Задачи с граничными условиями второго рода для уравнений смешанного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Шустрова, Наталья Вячеславовна

• Шустрова, Наталья Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шустрова, Наталья Вячеславовна

Глава 1. Задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

§1.1. Постановка обобщенной задачи Моравец и редукция к обобщенной задаче Трикоми.

§1.2. Единственность и существование решения задачи Моравец.

§1.3. Единственность решения обобщенной задачи Моравец.

Глава 2. Задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром

§2.1. Постановка спектральной задачи Моравец.

§2.2. Построение частных решений уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром.

§2.3. Построение системы собственных функций и исследование их на полноту.

§2.4. Построение решения задачи Моравец для уравнений с оператором

Лаврентьева-Бицадзе.

§2.5. Пространственный аналог задачи Моравец.

§2.6. Построение решения задачи Моравец для уравнения с оператором

Лаврентьева-Бицадзе в усложненной области.

§2.7. Обобщенная задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром.

§2.8. Обобщенная задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром в усложненной области.

Глава 3. Задачи с краевыми условиями второго рода на части границы для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром

§3.1. Построение решения обобщенной задачи Трикоми-Неймана.

§3.2. Обобщенная смешанная задача.

§3.3. Обобщенная задача Трикоми-Неймана в усложненной области.

§3.4. Аналоги обобщенной смешанной задачи в усложненной области.

§3.5. Построение решения задачи TN для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром в эллиптических координатах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи с граничными условиями второго рода для уравнений смешанного типа»

Исследования различного рода физических процессов тесно связаны с развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа.

Основоположниками этой теории являются Ф.Трикоми и С.Геллерстедт. Дальнейшими исследованиями в этой области занимались Ф.И.Франкль,

A.В.Бицадзе, К.И.Бабенко, В.Ф.Волкодавов, В.Н.Врагов, Т.Д.Джураев,

B.Н.Диденко, В.А.Елеев, В.И.Жегалов, А.Н.Зарубин, Т.Ш.Кальменов, Г.Д.Каратопраклиев, А.И.Кожанов, Ю.М.Крикунов, А.Г.Кузьмин, О.А.Ладыженская, В.П.Михайлов, Е.И.Моисеев, А.М.Нахушев,

C.М.Пономарёв, С.П.Пулькин, Л.С.Пулькина, О.А.Репин, К.Б.Сабитов, М.С.Салахитдинов, М.М.Смирнов, А.П.Солдатов, Р.С.Хайруллин, Хе Кан Чер, Л.И.Чибрикова, S.Agmon, L.Nirenberg, M.Protter, C.S.Morawetz, P.Germain, R.Baber, P.Lax, R.Phillips, M.Schneider и многие другие.

К основным краевым задачам для дифференциальных уравнений смешанного типа относятся задачи Трикоми, Геллерстедта, Трикоми-Неймана, Моравец и их обобщения (с отходом от характеристики). Ф.Трикоми [48] для уравнения уихх + иуу = 0 (0.1) в области D, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А и В оси у — 0, а при у < 0 — характеристиками АС и ВС уравнения (0.1), выходящими из этих точек и пересекающимися в точке С, исследовал задачу с граничными данными первого рода на Г U АС. Существование и единственность решения этой задачи доказано при некоторых ограничениях на кривую Г. Геллерстедт [58] решает задачу Трикоми для уравнения ymuxx + uyy cu — F(x, у), (0.2) где т > 0 и т = 0(mod2), с = const > 0, но достаточно малая, F{x)y) — заданная функция. В другой работе Геллерстедта [57] для уравнения ymuxx + Uyy = 0, (0.3) где т — натуральное нечетное число, в области D, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках Ai(ai, 0) и ^2(02,0), а при у < 0 — характеристиками А\С\, С\Е, ЕСч^ С2А2 уравнения (0.3), где Е(е, 0), ai < е < а,2, исследованы задачи с граничными данными первого рода на Г U А\С\ U А2С2 (задача G\) и на Г U С\Е U ЕС2 (задача G2). Существование этих задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает с "нормальной" кривой Го :

Z2 + Т-Т^~2Ут+2 = у > т + 2)г

В работе [50] Ф.И.Франкль исследовал задачу Трикоми для уравнения Чаплыгина

К{у)ихх + иуу = 0, К{0) = 0, К'(у) > 0. (0.4)

Единственность решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина была доказана им при условии, что функция

F(y) = 2{К/К')1 + 1 < 0 при у < 0. (0.5)

Для уравнения М.А.Лаврентьева ихх + sgny ■ иуу = 0 (0.6) задачи Трикоми, G\ и задача, в которой задано на Г, подробно изучены А.В.Бицадзе [5-9]. В работе [8] единственность решения задачи Геллерстедта доказана на основании принципа экстремума при произвольной кривой Г, но при некоторых ограничениях на поведение производных их и иу в малой окрестности точки Е.

