Аналитико-численное исследование начальной стадии потери морфологической устойчивости фазовой границы при затвердевании из расплава тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат физико-математических наук Червонцева, Евгения Александровна

• Червонцева, Евгения Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Червонцева, Евгения Александровна

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ, ЕДИНИЦ И ТЕРМИНОВ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОТЕРЯ МОРФОЛОГИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЕЕ ИЗУЧЕНИЯ.

1.1. Явление потери морфологической устойчивости. Морфологические фазовые диаграммы.

1.2. Причины потери морфологической устойчивости.

1.3. Потеря морфологической устойчивости фронта затвердевания из расплава и аналитические методы ее изучения.

1.3.1. Классический линейный анализ на морфологическую устойчивость кристалла при произвольном режиме роста.

1.3.2. Слабонелипейный анализ на люрфологическую устойчивость растущего кристалла.

1.4. Принцип максимума производства энтропии.

ГЛАВА 2. МОРФОЛОГИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОГО КРУГЛОГО КРИСТАЛЛА ПРИ КВАДРАТИЧНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СКОРОСТИ РОСТА ОТ ПЕРЕОХЛАЖДЕНИЯ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Расчет поля температуры.

2.2.1. Невозмущенное решение (нулевой порядок).

2.2.2 Решение в первом порядке теории возмущений.

2.2.3. Учет возмущений второго порядка малости.

2.2.4. Третий порядок малости.

2.3. Расчет радиуса срыва устойчивости круглой формы роста кристалла.

2.3.1. Возможные подходы к анализу начальной стадии потери морфологической устойчивости.

2.3.2 Применение традиционного критерия к расчету радиуса потери морфологической устойчивости плоского кругового кристалла при квадратичной кинетике присоединения.

2.3.3. Недостатки традиционного критерия оценки момента потери морфологической устойчивости.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ МОРФОЛОГИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ЗАРОДЫША КРУГЛОЙ

ФОРМЫ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ.

3.1 Математическая постановка задачи.

3.2. Метод конечных элементов.

3.3 Основные этапы численного расчета критического размера устойчивости.

3.4. Результаты расчета критического радиуса морфологической устойчивости и их анализ.

3. 6. Метастабильная область и сосуществование морфологических фаз.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ МОРФОЛОГИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СФЕРИЧЕСКОГО КРИСТАЛЛА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ.

4.1 Расчетная модель.

4.2 Численный расчет радиуса морфологической устойчивости.

4.3. Результаты расчета радиуса морфологической устойчивости. Морфологическая фазовая диаграмма.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитико-численное исследование начальной стадии потери морфологической устойчивости фазовой границы при затвердевании из расплава»

Возрастающий интерес исследователей к изучению неравновесно-развивающихся структур (дендритов, фракталов) при росте кристаллов различной геометрической конфигурации обусловлен необходимостью определения теплофизических условий, параметров и законов, управляющих процессом затвердевания, с целью получения кристаллов со специальными физическими свойствами [1-3]. Достаточно важным в связи с этим представляется изучение начальной стадии потери морфологической устойчивости, которая в значительной степени определяет эволюцию кристаллических структур.

В литературе при математическом описании устойчивости фронта затвердевания основное внимание уделяется возмущениям малой (слабонелинейный анализ) или бесконечно малой амплитуды (линейный анализ) [4, 5]. Однако, с прикладной точки зрения больший интерес представляют наиболее часто встречающиеся в природе произвольные конечные по амплитуде возмущения. Исследование и расчет характеристик возникающих неравновесных структур (например, критического радиуса устойчивости) при морфологическом переходе в условиях присутствия произвольных возмущений можно отнести к плохо изученной проблеме в физике затвердевания. Следует отметить, что аналитическое решение подобного типа задач сопряжено с большими трудностями и связано с чрезвычайной громоздкостью и сложностью получаемых систем уравнений. В качестве альтернативного метода решения может выступать прямой численный расчет параметров и характеристик неравновесного морфологического фазового перехода при кристаллизации. Однако, работ, посвященных данной проблеме существует очень мало. Особенно неясными являются вопросы, связанные с влиянием нелинейной кинетики присоединения, конечности возмущений и режима затвердевания на морфологию растущего кристаллического зародыша.

