Симметрия Вейля и антиинвариантная функция кратности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Постнова, Ольга Викторовна

• Постнова, Ольга Викторовна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Постнова, Ольга Викторовна

Оглавление

Введение

Глава 1. Определения

1.1. Алгебры Каца-Муди

1.2. Квантовые группы

Глава 2. Литературный обзор

2.1. Алгебраические методы

2.2. Методы теории интегрируемых систем

Глава 3. Антиинвариантная функция кратности для фундаментальных модулей наименьшей размерности

3.1. Общие замечания относительно предлагаемого метода

3.2. Построение функции кратности для степеней фундаментальных модулей наименьшей размерности

3.3. Свойства антиинвариантной функции кратности

3.4. Доказательство для алгебры Ап

3.5. Доказательство для алгебры Вп

3.6. Область применимости алгоритма

Глава 4. Антиинвариантная функция кратности для модулей произвольной размерности

4.1. Граф сингулярного элемента модуля и обобщенная (0, д) пирамида

4.2. Алгебра

4.3. Алгебра А2

4.4. Алгебра В2

4.5. Тензорное произведение п фундаментальных и р векторных модулей алгебры Ах

4.6. Тензорная степень произвольного модуля и мультиномиальные коэффициенты

4.7. Связь обобщенных - пирамид с путями Литтельманна и кристаллическими графами

Глава 5. Антиинвариантная функция кратности для градуированных тензорных произведений

5.1. Гипотеза о градуированной антиинвариантной функции кратности

5.2. Произведение Фейгина-Локтева для фундаментальньного модуля алгебры з12

5.3. Произведение Фейгина-Локтева для векторного модуля алгебры

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Симметрия Вейля и антиинвариантная функция кратности»

Введение

Конструкция тензорного произведения пространств широко используется в теоретической физике для описания сложных систем в терминах их более простых подсистем. В случае двух изолированных физических систем 5*1 и 52 (которые, например, находятся настолько далеко, что их взаимодействием можно пренебречь) пространства состояний каждой из систем Е1 и Е2 рассматриваются независимо. Но, если предположить, что совокупность этих двух систем формирует одну физическую систему 5 (такой подход необходим, когда системы взаимодействуют друг с другом), тогда пространство состояний такой системы будет представлять собой тензорное произведение пространств: Е = Е1 0 Е2, являющимся наиболее общим пространством, в которое можно билинейно отобразить оба исходных пространства. Для произвольного пространства С и билинейного отображения 0' : Е1 х Е2 ^ С существует единственное линейное отображение / : Е1 0 Е2 ^ С такое, что 0' = / • 0.

Если частицы системы обладают внутренней степенью свободы, например, спином, то используя разложение тензорного произведения пространств представления алгебры симметрии на неприводимые, мы можем разложить состояния со многими степенями свободы на линейные комбинации произведений одночастичных состояний.

Одной из важных моделей теории квантовых интегрируемых систем является интегрируемая спиновая цепочка. Пространство состояний такой системы является тензорным произведением пространств состояний узлов цепочки Е = Е1 Е2• • •^Ер. Модель цепочки, в каждом из узлов которой может находиться частица со спином, допускающим две различные ориентации, была первоначально введена Бете [68] в 1931 году, как простая квантовая одномерная модель ферромагнетика с взаимодействием ближайших со-

седей. Пространство ее состояний представляет собой С2 С2 • • • С2. Бете описал собственные вектора этой модели при помощи специального анзаца(подстановки), а также получил формулу, позволяющую определить количество собственных(бетевских) векторов. В процессе обобщения спиновой цепочки Бете были открыты новые алгебраические структуры теории интегрируемых систем. Модель спиновой цепочки Бете вошла в качестве изотропного, $12 случая в анизотропную XYZ-модель магнетика Гейзенберга, а метод анзаца Бете был развит в работах по квантовому методу обратной задачи, предложенному Л.Д. Фаддеевым и Л.А. Тахтаджяном[70, 72], в которых было разработано алгебраическое обобщение этого метода. Для описания спектра рассматриваемой задачи была использована теория алгебр Ли, в частности, было показано, что в каждом из пространств С2 действует двумерное представление алгебры %[2, а на всей цепочке - его тензорная степень. При помощи квантового метода обратной задачи стало возможным описание спектра спиновых цепочек в узлах которых действуют представления других полупростых алгебр Ли.

Актуальность работы. В последние годы все большее количество задач теоретической физики решается при помощи методов теории интегрируемых систем. Классическим примером такой системы служит интегрируемая спиновая цепочка, представляющая собой одномерную линейную цепочку взаимодействующих спинов с периодическими граничными условиями. Интегрируемые спиновые цепочки возникают в некоторых режимах квантовой хро-модинамики, в А(18/СРТ соответствии, теории конденсированного состояния. В данной работе будет рассмотрена задача нахождения кратностей вырождения состояний спиновой цепочки, в узлах которой действует произвольное представление полупростой алгебры Ли. Эта задача тесно связана с разложением тензорного произведения соответствующих модулей алгебры на неприводимые.

С одной стороны, количество собственных подпространств гамильтони-на спиновой цепочки можно найти при помощи разложения тензорного произведения пространств состояний на неприводимые, пользуясь методами, разработанными в теории алгебр Ли. Поскольку гамильтониан Н интегрируемой спиновой цепочки с р узлами задается на тензорном произведении пространств состояний в узлах цепочки Е = Ех (£> Е2^> •••^Ер, то в случае, если он инвариантен по отношению к действию алгебры Ли 0:

[Н, а] = 0, а е 0

количество собственных подпространств, отвечающих одному и тому же собственному значению, совпадает с кратностью т(и,р) в разложении пространства Е состояний системы в прямую сумму неприводимых модулей алгебры 0: Е = ф^т(и,р)Ьи.