Применяя метод "абс", Проттер [62, 63] доказал теорему единственности решения задачи Т для уравнения (0.4) в случае, когда К (у) имеет непрерывную производную третьего порядка, которая в полуплоскости у < 0 удовлетворяет условию К"' < 0 всякий раз, когда F(y) < 0 при у < 0.

К.И.Бабенко [1] доказал единственность и существование обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина, когда \dx/dy\ < Cy2(s) в окрестности точек А и В на кривой Г, где С—положительная постоянная.

С.П.Пулькин [29] доказал единственность и существование обобщенного решения задачи Трикоми для уравнения

Uxx + sgny ■ Uyy + a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = 0 (0.7) при некоторых ограничениях на коэффициенты а, Ь, с в случае, когда касательная к гладкой кривой Г в точках А и В параллельна оси Оу.

М.М.Смирнов [42] рассмотрел краевую задачу для уравнения (0.4) при К (у) = sgny • \у\т, т > 0, в котором на характеристике АС задано значение искомой функции, а на кривой Г— задается 5s[it] = ym^ux — ^uy.

В работах C.S.Morawetz [59, 60] единственность решения обобщенной задачи G\ (т.е. задачи G\ с отходом от характеристики) для уравнения Чаплыгина (0.4), где К( 0) = 0, К'(у) > 0, К (у) — достаточно гладкая функция, доказывается методами вспомогательных функций и "а&с", при некоторых ограничениях на кривую Г и рост градиента решения в окрестности точек Ai, Е и А^. Кривая Г должна быть звездной относительно точки Е.

C.S.Morawetz [61] также доказала теорему единственности аналога задачи Неймана (£s[u] = 0 на Г U А\С\ U А2С2) для уравнения (0.4) методом вспомогательных функций и построила контрпример, в котором ограничения, наложенные на кривую Г, нарушаются, а аналог задачи Неймана с нулевыми данными имеет нетривиальное решение.

Аналогичная краевая задача изучена для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в монографии Л.Берса [4, с.118], где методом вспомогательных функций Моравец получена теорема единственности решения этой задачи при следующих геометрических ограничениях на кривую Г : производная dx/dy = 0 в точках А и В, dy/dx не обращается в нуль на Г при у > 0, за исключением одной точки.

Обобщенная задача Трикоми впервые была изучена А.В.Бицадзе [7] для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. При следующих ограничениях на кривые Г (в эллиптической части области) и 7 (в гиперболической части области)

Г : (х - х2 - y2)dy - ydx > 0, . (0.8)

7 : у = —а(х), а(0) = 0, а(х) > 0 при х > 0,

О < а'(х) < 1, а'(х) < а(х)/(х-х2 + а2) (0.9) он доказал единственность решения. На основании теоремы единственности им доказано существование решения обобщенной задачи Трикоми в случае, когда кривая 7 в некоторой окрестности точки А совпадает с характеристикой, а Г принадлежит классу Ляпунова и в малой окрестности точек А я В оканчивается как дуга полуокружности с центром в точке (1/2,0).

А.П.Солдатов [45] методами теории аналитических функций доказал единственность решения обобщенной задачи Трикоми, сняв ограничение (0.8) на кривую Г и заменив условие (0.9) на следующее

0 < а'(0) < 1, а'(х)>а(х)/х.

Единственность решения обобщенной задачи Трикоми, возникшей в теории сопла Лаваля, доказана в работе К.Б.Сабитова и Н.Ю.Капустина [32].

Методом разделения переменных Е.И.Моисеев [20-24] построил решение обобщенной задачи Трикоми, а также решения задач G\ и G<i с нулевыми граничными условиями на характеристиках для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в виде суммы биортогональных рядов в случае, когда область эллиптичности является круговым сектором.

К.Б.Сабитов и А.А.Карамова [34] распространили этот метод для построения решения задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа.

