Сплетающие операторы и интегрируемые системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Червов, Александр Викторович

• Червов, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Червов, Александр Викторович

0.1 Обзор проблематики и предыдущих исследований.

0.2 Описание содержания работы.

0.3 Краткая формулировка основных результатов работы.

0.4 Разное.

1 Предварительные сведения

1 Группы Ли, алгебры Ли, представления.

2 Подалгебры Бореля,Картана, Системы корней.

2.1 Пример

3 Универсальная обертывающая алгебра и операторы Казимира.

3.1 Примеры операторов Казимира.

4 Представления групп и алгебр Ли

5 Алгебры Каца-Муди.

6 Квантовые группы.

7 Интегрируемые системы.

2 Следы сплетающих операторов.

1 Введение

2 Ферми случай

3 Бозе случай.

4 Формулы Фредгольма.

5 Следы сплетающих операторов.

5.1 Следы вертексных операторов.

5.2 Дубль Янгиана, сплетающие операторы.

5.3 Сходимость бесконечного произведения.

6 Регуляризация следов. Следы в пространствах с выделенным базисом.

6.1 Регуляризация следов.

6.2 "Непрерывный" базис.

6.3 След и производящие функции.

Волновые функции Уиттекера в цепочке Тоды и сплетающие опера

1 Введение

2 Общая схема построения интегрируемых систем и соотношений на волновые функции.

2.1 Построение интегрируемой системы.

2.2 Сплетающие операторы и соотношения на волновые функции

3 5Х(2) Цепочка Тоды.

3.1 Обозначения.

3.2 Функции Уиттекера.

3.3 Сплетающие операторы.

3.4 Соотношения на функции Уиттекера.

4 ££(3) Цепочка Тоды.

4.1 Обозначения.

4.2 Функции Уиттекера.

4.3 Сплетающие операторы.

4.4 Соотношения для волновых функций Уиттекера.

5 ¿Х(п) цепочка Тоды.

5.1 Обозначения.

5.2 Функции Уиттекера

5.3 Сплетающие операторы.

6 Квантовая группа £/,(3/2) и д-аналоги функций Бесселя.

6.1 Обозначения.

6.2 q-фyнкции Бесселя.

6.3 Сплетающие операторы.

6.4 Соотношения на функции Уиттекера.

7 Заключительные замечания

Сплетающие операторы и билинейные соотношения для обобщенных т-функций

1 Введение

2 Обобщенные г-функции.

3 г-функции для 3). Билинейные соотношения и нелинейные уравнения

3.1 Обозначения.

3.2 Билинейные тождества, нелинейные уравнения

3.3 Вывод билинейных тождеств.

4 Билинейное соотношение для 8Ь(Г\[) т-функций.

4.1 Обозначения.

4.2 Билинейное тождество.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сплетающие операторы и интегрируемые системы»

Работа посвящена применению теории представлений групп Ли к исследованию интегрируемых систем.

0.1 Обзор проблематики и предыдущих исследований

Интегрируемые системы, их приложения, теоретико-групповой подход

Последние 30 лет математики и физики активно исследовали теорию интегрируемых систем. Эта теория органично вобрала в себя методы различных областей математики: алгебраической геометрии, теории групп Ли и их представлений, теории специальных функций и т.д. В то же время она обогатила эти классические дисциплины новыми методами и задачами, например: решение проблемы Шоттки в теории алгебраических кривых и изобретение квантовых групп, мотивированное желанием понять симметрии квантовых интегрируемых систем. Интегрируемые системы иногда рассматриваются как слишком простые, поскольку системы общего положения не являются интегрируемыми, но с одной стороны можно надеяться на то, что природа устроена достаточно гармонично и настоящие фундаментальные законы природы, а не приближения, которые часто используются на практике, в действительности интегрируемы [1], кроме того методы теории интегрируемых систем могут быть применимы к исследованию уравнений не интегрируемых в смысле стандартного определения интегрируемости по Лиувиллю, например уравнения типа Пенлеве [2], с таким же явлением мы встретимся и в нашей работе. В последние годы теория интегрируемых систем нашла применение в огромном числе разделов физики: теории струн [1], теории супер симметричных калибровочных теорий (теория Зайберга-Виттена) [3], матричных моделях [4], конформных квантовых теориях поля [5], квантовом эффекте Холла, топологических теориях поля [6], теориях Ландау-Гинзбурга [7] и т.д. Интегрируемые системы оказались связанными с такими сложнейшими вопросами современной алгебраической геометрии, как геометрическое соответсвие Ленглендса [8, 9], теория квантовых когомологий и инвариантов Громова-Виттена [10]. Теория многочленов Макдональда [11] неразрывно связана с интегриремой моделью Рудженаарса, исследования этих многочленов, фактически являющимися волновыми функциями модели Рудженаарса, выводят на такие сокровенные вопросы теории представлений, как теория канонических базисов и полиномов Каждана-Люстига [12], модулярных представлений алгебр Гекке [13] и т.д. И последний аргумент, который мы позволим себе привести в оправдание изучения интегрируемых систем, является то, что эти "простые" системы обладают такой глубокой структурой и красотой, что уже известное о них представляется скорее вершиной айсберга.

Причина, по которой некоторые уравнения оказываются интегрируемыми, состоит в том, что они обладают скрытой симметрией. Математический способ описания симметрии - теория групп, алгебр и их представлений. Таким образом, теория представлений оказывается достаточно адекватным инструментом исследования. Взаимосвязь теории представлений и теории интегрируемых систем столь многогранна, что не только не может быть охвачена в рамках одной диссертации, но и вряд ли можно назвать менее десятка обзоров [14, 15, 16, 17, 18] и монографий [23, 22, 21, 20, 19], которые дадут представление лишь об основных направлениях взаимодействия этих двух дисциплин. В большинстве случаев оказывается возможным дать теоретико-групповую интепретацию всем компонентам интегрируемых систем: фазовое пространство, симплектическая структура, гамильтонианы, пары Лакса, решения и т.д. могут быть проинтепретированы в терминах группы симметрий данной системы. Но кроме того, что теория групп оказывается удобным инструментом исследования, нам бы хотелось подчеркнуть, что те вопросы, которые задаются при исследовании интегрируемых систем, на самом деле часто совпадают с основными вопросами задаваемыми в теории представлений, но заданными немного на другом языке: гамильтонианы соответсвуют операторам Казимира, волновые функции - зональным сферическим функциям или характерам представлений, матрицы рассеяния - мерам Планшереля, и т.д. Тем самым при исследовании интегрируемых систем часто поднимаются те же фундаментальные вопросы теории представлений, что исследовались классиками этой науки - Гельфандом, Хариш-Чандрой, Березиным, Карпелевичем, Гиндикиным, Костантом [24], и работы в данной области являются в определенном смысле развитием их работ.

