Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Рахманова, Луиза Хасаняновна

• Рахманова, Луиза Хасаняновна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рахманова, Луиза Хасаняновна

Введение

Глава 1. Нелокальные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

§1.1. Задача с условиями периодичности

§1.2. Нелокальная задача.

§1.3. Сопряженная нелокальная задача.

Глава 2. Начально-граничная и нелокальные задачи для вырождающегося уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

§2.1. Начально-граничная задача

§2.2. Задача с условиями периодичности

§2.3. Нелокальная задача.

§2.4. Сопряженная нелокальная задача.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области»

Одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория краевых задач для уравнений смешанного типа. Такой интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями в околозвуковой газовой динамике, в магнито и гидродинамических течениях с переходом через скорость звука, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и других областях.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [87] и С. Геллерстедта [99], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, теперь известных как "задача Трикоми "и "задача Геллерстедта".

В 40-х годах Ф.И. Франкль [89] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике.

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко, S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter, C.S. Morawetz, Л. Берс, В.Ф. Волкодавов, B.H. Врагов, Т.Д. Джураев, В.А. Елеев, В.И. Жегалов, А.Н. Зарубин, И.Л. Кароль, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, О.А. Ладыженская, М.Е. Лернер, Е.И. Моисеев, A.M. Нахушев, Н.Б. Плещинский, С.П. Пулькин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, Р.С. Хайруллин, Хе Кан Чер,

JI.И. Чибрикова и др. В их работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Существенное место в теории дифференциальных уравнений в частных производных занимают нелокальные краевые задачи ввиду их теоретической и прикладной значимости. Для различных классов уравнений нелокальные задачи изучались Ф.И. Франклем [90], А.В. Бицадзе [6], В.И. Жегаловым [17]-[19], А.В. Бицадзе и А.А. Самарским [7], A.M. Нахушевым [43] - [45], Н.И. Ионкиным [25, 26], A.JI. Скубачевским [80], В.А. Ильиным и Е.И. Моисеевым [23, 24], М.Е. Лернером и О.А. Репиным [37] - [39], Л.С. Пулькиной [50], А.И. Кожановым [30], К.Б. Сабитовым и О.Г. Сидоренко [70, 64], Ю.К. Сабитовой [71, 72] и другими авторами.

В трансзвуковой газовой динамике Ф.И. Франкль [89] для уравнения Чаплыгина

К(у)ихх + иуу = 0, где К{0) = 0, К'(у) > 0, впервые поставил краевую задачу, в которой носителем нелокального краевого условия ("скачка уплотнения") гг(0, у) — w(0, —у) = f{y)i 0 < < а, является часть границы х = 0 области, состоящей из частей границ подобластей эллиптичности и гиперболичности уравнения. При этом на ней задается производная по нормали искомой функции и(х,у).

Впервые на необходимость рассмотрения задач сопряжения, когда на одной части области задано параболическое уравнение, на другой - гиперболическое, было указано в 1959 г. И.М. Гельфандом [12]. Он рассматривает пример, связанный с движением газа в канале, окруженном пористой средой, при этом в канале движение газа описывается волновым уравнением, вне его - уравнением диффузии. Затем Г.М. Стручина [85], Я.С. Уфлянд [88], Л.А. Золина

16] показали другие применения этих задач. Так, например, Я.С. Уфлянд задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда на участке полубесконечной линии пренебрегается потерями, а остальная часть линии рассматривается как кабель без утечки, свел к решению системы уравнений + 0, C^ + f = о, 0<х<1,

R12 + ^ = 0, + §Ь = 0, 1<х<оо, при начальных и граничных условиях:

0.1)

Ч-о = °. = о, и21(=0 = 0; а также при требованиях непрерывности напряжения и тока на прямой х = I :

Щх=1 = ЩХ=Р h\x=l = h\x=l.

Здесь L, С\- самоиндукция и емкость (на единицу длины) первого участка линии; R, С2 ~ сопротивление и емкость второго участка. Если из системы уравнений (0.1) исключить токи, то получим задачу для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа

I а>лиХх ~ ит — 0, 0 < X < I,

Lu = < УУ ' (0.2) i <^2ихх — uy = 0, i < x < оо, с соответствующими граничными условиями: г^(ж,0)=0, иу(х, 0) = 0, 0 < х < I, и(х, 0) = 0, I < х < оо,' и(0, у) = Е{у), lim и(х, у) = 0, я-Я-оо и условиями сопряжения: у

R Г и(1 - 0,у) = и(1 -4-0,2/), их(1 + 0, у) = — / их{1 - 0, r})dr7,

Эта задача для более общего уравнения, чем уравнения (0.2), рассмотрена в

14].

О.А. Ладыженская и JI. Ступялис [36] в многомерном пространстве рассмотрели начально-граничные краевые задачи на сопряжения для параболо-гиперболичсских уравнений, которые возникают при изучении задачи о движении проводящей жидкости в электромагнитном поле.

JI.A. Золина [16] исследовала аналог задачи Трикоми для уравнения

I ихт — иу = 0,у>0, Lu = < (0.3)

У ихх -иуу = 0, у < 0, в области, ограниченной при у < 0 характеристиками АС(х + у = 0) и ВС(х — у = 1) уравнения (0.3), а при у > 0 отрезками прямых AAq(x = 0), BBq(x — 1) и АоВа(у = h > 0), с граничными условиями и условиями склеивания: и

ЛА0 U <Pi{y), и „„ = <Р2{у), 0 <у <h,

BBq ф{х), 0 < ж < 1/2,

АС и{х, +0) = Л(х)и(х, —0), иу(х, +0) = fj,(x)uy(x, —0), 0 < х < 1.

