Слабонелинейный и термодинамический анализ морфологической устойчивости диффузионно-растущего кристаллического зародыша тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат физико-математических наук Сальникова, Елена Михайловна

• Сальникова, Елена Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сальникова, Елена Михайловна

ТЕРМИНОВ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЗАКОНОМЕРНОСТИ И МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ПОТЕРИ МОРФОЛОГИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ.

1Л. Потеря морфологической устойчивости. Различные примеры, наблюдаемые в природе.

1.2. Причины, ответственные за потерю морфологической устойчивости.

1.3. Явление сосуществования морфологических фаз.

1.4. Аналитические методы изучения потери морфологической устойчивости.

ГЛАВА 2. ВЛИЯНИЕ КОНЦЕНТРАЦИОННОЙ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ РАСТУЩЕЙ ШАРООБРАЗНОЙ ЧАСТИЦЫ.

2.1. Расчет поля концентрации с учетом зависимости коэффициента диффузии от концентрации.

2.2. Линейный анализ на устойчивость с учетом концентрационной зависимости коэффициента диффузии.

ГЛАВА 3. СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ НА МОРФОЛОГИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ КРУГОВОГО КРИСТАЛЛА.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Расчет поля концентрации.

3.3. Расчет радиуса устойчивости кругового кристалла.

3.4. Обсуждение результатов слабо нелинейного анализа.

ГЛАВА. 4. ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПРОИЗВОДСТВА ЭНТРОПИИ.

4.1. Формулировка принципа Циглера.

4.2. Производство энтропии в виде однородной функции.

4.3. Соотношение вариационных принципов Циглера, Онзагера и Пригожина.

4.4. Использование подходов, подобных принципу Циглера, в различных системах.

ГЛАВА 5. ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ И МОРФОЛОГИЧЕСКИЙ ОТБОР ПРИ РОСТЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КРИСТАЛЛА ИЗ РАСТВОРА.

5.1. Производство энтропии при возникновении неустойчивости.

5.2. Круговой кристалл.

5.3. Рост цилиндрического зародыша.

5.4. Изменение массы кристалла при морфологическом переходе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Слабонелинейный и термодинамический анализ морфологической устойчивости диффузионно-растущего кристаллического зародыша»

Вопросы потери морфологической устойчивости фронта кристаллизации и развития деидритов на протяжении уже долгого времени остаются актуальными для материаловедения и физического металловедения в связи с важностью их для технологий получения материалов с заданными свойствами [1,2]. Кроме того, эти процессы, являясь типичными примерами неравновесных фазовых переходов, давно находятся в центре внимания теоретиков, занимающихся вопросами самоорганизации [3,4].

Начальная стадия потери морфологической устойчивости растущим кристаллом предшествует всем последующим модификациям кристаллической структуры, поэтому она важна для понимания всех этапов структурообразования. Однако, хотя вопросы возникновения неустойчивости интенсивно изучаются, начиная с 60-х годов, до сих пор существует много нерешенных или не до конца изученных проблем, интересных как с практической, так и с теоретической точки зрения.

1. Традиционно анализ устойчивости растущей морфологии основан на решении уравнения диффузии и использовании теории возмущений. Теоретически подробно проанализировано поведение фазовой границы при наличии возмущений бесконечно малой амплитуды [5]. Однако, работ о том, как поведут себя основные характеристики морфологического перехода при возмущениях конечных амплитуд, не так много. Вместе с тем возмущения такого типа наиболее распространены и интересны с практической точки зрения. В литературе рассмотрен только диффузионный режим роста кристаллов разной геометрии (кругового, цилиндрического и сферического), любопытно исследовать такую задачу для произвольного (диффузионно-кинетического) режима роста.