Метод обратной задачи рассеяния, квантовый метод обратной задачи, корреляционные функции квантовых интегрируемых систем и сплетающие операторы

В этом подразделе мы попытаемся дать некоторый обзор проблематики, приведших к тем задачам, которые исследуются в главе 2 настоящей работы.

Точкой отсчета развития современной теории интегрируемых систем принято считать работу [25], в которой был предложен метод решения (метод обратной задачи рассеяния (МОЗР)) уравнения Кортевега-де Фриза, нелинейного уравнения, описывающего волны на мелкой воде. Замечательность этой работы состояла в том, что впервые было найдено вполне нетривиальное нелинейное уравнение в частных производных, которое тем не менее удалось решить, найти в нем сохраняющиеся величины, обнаружить интересную динамику специальных частице-подобных решений (солитонов). Тем самым был сделан первый шаг в разрушении стереотипа о том, что нелинейные уранения решать нельзя, а возможно лишь некоторое качественное исследование. Скажем несколько слов о самом МОЗР. Основная идея состоит в том, что, если потенциал уравнения Шредингера эволюционирует по уравнению Кортевега-де Фриза, то данные рассеяния удовлетворяют линейному уравнению, соответственно, для решения задачи Коши уравнения Кортевега-де Фриза необходимо перейти к данным рассеяния, затем проэволюционировать их в соответсвии с линейным уравнением, что сводится к некоторому умножению на экспоненты, а затем решить так называемую обратную задачу - воостановление потенциала по данным рассеяния, что можно сделать, используя уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко [26, 27] или теорию задачи Римана [28].

Некоторое время после работы [25] оставалось неясным, возможно ли обобщение методов этой работы на другие уравнения. В работе [29] было найдено другое уравнение (нелинейное уравнение Шредингера), которое тоже может быть решено методом обратной задачи рассеяния, тем самым было продемонстрировано, что уравнение Кортевега-де Фриза не есть единичный и исключительный пример, но возможны и другие уравнения, решаемые аналогичным образом. В последствии было найдено огромное количество уравнений ( Кадомцева-Петвиашвили, Sin-Gordon, Буссинеска, Тоды и т.д.) которые возможно решать аналогичными методами. В работе [30] было показано, что уравнение Кортевега-де Фриза является интегрируемым, т.е. имеет достаточное количество коммутирующих относительно скобки Пуассона законов сохранения. В последствии было показано, что почти все известные решаемые методом обратной задачи уравнения являются вполне интегрируемыми системами. Прервем здесь на время наш очень краткий очерк развития теории классических нелинейных интегрируемых уравнений, отослав читателя к монографиям [31, 32] и указанной там литературе.

Успешное применение МОЗР к решению в решении классических уравнений подняло вопрос о возможности аналогичных рассмотрений для квантовых моделей. После предварительных квазиклассических и пертрубативных рассмотрений [33, 34] в 1979-ом году Л.Д. Фаддеевам и его соавторами был создан квантовый метод обратной задачи (КМОЗ) [35, 36]. Этот метод позволил ответить на большое количество вопросов в исследовании двумерных интегрируемых моделей (XYZ магнетик Гейзен-берга, восьмивершинная модель, Sin-Gordon, нелинейный Шредингер и т.д.) Метод подробно освящен в монографии [37]. Однако, задача вычисления корреляционных функций во многих из этих моделей долгое время оставалась нерешенной. В 1984-ом году была создана, так называемая квантовая конформная теория поля [38], в рамках которой задача вычисления корреляционных функций может быть успешно решена. Корреляционные функции находятся с использованием теории представлений алгебр Каца-Муди и алгебры Вирасоро. Успех теоретико-представленческих методов в конформных теориях привел к естественному желанию их обобщения на интегрируемые модели, оказывается, что такое обобщение возможно, однако вместо теории представлений обычных алгебр необходимо использовать теорию квантовых групп [39, 40, 41]. Квантовые группы возникли из недр квантового метода обратной задачи [42, 43], поэтому их уместность в исследовании квантовых интегрируемых систем была понятна, однако до появления работ [44, 45, 23] структура интегрируемых моделей с точки зрения теория квантовых групп была не ясна, и возможность использования квантовых групп для решения модели оставалась лишь надеждой. В работах [44, 45, 23] на примере XXZ-магнетика Гейзенберга было продемонстрирована каким образом корреляционные функции интегрируемых моделей могут быть найдены с помощью методов теории представлений квантовых групп. Была понято каким представлениям квантовых групп соответствует гильбертово пространство модели, было найдено явное выражение для спиновых операторов в модели, показано, что вычисление следов сплетающих операторов приводит к нахождению корреляционных функций. Вскоре после этого [46, 47, 48, 49, 50, 51, 52] данный метод был развит и перенесен на другие модели (SU(2)-инвариантная: модель Тирринга, face-модели, Sin-Gordon, Тода). Отметим, что это потребовало введения новых вариантов квантовых групп [51]. Во всех вышеперечисленных работах физически важные величины - корреляционные функции, формфакторы вычисляются как следы некоторых операторов, действующих в пространствах Фока. В первой главе нашей работы мы доказываем формулу, которая позволяет вычислять следы подобных операторов. В вышеуказанных работах следы вычислялись с привлечением техники Клавелли-Шапиро [53]. Наша результат позволяет сразу писать ответ, не производя дополнительных вычислений. Кроме того он верен для более широкого класса операторов. Оказалось, что рассмотрение следов подобных операторов полезно не только в математической физике, но и в чистой математике: мы показываем, каким образом в терминах таких следов можно дать красивую интерпретацию минора Фредгольма и вывести из нашей формулы для следа следует формула Фредгольма для решения интегрального уравнения, также естественно получается симметрический аналог теории Фредгольма: результаты Фредгольма остаются верными, если заменить в формулах Фредгольма детерминанты на перманенты. Операторы, чьи следы задают корреляционные функции в интегрируемых моделях, с точки зрения теории представлений являются сплетающими операторами между некоторыми представлениями алгебр Ли или их квантовых деформаций. Оказывается, что подобные сплетающие операторы могут быть использованы, для решения так называемых многочастичных интегрируемых моделей. В работах [54, 55, 56] было показано, что через следы сплетающих операторов между некоторыми представлениями групп Ли и квантовых групп могут быть выражены решения моделей Калоджеро, Сазерленда, а также полиномы Мак-дональда. В работе [57] было показано, что следы некоторых вертексных операторов связанных с q-деформированной алгеброй Вирасоро приводят к интегральным представлениям для полиномов Макдональда. Это лишь некоторые результаты, в которых играют важную роль сплетающие операторы, а также более общие вер-тексные операторы, доказывающие важность изучения данного класса операторов, в частности вычисления их следов. Позволим себе на этом закончить прелюдию к первой главе нашей работы, цель вышесказанного была в том, чтобы мотивировать постановку той задачи, которой мы занимались, и дать обзор близких исследований.

