Супералгебры Ли и интегрируемость тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Мовсисян Геворг Суренович

• Мовсисян Геворг Суренович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Мовсисян Геворг Суренович

Введение

Раздел 1. Предварительные сведения

1.1 Супералгебры Ли

1.2 Простые супералгебры Ли и системы корней

1.3 Ортосимплектические супералгебры Ли

1.4 Супералгебра Ли 05р(3|2)

1.5 Супералгебра Ли о#р(2|2п)

1.6 Многочлены Якоби

1.7 Интегрируемые системы, связанные с ортосимплектическими супералгебрами Ли

Раздел 2. Оператор КМС типа В(1,1) и супералгебра Ли 05р(3|2)

2.1 Деформированный оператор КМС типа В(1,1)

2.2 Алгебра деформированных симметрических многочленов

2.3 Алгебра сдвинутых деформированных симметрических многочленов

2.4 Собственные функции

2.5 Специализация собственных функций

Раздел 3. Супергруппа ОБР(2|2п) и супермногочлены Якоби

3.1 Супермногочлены Якоби

3.2 Трансляционные функторы

3.3 Трансляционные функторы и неособый базис

3.4 Специализация

3.5 Суперхарактеры

Стр.

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Супералгебры Ли и интегрируемость»

Введение

Актуальность темы и степень её разработанности. Данная диссертационная работа продолжает исследование связи между теорией представлений супералгебр Ли и теорией обобщенных квантовых интегрируемых систем Ка-лоджеро-Мозера-Сазерленда(КМС), которое взяла начало в работах А.Н. Сергеева и А.П. Веселова. Изначально наличие связей между этими двумя разделами было открыто в работах А.Н. Сергеева [1], [2]. Данные работы дали огромный толчок в исследовании квантовых интегрируемых систем с позиции супералгебр Ли, а так же показали наличие обратной связи, то есть применению методов квантовых интегрируемых систем в теории представлений супералгебр Ли. В этих же работах было показано, что при некоторой специализации параметров супермногочлены Джека переходят в определённые сферические функции, в соответствующих симметрических суперпространствах. Тем самым выявлена тесная связь с теорией представлений супералгебр Ли. Старт данных связей был дан в работах [3], [4]. Так же в работах [1], [2] был отражён ещё один немаловажный факт, а именно, что те самые супермногочлены Джека являются собственными функциями дифференциального оператора Калоджеро-Мозера, который является оператором второго порядка. Позднее М.В. Фейгин, А.П. Веселов и О.А. Чалых рассмотрели частные случаи этих дифференциальных операторов [5]. Далее в работе В.В. Сергановой было введено понятие обобщённой системы корней [6], а уже в работе [7] была показана связь обобщённой системы корней и квантовых интегрируемых систем, а именно построение интегралов. Иной подход к построению интегралов был получен в работах [8], [9].

В первой части настоящей работы рассматривается супералгебра Ли 0£р(3|2), которая является одним из простейших примеров супералгебр, теория представлений которых не полупроста. В этом случае как правило задача описания неприводимых представлений в терминах более простых представлений (в

частности вычисления их суперхарактеров) является глубоко нетривиальной. В общем случае для супералгебр о#р(п|2т) эта задача была решена В.В. Сергано-вой [10]. При этом используются полиномы Каждана-Люстига специального вида, а соответствующий алгоритм дает кратности неприводимых модулей в виртуальных модулях Эйлера, суперхарактеры которых известны. В данной работе в частном случае супералгебры о#р(3|2) дается другой способ вычисления суперхарактеров неприводимых представлений. А именно,используя связь между супералгебрами Ли и деформированными квантовыми интегрируемыми системами [7] вычисляются специализации собственных полиномиальных функций оператора Калоджеро-Мозера-Сазерленда типа В (1,1). Более точно, рассматриваемые собственные функции являются полиномами от двух переменных Зл(у,и) и нумеруются диаграммами Юнга Л специального вида (крюки). При этом, коэффициенты этих полиномов рационально зависят от двух параметров к и р. Случай к = — 1,р = —1 соответствует супералгебре Ли олр(3|2). Но этот случай является особым, в том смысле, что коэффициенты полиномов Зл(у,и) имеют полюса в этих точках. Оказывается, что предел при к ^ —1,р ^ —1 существует, если параметры р, к связаны линейным соотношением (которое зависит от диаграммы Л), и совпадает с суперхарактером неприводимого модуля соответствующего диаграмме Л.

