Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений различных типов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сидоренко, Ольга Григорьевна

• Сидоренко, Ольга Григорьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сидоренко, Ольга Григорьевна

Введение

Глава 1. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа

§1.1. Поиск частных решений.

§1.2. Нелокальная начально - граничная задача.

§1.3. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода

§1.4. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода

§1.5. Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями

Глава 2. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения эллиптического типа

§2.1. Поиск частных решений.

§2.2. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода

§2.3. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода

§2.4. Нелокальная задача в полуполосе.

Глава 3. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа

§3.1. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода

§3.2. Нелокальная задача с граничными условиями первого рода в полу пол осе.

§3.3. Нелокальная задача с граничными условиями второго рода

§3.4. Нелокальные задачи со смешанными граничными условиями

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений различных типов»

Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для вырождающихся уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в теории электронного рассеивания и других областях.

Начиная с известных работ Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах Ф.И. Франкля, К.И. Бабенко, А.В. Бицадзе, Т.Д. Джураева, В.Ф. Волко-давова, С.П. Пулькина, М.М. Смирнова, М.С. Салахитдинова, В.И. Жегалова,

A.M. Нахушева, Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова, А.П. Солдатова и других математиков.

Существенное место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи ввиду их теоретической и прикладной значимости. Для различных классов уравнений нелокальные задачи рассматривались А.А. Самарским и А.В. Бицадзе [7], А.В. Бицадзе [8],

B.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [17, 18], А.А. Дезиным [12], A.M. Нахуше-вым [30, 32], АЛ. Скубачевским [52], О.А. Репиным и М.Е. Лернером [24] -[27], О.А. Репиным [40], А.И. Кожановым [21, 22], JI.C. Пулькиной [35] - [38],

Е.И. Моисеевым [28, 29], Н.И. Ионкиным [19, 20] и другими авторами.

В трансзвуковой газовой динамике Ф.И. Франкль [67] для уравнения Чаплыгина

К(у)ихх + иуу = 0, где if (0) = 0, К'(у) > 0, поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия("скачка уплотнения") и(0,у) — и(0,—у) = f(y), 0 < У < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции и{х,у).

В работе [24] М.Е. Лернера, О.А. Репина для эллиптического уравнения

Утихх + иуу = 0, т> -1, в полуполосе D = {(х, у) \ 0 < х < 1, у > 0} исследована задача с одним нелокальным условием и(0,у) — и(1,у) = <fi(y), у > 0 и локальными граничными данными: аДО,у) = ip2(у), у > 0 и и(х, 0) = т(х), 0 < х < 1, lim и(х, у) = 0, у->+оо

О < х < 1. Методом экстремума доказана единственность решения поставленной задачи, а разрешимость установлена с помощью метода разделения переменных, преобразования Фурье и теории специальных функций. Аналогичные результаты получены в работе [25] для уравнения

2 р ихх + ичч Н--uv -b2u = 0, р£ R, b > о, У в полуполосе D при <р\{у) = 0, <^2(у) = 0.

Е.И.Моисеев в [28] исследовал в полуполосе D аналогичную нелокальную краевую задачу для вырождающегося эллиптического уравнения: утихх + иуу = 0, т > -2, 0 < х < 1, у > 0, и(0, у) = и(1,у), их(0,у) = 0, у > 0, и(х, 0) = f(x), 0 < х < 1, в классе функций и G C(D)f]C2(D), в предположении, что и(х,у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения поставленной задачи.

М.Е. Лернером, О.А. Репиным в работах [26, 27] для уравнения смешанного типа sgn у ■ \у\тихх + иуу — 0, т> О, в области, где эллиптическая часть является полу полосой D, гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и(0,у) — и(1,у) = (р\(у), их(0,у) — их(1,у) = (f2(у), у > 0. Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование - методами интегральных преобразований и уравнений.

Нахушев A.M. [31] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области.

В работах Сабитова К.Б. [42, 43, 48] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа sgn t • \t\muxx + utt - 62sgn t • \t\mu = 0 , m > 0, b > 0, в прямоугольной области и в полуполосе. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и существование решения задачи Дирихле.

В данной работе предложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применен для решения краевых задач с двумя нелокальными условиями для вырождающихся уравнений различных типов.