Конечномерные интегрируемые системы, сплетающие операторы и тождества на волновые функции

В этом подразделе мы попытаемся дать некоторый обзор проблематики, приведших к тем задачам, которые исследуются в главе 3 настоящей работы.

Параллельно развитию теории нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных, таких как уравнения Кортевега-де Фриза, Кадомцева-Петвиашвили и т.д. в 70-ые годы развивалась теория нелинейных интегрируемых обыкновенных дифференциальных уравнений и соответствующих квантовых моделей, причем квантовые модели иногда появлялись раньше классических. Основные примеры - это модели Калоджеро [58], Сазерленда [59], Тоды [60], одномерный бозе-газ [61], модели типа волчков [62]. Первые три типа моделей, которые и будут наиболее интересны для нас, - модели, описывающие движение частиц на прямой с попарным взаимодействием типа: \ - Калоджеро; . ) „ - Сазерленд; ех - Тода. Было доказано, что

СС 52?!I СС I данные модели интегрируемы по Лиувиллю, т.е. имеют достаточное количество интегралов в инволюции, найдено представление Лакса, для таких моделей, при некоторых значениях параметров были найдены волновые функции. В работе [63] была осознана связь рассматриваемых систем и групп Ли: было показано, что данный тип систем обобщается на произвольные полупростые группы Ли, затем в [64] было показана связь геодезических потоков на однородных пространствах и этих моделей, что приводит к явному решению классических уравнений в этих моделях. В работе [65] было показано, что, используя теорию симметрических пространств, операторов Лапласа на них, можно решать квантовые интегрируемые системы. Фактически радиальная часть оператора Лапласа на симметрических пространствах сводится к гамильтониану интегрируемой системы. Тем самым была установлена тесная связь теории групп Ли, симметрических пространств и теорией интегрируемых систем. Связь между этими двумя дисциплинами активно развивалась в дальнейшем, отметим лишь работы [66, 67, 68, 69, 70]. Прекрасный обзор данной проблематики можно найти в [14, 15].

Новый этап в развитии теории многочастичных интегрируемых систем начался в 90-ые годы. Связь с теорией представлений групп Ли, алгебр Гекке, алгебр Каца-Муди стала практически неразрывной. Эти исследования были мотивированы на первый взгляд совершенно не связанными вопросами: уравнение Книжника-Замолодчикова, полиномы Макдональда и разностные аналоги систем типа Калоджеро - системы Рудженаарса, операторы Данкла и представления алгебр Гекке, системы Хитчина, Годена и геометрическое соответсвии Ленглендса, каноничские базисы, модели со спином, матричные модели, квантовый эффект Холла, топологические теории, теория Зайберга-Виттена и т.д. Кроме приведенных выше многочисленных приложений и взаимосвязей с различными дисциплинами, на данном этапе развития теории конечномерных интегрируемых систем большое внимание стало уделяться изучению волновых функций, т.е. решениям квантовых систем. Рассматривая од-ночастичные интегрируемые системы, мы видим, что решения задаются различными классическими специальными функциями от одной переменной: функциями Бесселя, Матье, Эйри, возникают классические ортогональные многочлены Гегенбауэра, Якоби. Когда мы переходим к случаю многих частиц, возникают функции многих переменных, которые естественно обобщают классические специальные функции. Это является, на наш взгляд, очень важным побочным продуктом теории интегрируемых систем, поскольку необходимость обобщения теории специальных функций на случай многих переменных, совершенно ясна, но в то же время явно не достаточно разработана, одной из причин этой не разработанности является не очевидность самого определения, какие функции от нескольких переменных следует считать обобщениями классических специальных функций одного переменного ? Теория интегрируемых систем и теория групп дают ответ на этот вопрос, мы рассматриваем функции от N переменных, которые являются собственными для N коммутирующих дифференциальных операторов, они же оказываются зональными сферическими функциями, характерами или их обобщениями в теории групп. Такое обобщение является вполне содержательным, что доказывает обилие нетривиальных результатов о таких функциях. Естественно встает вопрос о переносе наших знаний о функциях одного переменного на случай многих переменных. Например хорошо известно, что для классических специальных функций от одного переменного имеются, интегральные представления, представления в виде гипергеометрических рядов, рекуррентные соотношения, формулы типа Родрига, формулы сложения, часто имеются интересные производящие функции для специальных функций, теоремы о поведении нулей, и т.д. и т.п. Перенос этих утверждений на функции от многих переменных является содержательной и нетривиальной задачей. Одним из таких вопросов мы занимаемся во второй главе нашей работы. Мы показываем, как рассмотрение сплетающих операторов между представлениями групп Ли позволяет получать различные соотношения на волновые функции в цепочке Тоды. Закончим на этом вводные комментарии к материалу второй главы, которые нам показалось уместным сообщить, и перейдем к третьей главе. т-функции и алгебры Ли

В этом подразделе мы попытаемся дать некоторый обзор проблематики, приведших к тем задачам, которые исследуются в главе 4 настоящей работы.

При исследовании интегрируемых систем постепенно было осознано, что за сим-метриями конечномерных интегрируемых систем стоят конечномерные алгебры Ли, а симметриями бесконечномерных динамических систем, коими являются интегрируемые уравнения в частных производных, управляют бесконечномерные алгебры Ли, алгебры Каца-Муди и т.д. В пионерских работах [16] теория представлений аффинных алгебр и алгебра ОЬгу0 была активно использована для построения решений иерархий КдВ и КП, показано действие вертексных операторов на решениях этих систем. Дано представление решения в виде "фермионного коррелятора", т.е. матричного элемента группы ОЬ^ в фундаментальных представлениях. В работах М. и Я. Сато [71] была предложена замечательная конструкция связывающая бесконечномерный грассманиан и иерархию КП. Было показано, что нелинейные уравнения линеаризуются на грассманиане Сато, билинейные соотношения Хироты на г-функцию оказываются просто соотношениями Плюккера, конструкция Кричевера получает прозрачную интерпретацию в терминах грассманиана Сато и т.д. Подход на основе аффинных алгебр Ли, затем активно развивался [19, 20, 72]. Кроме того с развитием теоретико-группового подхода к интегрируемым уравнениям стало понятно, что теорию групп можно рассматривать как машину для производства интегрируемых систем, причем часто интегрируемая система полученная с помощью теории групп приходит вместе с ее решениями, интегралами движения, представлениям Лакса, прозрачной интерпретацией фазового пространства, и всеми остальными "удобствами". Это делает групповой подход очень привлекательным. Были предложены различные способы получать интегрируемые системы с помощью групп Ли [73, 74, 18]. Тем не менее развитие приложений таких как: теория матричных моделей [4], модели Ландау-Гинзбурга, топологические сигма-модели и т.д. показывает, что имеющихся в наличии интегрируемых систем не достаточно. Это делает оправданным еще одно обращение к теории групп с попыткой построить новые интегрируемые системы. В работе [75] (см. также обзор [79]) основываясь на подходе [16] была предложена конструкция обобщенных т-функций. Данная конструкция по произвольной алгебре Каца-Муди и ее произвольному представлению старшего веса строит обобщенную г-функцию. Было показано, что основное свойство обычных т-функций -билинейное соотношение сохраняется и для обобщенных т-функций. Конструкция билинейных соотношений основана на рассмотрении сплетающих операторов между тензорными произведениями представлений соответствующей алгебры Каца-Муди. Принципиальное отличие обобщенных т-функций от обычных состоит в том, что обычные т-функции строятся на основе генераторов алгебры Ли, которые коммутируют друг с другом, а в нашем случае мы используем все генераторы нильпо-тентной подалгебры, это приводит к тому, что уравнения, которым удовлетворяют обобщенные т-функции являются неавтономными, т.е. к ним не применимо обычное понятие интегрируемости по Лиувиллю, но сам их метод построения, основанный на теории групп, их другие свойства, показывают, что они ни чем не хуже интегрируемых уравнений. Четвертая глава этой работы посвящена изучению обобщенных т-функций. Мы доказываем ряд общих свойств, таких как разложение обобщенных т-функций, соответствующей произвольному представлению в произведение т-функций фундаментальных представлений, мы сводим задачу нахождения билинейных тождеств к некоторым типичным задачам теории представлений, таких как нахождение старшего вектора, кроме того подробно исследуются т-функции, соответствующие группе