Во второй части настоящей работы рассматриваются супермногочлены Якоби, которые являются собственными функциями дифференциального оператора Калоджеро-Мозера-Сазерленда и так же как и сам оператор зависят от трёх параметров к,рд. Основная трудность заключается в том, что при специализации коэффициентов (к,рд) ^ (—1,0,0) данные многочлены не всегда корректно определены. В работе [11] было показано, что Нт(р;д)^.(о,о) Нт^—1 (х,у,к,р^), с точностью до знака, совпадает с суперхарактером Эйлера супергруппы Ли ОБР(2т|2п). Мы рассматриваем частный случай супергруппы Ли ОБР(2т|2п) при т = 1 супергруппу Ли ОБР(2|2п). Основной результат работы можно

сформулировать следующим образом. Пусть Н(1,п) — множество разбиений Л таких,что А2 ^ п и (х,у,к,рд) соответствующее семейство супермногочленов Якоби. Разбиение Л е Н(1,п) называется особым, если оно удовлетворяет равенству Л1 — п = Х'^ + п — ] для некоторого 1 ^ ] ^ п, в противном случае оно называется регулярным. Установим д = 0 и р = 1(к + 1) и для общего параметра Ь возьмем предел супермногочленов Якоби при к ^ — 1. Тогда мы получим новое семейство многочленов 33\(х,у,Ь). Тогда мы имеем:

1) Если А-регулярное разбиение,то Б3\(х,у,1) не зависит от I и совпадает (до знака) с суперхарактером неприводимого модуля Ь(Х) над супергруппой Ли

ОЯР (2|2п).

2) Если А-особое разбиение, то БЗ\(х,у,Х!^) хорошо определен и совпадает (до знака) с суперхарактером неприводимого модуля Ь(Х) над супергруппой Ли

ОЯР (2|2п).

В настоящей работе используется два основных свойства супермногочленов Якоби. Первое заключается в том, что они являются собственными функциями деформированного оператора Калоджеро - Мозера-Сазерленда, а второе свойство состоит в том, что они удовлетворяют формуле Пиери. Поэтому вместо вычисления предела супермногочленов Якоби мы вычисляем предел оператора КМС и предел коэффициентов формул Пиери. Основным инструментом являются трансляционные функторы, которые в этом контексте были определены в работе [12].

Целью данной работы является исследование связей между теорией представлений супералгебр Ли и квантовыми интегрируемыми системами. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Нахождение таких условий на параметры, что при специализации получаются суперхарактеры неприводимых представлений супералгебры о#р(3|2).

2. Исследование связей теории представлений супергруппы ОБР(2|2п) и соответствующей системы КМС.

3. Использование техники трансляционных функторов для задачи специализации параметров суперполиномов Якоби.

4. Исследование комбинаторики возникающих диаграмм Юнга.

5. Построение нового семейства полиномов зависящих от одного параметра, различные специализации которого дают суперхарактеры Эйлера, суперхарактеры проективных накрытии, суперхарактеры неприводимых модулей.

Научная новизна:

1. Найдены такие условия на параметры, что при специализации получаются суперхарактеры неприводимых представлений супералгебры о#р(3|2).

2. Исследована связь теории представлений супергруппы ОБР(2|2п) и соответствующей системы КМС.

3. Использована техника трансляционных функторов для задачи специализации параметров суперполиномов Якоби.

4. Исследована комбинаторики возникающих диаграмм Юнга.

5. Построено новое семейства полиномов зависящих от одного параметра, различные специализации которого дают суперхарактеры Эйлера, суперхарактеры проективных накрытии, суперхарактеры неприводимых модулей.

Практическая значимость. Работа носит теоретически характер. Результаты могут быть использованы в теории представлений супералгебр Ли, теории квантовых интегрируемых систем, теории специальных функций, математической физике.

Mетодология и методы исследования. В диссертации используются методы теории представлений супералгебр Ли, теории квантовых интегрируемых

систем, комбинаторики диаграмм Юнга, трансляционных функторов, теории специальных функций.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Найдены такие условия на параметры, что при специализации получаются суперхарактеры неприводимых представлений супералгебры osp(3|2).

2. Исследована связь теории представлений супергруппы OSP(2|2п) и соответствующей системы КМС.

3. Использована техника трансляционных функторов для задачи специализации параметров суперполиномов Якоби.

4. Исследована комбинаторики возникающих диаграмм Юнга.

5. Построено новое семейства полиномов зависящих от одного параметра, различные специализации которого дают суперхарактеры Эйлера, суперхарактеры проективных накрытии, суперхарактеры неприводимых модулей.

Достоверность полученных результатов обеспечивается теоретическими выкладками, строгими доказательствами и примерами, опирающимися на методы теории представлений и квантовых интегрируемых систем. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты докладывались: На конференциях: XIV Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения»(2016. Саратов. СГУ.); VII Международная научно-практическая конференция «Presenting Academic Achievements to the World» (2016, Саратов); VI школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов».(2017. Москва. МГУ); Научная конференция механико-математического факультета «Актуальные проблемы математики и меха-ники»(2016, 2017, 2018, 2019). Саратов. СГУ; VIII школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов»(2020. Москва. МГУ.)

На семинарах: механико-математического факультета при кафедре геометрии под руководством проф. А.Н. Сергеева.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 печатных изданиях, в том числе 2 , входящих в перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук(2 - в изданиях, входящих в базы цитирования Web of Science и Scopus, из них 1 - в изданиях, рекомендуемых ВАК), 3 — в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх разделов, заключения. Полный объём диссертации составляет 105 страниц. Список литературы содержит 45 наименований.

