Морфологическая устойчивость фазовой границы при радиальном вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Бирзина, Анна Ильинична

• Бирзина, Анна Ильинична
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бирзина, Анна Ильинична

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ, СИМВОЛОВ, ЕДИНИЦ И ТЕРМИНОВ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ И ОБРАЗОВАНИЯ

ВЯЗКИХ ПАЛЬЦЕВ В ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ.

1.1 Механизм потери устойчивости. Существующие теоретические подходы.

1.2. Экспериментальные исследования образования вязких пальцев. Возмущение движения в ячейке Хеле-Шоу.

1.3. Принцип максимума производства энтропии.

1.4. Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ЖИДКОСТЕЙ В РАДИАЛЬНОЙ ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ.

2.1. Учет конечных размеров ячейки Хеле-Шоу при решении задачи устойчивости поверхности раздела при вытеснении двух жидкостей.

2.2. Учет скорости движения жидкостей.

2.2.1 Случай постоянного расхода поступающей жидкости.

2.2.2. Случай поступления жидкости при постоянном давлении.

2.2.3. Зависимость критического радиуса от параметров вытеснения.

2.3. Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ ПРИ РАДИАЛЬНОМ ВЫТЕСНЕНИИ В ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ.

3.1. Расчет производства энтропии жидкости при движении в ячейке Хеле-Шоу.

3.2. Изменение производства энтропии при переходе от устойчивого к неустойчивому вытеснению.

3.3. Зависимость метастабильной области от параметров вытеснения.

3.4. Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАЧАЛЬНОЙ СТАДИИ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ РАДИАЛЬНОМ ВЫТЕСНЕНИИ В ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ

4.1. Методика эксперимента.

4.1.1. Экспериментальная установка.

4.1.2. Программный модуль для анализа изображений.

4.1.3. Метод определения критического радиуса.

4.2. Результаты измерения критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения, сравнение полученных значений с теорией.

4.3. Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Морфологическая устойчивость фазовой границы при радиальном вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу»

Неравновесные (кинетические) фазовые переходы давно и интенсивно исследуются. Это связано со многими причинами. Среди них: потребности современных технологий, интересные и нетривиальные теоретические модели и подходы, существенно обогащающие наши представления об окружающем мире, эстетические аспекты и так далее. К неравновесным переходам относят также и так называемые морфологические переходы, типичным примером которых является образование удивительных по красоте фрактальных и дендритных кристаллических структур в результате потери морфологической устойчивости поверхности.

При исследовании переходов в неравновесных процессах было замечено, что они имеют много общих черт с равновесными фазовыми переходами. В частности, они могут иметь метастабильную зону в пространстве параметров, ограниченную спинодалью (границей со стороны области абсолютной неустойчивости по отношению к любым, в том числе бесконечно малым возмущениям) и бинодалью (границы со стороны области абсолютной устойчивости). В отличие от равновесных фазовых переходов кинетические фазовые переходы существенно менее изучены, так как неравновесность процесса накладывает дополнительные сложности как на экспериментальные методы, так и на теоретические подходы.

В настоящей работе исследуется потеря устойчивости границы раздела двух жидкостей при вытеснении в радиальной ячейке Хеле-Шоу. Это является классическим морфологическим фазовым переходом. В этом процессе менее вязкая жидкость вытесняет более вязкую при горизонтальном движении в ячейке Хеле-Шоу (две плоскопараллельные пластины, расположенные на малом расстоянии друг относительно друга), и с течением времени граница раздела жидкостей, изначально являющаяся практически круглой, начинает приобретать причудливую, "пальцеобразную" форму (рис. 1).

Рис. 1. Примеры образования вязких пальцев в ячейке Хеле-Шоу: (а) течение смешивающихся жидкостей; (Ь) течение несмешивающихся жидкостей под действием гравитации; (с) течение смешивающихся неньютоновских жидкостей в радиальной ячейке. [4]

Выбор подобной системы представляется очень важным в связи со следующим. Данный переход (во всяком случае, его начальная стадия) может быть достаточно просто и точно математически смоделирован и проанализирован. В большинстве случаев оказывается достаточным проведение линейного анализа на устойчивость границы раздела, при этом поле давления хорошо описывается двумерным уравнением Лапласа, а свойства среды являются изотропными (в отличие от морфологических переходов при кристаллизации). Вместе с тем, и экспериментальная реализация и исследование данного явления не сопряжены с особыми сложностями. Опыт с успехом может проводиться в обычных комнатных условиях без использования специальной аппаратуры, явление хорошо воспроизводимо и наблюдаемо для многих жидкостей. Последнее позволяет осуществлять исследование в широком диапазоне параметров. Важным моментом является возможность простого экспериментального введения возмущений границы раздела двух жидкостей (для многих других систем, например кристаллических, это не столь просто). Благодаря таким особенностям данная система оказывается очень ценной с точки зрения возможности не только качественной, но и количественной проверки различных теоретических подходов и гипотез описания морфологических фазовых переходов.