2. При анализе на морфологическую устойчивость коэффициент диффузии считается не зависящим от концентрации, и в приближении малых пересыщений вместо уравнения диффузии обычно решают уравнение Лапласа. Однако по имеющимся экспериментальным данным этот коэффициент в насыщенных и пересыщенных растворах очень сильно зависит от концентрации [6]. В связи с этим интересно оценить степень влияния данной особенности на основные закономерности потери морфологической устойчивости.

3. Во многих экспериментальных работах обнаружены области параметров, управляющих неравновесной кристаллизацией, при которых различные морфологии могут сосуществовать [7-9], однако методы аналитического расчета морфологических фазовых диаграмм (границ метастабильных и лабильных областей) окончательно не были разработаны. Классический анализ на устойчивость не дает объяснения этому явлению.

4. Параллельно с анализом на устойчивость, основанным на теории возмущений в работах [10, 11] предложен метод, основанный на использовании принципа максимума производства энтропии [10, 11], позволяющий построить фазовые диаграммы. Полная морфологическая диаграмма была построена для шара, однако для более сложной, цилиндрической геометрии эта задача не решена.

5. Принцип максимума производства энтропии при изучении роста кристаллов возник интуитивно и не имеет ни теоретической базы, ни законченного математического аппарата. В других областях физики неравновесных систем существуют экстремальные принципы, подобные указанному выше, но их взаимосвязь не исследована. Важной задачей также является проверка принципа максимума на других, еще не рассмотренных системах.

Исходя из перечисленных проблем, цель диссертационной работы состояла в следующем: На примере роста из раствора частицы цилиндрической (сферической) геометрии с помощью слабонелинейного и термодинамического анализа исследовать морфологическую устойчивость и явления сосуществования с учетом концентрационной зависимости коэффициента диффузии и конечной величины амплитуды возмущения.

В рамках поставленной цели получены следующие результаты, выносимые на защиту:

- компьютерная программа по аналитическому расчету поля концентрации и скорости движения фазовой границы до произвольного порядка по амплитуде возмущения для кругового кристалла, развивающегося при произвольном (диффузионно-кинетическом) режиме роста; аналитически найденный с помощью слабонелинейной теории возмущений (третий порядок) критический размер устойчивости кругового кристалла, развивающегося при произвольном режиме роста, который уменьшается с увеличением амплитуды возмущения для любых номеров гармоник, кроме второго, что говорит о возможности реализации метастабильной области, где возможно сосуществование двух морфологических фаз;

- аналитически найденные (с помощью линейной теории возмущений и принципа максимума производства энтропии) критические размеры устойчивости развивающейся при произвольном режиме роста из раствора цилиндрической частицы, позволяющие объяснить сосуществование морфологических фаз кристаллизации, наблюдаемое в экспериментах;

- обнаруженный скачок прироста массы при морфологическом переходе для различных режимов роста цилиндрического кристалла, что является признаком неравновесного фазового перехода первого рода;

- найденная в линейном приближении поправка к радиусу устойчивости, учитывающая зависимость коэффициента диффузии от концентрации, которая влияет на устойчивость растущего кристалла и может увеличить критический радиус более чем в полтора раза.

Научная новизна

- Впервые проанализировано влияние зависимости коэффициента диффузии от концентрации на морфологическую устойчивость кристалла;

- проведен слабонелинейный анализ на устойчивость кругового кристалла при произвольном (диффузионно-кинетическом) режиме роста из раствора;

- впервые исследовано поведение производства энтропии при произвольном режиме роста цилиндрической частицы вблизи морфологического перехода;

- с использованием принципа максимума производства энтропии и линейного анализа на устойчивость впервые аналитически построена полная морфологическая диаграмма (с устойчивой, неустойчивой и метастабильной областями) для различных режимов роста цилиндрического зародыша (произвольный режим роста);

- рассмотрена связь вариационных принципов максимума производства энтропии, существующих в различных областях физики, с феноменологическим принципом максимума, возникшим в задачах кристаллизации.