Краткое содержание диссертационной работы. Первый раздел состоит из семи подразделов. В первом подразделе приводятся все вспомогательные сведения о супералгебрах Ли. Во втором подразделе вводятся основные понятия связанные с простыми супералгебрами Ли и системами корней. В третьем подразделе приводятся основные понятия по ортосимплектическим супералгебрам Ли. В четвёртом подразделе вводятся основные сведения о супералгебре Ли osp(3|2). В пятом подразделе вводятся основные сведения о супералгебре Ли osp(2|2n). В шестом подразделе приводятся все предварительные сведения о мночгочленах Якоби. В седьмом подразделе приводится связь интегрируемых систем с ортосимплектическими супералгебрами Ли.

Второй раздел состоит из пяти подразделов. В первом подразделе рассматривается дифференциальный оператор КМС с системой корней типа В (1,1). Данный оператор приводится к более удобному виду путем некоторых замен. Во втором подразделе приводится естественная область действия оператора КМС, которая называется алгеброй деформированных симметрических многочленов. Вводятся многочлены Джека и показывается, что они составляют базис данной алгебры. Далее рассматривается действие оператора КМС на базис и выводится

формула Пиери для многочленов Джека. В третьем подразделе приводится алгебра сдвинутых деформированных симметрических многочленов, описывается её базис и выводится формул Пиери для него. В четвёртом подразделе вводятся супермногочлены Якоби, которые являются линейно комбинацией многочленов Джека. Показывается, что супермногочлены Якоби являются собственной функцией дифференциального оператора КМС, введённого в первом подразделе. В пятом подразделе приводится основной результат второго раздела. Показывается, что собственные функции, то есть супермногочлены Якоби, при определённых значениях параметров к и р специализируются в суперхарактеры неприводимых представлений супералгебры Ли ояр(3|2).

Третий раздел состоит из пяти подразделов. В первом подразделе вводится дифференциальный оператор КМС типа В (1,п) и супермногочлены Якоби. Во втором разделе приводятся трансляционный функтор, описываются его свойства и исследуется комбинаторика возникающих диаграмм Юнга. В третьем разделе строится неособый базис из многочленов Якоби с применением трансляционного функтора и показывается корректность этого базиса при к = — 1, р = д = 0. В четвёртом подразделе вычисляется специализация супермногочленов Якоби и показывается её корректность. В пятом подразделе показывается связь специализированных супермногочленов Якоби с теорией представлений супергруппы Ли ОБР(2|2п), а именно с суперхарактерами неприводимых модулей над супергруппой Ли ОБР(2|2п). Данный подраздел является основным результатом третьего раздела.

Раздел 1. Предварительные сведения

Все предварительные сведения можно извлечь из [13—21]. Пространства и алгебры рассматриваются над полем k = R или C, но всё, что будет говориться в данной главе справедливо для любого к, такого, что char k = 2, 3. Пусть далее 0—основная(базовая) классическая супералгебра Ли.

1.1 Супералгебры Ли

Определение 1.1. Векторным суперпространством V называется Z2-градуированное векторное пространство V = vq 0 Vj, где Z2 = {0,1}. Элементы V Е vq U Vj называются однородными. Элементы v Е vq называются чётными, а элементы v Е Vj называются нечётными. Четность v Е V, обозначаемая , определяется только на ненулевых однородных элементах, то есть элементах либо vq, либо Vj :

!0, если V Е vq 1, если V Е Vj.

Подсуперпространством называется такое пространство W С V, что

W = (W П vq) 0 (W П Vj).

Суперразмерностью векторного суперпространства V называется пара (т,п),

где dim vq = т и dim Vj = п. Пишется dim(y) = т\п.

Приведём небольшой пример суперпространства :

km|n = krn

0 kn, где

km|n = и km|n = kn.

В общем, если у нас есть конечномерное векторное суперпространство V и dim(y) = т\п, то всегда найдётся однородный базис {ej,... ,em,em+i,... ,ет+п}, такой что {еь ... ,ето}-базис в vq, a

{ет+1,... ,ет+п}— базис в Таким образом, V канонически отождествляется с ктК

Определение 1.2. Пусть V и W — суперпространства. Морфизмом из пространства V в пространство W называется линейное отображение ^ : V ^ W, сохраняющее Ъ2— градуировку. Отметим, что пространство всех линейных преобразований из V в W, естественно, векторное суперпространство. В частности, пространство эндоморфизмов V, обозначаемое Еп^У), является векторным суперпространством.

Введём структуру суперпространства на тензорном произведении V 0 W. Если V и W — векторные суперпространства, то тензорное произведение V 0 W также является векторным суперпространством относительно градуировки

(V 0 W)0 = (У0 0 W0) 0 (УТ 0 Wт),

(V 0 W)т = (У0 0 жт) 0 (Ут 0 Щ>).

Тензорное произведение 0 суперпространств - ассоциативно в обычном смысле, то есть, как для векторных пространств:

и 0 (V 0 W) = (и 0 V) 0 и 0 (V 0 -и) ^ (и 0 V) 0 -и.

Если говорить про коммутативность, то здесь есть отличие в виде знака, то есть

су^ : V 0 W ^ W 0 V, V 0 (—1)И^ 0 V.