С другой стороны, известно, что собственные вектора спиновой цепочки параметризуются решениями системы алгебраических уравнений Бете [70, 72]. В работах А.Н.Кириллова [78, 79] была доказана полнота состояний обобщенного магнетика Гейзенберга(бетевских векторов), параметризуемых числами, удовлетворяющими системе уравнений Бете. Позже в совместной работе А.Н. Кирилловым и Н.Ю. Решетихиным [76], была получена фермионная формула, которая позволяла определять число таких состояний. Если система бетевских векторов полна, то количество решений уравнений Бете будет совпадать с количеством собственных подпространств данной модели и фермионная формула будет давать кратность в разложении тензорного произведения пространств состояний узлов цепочки на неприводимые. После этого было опубликовано множество работ, в которых кратность в разложении тензорного произведения модулей изучалась при помощи фермионных формул. Б.Л. Фейгин и С.А. Локтев [18] предложили структуру градуированного тензорного произведения, что позволило различить эквивалентные неприводи-

мые представления в рассматриваемом разложении. В серии работ Р. Кедем с Ф. Ди Франческо доказали[65, 66, 67] аналог формулы Кириллова-Реше-тихина для случая произведения Фейгина-Локтева. М. Окадо, Л.Шиллинг и М.Шимозоно[62] использовали теорию кристаллических базисов для обобщения фермионной формулы на афинные алгебры. Однако, эти формулы достаточно громоздки и вычисления кратностей вручную с их помощью можно осуществить только для простейших примеров.

Цель диссертационной работы.

Разработать простой метод подсчета кратностей в разложении тензорных степеней модулей полупростой алгебры Ли, позволяющий определять количество собственных векторов определенной длины в модели спиновой цепочки Бете и ее обобщениях, в частности для градуированных тензорных произведений.

Научная новизна. Введено понятие антиинвариантной относительно преобразований группы Вейля функции кратности и сформулирован метод ее построения для фундаментальных модулей. Предложен эффективный алгоритм вычисления кратностей в разложении тензорной степеней модулей методом сужения антиинвариантной функции кратности на главную камеру Вейля. Введено понятие обобщенных - пирамид, на основе которого

сформулирован альтернативный алгоритм нахождения функции кратности для произвольного модуля полупростой алгебры Ли.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы для упрощения вычисления кратностей вырождения собственных состояний спиновой цепочки, а также изучения их в термодинамическом пределе.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• Введено понятие антиинвариантной относительно преобразований группы Вейля функции кратности и сформулирован метод вычисления крат-ностей неприводимых компонент для степеней фундаментального модуля алгебр серии Ап,Вп.

• Проведено исследование асимптотических свойств полученных формул при р —> то, исследования их максимумов, которые нельзя было осуществить для кратностей, полученных при помощи других методов.

• Сформулирован метод обобщенных - пирамид для разложения тензорных степеней произвольного модуля полупростой алгебры Ли и получены кратности для р-й тензорной степени векторного фундаментального модуля алгебры В2, а также кратности неприводимых компонент для произведения р фундаментальных и п векторных модулей алгебры А\.

• Проведено обобщение метода - пирамид для нахождения градуированной функции кратности в разложении произведения Фейгина-Лок-тева р фундаментальных модулей алгебры А\.

Апробация результатов работы. Материалы диссертации были представлены на 5 международных конференциях: CQIS-2011 (24.01.2011-27.01.2011, Дубна), SQS-2011 (18.07.2011-23.07.2011, Дубна), QTS-7 (7.08.2011-13.08.2011, Прага), MQFT-2015(21.09.2015 - 25.09.2016, Санкт-Петербург), Теория представлений и математическая физика (23.05.2016-27.05.2016, Санкт-Петербург).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 статей, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных Web of Science и Scopus:

• Kulish P.P., Lyakhovsky V.D., Postnova O.V., Multiplicity function for tensor powers - An case, Journal of Physics: Conference Series, Volume 343, 2012, 012070

• Kulish P.P., Lyakhovsky V.D., Postnova O.V., Tensor power decomposition Bn case, Journal of Physics: Conference Series, Volume 343, 2012, 012095

• Kulish P.P., Lyakhovsky V.D., Postnova O.V., Tensor powers for non-simply laced Lie Algebras. B2 case, Journal of Physics: Conference Series, Volume 346, 2012, 012012

• Кулиш П. П., Ляховский В. Д., Постнова О. В., Функция кратностей для тензорных степеней модулей алгебры An, ТМФ, 2012, том 171:2, 283-293

• Ляховский В. Д., Постнова О. В., Обобщенные треугольники Паскаля и сингулярные элементы модулей алгебр Ли, ТМФ, 2015, 185:1, 139-150

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результаты получены соискателем лично, либо при ее прямом неотделимом участии в соавторстве.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения,пяти глав, заключения и списка литературы из 97 наименований. Работа изложена на 148 страницах и содержит 23 рисунка.

Глава 1 является вводной. В ней даны определения основных понятий, необходимые для дальнейшего изложения.

Глава 2 посвящена описанию основных методов нахождения кратностей в разложении тензорных степеней модулей полупростых алгебр Ли: правило Климыка, правило Литтлвуда-Ричардсона, теория кристаллических базисов Кашивара, модель путей Литтельманна, а также формула Кириллова-Реше-тихина, позволяющая получить кратность в разложении тензорной степени модуля путем подсчета числа решений уравнений Бете. Далее, рассматривается общий случай фермионной формулы, в которой кратность становится

градуированной.

