Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сафин, Эльдар Маратович

• Сафин, Эльдар Маратович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сафин, Эльдар Маратович

Введение

Глава 1. Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с неизвестной правой частью, не зависящей от времени

§1.1. Обратная задача с граничными условиями первого рода

§1.2. Обратная задача с граничными условиями второго рода

§1.3. Обратная задача с граничными условиями третьего рода

Глава 2. Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с неизвестной правой частью, зависящей от времени

§2.1. Обратная задача с граничными условиями первого рода

§2.2. Обратная задача с граничными условиями второго рода

§2.3. Обратная задача с граничными условиями третьего рода

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа»

Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задам для уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [87] и С. Геллерстедта [100], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известных как "задача Трикоми"и "задача Геллерстедта".

В 40-х годах Ф.И. Франкль [89] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике.

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль [90, 91], A.B. Бицадзе [9], К.И. Бабенко [2], S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter [103], С.S. Morawetz [102], J.R. Cannon [98, 99], Jl. Берс [6], В.Ф. Волкодавов [13], В.Н. Врагов [14], Т.Д. Джураев [19, 20], В.А. Елеев [21], В.И. Жегалов [24], А.Н. Зарубин [22], И.Л. Кароль [33], А.И. Кожанов [34], Ю.М. Крикунов [38], А.Г. Кузьмин [39, 40], O.A. Ладыженская [43], М.Е. Лернер [44], Е.И. Моисеев [45], A.M. Нахушев [47, 48],

Н.Б. Плещипский [49], С.П. Пулькин [53], JI.C. Пулькина [54], O.A. Репин [58], К.Б. Сабитов [61], [63] - [66], М.С. Салахитдинов [71], М.М. Смирнов [80], А.П. Солдатов [82, 83], P.C. Хайруллин [93], Хе Кан Чер [96], М.М. Хачев [94, 95] и др. В их работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда иа одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в 1959 г. И.М. Гельфандом [15]. Он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [84], Я.С. Уфлянд [88], JI.A. Золина [23] показали другие применения этих задач. Так, например, Я.С. Уфлянд задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда иа участке полубесконечной линии пренебрегается потерями, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки, свел к решению системы уравнений а также при требованиях непрерывности напряжения и тока на прямой х = I :

Здесь Ь, С\ - самоиндукция и емкость (на единицу длины) первого участка линии; Д, С*2 - сопротивление и емкость второго участка. Если из системы

0.1) при начальных и граничных условиях: lim и2 = о, уравнений (0.1) исключить токи, то получим задачу для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа ofiVxx - Vw = 0, 0 < х < I,

1 УУ (02)

-$Ухх — Уу = °> I <х < ОО, с соответствующими граничными условиями:

У(ж,0) = 0, ^(ж, 0) = 0, 0 <х<1, У(гс,0) = 0} 1<х< оо,

V(0,y) = E(y), lim V{x,y) = О/ х—»+oo и условиями сопряжения: у

V(l-01y) = V(l + 0iy)1 Vx(l + 0,y) = j J Vx(l-0,ri)dTi, о

2 1 .2 1

01 "ад' а2~ RC2

Эта задача для более общего уравнения, чем уравнения (0.2), рассмотрена в [20].

O.A. Ладыженская и JI. Ступялис [43] в многомерном пространстве рассмотрели начально-граничные краевые задачи на сопряжения для параболо-гинерболических уравнений, которые возникают при изучении задачи о движении проводящей жидкости в электромагнитном поле.

J1.A. Золина [23] исследовала аналог задачи Трикоми для уравнения

I ихх - иу = 0, у > 0, Lu = i (0.3) ихх — иуу = 0, у < 0, в области, ограниченной при у < 0 характеристиками АС(х + у = 0) и ВС(х — у = 1) уравнения (0.3), а при у > 0 - отрезками прямых AAq(x — 0), BBQ(x — 1) и АоВо(у — h > 0), с граничными условиями и условиями склеивания: и

ААо Vi(y), и =<Р2(у), 0 <y<h, вв. о и =ф(х), 0<х<1/2, АС и(х, +0) = \(х)и(х, — 0), иу(х, +0) = ц(х)иу(х, — 0), 0 < х < 1.

После этих статей появилось множество работ, где изучаются задача Три- . коми и ее обобщения, задачи со смещениями, задача типа задачи Бицадзе-Самарского и другие нелокальные задачи для смешанных параболо-гиперболи-ческих уравнений второго порядка. Это работы Х.Г. Бжихатлова и A.M. На-хушева [7], Х.Г. Бжихатлова [8], В.Н. Врагова [14], В.А. Елеева [21], Н.Ю. Капустина [31, 32], A.M. Нахушева [48], К.Б. Сабитова [61] и других.

Достаточно полная библиография по теории краевых задач для смешанных параболо-гиперболических уравнений содержится в монографиях [19, 20].

К.Б. Сабитовым [61] для уравнений где Ах, А2 - числовые параметры, рассмотрен аналог известной задачи Трико-ми и изучен характер влияния гиперболической части уравнений (0.4) и (0.5) на корректность постановки задачи Трикоми. Показано, что единственность решения задачи Т в классе регулярных решений уравнения (0.4) существенным образом зависит от параметров Ах и Аг- Если даже Ах > 0, что в области параболичности гарантирует выполнение принципа экстремума, то найдется такое А2, при которых однородная задача Трикоми имеет ненулевое неотрицательное решение. А задача Трикоми для уравнения (0.5) вообще не имеет ни вещественного, ни комплексного спектра.