После этих статей появилось множество работ, где изучаются задача Трикоми и ее обобщения, задачи со смещениями, задача типа задачи Бицадзе-Самарского и другие нелокальные задачи для смешанных параболо-гиперболи-ческих уравнений второго порядка. Это работы Х.Г. Бжихатлова и A.M. На-хушсва [4], Х.Г. Бжихатлова [5], В.Н. Врагова [10], В.А. Елеева [15], Н.Ю. Капустина [28], A.M. Нахушева [45], М.С. Салахитдинова, А. Бердышева, А.К. Уринова [75, 76], К.Б. Сабитова [62] и других.

Достаточно полная библиография по теории краевых задач для смешанных параболо-гиперболических уравнений содержится в монографиях [13, 14].

К.Б. Сабитовым [62] для уравнений

L\(u) = ихх + Ki(y)u,y - К2(у)иуу - Хи = О, (0.4)

L2(u) = Ki(y)ux + К'2 {jj) и у - иуу - Хи = 0, (0.5) где Кг(у) = (1 + sgny)/2, К2(у) = (1 - sgny)/2, X = ХгЩу) - Х2К2(у), Ai, А2 - числовые параметры, рассмотрен аналог известной задачи Трикоми и изучен характер влияния гиперболической части уравнений (0.4) и (0.5) на корректность постановки задачи Трикоми. Показано, что единственность решения задачи Т в классе регулярных решений уравнения (0.4) существенным образом зависит от параметров Ai и А2. Если даже Ai > 0, что в области параболичности гарантирует выполнение принципа экстремума, то найдется такое А2, при которых однородная задача Трикоми имеет ненулевое неотрицательное решение. А задача Трикоми для уравнения (0.5) вообще не имеет ни вещественного, ни комплексного спектра.

В работах Н.И. Ионкина [25, 26] в области Dt = {(x,t) | 0 < ж < 1, 0 <t< Т} для уравнения теплопроводности

Щ ~ ихх = f(x,t) изучена нелокальная задача с условиями: 1 и(0, t) = 0, J и(х, t)dx = 0, 0 < t < Т, (0.6) о и(х, 0) = <р(х), 0 < х < 1.

Здесь показано, что нелокальное условие из (0.6) эквивалентно нелокальному условию ux(0,t) = ux(l,t) 0 < t < Т. В этих работах доказаны теоремы существования и единственности классического решения этой задачи. Идея метода решения задачи основывается на возможности разложения функции <р(х), задающей начальное условие, в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций несамосопряженного оператора исходной задачи [22].

М.Е. Лернер, О.А. Репин [38] в полуполосе G = {(ж,т/)|0 < х < 1,у > 0} изучили задачу: найти функцию и(х, у) со свойствами: и{х, у) е C(G) f)C1{GU{x = 0})nC2(G); утихх + Uyy = 0, (ж, у) eG, т> -1; и(х, у) 0 при у —> +оо равномерно пож£ [0,1J; и(0,у) -и(1,у) = ip\(y), их(0,у) = <р2(у), у> 0, и(х, 0) = т(х), 0 < х < 1, где т(х), (р\(у), (f-2{y) — заданные достаточно гладкие функции, причем т(х) ортогональна к системе функций 1, cos(2n + 1)7тх, п = 0,1, 2,. .

В другой работе [39] ими исследована аналогичная задача в полуполосе G для уравнения

Uxx + Uyy + (2р/у)иу -b2u = 0, b > 0, p £ R, при условии (fi(y) = 0 и (р2{у) = 0. В этих работах на основании принципов экстремума доказана единственность, методом разделения переменных и интегральных преобразований установлена разрешимость рассматриваемой задачи.

В работе М.Е. Лернера, О.А. Репина [37] для уравнения смешанного типа sgn у • \у\шихх + иуу = 0, m > 0, в области, где эллиптическая часть является полуполосой, гиперболическая часть представляет собой характеристический треугольник, рассмотрена краевая задача с двумя нелокальными краевыми условиями и(0,у) — и(1,у) =

Pi(y), ux(0,y) — ux(l,y) = <f2(у), У > 0. Доказательство единственности решения поставленной задачи проводится с помощью принципа экстремума, существование - методами интегральных преобразований и уравнений.

Е.И. Моисеев в [40, 41] исследовал в полуполосе нелокальную краевую задачу для вырождающегося эллиптического уравнения: утихх + иуу = 0, тп > -2, 0 < х < 1, у > 0, и(0,у) = и(1,у), их(0,у) = 0, у > 0, и(х, 0) = /(ж), 0 < ж < 1, в классе функций и £ C(G) f]C2(G), в предположении, что и(х,у) ограничена или стремится к нулю на бесконечности. Методом спектрального анализа доказана теорема единственности и существования решения поставленной задачи.

В работах Сабитова К.Б. и О.Г. Сидоренко [67, 64] исследована нелокальная задача для вырождающегося уравнения эллиптического типа

Lu = tmuxx + utt - ЬЧти = 0 , где т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D+ = {(ж, t)\ 0 < х < 1,0 < t < /3}, f3 - заданное положительное число, и в полуполосе (/? = +оо), методом спектрального анализа со следующими условиями: и(х, 0) = <р(х), и(х, (3) = ф(х), 0 < х < 1;

0,4) = u(M), ux{0,t) = ux(l,t), 0 <t< 0. Аналогично для вырождающегося уравнения гиперболического типа

Lu ЕЕ (~t)muxx - utt - b\-t)mu = 0 , где т = const > 0, Ъ — const > 0, в области D- = 0 < х < 1, —а < t < 0}, а - заданное положительное число, рассмотрена нелокальная задача с аналогичными граничными условиями.

Нахушев A.M. [44] установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области.

Сабитовым К.Б. [67, 68] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа sgn£ • \t\muxx + utt - b2sgn t • \t\mu = 0 , m > 0, b > 0, в прямоугольной области и в полуполосе. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и существование решения задачи Дирихле в виде суммы ряда Фурье.