Целью работы является доказательство единственности и существования решений краевых задач для вырождающегося уравнения смешанного типа

Lu = K(t)uxx + utt ~ b2K(t)u = 0 , (0.1) где K(t) = sgn t • \t\m, m = const > 0, b — const > 0, в прямоугольной области D = {(x,t)| 0 < x < 1 ,—a < t < /?}, a, {3 > 0, с двумя нелокальными условиями u(0, t) = u( 1, t), ux{ 0, t) = ux{ 1, t), -a<t<P, в сочетании с другими локальными граничными данными.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав.

В главе 1 для вырождающегося уравнения гиперболического типа методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решений задач с двумя нелокальными условиями в сочетании с различными граничными данными.

Для вырождающегося уравнения гиперболического типа

Lu = {-t)muxx - utt - b2(—t)mu = 0 , (0.2) где т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D- = {(ж, 0 < х < 1, —а < t < 0}, а - заданное положительное число, поставлены и исследованы следующие нелокальные задачи.

ЗАДАЧА 1.1. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям и{х, t) 6 C(DZ) П C\D- U {x = 0} U {x = 1}) П C2(£L); (0.3)

Lu(x,t) = 0, (x,t)eD; (0.4) u{Q,t) = u(l,t), ux{0,t) = ux(l,t), -a<t< 0; (0.5)

U(X,0) = T{X), 0 < x < 1] (0.6) ut(x,0) = u(x), 0<ж<1, (0.7) где т и v - заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т( 1), r-(O) = /(1).

ЗАДАЧА 1.2. Найти в области D- функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.6) и и(х,-а) = <р(х), 0 < ж < 1, (0.8) где г и ср - заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т( 1), т'(0) = т'(1), <р(0) = <р(1), <р'(0) = ^'(1).

ЗАДАЧА 1.3. Найти в области функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.5), (0.7) и щ(х, -а) = ф{х), 0 < ж < 1, (0.9) где v(x) и ф(х) - заданные достаточно гладкие функции.

ЗАДАЧА 1.4. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.5), (0.7) и (0.8), где ip и v - заданные достаточно гладкие функции, причем <р(0) = ^(1), <р'(0) = ф'Щ

ЗАДАЧА 1.5. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.6) и (0.9), где тиф- заданные достаточно гладкие функции, причем т(0) = т(1), т'(0) = т'(1).

Методом разделения переменных построено множество частных решений уравнения (0.2), удовлетворяющих нелокальным условиям (0.5). Решения уравнения (0.2) имеют вид: uk(x,t) = Xk(x)Tk(t), где

Xk(x): 1, \/2cos(27rb), у/2 sm(2wkx), k = 0,1,2,., (0.10) Tk(t) = JjL(pjfc(-t)') + dky/^Y±(pk{-t)«), (0.11)

2q 2 q

Ck и dk - произвольные постоянные, Jv{z) и Y„(z) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно.

Используя частные решения уравнения (0.2), построены решения всех поставленных задач в виде суммы ряда Фурье, например, решение задачи 1.1 построено в виде суммы ряда

00 +00 u(x,t) = щ(£) + ^ Uk{t) cos(2irkx) + sm(2irkx), (0.12) k=1 k=1 где функции uk(t), vk{t) и uo(t) имеют вид

Uk(t) = ^jyTk%V=iJlq(pk(-ty) - (0.13)

Vk(t) = о * , x Jk%V^iJi(pk{-ty) - Hy/ZiJifal-ty), (0.14)

2gsin(i) lk

Я" Г-Гт / / аяч

2?

-roTo^J-f (poH)') - b > 0; о(0 = { 2<?sin(^ "2? 70 T0 + '6 = 0,

0.15) где 7A; = ^ттт(^)2?, Рй = v^+T^Trfcp/g, q = (m + 2)/2, тк и - коэффи

1 Щ 4 2 7 циенты разложения функций г(ж) и г/(:г) соответственно по системе (\/2cos(27rft£)}^, то и vq по системе {1}, а, тк и щ - коэффициенты ряда Фурье функций т(х) и и(х) по системе Справедливы следующие утверждения.

Утверждение 0.1. Если существует решение u(x,t) задачи (0.3) - (0.7), то оно единственно.

При доказательстве этого утверждения используется полнота системы функций Хк(х), к = 0,1,2,., в пространстве 0,1].

Утверждение 0.2. Пусть т(х) € С3[0,1], т(0) = r(l), г'(0) = т'( 1), т"(0) = т"( 1); i/(a?) € C2+<J[0,1], ± < 5 < 1, i/(0) = v(\), i/(0) = i/'(l). Тогда существует решение задачи (0.3) - (0.7). Это решение определяется рядом (0.12).

