Оценка числа инвариантных эйнштейновых метрик на однородных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Граев, Михаил Маркович

• Граев, Михаил Маркович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Граев, Михаил Маркович

Введение

0.1. Исторические замечания

0.2. Основное соглашение и содержание работы 7 0.2.1. Однородное пространство G/H с однократным спектром представления изотропии

0.2.2. Содержание работы

0.3. Некоторые многогранники Ньютона Р

0.3.1. Симметрическое пространство M простой группы G 10 0.3.2. Компактное односвязное пространство M = G/H положительной эйлеровой характеристики

0.3.3. Флаговое пространство 10 0.3.4. Классификация систем Г-корней флаговых пространств (уточнение классификации из [1])

0.3.5. Простой многогранник 11 0.3.6. Классификация систем Т-корней Cl с простым многогранником Ньютона

P = P(iî).

0.3.7. Седьмой простой многогранник Р(Г2)

0.3.8. Шестиугольник 12 0.3.9. Нефлаговое р-симметрическое пространство внутреннего типа и его система S-корней

0.3.10. Грани конуса С(Р) и классы эквивалентных метрических графов

0.4. Благодарности

Глава 1.

Уравнение Эйнштейна для инвариантных метрик на однородном пространстве G/H и его сжатиях. Многогранник Ньютона

§ 1. Оценка числа инвариантных комплексных метрик Эйнштейна в G/H

1.1. Инвариантные римановы метрики в G/H

1.2. Инвариантные комплексные метрики в G/H 16 1.2.1. Дополнение

1.3. Число £{М)

1.4. Многогранник Ньютона и число Ньютона

1.5. Оценка £(М) ^ и{М)

1.6. Формула Гильберта - Йенсена и ее следствия

1.6.1. Аналог теоремы Гильберта ([8])

1.6.2. Многогранник Ньютона Р = Рм- Уравнение Эйнштейна как уравнение критических точек функции

§ 2. Описания многогранника Ньютона с помощью фильтраций алгебр Ли и с помощью тройного отношения

2.1. Фильтрации алгебры Ли и многогранник Ньютона

2.2. Порождение неустойчивых подпространств касательного пространства ростками киллинговых полей

2.3. Теорема двойственности для многогранника Ньютона Р

2.4. Многогранник Ньютона в случае полупростой группы G

2.5. Редукция к случаю компактной группы С (дополнение к

§2.4)

§ 3. Решения (1.2) как инвариантные метрики Эйнштейна в сжатиях однородного пространства

3.1. Сжатия алгебры Ли, группы Ли и однородного пространства

3.1.1. Сжатия алгебры Ли 0 посредством группы (Ж>о)с(

3.1.2. Сжатые однородные пространства М7 = С7/Нр и локальные сжатия

3.2. Интерпретация уравнений (1.2) с помощью сжатий Иненю-Вигнера

3.2.1. Общий случай

3.2.2. Случай однородного пространства полупростой группы Ли (

3.2.3. Случай однородного пространства С/Н класса а

3.3. Применение сжатий

3.3.1. Соответствие регулярных расщеплений прямым произведениям римановых пространств М" х М'р

3.3.2. Грань 7 = а И /

3.3.3. Теорема об эквивариантном отображении 7г

3.3.4. Число риччи-плоских сжатий

3.3.5. Замечания

Глава 2.

Доказательства основных теорем

§ 4. Доказательство формулы Гильберта - Йенсена

§ 5. Доказательство теоремы двойственности

5.1. Доказательство предложения 2.1. Описание конуса допустимых фильтраций алгебры Ли

5.2. Описание многочлена з(£)

5.3. Формула для коэффициентов з(£)

5.4. Исключительные подпространства

5.5. Сумма всех неустойчивых подпространств как разрешимая алгебра Ли

5.5.1. Разрешимая подалгебра О С

5.5.2. Вложение а : о/п —> 5о(ш)

5.5.3. Алгебраическое замыкание а(в) в алгебре 5о(т)

5.6. Доказательство теоремы 2.

§ 6. Сжатие эквивариантной римановой субмерсии. Доказательство теоремы 3.