Практическая ценность

Аналитически полученные критические радиусы устойчивости кристаллов, а также их связь с условиями кристаллизации полезны для интерпретации экспериментальных данных по изменению формы кристаллической границы и прогнозирования свойств материалов, получаемых в технологиях выращивания кристаллов.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Сальникова, Елена Михайловна

Выводы к главе 5

1. Получены выражения для разности производства энтропии для возмущенного и невозмущенного цилиндрического кристалла в приповерхностном слое (приближение локального равновесия) и на границе кристалл — раствор.

2. Найдены критические радиусы устойчивости - размеры, при которых величины производства энтропии возмущенного и невозмущенного кристалла равны для приповерхностного слоя и границы. Показано, что эти радиусы совпадают друг с другом с хорошей точностью. Для приповерхностного слоя удалось найти явное выражение критического радиуса потери устойчивости, названного радиусом бинодали.

3. Построены морфологические фазовые диаграммы областей устойчивого, метастабильного и неустойчивого роста кругового и цилиндрического кристаллов. При любом режиме роста цилиндрического кристалла обнаружено перекрытие метастабильных областей, принадлежащих различным возмущающим гармоникам, что ведет к сосуществованию большого числа морфологических фаз. Для кругового кристалла в диффузионном режиме не наблюдается перекрытия метастабильных областей, относящихся к различных возмущающим гармоникам.

4. Найдено, что масса кристалла при морфологическом переходе меняется скачкообразно. Величина скачка уменьшается с уменьшением кинетического коэффициента кристаллизации, относительного пересыщения, а также при увеличении коэффициента поверхностного натяжения и номеров возмущающих гармоник.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Проведен анализ существующих в литературе опытных данных по кристаллизации из пересыщенных растворов, и показано, что в ряде случаев при одних и тех же условиях могут возникать разные морфологии. Этот факт указывает на наличие метастабильных областей параметров, в которых возможно сосуществование морфологических фаз. Поставлена цель теоретического описания этого факта и уточнения положения границ этих областей для растущего из раствора цилиндрического кристалла.

2. Исследовано влияние на устойчивость растущей сферической частицы линейной зависимости коэффициента диффузии D от концентрации С. Линейный анализ показал, что влияние на устойчивость зависимости D(C) обусловлено знаком производной 8D/8C в точке С=Соо. Критический радиус может уменьшиться в несколько раз, если эта производная положительна, и, наоборот, увеличиться, если эта производная отрицательна.

3. Для решения задачи кристаллизации кругового кристалла в произвольном (диффузионно-кинетическом) режиме роста разработана компьютерная программа в пакете символьных вычислений MAPLE, позволяющая провести аналитические расчеты поля концентрации и скорости роста кристалла для любого порядка по амплитуде возмущения поверхности. Полученные формулы в пределе диффузионного режима роста дают численное совпадение с результатами, приведенными в литературе для этого случая.

4. Проведен слабонелинейный анализ на морфологическую устойчивость кругового кристалла в произвольном (диффузионно-кинетическом) режиме роста в третьем порядке теории возмущений и обнаружено уменьшение радиуса устойчивости кристалла при увеличении амплитуды возмущения для номеров гармоник к выше второго при любых условиях. Из этого следует, что для к>2 существует метастабильная область, в которой выбор морфологии роста будет зависеть от величины амплитуды возмущения.

5. Проведен анализ принципов максимума производства энтропии, существующих в различных областях физики неравновесных процессов. Показано, что ни один из них не позволяет получить эвристический принцип максимального производства энтропии, применяемый при изучении неравновесного роста кристаллов для описания сосуществования различных морфологий.

6. Решена задача морфологического отбора при росте цилиндрического и кругового кристаллов из раствора при произвольном режиме роста с помощью принципа максимума производства энтропии, используемого для анализа роста кристаллов, и найдено явное выражение критического радиуса потери устойчивости (названного радиусом бинодали).