0.4)

L2(u) =

Ux ~ Uyy - AlU = 0, у > 0, иХх ~ Uyy + A2U -0, у < О,

0.5)

В работах Н.И. Ионкина [29, 30] в области Вт = {(ж, £) | 0 < х < 1, 0 < £ < Т} для уравнения теплопроводности

Щ - ихх = /(ж,£) изучена нелокальная задача с условиями: 1 и(о, = о, J и(х, = 0, о < г < т, (о.б) о и(х,0) = (р(х), 0 < х < 1.

Здесь показано, что нелокальное условие из (0.6) эквивалентно нелокальному условию их(0,£) = их{1,1), 0 < £ < Т. В этих работах доказаны теоремы существования и единственности классического решения этой задачи. Идея метода решения задачи основывается на возможности разложения функции <£>(ж), задающей начальное условие, в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного оператора исходной задачи [28].

Сабитовым К.Б. [64] исследована задача с граничными условиями и{0, ¿) = и(1,£) — 0, —а <£</?, и(х,—а) = ф(х), 0 < х < 1, для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа щ - ихх + Ь2и = 0, г > 0, Ьи — < ии - ихх + ъ2и = о, г< о, в прямоугольной области И = {(гс,£)| 0 < х < 1, —а < £ < ¡3}, где а > 0, /?>0и6>0 - заданные действительные числа. Методом спектрального анализа при некоторых условиях а и (3 установлен критерий единственности и решение поставленной задачи построено в виде суммы ряда Фурье.

В работах Сабитова К.Б., Рахмановой Л.Х. [55]-[57] исследованы начально-краевые и нелокальные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

Щ ~ ихх + Ъ2и = 0, t> О,

-t)muxx-uu-b2{-t)mu = 0, t< О, где т = const > О, Ъ — const > О, в прямоугольной области D. Здесь также методами спектральных разложений при при некоторых условиях на а и ß установлены критерии единственности и доказаны существования рентений краевых задач в виде сумм рядов Фурье.

Данная диссертационная работа посвящена изучению обратных краевых задач для уравнения смешанного типа, о важности такого рода исследований отмечалось в работах Лаврентьева М.А., Франкля Ф.И., Бицадзе A.B., Бабенко К.И.

Ранее обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка изучались многими авторами, такими как: Тихонов А.Н. [86], Денисов A.M. [16] (см. приведенную там обширную библиографию), [17, 18], Иванов В.К. [26], Кожанов А.И. [35, 36], Лаврентьев М.М. [41, 42], Прилепко А.И. [50] - [52], Романов В.Г. [59, 60], Баев A.B. [3, 4] Меграбов А.Г. [101] и многие другие.

В тоже время отсутствуют исследования, посвященные решению обратных задач для уравнений смешанного типа.

Целью работы является постановка и доказательство единственности, существования и устойчивости решений обратных задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

Lu — f(x, t), (0.7) где щ - ихх + b2u, ¿>0 I Д(ж), ¿>0,

Lu = <( = < ии-ихх + Ъ2и, t< 0, [ /г(^), t < О, в прямоугольной области.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из двух глав.

В главе 1 исследуются обратные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с неизвестной правой частью, не зависящей от времени. Методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решений задач.

Рассмотрим уравнение параболо-гиперболического типа (0.7) при fi(x) — f2(x) = f{x):

J щ-ихх + Ъ2и = f(x), t> 0, Lu = < * (0.8) utt-uxx + b2u = f(x), t < 0, в прямоугольной области D = {(x,£)| 0 < x < 1, —a < t < /?}, a,/3 > 0. Для уравнения (0.8) в этой области поставлены и решены следующие обратные задачи.

Задача 1.1. Найти в области D функции u(x,t) и f(x), удовлетворяющие условиям: u(x,t) G C\D)nC2{D+U (0.9) f(x) G C(0,1) П L[0,1]; (0.10)

Lu(x,t) = f(x), (x, t) G D+ U D-\ (0.11) u(x, —a) = ф{х), 0 < x < 1; (0.12) u(x,(3) = <p(x), 0 < x < 1; (0.13) it(0, t) — u(l, t) — 0, —a <t</3, (0.14) где ф(х) и <£>{х) - заданные достаточно гладкие функции, </?(0) = <£>(1) =

Задача 1.2. Найти в области Б функции и(х^) и ¡(х), удовлетворяющие условиям (0.9) - (0.13) и здесь ф(х) и (р(х) - заданные достаточно гладкие функции, <р'{0) = —

Задача 1.3. Найти в области В функции и(х^) и ¡(х), удовлетворяющие условиям (0.9) - (0.13) и их(1,г) + /12и(1,0 = о, -а <*</?, где Н\, 1ъ2 - заданные положительные числа, ф{х) и <р(х) - заданные достаточно гладкие функции, у?'(0) — /¿1<у?(0) = 0, </?'(!)+^2^(1) — О, ^'(О) — Ъ,\ф{§) =