Процесс вытеснения в ячейке Хеле-Шоу характеризуется следующими параметрами: радиусом отверстия, через которое поступает вытесняющая жидкость, внешним радиусом ячейки, вязкостями вытесняемой и вытесняющей жидкостей, а также коэффициентами влияния скорости движения жидкостей на поперечный профиль фазовой границы. Однако в литературе нет работ, в которых были бы учтены зависимости от всех этих факторов, и рассматриваются упрощающие приближения, в которых частью этих параметров пренебрегают. Также следует отметить, что существенным недостатком имеющихся теоретических работ на устойчивость фронта является то, что они не позволяют ответить на следующий вопрос, который сразу возникает на практике, при анализе экспериментальных результатов: каким будет критический размер устойчивости, если возмущение будет произвольным (не бесконечно малым)? Как следствие, чтобы преодолеть этот недостаток, необходимо вводить дополнительные гипотезы и методы расчета. К одному из таких методов, появившихся в последнее время, можно отнести использование анализа изменения производства энтропии при морфологическом фазовом переходе, однако для определения области метастабильности в ячейке Хеле-Шоу этот метод не использовался.

Несмотря на достаточно большое число экспериментальных исследований возникновения и роста вязких пальцев в радиальной ячейке Хеле-Шоу, основное внимание в них уделяется развитому режиму неустойчивости с регистрацией числа возникающих «пальцев», их формы и скорости роста. Ни в одной из работ не исследуется первоначальный этап возникновения неустойчивости на фазовой границе, не измеряется критический размер срыва устойчивости. Хотя именно этот размер является основным результатом линейной теории устойчивости, знание которого позволит судить о том, на каком этапе вытеснения начнется рост пальцев, и будет ли вообще он происходить в ячейке данного размера.

Исходя из отмеченных выше проблем, целью диссертационной работы являлось комплексное теоретическое и экспериментальное изучение начальной стадии потери морфологической устойчивости поверхности раздела при радиальном вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу.

В рамках этой цели решались следующие задачи:

1. Решение линейной задачи устойчивости фронта вытеснения с учетом всех характеризующих процесс вытеснения факторов и определение критического радиуса срыва устойчивого вытеснения;

2. Разработка методики и проведение анализа изменения производства энтропии при морфологическом фазовом переходе, и определение на этой основе критического радиуса, после которого происходит инверсии знака этого изменения;

3. Экспериментальное измерение критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения;

4. Сравнение опытных и теоретических значений критических радиусов срыва устойчивости;

5. Исследование влияния внешнего возмущения по первой гармонике на значение критического радиуса устойчивости.

Защищаемые положения:

1. Проведенный в работе учет конечности размеров ячейки Хеле-Шоу приводит к ненулевому конечному значению критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения по первой гармонике (трансляционный сдвиг), тогда как пренебрежение этим вкладом соответствует устойчивому решению;

2. В соответствии с теоретическими предсказаниями при вытеснении воздухом силиконового масла экспериментально подтверждено существование трансляционной неустойчивости;

3. Подбором соотношения вязкостей можно добиться того, что потеря устойчивости будет происходить по определенной, заранее заданной гармонике;

4. Критический радиус Яъ, определяемый из условия равенства нулю разности производства энтропии при устойчивом и неустойчивом режимах вытеснения, всегда меньше критического радиуса Rs, который находится из условия равенства нулю скорости изменения амплитуды возмущения (линейный анализ устойчивости);

5. Экспериментальное подтверждение того, что потеря устойчивости радиального фронта вытеснения воздухом силиконового масла при сдвиговом воздействии, моделирующем трансляционное возмущение, происходит при размерах, меньших критического радиуса спинодали Rs.

