Синтез интервального наблюдателя для линейных систем с переменными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Чеботарев, Станислав Геннадьевич

• Чеботарев, Станислав Геннадьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Чеботарев, Станислав Геннадьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1 Введение в теорию интервальных систем. Постановка задачи

1.1 Основные понятия

1.2 Обзор ЛПП-систем (линейных с переменными параметрами)

1.2.1 Происхождение

1.2.2 Стационарные и нестационарные системы

1.2.3 Связи с другими системами

1.2.4 Области применения

1.2.5 Анализ устойчивости

1.2.6 Заключительные замечания

1.3 Интервальные наблюдатели

1.3.1 Введение в теорию интервальных наблюдателей

1.3.2 Обзор работ по теории интервальных наблюдателей

1.3.3 Обобщенная постановка задачи

1.4 Заключительные выводы по главе

2 Построение интервального наблюдателя для ЛПП-систем с

измеряемым вектором переменных параметров

2.1 Основной результат

2.2 Числовые примеры

2.3 Заключительные выводы по главе

3 Построение интервального наблюдателя для ЛПП-систем с

неизмеряемым вектором переменных параметров

3.1 Основной результат

3.1.1 Интервальный наблюдатель для систем с неотрицательными

значениями состояния

3.1.3 Интервальный наблюдатель для систем со знакопеременными значениями состояния

3.2 Числовые примеры

3.3 Заключительные выводы по главе

4 Экспериментальные результаты моделирования полученных

алгоритмов на примере робототехнических комплексов

4.1 Робот-сегвей (8е§шау)

4.1.1 Описание, конструкция, математическая модель

4.1.2 Результаты математического моделирования

4.2 Робот-болбот (Ва11Во1;)

4.2.1 Описание, конструкция, математическая модель

4.2.2 Результаты математического моделирования

4.3 Заключительные выводы по главе

Заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез интервального наблюдателя для линейных систем с переменными параметрами»

ВВЕДЕНИЕ

Несмотря на большую историю, в развитие теории автоматического управления продолжается поток работ, посвященных устройствам оценки вектора состояния систем. Это свидетельствует о том, что многие вопросы до сих пор остаются нерешенными. Теория наблюдателей, развиваемая с начала 60-х годов прошлого столетия сначала к линейным, а позже и к нелинейным системам, находит в настоящее время широкое применение и на практике. Однако спектр актуальных вопросов несколько усложнился и сместился в область исследования систем управления с неопределенными (интервальными) параметрами, нестационарных систем и др.

Значительный вклад в решение поставленных задач внесли как отечественные, так и зарубежные ученые. Среди них можно назвать таких авторов, как Андреев A.A., Воронов A.A., Мирошник И.В., Попов Е.П., Никифоров В.О., Бесекерский В.А., Ляпунов A.M., Фрадков А.Л., Солодовников В.В., Desoer С.А., Kwakernaak Н., Chen С.Т. и другие, результаты работы которых отражены в различных научных трудах и изданиях [1,2, 3, 6, 7, 8, 12, 17, 18, 20, 89].

Большинство ведущих экспертных организаций предсказывают взрывной рост применения робототехники в промышленности и быту в ближайшие годы. Одна из проблем, с которой сталкиваются разработчики, состоит в необходимости оценивания состояния объекта в условиях меняющегося окружения (температура, влажность, радиация, внешние возмущения) и варьирующихся параметров самого объекта (масса, коэффициенты трения и т.п.). Поэтому проблема оценки неизмеряемого вектора переменных состояния очень актуальна, и на сегодняшний день ее решение требуется во многих приложениях [44, 70, 109].

В рамках области систем автоматического управления и контроля существуют две задачи:

1. Задача наблюдения сводится к восстановлению неизмеряемых переменных вектора состояния объекта.

2. Задача идентификации параметров, заключающаяся в восстановлении математической модели и оценивании неизвестных параметров системы.

Из поставленных задач возникают два понятия применительно к их решению: наблюдатели и идентификаторы.

Наблюдатель - это структурный блок или алгоритм, который занимается оценкой неизмеряемых переменных состояния ОУ х, или внешней среды [1,2,12, 89]. Наблюдатель вырабатывает текущие значения оценки х(0 вектора состояния х(0 и оценки у(0 выходной переменной уЦ). Подобные устройства используются в тех случаях, когда не все переменные состояния поддаются измерениям, или же в присутствие серьезных помех измерений.

Если говорить о математической модели ОУ, то она содержит коэффициенты в\, которые являются параметрами управляемого процесса или устройства. Эти параметры могут быть записаны в виде вектора параметров в = {в1). Идентификаторы параметров используются в системах с нестационарными или неизвестными параметрами [13, 30]. Также идентификаторы применяются в адаптивных системах управления, когда параметры регулятора настраиваются в ходе работы системы [18, 13].

Стоит отметить ряд существенных преимуществ использования устройств и систем оценки вектора состояния. Во-первых, возможность восстановить недоступные для измерения переменные позволяет исключить установку дополнительных датчиков, что способствует улучшению эксплуатационных и стоимостных характеристик систем управления. Во-вторых, наличие датчиков требует учета в модели объекта управления дополнительной динамики самих датчиков, что может вызвать' проблемы синтеза обратной связи в связи с чрезмерным ростом порядка модели объекта управления. В третьих, структура наблюдателя состояния

для линейных систем совпадает со структурой фильтра Калмана, что позволяет осуществить фильтрацию (в том числе и оптимальную) выходных переменных при наличии шумов в каналах измерения. Учитывая, что, как правило, сигналы датчиков содержат шумы, вопросы фильтрации все равно приходится рассматривать. Таким образом, устройства наблюдения выполняют в системах управления двойную функцию — с одной стороны, с их помощью получают информацию о векторе состояния и параметрах объекта управления, с другой - они являются фильтрующими элементами, что существенно при наличии шумов в каналах измерений и управлений. Для терминологической точности определим термин «фильтр» как устройство для фильтрации сигналов, термин «наблюдатель» как устройство для получения оценок компонент вектора состояния.

