Демазюровские модули и многообразия Шуберта для аффинной алгебры Каца-Муди тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Фейгин, Евгений Борисович

• Фейгин, Евгений Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фейгин, Евгений Борисович

Введение

I. Градуированные тензорные произведения

1. Факторы по идеалам.

2. Представления абелевых алгебр Ли.

3. Формула для характера.

4. Фермионная реализация.

5. Короткие точные последовательности.

II. Многообразия Шуберта

1. Геометрия многообразий Шуберта.

2. shyi как алгебраическое многообразие.

3. Изоморфизмы sh^ ~ shg.

4. Линейные расслоения на sh(n).

5. Геометрия общих многообразий Шуберта.

6. Линейные расслоения на sh^,-,^^}.

III. Бесконечномерные конструкции

1. з^-модули.

2. Разложение LD. Алгебра Верлинде.

3. Комбинаторные вычисления.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Демазюровские модули и многообразия Шуберта для аффинной алгебры Каца-Муди»

Пусть д — полупростая комплексная алгебра Ли, д — соответствующая аффинная алгебра Каца-Муди с картановским разложением д = п+ ф I) © п, д <8> С[£] - алгебра токов (см. [К]). Пусть К(А) неприводимое представление д со старпшм весом А и старшим вектором ид, а - группа Вейля д. Таким образом,

У(А) = и( П).17А, где и(п) - универсальная обёртывающая алгебра. Напомним, что для любого веса а и ■ш Е IV размерности шпЬаЛ и гтшК;шаЛ соответствующих весовых пространств в К(Л) совпадают. Значит для всех ш 6 И^ получаем тиИ^дЛ = 1 (т.к. тикдЛ = 1). Зафиксируем какой-нибудь ненулевой вектор г>шд веса юЛ в К(Л). Определим модули Демазюра в К(Л) следующим образом (см. [Б, Кит]):

• Эти модули можно рассматривать как конечномерную аппроксимацию бесконечномерных пространств К(Л). Таким образом, изучение пространств Уш(Л) важно как само по себе, так и для прояснения структры представлений аффинных алгебр. Отметим также, что модули Демазюра возникают в таких областях математической физики как теория решёточных моделей (см. [ЛМ]) и теории представлений вертекс операторных алгебр (см. [Кас, Бо, РТБ, РП]).

Основным средством изучения размерностей и характеров модулей Демазюра является теория Демазюровских кристаллов - комбинаторных объектов, нумерующих базисы в модулях Демазюра (см. [Ка2, КаЗ, КМОТШ, КМОТШ]). Одним из важнейших и интереснейших следствий этой теории является утверждение о том, что кристаллы для некоторых Демазюровских модулей являются тензорными произведениями других кристаллов (см. [БЛКТО, ЛММО]). В работах [Эа, М, ЕоЬ] также показано, что некоторые Демазюровские модули изоморфны тензорным произведениям неприводимых д-модулей как представления д. Всё это делает естественной гипотезу о том, что модули Демазюра могут быть построены как деформации тензорных произведений неприводимых представлений полупростой алгебры (см. [РЬ]). Приведём здесь эту конструкцию.

Пусть VI,., - неприводимые представления алгебры Ли д, и,- - старший вектор К-, а ,., - набор попарно различных комплексных чисел. Обозначим через (г,-) представление алгебры д ® <С[£] в К', определяемое отображением д ® <С[г] д, хк х £ д,хк = х 1к.

Введём фильтрацию на тензорном произведении У(г{):

К = зрап{х£ - - - х^р ■ (®Г=1г/,), «! + -•• + «р < 5, € д}.

Определим градуированное тензорное произведение (гтп) У\ * •• • * Уп как присоединённый градуированный модуль относительно введённой фильтрации. Предположительно, градуированные тензорные произведения не зависят от параметров 2,- и являются Де-мазюровскими модулями в некоторых интегрируемых д-модулях. Частные случаи этой гипотезы доказаны в [Кес1, СЬ, РКЬ].

В нашей работе рассматривается случай д = Одним из основных результатов является доказательство вышеприведённой гипотезы. Сформулируем точное утверждение для гтп, соответствующих Демазюровским модулям в неприводимых представлениях зГ2.

Пусть - неприводимый 5[2-модуль со старшим вектором и/,*;, удовлетворяющим соотношениям hoVl<k - КУ^ = ¿у/,к = 0.