В главе 3 вводится понятие антиинвариантной функции кратности и формулируется алгоритм, основанный на использовании Вейлевской симметрии, который позволяет получить явное выражение для коэффициентов разложения тензорных степеней фундаментальных ("порождающих") представлений алгебр серий Ап,Вп на неприводимые. Полученные выражения исследуются на наличие максимума и рассматривается их асимптотика при р —> ж.

В главе 4 приводится обобщение разработанного в главе 3 алгоритма на алгебры других серий. Вводится понятие обобщенной (0, д)-пирамиды. Доказывается, что функцию кратности в разложении тензорного произведения можно получить антисимметризацией (0, д)-пирамид.

В главе 5 проводится обобщение формул, полученных в главе 4 на градуированные функции кратности.

В заключении перечислены основные результаты и описаны возможные дальнейшие направления исследования.

Глава 1 Определения

1.1. Алгебры Каца-Муди

Введем основные понятия теории алгебр Ли, которые будут необходимы для дальнейшего изложения [1, 2, 3, 4, 5, 6].

Пусть I - конечный набор индексов. Квадратная матрица А = (aij)ij£i с элементами из Z называется матрицей Картана, если ее элементы удовлетворяют соотношениям: ац = 2 для всех i £ I, aij < 0 если i = j, aij = 0 тогда и только тогда, когда а^ = 0.

Пусть Рv - свободная абелева группа ранга 2|/1 — rank A c Z-базисом {hi[i £ I} U {dsls = 1, . . . , |/1 — гапкА}. Обозначим h = - линейное

пространство над полем F, натянутое на Рv. Назовем Рv дуальной решеткой весов, а h - подалгеброй Картана. Также определим весовую решетку как

р = {\ £ h*|A(Pv) с Z} (1.1)

Обозначим nv = {hi,i £ I} и выберем линейно независимый набор П = {ai,i £ I} С h*, удовлетворяющий соотношениям:

а3 (hi) = aij а3 (ds) = {0,1} (1.2)

Элементы из П называются простыми корнями, а элементы из nv называются простыми кокорнями. Также определим фундаментальные веса Л £ h*,i £ I как линейные функционалы на h, задаваемые соотношениями:

Ai(hj) = 5гз At(ds) = 0, (1.3)

Пусть дана обобщенная матрица Картана А размером п х п ранга г, а также векторное пространство h над полем комплексных чисел размерностью 2п—г.

Пусть в пространстве ^ есть набор п линейно независимых элементов а(, а в пространстве Ь* - набор п линейно независимых элементов а. таких, что выполняется а^а^) = aji.

Свободная абелева группа О, = фназывается решеткой корней а = ф¡е1 Z>0ai называется решеткой положительных корней. На Ь* задано частичное упорядочивание, определяемое как Л > д тогда и только тогда, когда Л — д е для А, ц е ()*.

Для каждого г е I определим простое отражение г. на

г(\) = \ — \(Ы)ац (1.4)

Подгруппа W группы СЬ(Ь*) генерируемая простыми отражения называется группой Вейля.

Алгеброй Каца-Муди, соответствующей (А, П, Пу, Р, Ру) называется алгебра Ли 0, определяемая генераторами е.,/., г е I, и элементами из К е между которыми заданы соотношения:

• [К, К'] = 0 для К, К е Ру

• ^] К'

• [К, е.] = а'(К)в' для К е Ру

• [К, ¡¡] = —а'(К)/' для К е Ру

• (а(1 е')1—а^е^ = 0 для % = ]

• (ай = 0 для г = ]

Определим 0+ (и, соответственно 0—) как подалгебру алгебры 0, генерируемую е., и, соответственно, и для каждого а е О, положим 0а = {х е 0| [К, х] = а(К)х, К е ()}. Если а = 0 и 0а = 0, тогда а называется корнем 0, а 0« - соответствующим этому корню корневым подпространством. Алгебра

0 разлагается по корневым подпространствам g = (J)a£Q ga. Обозначим набор корней А, а А± = А U Q± - набор положительных и отрицательных корней.

Важный класс алгебр Каца-Муди соответствует симметризуемым обо-щенным матрицам Картана А, т.е таким, которые могут быть представлены в виде произведения А = DS, где D - диагональная, а S - симметричная матрица. Таким образом алгебры Каца-Муди подразделяются на три класса:

• если матрица S положительно определенная, то 0 - полупростая алгебра Ли

• если матрица S положительно полуопределенная, то 0 - афинная алгебра Ли

• если матрица S неопределенная, то g - алгебра Каца-Муди неопределенного типа

Универсальной обертывающей алгеброй U(g) называтся ассоциативная алгебра над полем F с единицей, генерируемая элементами ei,f\ (i £ I) и h, удовлетворяющая соотношениям:

• hh' = h'h для h, hh £ Pv

• eifj — fjег = öijhi для i,j £ I

• hei — &ih = ai(h)ei для h £ Pv, i £ I

• hfi — fih = —ai(h)fi для h £ Pv

(—1)k ( 1 "" | e]—a«—kej4 = 0 для i = j

(—1)' ( 1 ka%J | ta"—kfj ft = 0 для i = j

Модуль У алгебры 0 называется весовым модулем, если он допускает разложение

V = Е (1.5)

иеЬ*

где У^ = {V е V 1Ку = ^(К)у} для всех К е Вектор V е У^ называется весовым вектором соответствующим весу д. Если е'V = 0 для всех г е I, то он называется максимальным вектором веса д. Если У^ = 0, то д называется весом У, а Уи - весовым подпространством. Его размерность йгтУ^ называется кратностью веса д. Набор весов 0-модуля обозначается wt(У). Если йгтУ^ < ж для всех весов д, то характер модуля У определятся как

сКУ = ^ (ИтУ^ (1.6)

где е^ - базисный элемент алгебры формальных экспонент с умножением

Для Л е положим О(Х) = {д е < А}. Опишем модули категории О. Она состоит из весовых модулей У над 0 с конечномерными весовыми подпространствами для которых существует конечный набор элементов Х\, Х2,..., Х8 е Ь* таких, что

иЛ(У) С Б(Х1) и---и И(Х3) (1.7)

категория О замкнута относительно взятия конечной суммы модулей или их конечного тензорного произведения. Одним из наиболее важных примеров модулей категории О являются модули старшего веса.