Рассмотрим задачу 1.1. Методом спектрального анализа построено решение задачи (0.9) - (0.14) в виде суммы ряда Фурье ф(0) = -0(1) = 0, D+ = D П {t > 0}, £> = D П {t < 0}. их(0, t) = их(1, t) = 0, -a<t< /3, ф'(0) = ^'(1) = 0. o/^(i) + ад>(1) = о. оо

0.15) fe=i

ОО

0.16) где

0.17) fk = фи ~

Vk ~ Фи c-xl0 Л2 aflb(k)

0.18)

1 1

0 0 при условиях

Sapb{k) = e~x*P - (cos Xka + Xk sin Aka) О, к E N. (0.19)

Если 6арь(к) = 0 при к = p и некоторых a, ¡3 и b, тогда задача (0.9) - (0.14) (где ip(x) = 0, ф{х) = 0) имеет нетривиальное решение j sin 7трх, t > 0, up(xit)={ >/ \ (°-2°) cos Apt — Ар sin Xpt ) sin 7трх, t < 0, р fp{x) = fp sin тгря, fp = - (0.21)

Выражение 6арь(к) = 0 при фиксированных к = р, р € N, b > 0 и ¡3 > 0 только в том случае, когда —1)П . Л 7ГП 7„ а = arcsm 9Р + ---р,п е N,

Лр Лр Лр где = е~ХрР/yjl + А2, 7р = axcsin(l/^l + Л|).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.1.1. ifc/ш существует решение задачи 1.1, т.е. задачи (0.9) - (0.14), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия (0.19) при всех k е N.

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций {д/2 sinв пространстве I^jO, 1].

Поскольку а, b - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших к выражение 5арь{к) может стать достаточно малым, то есть возникает проблема "малых знаменателей"[1, 66]. Чтобы не было такой ситуации, надо показать существование чисел а, (3 и 6, что при достаточно больших к выражение 8аръ{к) отделено от нуля.

Приводимые ниже леммы 0.1.1 - 0.1.4 являются достаточными условиями отделепности выражения 6аръ(к) от нуля.

Лемма 0.1.1. Если а Е N и Ъ = 0, то существует число Ср - зависящее от (3, такое, что при любом А; 6 N справедлива оценка |<5а/?о(&)| > Ср > 0.

Лемма 0.1.2. Если а = р/д, р,д Е М, = 1, р/я ф М, Ъ = 0, то существует число Ср - зависящее от (3, такое, что при любом 6 к > я/п, справедлива оценка > С/? > 0.

Лемма 0.1.3. Если а Е М = {а | а = -у/б + р, р Е Ъ, л/И > —р, б. = 2,3,5,6,7,8}, то существуют положительные постоянные Са и (За зави- • сящие от а такие, что при Ъ = 0 и всех к Е N и (3 > (За справедливо неравенство \6аро(к)\ > Са > 0.

Лемма 0.1.4. Если а = р/д, 6 М, (р,я) = & ~ положительное . действительное число, то при любом к Е М, к > Каь = (рЬ2 + д7г)/7г2 справедлива оценка \5арь{к)\ > Ср > 0, где Ср - положительная постоянная, зависящая от (3.

Таким образом, из лемм 0.1.1 - 0.1.4 следует, что существуют числа а > 0, ¡3 > 0, Ъ > 0 и положительные константы Ко (здесь и далее Ко Е М) и Со, вообще говоря, зависящие от а, /3, Ь, такие что при к > Ко, к Е М, справедливо неравенство

5а/зъ(к)\ > Со > 0. (0.22)

Если при указанных а, ¡3 и Ъ выражение 5арь(к) = 0 при некоторых к = где 1 < ¿1 < . < 1т < Ко; 1п, п = 1,ш, т - заданные натуральные числа, то задача (0.9) - (0.14) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности

1 1

У (р(х) ътккхбх = 0, jф(х) ътпкхйх = 0, к = ., 1т (0.23) о о и решение в этом случае определяется рядами

1-1 ¿2-1 ОО \ и(х, ¿) = д/2 I ^ + +.+ ^3 (°-24) с=1 £=¿1+1 к=1т+1/ р

1-1 ¿2-1 оо \ х) = у/2 X] +.+ )Л8Ш7гЬ; + 53Лр/р(аО, (0.25) с=1 /¿=¿14"! к=1т+1/ р где в суммах ^ индекс р принимает значения Ар ^ 0 - произвольная р постоянная, а выражения иД, ^(а;, £) и определяются соответственно по формулам (0.17), (0.18), (0.20) и (0.21), конечные суммы выражений (0.24) и (0.25) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 0.1.2. Пусть р(х), ф(х) € С4[0,1]; <рФ(0) = ^}(0) = ^Ч1) = = 0; ъ = 0,2, и выполнены условия (0.22) при всех к > Кд. Тогда если 5арь(к) т^ 0 при всех к = 1, 2,., Ко, то задача (0.9) - (0.14) однозначно разрешима и это решение определяется рядами (0.15) и (0.16); если 5арь(к) — 0 при некоторых к — ¿1,., 1т < Ко, то задача (0.9) - (0.14) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности (0.23), и решение в этом случае определяется рядами (0.24), (0.25).