6.1. Сжатия подалгебры, подгруппы и эквивариантной римановой субмерсии

6.1.1. Сжатие подалгебры I с я

6.1.2. Сжатие подгруппы К с (

6.1.3. Римановы метрики в

6.1.4. Сжатие римановой субмерсии

6.1.5. Разложение в риманово прямое произведение

6.2. Совместные сжатия тотального пространства и базы римановой субмерсии

6.2.1. Связь между двойственными конусами многогранников Ньютона Рм и

6.2.2. Совместные сжатия пространств М и тгМ

6.3. Доказательство теоремы 3.2 (окончание)

Глава 3.

Примеры и частные случаи

§ 7. Серии однородных пространств компактных простых групп Ли с простыми многогранниками Ньютона (добавление к

§ 1)

7.1. Примеры. Равенство и(М) = £(М) в сериях однородных пространств с фиксированным многогранником Ньютона

7.2. Примеры. Серия с простым многогранником Ньютона IB = I х Д

7.3. Примеры. Серия с простым многогранником Ньютона П = Д3 х

7.3.1. Серия однородных пространств

7.3.2. Формула для разности числа Ньютона и(М) и числа £{М) изолированных решений уравнения Эйнштейна

7.3.3. Проверка п.1) предложения 7.1 (случай 8м = 0)

7.3.4. Условия совместности систем (1.2), связанных с гранями □ и Д3 х I

7.3.5. Проверка п.1) предложения 7.1 (окончание)

7.3.6. Проверка пп.2) и 3) предложения 7.1 (точная формула для 5м)

7.3.7. Вычисление дефекта 5м = и(М) - £{М)

7.3.8. Частный случай М = SU4/T

§ 8. Флаговые пространства с системой Т-корней типа G

8.1. Инварианты де Зибенталя пространств М/<т

8.2. Трехмерные многогранники Р\2 и Р

§

8.3. Однородные пространства с трехмерными многогранниками Р\2 и P\q

8.4. Число Ньютона u(G2/T2)

8.5. Фасеты многогранника Ньютона Р = P(G2)

8.6. Неравенство для £{G2/T2) 79 Дополнение 1. О пяти особых флаговых пространствах М 80 Дополнение 2. Вычисление комплексных метрик Эйнштейна в М/а 81 Дополнение 3. Положительно определенные эйнштейновы метрики на М/а

§ 9. Грани многогранника Ньютона. Тройные отношения. Метрические графы

9.1. Конусы и многогранники, ассоциированные с тройными отношениями

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка числа инвариантных эйнштейновых метрик на однородных пространствах»

0.1. Исторические замечания. Начиная с открытия симметрических пространств Э.Картаном, изучение инвариантных метрик Эйнштейна играло заметную роль в геометрии и предваряло многие результаты для неоднородного случая (достаточно упомянуть открытие Дж.Вольфом, по существу, твисторного соответствия для однородного случая). При некоторых важных специальных предположениях теория построена. В частности, хорошо изучены компактные однородные многообразия Кэлера-Эйнштейна. Другой важный класс однородных пространств Эйнштейна составляют компактные односвязные изотропно неприводимые однородные пространства, классифицированные О.Мантуровым и позднее, независимо, Дж.Вольфом.

Известно, что кватернионно-кэлеровы пространства являются пространствами Эйнштейна. Все такие пространства, допускающие транзитивную редуктивную группу движений, являются неприводимыми односвязными симметрическими пространствами (т.н. пространствами Вольфа). Классифицированы несимметрические кватернионно-кэлеровы солвмногообразия (пространства Алексеевского). Они не имеют факторов конечного объема (Д.В.Алексеевский и В.Кортес, 1999).

