Спектральные задачи для оператора смешанного типа с сингулярным коэффициентом и применения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ильясов, Радик Рафикович

• Ильясов, Радик Рафикович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ильясов, Радик Рафикович

Введение

1 Краевые задачи для гиперболического и эллиптического уравнений с сингулярным коэффициентом

§ 1.1. Спектральные задачи, соответствующие задачам Дарбу и Гурса.

§ 1.2. Решение задач Коши и Гурса.

§ 1.3. Построение решений задач Дарбу.

§1-4.0 неединственности решения задачи Коши для эллиптического уравнения с сингулярным коэффициентом.

2 Спектральные задачи для оператора Пулькина

§2.1. Постановка спектральной задачи Тд

§ 2.2. Построение собственных значений и соответствующих им собственных функций задачи Тд

§2.3. Исследование на полноту в ¿2 системы собственных функций задачи Тд

§2.4. Спектральная задача ТИ\\ с производной по нормали к части эллиптической границы

§ 2.5. Спектральная задача ТЛ^а с производной по нормали к линии сингулярности.

§ 2.6. Спектральная задача ТЛГд с производной по нормали к эллиптической границе

3 Построение решений краевых задач для уравнений с оператором Пулькина

§ 3.1. Построение решения задачи Трикоми для уравнения Пулькина

§ 3.2. Построение решения задачи Трикоми для уравнения Пулькина с комплексным параметром.

§ 3.3. Построение решения задачи TNi

§ 3.4. Построение решения задачи TN

§ 3.5. Построение решения задачи TN.

§ 3.6. Построение решения пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные задачи для оператора смешанного типа с сингулярным коэффициентом и применения»

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу своей прикладной и теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Начало исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [53, 54] и С. Геллер-стедта [61], где впервые были поставлены и изучены краевые задачи для модельных уравнений. Так, Ф. Трикоми рассмотрел уравнение уихх + иуу = 0 (0.1) в области И, ограниченной гладкой кривой Г, расположенной в верхней полуплоскости, с концами в точках А и В оси у = 0, и характеристиками АС {х + у = 0) и С В (х — у = 1) уравнения (0.1). Им была поставлена

Задача Трикоми. Найти в области Б решение и (х, у) уравнения (0.1) из класса функций и (х, у) е С(П) П С\В) П С2(И \ АВ), удовлетворяющее граничному условию и (х, у) = щ (х, у), (х, у) е АС и Г, где щ (х, у) — заданная и достаточно гладкая функция.

Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при условии, что гладкая кривая Г оканчивается в точках А к В двумя сколь угодно малой длины дугами "нормальной" кривой уравнения (0.1), а в остальной части отклоняется от этой кривой наружу.

Геллерстедт решил задачу Трикоми для уравнения

Ут ихх + иуу-си = F(x,у), где т = 2к — 1, к £ N, с — достаточно малая константа, F (х, у) — заданная функция, при тех же ограничениях на кривую Г, что и у Трикоми. Ему также принадлежит постановка краевой задачи, известной как задача Геллерстедта, которая является обобщением задачи Трикоми.

В 40 - х годах Ф.И. Франкль [56, 57] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. В 50 - е годы в работах Ф.И. Франкля [58], A.B. Бицадзе [5] -[7], К.И. Бабенко [1] было положено начало современной теории краевых задач для уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены новые краевые задачи, которые в дальнейшем изучались многими авторами как в нашей стране, так и за рубежом. Основные результаты этих работ и соответствующая им * библиография приведены в монографиях A.B. Бицадзе [7, 8], Л. Берса [3],

К.Г. Гудерлея [11], М.М. Смирнова [50] - [52], М.С. Салахитдинова [48], Т.Д. Джураева [13], Е.И. Моисеева [23].

Прикладная значимость полученных результатов в теории краевых задач для уравнений смешанного типа указана в работах О.С. Рыжова [34], А.Д. Пилия и В.И. Федорова [28], Э.Г. Шифрина [60], Г.Г. Черного [59], А.Г. Кузьмина [20] в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы и другими вопросами.

Одним из направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является изучение соответствующих им спектральных задач. В ,41 качестве примера приведем формулировку спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми, для оператора Лаврентьева-Бицадзе

Ви = ихх + sgn у • иуу в области D.