7. Построены морфологические фазовые диаграммы областей устойчивого, метастабильного и неустойчивого роста кругового и цилиндрического кристаллов. Обнаружено, что при переходе к кинетическому режиму область метастабильности расширяется, и это дает многочисленные перекрытия метастабильных областей, принадлежащих различным возмущающим гармоникам, т.е. приводит к сосуществованию большого числа морфологических фаз. Для кругового кристалла в диффузионном режиме не наблюдается перекрытия метастабильных областей, относящихся к различным возмущающим гармоникам.

8. Найдено, что масса кристалла при морфологическом переходе увеличивается скачкообразно. Величина скачка уменьшается с уменьшением кинетического коэффициента кристаллизации, относительного пересыщения, а также при увеличении коэффициента поверхностного натяжения и номеров возмущающих гармоник.

Результаты диссертации опубликованы в работах [84-93].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сальникова, Елена Михайловна, 2003 год

1. Чалмерс Б. Теория затвердевания. М.: Металлургия. 1968. 288 с. (Chalmers В. 1964 Principles of Solidification. (Wiley, NY)).

2. Kurz W., Fisher D.J. Fundamentals of Solidification. 1992. 400 p. (Trans Tech Publ.).

3. Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Rev. Mod. Phys. 1980. v.52. p.1-28.

4. Cross M.C. and Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. 1993. v.65. №1. p.851-1112.

5. Coriell S.R., McFadden G.B. Morphology stability // in Handbook of Crystal Growth, Vol.1, Part B, ed. by D.T.J. Hurle, North-Holland, Amsterdam 1993. p.785.

6. Izmailov A.F., Myerson A.S. Concentration dependence of solution shear viscosity and solute mass diffiisivity in crystal growth from solutions // Phys. Rev.E. 1995. V.52. №1. P.805-812.

7. Sawada Y., Perrin В., Tabeling P. and Bouissou P. Oscillatory growth of dendritic tips in a three-dimensional system // Phys. Rev A. 1991. v.43. №io. p. 5537-5540.

8. Шибков A.A., Головин Ю.И., Желтов M.A., Королев А.А., Власов А.А. Исследование кинетики и морфологии неравновесного роста льда в переохлажденной воде //Кристаллография, 2001. т.46. №3. с. 549-555.

9. Shochet О. and Ben-Jacob Е. Coexistence of morphologies in diffusive patterning // Phys.Rev E. 1993. v. 48. №6. R4168-R4171.

10. Ю.Мартюшев JI.M., Селезнев В.Д., Кузнецова И.Е. Применение принципа максимальности производства энтропии к анализу морфологической устойчивости растущего кристалла // ЖЭТФ, 2000. т.118. с.149-162.

11. П.Мартюшев Л.М., Селезнев В. Д. Принцип максимальности производства энтрпии как критерий отбора морфологических фаз при кристаллизации //ДАН 2000. т.371 №4. с.466-468.

12. Gonda Т., Nakahara S., Sei Т. The formation of side branches of dendritic ice crystals growing from vapor and solution \ll J.Cryst.Growth. 1990. v.99. P. 183-187.13 .http:// www.its.caltech.edu/~atomic/snowcrystals

13. Hardy S.C., Coriell S.R. Morphological stability of cylindrical ice crystal // J. Cryst. Growth. 1969. v.5. №5. p.329-337.

14. Алфинцев Г. А., Овсиенко Д.Е. Особенности роста из расплава кристаллов веществ с разными энтропиями плавления. // Рост кристаллов. М.: Наука. 1980. т.13. с. 121-133.

15. Oswald P., Malthete J., Pelce P. Freee Growth of a thermotropic columnar mesophase: supersaturation effects // J. Phys. France. 1989. v. 50. p. 2212138.

16. Современная кристаллография т.З. Образование кристаллов / Чернов А.А., Гиваргизов Е.И., Багдасаров Х.С. и др. М.:Наука. 1980. 407 с.

17. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М.: Мир. 1974. 540 с.

18. Чернов А. А. Теория устойчивости гранных форм роста // Кристаллография. 1971. т. 16. вып.4. с. 842-863.