Научная новизна

1. Впервые проведено решение линейной задачи устойчивости поверхности раздела жидкостей при вытеснении в радиальной ячейке Хеле-Шоу с учетом всех определяющих процесс вытеснения факторов -радиуса отверстия, через которое поступает вытесняющая жидкость, внешнего радиуса ячейки, вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкостей, а также влияния скорости движения жидкостей на поперечный профиль фазовой границы;

2. Впервые получено аналитическое выражение для критического радиуса потери устойчивости фронта вытеснения по трансляционной моде;

3. Впервые рассчитаны критические радиусы потери устойчивости для второй, третьей и четвертой гармоник при комплексном учете всех определяющих параметров вытеснения;

4. Обнаружено, что изменение отношения вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкости нелинейно влияет на критический радиус потери устойчивости;

5. С использованием принципа максимума производства энтропии и линейного анализа на устойчивость впервые построена морфологическая диаграмма (с устойчивой, неустойчивой и метастабильной областями) для различных параметров вытеснения и указана последовательность морфологических переходов в зависимости от отношения вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкостей в метастабильной области;

6. Впервые экспериментально измерен критический радиус потери устойчивости поверхности раздела воздух - силиконовое масло для I различных значений расхода вытесняющей жидкости и толщины ячейки Хеле-Шоу.

Практическая ценность

Предложенные математические модели и полученные результаты могут быть использованы при совершенствовании технологий нефтедобычи, связанных с извлечением остаточной нефти из скважины с помощью воды, поступающей под давлением. К перспективным направлениям применения результатов, представленных в работе, можно отнести решение как ряда экологических проблем связанных с распространением жидких отходов в пористых средах, так и некоторых гидрологических вопросов, связанных с распространением подземных вод.

Апробация работы

Результаты исследования были представлены для обсуждения на тринадцатой всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-13» (Ростов-на-Дону, Таганрог, 2007), XII отчетной конференции молодых ученых УГТУ-УПИ (Екатеринбург, 2007), Четвертом Российском совещании "Метастабильные состояния и флуктуационные явления" (Екатеринбург, 2007), Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах НПСС-2007» (Пермь, 2007), Workshop on Maximum entropy production in Earth System (Jena, Germany, 2008), на семинарах кафедры молекулярной физики физико-технического факультета УГТУ-УПИ.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Бирзина, Анна Ильинична

4.3. Выводы по главе 4.

1. Впервые проведено экспериментальное исследование начальной стадии потери устойчивости при радиальном вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу с измерением критического радиуса.

2. Установлено существование трансляционной неустойчивости (неустойчивости по первой гармонике). Показано, что критический радиус при п= 1 не зависит от расхода воздуха Q, что соответствует теоретическим предсказаниям главы 2. Численные значения критического радиуса расходятся с теоретическими не более, чем на 16%.

3. Показано, что отношения критических радиусов для второй и третьей гармоник хорошо соответствуют теоретическим значениям этого параметра.

4. Проведено экспериментальное исследование срыва трансляционной устойчивости круглой границы вытеснения жидкости в ячейке Хеле-Шоу при сдвиге пластин ячейки. Зафиксировано снижение критического радиуса первой гармоники из-за сдвига.

109

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В настоящей работе проведен расчет устойчивости фронта радиального вытеснения в ячейке Хеле-Шоу при постоянном расходе и постоянном давлении. При этом в отличие от предшествующих работ произведен комплексный учет конечных размеров ячейки и вязкости вытесняющей жидкости. Помимо существенного количественного уточнения результатов (уменьшение критических размеров потери устойчивости Rs), это позволило определить критический размер для потери устойчивости по трансляционному механизму, которая является определяющей для дальнейшего развития формы поверхности раздела фаз. Также это позволило предсказать, по меньшей мере, два интересных эффекта:

- Найдено, что чувствительность системы к возмущению типа трансляции зависит от отношения вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкостей и размеров ячейки, и не зависит от расхода вытесняющей жидкости и поверхностного натяжения на границе фаз;

- Показано, что подбором отношения вязкостей жидкостей либо рядом других параметров можно добиться того, что потеря устойчивости системы будет начинаться по заранее заданной возмущающей гармонике.

2. Рассчитано производство энтропии и его изменение при потере устойчивости поверхности раздела фаз, что позволило определить размер Rb, при котором производство энтропии при вытеснении жидкости с возмущенной и с невозмущенной границей становятся равными. Предсказаны возможные последовательности морфологических переходов при вытеснении жидкости в ячейке Хеле-Шоу.