Еще одной проблемой, существующей в физике затвердевания и требующей исследования, является разработка математических моделей, способных описать явление метастабильности и сосуществования различных морфологических фаз. Появившиеся в последнее время в литературе гипотезы, связанные с расчетом производства энтропии для расчета фазовых диаграмм и областей метастабильности, требуют аналитической и численной проверки.

Цель работы: исследование начальной стадии потери морфологической устойчивости фронта затвердевания из расплава при наличии произвольных по амплитуде возмущений формы фазовой границы.

В рамках этой цели решались следующие задачи:

1. Слабонелинейный анализ морфологической устойчивости плоского кругового кристалла при квадратичной зависимости локальной скорости роста от переохлаждения для произвольного режима роста. Определение зависимости критического радиуса от амплитуды для различных возмущающих гармоник.

2. Разработка компьютерной программы численного расчета критического радиуса устойчивости плоского круглого и шарообразного кристаллов методом конечных элементов для произвольного режима роста и методики определения момента потери устойчивости.

3. Численный расчет задачи кристаллизации из расплава круглого и шарообразного слитков в условиях наличия возмущений формы поверхности раздела фаз произвольной амплитуды.

4. Проведение сравнения численно полученных критических размеров устойчивости с существующими теоретическими результатами.

5. Определение метастабильных областей сосуществования морфологических фаз для различных режимов роста.

Научная новизна

1. Впервые проведен слабонелинейный анализ морфологической устойчивости плоского круглого кристалла, растущего из расплава при малых переохлаждениях в случае произвольного режима роста при квадратичной зависимости локальной скорости роста от переохлаждения. Обнаружено, что учет квадратичности кинетики присоединения приводит к существенному (—18%) увеличению радиуса устойчивости по сравнению со значением, полученным для линейной кинетики.

2. Численно изучена начальная стадия потери морфологической устойчивости растущим плоским круглым и сферическим кристаллом (квазистационарное приближение) с использованием метода конечных элементов и определена зависимость критического размера устойчивости кристалла от режима роста, амплитуды и моды возмущения. Показано, что для всех исследованных гармоник критический размер устойчивости с увеличением амплитуды возмущения убывает до некоторого значения, названного в работе бинодалью.

3. Численно показана возможность сосуществования двух и более различных морфологических фаз при двумерном и трехмерном затвердевании, что согласуется с экспериментальными наблюдениями одновременного роста кристаллов различной формы.

4. Значения критического радиуса бинодали, полученные численным расчетом, сравниваются с соответствующими результатами, полученными с применением принципа максимума производства энтропии, и показано их хорошее соответствие, особенно в режиме, когда затвердевание лимитируется отводом тепла.

Защищаемые положения:

1. Традиционно применяемый критерий морфологической устойчивости, основанный на анализе поведения лишь базовой возмущающей гармоники, становится неадекватным из-за повышения роли вторичных 8 гармоник с увеличением амплитуды возмущения. В этом случае необходимо применять новый критерий неустойчивости, основанный на анализе суммарного вклада всех возникающих гармоник.

2. Полученные в< результате численного расчета зависимости критического радиуса от амплитуды возмущения формы роста позволяют ввести критический радиус бинодали (соответствующий минимуму этой зависимости) по аналогии с равновесными фазовыми переходами.

3. Критические радиусы устойчивости зависят от амплитуды возмущения? формы кристалла таким образом, что области метастабильности могут перекрываться для соседних гармоник. Это соответствует известным опытным фактам одновременного возникновения из расплава кристаллов различнойформы.

4. Число сосуществующих морфологических фаз зависит от режима роста, чем режим роста ближе к кинетическому, тем больше их количество.

5. Хорошее соответствие значений критических радиусов* бинодали, полученных численными расчетами и на основе принципа максимума производства энтропии, позволяет рекомендовать второй способ для определения неравновесных фазовых диаграмм метастабильного роста кристаллов.

Практическая ценность

Полученные в диссертации результаты имеют важное значение для получения материалов с заданными свойствами, так как определяют форму границы затвердевающей фазы в зависимости от теплофизических параметров проведения процесса кристаллизации.