0.2 Описание содержания работы

Основное направление нашей работы состоит в применении сплетающих операторов (интертвайнеров) к исследованию интегрируемых систем. Напомним, что сплетающим оператором между двумя представлениями называется оператор, который перестановочен с действием группы. Простая, но в то же время очень важная Лемма Шура утверждает, что если представления неприводимы, то такой оператор единственен с точностью до пропорцианальности. Таким образом, мы видим что требование быть сплетающим очень жесткое, и можно надеяться, найдя такие операторы, что они обладают интересными свойствами. Действительно так и происходит в большом числе случаев, чему и посвящена наша работа, а также большое количество других работ (см. например [44, 45, 46, 50, 51, 54, 55, 56, 75, 80, 81]).

В первой главе мы приводим необходимые сведения из теории алгебр Ли и интегрируемых систем. Вторая глава посвящена изучению следов сплетающих операторов и их обобщений. В третьей главе мы используем сплетающие операторы для получения различных соотношений между волновыми функциями модели Тоды. В четвертой главе мы исследуем обобщенные г-функции и билинейные соотношения для них, получаемые с помощью сплетающих операторов. Дадим более подробное описание содержания работы.

Содержание первой главы

Первая глава содержит необходимый нам предварительный материал. Мы напоминаем определения групп и алгебр Ли, алгебр Каца-Муди, квантовых групп. Нам понадобятся некоторые сведения из структурной теории полупростых алгебр Ли: подалгебры Бореля и Картана, образующие Шевалле, корни, веса, группы Вейля. Мы будем пользоваться следующими сведениями из теории представлений: теория представлений старшего веса, сплетающие операторы, тензорные произведения представлений, фундаментальные представления, реализация представлений по Борелю-Вейлю.

А также мы напомним элементы теории интегрируемых систем: интегрируемость по Лиувиллю, для классических и квантовых систем, вспомогательнвя линейная задача, пары Лакса, т-функция.

Содержание второй главы

Вторая глава нашей работы посвящена доказательству и применению формулы для следов сплетающих операторов и их обобщений. Мы показываем, как эта формула может быть применена к вычислению следов сплетающих операторов между представлениями аффинных алгебр и их квантовых деформаций, и вообще к вычислению следов вертексных операторов. В свою очередь нахождение подобных следов может быть применено к нахождению формфакторов и корреляционных функций, в моделях квантовой теории поля (Sin-Gordon, SU(2)-TnppHHr), статистической физики (шести вершинная модель) и квантовой механики (магнетик Гейзенберга). Могут быть получены формулы для решений квантового уравнения Книжника- Замолодчикова. Кроме того в терминах следов подобных операторов получена красивая интерпретация для миноров Фредгольма, и показано, что из частного случая нашей формулы вытекает теорема Фредгольма о решении интегрального уравнения, также оказалось, что имеются аналоги всех этих утверждений для случая перманентов. Имеются приложения к комбинаторным тождествам.

Опишем содержание более развернуто. Пусть У - некоторое линейное пространство, (возможно бесконечномерное). Рассмотрим А У = Ф^0ЛгУ - внешнюю алгебру пространства У, физики называют ее фермионным пространством Фока. Любой оператор р на пространстве У индуцирует действие оператора р на пространстве А У по формуле : р(/\{ Vi) = Д^ p(vi), где V; - произвольные элементы из У. Отметим, что сопоставление (V,p) —> (АУ, р) часто называется функтором вторичного квантования

Для произвольного V € А У обозначим через С(у) оператор умножения слева на V. Для \у 6 АУ* обозначим через ж (Е АУ* оператор сопряженный к оператору умножения на лу.

Мы рассматриваем также некоторые модификации этой формулы, даем три различных доказательства (пригодные в разной степени общности). Естественно вопрос о следах в случае бесконечномерного пространства У нуждается в пояснениях, что и сделано в нашей работе.

Также рассматривается случай бозонного пространства Фока и доказывется аналогичная формула для этого случая.

Приложения к теории Фредгольма Пусть У = С[а,Ь] - пространство непрерывных функций, р[/(ж)] = /а& К(х,у)/(у) - интегральный оператор.

82].

Теорема

0.1)

Напомним определения детерминанта и минора Фредгольма: £>/ге<*(1 + р) = 1 + 1 п\ *г(м)

0.2)

-(1+Р) = у ^ Хй г / /ф,^) /ф,6) I сЩ^ЬсШ, [ /^(6,6) /1'(6,е2) ^ J

0.3)

Мы напоминаем, что определитель Фредгольма В^ге<1(\ + р) — Тг^ур. Мы показываем, что имеется аналогичная интерпретация и для миноров Фредгольма:

Теорема ТгауА(6(х - з))-рС{5{х - *)).

0.4)

Далее мы показываем, что из нашей формулы для следов таких операторов следует простое доказательство формулы Фредгольма для решения интегрального уравнения:

Для уравнения: ф{х) + / К(х,у)ф(у) = /(ж) решение задается формулой

Напомним определение перманента. Перманентом квадратной матрицы называется сумма произведений ее элементов стоящих в разных строках и разных столбцах.

