Двойные многообразия флагов и их применение в теории представлений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Пономарева Елизавета Валентиновна

• Пономарева Елизавета Валентиновна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Пономарева Елизавета Валентиновна

Оглавление

Введение

Глава 1. О двойных многообразиях флагов

1.1. Двойные многообразия флагов и их кольца Кокса

1.2. Тензорное произведение модулей и ограничение на подгруппу

1.3. Строение 5-инвариантных дивизоров на многообразиях малой сложности

1.4. Связь между .^-инвариантными дивизорами и алгеброй [/-инвариантов кольца Кокса

Глава 2. Классификация двойных многообразий флагов сложности 0 и

2.1. Некоторые леммы о сложности двойных многообразий флагов

2.2. Метод классификации для классических групп

2.3. Классификация для классических групп

2.4. Метод классификации для особых групп

2.5. Классификация для особых групп

Глава 3. [/-инварианты колец Кокса двойных многообразий флагов

3.1. Метод поиска 5-инвариантных дивизоров

3.2. Метод вычисления инвариантов колец Кокса для классических групп

3.3. Инварианты колец Кокса для классических групп

3.4. Метод вычисления инвариантов колец Кокса для особых групп

3.5. Инварианты колец Кокса для особых групп

3.6. Примеры разложений тензорных произведений представлений и ограничений представлений на подгруппу

Заключение

Литература

Публикации автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двойные многообразия флагов и их применение в теории представлений»

Введение

В теории представлений алгебраических групп фундаментальными задачами являются задача разложения тензорного произведения двух неприводимых представлений связной редуктивной комплексной алгебраической группы С в прямую сумму неприводимых представлений и задача разложения на неприводимые слагаемые ограничения неприводимого представления группы С на реактивную подгруппу Н (проблема ветвления).

Существуют общие формулы для разложения тензорных произведений С-модулей. Разложение тензорного произведения неприводимых представлений любой полупростой группы можно получить из формулы Вейля для характеров (см., например, [3, §123-124]) с помощью формулы Стейнберга (см., например, [9, §25.3]). Также есть формула "трех индусов" [17] и ряд других формул.

Приведем ещё некоторые из известных результатов. Одним из важных достижений в задаче разложения тензорных произведений представлений является правило Литтлвуда-Ричардсона (см., например, [9, §А]). Оно позволяет вычислить разложение на неприводимые представления тензорного произведения любых двух неприводимых представлений группы ОЬп пли группы БЬп. Неприводимые полиномиальные представления групп ОЬп и БЬп можно задавать диаграммами Юнга. Чтобы найти кратность вхождения неприводимого модуля в тензорное произведение двух неприводимых модулей, нужно вычислить количество способов, которыми можно получить соответствующую диаграмму Юнга из двух заданных (соответствующих исходным представлениям) по определённым правилам. Частный случай данного правила — тензорное умножение неприводимого представления ОЬп та /\к Ст пли БкСт — известен как правило Пиери (см., например, [9, §А]). Позже Литтельман обобщил понятие диаграммы Юнга на классические и некоторые особые простые группы, и получил для них аналог правила Литтлвуда-Ричардсона (обобщенное правило Литтлвуда-Ричардсона) [13]. Также существуют правила ограничения неприводимых представлений с ОЬп на СЬп-1, с БЬп на БЬп-1, с БОп на БОп-1; с Брп на Брп-2 (см., например, [3, §66,129-130]).

Однако почти у всех данных правил есть недостаток — они хорошо работают только для "небольших" представлении ^ а в общем случае требуют больших вычислений. Также они не позволяют изучать изменение разложения в зависимости от представлений. Поэтому разумно поставить следующую задачу: для некоторых серий представлений получить более эффективные формулы разложения тензорных произведений и правила ветвления.

Описанные выше задачи можно решать геометрически. Основанием к этому является теорема Бореля-Вейля (см, например, [10, II.5]), которая даёт геометрическую реализацию неприводимых представлений: она утверждает, что любой неприводимый С-модуль реализуется как пространство сечений некоторого С-линейного расслоения С над обоб-тце н н ы м многообразием флагов С/Р, где Р С С — параболическая подгруппа. Тензорное произведение пространств сечений Н°(С/Р, С) и Н0(С/Q, М) можно реализовать как пространство сечений тензорного произведения расслоений N = С И М над двойным многообразием флагов X = С/Р х С/Q. Таким образом задача разложения тензорного произведения на неприводимые представления сводится к разложению пространства сечений Н°(Х, N) на неприводимые модули. Задача разложения на неприводимые слагаемые

СН разложению Н° (С/Р, С) на неприводимые Н-модули. С

ХС мерность типичной В-орбиты, где В С С — борелевская подгруппа. Понятие сложности впервые появилось в работе [14], посвящённой эквивариантным вложениям однородных

С

сложности 0 и 1 довольно хорошо устроены — в работах [14], [11] и [4] получено комбинаторное описание нормальных С-многообразий сложности 0 и 1 в терминах объектов выпуклой геометрии, таких как полиэдральные конусы и их коллекции, называемые вее-

0

— торических многообразий (см., например, [8]). Кроме этого, сложность связана с крат-ностями вхождений неприводимых модулей в пространства сечений линейных расслоений над многообразием X (см., например, [19, 5.4]). На С-многообразпях сложности 0 и 1 раз-

С

относительно простое описание [7], [20] (см. также [19, 17.4]).