Весовой модуль У называется модулем старшего веса со старшим весом Л е Ь*, если существует ненулевой вектор У\еу, называемый вектором старшего веса, такой что е^х = 0 для всех г е I, Кю\ = Х(К)ю\ для всех К е

V = и (0>А

Пусть А - симметризуемая обощенная матрица Картана, с симметричной матрицей И = (Иад{в'[I е I}. Определим симметричную билинейную форму

( | ) на h, принимающую значения в F соотношениями: (hilh) = a,i(h)/si для h G h, и (dsldt) = 0 для s,t = 1... I — ranklAI. Эта симметричная билинейная форма невырождена на h. Если определить отображение v : h —> h* как ъ>(h)(hh) = (h|h') то полученное отображение будет изоморфизмом векторных пространств.

Симметричную билинейную форму на h можно обобщить на симметричную инвариантную билинейную форму на 0, которую мы также будем обозначать ( | ). Она удовлетворяет следующим свойствам:

• При ограничении на h билинейная форма ( | ) задается соотношениями из предыдущего пункта

• ([x,y]lz) = (xl[y,z\) для всех x,y,z G g

• (0а, g/) = 0 если а + р = 0

• ( | ) невырождена на ga х g—а

• [Х,у\ = (x]y)v—1(а) для X G 0а, У G g—а

Для каждого положительного корня а зафиксируем базисы {е^} из ga и ifa^} из g—а. Будем говорить, что элемент х G g локально нильпотентен на V если для каждого v G V существует положительное целое число N такое, что xNv = 0.

Модуль V называется интегрируемым, если все ei,fi локально нильпо-тентны на V. Категория Oint состоит из интегрируемых g-модулей категории О, таких, что wt(V) G Р. Определим набор доминантных целых весов

Р+ = {X G РIX(h) G Z>c} (1.8)

Верны следующие утверждения [1]:

• Пусть V\ неприводимый g-модуль со старшим весом A G h*. Тогда V(A) принадлежит категории Oint тогда и только тогда, когда A G Р+

• Всякий неприводимый g-модуль из категории Oint изоморфен V(X) для A gP

По теореме Вейля-Каца [1] характер для модуля V старшего веса A G Р+ задается формулой

ch(V ) = (L9)

Каждый g -модуль из категории Oint изоморфен прямой сумме неприводимых модулей старшего веса с A G Р Тензорное произведение конечного числа g -модулей вполне приводимо.

1.2. Квантовые группы

Введем квантовые деформации универсальных обертывающих алгебр, или квантовые группы Uq(g)[11, 12, 13, 14]. В дальнейшем для модулей квантовых групп будут построены кристаллические базисы, которые представляют собой удобный аппарат для разложения тензорных произведений. Теория представлений алгебр Каца-Муди может быть продеформирована в теорию представлений квантовых групп, вследствие чего разложение тензорного произведение модулей на неприводимые подмодули будет совпадать в обоих случаях[36].

Для п G Z и любого символа х определим выражение

грП _ ^ n

[п]х = Х-Хт (1.10)

L J rp _ rp— 1

iXj

Определим [0]ж! = 1 и [п]х! = [п — 1]х ... [1]ж. Для неотрицательных целых

чисел т > п > 0 аналог биномиального коэффициента задается выражением

т п

[ш]х\

[п]х\[т - п]х\

(1.11)

Выберем переменную д. Тогда [п]д и

т

п

это элементы поля Р(д), которые

называются д - числами и д - биномиальными коэффициентами соответствен-

но. Отметим, что [п]д —> п и

т п

т

п

при д —> 1.

Алгебра ид(0) - это алгебра, генерируемая символами ег, /г,дН, (Н Е Ру), которые удовлетворяют соотношениям:

Н+Ы _ „к I „Ы

1. дЫ = 1 для Н = 0 и дЫ+Ы = дЫ + дЫ ,

2. дЫегд~Ы = да'(Ы)ег и дЫ/гд-Н = д-а'(Н)/г,

3. [ег, ] = 5гз(Кг - Кг 1)/(дг - дг где дг = д* и дг = д8*Ы,

4. Е.МЫ'Ч-е(Ь-п) = 0 и £„(-1)^V, ^ = 0 для i = ] и Ь =

1 - а, (Нг)

Здесь введены обозначения

(п) е

е- =

^(п) = J г

М « \

(1.12)

( п) ( п)

и положим ег = д =0 при п < 0.

Определим коумножение на ия(0) следующим образом:

Д(дЫ) = дН 0 дН, А(ег) = ег 0 К- + 1 0 ег, Д(/г) = /г 0 1 + Кг 0

Тогда ия(0) обладает структурой алгебры Хопфа и тензорное произведение ия(0)- модулей является Ц~я(0)-модулем.

х

>

Глава 2 Литературный обзор

Методы и подходы к изучению тензорных произведений можно условно разделить на два класса: алгебраические и комбинаторные. Первые из них были разработаны во многом для исследования тензорных произведений как отдельного объекта, в то время как комбинаторные методы разрабатывались для исследования квантовых интегрируемых систем. В последние годы эти подходы все больше сближаются в связи с рассмотрением - деформаций фермионных формул.