3. В работе с помощью созданного экспериментального комплекса впервые проведено количественное исследование начальной стадии потери устойчивости при радиальном вытеснении силиконового масла воздухом в ячейке Хеле-Шоу. Можно выделить два основных результата:

- Для изученной системы для потока вытесняющей жидкости от 80 до 230 мм /с и толщине ячейки 0.6-0.8 мм зафиксировано наличие трансляционного механизма потери морфологической устойчивости. Этот факт, а также количественное сравнение полученных экспериментальных значений и теоретически предсказанных, позволяет заключить, что теория, учитывающая конечность размеров ячейки Хеле-Шоу, является наиболее пригодной для описания реальных экспериментов;

- Обнаружено, что критические размеры устойчивости в подавляющем большинстве случаев оказываются меньше значений, предсказываемых линейной теорией устойчивости. Другими словами неравновесный переход от круглой формы границы к искривленной происходит раньше, чем это следует из теории, основанной на предположении, что амплитуда возмущения границы бесконечно малая. Этот результат приводит к заключению, что величина возмущения оказывает влияние на положение точки перехода. Введение трансляционных возмущений, проведенное в работе опытным путем, подтверждает этот факт - потеря устойчивости по вводимому возмущению наблюдается при меньших критических размерах, чем при отсутствии внешнего возмущения.

По результатам исследования опубликовано 8 работ [14,15,86,89-93].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бирзина, Анна Ильинична, 2009 год

1. Saffman P.G., Taylor G. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid // Proc. R. Soc. London A,. V. 245, 1958. P.312-329.

2. Wilson S.D.R. A Note on the Measurement of Dynamic Contact Angles // J. Colloid Interface Sci., V. 51, № 3, 1975. P. 532-534.

3. Paterson L. Radial fingering in a Hele Shaw cell // J. Fluid Mech., V. 113, 1981. P. 513-529.

4. Homsy G.M. Viscous fingering in porous media // Ann. Rev. Fluid Mech., V. 19, 1987. P. 271-311.

5. McCloud K.V., Maher J.V. Experimental perturbations to Saffman-Tayior flow // Physics Reports., V. 260, № 3, 1995. P. 139-185.

6. Thome H., Rabaud M., Hakim V., Couder Y. The Saffman-Taylor instability: From the linear to the circular geometry // Phys. Fluids A., V. 1, 1989. P.224-240.

7. Bensimon D., Kadanoff L. P., Liang S., et al. Viscous flows in two dimensions // Rev. Mod. Phys., V. 58, № 4, 1986. P.977-999.

8. Alvarez-Lacalle E., Ortin J., Casademunt Relevance of dynamic wetting in viscous fingering patterns // Phys. Rev. E., V.74, 2006. P. 025302.

9. Kessler D.A., Koplik J., Levin H. Pattern selection in fingered growth phenomena // Adv. Physics., V. 37, № 3, 1988. P. 255-339.

10. Langer J.S. Dendrites, Viscous Fingers, and the Theory of Pattern Formation // Science, V. 243, № 4895, 1989. P. 1150 1156.

11. Ben-Jacob E., Garik P. Ordered shapes in nonequilibrium growth // PhysicaD, V. 38, 1989. P. 16-28.

12. Ben-Jacob E, Deutscher G, Garik P et al. Formation of a Dense Branching Morphology in Interfacial Growth // Phys. Rev. Lett., V. 57(15), 1986. P. 1903-1906.

13. Buka A. and Palffy-Muhoray P., Stability of viscous fingering patterns in liquid crystals // Phys. Rev. A, V. 36(3), 1987 P. 1527-1529.

14. Martyushev L.M. and Birzina A.I. Morphological stability of the interphase boundary of a fluid displaced in a finite Hele-Shaw cell // Tech. Phys. Letter, V. 34(3), 2008. P. 213-216.

15. Martyushev L.M. and Birzina A.I. Specific features of the loss of stability during radial displacement of fluid in the Hele-Shaw cell // J. Phys.: Condens. Matter, V.20, 2008. P. 045201.

16. Miranda J.A. and Widom M. Radial fingering in Hele-Shaw cell: a weakly nonlinear analysis // Physica D, V. 120, 1998. P.315-328.

