // Докл. АН СССР. - 1974. - Т. 219, N 1. - С. 286-289.

32. Малышев А.Н. Смешанная задача для гиперболического уравнения второго порядка с комплексным граничным условием первого порядка // Сиб. мат. журн. - 1983. - Т. 24, N6.-0. 102-121.

33. Марчук Н.Г. О существовании решений смешанной задачи для векторного волнового уравнения // Докл. АН СССР. - 1980. - Т. 252, N3.-0. 546-550.

34. Марчук Н.Г. Исследование корректности линеаризованной теории ударной волны с помощью интегралов энергии. - Новосибирск, 1979. -33 с. - (Препринт / ВЦ СО АН СССР; N 153).

35. Марчук Н.Г. Построение интегралов энергии; обеспечивающих эквивалентность между смешанной задачей для векторного волнового уравнения и её симметризацией. - Дисс. ... канд. физ.- мат. наук: 01.01.02. - Новосибирск, 1980. - 70 с.

36. Мерзон А.Е. Общая краевая задача для уравнения Гельмгольца в плоском угле // Успехи мат. наук. - 1977. - Т. XXXII, вып. 2. - С. 219-220.

170

37. МизохатаС. Теория уравнений с частными производными. -М.: Мир, 1979. - 389 с.

38. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 511 с.

39. Овсянников J1.B. Лекции по основам газовой динамики. - М.: Наука, 1981. - 368 с.

40. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. - М.: Наука, 1986. - 328 с.

41. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства-. - М.: Наука, 1966. -647 с.

42. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1982. - 487 с.

43. Стейн П., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. - М.: Мир, 1974. - 333 с.

44. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. — М., Л.: ОГИЗ, 1948. - 479 с.

45. Ткачёв Д.Л. О существовании решения смешанной задачи для векторного волнового уравнения в области с углом // Функциональный анализ и математическая физика. - Новосибирск, 1987. - С. 111-124.

46. Тыщенко A.B. Симметризация прозвольного волнового уравнения. -Новосибирск, 1987. - 15 с. - (Препринт/ ИМ СОАН СССР; N 28.)

47. ЧиниловА.Ю. О решении волнового уравнения с косой производной на границе // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25, N 9. - С. 1635-1637.

48. Blokhin A.M., Tkachev D.L. A mixed problem for the wave equation in coordinate domains // Вычислительные технологии. - Новосибирск. -1996. - Т. 1, N 1. - С. 13-37.

49. Blokhin A.M., Tkachev D.L. Mixed problems for wave equation in the domain with a corner // Sib. J. Differ. Equations. - 1995. - Vol. 1, N 3. -P. 3-35.

50. Eskin G. The wave equation in a wedge with general boundary conditions // Commun. Partial Differ. Equations. - 1992. - Vol. 17, N 1, 2. - P. 99-160.

51. Friedrichs K.O., Lax P.D. On symmetrizable differential operators // Singular integrals: Proc. / Simp. Pure Math. - Providence, 1967. - Vol. 10. -P. 128-137.

52. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Commun. Pure Appl. Math. - 1954. - Vol. 7, N 2. - P. 345-392.

53. Garding L. Linear hyperbolic partial differential equations with constant coefficients // Acta Math. - 1954. - Vol. 85. - P. 1-62.

54. Hersh R. Mixed problems in several variables // J. of Math, and Mech. -1963, Vol. 12, N 3. - P. 317-334.

55. Ikawa M. Mixed problem for the wave equation with an oblique derivative boundary condition // Osaka J. Math. - 1970. - Vol. 7, N 2. - P. 495-527.

56. Kreiss H.- 0. Initial boundary value problem for hyperbolic systems // Commun. Pure Appl. Math. - 1970. - Vol. 13.

57. Kupka I.A.K., Osher S. On the wave equation in a multi-dimensional corner // Commun. Pure Appl. Math. - 1971, vol. XXIV. - P. 381393.

58. Miyatake S. Mixed problems for hyperbolic equations of second order with first order complex boundary operators // Math. Jap. 1975. - Vol. 1, N 1. - P. 111—158.

59. Miyatake S. Mixed problems for hyperbolic equation of second order // J. Math. Kyoto Univ.- 1973. - Vol. 13, N 3. - P. 435-487.

60. Osher S. Initial-boundary value problems for hyperbolic systems in regions with corners. II // Trans. Amer. Math. Soc. - 1974. - Vol. 198. - P. 155175.

61. Osher S. Initial-boundary value problems for hyperbolic systems in regions with corners. I // Trans. Amer. Math. Soc. - 1974. - Vol. 176. - P. 141164.

62. Rauch J. L2 is a continuable initial condition for Kreiss' mixed problems // Commun. Pure Appl. Math. - 1972. - Vol. XXV. - P. 265-285.

63. Reisman H. Mixed problems for the wave equation in a domain with edges // Commun. Partial Differ. Equations. - 1981, N 6. - P. 10431056.

64. Sakamoto R. Hyperbolic boundary-value problems. - Cambridge, 1978. -210 p.

65. Tkachev D.L. Mixed problem for the wave equation in a quadrant // Sib. J. Differ. Equations. - 1996. - Vol. 3, N 2. - P. 171-183.

66. Taniguchi M. Mixed problems for hyperbolic equation of second order in a domain with a corner // Tokyo J. Math. - 1982. - Vol. 5, N 1. -P. 183-213.

67. Taniguchi M. On the mixed problems for hyperbolic equation of second order in a domain with a corner // Tokyo J. Math. - 1986. - Vol. 9, N 1. - P. 187-213.