Задача построения наблюдателя заключается в синтезе динамической системы, с помощью которой можно получить оценку вектора состояний по измеряемым данным, таким как вход и выход системы. Большое число научных работ посвящено решению данной задачи для разных классов объектов управления при различных свойствах и параметрах системы, а также доступной информации.

Основы теории наблюдателей для линейных стационарных систем управления были заложены математиком Д. Люенбергером в 1963 году. На сегодняшний день продолжается поток научных трудов, посвященных развитию данной теории, ее применению к новым классам объектов управления в разной постановке задач.

На текущем этапе развития теории автоматического управления задача оценивания неизмеряемого вектора состояния для полностью определенных линейных стационарных систем решена. Но если рассматривать системы с неопределенностями, то для них данная задача еще не нашла окончательного и однозначного решения. Работы, посвященные построению устройств оценки вектора состояния систем с неизвестными возмущениями, продолжают появляться.

Что же касается нелинейных объектов управления, то здесь задача построения наблюдателя имеет гораздо более сложный характер, и на данный момент имеет решение только для некоторых отдельных классов нелинейных динамических систем.

Множество факторов, такие как внешние возмущения, старение оборудования, погрешности измерений, оказывают негативное влияние на систему, что приводят к тому, что параметры объекта при анализе и синтезе задаются неточно. Такие системы называются системами с неопределенными параметрами. Эти параметры могут быть как интервальными, так и периодически изменяющимися или функциями некоторых переменных.

Системам управления с неопределенными параметрами всегда уделялось большое внимание. Это связано с тем, что математические модели объектов управления не всегда точно описывают физические процессы и устройства. Существует множество вариантов описания таких объектов, а, следовательно, и методов решения задач анализа и синтеза систем управления.

Среди них можно выделить объекты, описываемые моделями с мультилинейной параметрической зависимостью; полиномами с коэффициентами, являющимися непрерывными (линейными) функциями от переменной в каком-либо интервале; дисковыми полиномами; сферическими семействами полиномов; интервальными полиномами.

В задачах, где неопределённости и неоднозначности возникают с самого начала и являются неотъемлемой частью постановки задачи, интервальный анализ и его специфичные методы имеют наивысшую ценность. Интервальный анализ применяется даже в задачах, формулируемых без привлечения понятия интервала. Например, в последние десятилетия интервальный анализ получил широчайшее распространение в качестве основы для так называемых доказательных (достоверных, надёжных) вычислений на ЭВМ, несмотря на то, что в

этих приложениях интервальные методы являются всего лишь вспомогательным средством для решения не интервальных задач.

До появления и широкого распространения вычислительной техники развитие интервального анализа было весьма затруднено, т.к. он, по своей сути, алгоритмичен. Для того чтобы довести решение до числа, требуется реализация на вычислительных машинах. Но с бурным развитием методов приближённых вычислений и активным распространением ЭВМ, потребность в интервальных методах и оценках стала ощущаться достаточно остро уже в середине прошлого века. В связи с этим, первые работы по интервальному анализу появились практически в одно время и независимо в разных странах.

Одним из истоков возникновения интервального анализа и его методов была задача автоматического учета ошибок округлений в расчетах с конечной точностью. Также, был выделен целый класс неопределенностей - ограниченных по величине неопределенностей (в англоязычной литературе bounded parameter model, bounded error approach, bounded disturbances и т.д.), для которых подобные методы были хорошо применимы. Интервальное представление неопределённости отвечает достаточно широкому классу прикладных задач, т.к. является наименее ограничительным. В таких задачах часто нет оснований или недостаточно информации для того, чтобы рассматривать эту неопределённость как случайную. В связи с этим, направление исследований на разработку систем интервального наблюдения более чем обоснованно.

Бурно развивающаяся практика требовала развития аппарата для учёта неопределённостей нестатистической или, в общем случае, неизвестной природы. Этот фактор послужил развитию интервального анализа, подходящего для исследования содержательных моделей, которые основаны на достаточно общих допущениях о характере неопределённости, когда отсутствует какая-либо предварительная информация о

рассматриваемых величинах, кроме знания некоторых ограниченных множеств, к которым принадлежат значения этих величин.

Всё это указывает на необходимость исследования и решения целого ряда интервальных задач, относящихся к теории оценивания неизвестных компонент вектора состояния, а также в целом к теории автоматического управления. В особенности это имеет отношение к применению подобных алгоритмов в целом ряде прикладных областей.

Множество моделей, в том числе и моделей роботов, и различных робототехнических комплексов, описываются уравнениями с неопределенными параметрами, что приводит к затруднению синтеза наблюдателей, используя классические методы синтеза. Таким образом, на практике существуют ситуации, когда классические методы построения наблюдателей, оценки которых сходятся к точному значению состояния при отсутствии шума (например, наблюдатель Люенбергера), не применимы. В основном, причиной тому становится наличие в системе параметрической неопределенности.

Одним из возможных решений является использование алгоритмов интервальной оценки, под которой понимается синтез интервального наблюдателя, гарантирующего оценивание множества допустимых значений для вектора состояния системы (т.е. интервал значений). Решение поставленной задачи осложняется параметрической и сигнальной неопределенностью матриц модели рассматриваемой системы, что затрудняет применение классических методов синтеза наблюдателей (для линейных или нелинейных систем).

Стоит отметить, что большинство стандартных разработанных подходов имеют строгое обоснование лишь для случаев, когда модель объекта наблюдения частично линейна или близка к линейной, что препятствует их применению во многих прикладных областях, например в робототехнике. С другой стороны, широкий класс нелинейных и неопределенных систем может быть эквивалентно описан так называемыми

ЛПП-системами («линейные с переменными параметрами», от англ. LPV — Linear Parameter-Varying), когда нелинейность модели трансформируется в расширенную параметрическую неопределенность эквивалентного описания. Часто, в нелинейном случае, построение наблюдателя или регулятора основано на преобразовании системы в канонические формы, что может быть сложно реализуемо на практике. Именно поэтому класс ЛПП-систем стал очень популярным во многих практических задачах. С целью расширения спектра рассматриваемых классов систем, в данной работе будут рассматриваться ЛПП-системы, описание которых будет приведено позже.