Таким образом возникает задача классификации двойных многообразий флагов слож-0 1 С

пой (т.к. центр редуктивной группы тривиально действует на многообразии флагов, и

можно перейти к односвязному накрытию полупростой части группы С). Тогда группа С разлагается в почти прямое произведение простых подгрупп, а двойное многообразие флагов группы С разлагается в прямое произведение двойных многообразий флагов для простых подгрупп. Сложность двойного многообразия флагов группы С равна сумме сложностей двойных многообразий флагов, соответствующих простым подгруппам. Таким образом, задача классификации сводится к случаю простой группы С. Литтельман [12] классифицировал двойные многообразия флагов сложности 0 в случае максимальных параболических подгрупп. Стембридж [18] классифицировал все двойные многообразия 0 нашел сложности всех двойных многообразий флагов

в случае максимальных параболических подгрупп. В диссертации получены единым более простым и концептуальным методом уже известные результаты по классификации двойных многообразий флагов сложности не большей 1 и завершена классификация в случае сложности 1.

Вместо того, чтобы рассматривать пространства сечений линейных расслоений на многообразии X по отдельности, мы можем рассмотреть их все вместе. При этом на их прямой сумме (при некоторых условиях на Х) можно дополнительно ввести структуру кольца. Полученное кольцо Я(Х) называется кольцом Кокса многообразия X (точное определение см. в разделе 1.1). Задача разложения пространств Н0(Х, N) на неприводимые С-модули (а следовательно, и задача разложения тензорных произведений неприводимых представлений, и проблема ветвления) решается описанием алгебры Я(Х)и унипотентных инвариантов кольца Кокса, где и С В — максимальная унипотентная подгруппа.

Задача описания структуры алгебры Я(Х)и снова сводится к случаю простой группы С. Литтельман [12] описал алгебры Я(Х)и в терминах образующих и соотношений для двойных многообразий флагов Х = С/Р х сложноети 0, в случаях, когда обе

параболические подгруппы Р, Q максимальны. Панюшев [16, §6] нашёл образующие и соотношения в Я(Х)и для сложности 1 также в случае максимальных параболических подгрупп. В диссертации найдено задание Я(Х)и с помощью образующих и соотношений для всех двойных 01

известные результаты л,ля максимальных параболических подгрупп) и получены новые результаты для случая, когда хотя бы одна из параболических подгрупп не максимальна. Это даёт новые формулы для разложений тензорных произведений некоторых серий неприводимых представлений.

Вернёмся к задаче разложения на неприводимые представления ограничения представления С на подгруппу Н. В случае, когда Н = М — подгруппа Леви в Q, структура алгебры унипотентных инвариантов для действия Н на Я(С/Р) определяется из структуры алгебры Я(С/Р х С/Q)U. В случае, когда обе параболические подгруппы максимальны и

0

ных колец была получена Литтельманом [12]. В диссертации получен способ определения структуры кольца Кокса Я(С/Р)ипМ го структуры кольца Я(С/Р х С/Q)U для случая, когда параболические подгруппы произвольны и сложность соответствующего двойного

01

правила ветвления.

Приведём краткое содержание глав диссертации и сформулируем основные результаты диссертации. Глава 1 посвящена некоторым общим фактам и теоремам о двойных многообразиях флагов малой сложности, об их кольцах Кокса, и применениям двойных многообразий флагов в теории представлений. Вначале мы опишем, каким образом знание структуры алгебры Я(Х)и позволяет раскладывать тензорные произведения неприводи-С

сложности 0 и 1 алгебра Я(Х)и хорошо устроена. Для случая сложности 0 эта алгебра

1

теорема:

Х

группы, С сложноети 1. Тогда алгебра Я(Х)и либо свободна, либо её образующие связаны, единственным определяющим соотношением.

Данная теорема была ранее известна только для случая, когда обе параболические подгруппы максимальные [16]. В случаях, когда алгебра Я(Х)и свободна пли её образующие связаны единственным определяющим соотношением, формулы разложения тензорных произведений неприводимых модулей можно записать в красивой форме (см. теоремы 1.4 и 1.5).

Знание структуры алгебры Я(С/Р х С/Q)U позволяет нам определить структуру алгебры Я(С/Р)ипМ7 где М — подгруппа Леви в Пусть ... — В-инвариантные дивизоры на С^ (где В э и), классы которых образуют базис группы Пикара Pic(С/Q). Обозначим через Е Н°(С/РхС/Q, 0с/рИ0(0)) соответствующие канонические сечения. На кольце Я(С/Р х С^) имеется естественная градуировка группой Р\с(С/Р хС/Q), которая определяет мультистепень однородных элементов. Координаты, составляющие

мультистепень, естественным образом делятся на 2 группы (соответствующие сомно^жи-телям G/P и G/Q).

Теорема 0.2. (см,, теорему 1.3) Кольцо R(G/P)unm изоморфно подкольцу в кольце частных R(G/P х G/Q)U по мультипликативной системе, порождённой элементами sdl, Sdt, состоящему из элементов мультистепени (0,..., 0) по второй группе координат.

И/Сли известны R(G/P х G/Q)U

образующие и соотношения алгебры R(G/P)unm с помощью теоремы 1.10. Таким образом мы получим правила ветвления на подгруппу M С G неприводимых G-модулей, реализу-

G/P

Описание структуры алгебры R(X)u мы будем осуществлять геометрическим методом. Для этого необходимо знать, как устроены простые дивизоры на X, инвариантные относительно борелевской подгруппы В С G, содержащей U. Действительно, сечения линейных расслоений, нули которых составляют простые B -инвариантные дивизоры, являются мультипликативно неразложимыми однородными B-полуинвариантами в кольце R(X)u.