Доказательство основывается на асимптотических оценках поведения функций Бесселя в нуле и на бесконечности и скорости убывания коэффициентов Ч, Щ, Ч, Vk по тригонометрической системе Хк(х).

Аналогично построено решение нелокальной задачи 1.2 с граничными условиями первого рода, обоснованы единственность и существование построенного решения. Результаты сформулированы в виде следующих утверждений.

Утверждение 0.3. Если существует решение u(x,t) задачи (0.3) - (0.6) и (0.8), то оно единственно только тогда, когда Д&(а) = Jj(pkaq) ф 0 при

2 q всех к.

Если нарушено условие Д&(аг) ф 0 при некоторых к — I G N, то построены нетривиальные решения однородной задачи (0.3) - (0.6) и (0.8) (где т{х) = ср(х) = 0), которые имеют вид ui(x,t) = + C2cos(2tt/x) + C3sin(27r^)), где Ci - произвольные постоянные, i = 1,3.

Утверждение 0.4. Существуют а и постоянная Со > 0 такие, что при больших к справедлива оценка inf|V^Afc(a)| >О)>0. (0.16) к

При выполнении условий Ак(а) ф 0 и (0.16) решение задачи 1.2 определяется в виде суммы ряда (0.12), где y/=iJh(pk(-t)«) ^iAk(-t,a)

W) = 4>к-г-д , ,-+ Тк----—г-:—(0.17) л/аАк(а) 2 q Ак(а)

Ak(-t, с) - Ух(р*а*) Jf (Pk(-ty)Vf (Р*«®).

Zq 2q lq 2q

Тк и ipk ~ коэффициенты разложения (функций т{х) и ср(х) по системе {\/2cos(27rФункция U(j{t) в случае b > 0 определяется по формуле

0.17) при к = 0, а в случае 6 = 0 имеет вид uo(t) = ———t + то, Vkit) задается по формуле (0.17) с заменой коэффициентов <рк и соответственно на Тк и (рк — коэффициенты ряда Фурье функций т{х) и ip(x) по системе {\/2sin(27rb)}g?.

Если Afc(а) = 0 при некоторых а и к = ni,n2,. , nm, то задача (0.3) -(0.6) и (0.8) при выполнении условия (0.16) разрешима только тогда, когда выполнены условия

2 q

TklkV®Y±(pkaq) + —ifk = 0, к = nh п2,., nm, (0.18)

2</ 7Г

П1-Х 712-1 +00 i(M) = «ОЙ + ( £ + XI +•••+ ^ ) uk(t) соз{2пкх)+ и решение в этом случае определяется в виде суммы

П1-1 712 — 1 +00 к=1 &=7ll + l fc=71m+l

П1 —1 712 — 1 +00 ( J2+ £ Л ) и*Мвш(2тгЬ)+ (0.19) где в последней сумме I принимает значения n\,n2,. ,nm, функции ui(x,t) определяются по формуле: пу/^УфН)9)

Ui(x,t) =

2 q у/аУфю?) CirmV^tHt)

2 Я cos(2ttIx)+

2? sin(27r Ix), где Ci - произвольные постоянные.

Утверждение 0.5. Пусть <р(х), т(х) G С3[0,1] и у>(0) = <р( 1), 0) = </(0) = ip"{ 1), r(0) = т(1), т'(0) = /(1), т"(0) = т"(1). 7Ьг<?а задача (0.3) - (0.6) и (0.8) однозначно разрешима тогда, когда выполнены условия Ак(а) ф 0 и (0.16). Это решение определяется рядом (0.12), где коэффициенты Uk(t) и Vk(t) задаются формулой (0.17) с соответствующими коэффициентами щ, Тк и <рк, Ч

Если Ajfc(a) = 0 при некоторых а и k = щ,П2,. ,пт, то задача (0.3) -(0.6) и (0.8) при условии (0.16) разрешима только тогда, когда выполнены условия (0.18) и решение определяется в виде суммы (0.19).

Аналогично построены решения задач 1.3 - 1.5 в виде суммы ряда, доказаны теоремы единственности и существования полученных решений. В случае

6 = 0 решение задачи 1.3 определяется с точностью до постоянного слагае1 мого и возникает дополнительное необходимое-условие / \у(х) — ф{х)'\йх = 0. о

Глава 2 посвящена изучению нелокальных задач для эллиптического уравнения

Lu = tmuxx + utt - b2tmu = 0 , (0.20) где т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D+ = {(х, i)| 0 < х < 1,0 < t < (3}, (3 - заданное положительное число, и в полуполосе (/3 = +оо). Методом спектрального анализа получены решения нелокальных задач с различными граничными условиями.