17. Hele-Shaw H.J.S. The flow of water //Nature, V. 58, 1898. P. 34-36.

18. Шейдеггер А. Физика течения жидкостей через пористые среды. -М.: Гостоптехиздат, 1960.

19. Silvana S. S. Cardoso and Andrew W. Woods The formation of drops through viscous instability // J. Fluid Mech., V.289, 1995. P. 351-378.

20. Park C.-W. and Homsy G. M. Two-phase displacement in Hele Shaw cells: theory // J. Fluid Mech., V. 139, 1984. P. 291-308.

21. Buka A., Palffy-Muhoray P. and Racz Z. Viscous fingering in liquid crystals // Phys. Rev. A, V. 36(8), 1987. P. 3984-3989.

22. Elliot G.E.P. and Riddiford A.C. Dynamic contact angles : I. The effect of impressed motion // J. Colloid Interface Sci., V. 23, 1967. P. 389-398.

23. Reinelt D.A. Interface conditions for two-phase displacement in Hele-Shaw cells // J. Fluid Mech., V. 183, 1987. P. 219-234.

24. Reinelt D.A. The effect of thin film variations and transverse curvature on the shape of fingers in a Hele-Shaw cell // Phys. Fluids, V. 30 (9), 1987. P. 2617-2623.

25. Schwartz L. Stability of Hele-Shaw flows: The wetting-layer effect // Phys. Fluids, V. 29 (9), 1986. P. 3086-3088.

26. E. Ben-Jacob, P. Garik and D. Grier I. Interfacial Pattern Formation Far From Equilibrium // Superlattices and Microstructures, V. 3, N. 6, 1987. P. 599-615.

27. Gingras M.J.P. and Racz Z. Stability analysis of diffiision-controlle growth: onset of instabilities and breakdown of linear regime // Proceedings of the Second Woodward Conference, San Jose State University, 1989.

28. Gingras M.J.P. and Racz Z. Noise and the linear stability analysis of viscous fingering// Phys. Rev. A, V. 40, 1989. P. 5960-5965.

29. Kessler D.A., Levin H. Coalescence of Saffman-Taylor fingers: A new global instability//Phys. Rev. A, V. 33, 1986. P. 3625-3627.

30. Shraiman B.I. and Bensimon D. Singularities in Nonlocal Interface Dynamics // Phys. Rev. A, V. 30, 1984. P. 2840-2842.

31. Bensimon D. Stability of viscous fingering // Phys. Rev. A, V. 33, 1986. P. 1302-1308.

32. Menikoff R. and Zemach C. Rayleigh-Taylor Instability and Use of Conformal Maps for Ideal Fluid Flow //J. Comput. Phys., V. 51, 1983. P.28-64.

33. Murali Sastry, Anand Gole, A. G. Banpurkar, A. V. Limaye and S. B. Ogale Variation in viscous fingering pattern morphology due to surfactant-mediated interfacial recognition events // Current Science, V. 81, N. 2, 2001. P. 191-193.

34. Rauseo S.N., Barnes P.D., Jr. and Maher J.V. Development of radial fingering patterns// Phys. Rev. A 1987. V. 35 P. 1245-1251

35. Thome H., Rabauh M., Hakim V., and Couder Y. The Saffman-Taylor instability: From the linear to the circular geometry // Phys.Fluids, V. 1, N. 2, 1989. P. 224-240.

36. Zocci G., Shaw В., Libchaber A. and Kadanoff L. Finger narrowing under local perturbations in the Saffman-Taylor problem // Phys. Rev. A, V. 36, 1987. P. 1894-1900.

37. Rabaud M., Couder Y. and Gerard N. Dynamics and stability of anomalous Saffman-Taylor fingers // Phys. Rev. A, V. 37, 1988. P. 935-947.

38. Brener E., Levine H. and Tu. Y. Nonsymmetric Saffman-Taylor fingers// Phys. Fluids A, V. 3, 1991. P. 529-534.

39. Couder Y, Cardoso O, Dupuy D, Tavernier P. and Thorn W. Dendritic growth in the Saffman-Taylor experiment // Europhys. Lett., V.2, 1986. P. 437-443.

40. Couder Y, Gerard N. and Rabaud M. Narrow fingers in the Saffman-Taylor instability//Phys. Rev. A, V. 34, 1986. P. 5175-5178.

41. Combescot R. and Dombre T. Selection in the anomalous Saffman-Taylor fingers induced by a bubble // Phys. Rev. A, V. 39, 1989. P. 35253535.