Приведем отдельные результаты о множестве всех положительно определенных инвариантных метрик Эйнштейна на однородном пространстве С/Н, тесно связанные с темой данной работы. Гебер [16], работавший с левоинвариантными римановых метриками на односвязных разрешимых группах Ли (?, установил, что в пространстве модулей односвязных ТУ-мерных солвмногообразий Эйнштейна (СЛВМНЭ) модули стандартных СЛВМНЭ образуют открытое подмножество, состоящее из конечного числа компактных компонент, а каждая разрешимая группа С допускает не более одной левоинвариантной стандартной метрики Эйнштейна с точностью до изометрии и умножения на число В конце доказательства теоремы 6.9 он естественно перешел от пространства левоинвариантных метрик на группе (? к пространству операций Ли на алгебре Ли 9, воспользовавшись тем, что для любого х £ ОЬ(д) р ■ (0, ж"1 • [,]> Я) -»■ (д, И, я ■ <Э), У е в ■-»• хУ где ж1[,] = ж-1 [ж-, ж-] ж х ■ = х~иО) есть линейная изометрия и изоморфизм алгебр Ли, вследствие чего выполняются равенства типа з(д, х'1 ■ [,]., О) = з(0,.[,], х-О), где з — скалярная кривизна инвариантной метрики. Затем, в §6.4, перейдя к наиболее важному случаю группы <3 с факторгруппой С?) = М, он доказал, что существование метрики Эйнштейна в 6? эквивалентно существованию минимума евклидовой нормы на орбите О точки [•, •] е Нот(0 А 0, д) относительно некоторой алгебраической подгруппы группы Он заключил, что это условие эквивалентно замкнутости орбиты О. Таким образом, ему удалось соединить описание пространств модулей положительно определенных инвариантных метрик

1)в 2007 г. X. Лоре (1. Ьаиге1з, [17]) обнародовал доказательство стандартности всех солвмногообразий Эйнштейна. Если это действительно так, то результат Иенса Гебера является полным.

Эйнштейна с алгебраической теорией инвариантов (вещественной версией теоремы Кемпфа-Несс). Мы опустим его элегантный окончательный результат. Й.Гебер также прямо упоминает (во введении и в замечании 6.18 (с)) о сжатиях алгебры Ли 0 группы (3, соответствующих точкам р Е О \ О, и делает вывод, что точке р единственной замкнутой орбиты в О соответствует эйнштейнова алгебра Ли (возможно, абелева). Отметим, что сжатия алгебры Ли существенно используются в настоящей диссертации. Приведем одно необходимое условие замкнутости орбиты О, а значит (по теореме Гебера), существования положительно определенной инвариантной метрики Эйнштейна на С. Это условие можно получить с помощью многогранника Р, аналогичного многограннику Ньютона, рассмотренному в настоящей диссертации. Именно, требуется, чтобы некоторая точка ^ зависящая от С, находилась строго внутри Р в аффинной плоскости ай"(Р), натянутой на многогранник Р. Вершины многогранника Р содержатся в статье Йенса Гебера 2) в доказательстве теоремы 4.14 (хотя он и не переходит к их выпуклой оболочке), а j можно определить из разложения единицы в на две ортогональные составляющие: 1с1 = а^+сЪ а, с > 0), где Ь определяет эйнштейнову градуировку на д и, по теореме 4.14, пропорционален ортогональной проекции на некоторое подпространство. (Сам Гебер рассматривал составляющую Ь, которая у него обозначена через а,ё.(Ндо).) Точка j тесно связана с точкой т из §1 настоящей диссертации. ]

В 2004 г. К.Бём, М.Ван и В.Циллер опубликовали доказательство компактности пространства модулей положительно определенных инвариантных метрик Эйнштейна объема 1 в любом компактном однородном многообразии М = С/Н с конечной фундаментальной группой (см. [19]). Вместе с тем, они доказали, что подмножество (конечномерного риманова симметрического некомпактного) многообразия М^р всех инвариантных римановых метрик объема 1 на М, состоящее из решений алгебраического уравнения Эйнштейна, ограничено, а значит, не имеет алгебраических компонент, уходящих на бесконечность. Таким образом, оно состоит из конечного числа компонент, каждая из которых является компактной. Это привело их к гипотезе о конечности множества гомотетических классов положительно определенных инвариантных метрик Эйнштейна положительной скалярной кривизны на однородном пространстве М — С/Н с однократным спектром представления изотропии. Естественно сформулировать такую же гипотезу для комплексных решений алгебраического уравнения Эйнштейна.