В работе Сидоренко О. Г. [79] для вырождающегося уравнения смешанного типа

Lu = K{y)vxx + иуу - b2K(y)u = 0, (0.7) где К (у) = sgny • \у |то, т — const > 0, Ъ = const > 0, в прямоугольной области D = {(ж,у)| 0 < х < 1, —а < у < /3}, а, (3 > 0, следуя [67] доказана однозначная разрешимость нелокальной задачи: найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и(х,у) <Е C(D) П C\D U {х = 0} U {х = 1}) П C2(D+ U jD); (0.8)

Lu{x, у) = 0, (ж, у) € D+ U £); (0.9) у) = их( 1, у), и( 0, у) = и{ 1, у), -а<у< /3] и(х:(3) = <р(х), 0 < х < 1; иу(х, —а) — ф(х), 0 < х < 1, где tp(x) и ф(х) — заданные достаточно гладкие функции.

Сабитовой Ю.К. [72] для уравнения смешанного типа (0.7) в прямоугольной области D исследована следующая нелокальная начально-граничная задача: найти в области D функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям (0.8), (0.9) и и(0,у) = и(1,у), их(0,у) = 0, -а<у</3, и(х, /3) = ср(х), и(х: —а) = ф(х), 0 < х < 1, где ср(х) и ф(х) - заданные достаточно гладкие функции. Спектральным методом доказаны единственность и существование решения задачи.

Целью работы является доказательство единственности и существования решений начально-граничной и нелокальных задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа

I ut - ихх + Ь2и = 0, t > О,

Lu = I (0.10) (-t)muxx - utt - h2(-t)mu = 0, t < 0, в прямоугольной области D = {(ж,£)| 0 < х < 1, —а < t < (3}, где b > 0, m>0,o;>0,/3>0 - заданные действительные числа.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из двух глав.

В главе 1 исследуются нелокальные начально-граничные задачи для уравнения смешанного невырождающегося параболо-гиперболического типа. Методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования решений задач.

Рассмотрим уравнение параболо-гиперболического типа (0.10) при т = 0:

I ut — иТХ + Ъ2и = 0, t > 0, Lu= I (0.11) utt ~ ихх + Ъ2и = 0, t < 0, в прямоугольной области D = {(ж,£)| 0 < х < 1, —а < t < /3}, а,(3 > 0. Для уравнения (0.11) в этой области поставлены и решены следующие нелокальные задачи.

Задача 1.1. Найти в области D функцию и(х, t), удовлетворяющую условиям: u(x,t) е С1 (D) n C2(D) n C2xj(D+)- (0.12)

Lu(x,t) = 0, (x,t) £ D- U D+] (0.13) и(х,-а) =ф(х), 0 < ж < 1; (0.14) u(0,t) = u(l,t)} ur{0,t) = ux(l,t), -a<t</3, (0.15) где ф{х) - заданная достаточно гладкая функция, ф(0) = '0(1), ^'(О) = £> - D П {t < 0}, D+ = D П О >

Задача 1.2. Найти в области D функцию и{х, t), удовлетворяющую условиям (0.12) - (0.14) и u(0,t) = и( 1,t), их(0,t) = 0, -a<t<P, (0.16) где ф(х) - заданная достаточно гладкая функция, ф(0) = ф(1), ф'(0) = 0.

Задача 1.3. Найти в области D функцию и(х71), удовлетворяющую условиям (0.12) - (0.14) и ux(0,t) = ux(l,t), u(l,t) = 0, —a <t<P, (0.17) где ф{х) - заданная достаточно гладкая функция, ф'(0) = ф'{ 1), ф( 1) = 0.

Рассмотрим задачу 1.1. Методом разделения переменных построено множество частных решений уравнения (0.11), удовлетворяющих условиям периодичности (0.15), которые имеют вид: uk(x,t) = Xk(x)Tk(t), где

Xk(x) : 1, \/2cos(27r кх), у/2 sm(2irkx), к = 0,1,2,., (0.18) сье~х& t > 0

Ш={ ' ' (0.19) ак cos \kt + Ьк sin Лkt, t < 0, где ак, Ьк и ск - произвольные постоянные, = y/b2 + = у/Ь2 + (2ж к)2.

Система функции (0.18) ортонормирована, полна и образует базис в пространстве Ь2[0,1]. Используя эти частные решения уравнения (0.11), построено решение задачи (0.12) - (0.15) в виде суммы ряда Фурье

00 +оо и(ж, t) = uo(t) + л/2 uk(t) cos 2-ккх + \pl Vk(t) sin 2-ккх, k=1 k=1 где функции Uk(t), Vk{t) и wo(^) имеют вид: t > О,

- (cos Xkt — \k sin Afct), £ < 0; < da(k)

Vfc(t) = < da{k) Фк t> 0, da{k) cos Afct — Afc sinAjfc^), t < 0; oW = < do(a)

Фо е-ьн t > 0, cos bt — 6sinbi), t < 0; l ж, фк = y/2 J ф(х) cos {2nkx)dx, *> = /*(*)«* da(k) — cos Ak& + Ak sin A^a ^ О, к — 0,1, 2,. .

0.20)

0.21)

0.22)

0.23)

0.24)

Если da(p) = 0 при некоторых а и к = р Е No (6 ф 0), тогда однородная задача (0.12) - (0.15) (где ф(х) = 0) имеет нетривиальное решение е b2t(Ci cos 2irpx + С2 sin 2ттpx), t > 0, up(x,t) = { (0.25) cos Apt — Ap sin Apt) (C\ cos 2-крх + C2 sin 2-крх), t < 0, где C\, C2 - произвольные постоянные.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.1. Если существует решение задачи (0.12) - (0.15), то оно единственно только тогда, когда выполнено условие (0.24) при всех к Е К.1

JK = N0 при Ь ф 0 и К = N при Ь — 0.

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций (0.18) в пространстве L2IP, 1].