В этом случае алгоритмы построения наблюдателей для указанного класса систем, описываемые в данной диссертационной работе, могут найти широкое применение в науке и технике. Все это приводит к необходимости использования методов интервальной оценки.

Решение задачи оценки неизмеряемого вектора состояний на сегодняшний день решается различными способами. Говоря об интервальных алгоритмах оценки, можно отметить различные подходы к построению подобных наблюдателей [43, 82, 85, 112]. Особое внимание в данной научной работе уделяется подходу к построению интервального наблюдателя, основанному на теории кооперативных систем [43, 112]. Для нелинейных систем данный подход был расширен в работе [120] на случай с использованием J11И 1-представления с известными минорной и мажорной матрицами, а в работе [119] на случай наблюдаемых нелинейных систем.

Рассматривается ситуация, когда неопределенности в описании системы являются детерминированными неизвестным функциями, зависящими от времени. Тогда, при определенных условиях, можно оценить границы ненаблюдаемых переменных, используя «робастный» подход к оценке параметров.

Ситуации, когда невозможно использовать классические методы построения наблюдателей, оценки которых сходятся к точному значению

состояния при отсутствии шума, довольно часто встречаются в теории автоматического управления. Они могут возникать при наличии в описании системы параметрических неопределенностей. Это приводит к необходимости использования алгоритмов интервальной оценки, под которой понимается синтез интервального наблюдателя, гарантирующего оценивание множества допустимых значений для вектора состояния системы.

Таким образом, развитие методов интервальной оценки и алгоритмов построения интервальных наблюдателей для систем, обладающих параметрической неопределенностью, является актуальной задачей.

В ходе диссертации разработаны алгоритмы построения наблюдателей для класса объектов управления, описываемых ЛПП-моделями. Интервальный наблюдатель производит оценку интервала допустимых значений вектора состояний системы. Размер рассчитанного множества пропорционален неопределенности модели объекта. Интервальные наблюдатели генерируют два вектора оценок: минимальных и максимальных значений для каждого элемента вектора состояний объекта.

При построении оценки для ЛПП-систем часто не удается применять методы адаптивного управления, основанные на предположении о квази-стационарности неизвестных параметров. Методы робастного управления и оценивания или методы гибридных систем (систем с переключениями) могут приводить в таких случаях к сложно реализуемым и сложно анализируемым на практике решениям.

Оценка неизмеряемого вектора состояния относится к фундаментальным проблемам современной теории автоматического управления. На протяжении последних десяти-пятнадцати лет теория интервальной оценки имела достаточно широкое развитие и распространение. Используемый в данной работе подход к синтезу

интервальных наблюдателей основан на теории кооперативных систем (77, 85, 134).

Кооперативные системы составляют подкласс монотонных систем, состояние и выходные траектории которых сохраняют относительный порядок в каждый момент времени. Благодаря свойству кооперативности удается обеспечить положительность ошибки наблюдения, что необходимо для построения интервального наблюдателя. Более подробно оно рассматривается в первой главе работы.

Дополнительным требованием при оценивании вектора состояния может служить достоверность полученных оценок. Например, в случаях, когда известно, что параметрическая и сигнальная неопределенность принадлежат некоторым заданным множествам значений, можно ставить задачу оценивания множества допустимых значений для внутреннего состояния наблюдаемой системы в каждый момент времени. Другими словами, предложенный алгоритм производит трансформацию заданного интервала неопределенности для начальных условий объекта и вектора неизвестных параметров и входов во множество допустимых значений переменных состояния. В этом случае, наблюдатель восстанавливает не оценку текущего состояния объекта (в возмущенном случае реальное состояние находится в некоторой, требующей дополнительного определения, окрестности этой оценки), а интервал, гарантированно содержащий вектор состояния системы. Подобная постановка задачи может быть востребована при наблюдении, к примеру, за мехатронными и робототехническими комплексами, подверженными воздействию быстро меняющихся неизвестных возмущений и вариациям параметров.

Примеры систем. Возможными областями применения подобных систем интервального наблюдения являются области робастного управления, где предполагается наличие различного рода неопределенностей в динамике системы, биотехнологические и экологические системы и процессы, системы мониторинга здоровья,

горно-добывающая отрасль, оборудование заводов и цехов, системы управления летательным аппаратами, двигателями, системы, относящиеся к космической области, изучению океана, сельскому хозяйству, военному делу, строительству и другим отраслям промышленности, а также различные задачи отраслей биологии, химии, динамики популяций, фармакокинетики, медицины. Также, интервальность можно встретить при работе с эволюционными, организационными, транспортными системами и многими другими.

Но при этом единых алгоритмов построения интервальных наблюдателей для данного класса систем разработано не было.

Следовательно, существует необходимость в разработке алгоритмов построения интервальных устройств оценки для различных классов систем в присутствие параметрической неопределённости, которые можно представить в виде модели ЛПП-систем, что подчеркивает актуальность данной работы. Использование интервального наблюдателя позволяет построить область, гарантированно ограничивающую реальную траекторию протекания процессов в рассматриваемой динамической системе.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов оценивания вектора состояния динамических систем с существенной сигнальной и параметрической неопределенностью математической модели в условиях, когда классические алгоритмы оценивания не могут быть применимы.

Поставленная цель достигается с использованием методов интервального оценивания. В ходе исследования разработаны алгоритмы синтеза интервальных наблюдателей для класса ЛПП-систем.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. Сформулированы условия построения интервального наблюдателя

для кооперативных и не кооперативных ЛПП-систем.

2. Решена задача построения интервального наблюдателя для кооперативной ЛПП-системы, который позволяет получить множество допустимых значений вектора состояния, для случая с измеряемым вектором переменных параметров.