В работе К.Б.Сабитова и А.Н.Кучкаровой [36] изучены спектральные свойства решений задачи G2 и показаны их применения при построении решения этой задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром и для уравнения смешанного типа со степенным вырождением.

Краевые задачи для уравнений смешанного типа с заданием производной по нормали на эллиптической части границы рассмотрены в работах К.Б.Сабитова и С.Л.Хасановой [37], [38] методами спектрального анализа.

Из данного обзора видно, что в основном исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа с заданием граничных условий первого рода, а задачи с граничными условиями 2-го рода изучены сравнительно мало. Поэтому представляет интерес исследование краевой задачи для уравнений смешанного типа с граничными условиями второго рода (задачи Моравец), задач со смешанными граничными условиями и их обобщений в областях с отходом от характеристики в гиперболической части области.

Не изучены также спектральные свойства решения задачи Моравец и ее обобщений.

Целью данной работы является изучение спектральных задач для уравнения смешанного типа ихх + s9nV • Щу + Au = О, Л G С, (0.10) с однородными граничными условиями второго рода и смешанными граничными условиями в различных областях и применение полученных результатов при построении решения краевых задач для уравнения (0.10) в виде суммы ряда по собственным функциям соответствующих спектральных задач.

В главе 1 задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе

Lu(x,y) = ихх + К (у) • иуу = 0, К (у) = sgny, (0.11) сводится к обобщенной задаче Трикоми и доказывается единственность решения этой задачи.

В §1.1 для уравнения (0.11) в области D, ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках А(0,0) и Б(1,0), кусочно-гладкой кривой 7 = АС : dx + у—K(y)dy > 0 и характеристикой СВ : х — у = 1 уравнения (0.11) при у < 0, ставится обобщенная задача Моравец.

Обобщенная задача Моравец. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и{х, у) Е C(D) П C\D) П C2(D+ U (0.12)

Lu(x,y) = Q,{x,y) G £>+ULL, (0.13) dy dx

8s[u] r = ux— - sgny • Uy— = (p(s), 0 <S<1, (0.14)

5s[u}\j = ij(s),0<s<lh (0.15) где </o(s), -0(s) - заданные достаточно гладкие функции, s- длина дуги кривой, отсчитываемая от точки А, I— длина кривой Г, 1\— длина кривой 7, = D П {±у > 0}.

Определение 1. Под регулярным в D решением уравнения (0.11) будем понимать функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.12), (0.13) и дополнительно потребуем, чтобы функция —K{y)uydx + uxdy была интегрируемой вдоль любой кусочно-гладкой кривой, лежащей в D. Рассматривая функцию х,у) v(x,y) = J ^~K(y)uyjt+u^dt (0.16)

0,0) обобщенную задачу Моравец можно свести к обобщенной задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева - Бицадзе относительно функции v(x,y) : S v(x{s),y{s)) v(x(s),y(s)) / cp[x(t),y(t)}dt = Ф(3), г { / il>[x{t)iy(t)]dt = V{8).

7 {

В §1.2 доказаны теоремы единственности и существования решения задачи Моравец для уравнения (0.11) в случае, когда 7 совпадает с характеристикой.

Теорема 1. Пусть: 1) Г - кривая из класса Ляпунова, 2) и(х, у) - решение однородной задачи Моравец из класса регулярных в D решений уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Тогда и(х,у) = const в D.

Теорема 2. Если кривая Г из класса Ляпунова, <p(s) Е С[0, Z], ф(х) Е С1[0,1/2], то задача (0.12) - (0.14) и иу - их) ф{х), 0 < х < 1/2, у=-х для уравнения Лаврентьева-Бицадзе имеет решение, определяемое формулой и(х,у)= J Vydx - jj^dy + с. (0.17)

0,0)

В §1.3 доказаны теоремы единственности решения обобщенной задачи Моравец для уравнения (0.11) по результатам [45], [32].

Теорема 3. Пусть 1) кривая Г из класса Ляпунова, 2) кривая 7 : у = -а(х), а(0) = 0, а(х) > 0 при х > 0, 0 < а'(0) < 1, а'(х) >а(х)/х. Тогда если существует решение однородной задачи (0.12) - (0.15) (<p(s) = 0, ip(s) = О), то и(х,у) = const.

Во второй главе изучены спектральные свойства решений задачи Мора-вец для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе и показаны их применения при построении решения задачи Моравец.