Лемма 0.1. Если а является рациональным числом, то при больших к справедлива оценка da(k)\>C0>0. (0.26)

Если da(k) = 0 при некоторых а и k = ni,., nm, то задача (0.12) - (0.15) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности 1 1 J ф(х) cos (2irkx)dx = 0, J ф(х) sin (27rkx)dx = 0, к = ni,., nm, (0.27) о 0 и решение в этом случае определяется рядом

71 — 1 772 — 1 +00 \ и(х, t) = uQ{t) + V2 I Y^ + + • - • + I Uk(t) sin 2тгкх+ k=1 A'=7ii + 1 k=nm+l/ 7l\ — 1 772 —1 +OO \

V2IJ2+ + .+ )^Wcos27T kx + J2up(x,t), (0.28)

V k—l k=ni+l к=пт+1/ p где в последней суммер принимает значения ni,., пт, функции ир(х, t) определяются по формуле (0.25).

Теорема 0.2. Пусть выполнены условия (0.24), (0.26) и ф{х) 6 С3[0,1] и на [0,1] имеет кусочно-непрерывную производную четвертого порядка, z/;(0(0) = г = 0, 3. Тогда задача (0.12) - (0.15) однозначно разрешима и это решение определяется рядом (0.20). Если da{k) = 0 при некоторых а и к = т,.,пт и выполнено условие (0.26), то задача (0.12) - (0.15) разрешима тогда, когда выполнены условия (0.27), и решение определяется рядом (0.28).

При решении задач 1.2 и 1.3 применяются системы корневых функций взаимно-сопряженных одномерных задач для уравнения

Х"(х) + \\Х{х) = 0, 0 < ж < 1, где А*; = 27Гк, с соответствующими граничными условиями

Х(0) = Х(1), Х'(0) = 0 и Х'(0) = Х'(1), Х(1) = 0 cos 2жкх}™=ъ 1, {х sin 2тткх}^=1] {4(1 — х) cos2тткх}к)=ъ 2(1 — ж), {4sm2irkx}£=1,

0.29) (0.30) которые построены в работах [22, 25, 40] . Они являются биортонормирован-ными, полны и образуют базис в пространстве Ь2[0,1].

Используя системы (0.29) и (0.30) решение задачи 1.2 построено в виде суммы биортогонального ряда оо оо u(x,t) = uo(t) + ^2uk(t) соъ2-ккх + ^^ г^(£)ж 8т27гА;ж, (0.31)

А-=1 к—1 где uk(t) = <

4:7гкфк sin Х^а

Akda(k)

4irkipk sin Хка

Xkda(k) Ажкфк sin Akt Xkda(k)

- wk(-а)+фк + 4тткфкг

- wk(-a) + фк + 1

J da(k)' cos Akt — Xk sin Akt) da(k) t > 0, t < 0, (0.32) l l фо = j ф(x)(l — x)dx, фк = 4 J ф{х) sin (2,7rkx)dx, (0.33) о о i фк = 4 J ф(х)( 1 — x) cos(27rkx)dx: wk(t) =

2 пкфк

Akda(k) sin Akt

A k t( cos A kt + А к sin A kt) функции wo(t), vk(t) определяются по формулам (0.23), (0.22)0, где фо и фк находятся из равенств (0.33).

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.3. Если существует решение нелокальной задачи (0.12) - (0.14), и (0.16), то оно единственно только тогда, когда выполнено условие (0.24) при всех к £ К.

Теорема 0.4. Пусть выполнены условия (0.24), (0.26) и ф{х) G С4[0,1], на [0,1] имеет кусочно-непрерывную производную пятого порядка и ф^г\0) = ^(1), { = о,2,4, 0) = 0 ,j = 1,3. Тогда задача (0.12) - (0.14), и (0.16) однозначно разрешима, и это решение определяется в виде суммы ряда (0.31).

Аналогично в случае нелокальной задачи 1.3 установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы биортогонального ряда.

Глава 2 посвящена изучению начально-граничной и нелокальных задач для вырождающегося уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области. Также методом спектрального анализа установлены критерии единственности и доказаны теоремы существования решения рассмотренных задач.

Для уравнения (0.10) поставлены и исследованы следующие начально-граничная и нелокальные задачи.

Задача 2.1. Найти в области D функцию и(х, t), удовлетворяющую условиям,: и(х, t) Е C\D) П С2(Я) П C$(D+); (0.34)

Lu(x,t) = 0, (ж, t) £ D- U D+] (0.35) и(х, -а) = ф(х), 0 < ж < 1; (0.36) t) = и( 1, t) = 0, —a <t<P, (0.37) где ф(х) — заданная достаточно гладкая функция, ф(0) = ф{ 1) = 0, D- = D П {t < 0}, D+ = D П {t > 0}.

Задача 2.2. Найти в области D функцию и(х, t), удовлетворяющую условиям (0.34) - (0.36) и u(0,t) = u(l,t), ux(0,t) = ux(l,t), —a. <t<{3, (0.38) где ф(х) — заданная достаточно гладкая функция, ^(0) = "0(1)? — Ф'(1)

Задача 2.3. Найти в области D функцию и(х, £), удовлетворяющую условиям (0.34) - (0.36) и u(0,t) = и{ 1,t), их(0,t) = 0, -a<t</3, (0.39) где ф(х) - заданная достаточно гладкая функция, ф(0) = ф( 1), ^'(0) = 0.

Задача 2.4. Найти в области D функцию и{х, £), удовлетворяющую условиям (0.34) - (0.36) и их(0, t) = их( 1, t), и( 1, t) = 0, -a<t<(3, (0.40) где ф(х) - заданная достаточно гладкая функция, ф'(0) = ф'{1): Ф{1) = 0.

