Квантование замкнутых классов сопряженности простых алгебраических групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Мудров Андрей Игоревич

• Мудров Андрей Игоревич
• доктор наук
• 2024

Оглавление диссертации доктор наук Мудров Андрей Игоревич

Оглавление

Введение

Предварительные сведения

Алгебры Хопфа

Аксиомы

Обозначения Свидлера

Квазитреугольная структура

Двойственная алгебра Хопфа

Скручивание (твист) алгебр Хопфа

Модуль- и комодуль-алгебры над алгебрами Хопфа

Основные сведения о квантовых группах

Система корней

Алгебра Хопфа ия ($)

Квантовые борелевекие подгруппы

Обобщённые подалгебры Леви

Представления ид ($)

Универсальная К-матрица и базис Пуанкаре-Биркгофа-Витта

Поляризованный расщеплённый оператор Казимира

Модули старшего веса

Особые векторы

Форма Шаповалова

1 Обратная форма Шаповалова

1.1 Представления ия (Ь+) и диаграммы Хаеее

1.2 Конструкция сплетающего оператора

1.2.1 Вспомогательный ид(^)-модуль Ф

1.2.2 Замена базиса в Ф

1.3 Матрица Шаповалова

1,3,1 Матрица Шаповалова и контравариантная форма

1.4 Связь с уравнением АВНН

2 Особые векторы модулей Верма

2.1 Элементы Шаповалова и матрица Шаповалова

2.2 Факторизация элементов Шаповалова

2.3 Элементы Шаповалова степени

3 Контравариантные формы и экстремальный проектор

3,0,1 Контравариантные формы

3,0,2 Ядра левых идеалов

3.1 Особые векторы в тензорных произведениях

3.2 Контравариантная форма на тензорном произведении

3.3 Фильтрация модуля V 0 Z по высоте

3.4 Критерий полной приводимости V 0 Z

3.5 Частный случай конечномерных модулей

3.6 Экстремальный проектор

3.6.1 Действие группы кос па ид(0) и базис Картана-Вейля

3.6.2 Свойства корневых векторов ЛХТ

3.6.3 Экстремальный проектор

3.7 Экстремальный твист и экстремальный проектор

3.7.1 Связь между экстремальным твистом и экстремальным проектором

3.7.2 О регуляризации экстремальных проекторов

3.7.3 Собственные значения корневых факторов

3.8 Случай параболических модулей Верма

3.8.1 Регуляризация экстремального проектора на параболических модулях

3.8.2 Экстремальный твист для параболических модулей Верма , , , ,

3.9 Ослабление условий на тензорные факторы

4 Обобщённые параболические категории

4,0,1 Определение обобщённых параболических модулей Верма

4.1 Классический предел элементов Шаповалова

4.1.1 Элементы Шаповалова для неисключительных квантовых групп ,

4.1.2 Регулярность элементов Шаповалова

4.1.3 Все точки максимального тора квантуемы

4.1.3.1 Случай 0 = зо(М)

4.2 Полупростота обобщённых параболических категорий

4.2.1 Базовый модуль

4.2.2 Обобщённые параболические модули Верма

5 Квантование векторных расслоений

5.1 Скобки Пуассона

5.1.1 Классическая r-матрица и группы Пуассона

5.1.2 Многообразия Пуассона-Ли

5.1.3 Эквивариантное ^-умножение

5.2 Квантовые векторные расслоения как проективные Т^-модули

5.2.1 Классических предел квантовых векторных расслоений

5.2.2 Проблема Дринфельда

6 Простые примеры квантовых классов сопряжённости

6.1 Четномерные сферы

6.1.1 Локальное ^-умножение на §2га

6.1.1.1 М\ как модуль над Ug (g_)

6.1.1.2 Инвариантное спаривание Мх ® М'х ^ C

6.1.1.3 Квантовое эвклидово пространство

6.1.2 Псевдо-параболнческая категория над квантовой сферой §2га , , , 129 6,1,2,1 Обобщённые экстремальные пространства в базовом модуле

6.2 Комплекснфицированное (вещественное) проективное пространство , , ,

6.2.1 Базовый модуль для квантовых проективных пространств , , , ,

6.2.2 Каноническая форма на V ® М и экстремальный твист

6.2.3 Параболические категории над квантовым P™

6.3 Кватернионная проективная плоскость ШР2

6,3,1 Базовый модуль ШР2

6.3.1.1 Структура Ug(Q-модуля на М\

6.3.1.2 Ортонормированный базис в М\

6.4 Псевдо-параболическая категория над ШР2

7 Алгебра уравнения отражения

7.1 Уравнение отражения и твист

7.1.1 Скрученные тензорные произведения

7.1.2 Дубль Дринфельда и скрученный тензорный квадрат

7.1.3 Бимодуль алгебры

7.1.4 Ком одул ь алгебры

7.2 Алгебры Решетихина-Тахтаджана-Фаддеева и уравнения отражения , , ,

7.2.1 Алгебра РТФ

7.2.2 Алгебра уравнения отражения

7.2.3 Твист-эквивалентность алгебр РТФ и уравнения отражения

7.2.4 Двойственная алгебра уравнения отражения

7.3 Квантование скобки СТШ на группе

7,3,1 Общая схема квантования

7,3,1,1 Квантование скобок ДС и СТШ

7.4 Квантовое координатное кольцо Cq [Gs] как модуль над центром

7.5 Алгебра C^[GS] в терминах образующих и соотношений

7.5.1 Соотношения алгебры Cn[Gds]

7.5.2 Соотношения алгебры C^[GS]

8 Явное описание квантовых классов сопряжённости

8.1 Полу простые классы сопряжённости

8.2 Инварианты квантовых классов сопряжённости

8.2.1 Универсальная матрица уравнения отражения

8.2.2 Характеристический полином для матрицы уравнения отражения

8.2.3 Минимальный полином для матрицы уравнения отражения , , , ,

8.2.4 Конструкция центральных элементов

8.3 Описание квантовых классов сопряжённости

8.3.1 Центральные характеры неисключительных квантовых групп , ,

8.3.2 Квантование классов сопряжённости

8.3.3 Идеалы квантовых классов сопряжённости

8.3.4 Замена начальной точки и базового веса

8.4 Случай нестандартных квантовых групп

8.4.1 Кограничные твисты

8.4.2 Как твист влияет на алгебру уравнения отражения

8.4.3 Скручивание квантовых классов сопряжённости

8.5 Квантовые симметрические классы сопряжённости

8.5.1 Квазп-класснческпй предел уравнения отражения

8.5.2 Квантовые симметрические классы

8.5.3 Квантовые точки

8.6 Метод квантовых точек в эквивариантном квантовании

8,6,1 Квантовые векторные расслоения над симметрическими классами

сопряжённости

9 Квантование орбит в qI*(n)

9.1 Модифицированное уравнение отражения

9.2 Специальные функции ^¿(ш, y,t)

9.3 Центральные характеры алгебры К = C/tC

9.4 Квантовые коприеоединённые орбиты gl(N)