R(X) u

ности простых B

B

образующие и соотношения в R(X)U

дача описания структуры алгебры R(X)u сводится к описанию простых В-инвариантных дивизоров и соответствующих канонических сечений.

Глава 2 посвящена доказательству теоремы о классификации д во и н ых многообразий флагов сложности не больше 1. Параболические подгруппы можно задавать подмножествами простых корней (из двух естественных соответствий мы возьмём то, при котором борелевской подгруппе соответствует всё множество простых корней), подробнее см. в разделе 1.1. В диссертации доказана следующая классификационная теорема:

Теорема 0.3. (см. теорем,у 2.5 и раздел, 2.5) Для групп SLn, SÜ2i(l ^ 4), SO21+1, Sp2i, Eq, E7 все двойные многообразия флагов сложности 0 и 1 соответствуют парам, параболических подгрупп, приведённым в таблице 1. Параболические подгруппы заданы, наборам,и простых корней, нумерация корней соответствует [1, табл. 1]. Классификация, дана, с точностью до перестановки подгрупп, для групп SLn, SO2l и E6 — ещё с точностью до диаграммного автоморфизма G. Для, групп G2, F4 и E8 двойных многооб-

01

Таблица 1. Двойные многообразия флагов сложности 0 и 1

сложность 0 сложность 1

С р Я условия р Я условия

БЬп а а аз аг 1 аз г,з ^ 2; г,з ^ п - 2; \г — з\ > 2

а2 аг ■) аз аг а2 а4 г ^ 3; г ^ п — 3

а о.\,а.] аг а2 ап-2 г ^ 3; г ^ п — 3

а аз ,аз+1 а2 аг, а^ ,ак

а1 аг\ ■,■ ■ ■ -,ага аг а1 а2 аз г ^ 2; г ^ п — 2

аг а1 а2 ап- 1 г ^ 2; г ^ п — 2

а1 а аг ч аз

а1 ,ап-1 а%ч аз

8021 а1 а а1 аг ч аз г,3 ^ / — 2

1 ^ 4 а а г ^ 3 а1 аг ч аз •} а1

а а г = 1 — 1,/ а4 а2 а4 1 = 4

а1 аг, а а4 аг, а^ а 1 = 4

а а1 ,а% г = 2,1 — 1,1 а5 аг у аз 1 = 5; г = 2, 3; 3 = 4, 5

а а— а а4 а6 1 = 6

а4 а2 аз 1 = 4

8021+1 а1 аг а2 аг 1 ^ 3

а аг а1 аг ■) аз

а2 а1 а2 1 = 2

>8'Р21 а1 аг а2 аг 1 ^ 3

а аг а1 аг ■) аз

а2 а1 а2 1 = 2

Еб а1 аг г=3 а1 а1 а2

а1 а1 ,а5 а1 а1 ,а6

а1 а4 ,а5

а1 а5 ,а6

Е7 а1 аг г = 1, 6, 7 а1 а2

В случае классических групп параболические подгруппы удобнее задавать не подмножествами простых корней, как в общем случае, а размерами диагональных блоков

в блочно-треугольной структуре общей матрицы. Теорему классификации для двойных многообразий флагов классических групп удобнее сформулировать и доказывать в этих терминах (см. теорему 2.5).

Общая идея вычисления сложности состоит в том, чтобы привести точку общего положения к некоторому каноническому виду и найти количество параметров, от которых этот вид зависит. При этом мы будем использовать теорему Панюшева (см. теорему 2.1). Двойных многообразий флагов для классических групп бесконечно много, и нам нужен способ отбросить сразу большое количество вариантов. Можно получить оценки на сложность снизу исходя из взаимного располо^жения блочных структур параболических подгрупп и размеров блоков. Для особых групп двойных многообразий флагов конечное число, оценки на сложность оставляют для перебора не слишком большое количество вариантов.

В главе 3 мы опишем структуру алгебр Я(Х)и для всех двойных многообразий флагов Х сложностей 0 и 1. Мы докажем следующую теорему:

Теорема 0.4. (см,, разделы, 3.3, 3.5) Пусть Х = С/Р- х О/Q- имеет сложность 0 или 1, где Р- и Q- — параболические подгруппы, содержащие отрицательную боре-левскую подгруппу В-, противоположные к Р, пусть Р и Q заданы, подмножествами простых корней I = {а^,...,а^т} ■■ = }> нумерация корней соответствует [1]. Тогда алгебры, Я(Х)и порождаются элементами указанных в таблицах 2 и 3 весов и мультистепеней и элементами соответствующих фундаментальных весов

)...)Шгт ,... мультистепеней (1,0,..., 0^ (0,1, 0,..., 0^ ..., (0,..., 0,1) соответственно. В случае сложности 0 указанные образующие свободно порождают Я(Х)и.

1

ду данными элементами (либо одно соотношение, либо их нет), вес и мультистепень соотношения. Если соотношение есть, то оно имеет следующий вид: сумма всех моно-

0

Пояенения к таблицам. Если указано условие рядом с весом образующей, то данная образующая присутствует не всегда. Для удобства записи мы будем использовать иногда вес ш0 вместо 0 а Для труппы БЬп ещё иногда вес шп вместо 0. Для случая сложности 1, когда образующие независимы, мы выписываем некоторые вес и мультистепень — это вес и мультистепень сечений, соответствующих параметрическим дивизорам (определение см. в разделе 1.3). Если соотношение между образующими есть, то вес и мультистепень сечений, соответствующих параметрическим дивизорам, совпадает с весом и мультистепенью соотношения.