2.1. Алгебраические методы

В 1961 году Стейнберг[7] получил элегантную формулу для кратности неприводимого представления простой алгебры 0 со старшим весом V в тензорном произведении двух неприводимых представлений со старшими весами А ид:

Е ¿(™™)Р(м(А + р + + р) - (" + 2р)) (2.1)

здесь Ж-группа Вейля, е - детерминант элемента группы Вейля, р - вейлевский вектор(полусумма положительный корней) и Р - функция разбиения Костанта, которая выражает число способов, которыми заданный вектор задается в виде суммы положительных корней. Эта формула имеет явный вид но не легка в применении, когда группа Вейля велика.

В 1967 году Климык [8] предложил более упрощенный вариант подсчета кратностей. Важно отметить, что формула Климыка включала в себя не только произведения конечномерных представлений, но и такие произведения, в которых один из сомножителей мог быть бесконечномерным. Основным недо-

статком формул Стейнберга и Климыка являлось то, что они представляли собой знакопеременные суммы заведомо неотрицательных слагаемых, и приходилось производить огромное количество сокращений. Большую сложность представлял подсчет кратностей в тензорных произведениях представлений алгебр произвольного ранга из-за роста размерности группы Вейля. Необходимы были методы, основанные на использовании иных алгебраических структур.

Один из таких подходов к решению задачи нахождения кратностей был разработан Джорджем Люстигом [35] и Масахару Кашивара [32, 33, 34] в рамках теории квантовых групп, где аналогом весовых диаграмм, используемых для полупростых алгебр Ли, являлись кристаллические графы. Вскоре после этого Петер Литтельманн предложил интересный подход к построению таких графов - модель путей [41, 43, 44] в которой вместо весовых диаграмм использовались весовые графы.

2.1.1. Квантовые группы и теорема Люстига

Ниже, мы, следуя [59] покажем, как для решения задачи разложения тензорных произведений представлений алгебры 0 можно использовать теорию кристаллических базисов, разработанных для представлений ее квантовой группы.

Обозначим и(0) - универсальная обертывающую алгебры 0. Выберем параметр д, тогда с каждым д мы можем связать алгебру Хопфа ич (д), которая называется квантовой группой. Таким образом будем иметь семейство алгебр Хопфа, которые при д ^ 1 стремятся к и(0). Для решения задач теории представлений алгебры можно использовать теорию представлений ия(д). По теореме, доказанной Люстигом [36]:

Интегрируемые модули алгебры g из категории Oint могут быть про-деформированы в Uq(д)-модули из категории Oimt таким образом, что размерности весовых пространств останутся инвариантными при такой деформации.

Более подробно, пусть V является U(g) модулем из категории Oin. Пусть его разложение по весовым подпространствам V = @ХеР V\. Теорема Люст-ига утверждает, что для каждого q существует Uq^)-модуль из категории Oqnt с разложением Vq = Ç&XePVX такой, что dimc{q)V\ = dimcV\ для всех A G Р так, что структура Mq стремится к структуре M при стремлении q к единице.

Эта теорема была одной из мотиваций к созданию теории кристаллических базисов. Для интегрируемого модуля V над U (g) из категории Oint и для модуля Vq над Uq(g) из категории Oqnt рассмотрим соответствующие формальные характеры:

ch V = ^(dimcVx) ех (2.2)

ХеР

ch Vq = ^(dimc{q)Vq ) еХ

ХеР

Поскольку Vq является квантовой деформацией V то, по теореме Люстига, chVq один и тот же при всех значениях q и он совпадает с chV. Таким образом, если можно сосчитать chVq при каком то значении q, то этого будет достаточно для нахождения chV. Сделать это наиболее просто при q = 0.

Кристаллический базис представдяет собой базис при q = 0, ему можно сопоставить окрашенный ориентированный граф, называемый также кристаллическим. На нем действуют оперйторы Кашивара. Такой базис удобно использовать при разложении тензорного произведения, поскольку в полу-

ченном графе операторы Кашивара задаются произведениями исходных, а каждая неприводимая компонента в разложении тензорного произведения соответствует связной части кристаллического графа. Таким образом, кристаллические базисы дают мощный метод для решения поставленной задачи.

2.1.2. Операторы Кашивара

Теория кристаллических базисов определяется для интегрируемых ич(0) модулей Уч, которые мы будем обозначать Очп. Такие модули удовлетворяют следующим условиям:

1. V4 разлагается по весовым подпространствам V4 = фЛеР где = {V Е V= д} - весовое подпространство, (Итр(д)У^ < ж для всех Л Е Р

2. Существует конечное число Л1,... Л5 Е Р, таких что Е И(Л1) и •••и И(Л3), где И (Л) = {^ Е Р< Л}

3. Операторы ег, /г локально нильпотентны на Уч для всех % Е I

Теорема 1. Каждый весовой вектор и Е У^ может быть записан единственным образом в виде

N

£ , (2.3)

и = к=1

где N Е Z>0 и ик Е Ух+ка. П кег ег для всех к = 0,1... N , здесь каждый ик однозначно определен для данного и и ик = 0 только если (НгЛ) + к > 0.

Далее мы введем модифицированные корневые операторы, называемые операторами Кашивара, которые играют важную роль в теории кристаллических базисов.