Рассмотрим задачу 2.1. Методом разделения переменных построено множество частных решений уравнения (0.10), удовлетворяющих нулевым граничным условиям (0.37). Решение задачи 2.1 построено в виде суммы ряда оо и(х, t) = Uk(t) sm-irkx, (0-41) k=l где функции Uk(t) имеют вид: e~A'f, t > 0, .-A it

Mt) = {

Sa{k)\/a аыд(кщы-т+i^k)jh(Pk{-ty)\ v=t, t < o,

0.42) 7±(Ч = = -ir(-i) (i)"*, Г(.) - гаммафункция, Jv(z) - функции Бесселя первого рода, рь — -у/62 + (7Гk)2/q, q = (m+ 2)/2, ^ - коэффициенты разложения функций ^(я) по системе {sin^&rc)}^,

Ja(fc) = Xh±(k) Jx. (Pkofl) + 7i(k)J±(pkcfl) ^ 0, fc = 1, 2,. . (0.43)

2g 2 <7 2 <j 2

Если нарушено условие (0.43) при некоторых а и к = I G N, то однородная задача (0.34) - (2.37) (где ф{х) = 0) имеет нетривиальное решение

IeA^sin7rlx, t > 0,

Г -1 \t4(k)J±(Pl(-ty) + 7i(k)Jsin nix, t< 0.

2q 2q 2 q 2 q

0.44)

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.5. Если существует решение задачи (0.34) — (0.37), то оно единственно только тогда, когда выполнено условие (0.43) при всех k Е N.

При доказательстве единственности решения используется только полнота системы функций одномерной задачи Штурма-Лиувилля в пространстве

L2[ 0,1].

Лемма 0.2. Если выполнено одно из следующих условий: 1) aq = aq/q -любое натуральное число; 2) aq — п/т - любое дробное рациональное число, где п и т, 4q и га- взаимно-простые натуральные числа, то при больших к справедлива оценка

-ЧЛЩ > С > 0, А = 1/2 - 1/2q. (0.45)

Если 5а(к) = 0 при некоторых а и к = ni, 77.2, .,пт, то задача (0.34) — (0.37) разрешима только тогда, когда выполнены условия ортогональности 1 л/2 J ф(х) sin (7xkx)dx = 0, к = ni,., пт. (0.46) о и решение в этом случае определяется в виде суммы

711 — 1 712 — 1 +00 \ u(s,t)=l J2 +•••+ Y1 ) uk{t)shnrkx + ^2ui(x,t), (0.47) k=l fc=7li+l k=Tlm +1/ I где в последней сумме I принимает значения ni,ri2 - •. ,пт — произвольные постоянные, функции ui(x,t) определяются по формуле (0.44).

Теорема 0.6. Пусть выполнены условия (0.43), (0.45) и ф{х) Е С3[0,1], на сегменте [0,1] имеет кусочно-непрерывную производную четвертого порядка, ф(0) = ф( 1) = ^"(0) = ^"(1) = 0, тогда задача (0.34) - (0.37) однозначно разрешима и это решение определяется рядом (0.41). Если 5а(к) = О при некоторых а и к = щ, П2,., пт и выполнено условие (0.45), то задача (0.34) — (0.37) разрешима только тогда, когда выполнены условия (0.46) и решение определяется в виде суммы (0.47).

Аналогично исследована задача 2.2 с условиями периодичности. Установлен критерий единственности решения, которое построено в виде суммы ряда по собственным функциям одномерной задачи на собственны значения. Результаты сформулированы в виде следующих утверждений.

Теорема 0.7. Если существует решение задачи (0.34) - (0.36) и (0.38), то оно единственно только тогда, когда при всех к 6 К, выполнено условие:

8а(к) = \2к1±(к^фка«) + 7±(k)Jf(Pkai) ф 0, к = 0,1, 2,

2q lq zq Zq

0.48)

Решение задачи 2.2 построено в виде суммы ряда Фурье оо +оо u{x,t) = uo(t) + V2^2uk(t) cos2tткх + у/2j^vk(t) sin27r kx, (0.49) к—l fc=l где

Vh(t) = <

5a(k)y/a t > 0,

Фк uk(t) k 5a(k)^/a Фк

I 8a{k)y/a

Фк

Ah^(k)J^(Pk(-t)q) + ^(k)J-±.(pk(-ty)\ >/=f, t< 0,

0.50)

2<; 2 q

2q

1q

Xit t > 0, k 6а(к)л/а

1ч(кЩ(Рк(-гу) + 7-x(fc)Ji(PA;(-^)J >/=*, t < o,

0.51) функция u${t) определяется при Ь > 0 по формуле (0.52) при к = 0, а при 6 = 0: uo(t) = фо; фк - коэффициенты разложения функций ф{х) по системе {cos(27rkx)}^v фк - по системе {sin(27rA;a;)}^, фо - по системе {1}.

Теорема 0.8. Пусть выполнены условия (0.48), (0.45) иф(х) 6 С3[0,1], на сегменте [0,1] имеет кусочно - непрерывную производную четвертого порядка, ф®(0) = ф®( 1), г = 073, тогда задача (0.34) - (0.36) и (0.38) однозначно разрешима, и решение определяется рядом (0.49).

При исследовании задач 2.3 и 2.4 используется биортонормированная система (0.29) и (0.30). На их основе доказаны теоремы единственности и существования построенных решений.

Теорема 0.9. Если существует решение нелокальной задачи (0.34) -(0.35) и (0.39), то оно единственно только тогда, когда выполнено условие (0.48) при всех k еК.

Решение задачи 2.3 построено в виде суммы биорогонального ряда оо +оо и(х, t) = щ(£) + ^^ Щ-it) cos 2тгкх + ^^ Vk(t)x sin 2тгкх, (0.52) к=1 к=1 где Vk(t) определяется по формуле (0.50), a uo(t) по формуле (0.52) при к = 0,

Г + i>0, да{к)\/а ^ +Fk t < 0,

V 2 q 2 q J здесь gV^a(^) sm^ Ah ^

Jrlv X

7-i PAf, it/ . £([ / ~q фк - wk{-a) 4тг кфк =-ТТТл-+ Я2(1\ 7x(fc)Ji (pfcag),

- коэффициенты разложения функции ф{х) по системе {(1 — х) cos27rкх}, фк - коэффициенты разложения функции ф(х) по системе {siii27r&:c}, фо -коэффициенты разложения функции ф{х) по системе {2(1 — ж)}.

