Нелокальные краевые задачи для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Попов, Николай Сергеевич

• Попов, Николай Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Попов, Николай Сергеевич

Содержание

О ВВЕДЕНИЕ

1. ОДНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

§1.1 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для

псевдопараболического уравнения

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Основная теорема

1.1.3 Разрешимость вспомогательной краевой задачи 2

1.1.4 Доказательство основной теоремы

§1.2 Краевые задачи с граничными условиями A.A. Самарского для

псевдогиперболического уравнения

1.2.1 Постановка задачи

1.2.2 Разрешимость краевой задачи 4

1.2.3 Разрешимость краевых задач 5 и 6

§1.3 Краевые задачи с граничными условиями A.A. Самарского и

интегральными граничными условиями для псевдопараболического уравнения

1.3.1 Постановка задач

1.3.2 Разрешимость краевой задачи 7

1.3.3 Разрешимость краевой задачи 8

1.3.4 Разрешимость краевой задачи 9

2. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

§2.1 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для

псевдопараболического уравнения

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Разрешимость краевой задачи 10

2.1.3 Разрешимость краевой задачи 11

§2.2 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для

псевдогиперболического уравнения

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Разрешимость краевой задачи 12

2.2.3 Разрешимость краевой задачи

89

3. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕЛОКАЛЬНЫХ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

§3.1 Краевые задачи для псевдопараболического уравнения

3.1.1 Постановка краевой задачи

3.1.2 Разрешимость краевой задачи 14

§3.2 Краевые задачи с интегральными граничными условиями для

псевдогиперболического уравнения

3.2.1 Постановка краевой задачи

3.2.2 Разрешимость краевой задачи 15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные краевые задачи для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений»

О ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений.

В качестве первых работ в исследовании нелокальных краевых задач отметим классические работы В.А. Стеклова (1896), Ф.И. Франкля (1956), а также статью В.И. Жегалова (см. [12]).

Начало систематических исследований нелокальных краевых задач — задач нахождения периодических решений для эллиптических уравнений было положено в статье A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [7, 51]. В связи с этим граничные условия, представляющие комбинацию пространственно нелокальных граничных условий принято называть граничными условиями A.A. Самарского.

Определенный интерес к изучению нелокальных задач для псевдопараболических уравнений был вызван в связи с их прикладными значениями. К таким задачам относятся сильно пористые среды со сложной топологией по-рового пространства, и в первую очередь почва и почвогрунт (см. [5, 42, 61]). Отметим, что псевдогиперболические уравнения возникают в теории нестационарного течения вязкого газа, при конвективной диффузии солей в пористой среде, распространении начальных уплотнений в вязком газе.

Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались для различных дифференциальных уравнений многими математиками. Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции на концах интервала и в его внутренних точках, рассматривались в работах R.C. Brown, A.M. Krall [63], В.А. Ильина, Е.И. Моисеева [16, 17], Г.М. Кесельмана [21], A.A. Шкаликова [59].

Одними из первых работ, посвященных исследованию задач с интегральными условиями для уравнений в частных производных являются работы J.R. Cannon [71], Л.И. Камынина [20] опубликованные в 1963 и 1964 годах. Среди последующих работ отметим работы H.H. Ионкина [19], J1.A. Муравья и A.B. Филиновского [38, 39], С.М. Алексеевой и Н.И. Юрчука [3], А. Bouziani и N-E. Benouar [64, 65], A. Bouziani [66, 68], Н.И. Иванчова [15], J.R. Cannon и Van der Hoek [69, 70], З.А. Нахушевой [44, 45], Ю.Т. Сильченко [53, 54, 77], N. Lazetic [75], А.И. Кожанова [26], JI.C. Пулькиной [49, 50], Г.А. Лукиной [34, 35, 36], в которых изучались задачи с интегральными условиями для уравнений параболического и гиперболического типов, для обыкновенных дифференциальных уравнений, для некоторых неклассических дифференциальных уравнений. В работе А.И. Кожанова [26] методами регуляризации и продолжения по параметру исследована разрешимость пространствен-

но нелокальных краевых задач с граничными условиями A.A. Самарского для линейных параболических уравнений.

Исследованию нелокальных по пространственным переменным задач для волнового уравнения были посвящены работы В.А. Ильина [18], А.И. Кожа-нова [27, 28], N. Lazetic [33]. Одним из источников задач с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений явилась работа A.B. Лыкова [37], посвященная моделированию некоторых процессов тепло-и массообмена. В работах А.М.Нахушева [40, 41] была выявлена тесная связь нелокальных задач для гиперболических уравнений с нагруженными уравнениями. Также отметим, что нелокальные задачи с интегральными граничными условиями для гиперболических уравнений весьма активно исследуются, отметим работы А. Bouziani [67], S. Mesloub и А. Bouziani [76], Д.Г. Гордезиа-ни и Г.А. Авалишвили [9, 73], С.А. Бейлина [62], JI.C. Пулькиной [47, 48, 50], А.И. Кожанова и JI.C. Пулькиной [30, 31], В.Б. Дмитриева [11].

Большой вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференциальных уравнений различных классов внесли монографии A.JI. Скубачев-ского [78] и А.М. Нахушева [42, 43]. Отметим также, что пространственно нелокальные краевые задачи, в частности, задачи с интегральными условиями часто возникают при исследовании разрешимости линейных и нелинейных обратных коэффициентных задач для уравнений математической физики [24, 55].

Исследованию нелокальных краевых задач для смешанных уравнений математической физики были посвящены работы В.И. Жегалова и его учеников [13, 14, 57, 58]. Нелинейные краевые задачи со смещением для уравнений смешанного типа изучались в работах JI.K. Астафьевой [4].

В работе [29] рассматривались краевые задачи с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений общего вида. Отметим также работы [1, 2], где были исследованы разрешимость краевой задачи для уравнений нечетного порядка. Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений изучались в работе М.Х. Бештокова [6].

Таким образом, нелокальные краевые задачи для параболических и гиперболических уравнений с граничными условиями A.A. Самарского, с интегральными условиями на боковой границе активно изучаются в последнее время, но при этом в основном рассматривается лишь одномерные по пространственным переменным случаи. Многомерные задачи для псевдопараболических, псевдогиперболических уравнений с интегральными условиями на боковой границе, по видимому, ранее не изучались.

Цель работы. Доказательство теорем существования и единственности,

изучение свойств решений пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями A.A. Самарского с переменными коэффициентами и с интегральными условиями для одномерных и многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка.

Методы исследования. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемых краевых задач используются метод продолжения по параметру, основанный на методе априорных оценок, а также метод Фурье.

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• доказаны новые теоремы разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с граничными условиями A.A. Самарского для одномерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка. Для псевдопараболических уравнений доказана однозначная разрешимость краевых задач с нелокальными интегральными краевыми условиями;

• доказаны новые теоремы разрешимости краевых задач с интегральными граничными условиями для многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка;

• доказаны новые теоремы разрешимости краевых задач с нелокальными условиями для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений методом Фурье.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа имеет фундаментально-теоретическое значение. Все полученные результаты являются новыми. Область их практического применения - теория краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Более конкретная задача, на решение которой направлена данная работа — построение теории разрешимости нелокальных краевых задач для неклассических уравнений. В число перспективных направлений применения результатов для дальнейших исследований, можно отметить постановку и исследование новых краевых задач для неклассических уравнений математической физики. Полученные результаты могут быть применены в дальнейших научных исследованиях, а также в образовательном процессе при чтении спецкурсов.