Таблица 2: Веса и мультистепени образующих и~ инвариантов в кольце Кокса для сложности 0

I J степень вес

эй

аг а^ г ^ 3 (1,1) шг-к + ш^+к, к = 1,... , шт{г, п - 3}

аг а\, а^ г < 3 (1,1, 0) (1, 0,1) (1,1,1) шг+1 шг-к + к = 1,... , шт{г, п - 3} шг-к+1 + ш]+к к = шах{1, 2 - (3 - г)},..., шт{г - 1, п - 3}

аг а\, а^ г > 3 (1,1, 0) (1,0,1) (1,1,1) шг+1 шг+к + ш-к, к = 1,... , шт {3, п - г} шг+к + ш^-к+и к = 2,..., шт{3 - 1, п - г}

аг а+ а+ (1,1, 0) (1,0,1) шг+к + ш-к, к = 1,... , шт {3, п - г} шг+к + ш^-к+и к = 1,..., шт{3 + 1, п - г}

а2 а^ а^ г > 3 г,3 - г,п - 3 ^ 2 (1,1, 0) (1,0,1) (1,1,1) ш1 + шг+ь шг+2 ш1 + ш]+\, ш]+2 шг+1 + ш]+\

а1 а%\ч ' ' ' ч а1в (1,1, 0, 0,..., 0) (1, 0,1, 0,..., 0) (1, 0, 0, 0,..., 1) шг1+\ шг2+1 шг.,+\

Эр21, (1 > 2)

а\ аг г ^ 1 - 1 (1,1) (2,1) шг-1, шг+1 шг при г > 1

а\ аг (1,1) (2,1) шг-1 шг

аг аг (1,1) 2шк, к = 0,...,1 - 1

Э02ь (1 > 4

а\ аг г ^ 1 - 3 (1,1) (2,1) шг-1, шг+1 шг при г > 1

а\ аг-2 (1,1) (2,1) шг-з-, шг-1 + шг шг-2

а\ аг-1 (1,1) шг

а2 аг (1,1) (1,2) ш\ + шг-1, шг шг-2

аз аг 1 ^ 6 (1,1) (1,2) (2,2) ш1 + шь ш2 + шг-ь шг-1 ш\ + шг-2, шг-з ш2 + шг-2

аг-1 аг (1,1) шг-2к-ъ к = 11,..., [ -]

аг аг (1,1) шг-2к, к = 11,..., [2]

а\ а^ аг г ^ 1 - з (1,1, 0) (2,1, 0) (1,0,1) шг-1, шг+1 шг при г > 1 шг-1

а\ аг-2, аг (1,1, 0) (2,1, 0) (1,0,1) шг-з, шг-1 + шг шг-2 шг-1

a1 a—i, ai (1,1, 0) (i, o, i) (i, 1,i) Vi Vi-i Vi-2

ai ai, a2 (i,i, o) (i, o, i) (2, 0,i) Vi-i Vi + Vi-i, Vi Vi-2

ai ai ai-i (i,i, o) (i, 0, i) (i, i, i) Vi-i Vi-2k-i, k =i,... , [] Ui-2k, k = i,..., [ - ]

ai ai ,ai (i,i, 0) (i, 0,i) (i, i,i) Vi-i Vi-2k, k = i,..., [2] ui-2k+i, k = 2,..., []

ai ai-i ,ai (i, i, 0) (i, 0,i) Vi-2k-h k = 1, . . . , [l-2T] Vi-2k, k =i,..., [2]

SÜ8

a4 a2 a (i, i, 0) (2,i, 0) (i, 0, i) Vi + V4 V2

SO10

a3 a5 (i, i) (i, 2) Vi + V2 + V4, V4 Vi + V3, V2

SO2l+i, (l > 3)

ai ai i ^ l — 2 (i, i) (2, i) npn i > i

ai ai-i (i, i) (2, i) Vi-2, 2v-Vi-i

ai ai (i, i) (i, 2) Vi Vi-i

ai ai (i, i) <¿k, k = 0,... ,l — i

E6

ai ai (i, i) V2i

ai a2 (i, i) (2, i) Vi + W5, V3, V2 + V5, V4

ai a4 (i, i) (2, i) U2, W5, + V3,

ai a5 (i, i) 0 V6

ai a6 (i, i) (2, i) Vi) V4 V2

ai ai, a5 (i, i, 0) (i, 0,i) (i, i,i) V4

Er

ai ai (i, i) 0 V2,

ai a6 (i, i) (2, i) Vi) V7 V2

ai a7 (i, i) (2, i) (2, 2) V3, V4

Таблица 3: Веса и мультистепени образующих и~ иивариаитов в кольце Кокса для сложности 1

I J степень вес соотношения

а2 ат (1,1, 0, 0) Ш2-к + к = шах{1, 3 — г},. ..,2 (2,1,1,1)

г < 3 < т (1,0,1, о) Ш1 + Шу+1, Шу+2 Ш1 + Шi+l + Шу+1 +

(1,0, 0,1) Ш2-к + ит+к, к = 1,... , шт{2, п — т} +Шт+1

(1,1,1,0) Ш+ + Шу+1 при 3 — г > 1 1 соотношение

(1,1, 0,1) Шг+1 + Шт+1

(1,0,1,1) Шу+1 + Шт+1 при т — 3 > 1

а а1 ,а2 аз (1,1, 0, 0) (2,1,1,1)