Мы показываем, что если в формулах 0.2 везде заменить детерминант на перманент, то имеется аналоги вышеприведенных утверждений теории Фредгольма. Обозначим за Р^геа!( 1 — р) ж Р/4ге<г(1 — р) выражения, полученные из 0.2 заменой детерминантов на перманенты. Тогда для р : \р\ < 1 верны следующие утверждения:

Теорема

Р'ге*(1-р) = Тгзур = <1еЬу, р/ге<1

1 ' 1 -р

1 -р) = Тг3уА(5(х ~ з))рС{8{х - <).

0.5)

Кроме того из бозонного варианта нашей формулы вытекает следующий аналог формул Фредгольма для решения интегрального уравнения ф{х) — / К(х,у)ф(у) = №

Ф(в) = № +1 аъ-—,——-

1 - р)

0.6)

Следы сплетающих операторов Рассмотрим пространство У, пусть VI - базис в V- дуальный базис в У*. Рассмотрим симметрическую алгебру БУ пространства V (в физике это назывется бозонным пространством Фока). Обозначим через аг-- операторы С(иг-) (операторы рождения), - операторы А(~и*) (операторы уничтожения). Очевидно, что =

Вертексными называются [20] операторы вида - ¡л^а^.^). Мы покажем как наша формула может быть использована для нахождения следов вер-тексных операторов.

Определим оператор на БУ формулой: К1.^) =*й+2»з+--+*»* Очевидно, что Тг{Ь°) = Щ1 - ¿О"1

Из наших формул для следов следует следующие предложение: Предложение

В работе [45] подобная формула использовалась для нахождения следов сплетающих между тензорными произведениями некоторых представлений квантовой аффинной алгебры £/9(3/2)- Вычисления производились с помощью техники Клавелли-Шапиро. Наша формула для следа дает альтернативный и более простой способ вычисления. Основной мотивацией для изучения следов таких операторов является то обстоятельство, что эти следы задают корреляцонные функции в различных моделях. Данная формула используется для нахождения корреляционных функций и формфак-торов в ХХ^-магнетике Гейзенберга и эквивалентной ему шестивершинной модели в статистической физике.

Введем производящие функции: а-(г) = а+(/г) = /Сг>о Определим оператор е7сг на вУ условиями: е7^а(г) = а-{г + 7) и е7сг(П;= Дг(е7с!а»г). Из теоремы 1 можно вывести формулу:

Предложение т^Тге^ехр^ Ьа(а{))ехр(^ = Пт=1 - Ч

Отсюда легко следует формула 4.4 в [49], которая используется для нахождения формфакторов 311 (2)-инвариантной модели Тирринга.

Содержание третьей главы

В третьей главе мы рассматриваем квантовые интегрируемые системы многих частиц, основной пример - цепочка Тоды. Вначале мы описываем общую процедуру получения интегрируемых систем с помощью теории представлений групп, и получения различных соотношений на волновые функции с использованием сплетающих операторов. Собсвенные функции для гамильтонианов Тоды это матричные элементы между так называемыми векторами Уиттекера в неприводимых представлениях группы Рассматривая сплетающие операторы между тензорными произведениями этих представлений на конечномерные мы выводим формулы для различных рекуррентных соотношений между собственными функциями Тоды. Эти формулы обобщают известные формулы для классических специальных функций. Рассматривая разложение тензорного произведения в прямую сумму неприводимых мы приходим к формуле разложения произведения двух волновых функций в ряд из других волновых функций. Рассматривая сплетающий оператор между двумя специально подобранными парами тензорных произведений представлений мы приходим к билинейным соотношениям между произведениями волновых функций и следующим из них нелинейных уравнений. Последние соотношения являются достаточно неожиданными, поскольку стартуя с квантовой системы многих частиц мы приходим к классическим нелинейным уравнениям. Полные результаты получены лишь в случае 2) и 5Х(3), в общем случае мы приводим лишь частичные результаты. Далее мы показываем, что аналогичным способом могут быть исследованы д-аналоги специальных функций - для этого необходимо рассматривать вместо групп Ли их квантовые деформации, применяя соображения аналогичные случаю классических групп Ли, мы получаем различные тождества для q-аналога функций Бесселя.

Пусть <3- некоторая полупростая алгебра Ли, пусть V - ее представление, назовем вектор |го >€ V вектором Уиттекера, если он является собственным для всех образующих Шевалле еа. Назовем функцией Уиттекера функцию, которая задается равенством: IV(фг) =< гю\е^<фгНг\ю >, где /г,;- Образующая в алгебре подалгебре Картана, соответствующая г-ому простому корню. Оказывается, что эта функция является собственной функцией для всех гамильтонианов цепочки Тоды, доказательство достаточно элементарно и основано на том, что гамильтонианы получаются из операторов Казимира. В частности из этого следует полная интегрируемость цепочки Тоды. Рассматривая реализацию представления V по Борелю-Вейлю, в [83] было получено интегральное представление для функций Уиттекера - волновых функций в цепочке Тоды.

В нашей работе мы находим различные соотношения, связывающие волновые функции с разными собственными значениями. Пусть Уд - представление со старшим весом А, > - соответствующий вектор Уиттекера. Пусть V- некоторое конечномерное представления. Рассмотрим сплетающий оператор Ф : ® V —» У„. Мы покажем, что с помощью таких сплетающих операторов можно получить соотношение на волновые функции Уиттекера: \У„(ф) = Пф[]У\(ф)], где Бф - некоторый дифференциальный оператор.

Например в случае 0 = БЬ(2)

Соотношение имеет вид:

Теорема (Повышающие операторы) 2.11

Ух+1(ф) = ехр{ф)д*^^(ф), ргУГх-М) = -ехр(ф)^-^Шх(ф).(0.7) 2(А + 1) ¿¿я I

Мы получаем аналогичное соотношение также и в случае ¿"¿(3), 5Х(4). Однако найти это соотношение в общем случае нам не удалось, и мы добились лишь промежуточных результатов.

Доказательство соотношения основано на следующей идее.

Рассмотрим спаривание [¡, < >д >, очевидно, что его можно переписать и в виде ^ < >л >]. Явно вычислив действие Ф* в первом равенстве и действие Ф во втором мы увидим, что они дают левую и правую части 0.7.

Проблема состоит в явном вычислении действия сплетающих операторов на вектор Уиттекера. Она достаточно легко решается в случае 2), но уже в случае

3) это результат получается с помощью достаточно длинных и не вполне простых рассуждений.

Пусть - представления со старшими весами. Пусть Ф : У\ ® V» —>

- изоморфизм. Мы покажем, что с помощью этого изоморфизма можно построить соотношение между функциями Уиттекера вида: И^(ф^УУ^ф) = где

Оти- некоторые дифференциальные операторы.