Теорема 0.10. Пусть выполнены условия (0.48), (0.45) и ф(х) Е С3[0,1], на сегменте [0,1] имеет кусочно - непрерывную производную четвертого порядка, 0) = г = 0,2, = 3 = М, тогда задача (0.34)

0.35) и (0.39) однозначно разрешима, и решение определяется рядом (0.52).

В случае задачи 2.4 получены аналогичные результаты, т.е. установлен критерий единственности решения. Само решение построено в виде суммы био-рогонального ряда. При выполнении условий (0.48), (0.45), ф(х) Е С3[0,1] и на сегменте имеет кусочно-непрерывную производную четвертого порядка, ^(0(1) = 0, г = 0,2, ф®(0) = ^(1), 3 = 1,3, доказывается равномерная сходимость ряда и возможность его почленного дифференцирования по ж и t дважды при t < 0 и по t один раз и дважды по х при t > 0.

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты.

1. Доказательство единственности и существования решения задачи с условиями периодичности для невырождающегося уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области. Установлен критерий единственности, а само решение построено в виде суммы тригонометрического ряда Фурье.

2. Доказательство единственности и существования решения нелокальных задач для невырождающегося уравнения смешанного параболо-гиперболичес-кого типа в прямоугольной области, решение которых построено в виде суммы биортогонального ряда. Установлен критерий единственности.

3. Доказательство единственности и существования решения начально-граничной задачи для вырождающегося уравнения смешанного параболо-гипер-болического типа в прямоугольной области. Установлен критерий единственности и решение построено в виде суммы ряда Фурье.

4. Доказательство единственности и существования решения нелокальных задач для вырождающегося уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области. Установлен критерий единственности. Решение построено в виде суммы биортогонального ряда.

Основные результаты опубликованы в работах [51] - [61], [66] и [69].

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научных семинарах кафедры математического анализа (научные руководители - профессора К.Б. Сабитов, Ф.Х. Мукминов, 2003 - 2008 гг.), кафедры дифференциальных уравнений (научный руководитель - проф. В.И. Же-галов, декабрь 2008 г.) Казанского гос. университета, всероссийских и международных конференциях: «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2005 г.), «Современные проблемы дифференциальных уравнений, теории операторов и космических технологий» (Казахстану. Алматы, 2006 г.), «Тихонов и современная математика» (г. Москва, 2006 г.), «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2007 г.), «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (г. Новосибирск, 2007 г.), «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (г. Стерлитамак, 2008 г.), «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (г. Эльбрус, 2008 г.), «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В.А. Садовничего (г. Москва, 2009 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рахманова, Луиза Хасаняновна, 2009 год

1. Бабенко, К.1.. О задаче Трикоми / К.И. Бабенко // Докл. АН СССР. -1986. Т. 291. — № 1. - С. 14 - 19.

2. Бейтмеи, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. -М.: Наука, 1966. Т. 2. 296 с.

3. Берс, Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / JI. Берс. —М.: ИЛ, 1961. — 208 с.

4. Бжихатлов, Х.Г. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / Х.Г. Бжихатлов, A.M. Нахушев // Докл. АН СССР. 1968. - Т. 183. - № 2. - С. 261 - 264.

5. Бжихатлов, Х.Г. Об одной краевой задаче для смешанных параболо-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения типа / Х.Г. Бжихатлов // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. - № 1. -С. 10 - 16.

6. Бицадзе, А.В. Об одной задаче Франкля / А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1956. - Т. 109. - № 6.

7. Бицадзе, А.В. О некоторых простейших обобщениях эллиптических задач / А.В. Бицадзе, А.А. Самарский // Докл. АН СССР. 1969. - Т. 185. -№ 4. - С. 739 - 740.

8. Бицадзе, А.В. К теории нелокальных краевых задач / А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1981. - Т. 277. - № 1. - С. 17 - 19.

9. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций. I / Г.Н. Ватсон. М.: ИЛ, 1949. - 421 с.

10. Врагов, В.Н. Смешанная задача для одного класса параболо-гиперболических уравнений второго порядка / В.Н. Врагов // Дифферент уравнения. 1976. - Т. 12. - № 1. - С. 24 - 31.

11. Волкодавов, В.Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: дисс. д. ф.-м. п.: 01.01.02 / В.Ф. Волкодавов Казань: КГУ, 1969.

12. Гелъфанд, И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений / И.М. Гельфанд // УМН. 1959. - Т. XIV. - Вып. 3 (87). - С. 3 -19.

13. Джураее, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов / Т.Д. Джураев —Ташкент: Фан, 1986. — 240 с.

14. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа / Т.Д. Джураев,А. Сопуев, М. Мамажанов. -Ташкент: Фан, 1986. — 220 с.

15. Елеев, В.А. О некоторых краевых задачах для одного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / В.А. Елеев // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. XIV. - № 1. - С. 22 - 29.

16. Золина, Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа / Л.А. Золина// ЖВМ и МФ. 1966. - Т. 6. - № 6. - С. 991 - 1001.

17. Жегалов, В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии / В.И. Жегалов // Уч. записки Казанск. ун-та — 1962. — Т. 122. кн. 3,- С. 3 - 16.

18. Жегалов, В.И. Задача Франкля со смещением / В.И. Жегалов // Изв. Вузов. Математика. 1979. - № 9. - С. И - 20.

19. Жегалов, В.И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа / В.И. Жегалов // Неклассич. уравнения матем. физики. — Новосибирск, ИМ СО АН СССР. 1985. - С. 168 - 172.