Таким образом, следующая диаграмма коммутативна:

сиу

и 0 V 0 № -,-- V 0 W 0 и

V 0 и 0 №

Определение 1.3. Супералгеброй называется векторное суперпространство Л (ассоциативное, с единицей) вместе с морфизмом • : А 0 А ^ А. Для

однородных элементов имеем |а + Ц = |а| + Щ. Супералгебра А называется суперкоммутативной, если аЬ = (—1)|а||ь| Ьа. Модулем над супералгеброй А называется векторное суперпространство М вместе с билинейным отображением А х М ^ М, причём

а(Ьт) = (аЬ)т, 1 • т = т, Уа,Ь Е А, т Е М.

Гомоморфизмом двух Л—модулей М и N называется линейное отображение / : М ^ N с учётом чётности |/1 Е Ъ2 такое, что

/(ат) = (—1)|аМ/'а/(т), Уа Е А, т Е М.

Определение 1.4. Супералгебра Л называется коммутативной супералгеброй или суперкоммутативной алгеброй, если для любых однородных а,Ь Е А выполняется условие

аЬ = (—1)|ь||а|6а.

Теперь рассмотрим тензорное произведение двух супералгебр. Если А и В две супералгебры, то тензорное произведение А 0 В также является супералгеброй, причём

(а 0 Ь)(с 0 д) = (—1)|ь||с|(ас 0 Ьд). Далее рассмотрим очень важный пример супералгебры.

Пример 1.1. Рассмотрим прямую сумму

п

А(Л) = 0 А'И).

р=0

Введём операцию внешнего произведения следующим образом

Тх Л Т2 = ЛИ(Тх 0 Т2),

для любого Т\ Е Лр(А) и Т2 Е Л4(А). Полученную алгебру Л(А) называют внешней алгеброй или алгеброй Грассмана пространства А. Заметим, что внешняя алгебра является коммутативной супералгеброй.

Определение 1.5. Супералгеброй Ли называется супералгебра 0 = 0о 0 0! вместе с умножением [•,•] : 0 0 0 ^ 0, удовлетворяющее следующим свойствам:

1. Кососимметричность

[х,у] = — (—1)1хЫ[у,х],

2. Тождество Якоби

[[х,у],г] + (—1)|ж|(|»|+|*%,г],ж] + (—1)№|+Ы)[[^, х], у] = 0.

Определение 1.6. Пусть даны две супералгебры Ли 0 и Ц. Гомоморфизмом супералгебр Ли называется чётное линейное отображение / : 0 ^ Ц, такое, что

/(М]) = [/(ж),/(у)], Ух,у е 0.

Замечание 1.1. Важно отметить, что из любой ассоциативной супералгебры можно получить супералгебру Ли, если ввести скобку(суперкоммутатор)

[х, у] = ху — (—1)|ж||у|уж.

Далее рассмотрим некоторые примеры супералгебр Ли.

Пример 1.2. Пусть V — векторное суперпространство, то есть V = V) 0 V!. Из Замечания 1.1 следует, что если наделить Еп^У) суперкоммутатором, то получим супералгебру Ли, называемую общей линейной супералгеброй Ли и обозначаемую 0((^). Если V = кт|п, то пишется 0[(т|п).

Супералгебра Ли 0((^) может быть реализована в виде блочных матриц (т + п) х (т + п) :

(а Ь 9 = I

ус (I

где а — (т х т), Ь — (т х п), с — (п х т) и (I — (п х п) матрицы. Чётная часть 0[(У)о состоит из матриц, в которых Ь = с = 0. Нечётная часть 0((^)!, напротив, состоит из матриц, в которых а = Ь = 0. В частности, 0((^)о = 01(ш) 0 0((п), то есть чётная часть состоит из чётных эндоморфизмов, а нечётная часть состоит

из нечётный эндоморфизмов(меняющих знак), )у = (Ут0УП*)0(Vm*0Vn), где Vй*— двойственное пространство к Vй.

Определение 1.7. Для любого д Е 0[(т|п) определим супертранспониро-ванную матрицу по следующей формуле

, I аг сг\ _

д* = I I , если ^ = 0,

у—Ь1 ё )

I аг — сг \ _

Г= I I , если |g| = 1,

&)

где хt означает транспонирование в обычном смысле. Заметим, что дважды су-пертранспонированная матрица будет иметь вид

(9 = I

—

Определение 1.8. Для любого д Е 0[(т|п) определим суперслед по следующей формуле

Б^д) = 1г(а) — Ьт((1,). Предложение 1.1. Пусть д,д' Е 0[(т|п), тогда ,д'\) = 0. Доказательство. Рассмотрим отдельно три случая. 1) Пусть д,д' Е )о,

тогда

(а 0|, ✓ = (ы 0

\0 (!) \ 0 д!

Следовательно

I аа' — а'а 0

, 9 ]) = ^г(99 — 9 9) = I

у 0 (1(1' — ¿'(1

= 1г(аа') — 1г(а! а) — 1г((1(1') + 1г((1'(1) = 0

2) Пусть д,д' е 0((У)!, тогда

, = (0 = (0 "

ус 0) \с' 0

Следовательно

¡Ьс' + Ь'с 0 9 ]) = + д д) = I

V 0 сЬ' + с'Ь

= 1т(Ьс') + 1т(Ь'с) — 1т(сЬ') — 1т(с'Ь) = 0

3) Пусть д е 0!(У)о и д' е 01(У)! тогда

, = (а 0) = I0 6

^0 ^ ус 0

Следовательно

( 0 аЬ — ]) = в1г(да + д д) = в1г I I =0.