Спектральная задача Т\ . Найти значения комплексного параметра X и соответствующие им функции и (х, у) со свойствами: и {х, у) е C(D) n C\D) n C\D \ AB),

Ви (х, у) + \и (х, у) = 0, (х, у) G D \ AB, и{х, у) = о, (х, у) еЖиг.

Отметим нелинейный характер постановки спектральной задачи — неизвестные Л и и(х, у), называемые собственными значениями и соответствующими собственными функциями задачи Т\, входят в виде произведения в дифференциальное уравнение.

Спектральные задачи изучались Моисеевым Е.И. [23], Пономаревым С.М., Кальменовым Т.Ш., Сабитовым К.Б., Мамедовым Я.Н., Вагаповым В.З., Карамовой A.A., Кучкаровой А.Н., Хасановой C.J1. и другими.

Пономарев С.М. [29] в случае специальной области — полукруга для оператора Лаврентьева-Бицадзе методом разделения переменных нашел собственные значения задачи Т\ как нули функции Бесселя. Также им были выписаны в явном виде соответствующие собственные функции и исследованы на полноту в пространстве L2.

В работе [17] Кальменовым Т.Ш. было установлено существование одного собственного значения спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми, для оператора sgn у • ихх + иуу в случае произвольной области.

Сабитов К.Б. [40] исследовал спектральную задачу для оператора Лаврентьева - Бицадзе, соответствующую задаче Франкля.

Мамедовым Я.Н. [22] решена спектральная задача, соответствующая задаче Трикоми, для оператора ихх + у иуу + а иу для значений 0 < с* < 1. При а > 1 спектральная задача изучена в работе Вагапова В.З. [9]

Карамовой А.А [45] изучены спектральные задачи для операторов смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Кучкаровой А.Н. [44] изучена спектральная задача, соответствующая задаче Геллерстедта, для различных уравнений смешанного типа. Хасанова С.Л. [47] исследовала спектральные задачи для уравнений с характеристическим вырождением. В указанных работах в случае специальных областей найдены собственные значения и в явном виде выписаны соответствующие собственные функции, а также выполнено исследование построенных систем собственных функций на полноту в пространстве L2.

Моисеев Е. И. в работах [25], [26] на основе спектрального анализа предложил новый способ построения решений краевых задач в специальных областях для уравнений смешанного типа с комплексным параметром А, отличным от собственных значений соответствующих спектральных задач, в виде сумм биортогональных рядов. Развитием этого метода для других классов уравнений смешанного типа занимались Сабитов К.Б., Полосин A.A. [30], Вагапов В.З. [9], Карамова A.A., Кучкарова А.Н, Хаса-нова C.JI. и другие.

Среди уравнений смешанного типа неизученным с точки зрения спектральной теории является уравнение С.П. Пулькина с сингулярным коэффициентом вида

2 Q

Su = ихх + sgny Uyy--их = О, geR\{0}, (0.2) X которое заменой переменной можно свести к уравнению смешанного типа с характеристическим вырождением на части эллиптической границы смешанной области.

Интерес к уравнению Пулькина вызван тем, что решение пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа

Lu = ихх 4- иуу 4- sgn z-uzz = 0 (0.3) в теле вращения представимо в цилиндрических координатах в виде тригонометрического ряда Фурье [33], коэффициенты которого являются решениями плоской задачи Трикоми для уравнения (0.2).

Пулькиным С.П. [1-3] для уравнения (0.2) при q > 1/2 были: 1) в области гиперболичности решены задачи Коши и Дарбу; 2) в области эллиптичности построена теория потенциала, используя которую были решены граничные задачи первого и второго родов для областей с произвольным контуром, содержащим отрезок оси х = 0; 3) в смешанной области установлен принцип максимума и методами теории интегральных уравнений доказана теорема существования задачи Трикоми в случае произвольной области.

В связи с уравнениями смешанного типа второго рода отметим также исследования по краевым задачам для модельных уравнений Каро-ля И. Л. [18] и Сабитова К.Б. [35].

Целью данной работы является изучение следующих вопросов:

1) исследование корректности постановок задач Коши, Дарбу и Гур-са для гиперболического и задачи Коши для эллиптического уравнений с сингулярным коэффициентом и комплексным параметром: построение решений указанных задач для гиперболического уравнения в случае их корректных постановок;

2) построение собственных значений и собственных функций спектральных задач для оператора Пулькина с различными граничными условиями на эллиптической границе; исследование построенных систем собственных функций на полноту в ¿2 5

3) построение решений задачи Трикоми и других краевых задач для уравнений с оператором Пулькина;

4) построение решения пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа (0.3).