г, п — г ^ 3 (1,0,1, 0) Ш1 + шг+1, шг+2 Ш1 + Ш2 + Шi+l +

(1,0, 0,1) Ш1 + Шг+21 Ш2 + Шг+1, Ш^+з +Шi+2

(1,1, 0,1) Ш2 + Шг+2 1 соотношение

а а1 ,а2 ап-1 (1,1, 0, 0) (2,1,1,1)

г, п — г ^ 3 (1,0,1, 0) Ш1 + Шi+1l Шi+2 Ш1 + Шi + Шi+l

(1,0, 0,1) Шг-1 1 соотношение

(1,1, 0,1) Шi

(1,0,1,1) Ш1 + Шi+1

а3 (1,1, 0) Шз-к + Ш^к, к = шах{1,4 — г},. ..,3 (3, 2, 2)

г,3 - г,п — 3 ^ 2 (1,0,1) Ш3-к + Ш2+к Ш1 + Ш2 + Шi+l +

(1,1,1) к = 1,..., шт{3, ] — г} +Шi+2 + Шу+1 + Шу+2

Ш1 + Шi+l + Ш2+1, Шi+k + Ш2+з- -к 1 соотношение

к = 1,..., шт{2,] — г — 1}

(2,1,1) Ш2 + Шi+2 + Ш2+2

а а2 ,а4 (1,1, 0) Ш1 + Шi+l, Шi+2 (3, 2, 2)

г, п — г ^ 4 (1,0,1) Ш1 + Шi+з, Ш2 + Шi+2■, Шз + Шi+l, Шi+4 Ш1 + Ш2 + Шз +

(1,1,1) Ш1 + Шз + Шi+2■, Шз + Шi+з +Шi+l + Шi+2 + Шi+з

(2,1,1) Ш2 + Шi+l + Шi+з 1 соотношение

а 0-2, ап-2 (1,1, 0) Ш1 + Шi+l, Шi+2 (3, 2, 2)

г, п — г ^ 4 (1,0,1) Ш—1 + Шп-Ь Ш—2 Ш1 + Ш-1 + Шi +

(1,1,1) Ш1 + Ш—1, Ш1 + Шi + Шп-1 +Шi+l + Шп-1

Шi+1 + Шп-Ъ Шi 1 соотношение

(2,1,1) + Шi+1

а1 ,а2 (1,0,1, 0) Шi+1 (1,1,1,1)

(1,0, 0,1) Ш2-к + Ш,1+к, к = шах{1, 3 — г},. ..,2 Ш1 + Шi+l + Шу+1

(0,1,1,0) Ш2 + 1 1 соотношение

(0,1, 0,1) Ш2-к + Ш2+к

к = 1,.. ■ , шт{2, п — ]}

(1,1, 0,1) Ш+ + Шу+1 при 3 — г > 1

«1 ап-1 (1,0,1, 0) (1,1,1,1)

(1,0, 0,1) Шi + Шу

(0,1,1,0) Ш2 + 1 при 3 — г > 1

(0,1, 0,1) Ш2-1 0 соотношений;

(1,0,1,1) Шг при г > 1 при 3 — г =1

(0,1,1,1) Шу при п — ] > 1 1 соотношение

Вр2ь (1 > 2)

а (1,1) ш1 + Ш—1, Ш—2 (3, 4)

1 ^ 4 (1, 2) шг + ш—1, 2ш\ + шг, шг 2ш1 + 2шг-1 + шг

(2, 2) 2ш—1 1 соотношение

а1 аг, а (1,1, 0) шг-Ъ шг+1 (2,1,1)

(2,1, 0) шг при г > 1 шг + шг

(1, 0,1) шг-г при 1 - г > 1

(2, 0,1) шг 0 соотношений; при 1 - г =1 1 соотношение

а1 (1,1, 0) шг-1) шг+1 (2,1,1)

г<] <1 (2,1, 0) шг при г > 1 шг + шз

(1, 0,1) шЗ-Ъ шз+1 при ] - г > 1

(2, 0,1) шз 0 соотношений; при ] - г =1 1 соотношение

$>р4

а1 (1,1, 0) шг (2,1,1)

(1, 2, 0) ш2 2ш1 + ш2

(1, 0,1) 0, 2шг 1 соотношение

$>рв

а а2 (1,1) шь шг + ш2 (3, 4)

(1, 2) 2шг + шз, ш3 2ш1 + 2ш2 + шз

(2, 2) 2ш2 1 соотношение

З02Ъ (1 > 4)

а1 аг чаз (1,1, 0) шг-1) шг+1 (2,1,1)

г <3<\- 2 (2,1, 0) шг при г > 1 шг + шз

(1, 0,1) шз-1-> шз+1 при ] - г > 1

(2, 0,1) шз 0 соотношений; при ] - г =1 1 соотношение

а1 аг а-2 (1,1, 0) шг-Ъ шг+1 (2,1,1)

г <1 - 2 (2,1, 0) шг при г > 1 шг + шг-2

(1, 0,1) шг— з, шг— 1+шг при 1 - 2 - г > 1

(2, 0,1) шг-2 0 соотношений; при 1 - 2 - г = 1 1 соотношение

а1 аг, аз ,аг (1,1, 0, 0) шг-1) шг+1 (2,1,1, 0)