\<Лс — са 0 /

Предложение доказано. □

Пример 1.3. Рассмотрим подалгебру £[(т|п) в алгебре 0[(т|п)

5[(т|п) = {д е 0[(т|п) | в1г(д) = 0}, которая называется специальной линейной супералгеброй Ли.

Определение 1.9 ([22]). Пусть 0— супералгебра Ли. Универсальной обёртывающей алгеброй супералгебры Ли 0 называется пара (и(0),^), где и(0) — ассоциативная супералгебра с единицей, а а : 0 ^ и(0)—линейное отображение обладающее следующими свойствами: 1) а—гомоморфизм супералгебр Ли, то есть

а([х,у]) = а(х)а (у) — (—^^(уИх);

2) для всякой ассоциативной супералгебры А с единицей и для всякого гомоморфизма супералгебр Ли т : 0 ^ А существует единственный гомоморфизм ассоциативных супералгебр т' : и(0) ^ А, такой, что следующая диаграмма коммутативна.

0 ---* А

и (0)

Для доказательства существования супералгебры Ли ( и(0) нужно рассмотреть тензорную алгебру. Пусть Т(0)— тензорная алгебра над 0. Положим и(0) = Т(0)//, где /—двусторонний идеал алгебры Т(0), порождённый элементами вида

х 0 У — (—1)|ж||у|у 0 х — [х,у], Ух,у Е 0.

Предложение 1.2. Пусть а : 0 ^ и(0)— композиция отображений 0 ^ Т(0) ^ и(0). Тогда существует единственный гомоморфизм г' : и(0) ^ А, такой что г' о а = г.

Доказательство. Пусть задан гомоморфизм т : 0 ^ А. Так как г—линейное отображение, то оно продолжается до гомоморфизма р : Т(0) ^ А. Тогда для любых х, Е 0 имеем

р(х 0 у — (—1)|ж||у|у 0 х — [х, у]) = т(х)т(у) — (—1)|ж|Ыт(у)т(х) — т([х, у]) = 0.

Отсюда, р(1) = 0, следовательно, р определяет отображение т' : и(0) ^ А. Таким образом, полностью восстанавливается по единственным образом, следовательно, г' о а = т. Предложение доказано. □

Теорема 1.1 (Пуанкаре-Биркгофа-Витта[23]). Пусть 0 = 00 0 01 и

{х\,х2,... ,хп} базис в 00, а {у1, у2,...,ут} базис в 01. Тогда множество

{х11х22 • • • х% У]1 у322 ••• у"пт | П, Г2 ... , Гп Е , 51,5 2 ... ,5 п Е Ж2} является базисом алгебры и(0).

1.2 Простые супералгебры Ли и системы корней

Определение 1.10. Пусть V = У^ 0 V!— векторное суперпространство, 0 = 0о 0 0!— супералгебра Ли. Гомоморфизм вида р : 0 ^ 0[(У) называется представлением или линейным представлением супералгебры Ли. В этом случае говорят, что V является 0—модулем. Заметим, что С , г,] е Ъ2 и

[91,92]Ы = 91(92(У)) — (—)).

Линейное представление ad : 0 ^ 01(0), при котором (ad д)(х) = [д,х] называется присоединённым представлением.

Определение 1.11. Подмодульем 0—модуля V называется Ъ2—градуированный модуль и С V такой, что ди С и (т.е. ди е и, если и е и) для всех д е 0. Другими словами, подмодуль - это подмножество модуля, замкнутое относительно умножения на элементы супералгебры Ли. Неприводимым или простым называется 0—модуль V, если он не содержит подмодулей отличных от нулевого и всего пространства. Под гомоморфизмом ф : У ^ и двух 0—модулей понимается тот, который сохраняет Ъ2—градуировку, то есть ф(У{) = У^), где ф—биекция Ъ2 ^ Ж2.

Пусть У— подпространства супералгебры Ли 0. Обозначим через [У, W] подмодуль в 0, порождённый элементами вида [у,п)\, где V е У,п) е W. Если же У,W — подмодулии в 0, то множество [У,№] есть образ тензорного произведения У 0 W при отображении V 0 п) ^ [и,п)\. В случае, когда У— идеалы в 0, то множество [У, W] также является идеалом.

Определение 1.12. Определим производный ряд идеалов 0(г) С 0 следующим образом

« = 0 0(г+1) = [0(г) 0(г

0 / = 0, 0 7 =

[0(г), 0(г)], г ^ 0.

Определим нижний центральный ряд идеалов 0[г] С 0 следующим образом

0[о] = 0, 0[г+1] = [0,0Н], г > 0.