Апробация работы. Результаты исследования были представлены и обсуждены на международном междисциплинарном симпозиуме "Фракталы и прикладная синергетика" (Москва, 2003), XI и XIII Национальной конференции по росту кристаллов (Москва, 2004, 2008), Международной конференции "Кристаллические материалы" (Харьков, Украина, 2005), III Российском совещании "Метастабильные состояния и флуктуационные 9 явления" (Екатеринбург, 2005), XI Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Екатеринбург, 2005), на семинарах кафедры молекулярной физики физико-технического факультета УГТУ-УПИ.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Червонцева, Евгения Александровна

Выводы по главе 4:

1. Впервые проведен численный расчет критического радиуса морфологической устойчивости затвердевающего из расплава сферического слитка в условиях произвольных возмущений фронта кристаллизации при малых переохлаждениях для произвольного режима роста. Значения численно полученных критических радиусов спинодали сферического кристалла хорошо согласуются (в пределах 1%) с критическими радиусами, полученными ранее аналитическими методами.

2. Выявлено для всех возмущающих гармоник и режимов роста уменьшение критического размера при увеличении амплитуды возмущения до некоторого значения - радиуса бинодалй, предсказанного ранее в рамках принципа максимума производства энтропии.

3. Обнаружено хорошее количественное совпадение значений рь и рьмш, для режима роста; лимитируемого теплопроводностью, что свидетельствует об очередном подтверждении возможного использования принципа максимума производства энтропии для расчета радиуса бинодали.

4. Показано, что критические радиусы устойчивости как функции амплитуды возмущения шаровой поверхности для различных гармоник могут пересекаться друг с другом, что означает возможность путем варьирования амплитуды возмущения поменять порядок возникновения неустойчивых гармоник (сначала к+Т гармоника, затем к - ая).

5. Показано, что при переходе к кинетическому режиму роста области метастабильности сферического кристалла для всех гармоник начинают перекрываться. Это указывает на возможность образования различных форм первоначально сферических кристаллов в рассматриваемом диапазоне режимов роста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Проведен слабонелинейный анализ морфологической устойчивости плоского круглого кристалла, затвердевающего из расплава, в случае квадратичной зависимости локальной скорости роста от переохлаждения для произвольного режима роста. Обнаружено, что учет квадратичности кинетики присоединения приводит к увеличению критического радиуса устойчивости по сравнению со значением, полученным для линейной кинетики.

2. В рамках слабонелинейного и численного исследования начальной стадии потери морфологической устойчивости круглым двумерным кристаллом обоснована неприменимость традиционного критерия оценки критического радиуса при наличии произвольных амплитуд возмущения. Для учета возрастающего вклада вторичных гармоник в локальную скорость роста кристалла предложен альтернативный критерий морфологической устойчивости.

3. С помощью численного расчета методом конечных элементов для случая затвердевания плоского круглого и шарообразного кристаллов при наличии произвольных по амплитуде возмущений обнаружено уменьшение критического размера устойчивости до некоторого значения, после которого наблюдается его увеличение с ростом амплитуды для всех возмущающих мод и режимов роста. По аналогии с равновесными фазовыми переходами обнаруженная точка минимума названа бинодалью.

4. Полученные численно критические радиусы бинодали для плоского круглого и сферического кристаллов при некинетическом и промежуточном режиме роста хорошо согласуются с ранее определенными бинодалями на основе аналитических расчетов с помощью принципа максимума производства энтропии.

5. Показано, что при переходе к кинетическому режиму роста для плоского круглого и сферического кристаллов области метастабильности начинают перекрываться. Это указывает на возможность одновременного образования различных форм кристаллов в рассматриваемом диапазоне режимов роста.

6. Прямыми численными расчетами найдено, что критические радиусы устойчивости как функции амплитуды возмущения шаровой поверхности для различных гармоник могут пересекаться друг с другом, что означает возможность путем варьирования амплитуды возмущения поменять порядок возникновения неустойчивых мод.

7. Исследованные особенности начальной стадии роста, выявленные роли амплитуды возмущения формы кристалла и режима роста могут быть использованы для получения выращиваемых из расплава кристаллов с необходимыми свойствами.

Результаты диссертационной работы опубликованы в [21, 77 - 87] .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Червонцева, Евгения Александровна, 2010 год

1. Чалмерс Б. Теория затвердевания. М.: Металлургия. 1968. 288 с. (Chalmers В. 1964 Principles of Solidification. (Wiley, NY)).