Из результатов данной диссертации следует, что обе эти гипотезы справедливы, по крайней мере, при некоторых условиях типа общего положения для М, которые могут быть эффективно проверены. Эти условия тесно связаны с выбором то-рического многообразия, являющегося наиболее естественной компактификацией комплексифицированного пространства инвариантных метрик в однородном пространстве М = С/Н с простым спектром представления изотропии, что позволяет затем рассматривать предельные "комплексные решения уравнения Эйнштейна на

2^Уточнение и дальнейшее развитие имеются в препринте Ю.Николаевского [18] за июль 2007, теорема 1, с.2, замечание 2, с.6. бесконечности". В диссертации это формулируется в терминах сжатий Иненю-Вигнера алгебры Ли группы G и соответствующих сжатий однородного пространства G/H. Предельные решения являются риччи-плоскими комплексными решениями уравнения Эйнштейна на сжатом пространстве (рассматриваемыми с точностью до действия связной коммутативной группы преобразований этого пространства). Отметим, что некоторые из этих риччи-плоских сжатий пространства G/H, по существу, используют К.Вём, М.Ван и В.Циллер (в доказательстве теоремы 2.1); при этом их подход совершенно иной и термин "сжатие" (по крайней мере в этой их работе) не используется; более общие сжатия пространства G/H (по крайней мере в этой и связанной с ней более старой работе) они не используют, но более общие риччи-плоские сжатия и не могут появиться, пока работа ведется только с положительно определенными метриками.

Аппарат сжатий (и связанных с ними фильтраций алгебр Ли), использованный в данной диссертации, проясняет также, как мне кажется, "грубую картину" из §3 работы Бема, Вана и Циллера, в их предположениях (но сам по себе вряд ли добавляет к ней что-либо существенно новое). Эта картина описывает амебообразную область в многообразии М^ инвариантных метрик объема 1, за пределами которой метрики имеют отрицательную скалярную кривизну, в силу чего (поскольку G/H компактно) заведомо не являются эйнштейновыми. Мы будем называть эту область не амебой, а осьминогом из за отдаленного сходства этих животных и во избежание смешения с терминологией, принятой в торической геометрии. Тело этого осьминога представляет шар достаточно большого радиуса (в пространстве метрик), а щупальца (если они существуют) — некоторые конусы, заполненные геодезическими (в пространстве метрик), выпущенными из центра шара. Стремление к —оо скалярной кривизны инвариантной метрики на каждой геодезической, идущей из центра шара вне щупалец, и к +оо на некоторой геодезической внутри щупальца можно просто объяснить исходя из стремления скалярной кривизны соответственно к отрицательной и положительной конечным величинам при сжимании M = G/H в подходящее некомпактное однородное прост-ранстЬо (зависящее от выбора геодезической).

0.2. Основное соглашение и содержание работы.

0.2.1. Однородное пространство G/H с однократным спектром представления изотропии. Пусть (M,g), M=G/H, — связное риманово однородное пространство группы Ли G с компактной группой изотропии Н. Касательное пространство к M в точке xq — еН расщепляется на попарно ортогональные неприводимые iï-инвариантные подпространства: тхом = Q/b = n.(B.eu

Если это расщепление единственно, с точностью до порядка слагаемых, то M называется однородным пространством с однократным спектром цредставления изотропии. Далее через G/H обозначается только такое пространство М, например, компактное пространство M положительной эйлеровой характеристики, %(М) > 0. Всюду, кроме §0.3, предполагается, что dim(M) ^ 3, d ^ 2.

0.2.2. Содержание работы. Сформулируем утверждения для случая компактной полупростой группы G, хотя большинство утверждений в диссертации доказано при более слабом условии унимодулярности G.

В §1 однородному пространству M = G/H однозначно сопоставляется компактный выпуклый d— 1-мерный многогранник, называемый многогранником Ньютона (§ 1.3 и § 1.6.2). Отношение его объема к объему стандартного d—1-мерного симплекса называется целым числом Ньютона и обозначается через и(М).

Приведем примеры однородных пространств M с треугольником Ньютона А = {x G М3 : х\ + %2 + = — 1) ®1)Ж2,жз ^ —1} и числом Ньютона и(М) = 4.

ПРИМЕР 0.1. Многогранником Ньютона всех перечисленных ниже однородных пространств M является треугольник А. Его можно разбить на 4 элементарных треугольника с вершинами в целых точках, как показано на рисунке; поэтому v(M) — 4.

1) Пространство S03/(Z2)2 = SU2/Н, где H = {±1, ±г, ±j, ±к} — группа кватернионных единиц.

2) Пространства SU„/S(Um xUn2 xUra3), (щ ^ 1), Spn/Spni xSpn2 xSpn3, {щ ^ 1), SOn/SO ni x SOn2 x SOna, ((п1,П2) ф (1,1), (2,2);пз ^ 3), где n — n\ +Щ +

3) Флаговые пространства S02z/U/i x Ui и Eq/T2 ■ Spin8

4) Односвязные пространства Е^/Т1 А\А\А^ и Ej/Т1 A\A^i не допускающие инвариантной кэлеровой структуры.