42. Thome H., Combescot R. and Couder Y. Controlling singularities in the complex plane: Experiments in real space // Phys. Rev. A, V. 41, 1990. P. 5739-5742.

43. Ben-Jacob E., Godbey R., Goldenfield N., Koplik J., Levine H., Mueller T. and Sander L.M. Experimental Demonstration of the Role of Anisotropy in Interfacial Pattern Formation // Phys. Rev. Lett., V. 55, 1985. P. 13151318.

44. Chen J.-D. and Wilkinson D. Pore-Scale Viscous Fingering in Porous Media//Phys. Rev. Lett, V.55, 1985. P. 1892-1895.

45. Chen J.-D. Radial viscous fingering patterns in Hele-Shaw cells // Experiments in Fluids, V. 5, 1987. P. 363-371.

46. Horvath V, Viscek T, Kertesz J. Viscous fingering with imposed uniaxial anisotropy // Phys. Rev. A, V. 35, 1987. P. 2353-2356.

47. Matsushita M. and Yamada H. Dendritic growth of single viscous finger under the influence of linear anisotropy // J. Crystal Growth, V. 99, 1990. P. 161-164.

48. Toth-Katona T, Buka A. Nematic-liquid-crystal-air interface in a radial Hele-Shaw cell: Electric field effects // Physical Review E, V.67, 2003. P. 041717.

49. Folch R, Toth-Katona T, Buka A, Casademunt J, Hernandez-Machado A. Periodic forcing in viscous fingering of a nematic liquid crystal // Physical Review E, V. 64, 2001. P. 056225.

50. Burns S.B.K. and Advani S.G. An experimental investigation of initial oscillations in a radial Hele-Shaw cell // Experiments in Fluids, V. 21, 1996. P. 187-200.

51. Kirkaldy J.S. Spontaneous evolution of spatiotemporal patterns in materials //Rep. Prog. Phys., V. 55, 1992. P. 723-795.

52. Kirkaldy J.S. Entropy criteria applied to pattern selection in systems with free boundaries //Metall. Trans. A, V. 16, 1985. P. 1781-1797.

53. Мартюшев JT.M., Селезнев В.Д., Кузнецова И.Е. Применение принципа максимальности производства энтропии к анализу морфологической устойчивости растущего кристалла // ЖЭТФ, Т. 118, вып. 1 (7), 2000. С. 149-162.

54. Zener С. Kinetics of the decomposition of austenite// Trans. AIME, V. 167, 1946. P. 550.

55. Venugopalan D., Kirkaldy J.S. Theory of cellular solidification of binary alloys with applications to succinonitrile-salol // Acta Metall., V. 32, 1984. P. 893-906.

56. Kirkaldy J.S. Predicting the patterns in lamellar growth // Phys. Rev. B. V. 30(12), 1984. P. 6889-6895.

57. Пригожин И. Современная термодинамика / И. Пригожин, Д. Кондепуди. М.: Мир, 2002. 462 с.

58. Пригожин И. Введение в термодинамику неравновесных процессов /И. Пригожин. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 127 с.

59. Темкин Д.Е. О скорости роста кристаллической иглы в переохлажденном расплаве // ДАН СССР, Т. 132, №6, 1960. С. 13071310.

60. Boiling G.F., Tiller W.A. Growth from the Melt. III. Dendritic Growth // J. Appl. Phys., V. 32(12), 1961. P. 2587-2605.

61. Huang S.-C., Glicksman M.E. Overview 12: Fundamentals of dendritic solidification—I. Steady-state tip growth // Acta Metall., V. 29, 1981. P. 701.

62. Langer J.S., Mtiller-Kmmbhaar H. Theory of dendritic growth—I. Elements of a stability analysis // Acta Metall., V. 26, 1978. P. 1681.

63. Langer J.S. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Rev. Mod. Phys., V. 52, 1980. P. 1-28.

64. Тиллер У.A. // Физическое металловедение / под ред. Р. Канна. М.: Мир, 1968. Т. 2. С. 155.

65. Билони X. // Физическое металловедение / под ред. Р. Канна, П. Хаазена. М.: Металлургия, 1987. Т. 2. С. 178.

66. Brener Е.А., Melnikov V.I. Pattern selection in two-dimensional dendritic growth // Adv. Phys., V. 40,1991. P. 53.

67. Ben-Jacob E., Garik P., Mueller Т., et al. Characterization of morphology transitions in diffusion-controlled systems // Phys. Rev. A, V. 38, 1989. P. 1370-1380.