Здесь к - картановский элемент в С К - центр 512, а (I удовлетворяет соотношению [(I, х,-] = — гх;, х <Е Рассмотрим элемент гир из группы Вейля 5(2 длины 2р. Тогда 7г/ *

2р—1 где тг^' - неприводимое {] + 1)-мерное представление з12- Мы также доказываем аналогичные утверждения для подмодулей тензорных произведений неприводимых 5 ^-модулей, порождённых произведением старших векторов.

Пусть теперь 14 * • • • * Уп некоторое гтп. Определим многообразие Шуберта зЬц,.,^ как замыкание орбиты старшего вектора в проективизации гтп: зЬу,.к. = <?№])-М Р(14 * • • • * Уп), (1) где С - группа Ли алгебры д, а [у] - прямая, соответствующая произведению старших векторов Уг. Заметим, что в случае специального выбора модулей К" определение (1) совпадает с определнием стандартных многообразий Шуберта в аффинном многообразии флагов, см. [СФ, Кит, Ка1, 81]. В нашей работе изучаются эти многообразия в случае д = 5[г- Мы описываем алгебро-геометрические свойства многообразий Шуберта. Перечислим наши основные результаты.

1). Пусть А = (1 < ау < - • - < ап), В = (1 < Ьг < • • - < 6„). Тогда вЬ*-^ ,.,тга„ — 8Ьтгб1 ,.,7Г6„ если и только если а,- = а,-+1 -ФФ- 6,- = Таким образом, многообразие Шуберта зЬ7Га1 определяется типом набора А: набором ¿х,., г5, таким что

1 = • • • = «¿1 < «¿1+1 — * * * = а«Ч+«а < * * * < ап-|,+1 = • • • = ап. Будем обозначать соответствующее многообразие через вЬ^,.,,-,}.

2). Имеется расслоение вЬ^.^,} 8Ь{,1+ь„.11в} со слоем вЬ,^ для всех 1 < £ < з — 1. Учитывая, что эЬ(п) - гладкое многообразие, получаем разрешение особенностей для остальных многообразий Шуберта (см. [ВБ, На] в конечномерном случае, а также [Т]).

3). Любое гтп может быть реализовало как двойственное пространство сечений линейного расслоения на некотором многообразии Шуберта (см. также [Б]). Точнее, пусть тип А равен {г'х,., г4}, а тип В равен {^х,.,Тогда, если найдутся такие 51,., 5гх > О, что jl=iН-----Н , - - -, = ¿4,+-+5^! Н-----V г3, то ъ* —(П'ЬйЧн^.ъО))* для некоторого линейного расслоения О на бЬд. (см. также [Ма, Кит1]).

Как мы уже отмечали выше, гтп специального вида совпадают с Демазюровскими модулями в неприводимых представлениях В то же время гтп можно использовать для построения более общих (приводимых) интегрируемых з^-модулей. Пусть 1 < а\ < • • - < ап < к и М = 7га1 * * 7Га„. Тогда имеются вложения

М <-> М * ТГк * 7Гк М * Пк * ТГк * Як * •

Мы показываем, что иыъективный предел таких вложений является интегрируемым $12-модулем уровня к. Мы изучаем эти представления: находим базис, характер, а также разложение на неприводимые компоненты (соответствующие д-кратности изучаются в [РР2]). Приведём здесь правило разложения на неприводимые представления.

Напомним, что алгебра Верлинде У* для определяется как фактор коммутативной алгебры с образующими тго, 7Гх, я"2,. по иделу, порождённому соотношениями

Таким образом, образующие перемножаются как неприводимые конечномерные представления зЬ)- Рассмотрим равенство в У*:

Наша работа состоит из трёх глав.

В первой главе мы изучаем свойства градуированных тензорных произведений: явно описываем идеал соотношений, доказываем независимость от параметров, изучаем короткие точные последовательности и устанавливаем связь с модулями Демазюра.

Во второй главе мы определяем многообразия Шуберта, соответствующие градуированным тензорным произведениям и изучаем их алгебраические и геометрические свойства: клеточные разбиения, топологические расслоения между различными многообразиями Шуберта, когомологии линейных расслоений.

В третьей главе мы строим и изучаем бесконечномерные з^-модули, являющиеся шгь-ективными пределами градуированных тензорных произведений: находим базис, характер и разложение на неприводимые компоненты. Благодарности. Я благодарен своему научному руководителю к.ф.м.н., доценту Чубарову Игорю Андреевичу за постоянное внимание к работе.

7г,-7т^- = + 7г,+,2 н-----к тг,-^, I > j; 7Гк+1 = 0. Со,£>7ГО Н-----Ь

Ю = (¿1,, <4). Тогда имеется изоморфизм

О),О ¿О,*: ф • • • ф Ск,юЬк,кt I

• N.