Для уравнения (0.20) поставлены следующие нелокальные задачи. ЗАДАЧА 2.1. Найти в области D+ функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям u(x,t) Е С{Щ П С1^ и {х = 0} и {х = 1}) П C2{D+); (0.21)

Lu{x,t) = 0, (x,t)eD+] (0.22) u(0,f) = u(l,t), ux{0,t) = ux(l,t), о <t<(3- (0.23) u{x, 0) = tp(x), 0 < ж < 1; (0.24) u(x,(3)=i>{x), 0 < a? < 1, (0.25) где Lp и ф - заданные достаточно гладкие функции, причем <£>(0) = <£>(1), ф(0) = ф(1),<р>(0)=<р>(1),ф'(0) = <ф'(1).

ЗАДАЧА 2.2. Найти в области D+ функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.21) - (0.23) и щ(х, 0) = ф), 0 < х < 1; (0.26) щ(х, (3) = ф(х), 0 < х < 1, (0.27) где и и ф - заданные достаточно гладкие функции.

ЗАДАЧА 2.3. Найти в области D+ (где (3 = +ooj ограниченную функцию и(х, t), удовлетворяющую условиям (0.21) - (0.24), где - заданная достаточно гладкая функция, причем </?(0) = ^'(0) = ^'(l)

Предварительно построены частные решения уравнения (0.20), удовлетворяющие условиям (0.23): Uk(x,t) = Xk(x)Tk(t), где Xk(t) определяются по формуле (0.10), a Tk(t) имеют вид

Tk(t) = akV~tI±{pktq) + ЬкуДК±(рн1*), (0.28)

2 q 2 q где и bk - произвольные постоянные, Iv{z) и Ku(z) - модифицированные функции Бесселя.

Используя частные решения уравнения (0.20), построены решения всех поставленных задач в виде суммы ряда Фурье. Доказаны теоремы единственности и существования полученных решений. Остановимся на рассмотрении задачи 2.1. Используя спектральный метод и асимптотическое поведение функций Бесселя Iv{z) и Kv{z) в нуле и на бесконечности доказаны следующие утверждения.

Утверждение 0.6. Если существует решение u(x,t) задачи (0.21) - (0.25), то оно единственно.

Доказательство проводится с использованием свойства полноты системы функций (0.10).

Решение задачи 2.1 построено в виде суммы ряда (0.12), где

2 q 2q азо)

2 q 2 q l TTTii^M + т"¥клоШ ь > 0;

0(0 = ? ^^ (0.31)

Фо" ^ + еть ь = 0, р где т^тт(тг)2?' Рк = + fak)2/q, q = (m + 2)/2, <рк н фк - коэффици-1Ж ^ Кг(рк1*)1г(ркр1) - Кфк(31)1М),

2q 2q 2q 2 q

2q (Pk\h lk=** енты разложения функций </?(ж) и ^(ж) соответственно по системе у/2cos(2nkx)}^v (ро и фо по системе {1}, а <рк и фк - коэффициенты ряда

Фурье функций <р(х) и ф(х) по системе {y/2sm(2iткх)}^.

Утверждение 0.7. Ilijcmb (р(х), ф(х) £ С3[0,1], у?(0) = <р(1), <р'(0) = <р'(1), (р"{0) = </(1), ф(0) - ф(1), ф\0) = 1/(1), ф"(0) = ф"( 1). ТЫа существует решение задачи (0.21) - (0.25). Это решение определяется рядом (0.12), где функции uk(t), vk(t) и uo(t) определяются по формулам (0.29), (0.30) и (0.31) соответственно.

В главе 3 доказаны критерий единственности и теоремы существования решений краевых задач с двумя нелокальными условиями для уравнения смешанного типа (0.1) в прямоугольной области D = {(z,t)| 0 < х < 1, —a <t< /5}, а > 0, 0 </3< +оо.