2. Kurz W., Fisher D.J. Fundamentals of Solidification. (Trans Tech Publ.), 1992. 400 p.

3. Проблемы роста кристаллов / под ред. Шефталя Н.Н., Гиваргизова Е.И. М.: Мир, 1968. 365 с.

4. Coriell S.R., McFadden G.B. Morphology stability // in Handbook of Crystal Growth , ed. by D.T.J. Hurle, North-Holland, Amsterdam. 1993. V.l, part B, 785 p.

5. Шибков А.А., Головин Ю.И., Желтов M.A., Королев А.А., Власов A.A. Исследование кинетики и морфологии неравновесного роста льда в переохлажденной воде // Кристаллография. 2001. Т.46. №3. С. 549-555.

6. Hardy S.C., Coriell S.R. Morphological stability of cylindrical ice crystal // J. Cryst. Growth. 1969. V.5. №5. P.329-337.

7. Oswald P., Malthete J., Pelce P. Free Growth of a thermotropic columnar mesophase: supersaturation effects // J. Phys. France. 1989. V.50. P.221-2138.

8. Flores A., Corvera-Poir E., Garza C., Castillo R. Growth and morphology in Langmuir monolayers //Europhysics letters. 2006. V.74. №5. P.799-805.

9. Harkeand M., Motschmann H. On the transition state between the oil water and air water interface//Langmuir. 1998. V. 14. №2. P.313-318.

10. Akamatsu S., Faivre G., Ihle T. Symmetry broken double fingers and seaweed patterns in thin-film directional solidification of a nonfaceted cubic crystal. //Phys. Rev. 1995. V.51. №5. P.4751-4773.

11. Lamelas F. J., Seader S., Zunic M., Sloane С. V. and Xiong M. Morphology transitions during the growth of alkali halides from solution // Phys. Rev B. 2003. V. 67), P. 045414 pl-pll.

12. Чернов А.А., Гиваргизов Е.И., Багдасаров Х.С. и др. Современная кристаллография т.3. Образование кристаллов. М.:Наука. 1980. 407 с.

13. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: Наука, 1975. 256 с.

14. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М.: Мир, 1974. 540 с.

15. Корилл С., Паркер Р. Кинетические явления на поверхности раздела и устойчивость формы сферического кристалла, растущего из расплава// Проблемы роста кристаллов / под ред. Н.Н. Шефталя и Е.И. Гиваргизова. М.: Мир. 1968. С. 146 156.

16. Coriell S.R., Parker R.L. Stability of a solid cylinder growing in a diffusion field// J. Appl.Phys. 1965. V.36. №2. P.632-637.

17. Brush L.N., Sekerka R.F., McFadden G.B. A numerical and analytical study of nonlinear bifurcations associated with the morphological stability of two-dimensional single crystal// J. Cryst. Growth. 1990. V. 100. P. 89-108.

18. Debroy P.P., Sekerka R.F. Weakly nonlinear morphological instability of a cylindrical crystal growing from a pure undercooled melt // Phys. Rev. E. 1996. V.53. №6. P. 6244-6252.

19. Debroy P.P., Sekerka R.F. Weakly nonlinear morphological instability of a spherical crystal growing from a pure undercooled melt // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 4608-4651.

20. Мартюшев Л.М., Сальникова E.M., Червонцева E.A. Слабонелинейный анализ на морфологическую устойчивость двумерного цилиндрического кристалла//ЖЭТФ. 2004. Т. 125, вып. 5. С. 1128-1138.

21. Чернов, А.А. Теория устойчивости гранных форм роста кристаллов. // Кристаллография. 1971. Т.16, вып. 4. С. 842 867.

22. Чернов А.А. Слоисто — спиральный рост кристаллов.// Успехи физических наук. 1961. T. LXXIII, вып. 2. С. 277 330.

23. Hilling W., Turnbull D., // J. Ghem. Phys. 1956. V. 24, №4. p. 914.

24. Lindenmeyer C.S., Chalmers B. Growth and perfection of crystals. (Wiley, NY).1958.P. 308.

25. Volmer. M., Marder M. // J. Phys. Chem. A. 1931. V. 154. P.97.

26. Pollattschek. H. Z. //J. Phys. Chem. 1929. V. 142 P. 289.

27. Powell R.E., Gilman T.S., Hildebromd Т.Н. //J. Am. Chem. Soc. 1951. V.73. P. 2525.

28. Ben-Jacob E., Garik P. The formation of patterns in non-equilibrium growth //Nature. 1990. V.343. P.523-530.

29. Hutter J.L., Bechhoefer J. Three classes of morphology transitions in the solidification of a lipid crystal // Phys. Rev. Lett. 1997. V.79, №20. P.4022-4025.