Супералгебра Ли 0 называется разрешимой, если существует целое число п, такое, что 0(п) = {0}. Супералгебра Ли 0 называется нильпатентной, если существует целое число п, такое, что 0[п] = {0}. Заметим, что если [0,0] = 0, то 0— абелева.

Определение 1.13 ([22]). Пусть 0—неабелева супералгебра Ли. Супералгебра Ли 0 называется простой, если она не содержит идеалов отличных от нулевого и всего пространства.

Определение 1.14 ([22]). Пусть 0—супералгебра Ли и Ц— её подалгебра. Нормализатором п(Ц) подалгебры Ц называется множество {д е 0 | [д, Ц] С Ц}. Нормализатор является наибольшей подалгеброй в 0, содержащей алгебру Ц в качестве идеала. Подалгебра Ц С 0 называется подалгеброй Картана, если она нильпотентна и совпадает со своим нормализатором, то есть Ц = п(Ц).

Определение 1.15. Пусть Ц С 0—подалгебра Картана. Для любого а е Ц*, определим корневые подпространства

0а = {д е 0 | [Н,д] = а(Н)д, УН е Ц}.

Система корней для 0 определяется следующим образом

Я = {« е Ц* | 0а = 0,а = 0}.

Выделим из Я систему чётный и нечётных корней, то есть Я = Я^ и Щ, где

До = {« е Я | 0а П 0о = 0}, ЯТ = {а е Я | 0« П 0Т = 0}.

Системой положительных корней называется множество

Я+ = {а е Я | а > 0}.

Системой отрицательных корней называется множество Я = — Я+. Ясно, что

Я = Я+ и Я—.

Определение 1.16 ([22]). Пусть Я—система корней супералгебры Ли 0. Подмножество В с Я называется системой простых корней или базисом системы корней Я, если выполняются следующие условия:

1) В является базисом 0;

2) все корни / Е Я записываются в виде линейных комбинаций

где са—целые коэффициенты имеющие один и тот же знак.

Определение 1.17. Пусть Я = Я0 и Яц—система корней супералгебры Ли 0. Группой Вейля W (0) называется подгруппа в 0, порождённая отражениями п относительно чётных корней:

где а Е Я0, / Е Я.

Теорема 1.2. [24] Пусть Ц—подалгебра Картана супералгебры Ли 0. 1) Справедливо разложение 0 по корневым подпространствам относительно Ц

аЕВ

а • /

па(/3) = / — 2-а,

а а

0 = Ц 0 09а, 90 = Ц.

(1.1)

аЕК

2) Для любого а,/, а + / Е Я справедливо включение [ да, ] С да+/3.

1.3 Ортосимплектические супералгебры Ли

Определение 1.18. Пусть V—векторное суперпространство. Билинейная форма

В (•, •) : V XV

называется чётной, если В(Vi,Vj) = 0 и i + j = 0, соответственно, нечётной если i + j = 1. Чётная билинейная форма В называется суперсимметричной, если В|у_ху_ симметричная, а В|утхут кососимметричная и, наоборот, называется кососуперсимметричной, если В |упхуп кососимметричная, а В |утхут симметричная.

Определение 1.19. Пусть В—невырожденная, чётная, суперсимметричная билинейная форма на векторном суперпространстве V. Следовательно, dim Vj обязательно чётен. Для любого s G Z2, определим

)s = [д G gl(V)a | В(g(x),y) = — (—1)slxlB(x,g(y)), Ух,у G V},

) = osp(y)0 0 osp(y)j.

Данная супералгебра называется ортосимплектической супералгеброй Ли и является подалгеброй в ). В частности, osp(y)q = so(V0) 0 sp(VJ).

Случай g = osp(2m + 1|2n). Дадим явную матричную реализацию ортосимплектической супералгебры Ли. Заметим, что супертранспонированная матрица будет иметь вид:

а b \ I аг Ь1 с d) \—cf df Определим матрицу (2т + 2п + 1) х (2т + 2п + 1), имеющую блочный вид

(1|m|m|n|n).

Н'

2т+!\2п

\

1 0 0 0 0

0 0 1т 0 0

0 1т 0 0 0

0 0 0 0 1п

0 0 0 —1 п 0

\

(1.2)

/

По определению 05р(2т + 1|2п) является подалгеброй д[(2т + 1|2п), которая сохраняет билинейную форму на к2т+1|2п с матрицей (1.2) относительно стандартного базиса в к2т+1|2п, следовательно

05р(2т + 1|2п) = [де 0[(2ш + 1|2п) | д81Н2т+1\2п + Н2т+Ц2пд = 0}. (1.3)

Заметим, что супералгебра 05р(2т + 1|2п)у = к2т+1 0 к2п является модулем над 05р(2т + 1|2п)о = 5р(2т + 1) 0 50 (2п). Супералгебра 05р(2т + 1|2п) состоит из матриц (2т + 2п + 1) х (2т + 2п + 1), имеющую блочный вид (1|т|т|п|п)

V

0 —U —v 1 x Xi

a У У1

и —a1 z Zi

sy>t X 1 xf —4 z1 —y\ yt d f —d

\

(1.4)

/

где а—матрица (т х т) Ь, с—ко со симметричные матрицы (т х т),то есть Ьг = —Ь, ё = — с, о?—матрица (п х п), е, /—симметричные матрицы, и, -и—матрицы (т х 1), у, у1,г, 2^—матрицы (т х п) и х, х1— матрицы (1 х п).