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул.

В главе 1 в параграфах 1.1 - 1.3 изучаются краевые задачи для гиперболического уравнения

2 о

Ьи = ихх — иуу Н--их + А и = 0, (0.4) где q ^ 0 и A G С , в области G, ограниченной характеристиками АС (х+ у-0), СВ (х-у = 1), BD (х+у = 1) и DA (х-у = 0) уравнения (0.4).

В § 1.1 для уравнения (0.4) в областях D- = G П {у < 0} и G ставятся спектральные задачи, соответствующие задачам Дарбу и Гурса.

Спектральная задача Dlx. Найти значения параметра А « соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям: и (х, у) е CfD) П С2(Г>), (0.5)

Lu(x,y) = 0, (х, у) ED-, (0.6) и (X, у) = О, (х, у) е AC U АВ. (0.7)

Спектральная задача D 2\ . Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (х, у) из класса и (х, у) е C(D-) HCl(DU АВ) П C2(£L), (0.8) удовлетворяющие уравнению (0.6) и условиям: Г и (х, у) = 0, (х, у) е иу (х, у) = 0, (х, у) е АВ. (0.9)

Спектральная задача Гд . Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (ж, у), удовлетворяющие условиям: и(х, y)eC(G)nC2{G), (0.10)

Lu(x,y) = 0, (х, у) G G, (0.11) и (х, у) = 0, (х, у) € AC U AD. (0.12)

Найдены условия, при которых задачи D\\, Д^а и Г\ имеют непрерывные спектры собственных значений. Методом разделения переменных в явном виде выписаны соответствующие собственные функции этих задач.

Теорема 1.1. Если q < — 1, то любое комплексное А ф 0 является собственным значением задачи (0.5) - (0.7), которому соответствует собственная функция и (х, у) = -\у (х/Л(х2 y2)yq-1Jq1(cJX(x> - у2)) , где Ja( •) есть функция Бесселя порядка а.

Теорема 1.2. Если q < 0, то любое комплексное А ф 0 является собственным значением задачи (0.6), (0.8), (0.9), которому соответствует собственная функция и (х, у) = [yj\{x2 - y2)y9J-q(y/\(x2 - у2)) . (0.13)

Теорема 1.3. Если q < 0, то любое комплексное А ф 0 является собственным значением задачи (0.10) - (0.12), которому соответствует собственная функция (0.13), где (х, у) Е G.

В § 1.2 для уравнения (0.4) при q > 0 в областях D и G ставятся, соответственно, задачи Коши и Гурса.

Задача С. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) е C(DJ) П C\D U АВ) П С2(Г>), (0.14)

Lu(x,y) = 0, (x,y)€D-, (0.15) и (х, 0) = т(х), 0 < х < 1; иу (:г, 0) = i/(z), 0 < ж < 1, (0.16) где т(х) и и(х) — известные и достаточно гладкие функции.

Задача Г . Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и(х, у) GC(Ü)flC2(G), (0.17)

Lti(®,y) = 0f (0.18) и — и{х, —х) — ф(х), и = и(х, х) — (р(х), 0 < х < - , (0.19) где ф(х), ip(x) — заданные и достаточно гладкие функции, ф(0) = <р(0).

На плоскости характеристических координат £ = х + у и r¡ — х — у решение задачи Коши определяется формулой Римана

T)o Vo г(0 [Щ к, £ »?о) - Ъ, К, »7о)1 de-/ КО Д К, £ Éo, *7о) ^ о ÍO где г}] £о> ?7о) есть функция Римана, которая имеет вид х

Щ, т е., ,о) = (¿±2.)

ЗД = (1 - а)^ (д, д, 1; а),

0.21)

7 =

-ЫЬ-Чо) е + ^оЖо + г?)'

• ) есть гипергеометрическая функция, а 7о( • ) — функция Бесселя порядка нуль.

Теорема 1.4. Если при д > 0 функции т(х) е С[0, 1] П С2(0, 1) и 6 1] П С1 (0, 1), то существует единственное решение задачи (0.14)-(0.16), определяемое формулой (0.20), в которой следует положить £0 = х + у, г)о = х-у, V (£ о, V о) = и (я, у).