При обосновании устойчивости построенного решения (0.15) и (0.16) вводятся следующие нормы:

1 \ !/2

2. и{х,1)\\ь2М = \\и{х,Щь2 = I у \и{х,Ь)| ¿X о

1КМ)||Сф±) = тах|п(ж,£)|,

И/МП щ = (/ ^ , п е N0.

Теорема 0.1.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.1.2, тогда для решения (0.15), (0.16) задачи 1.1 справедливы оценки: К01 (1Мк° + \W\ws) ,*>0,

13

1км)|к < адмк* + мм, I < о,

1КМ)||С(5+) < ^04(11^11^ + Мж^

1КМ)Нс(1?) < Коь(М\уу$ + \W\wi), ||/(я)||с[0,1] <#0б(Ми? + где постоянные Ко1, г — 1, 6, не зависят от функций <р(х) и ф(х).

При решении задач 1.2 и 1.3 применяется тот же спектральный метод и для их решений установлен критерий единственности, сами решения построены в виде сумм ортогонального ряда и установлена устойчивость по граничным данным.

Глава 2 посвящена изучению обратных задач для уравнения смешанного параболо-гипсрболического типа с неизвестной правой частью, зависящей от времени. Методом спектральных разложений установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования и устойчивости решения поставленных задач.

Для уравнения (0.7) при Л (ж) ^ /2 (я) поставлены и исследованы следующие обратные задачи.

Задача 2.1. Найти в области О функции и(х,1) и /(х^), удовлетворяющие условиям:

0.26)

Мх) €С(0,1)ПЬ[0,1], г = 1,2; (0.27)

Ьи(х, г) ЕЕ /(ж, г), (ж, ¿) е £>+ и £>; (0.28)

14(ж, —а) = ч/>(ж), 0 < ж < 1; (0.29) щ(х, -а) = д(х), 0 < ж < 1; (0.30) и(х,Р) = <р{ж), 0 < ж < 1; (0.31) и( 0, £) = и{ 1, £) = 0, -а < £ < /3,

0.32) гдеф{х), ф{х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, <£>(0) = </?(!) —

0, ^(0) - ^(1) = 0, д(0) = #(1) = 0, £>+ = £> П {¿> 0}, £> = £> П {£ < 0}.

Задача 2.2. Найти в области В функции и(х,Ь) и¡(х,1), удовлетворяющие условиям (0.26) - (0.31) и здесь ф{х), (р(х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, </?'(0) =

Задача 2.3. Найти в области Б функции и(х,Ь) и$(х,1), удовлетворяющие условиям (0.26) - (0.31) и их(0,г) = 0, их{1,г) + = 0, -а<г<р, где Н\, /гг - заданные положительные числа, ф{х), <р(х) и д(х) - заданные достаточно гладкие функции, <//(0) — /¿1</?(0) = 0; </?'(!) + Ь,2<р{1) — О, ф'{0) — их(0,£) = их(1,£) = 0, -а <«</?,

1) = 0, ф'{0) = ^(1) = 0, д>{0) = ^(1) = 0. ад(о) - о, ^(1) + ад>(1) = о.

Решение задачи 2.1 построено в виде суммы ряда оо

0.33) оо

0.34) где + С1ке

1ке~х&, г > 0,

1к М + £1к ] соз д^ хкс1к вт л^, г < о,

0.35)

Л к = ^ +

А: /

- эт А&а - дк{1 - со8\ка) хг0 \кАа/зь{к)

0.36)

2 к = >?к Фк +

Ц<Рк ~ Фк) ~ Ы(1 " е с°8 + Ла; эт А/с а]

ХкАа(ЗЬ(к)

0.37)

Clk = к{Фк - ¥к) sin Хка + дк(1 - cos Хка)

0.38)

ХкАа/ЗЬ(к)

Рк, Фк, 9к ~ коэффициенты разложения функций (р{х), ф{х), д(х) по системе {sin7Tкх}^=1, при условиях

Aafib(k) = Хк{1 - cos Хка) + (1 - sin Хка к е N. (0.39)

Если нарушено условие (0.39) при некоторых а, (3 и Ъ и к — р, то однородная задача (0.26) - (0.32) (где ip{x) = 0, ф{х) = 0, д{х) = 0) имеет нетривиальное решение up(x,t) sin 7трх, t > 0,

1R + е-А It л+

2 Р I flp /2Р . Л \ Ч , Ч • \ . 1 ) cos Xpt — A» sin Xvt

Ap p p smirpx, t < 0. fiP{x) = fipsinтгрх, fip = — A^e f2P smirpx, f2p = X p

0.40) (0.41) sin Apa

J2p

Выражение Ааръ{к) — 0 при фиксированных к = р, р £ Щ, Ь > 0 и /3 > 0 только в том случае, когда

27тп а —

А, n, р € N,

0.42) или а =

27гт 2£р m £ N, = arcsin

1 - e-W

0.43)

XI + (1 - е-л^)2

Теорема 0.2.1. Если существует решение задачи 2.1, т.е. задачи (0.26) -(0.32), то оно единственно только тогда, когда выполнены условия Ааръ(к) ^ 0 при всех к £ N.