ЗАДАЧА 3.1. Найти в области D функцию и(х, t), удовлетворяющую условиям: и(х, t) <Е C{D) П C\D U {х = 0} U {х = 1}) П C2(D+ U £>); (0.32)

Lu(x,t) = 0, (x,t) £ D+UD;

0.33) u(0,t) = «(1,0, ux(0,t) = ux(l,t), -a<t<P; (0.34) u(x,(3) = (f(x), 0 < x < 1;

0.35) u(x, —a) = ф(х)1 0 < x < 1,

0.36) где сриф- заданные достаточно гладкие функции, причем <р(0) = '/'(I),

0) = ф(1), <р'(0) - ц>'{1), 1/(0) = ф'( 1), D+ = Dn{t> 0}, £> = Dn{t < 0}.

ЗАДАЧА 3.2. Найти в области D (где (3 = +оо) ограниченную функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.32) - (0.34), (0.36), где ф - заданная достаточно гладкая функция, причем ф(0) = Ф{1), Ф'{0) =

ЗАДАЧА 3.3. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.32) - (0.34) и где (р иф - заданные достаточно гладкие функции.

ЗАДАЧА 3.4. Найти в области D функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.32) - (0.35) и (0.38), где (риф - заданные достаточно гладкие функции, причем р(0) = <р(1), у'(0) — ^'(1)

ЗАДАЧА 3.5. Найти в области D (где Р = +оо) ограниченную функцию u(x,t), удовлетворяющую условиям (0.32) - (0.34) и (0.38), где ф - заданная достаточно гладкая функция.

При решении нелокальных задач для уравнения смешанного типа были использованы частные решения уравнений (0.2) и (0.20), полученные в главах щ(х,/3) = (р(х), 0 < х < 1;

0.37) щ(х, —а) = ф(х), 0 < х < 1,

0.38)

1,2, то есть щ(х, t) = Xk{x)Tk(t), где Tk{t) определяются по формуле T+(t) = akVtIi(pktq) + ЪкуДКфкУ), t > О,

2 q

Tk{t) = <

Tk(t) = Ck^tJ^PkHY) + dkV=iY±{pk{-t)q), t < 0. Постоянные bk, Ск и dk с учетом (0.32) выбраны так, чтобы выполнялись равенства

Г*(0 + 0) = Т*(0-0), Тк(0 + 0) = тк(о — 0).

Это возможно при ск = irbkCtg(-^)/2 — йк и dk = —irbk/2. Тогда функции Tk(t) примут вид:

Tk(t) =

T+(t) = akyftU(pktq) + ЬкуДК±(ркР), t > 0,

2q 2q

Tk(t) = -ak^tJ±(pk(-t)q) + ^yy/^t Yh[pk(-t)% t < 0, где

УфкПУ) = 1

2 q

0.39)

2 q

ЫркПУ) + J-dPk(-t)q)

2 q

2 q

В задаче 3.1 для нахождения постоянных ак и Ьк воспользовались гранич1 ными условиями (0.35), (0.36) и формулой uk(t) = у/2 fu(x,t) соъ{2-ккх) dx, о к = 1,2,. , так как дважды дифференцируя функцию и используя уравнение (0.1), получим что функция Uk(t) удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, что и функция Tk(t), поэтому uk(t) = Tk(t) при t £ [—а,/3]. Значит она имеет вид (0.39) и удовлетворяет граничным условиям:

1 1 ик(/3) = J и(х,(3) cos(2irkx)dx = J ip(x) cos(2itkx)dx = (pk, о о

Uk(-a) = J u(x, —a) cos(2Trkx)dx = J ф(х) cos(27rkx)dx = фк. о о

Исходя из этих условий найдем ак и Ьк и ykVaiAk(a,t) + фкУЩЛк(t,/3) t>Q uu(t)-\ >Ак{<х,Р)у/а@ ' ' fn 40)

2A к{а,(3)^ф где

Д*(а,0) = Ji(pkaq)Kj(pkf3q) + f Yj(Pkaq)UPk(3q),

Zq 2 q u 2 q 2 q

Ak{a,t) = J±(Pkaq)K±(Pktq) + I±(pk(3q)KApktq) - Ырк1Ч)К±(рк(3<1),

Zq zq Zq Zq

Bk(a, -t) = Y±(pk(-t)q)Ji(pkaq) - Y i(pkaq)J±(pk(-t)q),

2 q 2 q 2 q 2 q

Ak(-t,/3) = J±(Pk(-t)q)Ki(Pk(3q) + |Ff (Pk(-t)q)I, (Pkf3q),

Zq Zq u Zq Zq uo(t) в случае b > 0 определяется по формуле (0.40) при /г = 0, а в случае 6 = 0 ч Ро-Фо, . а(ро + (Зфо , имеет вид wo(c) =-^-сН--^—, аналогично построены функции vk[t) а + р а + р с коэффициентами фк и фк функций <р(х) и ф(х) по системе {y/2s'm(2irkx)}^v Утверждение 0.8. Если существует решение u(x,t) задачи (0.32) - (0.36), то оно единственно только тогда, когда Ак(а,(3) ф 0 при всех к.