Решение задачи Гурса в характеристических переменных определяется формулой

6 У^/бЛ , ( чо

Ш'Ч1) - Ш'Ч?)

- /V (|) [щ К, 0; ео, т) -1 Я (С, 0; т) о

Ло Тф (I) К 775 (0' ^ *1о)

0.22)

Теорема 1.5. Ясли при д > 0 функции (р(х), € С[0, 1/2] П

С2(0, 1/2) и ^>(0) = -0(0) = 0, то существует единственное решение задачи (0.17) — (0.19), определяемое формулой (0.22), в которой следует положить £ о = х + у, г)о = х — у, V (£ о, Чо) = и (х, у) •

В § 1.3 для уравнения (0.4) при д>0 в £) ставятся задачи Дарбу. Задача Их. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и(х, у)еС(П-)пС2(П.), и и

Ьи(х,у) = 0, (х, у) е £>, = и (х, -х) = ф(х), 0<х<^, и(х, 0) = т(х), 0 < х < 1,

АВ

0.23) (0.24) (0.25) (0.26) где т(х), гр(х) — заданные и достаточно гладкие функции, г(0) = ^(СО-Задача • Найти функцию и (х, у) из класса и (:г, у) е С(Р-) Пи АВ) П С2(Л), удовлетворяющую уравнению (0.24), краевым условиям (0.25) и ди дИ

АВ иу (х, 0) = 1/(х), 0 < х < 1,

0.27)

0.28) где и(х) - известная и достаточно гладкая функция. Решения задач Дарбу задаются формулами : г]о У , СПо\ ( £0

VI

1о

2£о о + »7о гКо) - / т(0 [Щ К, 6 Г)о) - Д, К, 6 £о, »7о)] « + о

0.29) ь /V (|) [Де К, 0; £о, г/о) -1 л к, о; »70)] «

- /V (|) [я, (О, Г/; £0, Г70) - | Д (О, Г7; £о, *7о)] Л?,

- /V (|) [дс К. »70) - | Л К, 0; »70)] <*е

0.30)

Rri (O, m fo» lo) ~ - R (0, 77; fo, rjo) drj + o

Теорема 1.6. Если при q > 0 функции т(х) 6 С[0, 1] П С2(0, 1) и ф(х) в С[0, 1/2] П С2(0, 1/2), причем т{0) = = 0, то существует единственное решение задачи (0.23) - (0.26), определяемое формулой (0.29), в которой следует положить £о = х + у, "По = х — у, vi Ко, rio) = и (х, у).

Теорема 1.7. Если при q > 0 функции ф(х) G С[0, 1/2]ПС2(0, 1/2), ф(0) = 0 и v{x) 6 L[0, 1] ПС1(0, 1), то существует единственное решение задачи (0.24), (0.25), (0.27), (0.28), определяемое формулой (0.30), в которой f о = я + 2/, г)0 = х-у, v2 (£о> Vo) = и (я, у) ■ В § 1.4 для эллиптического уравнения где q и Л € С , в области В , ограниченной отрезком NN оси х = 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей справа от оси х = 0 , с концами в точках К и N, ставится спектральная задача, соответствующая задаче Коши с данными на отрезке КЫ .

Спектральная задача С\ . Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (ж, у), удовлетворяющие условиям: и (яг, у) = о, (яг, у) е KN; их (х, у) = 0, (a?, у) Е KN. (0.34)

Имеет место

Теорема 1.8. Если q < 0, то любое комплексное А ф 0 является собственным значением задачи (0.32) - (0.34), которому соответствует

Ьи = ихх + иуу Н--их + Л и = 0, х

0.31) и (a?, у) G C(D) П С1^! U KN) П C2(D), Lu (х, у) = 0, (х, у) в D,

0.32) (0.33) собственная функция и(х, у) = (VXx)1'29 (M*2 + y2))e~Vff (у/\(х* + У2)) .

В главе 2 изучаются спектральные задачи для оператора Пулькина.