В §2.1-2.3 рассматривается задача Моравец для оператора Лаврентьева-Бицадзе. Для уравнения

Lu = ихх + sgny ■ иуу + Aw = 0, (0.18) где А 6 С, в области D, эллиптическая часть которой D+ при у > 0 ограничена дугой окружности единичного радиуса Г = BP (г = 1, 0 < ср < (ро, 0 < </?о < 7г), и отрезком АР(<р = (ро, 0 < г < 1), а гиперболическая часть которой D- при у < 0 ограничена характеристиками уравнения (0.18) АС(х + у = 0), СВ{х - у = 1), где А(0,0), 5(1,0), поставим следующую спектральную задачу.

Задача М\. Найти значения комплексного параметра А и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям: и(х, у) е C(D) П Cl{D) П C2(D+ U £>), (0.19)

Lu(x,y) = 0,(х,у) в D+UD-, (0.20) 0, (х, у) е Г и АС и АР, (0.21) где D± = Dn{±y> 0}.

Применяя метод разделения переменных в эллиптической и гиперболической частях области D, получено следующее утверждение: собственному значению А = 0 соответствует собственная функция Що(х,у) = const, собственным значениям Anm, являющимся т—ми корнями уравнения V^J'^y/X) = 0, соответствуют собственные функции г, (р) = \/2Cnmsin(finip + nm' ),(x,y)eD+, (0.22)

Unm{x,y) = CnmJ^n{^/Xnm{x2 -y2)) ' (Х>У) € D-> (°'23) собственным значениям А ф Xnm, соответствуют собственные функции а(Г, <р) = СоМy/Xr) + £ fn^fz\sin (w + , (я,у) Е D+, (0.24)

1 vAJ;n(VA) V

00 где цп = ^{n — |), n E N, Co, Cnm—действительные числа, коэффициенты fn определяются no формулам, полученным в работе [20], причем в нашем случае f((p) = -CqVXJ^VX) :

Ро = - [ f(<p)hn{<p)d<p, (0.26) ро J о

K{<f) = ---2lf°\ Y sink—Bn-k,

5г = ]Гс1-тСГ(-1)г~т, Cf = l{l-l).{l-n + l)

Til m=0 f соУ2ЛЛ(л/Л)Г(3/4) n ср>/Л^(УЛ)Г(3/4) f с0у^ЛЛ(\/Л)Г(3/4) ^ ~ V^r(5/4) ' 7 2 ~ 5у^7гГ(5/4) ' 73 ~ 24^(5/4) ' CqVXJ^VX) А * ~ l/4)T(fe - 771 + 1/2) n~ v^ h } 2k Г(Л + 1/4) v k=l m=l 4 ' ' где Г(-) - гамма-функция.

Изучен вопрос о полноте систем собственных функций (0.22), (0.23) в областях эллиптичности, гиперболичности и в целом в смешанной области. Теорема 4. Система собственных функций (0.22) задачи М\ полна в

HD+).

Теорема 5. .ЕЪш </?о G (0,7г/2), то система собственных функций (0.23) задачи М\ полна в L2(D-). Если cpQ Е [тг/2, 7г], то подсистема собственных функций (0.23) задачи М\, начиная с номера п = 2, 3,полна в I^LL).

Теорема 6. Система собственных функций (0.22),(0.23) задачи М\ не полна в L2(D).

В §2.4 на основании работ [21, 22] показаны применения системы собственных функций при построении решения задачи Моравец для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе.

Для уравнения Лаврентьева-Бицадзе (0.11) в области D рассмотрена следующая задача.

Задача Моравец (задача М). Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.19), (0.20) и ад = /Ш®>У)<Е г, (0.27)

68[и] = 0, (х,у) £ AC U АР, (0.28) где f(ip) - заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 7. Если f(<p) £ Са[0,</?о]5 0 < ск < 1, то существует решение задачи М и оно имеет вид:

00 f ^ и(г, у?) = Со + V —r^sin^nip + -), (ж, у) Е D+,

Ми 4

71—1

00

Ef n=l где (in = (п — |) коэффициенты fn вычисляются по формуле (0.26).

Для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром (0.18) в области D найдено решение задачи Моравец.