30. Sawada Y., Perrin В., Tabeling P. and Bouissou P. Oscillatory growth of dendritic tips in a three-dimensional system // Phys. Rev A. 1991. V.43. №10. P.5537-5540.

31. Shochet O. and Ben-Jacob E. Coexistence of morphologies in diffusive patterning // Phys.Rev E. 1993. V.48. №6. P. 4168-4171.

32. Mu Wang, Nai-ben Ming. Alternating morphology transitions in electro chemical deposition // Phys.Rev. Lett. 1993. V. 71. №1. P. 113-116.

33. Haken H., Synergetics (Springer, New York). 1978. 355 p.

34. Глендсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973. 280 с. (P.Glansdorff, I. Prigogine, Thermodynamic theoiy of structure, stability and fluctuations. NY: Wiley, 1971).

35. Kirkaldy J. S.// Phys. Rev. B. 1984. V.30. №12. P. 6889-6895.

36. Suzuki M., Sawada Y. // Phys. Rev. A. 1983. V. 27. №1. P. 478-489.

37. Мартюшев Л.М., Селезнев В.Д. Принцип максимальности производства энтропии как критерий отбора морфологических фаз при кристаллизации//ДАН. 2000. Т.371. №4. С.466-468.

38. Мартюшев Л.М., Селезнев В.Д., Кузнецова И.Е. Применение принципа максимальности производства энтропии к анализу морфологической устойчивости растущего кристалла // ЖЭТФ. 2000. Т.118. С.149-162.

39. Мартюшев Л.М., Кузнецова И.Е., Селезнев В.Д. Расчет полной морфологической фазовой диаграммы неравновесно растущего сферического кристалла при произвольном режиме роста // ЖЭТФ. 2002. Т.121, вып.2. С.363-371.

40. Мартюшев Л.М., Сальникова Е.М. Анализ морфологических переходов при неравновесном росте цилиндрического кристалла из раствора// Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, вып.6. С.57-65.

41. Martyushev L.M., Sal'nicova Е.М. Morphological transition in the development of a cylindrical crystal // Journal of Physics: Condensed Matter. 2003. V. 15. P. 1137-1146.

42. Мартюшев Л,М., Серебренников C.B. Морфологическая устойчивость кристалла при произвольных возмущениях границы // Письма в ЖТФ. 2006. Т.32, вып. 14. С.33-39.

43. Ben-Jacob Е., Garik P., Mueller Т., Grier D. Characterization of morphology transitions in diffusion-controlled systems // Phys. Rev. A. 1989. V. 38. №3. P.1370-1380.

44. Shochet O., Kassner K., Ben-Jacob E. et al. Morphology transitions during non-equilibrium growth. II. Morphology diagram and characterization of the transition // Physica A. 1992. V.187. P. 87-111.

45. Sawada Y., Dougherty A., Gollub J.P. Dendritic and fractal patterns in electrolytic metal deposits//Phys. Rev. Lett. 1986. V.56. №12. P.1260-1263.

46. Honjo H., Ohta S., Matsushita M. Phase diagram of a growing succionitrile crystal in supercooling-anisotropy phase space // Phys. Rev. A. 1987. V. 36. №9. P. 4555-4558.

47. Субботина И.Е. Начальная стадия потери . морфологической устойчивости диффузионно развивающихся систем: Дис. канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург. 2003. 110 с.

48. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.:Физматлит, 2001. 506 с.

49. Сальникова Е.М. Слабонелинейный и термодинамический анализ морфологической устойчивости диффузионно-растущего кристаллического зародыша: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург. 2003. 24 с.

50. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. 1981.304 с.

51. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Пер. с англ. М.: Мир. 1977. 350 с.

52. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. Пер. с англ. М.: Мир. 1984, 428 с.

53. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Пер. с англ. М.: Мир. 1975. 542 с.

54. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. Пер. с англ. М.: Мир. 1976. 392 с.

55. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. Пер. с англ. М.: Мир. 1981. 216 с.

56. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир. 1980.512 с.

57. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука. 1987. 288 с.

58. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971. 552 с.

59. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Пер. с англ. М.: Наука. 1979. 830 с.

60. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. 736 с.

61. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. Пер. с нем. М.: Наука. 1977. 342 с.

62. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука. 1981. 720 с.

63. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в Matlab. Учебный курс. СПб.: Питер. Киев: Издательская группа BHV. 2005. 512 с.

64. Zimmerman William B.J. Process modeling and simulation with finite element methods, Singapore: World scientific. 2004. 382 p.

65. Гафийчук B.B. Динамика формирования поверхностных структур в системах со свободной границей. Киев: Наукова Думка, 19901 216 с.

66. Rong-Fu Xiao, Alexander J. Iwan D., Rosenberg F. Morphological evolution of growing crystals: A Monte Carlo simulation // Phys. Rev. A. 1988. V.38. P.2447-2455.

67. Rong-Fu Xiao, Alexander J. Iwan D., Rosenberg F. Growth morphologies of crystal surfaces //Phys. Rev. A. 1991. V.43. P.2977-2992.

68. Yokoyama E., Kuroda T. Pattern formation in growth of snow crystals occurring in the surface kinetic process and the diffusion process // Phys. Rev. A.1990. V.41. P.2038-2049.

69. Ben-Jacob E. From snowflake formation to growth of bacterial colonies. Part I. Diffusive patterning in azotic systems // Contemp. Phys. 1993. V.34. P.247-273.

70. Chan S.K., Reimer H.H., Kahlweit M.J. On the stationary growth shape of NH4C1 dendrities // J. Cryst. Growth. 1976. V.32. P.303-315.

71. Ihle Т., Mtiller-Krumbhaar H. Fractal and compact growth morphologies in phase transitions with diffusion transport // Phys.Rev. E. 1994. V.49. №4. P.2972-2991.

72. Nanev C. Polyhedral instability skeletal and dendritic growth // Progr. Crystal Growth and Charact. 1997. V. 35. P. 1-26.

73. Grier D., Ben-Jacob E., Clarke R. et al. Moiphology andmicrostructure in electrochimical- deposition of zinc // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56. №12. P. 1264-1267.

74. Brener E.A., Miiller-Krumbhaar H., Temkin D.E. Structure formation* and the morphology diagram of possible structures in two-dimensional diffusional growth // Phys. Rev.E. 1996. V.54. №3. P.2714-2722.

75. Тимофеева В.А. Рост кристаллов из растворов расплавов. М.: Наука, 1978. 451с.

76. Martyushev L.M. , Chervontseva Е.А. Morphological stability of a twodimentional cylindrical crystal with a square-law supersaturation dependence of a growth rate // Journal of Physics: Condensed Matter. 2005. V. 17. P. 2889-2902.

77. Martyushev L.M., Chervontseva E.A. On the problem of the metastableregion at morphological instability // Physics Letters A. 2009. V. 373. P.4206 -4213.

78. Martyushev L.M., Chervontseva E.A. Coexistence of axially disturbedspherical articles during their nonequilibrium growth // EPL (Europhysics letters). 2010. V. 90. P. 10012 pi p6.

79. Сальникова E.M., Мартюшев JI.M., Червонцева. E. А. Анализ морфологической устойчивости двумерного цилиндрического кристалла //Труды международного междисциплинарного симпозиума "Фракталы и прикладная синергетика". Москва. 2003. С. 71-72.

80. Мартюшев JI.M1, Червонцева Е.А., Серебренников С.В. Потеря морфологической устойчивости как неравновесный фазовый переход. //

81. Сборник тезисов III Российского совещания "Метастабильные состояния и флуктуационные явления". Екатеринбург. 2005. С. 50.

82. Мартюшев Л.М., Серебренников C.B., Червонцева Е.А. Потеря морфологической устойчивости кристалла как неравновесный фазовый переход // Метастабильные состояния и фазовые переходы. Сборник научных трудов. Вып.8. Екатеринбург: УрО РАН, 2006. с. 147-153.

83. Мартюшев Л.М., Червонцева Е.А. Оценка морфологической устойчивости кристаллического зародыша круглой формы при произвольных возмущениях // Тезисы докладов XIII Национальной конференции по росту кристаллов. Москва. 2008. с. 151.