г <3<1- 2 (2,1, 0, 0) шг при г > 1 шг + шз

(1,0,1, 0) шЗ-1, шЗ+1 при ] - г > 1

(2,0,1, 0) шз 0 соотношений;

(1,0, 0,1) шг-1 при ] - г =1 1 соотношение

а1 аг, а—2 ,аг (1,1, 0, 0) шг-1) шг+1 (2,1,1, 0)

г <1 - 2 (2,1, 0, 0) шг при г > 1 шг + шг-2

(1,0,1, 0) шг— з, шг— 1+шг при 1 - 2 - г > 1

(2,0,1, 0) шг-2 0 соотношений;

(1,0, 0,1) шг-1 при 1 - 2 - г = 1 1 соотношение

ах аг,а—1 а г<1 — 1 (1,1, 0, 0) (2,1, 0, 0) (1,0,1, 0) (1,0, 0,1) (1,0,1,1) Шг-Ъ Шг+Х Шг при г > 1 Шг Ш1-1 шг-2 (2,1,1,1) Шг + Шг-х + Шг при 1 — 1 — г > 1 0 соотношений; при 1 — 1 — г = 1 1 соотношение

Й08

а4 а2 ,а4 (1,1, 0) (2,1, 0) (1, 0,1) Шх + Шз, Ш4 Ш2 0 Ш2 (2,1,1) Ш2 + Ш4 1 соотношение

а4 ах ,аз ,а4 (1,1, 0, 0) (1,0,1, 0) (1,0, 0,1) (1,1,1,0) Шз Шх 0 Ш2 Ш2 (2,1,1,1) Шх + Шз + Ш4 0 соотношений

а4 а2 ,аз ,а4 (1,1, 0, 0) (2,1, 0, 0) (1,0,1, 0) (1,0, 0,1) Шх + Шз, Ш4 Ш2 Шх 0 Ш2 (2,1, 0,1) Ш2 + Ш4 1 соотношение

а4 ах ,а2 -,а4 (1,1, 0, 0) (1,0,1, 0) (2,0,1, 0) (1,0, 0,1) Шз Шх + Шз, Ш4 Ш2 0 Ш2 (2, 0,1,1) Ш2 + Ш4 1 соотношение

а4 ах ,а2 ,аз (1,1, 0, 0) (1,0,1, 0) (2,0,1, 0) (1,0, 0,1) (1,1, 0,1) Шз Шх + Шз, Ш4 Ш2 Шх Ш2 (2,1,1,1) Шх + Ш2 + Шз 1 соотношение

ВОю

а5 а2 ,а5 (1,1, 0) (2.1.0) (1, 0,1) (1.1.1) (2,1,1) Шх + Ш4, Ш5 Шз Шх, Шз Шз Ш2 + Ш4 (2,1,1) Шз + Ш5 1 соотношение

а5 а2 ,а4 (1,1, 0) (2.1.0) (1, 0,1) (1.1.1) Шх + Ш4, Ш5 Шз 0 Ш2 Шх + Шз (2,1,1) Ш2 + Ш5 0 соотношений

а5 аз ,а5 (1,1, 0) (2,1,0) (1, 0,1) Ш\ + Ш5, Ш2 + Ш4, Ш4 Шх + Шз, Ш2 Шх, Шз (2,1,1) Шх + Шз + Ш5 1 соотношение

а5 аз ,а4 (1,1, 0) (2,1,0) (1, 0,1) Ш\ + Ш5, Ш2 + Ш4, Ш4 Шх + Шз, Ш2 0 Ш2 (2,1,1) Ш2 + Ш4 1 соотношение

во12

а4 а6 (1,1) (1, 2) Шх + Шц, Ш2 + Шб, Шз + Шц, Шб Шх + Шз, Ш2, Ш2 + Ш4, Ш4 (2, 3) Ш2 + Ш4 + Ш6 1 соотношение

3021+1, (1 > 3)

а (1,1) шг+шг, шг (2, 3)

1 ^ 4 (1, 2) шг^шг-г} шг-2-, шг-г шг + шг-г + шг

(2, 2) Шг ~шг_г 1 соотношение

аг аг (1,1, 0) шг-Ъ шг+г (2,1,1)

г<]<1 — 1 (2,1, 0) шг при г > 1 шг + шз

(1, 0,1) шз-г-, шз+г при ] — г > 1

(2, 0,1) шз 0 соотношений;

при ] — г =1

1 соотношение

аг аг ,аг-г (1,1, 0) шг-г, шг+г (2,1,1)

г<1 — 1 (2,1, 0) шг при г > 1 шг + шг-г

(1, 0,1) шг-2, при 1 — 1 — г > 1

(2, 0,1) шг-г 0 соотношений;

при 1 — 1 — г = 1

1 соотношение

аг аг, аг (1,1, 0) шг-г, шг+г (2,1, 2)

(2,1, 0) шг при г > 1 шг + 2шг

(1, 0,1) шг при 1 — г > 1

(1, 0, 2) шг-г 0 соотношений;

при 1 — г =1

1 соотношение

Б0Г

а2 аз (1,1) шг+ шз, шз (2, 3)

(1, 2) шг~|-ш2) шг, ш2 шг + ш2 + шз

1 соотношение

Еб

аг аг, а2 (1,1, 0) ш2, ш5 (2,1,1)

(1, 0,1) шг + шз, шб шг + ш2 + ш5

(2, 0,1) ш2 + ш4 1 соотношение

аг аг, а6 (1,1, 0) ш2, ш5 (2,1,1)