Теорема 8. Если f(ip) £ Са[0 < а < 1,А ^ mo существует решение задачи Моравец и оно имеет вид: f J (v^Ay) тг

71=1 Мп Л) {x + yYn/2

00

П=1 V Мп ^ где (in = ~(п — |), fn есть коэффициенты разлоэ/сения в биортогональпый ряд функции f{(p) и они вычисляются по формуле (0.26), и\(х,у) вычисляются по формулам (0.24), (0.25).

В §2.5 изучен пространственный аналог задачи Моравец для уравнения

LW = W^ + sgny ■ Wyy + Wzz = 0 (0.29) в области Но = D х [0, тг], где D — область, описанная на стр. 9.

Обозначим через So часть цилиндрической поверхности х2 + у2 = 1, у > О, г е [0, тг], #0+ = Н0 П {у > 0}, Щ = HoC\{x>Q,y< 0}.

Задача М. Найти функцию W(x,y,z), удовлетворяющую условиям:

W(x, у, z) € С(Hq) п С1 (Но) П С2(Я+ U Я0"), LW = 0, = F(ip,z), dW dW dN dN

0, (fi = (fo, 0 < Г < 1, 0 < Z < 7Г,

0.30) (0.31) (0.32)

0.33)

AP

Wx(x, -X, z) - Wy(x, ~x,z) = 0, 0 <x < 1/2, -1/2 < у < 0, (0.34) dW

ON dW

2=0 dN

-0,

0.35)

Z—-K где F(ip,z)— заданная достаточно гладкая функция.

Теорема 9. Если функция F(ip, z) по переменной (р удовлетворяет на отрезке [0,<^о] условию Гелъдера с показателем a £ (0,1], а по переменной z на отрезке [0,7г] условию Гелъдера с показателем /3 £ (0,1], то существует решение задачи Моравец в области Но и оно имеет вид: оо с0 f 71

W(x, у, z)) = c°o + J2 ^ksin(/Jktp + -)+ k=1 "'

Hk " 4'

00

71—1

7Г пГ ,(n) Sin W + 4 ^ ' cosnz> y>G Яо+>

00 k=1 g ^(s, y) + g f I cosnz , (*, у, *) e Щ , n)

- у, zdeln(z) — модифицированная функция Бесселя, f^, f® есть коэффициенты разлооюения в биортогоналъный ряд функций fn(<p), /о(у) соответственно, сами функции определяются по формулам

7Г fn(<p) = — / F((p)z]cosnzdz) п = 0,1,. т J а функции ип(х,у)

IC0/0(nr) + XXl anl^{n) + f)' у) G т / /7—2-2V* «^^("У^-У2)) fx+yYk/2 , \ а Г)

§2.6 определяются собственные значения спектральной задачи, соответствующей задаче Моравец для уравнения (0.18) в усложненной области G, в которой впервые была изучена задача Моравец уравнения Чаплыгина [61], - эта область в полуплоскости у > 0 ограничена простой кривой Г (в нашем случае Г является дугой полуокружности единичного радиуса) с концами в точках 5(1,0) и Р(—1,0), а в полуплоскости у < 0 ограничена характеристиками заданного уравнения (в нашем случае - характеристиками РЕ(х + у = -1), ЕА{х - у = 0), АС(ж + у = 0), СЯ(ж - у = 1), где —С(|, — !)), и исследуется на базисность соответствующая система собственных функций. На основании работ [21, 22] показаны применения системы собственных функций при построении решения задачи Моравец для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе в области G.

В заключение этого параграфа построено решение пространственной задачи Моравец (0.30) - (0.35) для уравнения (0.29) в области Я = G х [—тг, 7г]. Обозначим через S часть цилиндрической поверхности х2 + у2 = 1, z Е [-тг, тг], Я+ = #2 П {у > 0}, Щ = Я П {у < 0, ж > 0} Щ = ЯП {у < 0,ж < 0}.

В §2.7 строится решение задачи Моравец для уравнения (0.18) в области JDjfe, в которой в отличии от области D в гиперболической части вместо характеристики, проходящей через начало координат, взята прямая у = —&ж,0<&<1,и вместо точки С получена точка С к.