9.5 Модифицированное уравнение отражения и твист

9.6 Расслоения орбит Пуассона-Л и

9,6,1 Пуассонова структура на 0\

9,6,2 Пуаееоновы расслоения орбит

9,7 Квантование расслоений орбит в 0[(^)*

10 Динамическое уравнение Янга-Бакстера над неабелевой базой

10.1 Базовая алгебра

10.2 Динамические алгебры

10.3 Пуаееоновы базовые алгебры и многообразия

10.4 Динамические пуаееоновы алгебры

10.5 Квантование пуаееоновых базовых и динамических алгебр

10.6 Динамическое уравнение Янга-Бакстера

10.7 Динамические категории

10.7.1 Базовая алгебра в моноидальной категории

10.7.2 Динамические категории над базовыми алгебрами

10.7.3 Морфизмы базовой алгебры

10.7.4 Расширение моноидальной категории над модуль категорией , , ,

10.7.5 Сравнение категорий Ов и Н — Мо^с

10.7.6 Динамические алгебры

10.8 Категорный подход к динамическому уравнению Янга-Бакстера

10.8.1 Динамические скручивающие коциклы

10.8.2 Динамическое уравнение Янга-Бакстера

10,8,2,1 Динамический (пре-) брейдинг

10.9 Конструкция динамического твиста

10.9.1 Ассоциативные операции на морфизмах и твист

10.9.2 Динамически сопряжённые функторы

10.9.3 Динамический твист и параболические модули Берма

11 Квантовые группоиды

11.1 Определение и примеры

11.2 Квазитреугольная структура и твист

11.3 Биалгеброиды над квази-коммутативной базой

11.4 Квантовые группоиды Нс

11.5 Об антиподе биалгеброидов

11.5.1 Биалгеброид (С * Н)^

11.5.2 Антипод в С * Н

11.5.3 Антипод в квантовом группоиде Нс

11.6 Динамический твист и твист биалгеброидов

11.6.1 Скручивание с помощью динамического коцикла

к

11.6.2 Скрученное тензорное произведение и ® Нс

11.7 Динамические категории и представления биалгеброидов

11.7.1 Категория С х Н — Mod

11.7.2 Категория U ®"d{H)c — Mod

11.8 Двойственные квантовые группоиды как динамические алгебры РТФ

11.8.1 Динамические алгебры и биалгеброиды

11.8.2 Биалгеброид Ы* х (С ® С^)

12 Динамические r-матрицы над базой Пуассона-Ли

12.1 Биалгеброиды Ли над базой Пуассона-Ли

12.1.1 Биалгеброиды Ли

12.1.2 Биалгеброиды Ли и динамическая г-матрица

12.2 Динамические r-матрицы над базой Пуассона-Ли

12.3 Динамические r-матрицы над квазитреугольной базой

12.4 Тригонометрическая динамическая r-матрица над абелевой базой

12.5 Редукция базы в тригонометрическом случае

Заключение

А

А.1 Параболические модули Верма

А.2 Тензорное произведение модулей со старшим и младшим весом

А.З Двойственность для индуцированных модулей

А.4 О твисте конечно порождённых модуль алгебр

А.5 Квантовое тождество Якоби

А.6 К Разделу

А.7 Формула для центральных характеров квантовой группы

А.8 Центральные характеры алгебры модифицированного уравнения отражения

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантование замкнутых классов сопряженности простых алгебраических групп»

Введение

Актуальность темы исследования

Задача квантования пуаееоновых многообразий является фундаментальной проблемой математической физики, восходящей к трудам Гейзенберга и Дирака, Как известно, пространство состояний физической системы в классической теоретической механике описывается дифференцируемым многообразием, а алгеброй наблюдаемых является коммутативная алгебра дифференцируемых функций, снабжённая скобкой Пуассона, Переход от классической механики к квантовой состоит в замене коммутативной алгебры функций Л на некоммутативную алгебру операторов Лп на гильбертовом пространстве, Согласно принципу соответствия эта замена осуществляется путём деформации исходной структуры в классе ассоциативных алгебр, где параметром деформации служит постоянная Планка П.

Активное взаимодействие физики, геометрии и алгебры за последние сто лет привело к возникновению некоммутативной геометрии в трудах А, Конна и его школы [Соп], Некоммутативно-геометрическая точка зрения в свою очередь оказывает влияние на математическую физику, алгебру и теорию представлений, являясь источником геометрической интуиции и поставщиком идей.

Огромное значение для теоретической физики имеют симметрии, которые лежат в основе законов сохранения и отвечают за полную интегрируемость физических моделей, Поэтому эквивариантное квантование инвариантных скобок Пуассона оформилась в самостоятельную область, став по сути прикладной теорией представлений. Классическим примером здесь является скобка Ли на двойственном пространстве 0* алгебры Ли 0, которая ограничивается на каждую орбиту коприеоединенного действия группы С.

Понятие симметрии получило значительное расширение после открытия квантовых групп в работах Ленинградской школы |КНТ| по квантовому методу обратной задачи рассеяния и трудах В, Г, Дринфельда [01], В рамках этого подхода, сама группа С снабжается пуассоновой структурой, которая приводит к её квантованию в классе алгебр Хопфа, Тогда для всякого С-пространства, снабжённого совместимой пуассоновой структурой, возникает задача его квантования таким образом, чтобы на деформи-

рованной алгебре функций действовала уже квантовая группа. Это действие должно переходить в исходное в классическом пределе.

Важным свойством квантовых групп является наличие мультипликативной структуры в категории их представлений. Она имеет глубокий физический смысл, поскольку пространство состояний сложной квантовой системы есть тензорное произведение пространств состояний образующих её компонент, Кокоммутативноеть такого тензорного умножения обеспечивается семейством решений уравнения Янга-Бакетера, Это уравнение является фундаментальным тождеством в теории интегрируемых систем, давшим толчок развитию квантовых групп. Имеются далеко идущие "динамические" обобщения этого уравнения, приводящие к теории квантовых группоидов. Их представления также обладают моноидальной структурой. Такая расширенная трактовка симметрии находит применение в точно решаемых моделях конформной теории поля.

На заре становления теории квантовых симметрий основной интерес исследователей привлекали собственно квантовые группы и простейшие некоммутативные G-пространства - такие, как квантовые плоскости и некоммутативные сферы, С развитием квантовой алгебры все больший интерес вызывают сложные однородные многообразия: общие симметрические пространства, коприеоединенные орбиты и классы сопряжённости, Они находят применение в точно-решаемых моделях, теории специальных функций, гармоническом анализе, теории представлений, Эквивариантное деформационное квантование является богатым источником пространств для некоммутативной геометрии. Все это делает тему данного исследования чрезвычайно актуальной.

Степень разработанности темы исследования

Первым примером локального ^-умножения следует считать квантование Мояла-Греневольда [MoBar, Groen] для постоянной еимплектичеекой формы на Ж2п. Общий современный подход к деформационному квантованию пуаееоновых многообразий был сформулирован в работе [BFFLS], Доказательство существования ^-произведения на произвольном симлектическом многообразии было представлено Де-Вильдом и Леео-мте [DWL], Решение этой задачи для произвольной пуаееоновой структуры в явном виде было получено М, Концевичем в [Коп], Несмотря на свою универсальность, подход Кон-цевича не приводит к эквивариантному квантованию при наличии группы симметрий. Для симплектических многообразий с классической группой симметрии эта проблема решается с помощью квантования Федосова [Fed],

Открытие квантовых групп в работах Ленинградской школы Л. Д. Фаддеева [FRT] и В, Г, Дринфельда [D1] в 1980х привело к радикальному расширению концепции симметрии пуаееонового многообразия, которая стала учитывать наличие скобки Пуассона на самой группе [D3], Эквивариантное квантование такого многообразия стало означать

деформацию трех объектов: универсальной обёртывающей алгебры и(0) алгебры Ли 0 группы С, алгебры функций на многообразии Л(Х) и собственно действия и(0) на Л(Х), При этом деформация самой и(0) оказывается специальным случаем этой задачи ввиду её эквивалентности квантованию пуассонова многообразия С как двустороннего С-пространства, Эта проблема была решена в серии работ Этингофа и Каждана, [ЕК].

Описание однородных многообразий Пуассона-Ли над заданной группой Пуассона было представлено В, Г, Дринфельдом в работе [Ш], Как оказалось, они параметризуются тем же самым набором данных, что и квази-лиевы биалгебры, которые являются ростками деформаций и(0) в классе квази-хопфовых алгебр, Дринфельд назвал такое соответствие "таинственным" и поставил задачу его "квантования", а именно, выяснения роли квази-хопфовых алгебр в квантовании многообразий Пуассона-Ли, В своей полной общности эта проблема открыта до сих пор, К настоящему времени её решение получено только для полупростых коприеоединенных орбит со скобой Кириллова и полу простых классов сопряжённости редуктивных комплексных групп Ли, чему и посвящена данная диссертация.