В случае 5Х(2) это соотношение имеет вид:

Теорема (Формула произведения): (0.8) Ь к {Ф)Ь СЛ - 01*1 [к-г){г)х у V ( гг к — г)М\ \к-1

Доказательство основано, на идее аналогичной доказательству предыдущего утверждения, мы представляем левую и правую части равенства в виде: д < ги| 0 и < 1и|е^|г<; >«, ®|го >и и соответственно [д < ии\ ® „ < т\Ф*]еф^ [Ф|го >;ь >„]. Приведенные выражения равны поскольку Ф- изоморфизм. С другой стороны явно вычислив их, мы получим искомое равенство. Опять-таки проблему представляет явное вычисление действия сплетающего оператора на вектора Уиттекера. Мы решаем ее в случае 8Ь(2). однако в общем случае ее решение упирается в нерешенные до сих пор классические задачи о явном вычислении коэффициентов Клебша-Гордона.

Пусть У\], Уи1 - представления со старшими весами. Ипользуя некоторое вспомогательное конечномерное представление V, мы построим сплетающий оператор: Ф : У\г®Уи1 —V Уд2 0 К2 • Мы покажем, что с помощью этого сплетающего оператора можно построить соотношение между функциями Уиттекера вида: Б1^\1(ф)Ш1/1(ф)] = В2\\¥\2}(ф)}¥1/2(ф)}, где Д- некоторые дифференциальные операторы.

В случае 5Х(2) это соотношение имеет вид:

Теорема (Билинейное соотношение) : дф2 + „ +

ФЖ112 Ш (0-9) ь ,,п ь „я

Также мы находим аналогичное соотношение в случае 5Х(3). Доказательство во многом аналогично предыдущим рассмотрениям.

Мы показываем, что из этого билинейного соотношения можно выводить нелинейные уравнения в частных производных на функции Уиттекера.

Далее мы рассматриваем случай [/9(5/2), мы показываем, что проводя д-аналоги конструкций, изложенных нами для случая вЬ(2) в предыдущих разделах, мы получаем q-aнaлoги функций Бесселя и различные соотношения между ними.

Приведем формулировки основных определений и результатов. Результаты о д-аналогах функций Бесселя были в основном известны [84], но их вывод был построен на идеях отличных от наших, без привлечения теории квантовых групп.

Мы вводим д-аналоги функций Бесселя >1\(ф)1 определяя их как матричные элементы в неприводимых представлениях между д-аналогами векторов Уиттекера.

Мы показываем, что они являются собственными функциями для q-aнaлoгoв гамильтонианов Тоды.

Предложение. д-Функция Бесселя удовлетворяет уравнению:

Также с использованием сплетающих операторов между представлениями мы получаем различные соотношения для J\{ф).

Теорема. (Повышающие операторы) Следующие соотношения верны:

А°фА1 + д-2фт] Мф) = [\х],[\\ + 1]МФ)

0.10)

0.11)

Теорема. Следующее соотношение верно:

0.12)

Теорема. (Билинейное соотношение) Следующее соотношение верно:

2а 2 л±2 Л „Л 1 Т П 1 a 2 -1/-1 r, R 1 L .R 1 " ^ " 2 + + 2} + ,—!,—A q tí ^ 1 .R .i, ,. n

0.13)

Содержание четвертой главы

В четвертой главе мы исследуем так называемыме т-функции. Предложенное Хи-ротой понятие r-функции оказалось чрезвычайно удобным в теории нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных. Оказывается, что т-функция имеет прозрачную групповую интерпретацию. Она является матричным элементом в фундаментальном представлении. Поэтому, естественно пытаться обобщить эту конструкцию на произвольное представление. Такое обобщение было предложено в [75], его исследованию и посвящена эта глава. Было показано, что основное свойство обычных г-функций - билинейное соотношение сохраняется и для обобщенных т-функций. Идея построения этого билинейного соотношения состоит в рассмотрении сплетающих операторов между некоторыми тензорными произведениями представлений. Мы показали каким образом билинейное соотношение на обобщенные т-функции задается явным образом в терминах некоторых теоретико-представленческих данных, таких как формулы для старших векторов в некоторых тензорных произведениях и коммутационных соотношений между элементами соответствующей группы Ли и ее алгебры Ли. Мы доказали, что обобщенные т-функции разлагаются в произведение обобщенных т-функций соответствующих фундаментальным представлениям. В случае SL(N) предъявлено детерминантное представление для обобщенных т-функций. Билинейные соотношения и следующие из них нелинейные уравнения выписаны явно в случае SL(3), показано, что получаются неавтономные уравнения, в отличии от случая обычных т-функций. В случае SL(N) явно предъявлено одно из билинейных тождеств.

Рассмотрим некоторую алгебру Каца-Муди Q, еа, fa, ha - ее базис Картана-Вейля. Рассмотрим некоторое ее представление V\ со старшим весом Л, обозначим за |0 >д - старший вектор этого представления, Также мы будем рассматривать дуальное анти-представление (т.е. коммутатор переходит в минус коммутатор), порожденное старшим ковектором < 0|, т.е. ковектором для которого верно: л < 0|/а = 0, 0|ha =< 0|Аа.

Определение 2.1: Функцию т от переменных где а. пробегает множество положительных корней С/, заданную выражением а < 0| Д ехр(1аеа)д Д ехр(1а/а)|0 >гб (0.14) сс>0 а>0 назовем обобщенной т-функцией, ассоциированной с алгеброй С? и ее представлением Уд. Здесь д- элемент группы Каца-Муди, соответствующей алгебре ¿7, произведение Пог>о взято в соответствии с некоторым фиксированным упорядочиванием корней.

Основное свойство классических т-функций состоит в том, что они удовлетворяют билинейным соотношениям. В работе [75] было показано, что аналогичное свойство переносится и на обобщенные т-функции.

Предложение ([75]) Рассмотрим сплетающие операторы между тензорными произведениями представлений алгебры 0: Фх : —> Ул3 ® V и Ф2 : У\2 —У Ул4 0 V*, где V - некоторое конечномерное представление, У* - дуальное представление к V, тогда существует билинейное соотношение на т-функции следующего вида: Д-рТл3(*,£)тА4(р,р). (0.15) где О^р- некоторые дифференциальные операторы от 1,р, 1,р соответственно. (Под £ мы подразумеваем весь набор переменных где а- положительные корни, аналогично для р, /, р)

В нашей работе мы дадим выражения для операторов Б^ р в терминах теоретико представленческих данных для алгебры таких как выражения для старших векторов и т.д.

Далее мы показываем:

Предложение т-функция представления со старшим вектором А является произведением в степенях Аг- т-функций фундаментальных представлений: тхМд) = Шт/ипс1-кМд))х*

В случае 0 = 5£(п) это приводит к детерминантному представлению для обобщенных т-функций, аналогичному детерминантному представлению для обычных т-функций.

Предложение : Для алгебры 0 — з1(п) обобщенная т- функция может быть представлена в виде га—1 г=1

Где Аг- - г'-ый главный минор матрицы С = ПгсД1 + П^Д1 + ^из

- матрица с единицей на i,j-oм месте.