Если при некоторых а, (3 и к = 1 € N нарушено условие Ак(а, (3) ф 0. Тогда однородная задача (0.32) - (0.36) (где ср(х) = ф(х) = 0) имеет нетривиальное решение г

Ai(a,t)Vi(Ci + C2cos(27t/z) + C3sin(27r/a;)), t > 0, ui(x,t) = <

Ai(-t, ($)yf=t(Ci + C2cos(2trlx) + C3sin(27r/x)), t < 0, где Ci - произвольные постоянные, г = 1,3.

Утверждение 0.9. Существуют а и постоянная Cq > 0 такие, что при всех (3 > 0 и больших к справедлива оценка

M\VkSk{a,p)\>C0>0, (0.41) к где

Кффч) йМ) = JApkofl)T2\ ПпЛ + -Уф**).

2 q

I^PkPi) 2

2 q

При выполнении условий Ak(a,fi) ф 0 и (0.41) решение задачи 3.1 определяется в виде суммы ряда (0.12), где Uk(t), Vk(t) и wo(i) имеют вид (0.40).

Если Afc(a, /3) = 0 при некоторых а, (5 и к = щ, П2,., пт, то задача (0.32) - (0.36) при условии (0.41) разрешима только тогда, когда выполнены условия piyfaJi(piaq) + ihy/pi^toF) = 0, I = щ, n2, • • •, fhn, (0-42)

2 9

2 q и решение в этом случае определяется рядом (0.19), где f wVil±(pit4) $iVili(pit4)

4 cos(2-kIx) H—m 4——— sin(27r/x)+

VPh-(piPq) zq

2 q

Ci + C2 cos(2tt/x) + C3 sin(27r/®)), t > 0,

J±[Piaq) ui(x,t) = <

• cos(2txlx) +-?=~1-г— sin(27r/a;)+ faJi (piofl)

2 q aJ±{piai)

2 q

CiM-t,p)

C\ + C2 cos(2tt/z) + C3 sin(27rfo)), t < 0,

Ырф«)

2 q где Q - произвольные постоянные.

Утверждение 0.10. Пусть ip{x) 6 C3[0,1], y>(0) = <p(l), (p'{0) = y/(l), </(0) = */'(l); G c3+'[o, < S < 1, V(0) = ф(1), ПО) = ■0"(O) = ^"(l). Тогда задача (0.32) -(0.36) однозначно разрешима тогда, когда выполнены условия Ak(a,j3) ф 0 и (0.41). Это решение определяется рядом (0.12), у которого функции Vk{t) и щ(£) задаются формулой (0.40) с соответствующими коэффициентами <pk, фк и фк, Фк

Если Ак(а,(3) = 0 при некоторых а, /3 и к = щ, пг, • • •, пт, то задача (0.32) - (0.36) при условии (0.41) разрешима только тогда, когда выполнены условия (0.42) и решение определяется рядом (0.19).

Утверждение 0.11. Построенное решение u(x,t) задачи (0.32) - (0.36) принадлежит классу C2(D) и функция u(x,t) всюду в D является решением уравнения (0.1). Следовательно, линия изменения типа t = 0 уравнения (0.1) как особая линия устраняется.

Используя аналогичные рассуждения обоснованы единственность и существование решений задач 3.2 - 3.5.

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты:

1) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями в сочетании с другими локальными граничными данными для вырождающегося уравнения гиперболического типа в прямоугольной области.

2) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями для вырождающегося уравнения эллиптического типа с различными граничными данными в прямоугольной области и в полуполосе.

3) Доказательство единственности и существования решения задач с двумя нелокальными условиями для вырождающегося уравнения смешанного типа с различными граничными данными в прямоугольной области и полуполосе. При этом установлен критерий единственности. Решение нелокальных задач построено в виде суммы ряда Фурье и доказано, что линия изменения типа, как особая линия, устраняется.