20. Жибер, А.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувил-левского типа / А.В. Жибер, В.В. Соколов // УМН. 2001. - Т. 56. -Вып. 1. - С. 63 - 106.

21. Ильин, В.А. Единственность и принадлежность классического решения смешанной задачи для самосопряженного гиперболического уравнения / В.А. Ильин // Матем. заметки. 1975. - Т. 17. - № 1. - С. 93 -103.

22. Ильин, В.А. О существовании приведенной системы собственных и присоединенных функций у несамосопряжепного обыкновенного дифференциального оператора / В.А. Ильин // Труды Математ. института им. В.А. Стеклова. 1976. - Т. 142. - С. 148 - 155.

23. Ильин, В.А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 291. - К0- 3. - С. 534 - 539.

24. Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В.А. Ильин, Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - № 8. - С. 1422 - 1431.

25. Ионкин, Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / Н.И. Ионкин // Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294 - 304.

26. Ионкин, Н.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточечными краевыми условиями / Н.И. Ионкин, Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15. - № 7. - С. 1284 - 1295.

27. Капустин, Н.Ю. К теории уравнений смешанного типа / Н.Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 1982. - Т. 18. - № 6. - С. 1078 - 1080.

28. Капустин, Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболпческого уравнения с вырождающейся частью /Н.Ю. Капустин // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23. - № 1. - С. 72 - 78.

29. Король, И.Л. К теории краевых задач для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа / И.Л. Кароль // Матем. сборник -1955. Т. 38 (80). - № 5. - С. 261 - 283.

30. Кожанов, А.И. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А.И. Кожанов // Дифференц. уравнения. 1989. - Т. 25. - № 25. - С. 2143 - 2153.

31. Кожанов, А.И. Краевые задачи с интегральным граничным условием для многомерных гиперболических уравнений / А.И. Кожанов, Л.С. Пульки-на // Докл. РАН. 2005. - Т. 404. № 5. - С. 589 - 592.

32. Крикунов, Ю.М. К задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадце / Ю.М. Крикунов // Изв. вузов. Математика. 1974. - ДО 2(141). - С. 76 -81.

33. Крикунов, Ю.М. Видоизмененная задача Трикоми для уравнения ихх + уиуу + (1/2 — п)иу = 0 / Ю.М. Крикунов // Изв. вузов. Математика. -1979. -ДО 9.(208) С. 21 - 28.

34. Кузьмин, А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения в газодинамике / А.Г. Кузьмин. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. - 280 с.

35. Кузьмин, А.Г. Модифицированная задача Франкля-Моравец о трансзвуковом обтекании аэродинамического профиля / А.Г. Кузьмин // Дифферент уравнения. 2004. - Т. 40. -ДО 10 - С. 1379 - 1384.

36. Ладыженская, О.А. Об уравнениях смешанного типа / О.А. Ладыженская, Л. Ступялис// Вестник ЛГУ. Серия мат., мех. и астр. 1965. - Т. 19. - ДО 4. - С. 38 - 46.

37. Лернер, М.Е. Об одной задаче с двумя нелокальными краевыми условиями для уравнения смешанного типа / М.Е. Лернер, О.А. Репин // Сиб. матем. журнал. 1999. - Т. 40. - ДО6. — С. 1260 - 1275.

38. Лернер, М.Е. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода / М.Е. Лернер, О.А. Репин // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35. - ДО8. - С. 1087 — 1093.

39. Лернер, М.Е. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полу полосе для обобщённого осесимметрического уравнения Гельмгольца / М.Е. Лернер, О.А. Репин // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37. — ДОП. — С. 1562 1564.

40. Моисеев, Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. — 1999. — Т. 35.Ш. С. 1094 - 1100.

41. Моисеев, Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи /Е.И. Моисеев // Дифференц. уравнения. — 2001. — Т. 37. — №11. — С. 1565 — 1567.

42. Мухлисов, Ф.Г. Решение одной краевой задачи с условием сопряжения теории линейных интегральных уравнений / Ф.Г. Мухлисов, Э.Д. Хуса-инова // Изв. вузов. Математика. — 2005. № 11. - С. 78- 81.

43. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1969. - Т. 5. - К0- 1. - С. 44 — 59.

44. Нахушев, A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6. - № 1. - С. 190 - 191.

45. Нахугиев, A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа / A.M. Нахушев // Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 15. - № 1. - С. 66 - 73.

46. Плещинский, Н.Б. К решению граничных задач для обобщенного уравнения Трикоми методом интегральных уравнений / Н.Б. Плещи некий / / Труды семинара по краевым задачам. КГУ. — 1979. — Вып.16. — С. 112 125.

47. Плещинский, Н.Б. Применение метода интегральных уравнений к решению задачи типа Геллерстедта / Н.Б.Плещинский // Труды семинара по краевым задачам. КГУ. — 1982. — Вып.18. — С. 144 155.

48. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции. / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев — М., Наука. — 1983. — 752 с.

49. Пулъкин, С.П. Исследование по уравнениям смешанного типа: дисс. д. ф.-м. н.: 01.01.02 / С.П. Пулькин Казань: КГУ, 1958.

50. Пулъкина, Л.С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / J1.C. Пулькииа // Дифференц. уравнения. -2004. Т. 40. - № 7. - С. 887 - 892.

51. Рахманова, JI.X. О первой граничной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа / Л.Х. Рахманова // Материалы конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара: "Универс - групп". - 2007. - С. 97.

52. Рахманова. Л.Х. Решение нелокальной задачи спектральным методом для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной / Л.Х. Рахманова // Известия вузов. Математика. 2007. -№11 (546). - С. 36 - 40.

53. Сабитов, К. Б. К теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа со спектральным параметром / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. 1989. - Т.25. - Ж. - С. 117 - 126.