Существуют различные подходы к построению квантования в зависимости от рассматриваемого типа пространства и класса функций, В частности, условие локальности ★-умножения может ослабляться. Это применимо к кольцам регулярных функций на аффинных алгебраических многообразиях, которые задаются в терминах образующих и соотношений. Примером такого подхода может служить универсальная обёртывающая алгебра и(0), деформирующая полиномиальное кольцо С[0*] вдоль скобки Ли, В качестве других примеров можно привести соотношения, задающие алгебру функций на квантовых группах, квантовые плоскости и квантовые сферы [И1Т]. Явное описание "сложных" квантовых однородных пространств - таких, как полупростые коприсоеди-ненные орбиты и классы сопряжённости, - в терминах образующих и соотношений было получено в работах автора.

Классы сопряжённости простой группы Ли С наследуют скобку Пуассона на самой С, которая была введена Семеновым-Тян-Шанскпм [ЯТЯ]. В этом смысле скобка

на классах является аналогом инвариантной скобки Кириллова-Костанта-Новикова-

0*

те [А1Ма]. Квантование скобки Семенова-Тян-Шанского на С приводит к уравнению отражения, которое было получено как абстракция алгебраических конструкций, возникающих в спиновых цепочках, Кулишом и Скляниным [КБ, КЭк1] и независимо рассматривалось Маджидом из категорных соображений [М^]. Уравнение отражения играет важную роль в теории квантовых групп и называется также граничным уравнением Янга-Бакетера, С точки зрения деформационного квантования, оно выражает условие квази-коммутативности в квантовом координатном кольце Сп[С], Свойства соответствующей алгебры, её центра, уравнения Кэли-Гамильтона и др. активно изучались

дубненекой школой [PS,PO,I], Важной для данной диссертации является квантовая версия теоремы Ричардсона [R], которая представляет собой аналог теоремы Костанта об универсальной обёртывающей алгебре [К1]. Она утверждает, что для односвязной группы G алгебр а свободна как модуль над своим центром и порождается по-

лу простым модулем над квантовой группой, куда каждый простой модуль входит с конечными кратноетями. Этот результат был получен в работе [В].

Наличие классической или квантовой группы симметрии обусловливает широкое применение методов теории представлений к построению эквивариантного деформационного квантования. Одним из таких приемов является представление Лп(Х) в качестве инвариантной подалгебры в алгебре операторов End(M) подходящего (базового) модуля М над квантовой группой Un(g), поскольку умножение в End(M) эквивари-антно относительно действия сопряжения. Такой подход был применен к полупростым коприеоединенным орбитам со скобкой Кириллова в работе [DGS], В данной диссертации он используется для всех полупростых классов сопряжённости простых неисключительных групп. Это позволяет вычислить соотношения на образующие квантового координатного кольца в явном виде.

Как оказалось, метод квантования посредством представления на модуле квантовой группы имеет большой потенциал и позволяет не только явно описывать соотношения в координатном кольце, но и строить изоморфное ему локальное ^-умножение. Это понимание было достигнуто в совместной работе автора и И, Донина [8], а также в работах [EE,AL,KMST], посвященных роли динамического уравнения Янга-Бакстера в эквивариантном квантовании, "Динамическое" обобщение обычного уравнения появилось в интегрируемых системах типа Веееа-Зумино-Новикова-Виттена благодаря работам [GN, BDF, AF, Fei, ABB] и активно развивалось Этингофом, Варченко и другими их соавторами [EV2, EVI, ES, Seh], Его первоначальная версия была сформулирована над коммутативной ко коммутативной базой, для которой была развита теория динамических квантовых групп и установлена связь с биалгеброидами (квантовыми группоидами) [Lu,Xul], Связь между обычной и динамической R-матрицами осуществлялась посредством динамического твиста, который строился с помощью обратной контрава-риантной формы на базовом модуле Верма (формы Шаповалова),

Было замечено, что динамический твист редуцируется к бидифференциальному оператору, задающему ^-умножение на однородном пространстве с максимальным тором в качестве стабилизатора. Это наблюдение привело к обобщению динамического твиста на широкий класс базовых алгебр с целью применения к квантованию однородных пространств со стабилизатором Леви [8], В этой же работе было установлено, что динамический твист в своей совокупности (нередуцированный) приводит к квантованию эквивариантных векторных расслоений над данным однородным пространством.

Подход к эквивариантному квантованию на основе динамического твиста имеет

ограничения, так как применим только в том случае, когда присутствует квантовая группа стабилизатора точки. Это относится к однородными пространствами со стабилизатором типа Леви, С другой стороны, динамический твист представляет собой совокупность обратных контравариантных форм на неприводимых модулях старшего веса из некоторой категории, порожденной базовым модулем М. Определители таких форм для модулей Верма классических групп были вычислены в работе Шаповалова [Sh], а для квантовых групп - в работе Де Кончини-Каца [DCK], Для классических параболических модулей Верма это было сделано в [Jan2], что позволило решить задачу квантования скобки Кириллова [ЕЕ, AL, 8], Для более общих классов модулей, возникающих в рамках нашего подхода, такие результаты отсутствуют.

Возможность квантования коприеоединенных орбит с помощью обратных контравариантных форм непосредственно, без апелляции к динамическому твисту, была замечена в [AL] и допускала немедленное обобщение на классы сопряжённости типа Леви, Для класса псевдо-Леви этот метод впервые был применен к 4-мерной сфере в нашей работе [27], Алгебраически эта конструкция была перенесена на широкий класс алгебр, обобщающих инварианты подгрупп Леви [KST] в алгебре функций на квантовой группе. Однако для её применения к общим полупростым классам сопряжённости требовалось найти подходящий модуль старшего веса и доказать, что соответствующая "подалгебра инвариантов" имеет ту же модульную структуру, что и классическая алгебра функций на однородном пространстве. Для этого потребовалось развить теорию представлений квантовых групп в двух направлениях: явное факторизованное описание элементов Шаповалова, задающих особые вектора в модулях Верма [26], и критерий полной приводимости тензорных произведения неприводимых модулей старшего веса [18,19],

Одна из главных трудностей квантования классов сопряжённости, стабилизатор которых не является подргуппой Леви, - это отсутствие квантового стабилизатора. Это обстоятельство делает невозможной параболическую индукцию и построение динамического твиста. Чтобы обойти эту трудность, потребовалось обобщить конструкцию параболического модуля Верма в роли базового модуля М, а также параболической категории, которую он порождает при тензорном умножения на конечномерные представления квантовой группы. Для того, чтобы обеспечить нужные свойства этой категории, особые векторы модулей Верма, определяющие её простые объекты, должны удовлетворять условию регулярности. Это условие состоит в том, чтобы соответствующий элемент Шаповалова 6р,т, параметризованный положительным корнем ¡3 и натуральным числом т, превращался в степень корневого вектора в классическом пределе

h ^ о.

Выражения для элементов Шаповалова классических групп были известны из работы [MFF], а для некоторых классов квантовых групп - из работ [Dob, DobFe], Имелись

также неявные реккурентные соотношения для особых векторов в случае квантовых групп [KL] и факторпзованные выражения для классических 6р,т с помощью экстремальных проекторов [Zh], Однако эти результаты не позволяли исследовать распределение особенностей в и провести анализ классического поведения при q ^ 1, Нам потребовалось получить факторизационные формулы, выражающие 6р,т через б^д, и выразить последний через образующие квантовой группы. Наиболее близким к нам следует считать подход Д. Желобенко для q = 1, то и от те дает явного ответа для 0дд, а, значит, и для всех 0р,т.