В работе [75] был подробно разобран случай обобщенных т-функций связанных с алгебрами 5Х(2), ид(ЗЬ(2)). В нашей работе мы разбираем случай БЬ(п). Как было отмечено в [75] уже случай БЬ(3) представляет большое отличие от случая ,$'Ь(2). Поскольку в этом случае при определении обобщенных т-функций задействованы неком-мутирующие образующие алгебры. Коммутативность генераторов алгебры связана с наличием коммутрирующих интегралов движения в получающейся динамической системе. Поэтому большой интерес представляло исследовать систему связанную с вЬ(М) поскольку с одной стороны система не должна обладать коммутирующим набором интегралов, то есть не быть интегрируемой по Лиувиллю, а с другой стороны ясно, что это система во многом аналогична интегрируемым системам, поскольку мы знаем все ее решения, мы знаем ее теоретико-групповую интерпретацию и т.д. Исследование этих систем начато в нашей работе.

Мы явно находим билинейные соотношения и следующие из них нелинейные уравнения в случае 8Ь(3). Приведем пример одного из таких соотношений.

Теорема т-функции алгебры 5/(3) удовлетворяют следующим билинейным соотношениям:

Доказательство основано на рассмотрении некоторых сплетающих операторов между тензорными произведениями представлений вЬ(3).

Следующим результатом нашей работы является нахождение билинейных соотношений для случая ЭЦК). Однако, ответ требует введения большого количества вспомогательных обозначений и мы не стали приводить его во введении. Доказательство билинейных соотношений основано на явном вычислении старшего вектора в тензорном произведении произвольного представления У\ и первого фундаментального представления. Кроме того используются свойства так называемого нормального порядка на положительных корнях.

----^~(-дф3(дР1 + р2дРа) - (^ - 1)р2) + (<2ф2 - (А2 + 1)) х х(Р1(др1 +Р2др8) - (^1 - 1)) - ((М2 - Цдь ~ (л2 + 1)Ь)(дР1 +р2дРз)) х Х7А+(-1,1)(*1> ¿2, ¿3," ¿1, ¿2, ¿3", д)т„+(1-1)(р1,Р2,Рз;р1,р2,Рз',д)

0.17)

0.3 Краткая формулировка основных результатов работы Результаты второй главы

Вторая глава нашей работы посвящена изучению следов сплетающих операторов и их обобщений, а также приложению полученных результатов к теории Фредгольма, вычислению корреляционных функций и формфакторов в интегрируемых моделях, к комбинаторным тождествам.

• Доказаны формулы вычисляющие следы для некоторого класса операторов (включающего в себя вертексные операторы) в пространствах Фока. Рассмотрены как бозонное так и фермионное пространства Фока. Даны три доказательства основных формул верные в различной степени общности.

Предложены различные варианты регуляризации следов, в случае если следы оказываются расходящимися; показано, что все они приводят к правильным результатам.

• Получены следующие приложения к теории Фредгольма:

Дана интерпретация детерминанта и минора Фредгольма в терминах следов некоторых операторов.

Показано, что из частного случая нашей формулы для следов следует доказательство формулы Фредгольма для решения интегрального уравнения. Тем самым получено короткое доказательство теоремы Фредгольма.

Получен "симметрический" аналог теории Фредгольма: мы показываем, что если в формулах Фредгольма заменить детерминанты на перманенты, то формула для решения интегрального уравнения остается верной.

• Получены следующие приложения к вычислению следов сплетающих операторов:

Показано, как из нашей формулы следует формула для следа вертекс-ных операторов, использованная в [23] для нахождения следов сплетающих операторов между представлениями квантовой аффинной алгебры, а также корреляционных функций и формфакторов в модели ХХ^-магнетика Гейзенберга.

С помощью нашей формулы мы доказываем формулу для следов сплетающих операторов между представлениями центрального расширения дубля Янгиана. И следующих из этого формул для формфакторов в 311(2)-инвариантной модели Тирринга.

Результаты третьей главы

Третья глава нашей работы посвящена изучению волновых функций в цепочке Тоды. Нами предложен способ получать различные тождества на волновые функции интегрируемых систем с помощью рассмотрений сплетающих операторов между представлениями групп Ли. Способ может быть применен к широкому классу интегрируемых систем. Мы занимаемся случаем цепочки Тоды. Волновые функции в цепочке Тоды для SL(2) являются хорошо известными функциями Макдональда. На них известен ряд тождеств, для иллюстрации нашего метода мы приводим их вывод. Волновые функции для SL(N) цепочек Тоды являются обобщением функций Макдональда на случай многих переменных. Наш метод позволяет доказать, что и в этом случае имеются аналогичные тождества для волновых функций.

• Для волновых функций цепочки Тоды связанной с алгеброй SL(2), используя наш метод, мы приводим в явном виде следующие соотношения:

Рекуррентные соотношения, связывающие волновые функции, соответствующие собственному числу А, с волновыми функциями с собственным числом А ± 1.

Разложение произведения двух волновых функций с собственными значениями А, ¡л распадается в сумму бесконечного числа волновых функций с собсвенными числами \ + ¡л — n, п £ N.

Билинейное соотношение - связь попарных произведений волновых функций с различными собсвенными числами.

Нелинейное уравнение на волновые функции.

Для построения этих соотношений нами явно вычислено действие различных сплетающих операторов на так называемых векторах Уиттекера.

• В случае цепочки Тоды связанной с алгеброй SL(3) нами сделано следующее:

Явно вычислены сплетающие операторы в реализации Бореля-Вейля.

Вычислено действие сплетающих операторов на вектора Уиттекера.

Найдено рекуррентное соотношение для волновых функций.

Найдено билинейное соотношение для волновых функций.

• В общем случае SL(N) нам не удалось явно вычислить вид соотношений. Первым шагом для этого является вычисление действия сплетающего оператора на вектор Уиттекера. Нами были получены рекуррентные соотношения для компонент образа вектора Уиттекера под действием сплетающего оператора и найдены первые 4 компоненты. Как следствие получено рекурретное соотношение для цепочки Тоды связанной с SL(4). t Для q-аналога цепочки Тоды, связанной с i/?(.s/2), мы показываем, что аналог волновых функций - q-функции Бесселя.

С помощью квантовой группы Uq(sl<}), мы даем теоретико-групповую интерпретацию для q-функций Бесселя, как матричных элементов в неприводимых представлениях Uq(sl2).

Мы находим рекуррентные соотношения, связывающие q-функции Бесселя, соответствующие собственному числу А, с q-функциями Бесселя с собственным числом А ± 1.

Приводятся билинейное соотношение - связь попарных произведений q-функций Бесселя с различными числами А.

Для построения этих соотношений нами явно вычислены сплетающие операторы, в частности их действие на q-аналогах векторов Уиттекера.