Теорема 10. Собственным значениям \пт, являющимся т—ыми корнями уравнения <f\J' (у/Х) = 0, соответствует система собственных функций у) = CnmV/2(1 + К2») J^Kmix2 + y2))sin (^-f-+°>rctgz-ттг е Dk, собственным значениям А Ф Хпт соответствует система собственных функций л(«, У) = СЬЛ(^г) + £ /7* ■+ VV? п=1 /% а/а) \\Х-У, \ if4 ид (я, 2/) = C0Jo(VAr)+ с» - /Г т> / /Т\-+

Я=1 vXJiWX) cosfj,n(p - sinfj,n(p)): (х,у) е Dk+, (0.37) где Сп естоь коэффициенты разложения по системе Фп (</£>) = sinfj,n(p + + К(cosiin(p - sin/j,nip), К = f^f, tgw>o = В §2.8 решена задача Моравец для уравнения (0.18) в усложненной области Gk, в которой в отличии от усложненной области G в гиперболической части вместо характеристик, проходящих через начало координат, взяты прямые у = 0 < k < 1, и вместо точек С, Е получены соответственно точки и Ек.

В 3 главе рассматриваются краевые задачи со смешанными граничными условиями в областях, в которых удается разделить переменные в полярных и эллиптических координатах.

Здесь для уравнения (0.18) в области Gk рассмотрим задачу Трикоми-Неймана.

Задача TN. Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.19) -(0.20) и условиям и(х,у) = 0, (х,у)бАЕкиАСк, (0.38)

Теорема 11. Собственным значениям Хпт, являющимся тп—ными корнями уравнения y/\J' = 0, соответствует система собственных функций задачи TN\ в усложненной области Gk'. у) = Спт1^п{л/Хпп(х2 + y2))(sirifin(p + COSHnLp+ +K>"n(sinfinip - cosfaip)), {x,y) E Gj,

Unm{x,y) = Cnm J\/ Xnm[x2 - y2)) x + y

ЦП x-yj / / \ m ^(-^^^(^Апт^-У2)) I 2 \ Ш\ -к* (~) ) > где цп являются положительными корнями уравнения fin = п — f arctc/if^, n = 1,2,

Теорема 12. Е'сли /(<£>) Е Са[0,7г], 0 < а < 1, А ф Хпт, то существует решение задачи TN и оно имеет вид:

4х > У) = \- J г, , /Т\-ismVn<P + COSflncp+ vAJ; (VA) n=1 Pn 1

- cos[inLp)), (x,y) e G+,

00

Ми . .

71=1 V Mn

ЦП где Cn естоъ коэффициенты разложения функции f((p) no системе функций siniinip + cosfj,nip -f — cos/jinip).

В этой главе для уравнения (0.18) в областях Dk и рассматриваются обобщенная задача Трикоми-Неймана и обобщенная смешанная задача, а также аналоги обобщенной смешанной задачи в усложненной области G.

В заключение главы 3 построено решение обобщенной задачи Трикоми-Неймана в эллиптических координатах. Здесь рассматривается уравнение

LW = Wxx + sgny • Wyy + XW = 0 (0.40) в области Q, ограниченной в полуплоскости у > 0 четвертью эллипса Г —

В К : ж2 + = 1 и отрезком оси ж = 0 и четвертью эллипса 7 = J5A : 2 2 c2cOS2d + c2sin2d = 1) а в полуплоскости у < 0 ограниченной гиперболой АС : 1, 0 < с < 1, где К(0, vT^?), 5(1,0), А(с • cosd, 0),£(0, с ■ if c2ch2d c2sh2d sind).

Обозначим Q+ = Q П {у > 0};Q- = Q Г) {у < 0}. Задача TN. Найти функцию W(x,y), удовлетворяющую условиям

W(x, у) 6 C(Q) n C\Q) n C\Q+ U (0.41)

LW{x,y) = 0,{x}y)eQ+UQ^ (0.42)

W \EA= W Uc7= 0, (0.43) dW dW кЕ=0^\вк=т. (0.44) dN ^ ' dN

Теорема 13. Если f(v) £ C2[0,7r/2], /(7г/2) = 0, 9 ф 9тп, то существует решение задачи TN : уу, ч у^f2m+ise2m+i{v, 0)Gey2m+i(d, e)Se2m+i(u16)

2m+i5e2m+i(^, e)Se2m+i{d, 9)Gey2m+1(u, в))

Gey2m+i(d, 0)£е'2т+1(агсЛ£, 0) - 5e2m+i(d, 0)<3е^т+1(агс/й, в) f2m+iSe2m+i(v, 9)Gey2m+i{d, 9)Se2m+i{u, 0)

00

9)Gey2m+i(d, 9)Se2m+] m=0 0)Se'2m+1(arc/ii, 0) - £e2m+i(d, 9)Gey'2mJrl(arch\, 0) fl)£e2m+iK 9)Gey2m+i(u, в)) (ж 2/) e Q

Gq/2m+i(d, 0)Se'2m+1(arc^, 0) - Se2m+1(d, 0)Gey'2m+l{archlc, 0)'

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Камилю Басировичу Сабитову за постановку задач, за идеи доказательств, за руководство и помощь при выполнении этой работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шустрова, Наталья Вячеславовна, 2006 год

1. Бабенко, К.И. К теории уравнений смешанного типа: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. - М., 1952. - 195 с.

2. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье./ Бейтмен, Г., Эрдейи, А.// М.: Наука, 1967. 300 с.

3. Березанский, Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965. - 296 с.

4. Берс, JL Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М.: ИЛ, 1961. - 208 с.

5. Бицадзе, А.В. О некоторых задачах смешанного типа // ДАН СССР -1950. Т. 70, № 4. - С. 561 - 565.

6. Бицадзе, А.В. О единственности решения общей граничной задачи для уравнения смешанного типа // Сообщ. АН ГрузССР. 1950. - Т. XI, № 4.

7. Бицадзе, А.В. К общей задаче смешанного типа // ДАН СССР. 1951. - Т. 78, № 4. - С. 621 - 624.

8. Бицадзе, А.В. К проблеме уравнений смешанного типа // Тр. Матем. ин-та АН СССР 1953. - Т.61.

9. Бицадзе, А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959.

10. Бицадзе, А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. 448 С.

11. Бурский, В. Собственные значения волнового оператора в пространстве С2 над эллипсом с однородными данными Дирихле. / Бурский В., Журба Л.// Донецк: Издательство ДГУ, - 1989. - 18 с.

12. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций. I. М.: ИЛ, 1949. - 799с.

13. Векуа, В.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. -512с.

14. Кальменов, Т.Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13, № 8. -С. 1718 - 1725.

15. Кальменов, Т.Ш. О спектре задачи Геллерстедта // Теоретические и прикладные задачи математики и механики. Институт матем. и мех. АН Казах.ССР. 1977. - С. 167 - 169.

16. Каратопраклиев, Г. Об одном обобщении задачи Трикоми // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 158, № 2. - С. 271 - 274.

17. Мамедов, Я.Н. О некоторых задачах на собственные значения для уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 1. - С. 163 - 168.

18. Мамедов, Я.Н. К задаче на собственные значения для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, № 1. - С. 95 -103.

19. Моисеев, Е.И. О базисности одной системы синусов // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 1. - С. 177 - 179.

20. Моисеев, Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 1. - С. 93 - 103.

21. Моисеев, Е.И. Применение метода разделения переменных для решения уравнения смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1990.- Т. 26, № 7. С. 1160 - 1172.

22. Моисеев, Е.И. О представлении решения задачи Трикоми в виде биортогонального ряда // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27Д5 7. -С. 1229 - 1237.

23. Моисеев, Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 1. - С. 110 - 121.

24. Никифоров, А.Ф. Основы теории специальных функций. / Никифоров А.Ф., Уваров В.Б.// М.: Наука. 1974. - 304 с.

25. Пономарев, С.М. К задаче на собственные значения // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 233, № 1. - С. 39 - 40.

26. Пономарев, С.М. К задаче на собственные значения // Докл. АН СССР. 1977. - Т. 235, № 5. - С. 1020 - 1021.

27. Прудников, А.П., Брычков, Ю.А., Маричев, О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции.) М.: Наука, 1983. - 752 с.

28. Пулькин, С.П. Задача Трикоми для обобщенного уравнения Лаврентьева- Бицадзе. // Докл. АН СССР. 1958. - Т. 118, № 1. С. 38 - 41.

29. Сабитов, К.Б. О спектре одной газодинамической задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 316, № 1. -С.40 - 44.

30. Сабитов, К.Б. Построение в явном виде решений задач Дарбу для телеграфного уравнения и их применения при обращении интегральных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26, № 6. - С. 1023 -1032.

31. Сабитов, К.Б. О единственности решений обобщенной задачи Трикоми, возникшей в теории сопла Лаваля / Сабитов, К.В., Капустин, Н.Ю.// Докл. АН СССР. 1991. - Т. 321, № 6. - С. 1151 - 1154.

32. Сабитов, К.Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа./Сабитов, К.Б., Капустин, Н.Ю. // Дифференц. уравнения. 1991. - Т. 27, № 1. - С. 60 - 68.