Явные выражения для б^д были выведены нами из специальных матричных элементов обратной формы Шаповалова, Эта форма уже использовалась в виде динамического твиста над абелевой базой, и для неё имелись выражения в виде предела бесконечного произведения операторов, решающего уравнение Арнадона-Буффенуара-Рагучи-Роше [АВЕЕ]. Такой подход, однако, не приспособлен для решения наших задач, поскольку в этих рамках смысл имеет только предел конечных частных произведений. Нами был разработан метод вычисления обратной формы Шаповалова в виде бесконечного ряда, который обрезается при редукции левого тензорного фактора на всякое конечномерное представление, [24],

Центральной проблемой квантования векторных расслоений как проективных модулей над квантовым координатным кольцом стала полупростота обобщённых параболических категорий модулей над квантовой группой (она также возникала и при квантовании собственно алгебры функций). Эти категории реализуют "представления" квантовых расслоений при помощи линейных отображений между объектами. Для решения проблемы полупростоты нам потребовался эффективный вычислительный критерий полной приводимости тензорных произведений модулей старшего веса, который отсутствовал в литературе. Нам удалось сформулировать такой критерий в терминах канонических контравариантных форм и экстремальных проекторов [18,19],

С развитием теории квантовых групп возникло понимание, что классическая точка зрения на однородное пространство как на пару, состоящую из тотальной группы н подгруппы стабилизатора, является слишком ограничительной с некоммутативно-геометрической точки зрения. Причина заключается в том, что не всякую классическую подгруппу можно проквантовать как подалгебру Хопфа в тотальной квантовой группе. Оказалось, что на эту роль хорошо подходят коидеал-подалгебры. Первые примеры таких подалгебр были построены в статье [GaKl], В работах [NS,Dij,NDS] они были связаны с каждым решением уравнения отражения. Такие решения существуют для всех симметрических пространств и некоторых их сферических обобщений. Теория квантовых симметрических пар получила систематическое развитие в работах Летц-тер и её школы [Let, Kolb] и стала одним из важных самостоятельных направлений в теории квантовых однородных пространств, В нашей диссертации мы доказываем

изоморфноеть нашего квантования симметрических классов сопряжённости квантовым симметрическим парам.

Цели и задачи и диссертационной работы

Главной целью данной диссертации является создание теории квантовых полупростых классов сопряжённости простых комплексных алгебраических групп и эквивариантных расслоений над ними. Под этим понимается деформация аффинного координатного кольца регулярных функций на классе сопряжённости и проективных модулей глобальных сечений эквиваринатных векторных расслоений, Квази-классическим ростком деформации служит скобка Пуассона, получающаяся ограничением скобки Семенова-Тян-Шанского на группе симметрии с заданной классической г-матрицей. Эта скобка превращает группу в многообразие Пуассона-Ли по отношению к действию сопряжения группы Пуассона, которая снабжена скобкой Дринфельда-Склянина с той же самой г-матрицей. Деформация подразумевается эквивариантной по отношению к действию соответствующей квантовой группы,

В нашу задачу входит развитие методов теории представлений, позволяющих построить квантование указанных пуассоновых алгебр и их модулей с помощью локального ★-произведения, в терминах образующих и соотношений, а также посредством представления на модулях старшего веса. Нашей целью также является ответ на вопрос В, Г, Дринфельда о связи квантовых однородных пространств и квази-Хопфовых алгебр применительно к полу простым классам сопряжённости.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в математической физике, в частности, в теории точно решаемых моделей. Явные факторизационные формулы для особых векторов модулей Верма будут интересны для теории представлений как классических, так и квантовых групп. Формулы связи между обратной формой Шаповалова и универсальной К-матрицей имеют важные приложения в теории алгебр Микельеона, Методы исследования полной приводимости на основе контравариантных форм и экстремальных проекторов будут полезны для теории представлений классических и квантовых групп. Явное описание квантовых однородных пространств и эквивариантных модулей над ними может найти применение в некоммутативной геометрии и К-теории, Теория динамического уравнения Янга-Бакетера над общей квази-коммутативной базой Йеттера-Дринфельда может быть интересна с точки зрения точно решаемых моделей конформной теории поля, теории категорий, некоммутативной алгебры.

Методология и методы исследования

В нашем исследовании мы пользуемся методами алгебраической геометрии, теории категорий, коммутативной и некоммутативной алгебры, а также теорией представлений квантовых групп, в развитие метода Х-ннинртипои. Источником идей служит теория динамического уравнения Янга-Бакетера над неабелевой базой и её обобщения. Нашими основными инструментами являются канонические контравариантные формы на модулях старшего веса и теория экстремальных проекторов.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту

Все основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем,

1, Получено явное выражение обратной формы Шаповалова через универсальную К-матрицу для случая квантовых групп и через поляризованный расщеплённый элемент Казимира для классических универсальных обёртывающих алгебр простых алгебр Ли,

2, Получены явные факторизованные выражения для элементов Шаповалова и особых векторов модулей Верма классических и квантовых групп,

3, Разработан критерий полупростоты тензорного произведения простых модулей старшего веса в терминах контравариантных форм и экстремальных проекторов,

4, Введены обобщённые параболические категории для каждой точки максимального тора простой алгебраической группы и доказана их полупростота для почти всех значений параметра деформации,

5, Разработан метод квантования для эквивариантных векторных расслоений над классами сопряжённости, с использованием обобщённых параболических категорий, Квантовые векторные расслоения построены с помощью обратных контравариантных форм на обобщённых параболических модулях Верма,

6, Решена проблема В, Г, Дринфельда о связи квантовых многообразий Пуассона Ли и квази-Хопфовых алгебр для случая полупростых копрнсоединенных орбит и классов сопряжённости простых групп Ли,

7, Выведено явное выражение для ★-умножения на классах сопряжённости через экстремальный проектор,

8, Разработан метод явного квантования для полу простых классов сопряжённости, в терминах образующих и соотношений; построено явное квантование полупростых классов сопряжённости простых матричных групп неисключительных типов.

9, Построено явное квантование смешанной скобки Семенова-Тян-Шанского и Кириллова на коприеоединенных орбитах GL(n).

10, Квантовые симметрические классы сопряжённости реализованы как подалгебры в алгебре функций на квантовых группах,

11, Квантование классов сопряжённости построено по отношению ко всем квантовым деформациям биалгебр Ли в классификации Белавина-Дринфельда,

12, Квантование расслоений коприеоединенных орбит построено для произвольной квантовой общей линейной группы,

13, Развита теория динамического уравнения Янга-Бакетера над базой в виде коммутативной алгебры в категории Йеттера-Дринфельда,

14, Введена квазитреугольная структура на квантовых группоидах с неабелевой базой и построены примеры,

15, Введен класс динамических r-матриц над базой Пуассона-Л и и построены примеры; установлена их связь с теорией биалгеброидов Ли,

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на семинарах по алгебре и теории представлений в Университете Осло (Норвегия, 2019), Университете Глазго (Великобритания, 2017), Высшей Школе Экономики (Россия, 2015), Университете Варвик (Великобритания, 2013), а также на следующих международных семинарах и конференциях: "Quantum Groups - Algebra, Analysis and Category Theory" (Оберволфах, Германия, 2021), "Classical and Quantum Integrable Systems" (Сочи, Россия 2021), "Integrable Systems and Qvantum Symmetries 27" (Прага, Чехия, 2019), "Classical and Quantum Integrable Systems (Санкт-Петербург, Россия, 2019), "Aspects of higher representation theory" (Брюссель, Бельгия 2019), "ARTIN 52" (Абердин, Великобритания, 2019), "Quantum Homogeneous spaces" (Эдинбург, Великобритания, 2018), "Classical and Quantum Integrable Systems" (Протвино, Россия, 2018), "Classical and Quantum Integrable Systems" (Дубна, Россия, 2017), "Classical and Quantum Integrable Systems (Санкт-Петербург, Россия, 2016), "Infinite Dimensional Geometry and Harmonic Analysis (Ноттингем, Великобритания, 2016), "Facets of Quantum Homogeneous Spaces" (Брюссель, Бельгия, 2015), "Quantum Groups and Differential Geometry" (Бар-План, Израиль, 2014), "ARTIN 38" (Абердин, Великобритания, 2013), "Quantum Groups" (Хайфа, Израиль, 2004).