Через £(М) обозначается число изолированных голоморфных инвариантных метрик Эйнштейна на соответствующем комплексном однородном пространстве Мс = Gc /Нс (рассматриваемых с точностью до гомотетии), называемых также комплексными метриками Эйнштейна в М. Из теорем А.Г.Кушниренко - Д.Н.Бернштейна о многогранниках Ньютона следует оценка £(М) ^ и(М) и эффективный критерий равенства £{М) — и(М); см. предложения 1.2 и 1.4.

Для всех пространств из пп.2,3,4 предыдущего примера выполняется £(М) = и(М) = 4 (§7.1). Для большинства факторов M простых компактных групп Ли G по их максимальным торам справедливо £(М) < и(М) (предложение 1.3). В примерах §1, §3, §7и§8 для некоторых из простых многогранников Р (§0.3.5, §0.3.6, §0.3.9) разобраны бесконечные серии однородных пространств с общим многогранником Ньютона Р, где для большинства объектов типично равенство £{М) = и(М), и появляются исключения с £{М) < и(М).

Приведем грубую оценку числа и(М), вытекающую из его определения в §1. Обозначим через П(x,d) выпуклый многогранник в с вершинами, получаемыми из точки с координатами \ (x—1, 0,., 0, — x— 1) любыми перестановками координат, и через u(x,d) — отношение (d — 1-мерного) объема П(ж,d) к объему стандартного симплекса П(1, d). Многогранник Ньютона однородного пространства M = G/H объемлется многогранником П(3,с£). Отсюда следует неравенство и(М) ^ v(3,d)-=-Pd-ï(3) < (3 + 2V2)d~1 < 6d-\ где Рп(х) — п-й многочлен Лежандра. Воспользовавшись производящей функцией для полиномов Лежандра, мы можем записать

ОО ОО 1 1/(3, d) W= £ rv^1 = 2 = ti Й Vl-6W + W*

1 + 3 w + 13 w2 + 63 w3 + 321 wA + 1683 w5 + 8989 w6 + 48639 w7 + О (w8) .

Основные результаты § 2 и § 3 состоят в следующем.

Предположим для простоты, что х(М) > 0, и пусть Р = Рм — многогранник Ньютона, ассоциированный с М. В §2 каждой точке двойственного конуса С(Р) многогранника Ньютона Р ставится в соответствие фильтрация алгебры Ли д. Соответствующая градуированная алгебра Ли может рассматриваться как сжатие Иненю-Вигнера алгебры д. Пользуясь этим, можно сопоставить каждой р-грани 7 многогранника Р некомпактное пространство М7 (сжатие пространства M — G/H). Оно является или настоящим однородным пространством М7 = G^/H, или его локальным аналогом, т.е. (д7, ^-пространством. Алгебра Ли д7 есть градуированная алгебра Ли, соответствующая общей точке двойственной к 7 грани 7* двойственного к Р конуса С(Р) (§3).

Вообще (при х(М) ^ 0), всякая точка дуального конуса С(Р) определяет фильтрацию некоторой алгебры Ли gp D g (теорема 2.1). Грани 7 сопоставляется сжатое однородное пространство М7 = G1/Hp (или его локальный аналог) с ассоциированным многогранником Ньютона 7,7 = Рмп ■

Существование риччи-плоской инвариантной комплексной метрики на сжатом некомпактном пространстве М7, для некоторой 0 ^ 7 ^ Р. приводит к появлению дефекта 5м = v{M) — £(М) > 0, и обратно (теорема 3.1).

ПРИМЕР 0.2. В случае пространства M — SU2[H из п.1) примера 0.1 мы имеем дд = SU-2- Пусть G& := SU2, Дд := Н. Сжатия группы Сд являются 3-мерными группами Ли. Чтобы описать их алгебры Ли, обозначим стороны треугольника А через а, /3, 7, и кватернионные единицы — через Ja — h Jp = 3-, = к. Алгебры Ли групп G a, Ga, Gar\j3 и G& имеют следующий вид:

1) 0д — полупростая алгебра Ли, [Ja, Jp] = 2J7, [J7, Ja] = 2Jp. [J^, J7] = 2Ja;

2) gQ — разрешимая алгебра Ли, [Ja, Jp\ = 2J7, [J7, Ja] = 2Jp, [Jp-, J7] = 0;

3) Banp — нильпотентная алгебра Ли, [Ja, Jp] = 2J7, [J7, Ja] = [Jp, J7] = 0; '

4) Q0 — коммутативная алгебра Ли, [Ja, Jp] = [J7, Ja] = [Jp, J7] = 0.