3. Решена задача построения интервального наблюдателя для некооперативной ЛПП-системы, для случая с измеряемым вектором переменных параметров.

4. Предложено преобразование координат, обеспечивающее свойство кооперативности исходной некооперативной системе.

5. Решена задача построения интервального наблюдателя для кооперативной ЛПП-системы для случая с неотрицательными значениями состояния и не измеряемым вектором переменных параметров.

6. Решена задача построения интервального наблюдателя для кооперативной ЛПП-системы для случая со знакопеременными значениями состояния и не измеряемым вектором переменных параметров.

7. Для всех рассматриваемых случаев сформулированы условия применимости разработанных интервальных наблюдателей, ограниченность траекторий наблюдателя и нахождение истинных значений вектора состояний внутри полученного интервала оценок доказаны в соответствующих теоремах.

8. Разработан программный пакет, реализующий алгоритмы интервального оценивания для двух робототехнических комплексов на базе Lego Mindstorm NXT и проведена апробация программных версий полученных алгоритмов.

Методы исследования. Теоретической основой исследований служит применение теории автоматического управления, интервальной арифметики, методов, использующих аппарат функций Ляпунова. Достижение результатов диссертационной работы осуществляется за счет

применения теории кооперативных систем, дифференциальных неравенств, математического моделирования.

Научная новизна. Впервые интервальные наблюдатели для конкретного класса систем были предложены в 2000 году в работе Gouze J.-L., Rapaport A., Hadj-Sadok Z. [77], посвященной наблюдению за биореактором. Два классических наблюдателя оценивали нижнюю и верхнюю границы области, содержащей значения вектора состояния. Изначально, коэффициент усиления наблюдателя выбирался таким образом, чтобы ошибка наблюдения обладала свойством кооперативности. Т.е. построение интервального наблюдателя было возможным только для кооперативных систем, что являлось серьезным ограничением. В диссертационной работе это ограничение будет снято.

Этот результат был расширен на случай набора наблюдателей в работе Bernard О., Gouze J. L. [43] в 2004 году. Рассматривалось пересечение всех интервальных оценок для улучшения скорости сходимости и уменьшения размеров полученной области. Наконец, в работе Moisan М., Bernard О., Gouze J. L. [112] 2009-го года данный результат был улучшен путем введения критерия оптимальности для системы наблюдателей, позволяющего получить оптимальный наблюдатель. В статье приведено доказательство применимости такого подхода для биотехнологических систем с большими неопределенностями в описании.

Как видно, понятие интервального оценивания (interval/set-membership estimation) было известно и ранее, но существовавшие алгоритмы имели высокую вычислительную сложность, затруднявшую их практическую применимость в системах наблюдения реального времени. За прошедшие годы теория интервальных наблюдателей получила широкое распространение. Однако единых алгоритмов построения интервальных наблюдателей для ЛПП-систем разработано не было, несмотря на высокую практическую значимость этих классов объектов управления. Новизна диссертационной работы

заключается в развитии алгоритмов оценивания вектора состояния динамических систем с существенной неопределенностью математической модели и алгоритмов построения интервальных наблюдателей для данного класса систем.

Теоритическая и практическая значимость. Проводимые в рамках данной научной работы исследования являются фундаментальными исследованиями, нацеленными на практические приложения, которые могут использоваться в различных отраслях промышленности и техники, где затруднено применение классических методов оценивания. Примерами реальных технических систем, к которым могут быть применены разработанные алгоритмы интервальной оценки, являются робототехнические комплексы, используемые для экспериментальных результатов в данной диссертационной работе.

Также, наглядным примером являются системы обнаружения сигнала, которые используются для большого количества различных систем диагностики и мониторинга. В данном контексте, в подобных системах решается задача робастного обнаружения ошибок. Для обеспечения робастности и изоляции возмущений при классическом подходе требуется знание сигналов, которые могут быть неизвестны в связи с неопределенностью модели, для того, чтобы максимизировать чувствительность к определенным ошибкам.

Основной идеей применения интервальной оценки является рассмотрение неопределенности в интервале и проверка принадлежности измерений интервалу всех возможных значений выходов. Для решения этой задачи, оценка данного интервала вычисляется с использованием интервального наблюдателя. Основным преимуществом является то, что априори должны быть доступны только границы неопределенности.

Примером подобной задачи может служить гидравлическая лаборатория, где поддерживается определенный уровень воды в резервуарах. Неисправность соответствует выходу уровня воды из

заданного интервала. Подробнее данный пример рассмотрен в первой главе диссертационной работы.

Соответственно, в тех случаях, когда в самой постановке задачи присутствует понятие интервала, методы интервальной оценки хорошо применимы.

Алгоритмы построения интервальных наблюдателей, представленные в данной диссертационной работе, также могут быть использованы в качестве основы решения других смежных задач теории управления. Например, в задачах стабилизации параметрически возмущенных систем с использованием информации, полученной интервальным наблюдателем. Некоторые результаты в данном направлении уже были получены автором и его коллегами и представлены на одной из конференций. Было показано, что если выполняются интервальные соотношения х(0 < х(() < х(7) и траектории наблюдателя сходятся к одному положению равновесия,

то состояние системы х(0 тоже будет сходиться к этому положению равновесия. Т.е. управление строится с целью стабилизировать именно интервальный наблюдатель, что приводит к стабилизации объекта управления.

Также полученные результаты применимы в задачах оценки влияния внешних воздействий на динамическую систему.

Решение задачи оценки состояния систем в условиях неопределенности их модели при использовании интервальных методов позволит не только достичь поставленных целей в области оценивания вектора состояния систем, но и даст возможность развить различные теоретические результаты, расширить область применения полученных алгоритмов оценки, создать новые алгоритмы и технологии оценивания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чеботарев, Станислав Геннадьевич, 2013 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1. Андреев А.Ю. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.-424 с.

2. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке МАТЬАВ.СПб.: Наука, 1999.-467 с.