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 34 печатных работах, из них 34 статья в рецензируемых журналах из списка ВАК [1-34]. Журналы из списка [1-34] входят базы Scopus и WoS (кроме [4], [12] и [34]),

Личный вклад соискателя в работах с соавторами заключается в следующем: [1] - доказательство изоморфности классов сопряжённости квантовым симметрическим парам, [2] теория и вычисления, за исключением Секции 6, [3-5] - определение направлений исследования и разработка методов решения, [6] - вычисление квантовых классов группы G2, [7] - категорная конструкция универсальной К-матрицы, [8] - конструкции динамического расширения моноидальной категории с помощью базовой алгебры и модуль категории, [9,12] - конструкция скручивающего коцикла, [10] - нахождение решений уравнения отражения, [11] - вычисление центральных характеров алгебры уравнения отражения на параболических модулях Верма Uq(gl(N)), [13] - вычисление характеров двухпараметричееких квантовых коприеоединенных орбит Uq(д[(Ж)), [14] - конструкция квазитреугольной структуры в биалгеброидах, [15] - вычисление экстремального твиста и доказательство полупростоты псевдопараболической категории, [16] - конструкция динамической К-матрицы с помощью динамического твиста, [17] -доказательство изоморфности скрученных присоединенных модуль алгебр [33] - часть работы, поевящённая квантованию, кроме квазиклассической теории.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, раздела с предварительными сведениями, двенадцати глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 322 страницы, библиография включает 153 наименование.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Мудров Андрей Игоревич

Заключение

В данной диссертации построено эквивариантное квантование полупростых классов сопряжённости простых алгебраических групп неисключительных серий. Квазиклассическим пределом этого квантования является скобка Семенова-Тян-Шанекого,

Белавина-Дринфельда, Квантование подразумевает деформацию кольца полиномиальных функций на классах сопряжённости, являющихся аффинными многообразиями, а также эквивариантных векторных расслоений как конечно порождённых проективных односторонних модулей на алгеброй функций,

С этой целью нами использовались методы теории представлений классических и квантовых групп, как стандартные, так и оригинальные, специально разработанные для решения данной задачи. Они включают, в частности, явное выражение обратной формы Шаповалова через универсальную К-матрицу, явные факторизованные формулы для особых векторов модулей Верма (элементов Шаповалова), критерий полной приводимости тензорных произведений модулей старшего веса в терминах канонических контравариантных форм и экстремальных проекторов, теория динамического уравнения Янга-Бакетера над базой Пуаееона-Ли,

В рамках данной диссертации получено частичное решение проблемы Дринфельда о связи квази-Хопфовых алгебр и квантовых многообразий Пуаееона-Ли (для полупростых классов сопряжённости простых алгебраических групп и их полупростых копри-еоединённых орбит). Решение получено в терминах динамического твиста и обратной формы Шаповалова базовых модулей старшего веса.

Квантование классов сопряжённости сформулировано двумя альтернативными способами: как фактор-алгебра алгебры функций на квантовой группе со скобкой СТШ и как подалгебра "инвариантов квантового стабилизатора" в скрученной алгебре Хопфа, двойственной к ид (0), Связь между двумя подходами устанавливается с помощью базового модуля старшего веса, где квантовый класс сопряжённости представляется подалгеброй линейных операторов. Обратная инвариантная форма базового модуля доставляет инвариантный бидифференциальный оператор, через которых выражается деформированное умножение,

В диссертации подробно рассмотрены важные частные случаи: симметрические

классы сопряжённости, квантование пары совместимых скобок Пуассона на орбитах квантование расслоений орбит, В трех последних главах развита теория динамического уравнения Янга-Бакстера над общей базой, в качестве которой выступают алгебры Йеттера-Дринфельда и модуль-категории, а также многообразия Пуаееона-Ли в квазиклассическом пределе. Указана связь с теорией алгеброидов Хопфа (биалгеброидов) и билагеброидов Ли, введено понятие квазитреугольной структуры на алгеброидах Хопфа, построены примеры классических динамических г-матриц.

Сделаем несколько замечаний относительно того, что осталось за рамками данной работы. Ограничение рассмотрения только неисключительными группами вызвано стремлением упростить изложение. Основные методы теории представлений, применённые нами в этой работе, имеют общий характер и применимы к оставшимся пяти исключительным типам, В частности, это касается Глав 1-4, Поэтому результаты Главы 5 справедливы для квантовых групп всех типов.

Критическим условием для явного построения квантования в терминах образующих и соотношений является знание определяющего (радикального) идеала классического класса сопряжённости. Эти идеалы известны для классических матричных алгебраических групп. Они также известны для исключительной группы G2, и соответствующее квантование построено в работе [6]. Знание классических определяющих идеалов полупростых классов исключительных типов позволит построить явное описание их квантовых аналогов теми же методами, что использовались в данной диссертации.

Результаты данной диссертации сформулированы для почти всех q Е C\Щ. Это касается и полупростоты категории Oq(t), и описания её простых объектов, и многих других вопросов. Мы выдвигаем гипотезу, что эти результаты верпы для всех q Е C\ ffi

Интересным вопросом представляется развитие теории "пеквазиклаееичееких"-квантовых классов сопряжённости при q Е ffi. На наш взгляд, они могут быть связаны с так называемыми "лохматыми" пространствами (fuzzy spaces), которые вызывают интерес в том числе и теоретических физиков. Это так называемые конечномерные некоммутативные аппроксимации квазиклассических квантовых пространств. Можно ожидать, что формальная алгебраическая конструкция "^-умножения" из работы [KST], где в качестве базы выступает любой неприводимый модуль старшего веса, будет соответствовать именно таким некоммутативным пространствам.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Мудров Андрей Игоревич, 2024 год

Библиография

[1] Algethami, D,, Mudrov, A,: Quantum symmetric conjugacy classes of non-exceptional groups, J. Math. Phvs., 64 (2023), 081703. https://doi.Org/10.1063/5.0157498.

[2] Algethami, D,, Mudrov, A.: Shapovalov elements and Hasse diagrams, Theor, Math. Phvs., 216 #3 (2023), 1255-1264. https://doi.org/10.1134/S0040577923090015.

[3] Ashton, T., Mudrov, A.: On representations of quantum conjugacy classes of GL(n), Lett. Math. Phvs., 103 (2013), 1029-1045. https://doi.org/10.1007/sll005-013-0633-6.

[4] Ashton, T., Mudrov, A.: Representations of quantum conjugacy classes of orthosymplectic groups, J. Math. Sei,, 213 (2016), 637-650. https://doi.org/10.1007/sl0958-016-2728-v.

[5] Ashton, T., Mudrov, A.: Quantization of borderline Levi conjugacy classes of orthogonal groups, J. Math. Phvs., 55 (2014), 121702. https://doi.Org/10.1063/l.4902381.

[6] Baranov, A., Mudrov, A., Ostapenko, V.: Quantum exceptional group G2 and its semi-simple conjugacy classes, Algebr. Represent. Theor., 23 (2020) 1827-1848. https://doi.org/10.1007/sl0468-019-09913-4.

[7] Donin, J., Kulish, P., Mudrov, A.: On a universal solution to reflection equation, Lett. Math. Phvs, 63 #3 (2003), 179-194. https://doi.Org/10.1023/A:1024438101617.

[8] Donin, J., Mudrov, A.: Dynamical Yang-Baxter equation and quantum vector bundles, Commun. Math. Phvs., 254 (2005), 719-760. https://doi.org/10.1007/s00220-004-1247-8.

[9] Donin, J., Mudrov, A.: Reflection Equation, Twist, and Equivariant Quantization, Isr. J. Math., 136 (2003) 11-28. https://doi.org/10.1007/BF02807191.

[10] Donin, J., Mudrov, A.: Method of quantum characters in equivariant quantization, Commun. Math. Phvs., 234 (2003), 533-555. https://doi.org/10.1007/s00220-002-0771-7.

[11] Donin, J., Mudrov, A.: Explicit equivariant quantization on coadjoint orbits of GL(n), Lett. Math. Phvs., 62 #1 (2002), 17-32. https://doi.Org/10.1023/A:1021677725539.