(1, 0,1) шг, ш4 шг + ш2

(2, 0,1) ш2 0 соотношений

(2,1,1) шз

аг а4, а5 (1,1, 0) ш2, + шб (2,1,1)

(2,1, 0) шз, шб ш^ + шб

(1,0,1) 0 шб 1 соотношение

аг а5, а6 (1,1, 0) 0 шб (2,1,1)

(1,0,1) шг, ш4 шг + ш6

(2,0,1) ш2 0 соотношений

(1,1,1) шз

Ег

аг а2 (1,1) шг, шг + шз, ш7 (3, 2)

(2,1) ш2, ш2 + ш^ ш6 шг + ш2 + ше

1 соотношение

Теорема даёт некоторые новые правила разложения тензорных произведений неприводимых представлений, реализующихся в пространствах сечений линейных расслоений над О/Р и О/Я соответственно.

Для описания структуры кольца Я(Х)и мы будем описывать простые В-пнварпантные дивизоры на X и соответствующие канонические сечения. Для нахождения простых В-инвариантных дивизоров мы будем действием группы В приводить точку к каноническо-

0

1

В0

В

В1

Метод описания соответствующих канонических сечений различается для классических и особых групп. В случае классических групп точки многообразия флагов являются цепочками вложенных друг в друга подпространств (в ортогональном и симплектическом случаях есть некоторые условия на эти подпространства). В этом случае дивизоры можно задавать в компактной геометрической форме — в терминах взаимного расположения этих подпространств. Из такого задания можно легко получить описание соответствующих канонических сечений.

В случае особых групп такого хорошего способа задания дивизоров нет. Описание канонических сечений следует из явного задания дивизоров в координатах. В некоторых случаях рассмотрение весов и знание примерного вида уравнения дивизора позволяет избежать вычислений.

Основные обозначения и соглашения основное поле — поле комплексных чисел С; О

Т С О — максимальный тор;

В с О — борелевская подгруппа, содержащая Т;

и С В — максимальная унипотентная подгруппа;

Р,Я ^ В — параболические подгруппы в О;

А = А(О) — система корней группы О относительно тора Т;

Д+ С А — множество положительных корней, соответствующих заданному выбору боре-В

П С А+ — система простых корней, соответствующих заданному выбору борелевской В

аг Шг

иа с О — одномерная унипотентная подгруппа, соответствующая корню а; V(Л) = УС(Л) — непрпводимый О-модуль со старшим весом Л; КевН VG(Л) — ограничение О-модуля VG (Л) на подгруппу Н С О; V(Л)* — двойственный к V(Л) модуль; Л* — старший вес V(Л)*;

X — гладкое неприводимое алгебраическое О-многообразие;

С(Х) — поле рациональных функций на многообразии X;

ог^/, ог^в — порядок функции / и метения в вдоль простого дивизора О;

Н°(Х, С) — пространство сечений линейного расслоения С над многообразием X;

О(О) — линейное расслоение, соответствующее дивизору О;

во Е Н''^, О(О)) — каноническое сечение расслоения О(О), удовлетворяющее условию в в = О;

Мн — множество неподвижных точек для действпя группы Н на множестве М.

Глава 1

О двойных многообразиях флагов

1.1. Двойные многообразия флагов и их кольца Кокса

Напомним, что многообразия вида О/Р, где Р — параболическая подгруппа, называются (обобщёнными) многообразиями (частичных) флагов.

Определение 1.1. Двойными многообразиями флагов называются многообразия ви~ да О/Р х О/^ где Р^ — некоторые параболические подгруппы О.

В дальнейшем нам будет удобно рассматривать параболические подгруппы Р, Q, содержащие борелевскую подгруппу В С О, а двойные многообразия флагов реализовывать в виде

О/Р- х О/Q , где Р и Q — параболические подгруппы в О

Таким образом,

двойные многообразия флагов задаются парами параболических подгрупп. Параболические подгруппы Р Э В можно задавать набором простых корней. Будем говорить, что параболическая подгруппа задана множеством простых корней I С П, и обозначать её Рх, если имеет место следующее разложение её касательной алгебры:

р1 = * © 0 Ва,

[а>0}и{а&(П\1)}

где * — касательная алгебр а тора Т, да — касательная алгебра одномерной унипотентной подгруппы иа. При таком определении максимальные параболические подгруппы будут соответствовать подмножествам из одного простого корня.

Разложим параболическую подгруппу Р = Рх в полупрямое произведение подгруппы Леви и унипотентного радикала: Р = Ь X Цр, где Ь Э Т. Аналогичное разложение имеем и на уровне касательной алгебры: р = I©ир. Тогда алгебры I и ир будут иметь следующие

разложения:

1 = t ® ф 0«, Чр = ф Я»'

а&(П\1) {а>0\а£&(П\1)}

Касательная алгебра Р- имеет следующее разложение:

р- = 10 0 0«.

{а<0}и{а&(П\1)}

Мы дадим определение кольца Кокса многообразия X в случае, когда группа Пикара Рк^) свободна конечного ранга. Пусть группа Рк^) свободно порождается классами линейных расслоений Сх,..., С3. Тогда любое линейное расслоение С над X изоморфно расслоению вида Ск ® ... ® Ск3% кх,... ,к3 Е Ъ.

Определение 1.2. Кольцом Кокса многообразия X называется пространство

К^) = 0 Н"(X, Ск1 ® ... ® Ск;).