Поскольку выражение Аарь(к) может обратиться в нуль при указанных выше значениях (0.42) и (0.43) параметра а, то вначале ответим на вопрос при каких о;, (3 выражение Аарь(к) при всех к £ N отделено от нуля. Надо отметить, что при 6 = 0 выражение (0.42) принимает вид а = 2п/к. Поэтому когда а принимает рациональные значения Ааро(к) = 0. Следовательно, для таких а решение задачи 2.1 вообще в виде ряда может не существовать.

Лемма 0.2.1. Если а £ М = {а \ а = у/д + р, р е Ъ, л/д, > —р, с1 = 2,3,5,6, 7,8}; то существует полоэюительная постоянная Са, зависящая от а такая, что при Ъ — 0 и всех к £ N справедливо неравенство

Да/зо {к)

Отметим, что каждое иррациональное число а единственным образом разлагается в бесконечную цепную дробь а = [ао, аа, а2:., .], при этом целое число а о и натуральные числа а\,а2,. называются элементами числа а. Как известно [97, с.62], что элементы всякой квадратической иррациональности ограничены.

Лемма 0.2.2 Пусть а.\ - положительное иррациональное число с неограниченными элементами, 6 = 0. Тогда для, любого е > 0 существует бесконечное множество натуральных чисел к таких, что

Д«/эо(*01 (0.44) где Сз - положительное число.

Из доказанной оценки (0.44) следует, что для таких > 0, выражение которое является знаменателем отношений (0.36) - (0.38), может быть сделано сколь угодно малым. Поэтому в этом случае решение в виде суммы рядов может не существовать.

Лемма 0.2.3. Если ах - положительное рациональное число, Ь - положительное действительное число, то при любом к € N и к > Каь = [рЪ2q/к)/'к2 справедлива оценка

Д<*»(к)| > где Сарь ~ положительная постоянная зависящая от а, ¡3 и Ь. сп к

Таким образом из лемм 0.2.1 и 0.2.3 следует, что существуют положительные константы К0 (здесь и далее Ко 6 М) и Со, вообще говоря, зависящие от а, /3, Ь, такие что при к > Ко, к 6 М, справедливо неравенство а0ь(к)\ >~>0. (0.45)

Если при указанных а) /3 и Ь выражение Аарь(к) = 0 при некоторых к = где 1 < ¡i < . < lm < Kq; ln, п — l,m, т - заданные натуральные числа, то задача (0.26) - (0.32) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности ill J(р(х) sinirkxdx = 0, Jф(х) smirkxdx — 0, Jд(х) sin irkxdx = 0 (0.46)

ООО при к = ¿i,., 1т и решение в этом случае определяется рядами

1-1 г2-1 ОО \

Y1 ) ^Jt W sin тг/сжЧ-^ (0.47) к=1 k=h+1 k=lm+1/ р

1 — 1 ¿2 — 1 ОО \

X ) /.лвттгАж + ^^ЛрСж), (0.48) \ k—L k=h+l k=lm+lj v где i = 1, 2, в суммах ^ индекс р принимает значения ., Zm, ф 0 - прор извольная постоянная, а выражения up(x,t) и fip(x) определяются соответственно по формулам (0.35) - (0.37), (0.40) и (0.41), конечные суммы выражений (0.47) и (0.48) следует считать равными нулю, если нижний предел больше верхнего.

Теорема 0.2.2. Пусть функции ф(х) <G С5[0,1], д(х) е С4[0,1] р(0(0) = ^(0(0) = ^)(1) - = 0; 9{jK°) = 9ij){ 1) = 0, i = 0,2,4, j = 0, 2 и выполнены условия (0.45) при всех к > Ко- Тогда если Аарь(к) ф 0 при к — 1, 2,., Kq, нпо задача (0.26) - (0.32) однозначно разрешима и это решение определяется рядами (0.33) и (0.34); если Аа/зь(к) — 0 при некоторых k = ¿i, .,1т < Ко, то задача (0.26) - (0.32) разрешима тогда, когда выполнены условия ортогональности (0.46), и решение определяется рядами (0.47), (0.48).

Теорема 0.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 0.3.2, тогда для решения (0.33), (0.34) задачи 2.1 справедливы оценки:

IKT,t)||L2 < Moi (IMk + \Mw.ï +1Ык°), t > о, \\u(x,t)\\L2 < м02 (Mw* + WWi + IbM, t < 0, fi(x)\\L2 < M03(|Mlw| + \m\w§ + IIpIIwj), Шх)\\ь2 < M04(|MI^ + \ШWi + Nlwf), \\ФМс(5+) ^ MosflMw? + \W\w2 + \\g\\w§):

Hx,t)\\c(n„) < M06{M\wi + \\ф\Iwf + WgWw?), fi{x)\\cm < M07(Ыщ + \\^\\wi + \\g\\w»):

2(®)||c[0,l] < MosMwï + UWwi + \\g\\wi), где постоянные Мщ, г — 1,8, не зависят от функций <р(х), ф(х) и д{х).

В случае задач 2.2 и 2.3 получены аналогичные результаты, т.е. установлены критерии единственности решения. Сами решения построены в виде сумм рядов и доказаны теоремы об устойчивости решения.