3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972, 768 с.

4. Бобцов A.A. Адаптивное и робастное управление неопределенными системами по выходу. - СПб.: Наука, 2011. - 174 с.

5. Бобцов A.A., Колюбин С.А., Пыркин A.A. Адаптивное управление маятником с инерционным маховиком на подвижном основании // XXXVIII научная и учебно-методическая конференция СПБГУ ИТМО. -2009

6. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость // М.: Наука, 1979. 335 с.

7. Воронов A.A. Теория автоматического управления. Том 1 // Высшая школа, 1986г. 167 с.

8. Воронов A.A. Теория автоматического управления. Том 2 // Высшая школа, 1986г. 149 с.

9. Коровин С. К. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью // С. К. Коровин, В. В. Фомичев. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 224 с.

10. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / М.: Машиностроение, 1976. 184 с.

11. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М., 1977.-С. 126-132.

12. Мирошник И.В., Никифоров В.О. Синтез линейных систем автоматического управления. СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2001.

13. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков A.JI. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000.

14. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления. I // Автоматика и телемеханика. 1986. № 3. С. 63-76.

15. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Функции Ляпунова, определяющие необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления. II // Автоматика и телемеханика. 1986. № 4. С. 5-15.

16. Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Критерии устойчивости селекторно-линейных дифференциальных включений // Доклады АН СССР. 1987. Т. 297. № 1. С. 37-40.

17. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб.: Наука. 2003. - 282 с.

18. Никифоров В.О., Ушаков A.B. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб.: СПбГИТМО (ТУ). 2002. - 232 с.

19. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления: Учеб. пособ. —М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 616 с.

20. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления-//Наука, 1989г. 278 с.

21. Райбман Н.С. Дисперсионная идентификация, — Москва: Наука, 1981.

22. Райбман Н.С. Что такое идентификация?. — Москва: Наука, 1970.

23. Солодов А.В. Линейные системы автоматического управления с переменными параметрами. - М.: Наука, 1967.

24. Цыкунов A.M. Адаптивное и робастное управление динамическими объектами по выходу. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 268 с.

25. Цыпкин Я.З., Информационная теория идентификации, М., Наука, 1995,336 с.

26. Чеботарев С.Г., Кремлев А.С. Анализ линейных систем с переменными параметрами для синтеза интервальных наблюдателей // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2012. №06(82), С. 50-53.

27. Чеботарев С.Г., Кремлев А.С. Синтез интервального наблюдателя для линейной системы с переменными параметрами // Известия высших учебных заведений «Приборостроение». 2013. №4(56). С. 42-47.

28. Шароватов, В.Т. Обеспечение стабильности показателей качества автоматический систем / В.Т. Шароватов. — Л.: Энергоиздат. Ленинградское отд-ние, 1987. — 176 е.: ил.

29.Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ. Новосибирск: XYZ, 2009. 572 с.

30. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния. М.: Мир, 1975. - 684с.

31. Alexandru Stancu, Vicenc Puig, Joseba Quevedo, Ron J. Patton. Passive robust fault detection using interval observers: Application to the DAMADICS benchmark problem.

32. Andrieu, V., Praly, L., & Astolfi, A. (2009). High gain observers with updated gain and homogeneous correction terms. Automatica, 45(2), 422— 428.

33. Apkarian P, Gahinet P (1995) A convex characterization of gain-scheduled H00 controllers. IEEE Transactions on Automatic Control AC-40(5):853-864

34. Apkarian P, Gahinet P, Biannic JM(1995) Self-scheduled H00 control of amissile via linear matrix inequalities. AIAA Journal of Guidance, Control, and Dynamics 18(3):532-538.

35. Astorga-Zaragoza C.-M., Theilliol D., member IEEE, J.-C. Ponsart and M. Rodrigues. Observer synthesis for a class of descriptor LPV systems. 2011 American Control Conference on O'Farrell Street, San Francisco, CA, USA. June 29-July 01, 2011.

36. Astrom K, Wittenmark B (1995) Adaptive Control. Addison-Wesley, Reading, MA

37. Balas G, Fialho I, Packard A, Renfrow J, Mullaney C (1997) On the design of LPV controllers for the F-14 aircraft lateral-directional axis during powered approach. In: Proceedings of the American Control Conference, pp. 123-127.

38. Balas G, Fialho I (2002) Road adaptive active suspension design using linear parametervarying gain scheduling. IEEE Transactions on Control Systems Technology pp 43-54

39. Balas G, Fialho I, Lee L, Nalbantoglu V, Packard A, TanW,Wemhoff E,Wolodkin G,Wu F (1997) Theory and Application of Linear Parameter Varying Control Techniques, workshop Notes: American Control Conference

40. Barker J, Balas G (2000) Comparing linear parameter-varying gain-scheduled control techniques for active flutter suppression. Journal of Guidance, Navigation, and Control 23(5):948-955

41. Becker G, Packard A (1994) Robust performance of linear parametrically varying systems using parametrically-dependent linear feedback. Systems & Control Letters 23:205-215

42. Becker G, Packard A, Philbrick D, Balas G (1993) Control of parametrically-dependent linear systems: A single quadratic Lyapunov approach. In: Proceedings of the American Control Conference, pp 2795— 2799.

43. Bernard, O., & Gouzé, J.-L. (2004). Closed loop observers bundle for uncertain biotechnological models. Journal of Process Control, 14,765—774.

44. Besancon, G. (Ed.) (2007). Lecture notes in control and information sciences: Vol. 363. Nonlinear observers and applications. Springer.

45. Besancon, G., & Hammouri, H. (1996). On uniform observation of nonuniformly observable systems. Systems and Control Letters, 29(1), 919.

46. Bianchi F, Mantz R, Christiansen C (2005) Gain scheduling control of variable-speed wind energy conversion systems using quasi-LPV models. Control Engineering Practice 13(2):247-255.