Содержание диссертации. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, даны краткие исторические сведения по теме диссертации, в кратком виде приводится содержание работы.

Первая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена исследованию разрешимости нелокальных краевых задач для одномерных псевдопараболических уравнений третьего порядка.

Пусть О — интервал (0,1) оси Ох, Q — прямоугольник Q х (0, Т), 0 < Т <

+оо.

В параграфе 1.1 рассмотрена пространственно нелокальная краевая задача для уравнения

щ - а(х,Ь)ихх + с(х,г)и - иХХ1 = /(я, *), (М) € <2, (0.1)

с нелокальными интегральными условиями

1

/н,(М)п(^ = 0, г = 1,2, (0.2)

о

где а(х,£), с(хЛ), /(х,£), Нг(хЛ) (г = 1,2) — заданные функции, определенные при х е о = [о, 1], г е [о, т].

Краевая задача 1: найти функцию и(х^), являющуюся в прямоугольнике решением уравнения (0.1), и такую, что для нее выполняются условия (0.2), а также начальное условие

гг(х, 0) = 0, хеП. (0.3)

В случае локальных краевых условий теоремы разрешимости для уравнения (0.1), называемого псевдопараболическим или же уравнением Аллера, были доказаны в работах [60, 74].

Если умножим исходное уравнение (0.1) на Нг(х,Ь) и проинтегрируем по области Я, то с учетом условий (0.2) и выполнения условия

-Я1(0,4)Я2(1,4) + Я1(1,*)Я2(0,4)^0 при £ е [0,Т], (0.4)

вместо нелокальных краевых условий (0.2), получим условия вида

ихг{ 0, £) = а1(£К(0, £) + а2{Ь)их{ 1, £) + а3(£)иД 0, £) + а4(*М 1, £)+

1 1 (0-5)

+а:5(£)к(0, £) + о;б(^)гг(1, £) + / К\(х, Ь)и(х, £) (1х + J ^(х, Ь)щ{х, £) ¿х,

0 о

= А(гК(0,£) + ¡52{1)их{ 1,£) + /33(*МО, 0 + £)+

1 1 (0-6) +/?5(£)п(0,£)+ /Зб(£)н(1,£) + / К2(х,г)и(х,г)Нх + / N2(хЛ)щ(х^) Ах,

о о

где Рк^) (к = 1, • • •, 6), £), £) (/ = 1,2)— заданные функции

определенные при х Е Г2, £ £ [0, Т]. Считаем, без ограничения общности,

J Щх, £)/(х, £) ¿ж = 0, г = 1, 2. п

Краевая задача 2: найти функцию и{х^), являющуюся в прямоугольнике решением уравнения (0.1), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (0.5), (0.6), а также начальное условие (0.3). Введем обозначения:

1 1 <р4(£) = 1 J х2ЛГ2(:г,£) ¿х, ф^) = £ хИ^х^йх. о о

Пусть Уо есть пространство

Уо = {у{х,г) : у(х,1),у^х^),ухх(х,г),ух^(хЛ) е Ь2(0),

ух{х,1) е Ь^Т-^ЦП)}, норму в этом пространстве определим следующим образом

1Мк = + 11^1 \ЫЯ) + 11^1^00(0,

Теорема 1.1.1. Пусть выполняются условия

а{х,г) е ф,£) е С1®' а(х,г) >а0> о,

с(х, £) > со > 0 при (х, £) е (5;

а^еСН^т теС^^Т]), г = 1,... ,6;

Кр(х,г)еС^1 А^М) еС1(0), р = 1,2; (0.7)

<*4И+/ад ^ 2,

а4(0[1 + - 4<М01 + /54(0[1 " ФЖ)] ф2 - 2^4 (*) - 4у>4(*)

при £ € [О, Т];

6, *) = <*з (*)# + МО - шш2 - > О

при ¿е[о,т], (£ь£2)еК2,

(0.8)

¡(хА)еь2((Э). (0.9)

Тогда существует единственная функция и(х, £) из пространства Уо, являющаяся в прямоугольнике ф решением краевой задачи 2.

Замечание 1.1.1. Условия + /34(£) Ф 2, а4(£)[1 + Фа{1) — 4^4(¿)] + ^(¿)[1 — ф^)} Ф 2 — 2фь{Ь) — 4с/?4очевидно выполняются, если заданные функции с>!4(£)7 /34(£), Л^О3^) малы по абсолютной величине.

Для доказательства теоремы 1.1.1. рассматривается краевая задача 3, имеющее самостоятельное значение.

Краевая задача 3: найти функцию и(хЛ), являющуюся в прямоугольнике (3 решением уравнения (0.1), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия

ихЬ( 0, £) = ах(£К( О, Ь) + а2(г)их( 1, £) + о^МО, £)+

(0.10)

+a4(*W(l, t) + a5(t)u(0, £) + a6(£)u(l, ¿),

i) = ßi{t)ux{ 0, i) + ß2(t)ux( 1, £) + /?3W«t(0, £)+

+/34(iK(l» 0 + /?5W«(0, t) + A>(i)u(l, t),

(0.11)

а также начальное условие (0.3).

Используемые методы основаны на переходе от задачи для "хорошего"уравнения с "плохими"граничными условиями к задаче с "хорошими"граничными условиями, но для "плохого"уравнения — так называемого нагруженного [42] уравнения, доказательстве разрешимости полученной задачи с помощью метода продолжения по параметру и априорных оценок. Ранее подобные методы в близкой ситуации эффективно использовались в работах [26]—[28].

Параграф 1.2 представляет собой исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с граничным условием A.A. Самарского с переменными коэффициентами для одномерных линейных псевдогиперболических уравнений третьего порядка.

В области Q рассматривается уравнение

utt - a(x,t)uxx + c(x,t)u - uxxt = f(x,t), (x,t)eQ, (0.12)

с нелокальными краевыми условиями 1

1^(0, *) = £*1(*)и(0, £) + а2{г)и{1, 1^(1, ¿) = 0, £) + А>(*М1, г),

с нелокальными краевыми условиями 2

и(о, г) = а1(гК(о, г) + а2(ь)их( 1, г),

и(М) = &(*К(о, г) + АК*К(1, г),

а также с нелокальными краевыми условиями 3

иж(0,0 = а1(«)и(0, £) + <*2(*К(1, и(1,0 = А(ф(0, ¿) + 0,

(0.13)

(0.14)

(0.15)

где а(гг,с(хЛ), /(хЛ), а^Ь), а2(£), /?].(£), /32(£) ~ заданные функции определенные при х Е П = [0,1], £ € [О, Т\.

Краевая задача 4: найти функцию и{хЛ), являющуюся в прямоугольнике решением уравнения (0.12), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 1 (0.13), а также начальные условия

и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0 х ЕП. (0.16)

Краевая задача 5: найти функцию и(х,£), являющуюся в прямоугольнике С} решением уравнения (0.12), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 2 (0.14), а также начальные условия (0.16).

Краевая задача 6: найти функцию и(:г,¿), являющуюся в прямоугольнике ф решением уравнения (0.12), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 3 (0.15), а также начальные условия (0.16).