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты.

1. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения обратных задач для уравнения смешанного параболо - гиперболического типа с неизвестной правой частью, не зависящей от времени, в прямоугольной области с граничными условиями первого - третьего родов. В каждой из поставленных задач установлен критерий единственности, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи, доказана устойчивость решения по граничным данным.

2. Доказательство единственности, существования и устойчивости решения обратных задач для уравнения смешанного параболо - гиперболического типа с неизвестной правой частью, зависящей от времени, в прямоугольной области с граничными условиями первого - третьего родов. В каждой из поставленных задач установлен критерий единственности, решение построено в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующей одномерной спектральной задачи, доказана устойчивость решения по граничным данным.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научном семинаре лаборатории дифференциальных уравнений отдела физико-математических и технических наук Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан, затем Института прикладных исследований Академии наук Республики Башкортостан (н.р. - проф. К.Б. Сабитов, 2006 - 2011 гг.), на семинарах: дифференциальные уравнения математической физики (н.р. - проф. Л.А. Калякин, проф. В.Ю. Новокшенов, февраль 2011 г.) и вычислительная математика и смежные вопросы (н.р. - проф. М.Д. Рамазапов, проф. Я.Ш. Ильясов, март 2011 г.) Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН, также на следующих всероссийских и международных конференциях: «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», посвященная юбилеям академиков РАН Ильина В.А. и Моисеева Е.А. (г. Стерлитамак, 2008 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Эльбрус, 2008 г.), «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В.А. Садовничего (г. Москва, 2009 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик - Эльбрус, 2009 г.), «Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Лобачевские чтения - 2009» (Казань, 2009 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик - Хабез, 2010 г.), «Всероссийская школа-конференция молодых ученых «Лобачевские чтения - 2010» (Казань, 2010 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сафин, Эльдар Маратович, 2011 год

1. Арнольд, В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике / В.И. Арнольд // // УМН. - 1963. - Т. XV1.I. - Вып. 6 (114). - С. 91 - 192.

2. Бабенко, К.И. О задаче Трикоми / К.И. Бабепко // ДАН СССР. 1986.- Т. 291. — № 1. - С. 14 - 19.

3. Баев, A.B. Единственность решения обратной задачи для уравнения акустики и обратная спектральная задача / A.B. Баев // Матем. заметки. -1990. Т.47. - Вып. 2. - С. 149 - 151.

4. Баев, A.B. Решение задачи восстановления коэффициента диссипации вариационным методом /А. В. Баев, Н. В. Куценко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. - Т. 46. - Вып. 10. - С. 1882 — 1893.

5. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. —М.: Наука, 1966. Т. 2. - 296 с.

6. Берс, JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / JI. Берс. —М.: ИЛ, 1961. 208 с.

7. Бжихатлов, Х.Г. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / Х.Г. Бжихатлов, A.M. Нахушев // . ДАН СССР. 1968. - Т. 183. - № 2. - С. 261 - 264.

8. Боюихатлов, Х.Г. Об одной краевой задаче для смешанных параболо-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения типа / Х.Г. Бжихатлов // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. - № 1. -С. 10 - 16.

9. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. / Бицадзе A.B. — М.:Наука, 1981. 448 с.

10. Де Брёйи, Н.Г. Асимптотические методы в анализе. / Н.Г. Де Брёйн. — М.: Иностранной литературы, 1961. 248 с.

11. Бухштаб, A.A. Теория чисел. / A.A. Бухштаб — М.:Просвещение, 1966. 384 с.

12. Будак, Б.М. Сборник задач по математической физике. / Будак Б.М., A.A. Самарский, А.Н. Тихонов — М.:Физматлит, 2004. 688 с.

13. Волкодавов, В.Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дис— Д-ра физ.-мат.наук. Казань: КГУ, 1969.

14. Врагов, В.Н. Смешанная задача для одного класса параболо-гиперболических уравнений второго порядка / В.Н. Врагов // Дифференц. уравнения. 1976. - Т. 12. - № 1. - С. 24 - 31.

15. Гелъфанд, И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений / И.М. Гельфанд // УМН. 1959. - Т. XIV. - Вып. 3 (87). - С. 3 -19.

16. Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач. / A.M. Денисов. — М.: МГУ, 1994. 207 с.

17. Денисов, A.M. Обратная задача для квазилинейного волнового уравнения / A.M. Денисов // Дифференц. уравнения. 2007. - Т. 43. - № 8. - С. 1097 - 1105.

18. Денисов, A.M. Обратные задачи для квазилинейного гиперболического уравнения в случае движущейся точки наблюдения / A.M. Денисов // Дифференц. уравнения. 2009. - Т. 45. - № 11. - С. 1543 - 1553.

19. Доюураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев —Ташкент: Фан, 1986. — 240 с.

20. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа / Т.Д. Джураев, А. Сопуев, М. Мамажанов. —Ташкент: Фан, 1986. — 220 с.

21. Елеев, В.А. О некоторых краевых задачах для одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / В.А. Елеев // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. XIV. - № 1. - С. 22 - 29.