Пронумеруем строчки и столбцы матрицы (1.4) множеством [0, ±1,..., ± (т + п)}. Первой строчке матрицы (1.4) присвоим номер 0, а затем пронумеруем оставшиеся строки множествами [1,... ,т}, [—1,..., — т}, [т + 1,... ,т + п} и [ —(т + 1),..., — (т + п)}, соответственно. Столбцы будем нумеровать таким же образом.

Пусть Ц С 0—подалгебра Картана и £ ¡, — базис в Ц*. Тогда Подалгебра Картана Ц определяется следующим образом:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мовсисян Геворг Суренович, 2021 год

Список литературы

1. Сергеев А. Н. Оператор Калоджеро и супералгебры Ли. / А. Н. Сергеев // Теоретическая и математическая физика. — 2002. — Т. 131, № 3. — С. 355— 376.

2. Sergeev A. N. Superanalogs of the Calogero operators and Jack polinomials. / A. N. Sergeev // J. Noliniar Math. Phys. - 2001. - Vol. 8, no. 1. - P. 59-64.

3. Вершик А. М. Асимптотическая теория характеров симметрической группы. / А. М. Вершик, С. В. Керов // Функц. анализ и его прил. — 1981. — Т. 15, № 4. — С. 15—27.

4. Вершик А. М. Характеры и фактор-представления бесконечной симметрической группы. / А. М. Вершик, С. В. Керов // ДАН СССР. — 1981. — Т. 257, № 5. — С. 1037—1040.

5. Veselov A. P. New integrable deformations of the Calogero-Moser quantum problem. / A. P. Veselov, M. V. Feigin, O. A. Chalykh // J. Math. Phys. — 1998. — Vol. 39, no. 2. — P. 659-703.

6. Serganova V V On generalization of root system. / V. V. Serganova // Communication in Algebra. — 1996. — Vol. 24, no. 13. — P. 4281-4299.

7. Sergeev A. N. Deformed quantum Calogero-Moser systems and Lie superalge-ras. / A. N. Sergeev, A. P. Veselov // Communications in Algebra. — 2004. — Vol. 245, no. 2. — P. 249-278.

8. Sergeev A. N. Generalised discriminant, deformed quantum Calogero-Moser-Sutherland problem and super-Jack polynomials. / A. N. Sergeev, A. P. Veselov // Advances in Mathematics. — 2005. — Vol. 192, no. 4. — P. 341375.

9. Sergeev A. N. Deformed Macdonald - Ruijsenaars operators and super Macdonald polynomials. / A. N. Sergeev, A. P. Veselov // Communications in Mathematical Physics. - 2009. - Vol. 288, no. 2. - P. 65-675.

10. Serganova V. V. Characters of irreducible representations of simple Lie supe-ralgebras. / V. V. Serganova // Proc. Intern. Congress of Math., Berlin, Doc. Math. Extra, - 1998. - Vol. 2. - P. 583-593.

11. Sergeev A. N. Euler characters and super Jacobi polynomials. / A. N. Sergeev, A. P. Veselov // Advances in Mathematics. - 2011. - Vol. 226, no. 5. -P. 4286-4315.

12. Sergeev A. N. Jack-Laurent symmetric functions for special values of the parameters. / A. N. Sergeev, A. P. Veselov // Glasgow Mathematical Journal. -2016. - Vol. 58, no. 3. - P. 599-616.

13. Musson I. M. Lie Superalgebras and Enveloping Algebras. /1. M. Musson. -USA : American Mathematical Society, 2012. - 488 p.

14. Cheng S. /.Dualities and Representations of Lie Superalgebras. / S.J. Cheng, W. Wang. - USA : American Mathematical Society, 2012. - 302 p.

15. Frappat L. Dictionary on Lie algebras and superalgebras. / L. Frappat, A. Sci-arrino, P. Sorba. - USA : Academic Press, 2000. - 410 p.

16. Deligne P. Notes on supersymmetry following Bernstein. Quantum fields and strings; a course for mathematicians. / P. Deligne, J. M. Morgan // Amer. Math. Soc. - 1997. - Vol. 1. - P. 41-96.

17. Scheunert M. The Theory of Lie superalgebras. / M. Scheunert. - Berlin : Lect. Notes in Maths, 1979. - 271 p.

18. Kac V. G. Lie superalgebras. / V. G. Kac // Advances in Mathematics. -1977. - Vol. 26, no. 1. - P. 8-96.

19. Kac V. G. Classification of simple Lie superalgebras. / V. G. Kac // Functional Analysis and its Applications. — 1975. — Vol. 9, no. 3. — P. 263-265.

20. Kac V. G. Representations of classical Lie superalgebras. / V. G. Kac // Lecture Notes in Mathematics.Springe Verlag. — 1977. — Vol. 9. — P. 597-626.

21. Varadarajan V. S. Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. / V. S. Varadarajan. — Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society, 2004. — P. 300.