В § 2.1 уравнение смешанного типа 9

Su + Xu = ихх + Sgnу • иуу Н--их + \и = 0, (0.35) X где д £ R \ {0} и А £ С , рассматривается в области D, ограниченной характеристиками АС (х + у = 0) и С В (х — у = 1) уравнения (0.35); отрезком АК оси х = 0, К = (0, к), к > 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти, с концами в точках К и В. Обозначая D- = D П {у < 0}, D+ = D П {у > 0}, для уравнения (0.35) в зависимости от q ставится спектральная задача, соответствующая задаче Трикоми.

Спектральная задача T\(q < 1/2). Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х, у), удовлетворяющие условиям: и (ж, у) е C(D) П C\D) П C2(D U D+), (0.36)

Su (х, у) + \и (яг, у) = 0, (ж, у) G D- U D+, (0.37) и (х, у) = О, (х, у) е АС и АК U Г. (0.38)

Спектральная задача T\(q > 1/2). Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х, у) из класса (0.36), удовлетворяющие уравнению (0.37) и условию и (х, у) = 0, (х, у) е 1С U Г. (0.39)

В § 2.2 в случае, когда кривая Г совпадает с четвертью единичной окружности Го = {(х, у) | х2 + у2 = 1, х > 0, у > 0} , методом разделения переменных найдено счетное множество положительных собственных значений и соответствующие им собственные функции задачи Т\.

Теорема 2.1. Если q < 1/2, то собственными значениями спектральной задачи (0.36) - (0.38) являются положительные корни Ап>т, т € К, уравнения «72п-д-§(\^)= 0, п 6 N. Соответствующие собственные функции имеют вид ип,т{х, У) = < , . , . т(®| 2/) = (^п,т(ж2 + 2/2)) 972п9|(^/ЛП)т(ж2 + 2/2)) X / х2 /3 1 3 X2 \ 4 2 х2 + у2)' ип,т (*» у) = К- (л/А п,т(х2-у2)) (А», т(х2 - ?/2)) X х2-у2\п-1*( 11 л 1 я2-</2\

X -о— ^ п - 7, 7 + п - ъ 2п - д + -; х2 ; V 4'4 2' х2 ;'

Теорема 2.2. ^сли д > 1/2, то собственными значениями спектральной задачи (0.36), (0.37), (0.39) являются положительные корни АП) т > т € N, уравнения «727н-д-§(^'А)=: 0> п £ N . Соответствующие им собственные функции имеют вид ,/<т(я>2/)> (а?,у)е£>+, т (#» ^ — | гг ~ т (ж, г/), (х, у) € />-,

2/) = (\Мп,т(я2 + 2/2)) 9Лп+д|(л/Лп,т(а:2 + 2/2)) х /3 3 1 ж2 \ п + д - д + -; ь, II/ I у , у I , о . 2 )

4 4 2 х1-\-у1) ип,т у) = • (\Лп,т(я2-2/2)) 9лп+д|(улп,т(а;2-?/2)) х

1 X2 — ут

2' х*

- Г(п + 1) ГЙ + 9) к"-Г(1 -п) Г(2„ + д-1)

В § 2.3 построенная система собственных функций задачи Т\ исследуется на полноту в Ьч .

Теорема 2.3. Система собственных функций спектральной задачи Т\ при д> 1/2 полна с весом х2я~1 в 1,2

Теорема 2.4. Система собственных функций спектральной задачи Т\ при д > 1/2 не полна с весом х2я~1 в ¿2 (■£*)» причем размерность дефекта равна бесконечности.

Теорема 2.5. Система собственных функций спектральной задачи Т\ при д < 1/2 полна в 1^2(1?+) и не полна в Ь2(-0), причем размерность дефекта равна бесконечности.

В параграфах 2.4 — 2.6 в области Б поставлены следующие спектральные задачи.

Спектральная задача ТУУхд. Найти значения А и соответствующие им решения и(х, у) е С (И) П С1 (И и Г) П С2(1> и £>+) уравне

АС ния (0.37) с условиями и= 0; и= 0 при д <\] ^

АК 0.

Спектральная задача ТЛ^л- Найти значения А и соответствующие им решения и (х, у) е С(П) П С1(И и АК) П С2(/) и £>+) уравнения (0.37) при д > 0 с условиями и и

АЛ 0; их

АК 0 при 0 < д < \\ 0.

Спектральная задача ТЫ\. Найти значения А и соответствующие им решения и(х, у) е С(П) П С\0 и АК и Г) П С2[В- и £+) уравнения (0.37) при д > 0 с условиями и = 0; их =0 при

АС АК о<д<Ь Ш о.