22. Зарубин, А.Н. Уравнения смешанного типа с запаз-дывающим аргументом / А.Н. Зарубин / Орел. гос. ун-т — 1999. — 225 с.

23. Золина, JI.A. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа / JI.A. Золина // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1966. Т.6. - № 6. - С. 991 - 1001.

24. Жегалов, В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та — 1962. — Т. 122.- кн. 3.- С. 3 16.

25. Жибер, A.B. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувил-левского типа / A.B. Жибер, В.В. Соколов // УМН. 2001. - Т. 56. -Вып. 1. - С. 63 - 106.

26. Иванов, В.К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В.К. Иванов, В.В. Васин, В.П. Танана. — М.:Наука, 1978. 206 с.

27. Ильин, В.А. Единственность и принадлежность И^1 классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения / В.А. Ильин // Матем. заметки. 1975. - Т. 17. - № 1. - С. 93 -103.

28. Ильин, В А. О существовании приведенной системы собственных и присоединенных функций у несамосопряженного обыкновенного дифференциального оператора / В.А. Ильин // Труды Математ. института им. В.А. Стеклова. 1976. - Т. 142. - С. 148 - 155.

29. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием /Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294 - 304.

30. Ионкин, Н.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями / Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - № 7. - С. 1284 - 1295.

31. Капустин, Н.Ю. К теории уравнений смешанного типа / Н.Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. - № 6. - С. 1078 - 1080.

32. Капустин, Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся частью / Н.Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - № 1. - С. 72 - 78.

33. Каролъ, И. JJ. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И.Л. Кароль // Матем. сборник -1955. Т. 38 (80). - № 5. - С. 261 - 283.

34. Кожанов, А.И. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики нечетного порядка. / А.И. Кожанов — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1990. 150 с.

35. Кооюанов, А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче / А.И. Кожанов // Матем. заметки. 2004. - Т. 76. - № 6. - С. 840 - 853.

36. Кожанов, А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности / А.И. Кожанов // Сиб. матем. журн. 2005. -Т. 46. - № 5. - С. 1053 - 1071.

37. Кожанов, А.И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для, J

38. Крикунов, Ю.М. К задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Ю.М. Крикунов // Известия вузов. Математика. — 1974. №2 (141). -С. 76 - 81.

39. Кузьмин, А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения в газодинамике / А.Г. Кузьмин. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. - 280 с.

40. Кузьмин, А.Г. Модифицированная задача Франкля-Моравец о трансзвуковом обтекании аэродинамического профиля / А.Г. Кузьмин // Дифферент уравнения. 2004. - Т. 40. - № 10 - С. 1379 - 1384.

41. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.Т Шишатский. — М.гНаука, 1980. 286 с.

42. Лаврентьев, М.М. Одномерные обратные задачи математической физики / М.М. Лаврентьев, К.Г. Резеницкая, В.Г. Яхно — М.гНаука, 1982. ' 88 с.

43. Ладыженская, O.A. Об уравнениях смешанного типа / O.A. Ладыженская, Л. Ступялис // Вестник ЛГУ. Серия мат., мех. и астр. 1965. - Т. 19. - № 4. - С. 38 - 46.

44. Лернер, М.Е. Принципы максимума для уравнений гиперболического и смешанного типов в неклассических областях / М.Е. Лернер // Докл.АН СССР. 1986. - Т. 287. - С. 550 - 554.

45. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев М.:Изд-во МГУ, 1988. 150 с.

46. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной кра- ■ евой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35. №8. - С. 1094 - 1100.

47. Нахушев, A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6. - № 1. - С. 190 - 191.

48. Нахушев, A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 15. - № 1. - С. 66 - 73.

49. Плещинский, Н.Б. К решению граничных задач для обобщенного уравнения Трикоми методом интегральных уравнений / Н.Б.Плещинский //Труды семинара по краевым задачам. КГУ. — 1979. — Вып.16. — С. 112 125.

50. Прилепко, А.И. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением / А.И. Прилепко, А.Б. Костин // Матем. сборник. 1992. - Т. 183. - № 4. - С. 49 - 68.

51. Прилепко, А.И. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении / А.И. Прилепко, А.Б. Костин // Сиб. матем. журн. 1993. - Т. 33. - №3.~ С. 146 - 155.

52. Прилепко, А.И. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А.И. Прилепко, Д.С. Ткачепко // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. - Т. 43. - №4. - С. 562 - 570.

53. Пулъкии, С.П. Избранные труды / С.П. Пулькип Самара. Универс групп., 2007. - 264 с.

54. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / Л.С. Пулькина // Дифференц. уравнения. -2004. Т. 40. - № 7. - С. 887 - 892.

55. Рахманова, Л.Х. Решение нелокальной задачи спектральным методом для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной / Л.Х. Рахманова // Известия вузов. Математика. 2007. -№11 (546).-С. 36 - 40.

56. Рахманова, Л.Х. Краевые задачи для уравнений смешанного гхараболо-гиперболического типа в прямоугольной области: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Л.Х. Рахманова Казань, КГУ, 2009.- 19 с.

57. Репин, О А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой — полуполоса / О. А. Репин // Дифференц. уравнения. 1996. - Т.32. - №4. С. 565 - 567.