Отметим, что в работе [27] методом регуляризации и продолжения по параметру была исследована разрешимость начально-краевой задачи для гиперболического уравнения

ии ~ ихх + с{х, г)и = /(х, г) (0.17)

с краевыми условиями 1, 2 или 3. В случае локальных краевых условий (0.13) или (0.14) или (0.15) — т.е. при выполнении условий а2(Ь) = /Зх(£) = 0 — теоремы разрешимости аналогичных краевых задач для уравнений (0.12) были доказаны в работах [60, 74].

Определим пространство У\\

У[ = ММ) : у(Х^) Е ¿оо(0,Т;

Е £,2(0,Г; И^П)) ПЬте(0,Г; И^ф)), у*(х,г) Е Ь2(<3)}. и введем обозначения

Ог(х, I) = _ + [^.(¿) + (1 _ Щ)а^)](х - |/0), г = 1,2,

Д(*) = [1 - а1(0, ¿)][1 - а2(1, *)] - «1(1,*)а2(0, ¿),

где щ Е [0,1].

Теорема 1.2.1. Пусть выполняются условия

а{х,1).с{хА) Е С1(§)} оц(Ь) Е С3([0,Т]),

А(0еС3([0,Г]), г = 1,2; (0.18)

|Д(г)1><*0>0 при ¿е[0,т];

f(x, t) g l2(q), fx(x, t) g L2{Q). (0.19)

Тогда существует единственная функция u(x,t) из пространства V\, являющаяся в прямоугольнике Q решением краевой задачи 4.

Замечание 1.2.1. Условие |Д(£)| > <5о > 0 пРи любых t g [0,Т] очевидно будет выполнено, если заданные функции cxi(t), (3i(t) (г = 1,2) малы по абсолютной величине.

Теорема 1.2.2. Пусть выполняются условия

a(x,t),c(x,t) G C2(Q), аг«,/ЗД G С3([0,Т]), г = 1,2;

+ при ¿G[0,T];

/ЭД + a2(t) = 0 при £G[0,T]; <*i(i)tf + 2а2(%& - Шй > 0 пРи ^ [0, т], £ g r2;

(0.20)

Зд0е(0;3/2):

+ 5ai(i)] & + 4a'2№i& + [й> - 5$(*)]$ > 0 (°-21)

при t G [0, Т], £gR2;

(0.22)

/(М) G L2(Q), /t(x,i) G L2(Q), fxt(x,t) G L2(Q), f(x,0) = 0 при xeTl и fx(0, 0) = fx(l, 0) = 0.

Тогда существует единственная функция u(x,t) из пространства V\, являющаяся в прямоугольнике Q решением краевой задачи 5.

Замечание 1.2.2. Условия (0.20) очевидно будут выполнены при любых t G [0, Т], если для заданных функций ai{t)(32(t) < 0 и ¡32(t) — a\(t) + 1, a2(t) или P\(t) малы по абсолютной величине.

Теорема 1.2.3. Пусть выполняются условия

а(х, t), с(х, t) G C2(Q), ai(t),(3i(t) G С3([0,Т]), г = 1,2;

a2(t) > -1, P2(t) <0 при t G [0,T]; (0.23)

P2{t)< 0, a2{t)=Pi(t) при t G [0, T];

/(я, t) G L2(Q), ft(x, t) G L2(Q), /Ж i) G l2(q), f{x, 0) = 0 npu xGO u fx(l, 0) = 0.

(0.24)

Тогда существует единственная функция u(x,t) из пространства V\, являющаяся в прямоугольнике Q решением краевой задачи 6.

В параграфе 1.3 исследуется разрешимость пространственно нелокальных краевых задач для одномерных линейных псевдопараболических уравнений с граничным условием, представляющим собой комбинацию нелокальных граничных условий A.A. Самарского с переменными коэффициентами и граничных условий интегрального вида. Подобные нелокальные задачи для псевдопараболических уравнений ранее изучались лишь в частных случаях (см. [22, 52]).

В области Q рассматривается уравнение

ut-a(x,t)uxx + c{x,t)u-uxxt = f(x,t), (x,t)eQ (0.25)

с нелокальными краевыми условиями 1

1

t) = ai(t)u(0, t) + a2(t)u(l, t) + J Ki(x)u(x, t) dx,

? (0.26)

ux{l,t) = ßi(t)u{0, t) + ß2(t)u(l, t) + f K2(x)u(x, t) dx,

0

с нелокальными краевыми условиями 2

1

t) = ai(t)u(0, t) + a2{t)ux{\, t) + f Ki(x)u(x, t) dx,

(0.27)

u{ 1, t) = ßi{t)u{0, t) + ß2(t)ux{ 1, t) + f K2(x)u(x, t) dx,

0

а также с нелокальными краевыми условиями 3

1

u(0, t) = ai(t)ux(0, t) + a2(t)ux( 1, t) + / Ki(x)u(x, t) dx,

о (0.28)

u(l,0 + I K2(x)u(x,t)dx,

о

где a(x,t), c(x,t), i^i(x), K2(x), f{x,t), a\(t), a2(t), ßi(t), ß2(t) — заданные функции определенные при х Е П = [0,1], £ Е [0, Т].

Краевая задача 7: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (0.25), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 1 (0.26), а также начальные условия

и(х, 0) = 0, хей. (0.29)

Краевая задача 8: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (0.25), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 2 (0.27), а также начальные условия (0.29).

Краевая задача 9: найти функцию u(x,t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (0.25), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия 3 (0.28), а также начальные условия (0.29).

В рассматриваемых задачах предполагается, что функция c^i (i)— а2{t)Pi{t) может обращаться в нуль (в том числе и тождественно) на отрезке [0 ,Г].

Определим пространство V2

V2 = {ф, t) : ф, t) е L00(0, Т; W22(0)),

vt(x,t) е l2(0,T; w}(Q)), vxxt(x,t) e L2(Q)}. Определим функцию Ai(i) и будем считать, что выполняется условие

Ai(i) = ot2{t) + ¡32(t) — 2 0 при t G [0, Т]. (0.30)

Введем обозначения

Ш) Аг(Ь) ' Ъ[) Ai(i) ' a2(t) - 1 a2(t)

n1(xit)=y0{t)k1(x) + s0(t)k2(x)1 n2(x,t) = y1(t)k1(x) + 61(t)k2(x), К{х, у, t) = x2N1(y, t) + xN2(y, £).

Положим

Zi(t) = \- J x2Ni(x, t) da;, z2(i) = - J xN^x, t) da;, ft f2

5i(i) = - J x2N2(x, t) da;, s2(i) = 1 - J xN2(x, t) dx, n a

K0(x,y,t) = -^—-{[x2s2(t) -xSiWWfat) - [x2z2{t)-xZl{t))N2{y,t)}, где

An(i) = ¿i(£)s2(i) - z2(i)si(i) 0 при te [0, Т]. (0.31)

fci = max_ (®,i)eQ

/сз = max (x,t)eQ

fK%x(x,y,t) dy

9

f Kg(x,y,t) dy Q

k2 — max_

{x,t)eQ

/¿4 = max_

¡K2(x,y,t)dy

9

I К0хх(х-,У^) dV

Q

Теорема 1.3.1. Пусть выполняются условия (0.30), (0.31),

а(х^) £ С1®, с(М) еС1®);

Ог(г)еС\[0,Т\), /ЗДеС^Г]), г = 1,2; (0.32)

с(х, £) > со > 0 при (ж, £) е С,);

[1 + ЪагШ! + 8[а2(*) - + [1 - 8/ЗД]£22 > 0 (() 33)

при г е [о,т], «1,6) е к2,

Э70Г(0^): , 1 М , (0.34)

тех {^1(1 + А;з)(6 + 4^) + Л2*:4(6 + + Щ <

!(хА)ЕЬ2(Я). (0.35)

Тогда существует единственная функция и(х, Ь), принадлежащая пространству У2, являющаяся в прямоугольнике решением краевой задачи 7.