Результаты четвертой главы

В четвертой главе мы изучаем, так называемые обобщенные т-функции. Нами получены следующие результаты:

• Задача явного написания билинейных соотношений на обобщенные т-функции сведена к типичным задачам теории представлений, как то явное вычисление старшего вектора в тензорном произведении представлений и вычисление некоторых коммутационных соотношений.

• Доказано разложение обобщенной т-функции, соответствующей произвольному представлению, в произведение обобщенных т-функций, соответствующих фундаментальным представлениям.

• Найдено детерминантное представление для обобщенных т-функций, соответствующих алгебре SL(n), обобщающих таковое для классических т-функций.

• Для обобщенных т-функций, соответствующих алгебре SL(n), билинейные соотношения выписаны, в достаточно явном виде. Для этого был явно найден старший вектор в тензорном произведении первого фундаментального представления и произвольного представления.

• В случае SL(3) мы явно находим как билинейные соотношения, так и следующие из них нелинейные соотношения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Червов, Александр Викторович, 1999 год

1. А.Ю. Морозов, Теория струн - что это такое?, УФН, 162 (8), (1992) 84.

2. A.M. Levin, М.А. Olshanetsky, Classical limit of the Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equations as jierarchy of isomonondromic deformations, Max-PlanckInstitut preprint MPI-97-113.

3. A.Gorsky, I.Krichever, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov, Integrability and exact Seiberg-Witten solution, Phys.Lett., B355 (1995) 466-474.

4. А.Ю. Морозов, Интегрируемость и матричные модели, УФН, 164 (1), (1994) 1.

5. V. Bazhanov, S. Lukyanov, A. Zamolodchikov, Itegrable structure of Conformal field theory I,II,III, hep-th/9412229, hep-th/9604044, hep-th/9805008.

6. B.Dubrovin, Integrable Systems and Classification of 2-dimensional Topological Field Theories, hep-th/9209040.

7. A.Losev, I.Polyubin, On Connection between Topological Landau-Ginzburg Gravity and Integrable Systems, Int.J.Mod.Phys. A10 (1995) 4161; hep-th/9305079.

8. A. Beilinson,V. Drinfeld, Quantization of Hitchin's fibration and Langlands program preprint.

9. Edward Frenkel, Affine Algebras, Langlands Duality and Bethe Ansatz, q-alg/9506003

10. Alexander Givental, Stationary Phase Integrals, Quantum Toda Lattices, Flag Manifolds and the Mirror Conjecture, alg-geom/9612001

11. I. Macdonald, Constant term identeties, orthogonal polynomials, and affine Hecke algebras, Proceedings ICM-98

12. I. Frenkel, M. Khovanov, A. Kirillov, Kazhdan-Lusztig polynomials and canonical basis, q-alg/9709042J. Beck, I. Frenkel, N. Jing, Canonical basis and Macdonald polynomials, math. Q A/9806151

13. Susumu Ariki, Lectures on cyclotomic Hecke algebras, math.QA/9908005

14. M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov, Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras. Physics Reports 71 (1981) 314-400.

15. M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov, Qunatum integrable systems related to Lie algebras. Physics Reports 94 (1983) 314-400.

16. E.Date, M.Jimbo, M.Kashiwara, T.Miwa, Transformation groups for soliton equations, in: Proc.RIMS symp. Nonlinear integrable systems — classical theory and quantum theory, M.Jimbo, T.Miwa, eds., World Scientific, Singapore 1983, p.39

17. Cherednik, Lectures on affine Knizhnik-Zamoldchikov equations, quantum many-body problems, Hecke algebras, and Macdonald theory RIMS 1998S. Kharchev, Kadomtsev-Petviashvili Hierachy and generalizad Kontsevich model hep-th/9810091

18. E. Frenkel, Five lectures on soliton equations, q-alg/9712005.

19. A. Pressley,G. Segal Loop groups, Oxford: Claredon Press 1986.

20. V. Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, third edition, Cambridge University Press.

21. A.N.Leznov, M.V.Saveliev, Theory group methods for integrating non-linear dynamical systems, Moscow, "Nauka", 1985.

22. P. Etingof, I. Frenkel, A. Kirillov Representation theory and Kniznik-Zamolodchikov equation. AMS-1998

23. Jimbo, M., and Miwa, Т. Algebraic Analisys of Solvable Lattice Models. Conference Board of the Math. Sci., Regional Conference Series in Mathematics, 85 (1995).

24. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M., Method for solving the Korteweg-de Vries equation. Phys. Rev. Lett. 1967, vl9, N 19,p. 1095-1097.

25. И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан, Об определении дифференциального оператора по его спектральной функции, Изв. АН СССР Сер. мат., (1951), Т.15, с. 309360.

26. В.А. Марченко, Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка, ДАН СССР,(1950),T.72,N 3, С. 457-460.В.А. Марченко, Восстановление потенциальной энергии по фазам рассеянных волн, ДАН СССР,(1955),T.104,N 3, С. 350-357.

27. В.Е. Захаров, А.Б. Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах- ЖЭТФ, 1971, т. 61, N 1, с. 118-134.

28. В.Е. Захаров, Л.Д. Фаддеев, Уравнение Кортевега-де Фриса вполне интегрируемая гамилътонова система. - Функц. анализ и его приложения, 1971, т. 5, N 4, с. 18-27.

29. В.Е. Захаров, С.В. Манаков,С.П. Новиков, Л.П. Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачи. / под редакцией С.П. Новикова. М.:Наука,1980.

30. Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, Гамилътонов подход в теории солитонов-М.:Наука,1986.

31. В.Е. Корепин, Л.Д. Фаддеев, Квантование солитонов. Теор. и мат. физика. 1975, Т. 25, N 2,с. 164-178.

32. R.F. Dashen, В. Hasslacher, A. Neveu, Particular spectrum in model field theories from semiclassical functional integral techniques. Phys. Rev. Lett., 1975, V.19, N 19, p. 3424-3450.

33. E.K. Склянин, Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи. Теор. и мат. физика. 1979, Т. 40, N 2,с. 194-220.

34. Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга. УМН, 1979, Т. 34, N 5, с. 13-63.

35. Н.М. Боголюбов, А.Г. Изергин, В.Е. Корепин, Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи. М.:Наука,1992.

36. A.A. Belavin, A.M. Polyakov, А.В. Zamolodchikov, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory Nucl. Phys. 1984 V.241B, p. 333-380.

37. V.G. Drinfeld, Quantum groups, Proceedings ICM-86.

38. M. Jimbo, A q-analogue of U(gl(N 1)) Hecke algebras, and the Yang-Baxter equation, Lett. Math. Phys. 1986. Vol. 11. p. 247-252.

39. Н.Ю. Решетихин, Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, Квантование групп и алгебр Ли, Алгебра и анализ, 1989, т.1,вып. 1., с. 178-207.

40. П.П. Кулиш, Н.Ю. Решетихин,Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордон и высшие представления, Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1981. Т. 101, с. 101-110.4348