58. Романов, В.Г. Одномерная обратная задача для телеграфного уравнения. / В.Г. Романов // Дифференц. уравнения. 1968. - Т.4. - №1. С. 87 - 101.

59. Романов, В. Г. б оценке устойчивости решения обратной задачи для гиперболического уравнения. / В.Г. Романов // Сиб. матем. журн. 1998.- Т.39. №1. 436 - 449.

60. Сабитов, К. Б. К теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа со спектральным параметром / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. 1989. - Т.25. - №1. - С. 117 - 126.

61. Сабитов, К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения / К.Б. Сабитов — М.: Высшая школа, 2005. — 671 с.

62. Сабитов, К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // ДАН. 2007. - Т. 413. - № 1. - С. 23 - 26.

63. Сабитов, К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Матем. заметки. 2008. - Т.86. - Вып. 2. - С. 273 - 279.

64. Сабитов, К.Б. Начально-граничная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Л.Х. Рахманова // Дифференц. уравнения. -2008. Т.44. - №9. - С. 1175 - 1181.

65. Сабитов, К.Б. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка // К.Б. Сабитов // ДАН. 2009. - Т. 427. - № 5. - С. 593 - 596.

66. Сабит,ов, К.Б. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // ДАН. 2009. - Т. 429. - № 4. - С. 451 - 454.

67. Сабитов, К.Б. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Известия вузов. Математика. 2010. - №4 (546). - С. 55 - 62.

68. Сабитов, К.Б. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа /К.Б. Сабитов, Э.М. Сафин // Матем. заметки.- 2010. Т.87. - Вып. 6. - С. 907 - 918.

69. Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А.А. Самарский // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16.- № 11. С. 1925 - 1935.

70. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Сала-хитдинов — Ташкент: Фан., 1974. 156 с.

71. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. — М.гВысшая школа, 1985. 304 с.

72. Соболев, С.Л. Пример корректной краевой задачи для уравнения колебания струны с данными на всей границе / С.Л. Соболев // ДАН СССР. -1956. Т. 109. - № 4. - С. 707 - 709.

73. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Би-цадзе. I. Теоремы единственности / А.П. Солдатов // ДАН. 1993. - Т. 332. - № 6. - С. 696 - 698.

74. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. II. Теорема существования / А.П. Солдатов // ДАН. 1993. -Т. 333. - № 1. - С. 16 - 18.

75. Стручина, Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений / Г.М. Стручина // Инженер.-физ. журн. 1961. - Т. 4. - № 11. - С. 99 - 104.

76. Ступялис, JI. Начально-краевые задачи для уравнений смешанного типа / Л. Ступялис // Труды МИАН СССР. Т. 27. Л.: Наука, 1975. - С. 115- 145.

77. Тихонов, А.Н. Об устойчивости обратных задач / А.Н. Тихонов // ДАН. ' 1943. - Т. 39. - № 5. - С. 195 - 198.

78. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа. / Ф. Трикоми. — М.: ИЛ, 1947. 192 с.

79. Уфлянд, Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях / Я.С. Уфлянд // Инженер.-физ. журн. 1964. - Т. 7.- № 1. С. 89 - 92.

80. Франклъ, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Изв. АН СССР. Серия математическая. —1945. Т. 9. - Ш. - С. 121 - 142.t

81. Франклъ, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ 1956,- Т. 20. - №2. - с. 196 - 202.

82. Франклъ, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике /Ф.И. Франкль.- М.: Наука, 1973. 703 с.

83. Хабиров, C.B. Задача Гурса о непрерывном сопряжении радиальных прямолинейных движений газа / C.B. Хабиров // Матем. заметки. 2006. -Т. 79. - № 4. - С. 601 - 606.

84. Хайруллин, P.C. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода. / P.C. Хайруллин // Сиб. матем. журн. 1994. - Т. 35. - № 4.- С. 927 936.

85. Хачев, М.М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольникеМ.М. Хачев // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 11. - № 1. - С. 151 . - 160.

86. Хачев, М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа / М.М. Хачев. Нальчик. Изд. "Эльбрус". 1998. — 169 с.

87. Хе Кан Чер. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения / Хе Каи Чер. //В кн.: Диффе-ренц.уравнения с частными производными. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1980. - С.64 - 67.

88. Хипчии А.Я. Цепные дроби. / А.Я. Хинчин — М.:Наука, 1978. 112 с.

89. Cannon, J.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy / J.R. Cannon // Quart. Appl. Math. 1963. - V. 21. - № 2. — P. 155 - 160.

90. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. Math, pura ed Appl., 1963. - V. 62. - P. 371 - 377.

91. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineare aux derivees partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat. — Uppsala, 1935. 92 p.

92. Megrabov, A. G. Forward and Inverse problems for hyperbolic, elliptic and mixed type equations / A. G. Megrabov Utrecht; Boston: VSP, 2003. - 230 P

93. Morawetz, C.S. Note on a maximum principle fnd a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation / C.S. Morawetz // Proc. Roy. Soc. 1956. -V.236. - № 1204. - P. 141 - 144.

94. Protter M. H. An existence theorem for the generalized Tricomi problem / M.H. Protter // Duke Math.J. 1954. - V.21. - №1. - P. 1 - 8.