Перейдем к рассмотрению краевой задачи 8. Пусть

А2(£) = [1-а2(£)][1-/31(£)]+а1(£)[1-/32(0]^0 при * е [0,Т]. (0.36) Введем обозначения

ДхСМ) = /ло^К^х) + 1у0(Х)К2(Х), К2{х,г) = цх^К^х) + и^К^х),

у, ¿) = хЛхСу, £) + #2(2/, г),

^(Ь) = I — ! хЯ,1(хЛ)(1х, г2(£) = —У (ж.

И^) = — J хК2{х,{)(1х, 52(£) = 1 — У К2{х^)йх, п л

До(я,У,*) = -^т-{И2(£) -5!(£)]^1 (?/,£) - [жг2(*) - ^(^(у, £)},

где

Д21(£) = г!(£)52(£)-г2(£)^(£) ^0 при £е[0;Т]. (0.37)

?*1 = шах_ г3 = шах^

¡К2хх(х,у,Ь) &у

т

/ Щ{х,у,г) <1у

т

г 2 = тах^

Г4 = тах_ (х,*)ед

¡К2(х,у,Ь)с1у

ш

I ^хх(х^ УЛу

т.

Теорема 1.3.2. Пусть выполняются условия (0.32), (0.36), (0.37),

8сц(*)Й + 8[а2(£) - ШЫ2 + [1 - тШ1 > 0

при ¿е[о,Т], (6,6) ем2;

(0.38)

з 70 е (о,

ч/5Ч

Г1(1 + Г3)(4 + 4]+2Г2Г4(6 + ^ <\, г2(4 + ^) <§,

(0.39)

/(М) е£2(<3). (0.40)

Тогда существует единственная функция и(х, ¿), принадлежащая пространству У2 и являющаяся в прямоугольнике (5 решением краевой задачи 8.

Исследование разрешимости краевой задачи 9 аналогично исследованию разрешимости краевых задач 7 и 8. Определим функцию Д^О и будем считать, что выполняется условие

д3(£) = &(£) + /ЗД - «1(0 - а2{ь) -1^0 при * е [0,Т]. Положим

(0.41)

ыо =

1

Дз(0

М*) =

1

Ш + Ш-1 ^нО =--' шч =

Дз(0'

«1(0 + а2(0

Дз(0 ' Дз(0 '

^(М) = + Фо(г)к2(х),

52(ж,£) = пЮК^+ФМЩх), 8(х, у, 0 = ж^хО/, 0 + 52(2/, £),

21(0 = 1 — J хБ^х, 0 ¿ж, 22(0 — — J (ж, 0 ¿х,

Г2

п

51(0 = — J ж5г(ж, 0 ¿¿ж, ¿2(0 = 1 — У 52(ж, £) ¿ж,

50(ж.у,0 =

Дзх(0

{[яВД - [хг2(0 -?1(0]52(?/,£)};

где

Д31Й = ^(¿Ы*) - г2{*)М*) Ф 0 пРи ¿ е [0. т1-

(0.42)

Положим

к\ = тах_ = тах_

п

I в^х, у, Ь) ¿у

т

к2 = тах_ (яг^еб?

к± = тах_

/52(х¿у

[л

180хх(х, У>*) ¿У п

Теорема 1.3.3. Пусть выполняются условия (0.32), (0.38), (0.41), (0.42), а также условие

к2

<1

^1(1 + к2) (4 + 4) + 2Й4 (б + < |

4 + Л

7о

(0.43)

4'

1{хЛ)еЬ2{Я). (0.44)

Тогда существует единственная функция и(х, £), принадлежащая пространству У2 и являющаяся решением краевой задачи 9.

Замечание 1.3.1. Условия (0.34), (0.39) и (0.43) представляют собой некоторые условия малости. Очевидно, что множество входных данных краевых задач 7-9, для которых они выполняются, не пусто.

Во второй главе, состоящей из двух параграфов, исследована разрешимость многомерных пространственно нелокальных краевых задач для псевдопараболических, псевдогиперболических уравнений. В многомерном случае исследования подобных задач ранее относились к параболическим уравнениям и гиперболическим уравнениям, многомерные псевдопараболические, псевдогиперболические задачи с интегральным условием на боковой границе ранее не изучались.

В §2.1 рассматриваются псевдопараболические уравнения. Пусть О, — ограниченная область пространства Мп с гладкой (для простоты, бесконечно-дифференцируемой) границей Г, ф — цилиндр Г2 х (0, Т) (0 < Т < +оо), Б = Г х (0, Т) — его боковая граница, а(х, £), с(х, £) и f(x, ¿) — функции, заданные в цилиндре ф, щ(х) — функция, заданная на множестве К(х,уЛ) — функция, заданная при х Е П, у Е П, £ £ [0, Т].

Краевая задача 10: найти функцию и(х, £), являющуюся в цилиндре

решением уравнения

д

Ьи = —\и — Аи) — а(х, £)Ди + с(х, ¿)и = /(я, £),

(0.45)

и такую, что для нее выполняются условия

и(ж,0) = щ(х), хеП, (0.46)

01 4)е5 = J к(х> У, (0.47)

п

Краевая задача 11: найти функцию и(х,Ь), являющуюся в цилиндре решением уравнения (0.45), и такую, что для нее выполняются условия (0.46) и условие

ди(х, £)

ди{х)

K(x,y,t)u(y,t)dy

(x,t)eS JQ

(0.48)

(x,t)eS

где у{х) = (г/х,..., ип) — вектор внутренней нормали к Г в текущей точке. Пусть

Ц = |г;(М): " 6 П ¿«,(0, Г; И/|(0)), € Ь2(0, Г; Ж22(П))|

— пространство с нормой

1мк = ii ^ iiи^'1 + \ы\ь2(0.т-,ш*(п) + ii ^^«.(о,г;ж?(п))-

Определим оператор М по формуле

(Ми){хЛ) = и{х,£) — / К(х,у,Ь)и(у,1^у.

п

Оператор М однозначно и непрерывно обратим как оператор из L2(Q) в L2(Q,) при всех i G [0,Т], и существуют положительные постоянные mi, m2 такие, что выполняются неравенства

rnljA*,t)*<J[M«X,t)?*<rbjA*,t)<b (0.49)

п п п

при любых t Е [0, Т] и и(х, t) Е Loo(0, Т; Ь2(С1)). Введем обозначения

Р0 = max J f (АхК)2(х,уЛ) dxdy,

ie[0,Tl n 0 (0.50)

Qo = max f f К2(х,уЛ) dxdy. ie[0,T] n n

Теорема 2.1.1. Пусть выполняются условия (0.49),

а(м), с(х,г) е с1(д), _

а(х, £) > а0 > 0, с(х,Ь)>с0> 0 при (0.51)

К(х,у,г) еС3(ПхПх [0,Т]),

/(хА) еь2(<Э), щ(х)£]У22(П). (0.53)

Тогда краевая задача 10 имеет решение и(х,Ь), принадлежащее пространству У%, и это решение единственно.