Пространство И^) является кольцом относительно тензорного умножения сечений.

замечание. На кольце И^) имеется естественная градуировка группой Рк^). Градуировка определяет мультистепень однородных элементов, а сечения линейных расслоений — это в точности мультиоднородные элементы И^).

Более общее определение колец Кокса можно посмотреть, например, в [5, 1.4]. Теперь найдем кольца Кокса многообразий флагов — для этого нам понадобится базис группы Рк(О/Р- х О/Я-).

Пусть Р = Р{оч} — максимальная параболическая подгруппа. Многообразие О/Р-вкладывается в проективное пространство Р^(ш*)) как проективизация орбиты младшего вектора. Старший вектор двойственного модуля /Ш1 Е V(ш*)* ~ V(шг) является линейной формой на Р^(ш*)) и задает некоторый Р-инвариантный простой дивизор ОР,г на О/Р- О/Р-

рождается классом дивизора Орг. Каноническое сечение воР1 — это ограничение на О/Р-линейной формы его вес равен шг.

Пусть теперь Р = Рх, I = {аг1 ,...,агг}. Прообразы дивизоров ОРггк С О/Р- л

' { гк }

при естественных

морфизмах О/Р ^ О/Р- , будут Р-инвариантными дивизорами на

{агк }

О/Р-

В

все простые

В -инвариантные дивизоры на

О/Р-

классами дивизоров Шуберта. Веса канонических сечений, соответствующих дивизорам

Шуберта, равны шг1,... ,шгТ. Подробнее про дивизоры Шуберта можно посмотреть, например, в [6, 2].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пономарева Елизавета Валентиновна, 2016 год

Литература

[1] Винберг Э.Б., Онищик А.Л., Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, Наука, Москва, 1988.

[2] Винберг Э.Б., Сложность действий редуктивных групп, Функц. анализ и его прил. 20 (1986), № 1, 1-13.

[3] Желобенко Д.П., Компактные группы Ли и их представления, Наука, Москва, 1970.

[4] Тимашёв Д.А., Классификация G-миогообразий сложности 1, Изв. РАН, сер. мат. 61 (1997), № 2, 127-162.

[5] Arzhantsev I.V., Derenthal U., Hausen J., and Laface A., Cox rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, No. 144, Cambridge University Press, 2015.

[6] Billey S., Lakshmibai V., Singular loci of Schubert varieties, Progress in Mathematics, 182. Birkhâuser Boston, Inc., Boston, MA, 2000.

[7] Brion M., Groupe de Picard et nombres caractéristiques des variétés sphériques, Duke Math. J. 58 (1989), 397-424.

[8] Cox D., Little J., Schenck H., Toric varieties, Graduate Studies in Mathematics, 124, American Mathematical Society, Providence, EI, 2011.

[9] Fulton W., Harris J., Representation theory: A first course, Graduate Texts in Mathematics, vol. 129, Springer-Velag, New-York, 1991.

[10] Jantzen J.C., Representations of algebraic groups, Academic Press, Boston, 1987.

[11] Knop F., The Luna-Vust theory of spherical embeddings, Proc. Hyderbad Conf. on Algebraic Groups (S. Ramanan ed.), 225-249, Manoj Prakashan, Madras, 1991.

[12] Littelmann P., On spherical double cones, J.Algebra, 166 (1994), 142-157.

[13] Littelmann P., A generalization of the Littlewood-Richardson rule, J.Algebra, 130 (1990), 328-368.

[14] Luna D., Vust Th., Plongements d'espaces homogènes, Comment. Math. Helv. 58 (1983), no. 2, 186-245.

[15] Panyushev D.I., Complexity and rank of double cones and tensor product decompositions, Comment. Math. Helv. 68 (1993), no. 3, 455-468.

[16] Panyushev D.I., Complexity and rank of actions in Invariant theory, J.Math.Sci. New York 95 (1999), no. 1, 1925-1985.

[17] Parthasarathy K.E., Eanga Eao R., Varadarajan V.S., Representations of complex semisimple Lie groups and Lie algebras, Ann. Math, vol. 85, №3 383-429, 1967.

[18] Stembridge J., Multiplicity-free products and restrictions of Weyl characters, Represent. Theory 7 (2003), 404-439.

[19] Timashev D.A., Homogeneous spaces and equivariant embeddings, Encyclopedia of Mathematical Science, vol. 138, Springer (2011).

[20] Timashev D.A., Cartier divisors and geometry of normal G-varieties, Transform. Groups 5 (2000), no. 2, 181-204.

Публикации автора по теме диссертации

[21] Пономарева Е.В., Классификация двойных многообразий флагов сложности 0 и 1, Изв. РАН. Сер. матом.. 77:5 (2013), 155-178.

[22] Пономарева Е.В., Инварианты колец Кокса двойных многообразий флагов малой сложности классических групп, Тр. ММО., 76, № 1, МЦНМО, М., 2015, 85-150.

[23] Пономарева Е.В., Инварианты колец Кокса двойных многообразий флагов малой сложности особых групп, депонировано в ВИНИТИ РАН, Л'"72-В2015 от 31.03.2015, 40 стр.

[24] Пономарева Е.В., Классификация двойных многообразий флагов сложности 0 и 1, тезисы XVIII международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2011".

[25] Пономарева Е.В., Инварианты колец Кокса двойных многообразий флагов малой сложности классических групп, тезисы докладов четвертой школы-конференции "Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов", 2014, с. 41.