47. Blanchini F (1999) Set invariance in control—a survey. Automatica 35(11):1747—1767

48. Blanchini F, Miani S (2008) Set-Theoretic Methods in Control. Springer

49. Blondel V, Tsitsiklis J (2000) The boundedness of all products of a pair of matrices is undecidable. Systems & Control Letters 41:135-140

50. Bodson M., Douglas S.C. Adaptive algorithms for the rejection of periodic disturbances with unknown frequencies. // Automatica. 1997. V. 33. P. 2213-2221.

51. Boyd S, Barratt C (1991) Linear Controller Design—Limits of Performance. Prentice-Hall

52. Boyd S, Ghaoui LE, Feron E, Balakrishnan V (1994) Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory. SIAM, Philadelphia

53. Briat C. Robust stability analysis of uncertain linear positive systems via integral linear constraints: LI- and linfty-gain characterizations. In Proc. 50th IEEE CDC and ECC, pages 6337-6342, Orlando, 2011.

54. Bruzelius F, Breitholtz C, Pettersson S (2002) LPV-based gain scheduling technique applied to a turbo fan engine model. In: Proceedings of the 2002 International Conference on Control Applications, pp.713-718.

55. Carter L, Shamma J (1996) Gain-scheduled bank-to-turn autopilot design using linear parameter varying transformations. AIAA Journal of Guidance, Control, and Dynamics 19(5): 1056-1063

56. Chen K., Goh L.M., He G.W., Bhamidi V., Kenis P.J.A., Zukoski C.F., Braatz R.D. Identification of model for nucleation kinetics determination in droplet-based microfluidic systems. Crystal Growth & Design, 10 (6):2515-2521, 2010. doi: 10.1021/cg900830y. URL http://pubs.acs.0rg/d0i/abs/l 0.102 l/cg90083 Oy.

57. Costa O, Fragoso M, Marques R (2005) Discrete-Time Markov Jump Linear Systems. Springer

58. Chen K, Goh L.M., He G.W., Bhamidi V., Kenis P.J.A., Zukoski C.F., Braatz R.D. Identification of nucleation rates in droplet-based microfluidic systems. Chem. Eng. Sci., 77:235-241, 2012.

59. Dahleh M, Dahleh M (1991) On slowly time-varying systems. Automatica 27(1 ):201-205

60. Dayawansa W, Martin C (1999) A converse Lyapunov theorem for a class of dynamical systems which undergo switching. IEEE Transactions on Automatic Control 44(4) 20 JeffS. Shamma

61. Desoer C, Vidyasagar M (1975) Feedback Systems: Input-Output Properties. Academic Press, New York

62. Ebihara Y., Peaucelle D., Arzelier D. LI gain analysis of linear positive systems and its application. In Proc. 50th IEEE CDC and ECC, pages 4029-4035, Orlando, 2011.

63. Denis Efimov, Tarek Raissi, Stanislav Chebotarev, Ali Zolghadri. Interval state observer for nonlinear time varying systems. Automatica. 2013. Iss. 1. N 49. P. 200-205.

64. Efimov D., Fridman L., Raissi T., Zolghadri A., Seydou R. (2012). Interval estimation for LPV systems applying high order sliding mode techniques. Automatica, 48, 2365-2371.

65. Efimov, D., & Fridman, L. (2011). Global sliding-mode observer with adjusted gains for locally Lipchitz systems. Automatica, 47(3), 565-570.

66. Efimov, D., Raissi, T., & Zolghadri, A. (2011). Stabilization of nonlinear uncertain systems based on interval observers. In Proc. IEEE CDC-ECC 2011. Orlando, FL.

67. Efimov, D., Zolghadri, A., & Raissi, T. (2011). Actuators fault detection and compensation under feedback control. Automatica, 47,1699-1705.

68. Farina L., Rinaldi S. Positive Linear Systems: Theory and Applications. Wiley, New York, 2000.

69. Fatiha Nejjari, Vicenc Puig, Saul Montes de Oca and Atefeh Sadeghzadeh. Robust Fault Detection for LPV Systems using Interval Observers and Zonotopes. Joint 48th IEEE Conference on Decision and Control and 28th Chinese Control Conference. Shanghai, P.R. China, December 16-18, 2009.

70. Fossen T.I., Nijmeijer H. New Directions in Nonlinear Observer Design. — Springer, 1999. - 525 p.

71. Francis B, Glover K (1978) Bounded peaking in the optimal linear regulator with cheap control. IEEE Transactions on Automatic Control 23(4):608-617

72. Freudenberg J, Looze D (1985) Right half plane poles and zeros and design tradeoffs in feedback systems. IEEE Transactions on Automatic Control 30(6):555-565

73. Ganguli S, Marcos A, Balas G (2002) Reconfigurable LPV control design for Boeing 747-100/200 longitudinal axis. In: Proceedings of the American Control Conference, pp.3612-3617.

74. Gaspar P, Szaszi I, Bokor J (2004) The design of a combined control structure to prevent the rollover of heavy vehicles. European Journal of Control 10(2):148—162

75. Germani, A., Manes, C., & Palumbo, P. (2007). State space representation of a class of MIMO systems via positive systems. In Proc. of the 46th IEEE conference on decision and control. New Orleans, LA, USA (pp. 476—481).

76. Gilbert W, Henrion D, Bernussou J, Boyer D (2010) Polynomial LPV synthesis applied to turbofan engines. Control Engineering Practice 18(9): 1077-1083.

77. Gouze, J.-L., Rapaport, A., & Hadj-Sadok, Z. (2000). Interval observers for uncertain biological systems. Ecological Modelling, 133, 45-56.

78. Haddad, W. M., Chellaboina, V., & Hui, Qing (2010). Nonnegative and compartmental dynamical systems. Princeton, Oxford: Princeton University Press.

79. He B, Yang M (2006) Robust LPV control of diesel auxiliary power unit for series hybrid electric vehicles. IEEE Transactions on Power Electronics 21(3):791—798.

80. Hsu L., Ortega R., Damm G. A globally convergent frequency estimator. // IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. Vol. 46. P. 967 - 972.