Операторы Кашивара ёг и /г, г Е I определяются следующим образом:

N N

ё,М = £ # _ V , ёи = £ /(Ш>ик (2.4)

к=1 к=0

Эти операторы коммутируют с гомоморфизмами модуля V4, и выполняются соотношения: ёгУЦ = вгУЦ С а,, }гУЦ = /гУЦ С УЦ_а,. Эти операторы введены таким образом, потому что при д = 0 операторы ег/г и /гег сингулярны, а построенные таким образом ёг ё г и ё'гёг - регулярны. Далее вместо V4 для упрощения будем писать просто V.

2.1.3. Кристаллические базисы и кристаллические графы

В качестве примера, который поможет понять, как возникли кристаллические базисы, рассмотрим ид(в^) = {е, /, К, Ки ее двумерный модуль V = Р(д)у+ 0 Р(д)у_ на котором генераторы алгебры действуют как еу+ = 0, еу_ = у+, /у+ = у_, /у_ = 0, Ку+ = ду+, Ку_ = д_1 у_. Рассмотрим тензорное произведение V 0У .В нем, очевидно, есть базис

у + 0 у+, у+ 0у_, у_0 у+, у_0у_ (2.5)

Но при д = 0 он не сопоставим с разложением тензорного произведения двух модулей на неприводимые:

V 0 V = У(2) 0У(0) (2.6)

Подходящий, но более сложный базис выглядит следующим образом. Вектора

у + 0 у+, у_ 0 у+ + ду + 0 у_, у_0у_ (2.7)

составляют базис подмодуля, изоморфного V(2), а вектор

у+ 0 у+ _ ду_ 0 у+ (2.8)

генерируют тривиальный подмодуль V(0).

Оба базиса совпадают при q = 0. Таким образом, можно предположить, что существуют базисы, которые обладают хорошим поведением при q = 0, при этом они сопоставимы с разложением тензорного произведения модулей на неприводимые.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Постнова, Ольга Викторовна, 2017 год

Список литературы

1. V.G Kac, Infinite dimensional Lie algebras. to Quantum Groups and Crystal Bases,Cambridge University Press, 1994.

2. J.E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1992.

3. M. Wakimoto, Infinite-dimensional Lie algebras, American Mathematical Society, 2001.

4. W. Fulton, J. Harris, Representation theory: a first course, Springer Verlag, Vol. 129, 1991.

5. N. Bourbaki, Algebre de Lie IV-VI, (Hermann, Paris, 1968).

6. J. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory , Berlin: Springer, 1997

7. R.Steinberg, A general Clebsch-Gordan Theorem, Bulletin of American Mathematical Society, 67 (1961), 406-407.

8. A.U. Klimyk, Decomposition of a direct product of irreducible representations of a semisimple Lie algebra into a direct sum of irreducible representations, Thirteen Papers on Algebra and Analysis, Amer. Math. Soc. Translations, 76 (1968), pp. 63-74.

9. W. Fulton, Young tableaux: with applications to representation theory and geometry, London Math. Soc. student texts 35, Cambridge University Press (1997).

10. D. E. Littlewood, A. R. Richardson, Group Characters and Algebra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, The Royal Society (1934), 233 (721-730): 99-141

11. V. G. Drinfeld, Hopf algebra and the Yang-Baxter equation, Soviet. Math. Dokl. 32 (1985) 254-258.

12. M. Jimbo, A q-difference analogue of U(G) and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 10 (1985) 63-69.

13. V. Chari, A. Pressley, Quantum affine algebras and their representations, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995.

14. A. Klimyk, K. Schmudgen Quantum groups and their representations, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1997.

15. I. G. Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford University Press, second edition, 1995.

16. A. Schilling, S.O. Warnaar, Supernomial coefficients, polynomial identities and q-series, Ramanujan J. 2 (1998) 459-494.

17. A Schilling, S.O. Warnaar, Inhomogeneous lattice paths, generalized Kostka polynomials and An supernomials, Comm. Math. Phys. 202 (1999) 359-401.

18. B. Feigin and S. Loktev, On generalized Kostka polynomials and the quantum Verlinde rule Differential topology, infinite-dimensional Lie algebras, and applications, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 Vol. 194 (Amer. Math. Soc.,Providence, RI, 1999) pp. 61-79.

19. V. Chari, On the fermionic formula and the Kirillov-Reshetikhin conjecture, Internat. Math. Res. Notices, (12):629-654, 2001.

20. V. Chari, S. Loktev, Weyl, fusion and Demazure modules for the current algebra of slr+\, math.QA/0502165.

21. V. Chari, A. Moura, The restricted Kirillov-Reshetikhin modules for the current and twisted current algebras, Comm. Math. Phys., 266:431-454, 2006.

22. E. Ardonne, R. Kedem, Fusion products of Kirillov-Reshetikhin modules and fermionic multiplicity formulas, math.RT/0602177.

23. B. Feigin, S. Loktev, Multi-dimensional Weyl modules and symmetric functions, Comm. Math. Phys. 251 (2004),427-425, math.QA/0212001.

24. V. Chari, Integrable representations of affine Lie algebras, Invent. math. 85 pp.317-335 (1986).

25. V. Chari, A. Moura, Characters and blocks for finite-dimensional representations of quantum affine algebras, Int. Math. Res. Not. 2005, no. 5, 257-298, math.RT/0406151

26. V. Chari, A. Pressley, Integrable and Weyl modules for quantum affine sl2, Quantum groups and Lie theory (Durham, 1999), 48-62.

27. V. Chari, A. Pressley, New unitary representations of loop groups, Math. Ann., 275, pp. 87-104 (1986).

28. B. Feigin, A. N. Kirillov, S. Loktev, Combinatorics and geometry of higher level Weyl modules, math.QA/0503315.

29. E. Frenkel, E. Mukhin, Combinatorics of q-characters of finite-dimensional representations of quantum affine algebras, Comm. Math. Phys. 216 (2001), no. 1, 23-57, math.QA/9911112.