[12] Donin, J,, Mudrov, A.: Reflection equation- and FRT-type algebras, Cz, J, Phys., 52 (2002), 1201-1206. https://doi.Org/10.1023/A:1021324718185

[13] Donin, J., Mudrov, A.: Quantum coadjoint orbits of GL(n) and generalized Verma modules, Lett. Math. Phvs., 67 (2004), 167-184. https://doi.Org/10.1023/B:MATH.0000035038.98122.93.

[14] Donin, J. Mudrov, A.: Quantum groupoids and dynamical categories, J. Alg,, 296 #2 (2006), 348-384. https://doi.Org/10.1016/j.jalgebra.2006.01.001.

[15] Jones, G,, Mudrov, A.: Pseudo-parabolie category over quaternionic projective plane, Algebr. Represent. Theor., 26 (2023), 2361-2382. https://doi.org/10.1007/sl0468-022-10185-8.

[16] Kulish, P., Mudrov, A.: Dynamical reflection equation, Contemp. Math., 433 (2007), 281-310. https://doi.org/10.1090/conm/433.

[17] Kulish, P., Mudrov, A.: Twisting adjoint module algebras, Lett. Math. Phvs., 95 (2011), 233-247. https://doi.org/10.1007/sll005-010-0454-9.

[18] Mudrov, A.: Contravariant form on tensor product of highest weight modules, SIGMA, 15 #026 (2019), 1-10. https://doi.org/10.3842/SIGMA.2019.026.

[19] Mudrov, A.: Contravariant forms and extremal projectors, J. Pure Appl. Algebra, 226 #4 (2022), 106902, https://doi.Org/10.1016/j.jpaa.2021.106902.

[20] Mudrov, A.: Star-product on complex sphere S2n, Lett. Math. Phvs., 108 #6 (2018), 1443-1454. https://doi.org/10.1007/sll005-018-1074-z.

[21] Mudrov, A.: Equivariant vector bundles over projective spaces, Theor. Math. Phvs., 198 (2019), 284-295. https://doi.org/10.1134/S0040577919020090.

[22] Mudrov, A. : Equivariant vector bundles over quantum spheres, J. Noncommut. Geom,, 15 #1 (2021), 79-111. https://doi.org/10.4171/JNCG/396.

[23] Mudrov, A.: Regularization of Mickelsson generators for non-exceptional quantum groups, Theor. Math. Phvs., 192 (2017), 1205-1217.

[24] Mudrov, A.: R-matrix and inverse Shapovalov form, J. Math. Phvs., 57 (2016), 051706. https://doi.org/10.1063/L4950894.

[25] Mudrov, A.: Quantum conjugacy classes of simple matrix groups, Commun. Math. Phvs., 272 (2007), 635-660. https://doi.org/10.1007/s00220-007-0222-6.

[26] Mudrov, A.: Shapovalov elements of classical and quantum groups, J, Pure Appl, Algebra, 228 #7, (2024), 107634. https://doi.Org/10.1016/j.jpaa.2024.107634.

[27] Mudrov, A.: Quantum sphere S4 as a non-Levi conjugacy class, Lett. Math. Phvs., 101

(2012), 157-172. https://doi.org/10.1007/sll005-012-0563-8.

[28] Mudrov, A.: Non-Levi closed conjugacy classes of SPg(2n), Commun. Math. Phvs., 317

(2013), 317-345. https://doi.org/10.1007/s00220-012-1616-7.

[29] Mudrov, A.: Non-Levi closed conjugacy classes of SOq(N), J. Math. Phvs., 54 (2013), 081701. https://doi.Org/10.1063/l.4816625.

[30] Mudrov, A.: Characters of Uq(gl(n))-reflection equation algebra, Lett. Math. Phvs., 60 (2002), 283-291. https://doi.Org/10.1023/A:1016283527111.

[31] Mudrov, A.: Trigonometric dynamical r-matrices over Poisson Lie base, Lett. Math. Phvs., 71. (2005), 63-73. https://doi.org/10.1007/sll005-004-5924-5.

[32] Mudrov, A.: On quantization of Semenov-Tian-Shansky Poisson bracket on simple algebraic groups, St .-Petersburg Math. J., 18 (2007), 797-808. https://doi.org/10.1090/S1061-0022-07-00974-0.

[33] Mudrov, A., Ostapenko, V.: Quantization of orbit bundles in gi(n)*, Isr. J. Math., 172 (2009), 399-423. https://doi.org/10.1007/sll856-009-0080-3.

[34] Mudrov, A.: Vector bundles on quantum conjugacy classes, J. Math. Sei,, 284, # 1 (2024), 93-125. https://doi.org/10.1007/sl0958-024-07330-7.

[ABB] Avan, J., Babelon, O,, Billev, E,: The Gervais-Neveu-Felder equation and the quantum Calogero-Moser systems, Commun. Math. Phvs., 178 (1996), 281-299.

[ABEE] Arnaudon, D,, Buffenoir, E. Eagouev, E. and Eoehe, P.: Universal solutions of quantum dynamical Yang-Baxter equations, Lett. Math. Phvs., 44 #3 (1998), 201-214.

[AF] Alekseev, A., Faddeev, L.: T*(G)t: a toy model of conformal field theory, Commun. Math. Phvs., 141 (1991), 413-422.

[AFS] Alekseev, A., Faddeev, L,, Semenov-Tian-Shanskv, M,: Hidden quantum group inside Kac-Moody algebra, Commun. Math. Phvs., 149 (1992), 335-345.

[AL] Alekseev, A. Laehowska, A.: Invariant * -product on coadjoint orbits and the Shapovalov pairing, Comment. Math. Helv., 80 (2005), 795-810.

[AlMe] Alekseev, A., Meinrenken, E,: The non-commutative Weil algebra, Invent. Math., 135 (2000), 135-172.

[AlMa] Alekseev, A,, and Malkin, A,: Symplectic structures associated to Lie-Poisson groups, Commun. Math. Phvs., 162 (1994), 147-173.

[AST] Asherova, R,, Smirnov, Yu,, and Tolstoy, V.: Projection operators for the simple Lie groups, Theor. Math. Phvs., 8 (1971), 813-825.

[B] Baumann, P: Another proof of Joseph and Letzter's separation of variables theoremark for quantum groups, Transformation Groups, 5 (2000), 3-20.

[BD] Belavin, A., Drinfeld, V.: Triangle equations and simple Lie algebras, in Classic Reviews in Mathematics and Mathematical Physics, 1. Harwood Academic Publishers, Amsterdam, 1998.

[BDF] Balog, J. Dabrowski, L,, Feher, L.: Classical r-matrix and exchange algebra in WZNW and Toda field theories, Phvs. Lett., B 244 (1990), 227-234.

[BFFLS] Baven, F,, Flato, M,, Fronsdal, C,, Liehnerowiez, A. and Sternheimer, D. : Deformation Theory and Quantization, Ann. Phvs., Ill (1978), 61-110.

[BFP] Balog, J., Feher, L,, and Palla, L.: The chiral WZNW phase space and its Poisson-Lie groupoid, Phvs. Lett., B 463 (1999), 83-92.

[BGG2] Bernstein, J., Gelfand, I., Gelfand, S,: Structure of representations generated by highest weight vectors, Funct. Anal. Appl., 5 #1 (1971), 1-9.

[Con] Connes, A.: Noneommutative Geometry, Academic Press, New York, 1994.

[C] Carlin, K,: Local systems of Shapovalov elements, Commun. Alg,, 23 #8 (1995), 30393049.

[ChP] Chari, V. and Presslev, A.: A guide to quantum groups, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

[Cher] Cherednik, I.: Factorizable particles on a half-line and root systems, Theor. Math. Phvs., 64 (1984), 35.

[Dob] Dobrev, V., : Singular vectors of quantum groups representations for straight Lie algebra roots, Let. Math. Phvs., 22 (1991), 251-266.

[DobFe] Dobrev, V., Felaki, M,: Quantum group Uq(Ae) singular vectors in Poincare-Birkhoff-Witt basis, Let. Math. Phvs., 49 (1999), 47-57.