68. Ben-Jacob E., Garik P. The formation of patterns in non-equilibrium growth//Nature, V. 343, 1990. P. 523-530.

69. Ben-Jacob E. E. From snowflake formation to growth of bacterial colonies Part I. Diffusive patterning in azoic systems // Contemp. Phys., V. 34, 1993. P. 247-273.

70. Аметов И.М. Энтропийный анализ фильтрационных течений// Инженерно-физический журнал, Т. 72, № 1, 1999. С. 26-31.

71. Wang Mu, Ming Nai-ben Alternating morphology transitions in electrochemical deposition // Phys.Rev. Lett., V. 71, 1993. P. 113-116.

72. Hutter J.L., Bechhoefer J. Many modes of rapid solidification in a liquid crystal // Physica A, V. 239, 1997. P. 103-110.

73. Hill A. Entropy production as the selection rule between different growth morphologies // Nature, V. 348, 1990. P. 426-428.

74. Hill A. Morphologies of growth // Nature, V. 351, 1991. P. 529-530.

75. Мартюшев JI.M., Кузнецова И.Е., Селезнев В.Д. Расчет полной морфологической фазовой диаграммы неравновесно растущегосферического кристалла при произвольном режиме роста// ЖЭТФ, Т. 121, вып. 2, 2002. С. 363-371.

76. Martyushev L.M., Sal'nikova Е.М. Morphological transitions in the development of a cylindrical crystal // J. Phys.: Cond. Matter., V. 15, N. 7, 2003. P.1137-1146.

77. Trivedy R., Shen Y., Liu S. Cellular-to-dendritic transition during the directional solidification of binary alloys // Metall. Mater.Trans. A, V. 34, 2003. P. 395-401.

78. Martyushev L.M. and Seleznev V.D. Maximum entropy production principle in physics, chemistry and biology // Physics Reports, V.426, N. 1, 2006. P.1-45.

79. Paterson L. Fingering with miscible fluids in a Hele Shaw cell// Phys. Fluids, V. 28, N.l, 1985. P. 26-30.

80. De Groot S. R. and Mazur P. Non-Equilibrium Thermodynamics (North-Holland, Amsterdam) 1962

81. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.6 Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

82. Черняк В. Г., Суетин П.Е. Механика сплошных сред. М.: Физматлит, 2006.

83. Bedeaux D., Albano А. М. and Mazur P. Boundary conditions and non-equilibrium thermodynamics //Physica A, V. 82, 1976. P. 438-462.

84. Caroly B, Caroly С and Roulet В Non-equilibrium thermodynamics of the solidification problem // J. Cryst. Growth, V. 66, 1984. P. 575-585.

85. Martyushev L. M. Some interesting consequences of the maximum entropy production principle // JETP, V. 104(4), 2007. P. 651-654.

86. Martyushev L. M., Sal'nikova E. M. and Chervontseva E. A. Weakly nonlinear analysis of the morphological stability of a two-dimensional cylindrical ciystal // JETP, V. 98, 2004. P. 986-996.

87. Martyushev L M and Birzina A I Entropy production and stability during radial displacement of fluid in Hele-Shaw cell // J. Phys.: Condens. Matter, V. 20, 2008. P. 465102.

88. Neuman S.P. Theoretical derivation of Darcy's law // Acta Mechanica, V. 25, 1977. P.153-170.

89. Алексеев П.Г., Скороходов И.И., Поварнин П.И. // Свойства кремнийорганических жидкостей / Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1997.

90. Бирзина А.И. образование вязких пальцев в ячейке Хеле-Шоу. Учет границы // Сборник тезисов, материалы Тринадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-13, Ростов-на-Дону, Таганрог), 2007. С. 587.

91. Бирзина А.И., Мартюшев JI.M. Образование вязких пальцев в ячейке Хеле-Шоу конечных размеров // Научные труды XII отчетной конференции молодых ученых УГТУ-УПИ. 4.2. Екатеринбург. УГТУ-УПИ. 2007. С. 34-37.

92. Birzina Anna, Martyushev Leonid. Maximum entropy production and instability of displaced fluid// Workshop on Maximum entropy production in Earth System, Max-Planck Institute for Biogeochemistry, Jena, Germany, 0709 May 2008