81. Jadbabaie A, Hauser J (2002) Control of a thrust-vectored flying wing: A receding horizon-LPV approach. International Journal of Robust and Nonlinear Control 12:869-896.

82. Jaulin, L. (2002). Nonlinear bounded-error state estimation of continuous time systems. Automatica, 38(2), 1079-1082.

83. Jesus D. Aviles, Jaime A. Moreno, member IEEE. Cooperative Observers for Nonlinear Systems. Joint 48th IEEE Conference on Decision and Control and 28th Chinese Control Conference. Shanghai, P.R. China, December 16-18, 2009.

84. Jonson C.D. Accommodation of external disturbances in linear regulator and servomechanism problems. // IEEE Transactions on Automatic Control. 1971. Vol. 16. № 6. P 635-644.

85. Kieffer, M., & Walter, E. (2004). Guaranteed nonlinear state estimator for cooperative systems. Numerical Algorithms, 37, 187-198.

86. Kokotovic P., Murat A. Constructive nonlinear control: a historical perspective. // Automatica. 2001. Vol.37, N.5. P 637-662.

87. Krause J, Kumar K (1986) An alternative stability analysis framework for adaptive control. Systems & Control Letters 7(1): 19-24

88. Krstic M., Kanellakopoulos I., Kokotovic P.V. Nonlinear and adaptive control design. — Wiley, 1995.

89. Kwakernaak H, Sivan R (1972) Linear Optimal Control Systems. Wiley-Interscience, New York

90. Lau E, Krener A (1999) LPV control of two-dimensional wing flutter. In: Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control, pp.3005-3010.

91. Lauwers T.B., Kantor G.A., Hollis R.L. A dynamically stable single-wheeled mobile robot with inverse mouse-ball drive // IEEE International Conference on Robotics and Automation - 2006.

92. Lee JW, Dullerud G (2006) Uniform stabilization of discrete-time switched and Markovian jump linear systems. Automatica 42:205-218

93. Lemesle, V., & Gouze, J.-L. (2005). Hybrid bounded error observers for uncertain bioreactor models. Bioprocess and Biosystems Engineering, 27, 311-318.

94. Lescher F, Zhao J, Borne P (2006) Switching LPV controllers for a variable speed pitch regulated wind turbine. In: IMACS Multiconference on Computational Engineering in Systems Applications, pp.1334—1340.

95. Liberzon D, Morse A (1999) Basic problems in stability and design of switched systems. IEEE Control Systems Magazine pp 59-70

96. Lovera M, Novara C, dos Santos P, Rivera D (2011) Guest editorial special issue on applied LPV modeling and identification. IEEE Transactions on Control Systems Technology 19(1): 1-4.

97. Lu B, Choi H, Buckner G, Tammi K (2008) Linear parameter-varying techniques for control of a magnetic bearing system. Control Engineering Practice 16(10): 1161-1173

98. Lu B, Wu F, Kim SW (2006) Switching LPV control of an F-16 aircraft via controller state reset. IEEE Transactions on Control Systems Technology 14(2):267-277.

99. Luenberger, D. (1964). Observing the state of a linear system. IEEE Transactions on Military Electronics, MIL-8, 74-80.

100. Marcos, A., & Balas, J. (2004). Development of linear-parameter-varying models for aircraft. Journal of Guidance, Control, Dynamics, 27(2).

101. Marcus L, Yamabe H (1960) Global stability criteria for differential systems. Osaka Math J 12:305-317

102. Marino R., Santosuosso G. and Tomei P. Robust adaptive compensation of biased sinusoidal disturbances with unknown frequency. // Automatica. 2003. V. 39, №10. P. 1755-1761.

103. Marino R., Tomei P. Adaptive observers with arbitrary exponential rate of convergence for nonlinear systems. // IEEE Trans. Automat. Contr. July 1995. Vol. 40. P. 1300-1304.

104. Marino R., Santosuosso G. L., Tomei P. Regulation of linear systems with unknown additive sinusoidal sensor disturbances // Proc. 17th IF AC World Congress. - Seoul, Repulic Korea, 2008. - P. 4102-4107.

105. Mazenc, F., & Bernard, 0. (2011). Interval observers for linear time-invariant systems with disturbances. Automatica, 47( 1), 140-147.

106. Mazenc, F., & Bernard, O. (2010). Asymptotically stable interval observers for planar systems with complex poles. IEEE Transactions on Automatic Control, 55(2), 523-527.

107. Mazenc, F., Niculescu, S.I., & Bernard, O. (2009). Interval observers for linear systems with delay. In 48th IEEE conference on decision and control. Shanghai, China.

108. Merc'ere G, Palsson H, Poinot T (2011) Continuous-time linear parameter-varying identification of a cross flow heat exchanger: A local approach. IEEE Transactions on Control Systems Technology 19(1):64—76

109. Meurer T., Graichen K., Gilles E.-D. (Eds). Control and Observer Design for Nonlinear Finite and Infinite Dimensional Systems // Lecture Notes in Control and Information Sciences. — Springer, 2005. - V. 322. — P. 422.

110. Moisan, M. (2007). Synthèse d'observateurs par intervalles pour des systèmes biologiques mais connus. Ph.D. thesis. Sophia-Antipolis, September (in French and English).

111. Moisan, M., & Bernard, O. (2005). Interval observers for non-monotone systems. Application to bioprocess models. In Proc. of the 16th IF AC world congress. Prague, Czech Republic.

112. Moisan, M., Bernard, O., & Gouzé, J.-L. (2009). Near optimal interval observers bundle for uncertain bioreactors. Automatica, 45, 291—295.

113.Nacim Meslem, Nacim Ramdani, Yves Candau. Interval Observers for Uncertain Nonlinear Systems. Application to bioreactors. Mendeley Methods (2008), Pages: 9667-9672.