30. E. Frenkel, N. Reshetikhin, The q-characters of representations of quantum affine algebras and deformations of W-algebras, Recent developments in quantum affine algebras and related topics (Raleigh, NC, 1998), Contemp. Math., 248, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, pp. 163-205, math.QA/9810055.

31. R. Kedem, Fusion products, cohomology of GLn-flag manifolds and Kostka polynomials, IMRN no. 25 (2004), 1273-1298. math.RT/0312478

32. M. Kashiwara, Crystalizing the q-analogue of universal enveloping algebras, Comm. Math. Phys. 133 (1990), 249-260.

33. M. Kashiwara, On crystal bases of Q-analogue of universal enveloping algebras, Duke Math. J. 63 (1991), 465-516.

34. M. Kashiwara, T. Nakashima, Crystal graphs for representations of the q-analogue of classical Lie algebras, J. Algebra 165 (1994), 295-345

35. G.Lusztig, Canonical bases arising from quantized enveloping algebras, J. Amer. Math. Soc. 3 (1990), 447-498.

36. G.Lusztig, Quantum deformation of certain simple modules over enveloping

algebras, Adv. Math. 70 (1988), 237-249

37. Jin Hong, Seok Jin-Hang, Introduction to Quantum Groups and Crystal Bases, Graduate studies in mathematics, vol.42, American Mathematical Society, 2002

38. M. Kashiwara, Level zero fundamental representations over quantized affine algebras and Demazure modules, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 41 (2005), no. 1, 223-250, math.QA/0309142.

39. S.J. Kang, M. Kashiwara, K. C. Misra, Crystal bases of Verma modules for quantum affine Lie algebras, RIMS preprint 887 (1992); Compositio Math. 92 (1994) 299-325.

40. S.J. Kang, M. Kashiwara, K. C. Misra, T. Miwa, T. Nakashima, A. Nakayashiki, Affine crystals and vertex models, Int. J. Mod. Phys. A 7 (suppl. 1A) (1992) 449-484.

41. P.Littelmann, Crystal graphs and Young tableaux, J. Algebra 175 (1995), no. 1, 65-87.

42. P.Littelmann, Paths and root operators in representation theory, Ann. of Math. (2) 142 (1995), 499-525.

43. P. Littelmann, Characters of representations and paths in Hr , Representation Theory and Automorphic Forms, Proc. Sympos. Pure Math. Vol. 61, pp. 29-49, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.

44. P. Littelmann, The path model, the quantum Frobenius map and standard monomial theory, Algebraic Groups and Their Representations, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Vol. 517, pp. 175-212, Kluwer Acad. Publ.,Dordrecht, 1998.

45. S.Kumar, Proof of Parthasarathi-Ranga-Rao-Varadarajan Conjecture, Invent. Math, 93, 117-130, 1988.

46. T. Joseph, Quantum groups and their primitive ideals, Springer Verlag, Berlin, 1994

47. M. Kashiwara, Crystal bases of modified quantized enveloping algebras, RIMS

917, 1993

48. S. Naito, D. Sagaki, Path model for a level-zero extremal weight module over a quantum affine algebra, Int. Math. Res. Not. 2003, 1731-1754.

49. S. Naito, D. Sagaki, Crystal of Lakshmibai-Seshadri paths associated to an integral weight of level zero for an affine Lie algebra, Int. Math. Res. Not.

2005, 815-840.

50. R. Kedem, A pentagon of identities, graded tensor products, and the Kirillov-Reshetikhin conjecture, math.QA/10080980.

51. R. Kedem, Fermionic spectra in integrable models, math.QA/14055585.

52. R. Kedem, T. R. Klassen, B. M. McCoy, E. Melzer, Fermionic sum representations for conformal field theory characters, Phys. Lett. B 307 (1993), no. 1-2, 68-76.

53. M.Kleber, Finite dimensional representations of quantum affine algebras, arXiv:math/9809087.

54. M. Kleber, Combinatorial structure of finite dimensional representations of Yangians: the simply-laced case, Internat. Math. Res. Notices 1997, no. 4, 187-201

55. E.Ardonne, R. Kedem, M. Stone, Fermionic characters and arbitrary highest-weight integrable affine slr+\ modules, Comm. Math. Phys., 264(2):427-464,

2006.

56. A.Schilling, O. Warnaar, Inhomogeneous lattice paths, generalized Kostka polynomials and An supernomials, Commun. Math. Phys. 202 (1999) 359-401.

57. A. Lascoux, M. P. Schutzenberger, Sur une conjecture de H.O. Foulkes, CR Acad. Sci. Paris 286A (1978) 323-324.

58. A. N. Kirillov, M. Shimozono, A generalization of the Kostka-Foulkes polynomials, math.QA/9803062.

59. G. Hatayama, A. Kuniba, M. Okado, T. Takagi, Z. Tsuboi, Paths, crystals and fermionic formulae, Prog. Math. Phys. 23 (2002) 205-272, Birkhauser Boston,

Boston, MA.

60. G. Hatayama, A. Kuniba, M. Okado, T. Takagi, Y. Yamada, Remarks on fermionic formula, Contemp. Math. 248 (1999), 243-291.

61. A. Nakayashiki and Y. Yamada, Kostka polynomials and energy functions in solvable lattice models, Selecta Math. (N.S.) 3 (1997) 547-599.

62. M. Okado, A. Schilling, M. Shimozono, A crystal to rigged configuration bijection for nonexceptional affine algebras, Algebraic combinatorics and quantum groups, pages 85-124. World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 2003.