Пусть Кх(х,у,1) — функция, определенная на множестве О, х х [0, Т] и такая, что при (ж, у, £) € Г х О, х (0, Т) выполняется равенство

———-— = К{х,у,Ь) ди(х)

С помощью К\(х,у,1) определим оператор М\

(.мги){х,г) = и(х, г) - Jкг(х, у,г)и(у, г)<1у.

о

Оператор М\ однозначно и непрерывно обратим как оператор из Ь2(£1) в Ь2(0.) при всех £ Е [0;^] и существуют положительные постоянные газ, га4 такие, что выполняются неравенства

тз / «'(*, *) ¿х < /[*«(*, *)]' ^ / 0 (0-54)

по о

при любых Ь Е [0, Т] и ¿) Е Ьоо(0, Т; 1/2(^)). Введем обозначения

Р\ = шах / / (АхК1)2(х,у,г)(1х(1у,

<е[°'г) о о фх = шах / / К1(х,уЛ) ¿хду.

О О

Теорема 2.1.2. Пусть выполняются условия (0.54),

(0.55)

а(ж,£), с(М) Е С1^), _

а{хЛ) > ао > 0, с(х,£) > со > 0 при (ж,£) Е (0.56)

К^х^^) 6 С3(П х П х [0,Т]),

1-^>0 при (0.57)

/(ж,*) ио(®) е (0.58)

Тогда краевая задача 11 имеет решение и{х,1), принадлежащее пространству и это решение единственно.

Замечание 2.1.1. В теореме 2.1.1 условия малости на функции К(х, у, £), АхК(х, у, 0 можно заменить на условия симметричности К(х: у, ¿) = К (у, ж, ¿) и обращения в нуль на границе:

#(ж, у, 0 = у, ¿) = 0 (г = 1,..., п) при у е Г.

Аналогичное верно для функции для функции К\(х,у,1) в случае теоремы 2.1.2.

Замечание 2.1.2. В теоремах 2.1.1 и 2.1.2 от условий а(ж,£) > ад > 0, с(ж, ¿) > со > 0 можно отказаться, но тогда, как и выше, при получении априорных оценок возникнут условия малости на функции а(ж,£), с(ж,£) и их производные.

В §2.2 рассматриваются псевдогиперболические уравнения. Краевая задача 12: найти функцию и(х,£), являющуюся в цилиндре О, решением уравнения

Ьи = ~ - Аи^ - Ви = /(ж, t), п д

-^{Ъ13(х)их.) + Ъ(х^)щ

г,3=1 Х{

(0.59)

и такую, что для нее выполняются условия

и(ж, 0) = щ(х), щ(х, 0) = щ(х), х Е О, (0.60)

и(ж, 01(^)65 = J К{х, у, г)и(у, (0.61)

о

Краевая задача 13: найти функцию и(ж, Ь), являющуюся в цилиндре ф решением уравнения (0.59), и такую, что для нее выполняются начальные условия (0.60) и условие ди{ ж, £)

(о

ди(х)

= ! К(х, у, Ь)и{у, ¿)с£у

(0.62)

(х,ь)е 5

п

где и(х) = ..., ип) ~ вектор внутренней нормали к Г в текущей точке.

Предполагаем выполнение условия эллиптичности на оператор В:

п

Ъг\х) = }?\х\ > <*«? +$ + .•■ + Й). " > 0, & е (0.63)

г,з=1

Определим оператор М по формуле

(Ми)(х, £) = и(х, ¿) — У К(х, у, Ь)и(у, £)<1у.

п

Оператор М однозначно и непрерывно обратим как оператор из Ь2(П) в Ь2(0) при всех £ е [0,Т], и существуют положительные постоянные шх, т2 такие, что выполняются неравенства

т\ J и2(х, £) Ах < ![Ми(хЛ)]2 ¿х <т2 ! и2{хЛ)(1х (0.64) п п п

при любых £ € [0, Т] и и(х: £) £ £оо(0, Т; ^(П)). Определим пространство

У4 = ММ) : е Ь2(0,Т-,\¥2т П Ь^Т-^т,

у(х, £) е МО, Г; и^)), ^(Я, £) е ь2(д)}.

(0.65)

Введем обозначение

Q0=max^J J K2(x,y,t) dxdy. (0.66)

ft ft

Теорема 2.2.1. Пусть выполняются условия (0.63), (0.64), кроме того

b(x,t) е Cl(Q), Ъ*(х) <Е Со1® (г, j = 1,... ,п),

-b(x, t) > &о > 0 при (x,t)eQ; (0.67)

K(x,y,t) еС3(ПхПх [0,Т]),

f(x,t) е L2{Q), щ(х) е w\{ü)n wi(fi), iiiWE^(n). (0.69)

Тогда краевая задача 12 имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству V4, и это решение единственно.

Введем обозначение

Qi=max^J J K2(x,y,t)dSxdy. (0.70)

г ft

Теорема 2.2.2. Пусть выполняются условия

п

Ь^(х) = Ыг(х), «ЕС2<

1=1

п п

< Е Ъг>(х)£г£3 a,ß>0 & G Rn,

г, 3=1 г=1

(0.71)

кроме того

b(x,t) е Cl{Q), W(x)£C](Ü) (i,j =_l,...,n),

-b(x,t)>b0> 0 при (x.t)eQ; (0.72) K(x,y,t) еС3(ПхПх [0,T]),

l-4Qi>0, 2-£2-£2/?>0 npu (0.73)

(0.74)

f(x,t)eL2(Q).

Тогда краевая задача 13 имеет решение u(x,t), принадлежащее пространству V4, и это решение единственно.

Замечание 2.2.1. В теоремах 2.2.1 и 2.2.2 от условий —b(x,t) > 6q > 0 можно отказаться, но тогда, как и выше, при получении априорных оценок возникнут условия малости на функцию b(x,t) и их производные.

В третьей главе, состоящей из двух параграфов, исследована разрешимость пространственно нелокальных краевых задач для псевдопараболических, псевдогиперболических уравнений с постоянными коэффициентами, но с общими нелокальными краевыми условиями A.A. Самарского и интегральными условиями с переменными коэффициентами.

В §3.1 проводится исследование разрешимости пространственно нелокальных краевых задач с интегральными граничными условиями, условиями A.A. Самарского с переменными коэффициентами для одномерных линейных псевдопараболических уравнений.

Пусть Ü — интервал (0,1) оси Ох, Q — прямоугольник Q х (0, Т), 0 < Т < +оо. В области Q рассматривается уравнение

Щ - uxxt - аихх = f(x, t), (х. t) G Q, (0.75)

с нелокальными краевыми условиями

1

ux(0.t) = ai(t)u{0,t) + с*2(¿ММ) + f Ki(x)u{x,t)dx,

о (0.76)

их{ 1.1) = ßi(t)u(0, t) + ß2(t)u{ 1, t)-hf K2(x)u(x. t) dx,

0

где f{x,t), ai(t), a2(£), Pi(t), P2(t), Ki(x), K2(x) — заданные функции определенные при х Е П = [0,1], £ 6 [О, Т], а — постоянная.