Основные результаты опубликованы в работах [44] - [47], [53] - [57]. В работах [44] - [47] постановка задач и идея доказательства принадлежат научному руководителю К.Б. Сабитову.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители - профессора К.Б. Сабитов, Ф.Х. Мукминов, И.А. Калиев, 2003 - 2007 гг.), кафедры теоретической физики (научный руководитель - профессор А.И. Филиппов, 2007 г.) Стерлитамакской государственной педагогической академии, на научном семинаре отдела вычислительной математики Института математики с ВЦ УНЦ РАН (научный руководитель - профессор Р.С. Сакс, г. Уфа, 2007 г.), а также на следующих научных конференциях: «Студенческая наука - в действии» (г. Стерлитамак, 2003 г.), «Современные проблемы физики и математики» (г. Стерлитамак, 2004 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Нальчик, 2004 г.), «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы » (г. Москва, 2004 г.), «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (г. Нальчик, 2006 г.), «Современные проблемы дифференциальных уравнений, теории операторов и космических технологий» (Казахстан, г. Алматы, 2006 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сидоренко, Ольга Григорьевна, 2007 год

1. Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции / В.Я. Арсенин. - М.: Наука, 1984. - 384 с.

2. Бабепко, К. И. К теории уравнений смешанного типа / К.И. Бабенко // Успехи математических наук. 1953. - Т. 8. №2. - С. 160.

3. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн.- М.: Наука, 1966. Т. 2. 267 с.

4. Берс, JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

5. Бицадзе, А.В. Уравнения смешанного типа / А.В. Бицадзе. М.: Изд-во АН СССР, 1959. - 164 с.

6. Бицадзе, А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка / А.В. Бицадзе. М.: Наука, 1966. - 404 с.

7. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач / А.В. Бицадзе, А.А. Самарский //Докл. РАН. -1969. Т. 185. - № 4. - С. 739 - 740.

8. Бицадзе, А.В. К теории нелокальных краевых задач / А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 277. - №1. - С. 17 - 19.

9. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон. М.: ИЛ, 1949.- Т. 1. 798 с.

10. Бахания, Н.Н. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны / Н.Н. Бахания // Сообщения академии наук Грузинской ССР. 1958. - Т. XXI. - № 2. - С. 131 - 138.

11. Двайт, Г. В. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. М.: Наука, 1983. - 176 с.

12. Дезин, А. А. Операторы с первой производной по "времени"и нелокальные граничные условия / А.А. Дезин // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1967. - № 31. - С. 61 — 86.

13. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев. Ташкент: Фан, 1979. — 239 с.

14. Жегалов, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та. 1962. - Т. 122. -кн. 3. - С. 3 - 16.

15. Жегалов, В. И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассические уравнения матем. физики. -Новосибирск: ИМ СО АН СССР. 1985. - С. 168 - 172.

16. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. М.: Мир, 1965. -Т. 1. - 616 с.

17. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 291. - № 3. - С. 534 - 539.

18. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - № 8. - С. 1422 - 1431.

19. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294 - 304.

20. Ионкин, Н.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями / Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. - № 7. - С. 1284 - 1295.

21. Коэ/санов, А.И. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А.И. Кожанов // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - № 25. - С. 2143 - 2153.

22. Коэюанов, А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений / А.И. Кожанов // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. 2004. - № 30. - С. 63 - 69.

23. Лебедев, Н.Н. Специальные функции и их приложения / Н.Н. Лебедев. М.: Мир, 1963. - 471 с.

24. Лернер, М.Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М.Е. Лернер, О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35. - № 8. - С. 1087 - 1093.

25. Лернер, М.Е. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полу полосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца / М.Е. Лернер, О.А. Репин // Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37. - № 11. - С. 1562 - 1564.

26. Лернер, М.Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М.Е. Лернер, О.А. Репин //Сиб. матем. журнал. 1999. - Т. 40. - № 6. - С. 1260 - 1275.

27. Jlepnep, M.E. Существенно нелокальная краевая задача для уравнения с частными производными / M.E. Jlepnep, О.А. Репин // Мат. заметки. -2000. Т. 67. - № 3. - С. 478 - 480.

28. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев //Дифференциальные уравнения. 1999. -Т. 35. - № 8. - С. 1094 - 1100.

29. Моисеев, Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев //Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37. - № 11. -С. 1565 - 1567.

30. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5. - № 1. - С. 44 - 59.

31. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области / A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т. 6. - № 1. - С. 190 - 191.

32. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / A.M. Нахушев. -М.: Высшая школа, 1995. 304 с.

33. Нахушева, З.А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных / З.А. Нахушева // Дифференциальные уравнения. 1986. -Т. 22. 1. - С. 171.

34. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М.: Наука, 1983. - 752 с.

35. Пулькина, Л.С. Нелокальная задача с интегральными условиями для квазилинейного гиперболического уравнения / Л. С. Пулькина // Матем. заметки. 2001. - Т. 70. - № 1. - С. 88 - 95.

36. Пулькина, JI.C. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения / JI.C. Пулькина // Неклассич. уравнения матем. физики. Новосибирск.: ИМ СО РАН. - 2002. - С. 176 - 184.

37. Пулькина, JI.C. Нелокальные задачи для гиперболических уравнений: дисс. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / JI.C. Пулькина. Москва. - 2003. - с. 257.

38. Пулькина, JI.C. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / JI.C. Пулькина // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т. 40. - № 7. - С. 887 - 892.

39. Репин, О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой полу полоса / О.А. Репин / / Дифференциальные уравнения. - 1996. - Т. 32. - № 4. - С. 565 - 567.

40. Репин, О.А. Нелокальная задача A.M. Нахушева для уравнения смешанного типа / О.А. Репин // Вестник СамГТУ. 2001. - № 12. - С. 5 - 9.

41. Сабитов, К.Б. Уравнения математической физики. / К.Б. Сабитов. М.: Высшая школа. - 2003. - 255 с.

42. Сабитов, К. Б. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения / К. Б. Сабитов, О. Г. Сидоренко // Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики». Уфа: Гилем. - 2004. - Т. 1 - С. 80 - 86.

43. Сабитов, К. Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Докл. РАН. 2007. - Т. 413. № 1.- С. 23 26.

44. Сабитов, К.Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа. / К.Б. Сабитов, Г.Г Биккулова, А.А. Гималтдинова. -Уфа.: Гилем, 2006. 150 с.

45. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Сала-хитдинов. Ташкент: Фан, 1974. - 156 с.

46. Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А.А. Самарский // Дифференциальные уравнения. 1980.- Т. 16. № И. - С. 1925 - 1935.

47. Скубачевский, А.Я. Нелокальные эллиптические задачи с параметром / АЛ. Скубачевский // Математический сборник. 1983. - Т. 121. - № 2.- С. 201 210.

48. Сидоренко, О. Г. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа в прямоугольнике / О. Г. Сидоренко // Сборник трудов Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» Самара: "Универс-групп". - 2007. - С. 116 - 121.

49. Сидоренко, О. Г. Существенно нелокальная задача для уравнения смешанного типа в полуполосе / О. Г. Сидоренко // Известия вузов. Математика. 2007. - № 3. - С. 60 - 64.

50. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

51. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

52. Солдатов, А.П. Об одной задаче теории функций / А.П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. 1973. - Т. 9. - № 2. - С. 325 - 332.

53. Солдатов, А.П. Решение одной краевой задачи теории функций со смещением / А.П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. 1974. - Т. 10. - № 1. - С. 143 - 152.

54. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Би-цадзе. I. Теоремы единственности / А.П. Солдатов // Докл. РАН. 1993. - Т. 332. - № 6. - С. 696 - 698.

55. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. II. Теорема существования / А.П. Солдатов // Докл. РАН. -1993. Т. 333. 1. - С. 16-18.

56. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихинов, А.А. Самарский. М.: Наука, 1977. - 735 с.

57. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа / Ф. Трикоми. М.: ИЛ, 1947. - 192 с.

58. Франклъ, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф. И. Франкль //Изв. АН СССР. Серия математическая. -1945. Т. 9. - № 2. - С. 121 - 142.

59. Франклъ, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ. 1956. - Т. 20. - №2. - С. 196 - 202.

60. Франклъ, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике / Ф. И. Франкль. М.: Наука, 1973. - 711 с.

61. Хачев, М.М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике / М.М. Хачев // Дифференциальные уравнения. 1975. - Т. XI. - № 1. -С. 151 - 160.

62. Хачев, М.М. Задача Дирихле для одного уравнения смешанного типа / М.М. Хачев // Дифференциальные уравнения. Минск. 1976. - Т. 12. -№ 1. - С. 137 - 143.

63. Хачев, М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа / М.М. Хачев. Нальчик: Изд. "Эльбрус", 1998. - 168 с.

64. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. math, pura ed appl. 1963. -V. 62. - P. 371 - 377.

65. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineare aux derivees partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat / S. Gellerstedt. Uppsala, 1935. - 92 p.