[Cost] Costantini, M,: A classification of spherical conjugacy classes, Pac. J. Math., 285 #1 (2016), 63-91.

[Dl] Drinfeld, V,: Quantum Groups, In Proc, Int. Congress of Mathematicians, Berkeley 1986, Gleason, A. V. (eds) 798-820, AMS, Providence (1987).

[D2] Drinfeld, V.: Quasi-Hopf algebras, Leningr. Math. J., 1 #6 (1990), 1419-1457.

[D3] Drinfeld, V.: On Poisson homogeneous spaces of Poisson-Lie groups, Theor. Math. Phvs., 95 (1993), 524-525.

[D4] Drinfeld, V.: Almost cocommutative Hopf algebras, Leningr. Math. J., 1 #2 (1990), 321-342.

[DS] Donin, J., Shnider, S,: Quantum symmetric spaces, J. Pure Appl. Algebra, 100 (1995), 103-115.

[Di] Dixmier, J.: Enveloping Algebras, Grad. Stud, in Math., 11, AMS 1996.

G

[DCK] De Concini, C,, Kac, V.: Representations of quantum groups at roots of 1, Operator algebras, unitary representations, enveloping algebras, and invariant theory (Paris, 1989), Progr. Math., 92, Birkhauser Boston, Boston, MA, 1990, 471-506.

[DGS1] Donin, J., Gurevieh, D,, Shnider, S,: Double quantization on some orbits in the coadjoint representations of simple Lie groups. Commun. Math. Phvs., 204 (1999), 39-60.

[DGS] Donin, J., Gurevieh, G,, Shnider, S,: Quantization of function algebras on semi-simple orbits in g*, arXiv:q-alg/9607008,

[DO] Donin, J., Ostapenko, V.: Equivariant quantization on quotients of simple Lie groups by reductive subgroups, Cz. J. Phvs., 52 #11 (2002), 1213-1218.

[DWL] De Wilde, M,, Lecomte, P.: Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds, Lett. Math. Phvs., 7 #6 (1983), 487-496.

[Eis] Eisenbud, D,: Commutative algebra with a view towards algebraic geometry. Springer, New York, 1995.

[Erd] Erdman, K,, Wildon, M,: Introduction to Lie algebras, Undergrad. Math. Ser., Springer-Verlag, London 2006.

[EE] Enriquez, B,, Etingof, P.: Quantization of classical dynamical r-matrices with non-Abehan base, Commun. Math. Phvs., 254 (2005), 603-650.

[EE1] Enriquez, B,, Etingof, P.: Quantization of Alekseev-Meinrenken dynamical r-matrices, AMS Transl,, 210 (2003), #2, 81-98.

[EEM] Enriquez, B,, Etingof, P., Marshall, I.: Quantization of some Poisson-Lie dynamical r-matrices and Poisson homogeneous spaces, Contemp, Math,, 433 (2007), 135-176,

[EV] Etingof, P., Varehenko, A,: Dynamical Weyl groups and applications, Adv. Math,, 167 (2002), 74-127.

[EV1] Etingof, P., Varehenko, A,: Exchange dynamical quantum groups, Commun, Math, Phvs., 205 (1999), 19-52.

[EV2] Etingof, P., Varehenko, A.: Geometry and classification of solutions to the classical dynamical Yang-Baxter equation, Commun. Math. Phvs., 192 (1998), 77-120.

[EK] Etingof, P., Kazhdan, D,: Quantization of Lie bialgebras, Seleeta Math., 2 #1 (1996), 1-41.

[ES] Etingof, P., Sehiffmann, O,: Lectures on the dynamical Yang-Baxter equation, Quantum Groups and Lie Theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser. 290, Durham, 1999, Cambridge Univ. Press (2001).

[ESS] Etingof, P., Schedler, T., Sehiffmann, O,: Explicit Quantization of Dynamical R-Matrices for Finite Dimensional Semisimple Lie Algebras, J. of AMS, 13 #3 (2000), 595-609.

[Fed] Fedosov, B,: A simple geometrical construction of deformation quantization, J. Differential Geom., 40 #2 (1994), 213-238.

[Fel] Felder, G,: Conformal field theories and integrable models associated to elliptic curves, Proc. ICM Zurich, (1994), 1247-1255.

[F] Fiore, G,: Quantum groups SOq(N), Spq(n) have q-determinants, too, J. Phvs. A, 27 (1994), 3795-3802.

[FP] Feher, L. Pusztai, B,: Spin Calogero models and dynamical r-matrices, Bulg. J. Phvs., 33 (2006), 261-272.

[FRT] Faddeev, L,, Eeshetikhin, N,, Takhtajan, L,: Quantization of Lie groups and Lie algebras, Leningr. Math. J., 1 (1990), 193-226.

WZNW model, Workshop on Integrable Theories, Solitons and Duality, https://doi.Org/10.22323/l.008.0012.

[FhMrsh] Feher, L,, Marshall, I.: On a Poisson-Lie analogue of the classical dynamical Yang-Baxter equation for self dual Lie algebras, Lett, Math, Phvs,, 62 (2002), 51-62,

[GaKl] Gavrilik, A,, and Klimvk, A,: q-deformed orthogonal and pseudo-orthogonal algebras and their representations, Lett, Math, Phvs,, 21 (1991), 215-220,

[GH] Griffiths, P. and Harris, J,: Principles of algebraic geometry, Wilev-Interseienee, New York, 1978.

[Groen] Groenewold, H,: On the Principles of elementary quantum mechanics, Phvsiea, 12 (1946), 405-460.

[GK] Gelfand, S,, Kazhdan, D,: Examples of tensor categories, Invent. Math., 109 (1992), 595-617.

[GN] Gervais, J.-L,, Neveu, A.: Novel triangle relation and absence of tachyons in Liouville string theory, Nuel. Phvs. B 238 (1984), 125-141.

[GS] Gurevieh, D. and Saponov, P.: Geometry of non-commutative orbits related to Hecke symmetries, Contemp. Math., 433 (2007), 209-250.

[GW] Goodman, R,, Wallaeh, N.: Symmetries, Representations, and Invariants, Grad. Texts, in Math, 255, Springer, New York, 2009,

[GZB] Gould, M,, Zhang, R,, Braken, A,: Generalized Gel'fand invariants and characteristic identities for quantum groups, J. Math. Phvs., 32 (1991), 2298-2303.

[He] Helgason, S,: Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, AMS 2001.

[Huml] Humphreys, J,: Representations of Semisimple Lie Algebras in the BGG Category O. Grad. Stud, in Math., AMS, Providence, RI, 94, 2008.

[Hum2] Humphreys, J.: Conjugaev classes in semi-simple algebraic groups, AMS, Prividenee, 1995.

[I] Isaev, A.:, Quantum groups and Yang-Baxter equation, arXiv:2206.08902.

[Janl] Jantzen, J.: Lectures on quantum groups, Grad. Stud, in Math., 6. AMS, Providence, RI, 1996.

[Jan2] Jantzen, J.: Kontravariante formen und Induzierten Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren, Math. Ann., 226 (1977) 53-65.

[K] Kostant, B,: On the tensor product of a finite and an infinite dimensional representation, J. of Func. Anal, 20 (1975), 257-285.

[Kon] Kontsevich, M,: Deformation Quantization of Poisson Manifolds, Lett, Math, Phvs,, 66 (2003), 157-216

[Kl] Kostant, B,: Lie group representations on polynomial rings, Amer, J, Math,, 85 (1963), 327-404.

[Ku] Kulish, P.: Quantum groups, q-oscillators, and covariant algebras, Theor. Math. Phvs., 94 # (1993), 137-141.

[KL] Kumar, Sh,, Letzter, G,: Shapovalov determinant for restricted and quantized restricted enveloping algebras, Pae, J, Math,, 179, #1, (1991), 123-161,

[Khor] Khoroshkin, S,: Extremal Projector and Dynamical Twist, Theor, Math, Phvs,, 139 #1 (2004), 582-597.