Краевая задача 14: найти функцию и(х, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения (0.75), и такую, что для нее выполняются нелокальные краевые условия (0.76), а также начальные условия

и(х, 0) = 0, хеП. (0.77)

Метод Фурье, с помощью которого разрешимость краевой задачи 14 эквивалентно сводится к разрешимости системы интегральных уравнений Воль-терры, заключается в следующем.

Рассматривается вспомогательная краевая задача

U0t ~ Uoxxt ~ осщхх = f(x,t), (0.78)

для которой выполняются условия

U0x(0,t) = u0x(l,t) = 0, ( ,

иоМНО. { }

Краевая задача (0.78), (0.79) при условии f(x,t) Е L2{Q) разрешима в пространстве Vq (см. [60, 74]). Решение краевой задачи 14 ищется в виде

и{х, t) = щ(х, t) + V(x, t) + w(x, t),

где V(x,t) удовлетворяет краевым условиям Vx(0,t) = ip(t), Vx(l,t) = i}j{i) с неизвестными функциями tp(t), ?/>(£), а функция w(x,t) подбирается таким образом, чтобы для u(x,t) выполнялось исходное уравнение (0.75). Решение w(x, t) ищется методом Фурье. Далее, подставляя и(х, t) в нелокальные условия (0.76), получим систему интегральных уравнений Вольтерры

Рг(Ш) + Г G(t, т)ф(г) dr = F(t), $(t) = (0-80)

j о

где -Pi(i), G(£, т) — матрицы второго порядка с коэффициентами, определяемые через входные данные краевой задачи 14.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Попов, Николай Сергеевич, 2015 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Абдрахманов, A.M. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка /A.M. Абдрахманов, А.И. Кожанов // Изв. вузов. Математика. - 2007. - № 5(540). - С. 3-26.

[2] Абдрахманов, A.M. О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием второго рода для уравнения нечетного порядка / A.M. Абдрахманов // Математические заметки. - 2010. - Т. 88. № 2. -С. 163-172.

[3] Алексеева, С.М. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием / С.М. Алексеева, Н.И. Юрчук // Дифференц. уравнения.

- 1998. - Т. 34, № 4. - С. 495-502.

[4] Астафьева, С.М. Нелинейные краевые задачи со смещением для некоторых уравнений смешанного типа: Автореферат дисс. ... канд. физ. - мат. наук / С.М. Астафьева. - Казань, 1984.

[5] Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикл. математика и механика. - 1960. -Т. 25, вып. 5. - С. 852-864.

[6] Бештоков, М.Х. Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка: Автореферат дисс. ... канд. физ. - мат. наук / М.Х. Бештоков. - Москва, 2009.

[7] Бицадзе, A.B. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач / A.B. Бицадзе, A.A. Самарский // ДАН СССР. - 1969. - Т. 185, № 4.

- С. 739-740.

[8] Васильева, А.Б. Интегральные уравнения / А.Б. Васильева, H.A. Тихонов. - М.: Физматлит, 2002.

[9] Гордезиани, Д. Г. Решение нелокальных задач для одномерных колебаний среды / Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили // Матем. моделирование. -2000. - Т. 12, № 1. - С. 94-103.

[10] Дженалиев, М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений / М.Т. Дженалиев. - Алматы: КЦ ИТПМ, 1995. - 270 с.

[11] Дмитриев, В.Б. Краевые задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений: Автореферат дисс. ... канд. физ. - мат. наук / В.Б. Дмитриев. - Казань, 2006.

[12] Жегалов, В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. зап. Казанского гос. ун-та. - 1962. - Т. 122, Кн. 3. - С. 3-16.

[13] Жегалов, В.И. Краевая задача со смешаниями в R3 / В.И. Жегалов, Е.А. Уткина // Матер. III междунар. конф. "Нелокальные краевые задачи и родственные задачи математич. биологии, информатики и физики". -Нальчик, 2006. С. 118-120.

[14] Жегалов, В.И. Нелокальная задача для уравнения Бианки / В.И. Жегалов, Е.А. Уткина // Тез. докл. конф "Дифференциальные уравнения и их приложения". - Самара, 2007. С. 45-48.

[15] Иванчов, Н.И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральными условиями /Н.И. Иванчов // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40, № 4. - С. 547-564.

[16] Ильин, В.А. Нелокальная задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // ДАН СССР. - 1986. - Т. 291, № 3. - С. 534-539.

[17] Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. - 1987. - № 8. - С. 1422-1431.

[18] Ильин, В.А. Единственность обобщенных решений смешанных задач для волнового уравнения с нелокальными граничными условиями / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44, № 5. - С. 672-680.

[19] Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13, № 2. - С. 294-304.

[20] Камынин, JI.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями / Л.И. Камынин // ЖВМиМФ.

- 1964. - Т. 4, № 6. - С. 1006-1024.

[21] Кесельман, Г.М. О спектральности возмущенного оператора Штурма-Лиувилля с нелокальными краевыми условиями / Г.М. Кесельман // Дифференц. уравнения. - 1985. - Т. 21, № 3. - С. 494-499.

[22] Кожанов, А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера / А.И. Кожанов // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40, № 6. - С. 769-774.

[23] Кожанов, А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений / А.И. Кожанов // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. - 2004, - Вып. 30. - С. 63-69.

[24] Кожанов, А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче / А.И. Кожанов // Мат. заметки. - 2004, Т. 76. - Вып. 6. - С. 840-853.

[25] Абдрахманов, A.M. Задача со смещением для уравнений в частных производных / A.M. Абдрахманов, А.И. Кожанов // Известия вузов. Математика. - 2007. - № 5(540). - С. 3-26.

[26] Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных параболических уравнений / А.И. Кожанов // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия.

- 2008. - № 3(62). - С. 165-174.

[27] Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых пространственно нелокальных краевых задач для линейных гиперболических уравнений второго порядка / А.И. Кожанов // Доклады Академии Наук. - 2009. - Т. 427, № 6. - С. 747-749.

[28] Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальным условием Бицадзе-Самарского для линейных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов // Доклады Академии Наук. - 2010. - Т. 432, № 6. - С. 738740.

[29] Кожанов, А.И. Задачи с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений / А.И. Кожанов // Доклады Академии Наук. - 2014. - Т. 457, № 2. - С. 152-156.

[30] Кожанов, А.И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, J1.C. Пулькина // Дифференц. уравнения. -2006. - Т.42, № 9. - С. 1116-1172.

[31] Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, JI.C. Пулькина // Математический журнал. - Алматы, 2009. - Т.9, № 2(32). - С. 78-92.

[32] Краснов, M.JI. Интегральные уравнения. (Введение в теорию) / M.JI. Краснов. - М.: Физматлит, 1975.

[33] Лажетич, Н.Л. О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка /Н.Л. Лажетич // Дифференц. уравннения. - 2006. - Т. 42, № 8. С. 1072-1077.

[34] Лукина, Г.А. О разрешимости пространственно нелокальных краевых задач для уравнения третьего порядка / Г.А. Лукина // Мат. заметки ЯГУ. - Якутск, 2010. - Т. 17, Вып.1. - С. 35-46.