54. Сабитов, К. Б. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения / К. Б. Сабитов, О. Г. Сидоренко // Труды Всероссийской научной конференции «Современные проблемы физики и математики». Уфа: Гилем. - 2004. - Т. 1 - С. 80 - 86.

55. Сабитов, К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные / К.Б. Сабитов — М.: Высшая школа, 2005. — 671 с.

56. Сабитов, К. Б. Задача Дирихле для уравнения сметанного типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Докл. РАН. 2007. - Т. 413. - № 1. - С. 23 - 26.

57. Сабитов, К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в полуполосе / К.Б. Сабитов // Дифференц. уравнения. 2007. - Т43. - № 10.- С. 1417 1423.

58. Сабитов, К.Б. Начально-граничная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов, Л.Х. Рахманова // Дифференц. уравнения. -2008. Т.44. - №9. - С. 1175 - 1181.

59. Сабитов, К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области / К.Б. Сабитов // Ма-тем. заметки. -2009. Т.86. - Вып. 2. - С. 273 - 279.

60. Сабитова, Ю.К. Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешаного типа в прямоугольгой области: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Сабитова Ю.К. Стерлитамак, СГПА, 2007. - 20 с.

61. Сакс, Р.С. Об одной неэллиптической задаче Дирихле / Р.С. Сакс // Докл. АН СССР. 1967. - Т. 177. - № 4. - С. 786 - 789.

62. Салахитдинов, М.С. О некоторых нелокальных краевых задачах для смешанного параболо-гиперболического уравнения /М.С. Салахитдинов, А.С. Бердышев / Изв. АН УзССР. Серия физ.-мат. наук,— 1982. № 4. -С. 25-31.

63. Салахитдинов, М. С. Об одной нелокальной краевой задаче для смешанного параболо-гиперболического уравнения / М.С. Салахитдинов, А.К. Уринов // Изв. АН УзССР. Серия физ.-мат. наук.— 1984. № 3. - С. 29 -34.

64. Самарский, А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений / А.А. Самарский // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16.- № И. С. 1925 - 1935.

65. Сидоренко, О. Г. Существенно нелокальная задача для уравнения смешанного типа в полуполосе / О.Г. Сидоренко // Изв. вузов. Математика.- 2007. № 3. - С. 60 - 64.

66. Сидоренко, О. Г. Нелокальные задачи для вырождающихся уравнений различных типов: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / О. Г. Сидоренко Стерлитамак, СГПА, 2007. - 19 с.

67. Скубачевский, A.JI. Нелокальные эллиптические задачи с параметром / A.J1. Скубачевский // Матем. сборник. 1983. - Т. 121. - № 2. - С. 201 -210.

68. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. — М.:Высшая школа, 1985. 304 с.

69. Соболев, С.Л. Пример корректной краевой задачи для уравнения колебания струны с данными на всей границе / C.J1. Соболев // Докл. АН СССР. 1956. - Т. 109. - № 4. - С. 707 - 709.

70. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Би-цадзе. I. Теоремы единственности / А.П. Солдатов j j Докл. РАН. 1993.- Т. 332. № 6. - С. 696 - 698.

71. Солдатов, А.П. Задача типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе. II. Теорема существования / А.П. Солдатов // Докл. РАН. -1993. Т. 333. - № 1. - С. 16 - 18.

72. Стручина, Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений / Г.М. Стручина // Инженер.-физ. журн. 1961. - Т. 4. - № 11. - С. 99 - 104.

73. Ступялис, Л. Начально-краевые задачи для уравнений смешанного типа / Л. Ступялис // Труды МИАН СССР. Т. 27. Л.: Наука, 1975. - С. 115- 145.

74. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных смешанного типа. / Ф. Трикоми. — М.: ИЛ, 1947. 192 с.

75. Уфлянд, Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях / Я.С. Уфлянд // Инженер.-физ. журн. 1964. - Т. 7.- № 1. С. 89 - 92.

76. Франклъ, Ф.И. О задачах Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Изв. АН СССР. Серия математика. — 1945.- Т. 9. №2. - С. 121 - 142.

77. Франклъ, Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения / Ф.И. Франкль // ПММ 1956,- Т. 20. - №2. - с. 196 - 202.

78. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль.- М.: Наука, 1973. 703 с.

79. Хабиров, С. В. Задача Гурса о непрерывном сопряжении радиальных прямолинейных движений газа / С.В. Хабиров // Матем. заметки. 2006. -Т. 79. - № 4. - С. 601 - 606.

80. Хайруллин, Р. С. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода. / Р.С. Хайруллин // СМЖ 1994. - Т. 35. - № 4. - С. 927 -936.

81. Хачев, М.М. Задача Дирихле для уравнения Трикоми в прямоугольнике. / М.М. Хачев // Дифференц. уравнения. Минск,- 1975. Т. 11. - № 1. -С. 151 - 160.

82. Хачев, М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. / М.М. Хачев. — Нальчик. Изд. "Эльбрус". 1998. — 169 с.

83. Agmon, S. A maximum principle for a class of hyperbolic equationsd and applcations to equations of mixed elliptic-hyperbolic type / S. Agmon, L.Nirenberg, M.N. Protter // Comm. Appl. Math. 1953. - Vol. 6. - № 4. -P. 455 - 470.

84. Cannon, J.R. The solution of heat equation subject to the specification of energy / J.R. Cannon // Quart,. Appl. Math. 1963. - V. 21. - № 2. - P. 155 - 160.

85. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon j j Ann. Math, pura ed Appl., 1963. - V. 62. - P. 371 - 377.

86. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineare aux derivees partielles du second order de type mixte: These pour le doctorat. — Uppsala, 1935. 92 p.

87. Morawetz, C.S. Note on a maximum principle fnd a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation / C.S. Morawetz // Proc. Roy. Soc. 1956. -V.236. - №1204. - P. 141 - 144.