[Kolb] Kolb, S.-.Quantum symmetric Kac-Moody pairs, Adv. Math., 267 (2014), 395-469,

[KN] Khoroshkin, S,, Nazarov, M,: Mickelsson algebras and representations of Yangians, Trans. Amer. Math. Soe., 364 (2012), 1293-1367.

[KS] Kulish, P., Sasaki, R.: Covariance properties of reflection equation algebras, Prog. Theor. Phvs., 89 #3 (1993), 741-762.

[KSkl] Kulish, P., Sklvanin, E,: Algebraic structure related to the reflection equation, J. Phvs. A, 25 (1992), 5963-5975.

[KST] Karolinskv, E,, Stolin, A., Tarasov, V.: Irreducible highest weight modules and equivariant quantization, Adv. Math,, 211 (2007), 266-283,

[KMST] Karolinskv, E,, Muzvkin, E,, Stolin, A., Tarasov, V.: Dynamical Yang-Baxter equations, quasi-Poisson homogeneous spaces, and quantization, Lett, Math, Phvs,, 71 (2005), 179-197.

[KT] Khoroshkin, S,, and Tolstoy, V.: Extremarkal projector and universal R-matrix for quantized contragredient Lie (super)algebras. Quantum groups and related topics (Wroclaw, 1991), 23-32, Math. Phvs. Stud., 13, Kluwer Acad. Publ, Dordrecht, 1992.

[Kar] Karolinskii, E,: A classification of Poisson homogeneous spaces of complex reductive Poisson-Lie groups, In P, Urbanski J, Grabowski, editor, Poisson geometry, 51, 103-108, Banach Center, Warsaw, 2000,

[Kas] Kassel, C,: Quantum groups, Springer, NY 1995,

[K-Schw] Kosmann-Schwarzbach, Y, L: Exact Gerstenhaber algebras and Lie bialgebroids, Acta Appl, Math., 41 (1995), 153-165.

[Ke] Kebe, M.: O-algebre quantiques, C.R, Acal, Sci, Paris, 322, Serie I (1996), 1-4,

[KT1] Khoroshkin, S,, and Tolstoy, V,: Universal R-Matrix for Quantized (Super)Algebras, Commun. Math. Phvs., 141 (1991), 599-617.

[Let] Letzter, G,: Symmetric pairs for quantized enveloping algebras, J. Alg,, 220 #2 (1999), 729-767.

[Lu] Lu, J.-H.: Hopf algebroids and quantum groupoids, Int. J. Math., 7 (1996), 47-70.

[MaeL] Mae Lane, S,: Categories for the working mathematicians, Grad. Texts in Math., 5 (2nd ed,), Springer, 1998.

[Mj] Majid, S,, Foundations of quantum group theory, Cambridge University Press, 1995.

[MoBar] \loyal. J., Bartlett, M,: Quantum mechanics as a statistical theory, Math. Proe. of the Cambridge Phil. Soe., 45 #1, (1949).

[Mol] Molev, A.: Gelfand-Tsetlin bases for classical Lie algebras, in Handbook of algebra, 4, 109-170, Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2006.

[MXu] Mackenzie, K,, Xu, P.: Lie bialgebroids and Poisson groupoids, Duke Math. J., 73 (1994), 415-452.

[MFF] Malikov, F,, Feigin, B,, Fuchs, D,: Singular vectors in Verma modules over Kac-Moody algebras, Func. An. Appl., 20 #2 (1986), 103-113.

[N] Naimark, M,: Teoriva predstavlenii grupp. (Russian) [Representation theory of groups], Moscow, 1976.

[NM] Nagel, J., Moshinskv, M,: Operators that lower or raise the irreducible vector spaces of Un-1 contained in an irreducible vector space of Un, J. Math. Phvs., 6 (1965), 682-694.

[NS] Noumi, M. and Sugitani, T.: Quantum symmetric spaces and related q-orthogonal polynomials, Group Theoretical Methods in Physics (ICGTMP), World Sci. Publ., River Edge, NJ, (1995), 28-40.

[Dij] Dijkhuizen, M,: Some remarks on the construction of quantum symmetric spaces, Acta Appl. Math. 44, #1-2 (1996), 59-80.

[NDS] Noumi, M,, Dijkhuizen, M,, and Sugitani, T.: Multivariable Askey-Wilson polynomials and quantum complex Grassmannians, AMS Fields Inst. Commun., 4 (1997), 167-177.

[P] Procesi, C,: A formal inverse to the Cayley-Hamilton theorem. J. Alg., 107, 63-74 (1987).

[Pan] Panyushev, D,: The poset of positive roots and its relatives, J, Alg, Comb,, 23 (2006), 79-101.

[PS] Pvatov, P., Saponov, P.: Characteristic relations for quantum matrices, J. Phvs. A, 28 (1995), 4415-4421.

[PO] Ogievetskv, O. Pvatov, P.: Quantum matrix algebras of BMW type: Structure of the characteristic subalgebra, J. Geom. Phvs., 162 (2021), 104086.

[E] Richardson, R,: An application of the Serre conjecture to semi-simple algebraic groups, Lect. Notes in Math. 848 (1981), 141-151.

[RS] Reshetikhin, N. and Semenov-Tian-Shanskv, M,: Quantum R-matrices and factorization problem, J. Geom. Phvs., 5 (1988), 533-550.

[S] Serre, J.-P.: Faisceaux Algebriques Coherents, Ann. Math., 61 #2 (1955), 197-278.

[Ski] Sklvanin, E,: Boundary conditions for integrable quantum systems, J. Phvs. A, 21 (1988), 2375-2389

[Spr] Springer T.: (1986) Conjugaev classes in algebraic groups. In: Tuan HF. (eds) Group Theory, Beijing 1984. Lect. Notes in Math., 1185. Springer, Berlin, Heidelberg, https: //doi.org/10.1007/BFb0076175

[Sch] Sehiffmann, O,: On classification of dynamical r-matrices, Math. Res. Lett., 5 (1998), 13-30.

[Sh] Shapovalov, N. N.: On a bilinear form on the universal enveloping algebra of a complex semi-simple Lie algebra, Funk. Anal., 6 (1972), 65-70.

[St] Steinberg, R,: Regular elements of semi-simple algebraic groups, Publ. Math. IHES, 25 (1965), 49-80.

[Sw] Swan, R,: Vector Bundles and Projective Modules, Trans. Am. Math. Soe,, 105 #2 (1962), 264-277.

[STS] Semenov-Tian-Shanskv, M,: Poisson-Lie Groups, Quantum Duality Principle, and the Quantum Double, Contemp. Math., 175 (1994), 219-248.

[Vil] Vilenkin, N.: Special Functions and the Theory of Group Representations, AMS, 1978.

[VO] Vinberg, E. and Onishchik, A.: Seminar po gruppam Li i algebraicheskim gruppam. (Russian) [A seminar on Lie groups and algebraic groups], Moscow, 1988.

[T] Tolstoy, V.: Projection operator method for quantum groups, NATO Sci. Ser. II Math. Phvs. Chem., 30, 457-488, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2001.

[Ta] Takhtajan, L.,A.: Introduction to quantum groups, International Press Inc., Boston 1993. Leet. Notes in Phvs., 370 (1989), 3-28.

[Zh] Zhelobenko, D,,P,: Representations of reductive Lie algebras, Nauka, Moscow, 1994.

[Szl] Szlaehanvi, K,: Finite quantum groupoids and inclusions of finite type, Mathematical physics in mathematics and physics (Sienna, 2000), 393-407, in Fields Ins. Commun., 30, Amer. Math. Soe., Providence, RI, 2001.

[Xul] Xu, P.: Quantum groupoids, Commun. Math. Phvs., 216 (2001), 539-581.

[Xu2] Xu, P.: Quantum dynamical Yang-Baxter equation over a nonabelian base, Commun. Math. Phvs., 226 (2002), 475-495.

[We] Wevl, H,: The classical groups. Their invariants and representations, Princeton, New Jersey, 1966.