22. Серр Ж. П. Алгебры Ли и группы Ли. / Ж. П. Серр. — Москва : Мир, 1969. — 377 с.

23. Ross L. E. Representations of graded Lie algebras. / L. E. Ross // Trans. Amer. Math. Soc. — 1965. — Vol. 120. — P. 17-23.

24. Кац В. Г. Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста. / В. Г. Кац // Изв. АН СССР. Сер. Матем. — 1968. — Т. 32, № 6. — С. 1323—1367.

25. Germoni J. Indecomposable representations of о sp(3,2),D(2,1;a) and G(3). / J. Germoni // Boletin de la Academia Nacional de Ciencias. — 2000. — Vol. 65. — P. 147-163.

26. Nguyen A. K. Transformations of some induced оsp(3|2) modules in an so(3) 0 sp(2) basis. / A. K. Nguyen, P. Tchavdar // Journal of Mathematical Physics. — 1992. — Vol. 33, no. 5. — P. 1841-1863.

27. Joris Van der Jeugt. Character formulae for the Lie superalgebra С(n). / Joris Van der Jeugt. // Communications in Algebra. — 1991. — Vol. 19. — P. 199-222.

28. Okounkov A. Y. Limits of BC-type orthogonal polynomials as the number of variables goes to infinity, in: Jack, Hall-Littlewood and Macdonald polynomials. / A. Y. Okounkov, G. I. Olshanski // American Mathematical Society Contemporary Mathematics Series. - 2006. - Vol. 417. - P. 281-318.

29. Olshanetsky M. A. Quantum integrable systems related to Lie algebras. / M. A. Olshanetsky, A. M. Perelomov // Physics Reports. — 1983. — Vol. 94, no. 6. — P. 313-404.

30. Chalykh O. A. Multidimensional Baker-Akhiezer Functions and Huygens' principle. / O. A. Chalykh, M. V. Feigin, A. P. Veselov // Communications in Mathematical Physics. — 1999. — Vol. 206, no. 3. — P. 533-566.

31. Фейгин М. В. Многомерные интегрируемые операторы Шредингера. / М. В. Фейгин. — Москва : Кандидатская диссертация, 2000. — 111 с.

32. J.F. van Diejen. Determinantal construction of orthogonal polynomials associated with root systems. / J.F. van Diejen, L. Lapointe, J. Morse // Compositio Mathematica. — 2004. — Vol. 140, no. 2. — P. 255-273.

33. Heckman G. /.Root systems and hypergeometric functions. II. / G. J. Heck-man // Compositio Mathematica. — 1987. — Vol. 64, no. 3. — P. 353-373.

34. Сергеев А. Н. Супералгебры Ли и системы Калоджеро-Мозера-Сазерленда. / А. Н. Сергеев // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. — 2017. — Т. 136. — С. 72—102.

35. Макдональд И. Г. Симметрические функции и многочлены Холла. / И. Г. Макдональд. — Москва : Мир, 1985. — 224 с.

36. Сергеев А. Н. Тензорная алгебра тождественного представления как модуль над супералгебрами Ли g[(n\m) и q(n). / А. Н. Сергеев // Математиечкий сборник. — 1984. — Т. 123, № 3. — С. 422—430.

37. Sergeev A. N. ВСЖ Calogero-Moser operators and super Jacobi polinomials. / A. N. Sergeev, A. P. Veselov // Advances in Mathematics. — 2009. — Vol. 222, no. 5. — P. 1687-1726.

38. Sergeev A. N. Grothendieck rings of basic classical Lie superalgebras. / A. N. Sergeev, A. P. Veselov // Annals of Mathematics. — 2011. — Vol. 173, no. 2. — P. 663-703.

39. Gruson C. Cohomology of generalized supergrassmanians and character formulae for basic classical Lie superalgebras . / C. Gruson, V. V. Serganova // Proc. London Math. Soc. — 2010. — Vol. 101, no. 3. — P. 852-892.

40. Movsisyan G. S. CMS operators В(1,1) type and Lie superalgebras osp(3|2). / G. S. Movsisyan, A. N. Sergeev // Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform. — 2017. — Vol. 17, no. 1. — P. 19-30.

41. Movsisyan G. S. Supergroup OSP(2,2n) and Super Jacobi polynomials / G. S. Movsisyan, A. N. Sergeev // Journal of Algebra. — 2020. — Vol. 556. — P. 750-775.

42. Сергеев А. Н. Формула Пиери и специализация супермногочленов Якоби. / А. Н. Сергеев, Е. Д. Жаринов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2019. - Т. 19, № 4. - С. 377-388.

43. Serganova V. V. Automorphisms of simple Lie superalgebras. / V. V. Serga-nova // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. — 1984. — Vol. 48, no. 4. — P. 585-598.

44. Chanyoung Lee Shader. Representations for Lie superalgebras of type С. / Chanyoung Lee Shader. // Journal of Algebra. — 2002. — Vol. 255. — P. 405421.

45. Zou Y. M. Category of finite dimensional weight modules over type I classical Lie superalgebras. / Y. M. Zou // Journal of Algebra. — 1996. — Vol. 180. — P. 459-482.