33. Сабитов, К.Б. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применение. / Сабитов, К.Б., Карамова, А.А. // Известия РАН: Серия математическая. 2001. - №4. - С. 133 - 150.

34. Сабитов, К.Б. Об одной газодинамической задаче для уравнений смешанного типа./ Сабитов, К.В., Гималтдинова, А.А. // Дифференц. уравнения, 2001. - Т. 38, № 1. - С. 111 - 116.

35. Сабитов, К.Б. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения./ Сабитов, К.В., Кучкарова, А.Н. // Сибирский математический журнал. 2001. - Т. 42, № 5. - С. 122 - 137.

36. Сабитов, К.Б. Спектральные свойства решения задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применение. /Сабитов, К.В., Хасанова, C.JI. // Известия вузов. Математика. 2003, № 6. - С. 64 - 76.

37. Сабитов, К.Б. Построение собственных функций задачи Трикоми-Неймана для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением и их применение/ Сабитов, К.В., Хасанова, C.JI. // Математические заметки 2003. - Т.74. - вып. 1. - С. 83 - 94.

38. Смирнов, М.М. Смешанная краевая задача для уравнения утихх + иуу = 0 // Сибирск. матем. журн. 1963. - Т. IV, № 5. - С. 1150 - 1161.

39. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. - 292 с.

40. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высшая школа, 1985. - 304 с.

41. Солдатов, А.П. Об одной задаче теории функций // Дифференц. уравнения. 1973. - Т. 9, № 2. - С. 325 - 332.

42. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, математическими таблицами // Под ред. Абрамовица, А., Стиган, И. М.: Наука, 1979. - С. 832.

43. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М. - Л.: Гостехиздат, 1947. - 192 с.

44. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: ИЛ, 1957. - 443 с.

45. Уиттекер, Э. Т., Ватсон, Дж. Н. Курс современного анализа., Ч. И. Трансцендентные функции. М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.

46. Франкль, Ф. И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1945. - Т. 9, № 2.- С. 121 142.

47. Шустрова (Сомова), Н.В. О задаче Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром // Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции. Тезисы докладов Международной научн. конференции. Самара. - 1997. - С.68.

48. Шустрова (Сомова), Н.В. О задаче Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром // Алгебра и анализ. Материалы конференции, посвященной 100-летию Гагаева. Казань. -1997.- С. 205.

49. Шустрова (Сомова), Н.В. Задача Моравец для одного уравнения смешанного типа // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции 16-18 сентября 2004г. Уфа: Гилем, 2004.-Т.1.-С. 180-185.

50. Шустрова (Сомова), Н.В. Обобщенная задача Трикоми // Современные методы теории краевых задач. Материалы Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения XVI." 3 мая - 9 мая 2005 г. - Воронеж. - С. 180.

51. Шустрова (Сомова), Н.В. Обобщенная задача Моравец для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с параметром // Сибирские электронные математические известия. 2006. - Т.З. -С.106-114.

52. Шустрова (Сомова), Н.В. Смешанная задача с отходом от характеристики для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с комплексным параметром // Известия вузов. Математика. 2006. - №10. - С. 76-81.

53. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de tipe mixte: Thesis pour le doctorat. -Uppsala, 1935. 92 p.

54. Gellerstedt S. Quelques problemes mixtes pour l'equation ymzxx + zyy = 0 // Arkiv Mat., Astr. och Fysik. 1938. - В 26A, № 3. - P.l - 32.

55. Morawetz C.S. A uniqueness theorem for the Frankl problem // Communs pure and Appl. Math. 1954. - V. 7, № 4. - P. 697 - 703.

56. Morawetz C.S. Note on maximum principle and a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation // Proc.Roy.Soc. 1956. - V. 236, № 1024, - P. 141 - 144.

57. Morawetz C.S. Uniqueness for the analogue of the Neumann problem for mixed equation // Michigan Math. J. 1957. - V. 4, № 1. - P. 5 - 14.

58. Protter M. H. Uniqueness theorems for the Tricomi problems //J. Rational Mech. and Analysis. Part I. 1953. - V. 2, № 1. - P. 107 - 114.

59. Protter M. H. Uniqueness theorems for the Tricomi problems //J. Rational Mech. and Analysis. Part II. 1955. - V. 4, № 5. - P. 721-733.