В случае Г = Го найдены собственные значения и выписаны в явном виде собственные функции указанных спектральных задач. Системы собственных функций исследованы на полноту в 1/2

В главе 3 на основании работ Е.И. Моисеева [25], [26] построены решения краевых задач, соответствующих спектральным задачам Тд, ТЛ^ д, ТЫ2 д и Т^Уд, для уравнения с оператором Пулькина и комплексным параметром, отличным от собственных значений спектральных задач. В § 3.1 для уравнения Пулькина

2д

Би = ихх + sgnу • иуу -|--их = О, где д > 0 , в области И ставится

Задача Т. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: и (х, у) Е С(П) П С1 (И) П С2(£> и £>+), (0.40)

Б и (х, у) = 0, (я?, у) в £> и £>+, (0.41) и (х, у) = 0, (х, у) е АС, (0.42) и (х, у) = 0, (х, у) е АК, 0 < д < 1/2, (0.43) и (х, у) = / (х, у), (я?, у) е Г, (0.44) где /(я, у) — заданная и достаточно гладкая функция, /(К) =0 при 0 < д < 1/2 .

Единственность решения задачи Т следует из принципа максимума для уравнения Б и = 0 при д > 0 в области £), установленного в [31, 37].

Решая в области £) вторую задачу Дарбу, получено функциональное соотношение между следом и (х, 0) решения и следом иу (х, 0) нормальной производной решения на отрезке АВ, на основании которого задача Т сведена к нелокальной эллиптической задаче в области И+.

Задача Т+ . Найти функцию и(х, у) е С(П+) П С1(Б+ и АВ) П С2 (£)+), удовлетворяющую уравнению Би = 0 в £)+, условиям (0.43), (0.44) и и{х>о)=/ {гЬТр {я> я>1; (гг!)2)о) ° - *

В случае, когда Г = Го, решение задачи Т+ построено в виде суммы биортогонального ряда. Вычислив след суммы ряда при у = 0 и подставив его в формулу решения задачи Дарбу, получено решение задачи Т в £).

Теорема 3.1. Если 0 < <? < 1/2 и функция ¡{<р) 6 С[0, 7г/2], тт/2) = 0 и дифференцируема в (0, 7г/2), /'(<р) е Ь2/(1+29)[0> -тг/2], то существует единственное решение задачи (0.40) - (0.44), имеющее вид

00

Ц /« <4 2/), (я, у) € £>+, х, 2/) = < п=1 оо

Ум ^п я, г/), (ж, 2/) е П=1 х> у) = х 2п-2д—| Ж

-п ж2 + 2/2 х п/3 13 \

Ж + у --д; ^^ I , ип 2/) = ®

--2п-2а-Ь (х У

2\ X

X*

1 1 1 х2-уТ х п-д + -, 2п-д + -; — где коэффициенты /п определяются в работе по формулам (3.32).

Теорема 3.2. Если 1/2 < д < 1 и функция /((р) е С[0, 7г/2] и дифференцируема в (0, 7г/2), /'(</?)€ Ь2/(з2д)[0, 7г/2], то существует единственное решение задачи (0.40) - (0.42), (0.44), которое имеет вид и{х,у) = оо ~ /п<4 К у), у) е £>+>

П=1 п ип п=1

0.45) (*» У) = (я2 + У2) 3

3 1 4' 2 ж'

П (*. у) = - У2) 4

-у 2 где коэффициенты /п определяются в работе по формулам (3.43).

В случае д > 1 решение задачи Трикоми также выписывается в виде суммы биортогонального ряда при дополнительных условиях разрешимости на граничную функцию /(<р). Приведем результат для значений д = т+ 1/2, т = 0, 1, 2, . .