[35] Лукина, Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для линеаризованного уравнения Кортевега - де Фриза / Г.А. Лукина // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия "Ма-тем. моделирование и программирование". - 2011. - Вып. 8, № 17(234). -С. 53-62.

[36] Лукина, Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями для ультрапараболических уравнений / Г.А. Лукина // Мат. заметки ЯГУ. - Якутск, 2011. - Т. 18, Вып. 2. - С. 113-127.

[37] Лыков, A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- массообмена / A.B. Лыков // Инженерно -физический журнал. - 1965. - Т. IX, № 3. - С. 287-304.

[38] Муравей, Л.А. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения / Л.А. Муравей, A.B. Филиновский // Ма-тем. сборник. - 1991. - Т. 182, № 10. - С. 1479-1512.

[39] Муравей, Л.А. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения / Л.А. Муравей, A.B. Филиновский // Математические заметки. - 1993. - Т. 54, № 4. - С. 98-116.

[40] Нахушев, A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро - дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод / A.M. Нахушев // Дифферент уравнения. - 1982. - Т. 18, № 1. - С. 72-81.

[41] Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. -М.: Высшая школа, 1995.

[42] Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных / A.M. Нахушев. - М.: Наука, 2006. - 287 с.

[43] Нахушев, A.M. Нагруженные уравнения и их применение / A.M. Нахушев. - М.: Наука, 2012.

[44] Нахушева, З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных / З.А. Нахушева // Дифференц. уравнения. - 1986. - Т. 22, № 1. - С. 171.

[45] Нахушева, З.А. Первая и вторая краевые задачи для параболического уравнения второго порядка / З.А. Нахушева // Дифференц. уравнения.

- 1990. - Т. 26, № 11. - С. 1982-1992.

[46] Прудников, А.П. Интегралы и ряды / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев - М: Наука, 1981.

[47] Пулькина, Л.С. Нелокальные задачи для гиперболических уравнений: Автореферат дисс. ... д-ра физ. - мат. наук / Л.С. Пулькина. - Москва, 2003.

[48] Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Дифференц. уравнения.

- 2004. - Т. 40, № 7. - С. 887-892.

[49] Пулькина, Л.С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности / Л.С. Пулькина // Неклассические уравнения математической физики. -Новосибирск: ИМ СО РАН, 2005. - С. 231-239.

[50] Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения на плоскости / Л.С. Пулькина // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск: ИМ СО РАН, 2007. - С. 232-236.

[51] Самарский, A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / A.A. Самарский // Дифференц. уравнения. - 1980. - Т. 16, № 11. - С. 1925-1935.

[52] Солдатов, А.П. Краевые задачи с общим нелокальным условием A.A. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка / А.П. Солдатов, М.Х. Шхануков // Доклады АН СССР. - 1987. - Т. 297, № 3. - С. 547-551.

[53] Сильченко, Ю.Т. Эволюционные уравнения с неплотно заданным операторным коэффициентом / Ю.Т. Сильченко // Сибирский матем. журнал.

- 1993. - Т. 34, № 2. - С. 166-169.

[54] Сильченко, Ю.Т. Уравнение параболического типа с нелокальными условиями / Ю.Т. Сильченко // Современная математика. Фундам. направления. - 2006. - Т. 17. - С. 5-10.

[55] Телешева, JI.A. О разрешимости линейной обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка / JI.A. Телешева // Мат. заметки ЯГУ. - 2013. - Т. 20, Вып. 2. - С. 186-196.

[56] Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин - М.: Наука, 1980. - 496 с.

[57] Уткина, Е.А. Об одной краевой задаче со смещениями в четырехмерном пространстве / Е.А. Уткина // Изв. вузов. Математика. - 2009. - № 3. -С. 50-55.

[58] Уткина, Е.А. Задача со смещениями для трехмерного уравнения Бианки / Е.А. Уткина // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46, № 4. - С. 535539.

[59] Шкаликов, A.A. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями / A.A. Шкаликов // Вестник МГУ. Сер.1. Математика, механика. - 1982.

- № 6. - С. 12-21.

[60] Якубов, С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С.Я. Якубов. - Баку: Элм, 1985. - 220 с.

[61] Янгарбер, В.А. Сеточная схема для решения модифицированного уравнения влагопереноса / В.А. Янгарбер // Докл. акад. с.-х. наук. - 1966. -№ 8. - С. 46-48.

[62] Beilin, S. Existence of solutions for one - dimentional wave equations with nonlocal conditions / S. Beilin // Elektronic J. of Differential Equations. -2001. - № 76. - P. 1-8.

[63] Brown, R.C. Ordinary differential operators under Stieltjes boundary conditions / R.C. Brown, A.M. Krall // Trans. Amer. Math. Soc. - 1974.

- 198. - P. 73-92.

[64] Bouziani, A. Problème mixte avec conditions intégrales pour une classe d'équations paraboliques / A. Bouziani, N-E. Benouar // C.R. Acad. Sci. Serie 1. - 1995. - V. 321, №. 9. - P. 1177-1182.

[65] Bouziani, A. Mixed problem with integral conditions for a third order parabolic equation / A. Bouziani, N-E. Benouar // Kobe Journal of Mathematics. - 1998. - V. 15, № 1. - P. 47-58.

[66] Bouziani, A. Strong solution for a mixed problem with nonlocal condition for certain pluriparabolic equation / A. Bouziani // Hiroshima Mathematical Journal. - 1997. - V. 27, № 3. - P. 373-390.

[67] Bouziani, A. Solution forte d'un problem mixte avec conditions non locales pour une classe d'équations hyperboliques / A. Bouziani // Bulletin de la Classe des Sciences, Academie Royale de Belgique. - 1997. - Tome VIII. -P. 53-70.

[68] Bouziani, A. On a class of parabolic equations with nonlocal boundary conditions / A. Bouziani // Bulletin de la Classe des Sciences, Academie Royale de Belgique. - 1999. - Tome X. - P. 61-77.

[69] Cannon, J.R. The classical solution of the one-dimentional two-phase Stefan problem with energy spesification / J.R. Cannon, J. van der Hoek // Ann. Math. Pura ed Appl. - 1982. - 130(4). - P. 385-398.

[70] Cannon, J.R. The one - phase Stefan problem subject to the spesification of energy / J.R. Cannon, J. Van der Hoek //J. Math. Anal, and Appl. - 1982.

- V. 86, № 1. - P. 281-291.

[71] Cannon, J.R. The solution of the Heat Equation Subject to the Specification of Energy / J.R. Cannon // Quart. Appl. Math. - 1963. - V. 21, № 2. -P. 155-160.

[72] Fridman, A. Monotone decay of solutions of parabolic equations with nonlocal boundary conditions / A. Fridman // Quart. Appl. Math. - 1986 - V. 44, № 3. - P. 401-407.

[73] Gordeziani, D. Investigation of the nonlocal initial boundary value problem for some hyperbolic equations / D. Gordeziani, G. Avalishvili // Hirosima Math. J. - 2001. - V. 31, № 3 - P. 345-366.

[74] Kozhanov, A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A.I. Kozhanov - Utrecht: VSP, 1999. - 171 p.