19. Nanev С. Polyhedral instability skeletal and dendritic growth // Progr. Crystal Growth and Charact. 1997. V. 35. pp. 1-26.

20. I.E. Ben-Jacob From snowflake formation to growth of bacterial colonies. II: Diffusive patterning in non-living system // Contemp. Phys. 1993. v. 34. p. 247-273.

21. Ben-Jacob E., Garik P., Mueller Т., Grier D. Characterization of morphology transitions in diffusion-controlled systems // Phys. Rev. A 1989. v. 38. №3. pp. 1370-1380.

22. Mu Wang, Nai-ben Ming. Alternating morphology transitions in electro chemical deposition //Phys.Rev. Lett. 1993. v. 71. №1. p. 113-116.

23. Hutter J.L., Bechhoefer J. Three classes of morphology transitions in the solidification of a lipid crystal 11 Phys.Rev. Lett. 1997. v.79. №20. p. 40224025.

24. Hutter J.L., Bechhoefer J. Many modes of rapid solidification in a lipid crystal // Physica A 1997. v. 239. p. 103-110.

25. Chan S.K., Reimer H.H., Kahlweit M.J. On the stationary growth shape of NH4C1 dendrities // J. Cryst. Growth 1976. v. 32. p. 303-315.

26. Sawada Y., Dougherty A., Gollub J.P. Dendritic and fractal patterns in electrolytic metal deposits // Phys. Rev. Lett. 1986. v. 56. №12. p. 12601263.

27. Ihle Т., Miiller-Krumbhaar H. Fractal and compact growth morphologies in phase transitions with diffusion transport // Phys.Rev. E 1994. v. 49. №4. p. 2972-2991.

28. Grier D., Ben-Jacob E., Clarke R. et al. Morphology and microstructure in electrochimical deposition of zinc // Phys. Rev. Lett. 1986. v. 56. №12. p. 1264-1267.

29. Honjo H., Ohta S., Matsushita M. Phase diagram of a growing succionitrile crystal in supercooling-anisotropy phase space // Phys. Rev. A 1987. v. 36. №9. p. 4555-4558.

30. А. А. Шибков, M.A. Желтов, А. А. Королев Собственное электромагнитное излучение растущего льда // Природа 2000. №9. с. 12-20.

31. LaChappelle E.R. Field guide to snow crystals. University of Washington Press, 1961.

32. Brener E.A., Miiller-Krumbhaar H., Temkin D.E. Structure formation and the morphology diagram of possible structures in two-dimensional diffusional growth // Phys. Rev.E 1996. v. 54. №3. p. 2714-2722.

33. Honjo H., Ohta S., Sawada Y. New experimental finding in two-dimensional dendritic crystal growth // Phys.Rev.Let. v.55. "№8. 1985. p. 841-844.

34. Гафийчук B.B. Динамика формирования поверхностных структур в системах со свободной границей. Киев: Наукова Думка. 1990. 216 с.

35. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press. 1961. 320 p.

36. Гершуни Г.З., Жуковицкий E. M. Конвективная устойчивость несжимаемых жидкостей. М.: Наука. 1972. 392 с.41 .Coriell S.R., Parker R.L. Stability of the shape of a solid cylinder growing in a diffusion field // J. Appl.Phys. 1965. V.36, №2. P.632-637.

37. Янке E., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы. М.: Наука. 1977. 342с.

38. Mullins W.W., Sekerka R.F. Stability of a planar interface during solidification of a dilute binary alloy // J. Appl.Phys. 1963. v.35. №7. p.444-451.

39. Nichols F.A., Mullins W.W. Surface- (interface-) and volume-diffusion contributions to morphological changes driven by capillarity // Transactions of the metallurgical society of aime 1965. v. 233. p.1840-1849.

40. Coriell S.R., Parker R.L. Role of surface diffusion in stabilizing the surface of a solid growing from solution or vapor // J. Appl.Phys. 1966. v.37, №4. p.1548-1550.