Будем говорить, что функция f{^p) удовлетворяет условиям (А), если:

Теорема 3.3. Пусть д = т + 1/2, т = 0, 1, 2, . и функция /(<р) удовлетворяет условиям (А). Тогда существует единственное решение задачи (0.40) - (0.42), (0.44), которое имеет вид (0.45), где коэффициенты /„ вычисляются по формулам

В параграфах 3.2 — 3.5 в области Б для уравнения с оператором Пулькина при 0 < д < 1 и комплексным параметром, отличным от собственных значений спектральных задач Та, ТЫ\\, ТЛ^а и Т/Уд, поставлены соответствующие краевые задачи. Решения этих задач при Г = Го представлены в виде сумм биортогональных рядов. где п = 0, ., втвёв '

В § 3.6 рассмотрена пространственная задача Трикоми для уравнения смешанного типа (0.3) в теле G, ограниченном: 1) при z > 0 поверхностью вращения Е : z = сг(г), г2 = х2 + у2, где cr(r) € С[0, 1], <т(г) > 0 для г € (0, 1), причем сг(0) = а0 > 0, сг(1) = 0; 2) при г < 0 боковыми поверхностями конусов К\ : z = —г, 0 < г < 1/2 и : z = г — 1, 1/2 < г < 1.

Задача Т. Найти функцию и (х, у, г) со свойствами: и(х, у, z)e C(G) nC1(G)nC2{G1\J G2), Lu (x, у, z) = 0, (ж, y, z) e Gi U G2, и и u (x, у, <r(r)) = Ф y), 0<x2 + y2 <1,

- = u(x, y, -r) = Ф (х, y), 0 < ж2 + y2 < i

Л1 J где Gi = <3n{z > 0}, G2 = GCi{z < 0}, Ф (x, у) и Ф (а:, у) — заданные и достаточно гладкие функции.

Отметим, что задача Т изучалась в работе [33]. Аналогичная краевая задача с граничным условием на конусе рассматривалась в [4].

Используя подход работы [33], вопрос существования решения задачи Т рассмотрен в случае, когда Е есть полусфера, Ф (х, у) = 0 и функция Фх (г, в) = Ф (г cos 0, г sin в) допускает разложение в равномерно сходящийся на [0, 1] х [—7Г, 7г] ряд Фурье: оо ф1 (г, в)= Y, г™ Am(r) cos m0 + Bm{r) sin тв

771=0

Показано, что при некоторых ограничениях на коэффициенты Ат(г) и Вт(г) решение задачи Т представляется в виде суммы равномерно сходящегося на <2 тригонометрического ряда Фурье: оо и (г, 0, z) = ^ rm Pm (г, z) cos 7710 + Qm (r, z) sin 1710

771=0

0.46) функциональные коэффициенты Рт (г, г) и фт (г, г) которого на плоскости (г, г) являются решениями задачи Трикоми для уравнения Пулькина при д = т + 1/2 с граничными условиями: т

-=Ат(г), дт=Бт(г), т 0.

Выписаны представления функциональных коэффициентов Рт (г, х) и Ят (г, в виде сумм рядов. Обоснована равномерная сходимость на 6? повторного ряда (0.46), а также возможность его почленного дифференцирования в области <3.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ильясов, Радик Рафикович, 2004 год

1. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М. 1952.-195 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973. - 296 с.

3. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

4. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа в многомерных областях // Доклады АН СССР. 1956. Т.110. № 6. - С.901-902.

5. Бицадзе A.B. О некоторых задачах для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1950. Т. 70. № 4. - С. 561-564.

6. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа: Дис. д-ра физ.-мат. наук. М., 1951.

7. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

8. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. 448 с.

9. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. 4.1 М: ИЛ, 1949. - 799 с.

10. Гудерлей К.Г. Теория околозвуковых течений. М.: ИЛ, 1960. - 421 с.

11. Градштпейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм и рядов. -М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

12. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно составного типов. - Ташкент: Фан, 1979. - 238 с.

13. Ильясов P.P. О некорректных краевых задачах для одного гиперболического уравнения / Тезисы докл. конф. "Понтрягинские чтения X". Современные методы в теории краевых задач. Воронеж, 1998. - С. 215.

14. Ильясов P.P. О спектре задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом / Сбор. науч. трудов "Дифференц. уравнения и их применения в физике". Ч. 1. - Стерлитамак: СФ АН РБ, СГПИ 1999. - С. 24-30.

15. Ильясов P.P. Построение решения задачи Трикоми-Неймана для уравнения С.П. Пулькина методом разделения переменных / Труды, межд. науч. конф. "Дифференц. уравнения и их приложения". Самара: Сам-Гаса, 2002. - С. 147-151.

16. Кальменов Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева- Бицадзе // Дифференц. уравнения. -1977. Т. 13. № 8. С. 1718-1725.