[75] Lazetic, N. On a classical solutions of mixed boundary problems for one-dimensional parabolic equation of second orde / N. Lazetic // Publ. de l'Institut Mathematique, Nouvelle Serie. - 2000. - V. 67(81). - P. 53-75.

[76] Mesloub, S. On a class of singular hyperbolic equation with a weighted integral condition / S. Mesloub, A. Bouziani // Int. J. Math. Math. Sci.

- 1999. - V. 22, № 3. - P. 511-520.

[77] Sil'chenko, Yu. T. A parabolic equation with nonlocal conditions / Yu. T. Sil'chenko // J. of Math. Sciences. - 2008. - V. 149, № 6. - P. 1701-1707.

[78] Skubachevskii, A.L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications / A.L. Skubachevskii. - Basel; Boston; Berlin: Birkhauser, 1997.

- 297 p. (Operator theory, V. 91).

[79] Попов, H.C. Разрешимость задачи со смещением для псевдопараболического уравнения / Н.С. Попов // Тезисы докладов секции "Математика и механика"Международной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых "Ломоносов-2009". - Москва: ММФ МГУ имени М.В. Ломоносова, 2009. - С. 55-56.

[80] Попов, Н.С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений /Н.С. Попов // Материалы Международного научного форума "Ломоносов-2010": Математика / Отв. ред. И.А. Алеш-ковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев, А.В. Андриянов. Электронный ресурс. - М.: Макс Пресс, 2010. - Секция 14-1. №459822883. - С. 1-2.

[81] Попов, Н.С. О разрешимости нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения с интегральным смещением / Н.С. Попов // Всероссийский научный семинар "Неклассические уравнения математической физики посвященной 65-летию со дня рождения профессора В.Н. Врагова. Часть II: Тез. докл. - Якутск, 10-13 ноября 2010 г. - С. 26-27.

[82] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи с нелокальными интегральными краевыми условиями для псевдопараболического уравнения /Н.С.

Попов // Материалы ХЫХ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / - Новосибирск: изд-во НГУ, 2011. - С. 58.

[83] Попов, Н.С. Об одной краевой задаче с нелокальными интегральными краевыми условиями для псевдопараболического уравнения / Н.С. Попов // Материалы Международного молодежного научного форума "Ломоносов-2011": Подсекция "Математика"/ Отв. ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс]

- М.: МАКС Пресс, 2011. - С. 132.

[84] Попов, Н.С. Исследование краевой задачи для псевдопараболического уравнения с нелокальными интегральными краевыми условиями /Н.С. Попов //VI Международная конференция по математическому моделированию. Тез. докл. / Под редакцией И.Е. Егорова, В.И. Васильева -Якутск: ОАО "Медиа-холдинг Якутия 2011. - С. 55-57.

[85] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдопараболического уравнения с нелокальными интегральными условиями / Н.С. Попов //

III Международная молодежная научная школ а-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач": Тез. докл.

- Новосибирск: изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2011. - С. 47-48.

[86] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдопараболического уравнения с нелокальным условием интегрального вида / Н.С. Попов // Материалы 50-й юбилейной Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / Новосибирск: изд-во НГУ, 2012. - С. 40.

[87] Попов, Н.С. О разрешимости краевых задач для неклассических уравнений третьего порядка с нелокальными граничными условиями интегрального вида / Н.С. Попов // Международная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева "Обратные и некорректные задачи математической физики". (Новосибирск, 5-12 августа 2012 г.): Тез.докл. - Новосибирск: ЗАО "Сибирское научное изд-во 2012. - С. 420.

[88] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдогиперболического уравнения с нелокальными интегральными условиями / Н.С. Попов //

IV Международная молодежная научная школа-конференция "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". (Новосибирск, 5-15 августа 2012 г.): Тез.докл. - Новосибирск, Академгородок:

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 2012. - С. 99.

[89] Попов, Н.С. Краевые задачи для неклассических уравнений третьего порядка с нелокальными граничными условиями интегрального вида /Н.С. Попов // Тезисы докладов Международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий - аль-Хорезми 2012": Секция № 2 "Дифференциальные уравнения и динамические системы"/ Гл. ред. М.М. Арипов - Ташкент, "НУУз им. М. Улук-бека2012. - С. 34-35.

[90] Попов, Н.С. Разрешимость нелокальных краевых задач для псевдогиперболических уравнений / Н.С. Попов // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции " Студент и научно-технический прогресс": Математика / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2013. - С. 98.

[91] Попов, Н.С. Исследование разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических с нелокальным граничным условием интегрального вида / Н.С. Попов // Материалы Международного молодежного научного форума "Ломоносов-2013": Подсекция "Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление"/ Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, К.К. Андреев, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2013. - С. 16.

[92] Попов, Н.С. Исследование разрешимости нелокальных краевых задач для псевдогиперболических уравнений / Н.С. Попов // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 18-24 августа 2013 г.): Тез. докладов / Ин-т математики им. С.Л. Соболева СО РАН. - Новосибирск, 2013. - С. 227.

[93] Попов, Н.С. О разрешимости нелокальных краевых задач для неклассических уравнений третьего порядка / Н.С. Попов // VII Международная конференция по математическому моделированию. Тез. докл. / Под редакцией И.Е. Егорова, Ф.М. Федорова - Якутск: ОАО "Компания Дани-Алмас 2014. - С. 61-62.

[94] Попов, Н.С. Об одной нелокальной краевой задаче для многомерного псевдогиперболического уравнения / Н.С. Попов // Материалы 52-й Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2013. - С. 93.

[95] Попов, Н.С. Об одной краевой задаче для псевдопараболического уравнения с нелокальными условиями типа Самарского / Н.С. Попов // Лучшие доклады общеуниверситетской научной конференции студентов СВФУ имени М.К. Аммосова (18 мая 2009 г.) - Якутск: Издательско-полиграфический комплекс СВФУ, 2010. - С. 20-23.

[96] Попов, Н.С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдопараболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида /Н.С. Попов / / Математические заметки ЯГУ. - 2012. Т.19, Вып.1. - С. 82-95.

[97] Попов, Н.С. О разрешимости пространственно нелокальной краевой задачи для псевдогиперболического уравнения /Н.С. Попов // Математические заметки ЯГУ. — 2013. — Т.20, Выпуск 2. - С. 152-169.

[98] Попов, Н.С. О разрешимости краевых задач для многомерных псевдогиперболических уравнений с нелокальным граничным условием интегрального вида /Н.С. Попов // Математические заметки СВФУ. - 2014. - Т.21, № 2. - С. 69-80.

[99] Попов, Н.С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов, Н.С. Попов // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. - 2010. - Т.10, Выпуск 3. - С. 63-75.

[100] Popov, N.S. Solvability of nonlocal boundary value problems for pseudoparabolic equations / A.I. Kozhanov, N.S. Popov // Journal of Mathematical Sciences. - Vol.186, No.3. - 2012. - P. 438-452

[101] Попов, Н.С. Разрешимость краевой задачи для псевдогиперболического уравнения с нелокальными интегральными условиями /Н.С. Попов // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т.51, № 3. - С. 359-372.

[102] Popov, N.S. Solvability of a Boundary Value Problem for a Pseuvdoparabolic Equation with Nonloval Integral Conditions / N.S. Popov // Differential Equations. - 2015. - V.51, № 3. - P. 362375.

/