114. Nagarajan U., Mampetta A., Kantor G., Hollis R. State transition, balancing, station keeping, and yaw control for a dynamically stable single spherical wheel mobile robot // IEEE International Conference on Robotics and Automation - 2009.

115. Packard A, Becker G (1992) Quadratic stabilization of parametrically-dependent linear systems using parametrically-dependent linear, dynamic feedback. In: Advances in Robust and Nonlinear Control Systems, vol DCS-Vol. 43, ASME Winter Annual Meeting, pp 29-36

116. Papageorgioiu G, Glover K, D'Mello G, Patel Y (2000) Taking robust LPV control into flight on the VAAC harrier. In: Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control, pp.4558-4564.

117. Perko, L. (1991). Text in applied mathematics, Differential equations and dynamical systems. Springer-Verlag.

118. Poussot-Vassal C, Sename O, Dugard L, PG'aspar, Szab'o Z, Bokor J (2008) A new semiactive suspension control strategy through LPV technique. Control Engineering Practice 16(12):1519-1534.

119. Raissi, T., Efimov, D., & Zolghadri, A. (2012). Interval state estimation for a class of nonlinear systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 57(1), 260-265.

120. Raissi, T., Videau, G., & Zolghadri, A. (2010). Interval observers design for consistency checks of nonlinear continuous-time systems. Automatica, 46(3), 518-527.

121. Raissi, T., Ramdani, N., & Candau, Y. (2005). Bounded error moving horizon state estimation for non-linear continuous time systems: application to a bioprocess system. Journal of Process Control, 15, 537-545.

122. Rapaport, A., & Gouze, J.-L. (2003). Parallelotopic and practical observers for nonlinear uncertain systems. International Journal of Control, 76(3), 237-251.

123. Santos P, et al (2011) An LPV modeling and identification approach to leakage detection in high pressure natural gas transportation networks. IEEE Transactions on Control Systems Technology 19(l):77-92.

124. van der Schaft A (1999) An Introduction to Hybrid Dynamical Systems. Springer

125. Scherer C, Heuberger P, (organizers) (2006) Dutch Institute of Systems and Control Summer School on Identification and Control of LPV Systems. Veldhoven, The Netherlands.

126. Seron M, Braslavsky J, Goodwin G (1997) Fundamental Limitations in Filtering and Control, Springer Verlag 1996.

127. Serrani A., Isidori A., Marconi L. Semiglobal nonlinear output regulation with adaptive internal model. // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. V. 46. P. 1178-1194.

128. Shamma J.S. An Overview of LPV Systems, in Control of Linear Parameter Varying Systems with Applications, Mohammadpour J., Scherer C.W. (Eds), Springer, 2012, pp. 3-26.

129. Shamma, J., & Cloutier, J. (1993). Gain-scheduled missile autopilot design using linear parameter-varying transformations. Journal of Guidance, Control, Dynamics, 16(2), 256-261.

130. Shamma J (1988) Analysis and Design of Gain Scheduled Control Systems. PhD thesis, Massachusetts Institute of Technology, Department of Mechanical Engineering, advised by M. Athans.

131. Shamma J (1991) Performance limitations in sensitivity reduction for nonlinear plants. Systems & Control Letters 17:43^47

132. Shamma J, Athans M (1991) Guaranteed properties of gain scheduled control of linear parameter-varying plants. Automatica 27(3):898-907

133. Shu-qing L, Sheng-xiu Z (2010) A modified LPV modeling technique for turbofan engine control system. In: 2010 International Conference on Computer Applications and System Modeling (ICCASM), pp.V5-99-V5-102.

134. Smith, H. L. (1995). Surveys and monographs: Vol. 41. Monotone dynamical systems: an introduction to the theory of competitive and cooperative systems. Providence: AMS., 1995. - V. 41. - 174 p.

135. Tan W, Packard A, Balas G (2000) Quasi-LPV modeling and LPV control of a generic missile. In: Proceedings of the 2000 American Control Conference, pp.3 892-2696.

136. Tan, W. (1997). Applications of linear parameter-varying control theory. "Ph.D. Thesis", Dept. of Mechanical Engineering. University of California at Berkeley.

137. Toker O (1997) On the complexity of the robust stability problem for linear parameter varying systems. Automatica 33(11):2015-2017

138. Tsitsiklis J, Blondel V (1997) The Lyapunov exponent and joint spectral radius of pairs of matrices are hard —when not impossible —to compute and to approximate. Math Control Signals and Systems 10:31-40

139. Wei X, del Re L (2007) Gain scheduled ho, control for air path systems of engines using LPV techniques. IEEE Transactions on Control Systems Technology 15(3):406-415.

140. Willems J (1971) The Analysis of Feedback Systems. MIT Press, Cambridge, MA

141. Wingerden JW, Gebraad P, Verhaegen M (2010) LPV identification of an aeroelastic flutter model. In: Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision and Control, pp.6839-6844.

142. Witte J, Balini H, Scherer C (2010) Robust and LPV control of an AMB system. In: Proceedings of the American Control Conference, pp.2194-

143. Wu F (2001) Switching LPV control design for magnetic bearing systems. In: Proceedings of the 2001 IEEE International Conference on Control Applications (CCA '01), pp.41-46.

144. Wu F, Yang X, Packard A, Becker G (1996) Induced L2-norm control for LPV systems with bounded parameter variation rates. International Journal of Control 6(9/10):983-998.

145. Xia X. Global frequency estimation using adaptive identifiers. // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. V. 47. P. 1188-1193.

146. Yu J, Sideris A (1997) H«, control with parametric Lyapunov functions. Systems & Control Letters 30:57-69

147. Zames G, Wang L (1991) Local global algebras for slow H00 adaptation: Part I inversion and stability. IEEE Transactions on Automatic Control 36(2): 130-142

148. Zhang F, Grigoriadis K, Franchek M (2007) Linear parameter-varying lean burn air-fuel ratio control for a spark ignition engine. Journal of Dynamic Systems Measurement and Control 129(4):404-414

149. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and Optimal Control vol. 07458, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1996.

2199.