63. A. Schilling, A bijection between type Dn^ crystals and rigged configurations, J. Algebra, 285(1):292-334, 2005.

64. A. Schilling, M. Shimozono, X = M for symmetric powers, J. Algebra, 295(2):562-610, 2006.

65. P. di Francesco, R. Kedem, Proof of the combinatorial Kirillov-Reshetikhin conjecture, International Mathematics Research Notices, 2008 (2008).

66. P. di Francesco, R. Kedem, Quantum cluster algebras and fusion products, International Mathematics Research Notices, (2013), p. rnt004.

67. R. Kedem, Q-systems as cluster algebras, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 41 (2008), p. 194011.

68. H.Bethe, Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette, Z. Phys.,71, H. 3-4, 205-226 (1931).

69. W. Heisenberg, Zur Theorie der Ferromagnetismus, Z. Phys. 49 (1928), 619.

70. L.A. Takhtadzhyan and L.D. Faddeev, Spectrum and scattering of excitations in the one-dimensional isotropic Heisenberg magnet,J. Sov. Math., 24, No. 2 (1984).

71. L. D. Faddeev, E. K. Sklyanin, and L. A. Takhtadzhyan, Quantum inverse problem method I, Theor. Math. Phys. 40 (1980), 688.

72. L. A. Takhtadzhyan, L. D. Faddeev, The Quantum method of the inverse problem and the Heisenberg XYZ model, Russ. Math. Surveys 34 (1979), 11.

73. A.A.Belavin, Exact solution of the two-dimensional model with asymptotic freedom, Phys.Lett. v.87B, N1-2, p.117-121,1979

74. N. Andrei, J.H.Lowenstein, Derivation of the chiral Gross-Neveu spectrum for arbitrary SU(N) symmetry, Phys.Lett.B. v.90B, N3, p.106-110,1980

75. A.N. Kirillov, Combinatorial identities, and completeness of eigenstates of the Heisenberg magnet,Zap. Nauchn. Sem. LOMI, 131, 88-105 (1983).

76. A. N. Kirillov and N. Yu. Reshetikhin, Formulas for Multiplicities of Occurence of Irreducible Components in the Tensor Product of Representations of Simple Lie Algebras, J.Math.Sc., 80, No. 3,(1996).

77. A. N. Kirillov, N. Yu. Reshetikhin, Representations of Yangians and multiplicities of ocurrence of the irreducible components of the tensor product of representations of simple Lie algebras, J. Soviet Math.52 (1990), 3156-3164

78. S. V. Kerov, A. N. Kirillov, N. Yu. Reshetikhin, Combinatorics, the Bethe ansatz and representations of the symmetric group, Zap.Nauchn. Sem. (LOMI) 155 (1986) 50-64.

79. A. N. Kirillov, N. Y. Reshetikhin, The Bethe Ansatz and the combinatorics of Young tableaux, J. Soviet Math. 41 (1988) 925-955.

80. M. Takahashi, One-dimensional Heisenberg model at finite temperature, Progress of Theoretical Physics, 46 (1971), pp. 401-415.

81. M. Gaudin, Modeles exacts en mecanique statistique: la methode de Bethe et ses generalizations, Note CEA, 1559 (1972), p. 1973.

82. R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, Academic Press, London (1982).

83. G. E. Andrews, R. J. Baxter, P. J. Forrester, Eight vertex SOS model and generalized Rogers-Ramanujan-type identities, J. Stat. Phys. 35, (1984) 193-266.

84. E. Date, M. Jimbo, A. Kuniba, T. Miwa, M. Okado, One dimensional configuration sums in vertex models and affine Lie algebra characters, Lett.

Math. Phys. 17 (1989) 69-77.

85. A. Nakayashiki and Y. Yamada, Kostka polynomials and energy functions in solvable lattice models, Selecta Mathematica, New Ser. 3 (1997) 547-599.

86. A. Kuniba, K. C. Misra, M. Okado and J. Uchiyama, Demazure modules and perfect crystals, Commun. Math. Phys. 192 (1998) 555-567.

87. P.P.Kulish, V.D.Lyakhovsky, O.V.Postnova, Multiplicity function for tensor powers - An case, Journal of Physics: Conference Series, Volume 343, 2012, 012070

88. P.P.Kulish, V.D.Lyakhovsky, O.V.Postnova, Tensor power decomposition Bn case, Journal of Physics: Conference Series, Volume 343, 2012, 012095

89. P.P.Kulish, V.D.Lyakhovsky, O.V.Postnova, Tensor powers for non-simply laced Lie Algebras. B2 case, Journal of Physics: Conference Series, Volume 346, 2012, 012012

90. П. П. Кулиш, В. Д. Ляховский, О. В. Постнова, Функция кратностей для тензорных степеней модулей алгебры АП,ТМФ, 2012, том 171:2, 283-293

91. В. Д. Ляховский, О. В. Постнова, Обобщенные треугольники Паскаля и сингулярные элементы модулей алгебр Ли,ТМФ, 2015, 185:1, 139-150

92. H. B. Curry, Foundations of Mathematical Logic, Dover: NY, 1977

93. C. Chevalley Invariants of finite groups generated by reflections. Amer. J. Maths 77 (1955), 778-782

94. H.S.M Coxeter Discrete groups generated by reflections, The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 35, No. 3. (Jul., 1934), pp. 588-621

95. A.Ram, M.Yip A combinatorial formula for Macdonald polynomial, arXiv 0803.1146

96. J. Riordan, Combinatorial Identities, New York: Wiley, p. 74, 1979.

97. G. E. Andrews and R. J. Baxter, Lattice gas generalization of the hard hexagon model. III. q-Trinomial coefficients, J. Stat. Phys. 47 (1987), 297-330.