17. Кароль И.Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // Матем. сб., -1956, -Т.38(80), № 3, С.261-283.

18. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. Т.77. № 2(1951). -С. 181-183.

19. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. JL: Изд-во ЛГУ, 1990. - 208 с.

20. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. -830 с.

21. Мамедов Я.Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 1. -С. 163-168.

22. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 150 с.

23. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 1. - С. 177-179.

24. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 1. - С. 93-103.

25. Моисеев Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биорто-гонального ряда // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 7. - С. 12291237.

26. Олевский М.Н. О функции Римана для дифференциального уравнения // Доклады АН СССР. 1952. Т.87. № 3. - С. 337-340.

27. Пилия А.Д., Федоров В.И. Особенности поля электромагнитной волны в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью // Журн. экспер. и теор. физики. 1971. Т. 60. - вып.1. - С. 389-399.

28. Пономарев С.М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева- Бицадзе: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М. 1981.

29. Полосин А.А. О разложении решения обобщенной задачи Геллерстедта в биортогональный ряд // Дифференц. уравнения. 1996.- Т. 32, N 1. -С. 435-437.

30. Пулъкин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта // Известия вузов. Математика. 1960. № 6(19). - С. 214-225.

31. Пулъкин С.П. Некоторые краевые задачи для уравнения ихх ± иуу + Еих = 0 / Уч. зап. Куйбыш. пединститута. 1958. - Вып. 21. - С. 3-54.

32. Пулъкин С. П. Исследование по уравнениям смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Казань, КГУ. 1958.

33. Рыжов О. С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. -М.: ВЦ АН СССР, 1965. 236 с.

34. Сабитов К.Б. О задаче Трикоми для уравнения Лавреньтева-Бицадзе со спектральным параметром // Дифференц. уравнения. -1986. Т.22, № 11. С.1977-1984.

35. Сабитов К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 11. - С. 1967-1976.

36. Сабитов К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применение при обращении интегральных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. К0- 6. - С. 10231032.

37. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики М.: Высшая школа, 2003. -255 с.

38. Сабитов К.Б. О спектре одной газодинамической задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР 1991- Т. 316, N 1С. 40-44.

39. Сабитов К.Б., Ильясов P.P. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений // Известия вузов. Математика. -2001. № 5(468). С. 59-63.

40. Сабитов К.Б., Ильясов P.P. Решение задачи Трикоми для уравнения с сингулярным коэффициентом спектральным методом // Известия вузов. Математика. 2004. № 2. - С. 64-71.

41. Сабитов К.Б., Кучкарова А.Н. Спектральные свойства решений задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения // Сиб. мат. журнал. 2001. Т. 42. № 5. - С. 1147-1161.

42. Сабитов К.Б., Карамова A.A. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Известия РАН. Серия матем. 2001. № 4. -С. 133-150.

43. Сабитов К.Б., Гималтдинова A.A. Об одной газодинамической задаче для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 1. - С. 111-116.

44. Сабитов К.Б., Хасанова С.Л. Спектральные свойства краевой задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применения // Известия вузов. Математика. 2003. JV2 6. -С. 64-76.

45. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно составного типа. - Ташкент: Фан, 1974. - 156 с.

46. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

47. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. - 292 с.

48. Смирнов M.M. Уравнения смешанного типа. M.: Наука, 1970. - 296 с.

49. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

50. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. M.-JL: Гостехиздат, 1947. - 192 с.

51. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. - 443 с.

52. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. II. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

53. Франкль Ф.И. К теории сопел Лаваля // Изв. АН СССР. Сер. матем. -1945. Т. 9. № 5. С. 387-422.

54. Франкль Ф.И. О задачах Чаплыгина С.А. для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1945. Т. 9. № 2. -С. 121-142.

55. Франкль Ф.И. Об одной новой краевой задаче для уравнения у zxx -f Zyy = 0 // Учен, записки МГУ. 1951. - Вып. 152. Механика, 3. - С. 99116.

56. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. - 424 с.

57. Шифрин Э.Г. О единственности "в целом"решения прямой задачи Лаваля // Журн. вычислит, мат. и матем. физики. 1978. Т. 18. № 2. -С. 509-512.

58. Gellerstedt S. G. Sur on problème aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte: These pour le doctorat. -Uppsala, 1935. 92 p.