41. Кан Д.О морфологической устойчивости растущего кристалла // Проблемы роста кристаллов / под ред. Н.Н. Шефталя и Е.И. Гиваргизова. М.: Мир. 1968. с. 127-145.

42. Котлер Дж., . Тиллер В. Учет кинетики присоединения частиц к кристаллу при анализе устойчивости цилиндра, кристаллизующегося из бинарного сплава // Проблемы роста кристаллов / под ред. Н.Н. Шефталя и Е.И. Гиваргизова. М.: Мир. 1968. с. 178-196.

43. Coriell S.R., Hardy S.C. Morphological stability of a cylinder // J. Res. Nat. Bur. Stand. 1969. v. 73A. №1. p. 65-68.

44. Корилл С., Паркер P. Кинетические явления на поверхности раздела и устойчивость формы сферического кристалла, растущего из расплава// Проблемы роста кристаллов / под ред. Н.Н. Шефталя и Е.И. Гиваргизова. М.: Мир. 1968. с. 146 156.)

45. Chang Y.C., Myerson A.S. The diffusivity of potassium chloride and sodium chloride in concentrated, saturated and supersaturated aqueous solution // AIChE J. 1985. v.31. №6. p.890-894.

46. Sorell L., Myerson A.S. The diffusivity of urea in concentrated, saturated and supersaturated solution // AIChE J. 1982. v.28. №5. p.772-775.

47. L.N. Brush, R.F. Sekerka, G.B. McFadden A numerical and analytical study of nonlinear bifurcations associated with the morphological stability of two-dimensional single crystal // J. Cryst. Growth 1990. v. 100. p. 89-108.

48. P.P. Debroy, R.F. Sekerka Weakly nonlinear morphological instability of a cylindrical crystal growing from a pure undercooled melt // Phys. Rev. E 1996. v.53. №6. p. 6244-6252.

49. P.P. Debroy, R.F. Sekerka Weakly nonlinear morphological instability of a spherical crystal growing from a pure undercooled melt // Phys. Rev. E 1995. v. 51. p. 4608-4651.

50. Темкин Д.Е. О скорости роста кристаллической иглы в переохлажденном расплаве // ДАН СССР 1960. т. 132. №6. с. 1307-1310.

51. Sawada Y. A thermodynamic variational principle in nonlinear systems far from equilibrium // J. Stat. Phys. 1984. v.34. p. 1039-1045.

52. Hill A. Entropy production as the selection rule between different growth morpholories //Nature 1990. v. 348. p. 426-428.

53. JI.M. Мартюшев, И.Е. Кузнецова, В.Д. Селезнев Расчет полной морфологической фазовой диаграммы неравновесно растущего сферического кристалла при произвольном режиме роста // ЖЭТФ, 2002. т. 121. вып.2. с.363-371.

54. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир. 1964. 456 с. De Groot S.R., Mazur P. Non-Equilibrium Thermodynamics. North-Holland. Amsterdam. 1962.

55. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.:Физматлит. 2001. 506 с.

56. Кузнецова И.Е. Модели потери устойчивости диффузионного роста зародыша при конечных возмущениях границы // диссертация, неопубл. данные.

57. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.:Мир. 1984. 440 с. (Nayfen А.Н. Introduction to Perturbation Techniques, John Wiley & Sons, NY (1981)).

58. Выращивание кристаллов из растворов / Т.Г. Петров, Е.Б. Трейвус, Ю.О. Лунин, А.П. Касаткин. Л.: Недра. 1983. 200 с.

59. Ziegler H. An Introduction to Thermomechanics. North-Holland. Amsterdam. 1983.

60. Циглер Г. сб. Механика. М.:Изд-во иностр. лит. 1957. №5 (45). с. 71-88. Ziegler Н. Thermodynamik und rheologische Problem. Ing.Arch. 1957. 25. H. l.p. 58-70.

61. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика: Теория поля и вариационные принципы. М.: Мир. 1974. 304 с. Gyarmati I. Non-Eqailibrium Termodynamics: Field Theory and Variational Principle. Springer-Verlag. N.Y. 1970.

62. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1988. 712 с.

63. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука. 1966. с. 7-30.

64. Пригожин И. Введение в термодинамику неравновесных процессов. М.: Изд-во иностр. лит. 1960. 127 с. Prigogine I. Introduction to Thermodynamics of Irreversible Processes. Springfield. 1955.

65. Журавлев В.А. Термодинамика необратимых процессов в задачах и решениях. Ижевск. Изд.дом «Удмуртский университет». 1998. 151с.

66. Malkus W.V. Descrete transitions in turbulent convection. // Proc.R.Soc. A. 1954. v. 225. p 185-212.

67. Busse F.H. The stability of finite amplitude cellular convection and its relation to an extremum principle. //J. Fluid Mech. 1967. v.30. part 4. p.625-649.

68. Лоренц Э.Н. Природа и теория общей циркуляции атмосферы. Л.: Гидрометиздат. 1970. 260 с. Lorenz E.N. The nature and theory of thegeneral circulation of the atmosphere. World Meteorological Organization. Geneva. 1967.

69. Paltridge G.W. Thermodynamic dissipation and global climate system. // Quart.J.R.Met.Soc. 1981. v. 107, p.531-547.

70. Paltridge G.W. A physical Basis for a maximum of thermodynamic dissipation of the climate system// Quart.J.R.Met.Soc. 2001. v. 127, p.305-313.

71. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир. 1976. 540с.

72. Kohler М. Behandlung von Nichtgleichgewichtsvorgangen mit Hilfe eines Extremalprinzips. Zeitschrift fur Physik. 1948. Bd.124. H7/12.

73. Kohler M. Transporterscheinungen im Electronengas. Zeitschrift fur Physik. 1949. Bd.125. HI 1/12.82.3айман Дж. Электроны и фононы. М.: Изд-во иностр. лит. 1962. 485с.

74. Ziman J.M. The General Variational Principle of Transport Theory. Can. Journ.Phys. 34. 1256. 1956.

75. Сальникова E.M., Мартюшев JI.M. Влияние биожидкости на рост шарообразного кристалла. // Безопасность Биосферы: сб. тезисов. Второй всероссийский научный молодежный симпозиум. Екатеринбург. 1998. с.79.

76. Мартюшев JI.M., Сальникова Е.М. Влияние концентрационной зависимости коэффициента диффузии на устойчивость растущей шарообразной частицы//ЖТФ. 2000. т. 70. вып. 6. с. 126-127.

77. Кузнецова И.Е., Сальникова Е.М., Мартюшев JI.M. Особенности начальной стадии развития снежинки в облаке. // Урал атомный, Уралпромышленный. Тезисы докладов IX Международного экологического симпозиума. Екатеринбург. 2001. с.78-80.

78. Сальникова Е.М., Мартюшев Л. М. О применимости термодинамики Онзагера в экологии. // Урал атомный, Урал промышленный. Тезисы докладов X Международного экологического симпозиума, озеро Сунгуль. 2002. с. 170-171.

79. Мартюшев Л.М., Кузнецова И.Е., Сальникова Е.М., Морфологические переходы при кристаллизации и принцип максимума производства энтропии//Тезисы докладов X Национальной конференции по росту кристаллов. Москва. 2002. с. 39.

80. Мартюшев Л.М., Сальникова Е.М. Анализ морфологических переходов при неравновесном росте цилиндрического кристалла из раствора// Письма в ЖТФ. 2002. т. 28. вып.6. с.57-65.

81. Martyushev L.M., Sal'nicova Е.М. Morphological transition in the development of a cylindrical crystal // Journal of Physics: Condensed Matter 2003. v. 15. p. 1137-1146.