Выражения для Qp, g7 и т.д. получаются из предыдущих циклическими перестановками. Введем группы Ga ~ Gp ~ G7 ~ Ж2х02, где О2 = ТХН С SU2, Г1 = {e0Ja}, {eejP} или {eGJ^}, соответственно, a Ô2/(±l) = 02 = 0(К2). Сжатое однородное пространство, сопоставляемое любой стороне треугольника А, имеет вид R2XÔ2/-H"~M2X! SO2/7L<i. Оно допускает К2 хгОг-инвариантную евклидову метрику. Каждая сторона треугольника А дает положительный вклад в дефект 4 — 6(М) и, таким образом, £{М) = 1.

Сжатия применяются для доказательства следующей теоремы. Пусть задано G-эквивариантное отображение 7Г : M=G/H —*G/K со слоем F=K/H, H С К. Тогда при некоторых естественных условиях наличие дефекта 'u(F) — £{F) > 0 влечет v{M) > £(М); при и(ттМ) — £(пМ) > 0 имеется похожий результат (теорема 3.2).

Доказательства основных утверждений из § § 2 и 3 изложены отдельно в § § 5 и 6.

В §7 и §8 рассматриваются частные случаи. В §9 намечен подход к описанию граней многогранников Ньютона Р однородных пространств определенного в §2.4 класса а и более общих многогранников Р, заданных симметричными тройными отношениями. В §9.10 грани многогранника Ньютона однородного пространства SUn/Tn1 интерпретированы с помощью метрических графов (см. также п. 0.3.10).

0.3. Некоторые многогранники Ньютона Р. Ниже дается описание многогранников Р для некоторых классов компактных однородных пространств M=G/H.

0.3.1. Симметрическое пространство М простой группы G. Многогранник Р сводится к одной точке, d — 1, и мы положим по определению v(M) : = 1 (в других разделах, кроме введения, случай d = 1 не будет рассматриваться).

0.3.2. Компактное односвязное пространство М = G/H положительной эйлеровой характеристики. Пусть М = G/H ~ фактор компактной полупростой группы Ли G по подгруппе максимального ранга Н. Предположим, что многообразие М односвязно. Пусть A.q и А я С Ag ~~ системы корней групп G и Н относительно их общего максимального тора, Ам = Aq \ Д# - множество М-корней, т.е. корней из А о, не являющихся корнями Н. Обозначим через = ¿(Дм) образ Дм в (абелевой) факторгруппе Qm — Z Дс/Z Ая при естественной проекции г. Тогда d = Card(fi/(±1)),

С = С(Р) = {/ : Q М, /И = f(-u) > 0, f(a) + /(/3) > Д7) при а + (3 + у = 0} , т.е. С — конус всех четных неотрицательных функций на fl = {a>i, —cui,., uJd-, удовлетворяющих неравенству треугольника. Многогранник Ньютона имеет вид

Р = Р(П) = {х б R'd : (х, 1) = -1, (х, /) ^ 0, V/ € С}, (0.1) где (х, 1) := xi + . + xd и (х, /) := х\ f(ui) + . + xd f(ud).

0.3.3. Флаговое пространство. Флаговые пространства образуют важный класс пространств с однократным спектром представления изотропии.

Пусть М — G/H — флаговое пространство, т.е. факторпространство компактной полупростой группы Ли G по централизатору Н любого тора в G. Это эквивалентно тому, что группа Qq/h — (см. § 0.3:2) свободна от кручения.

Следуя [1], будем называть О, системой Т-корней флагового пространства М. Это — система характеров представления максимального центрального тора Тк группы Н в векторном пространстве QC/f)C. (Например, треугольник А из §0.1 равен А = Р(Г2), где £1 — классическая система корней ранга 2 типа А2.)

0.3.4. Классификация систем Т-корней флаговых пространств (уточнение классификации из [1]). Приведем классификацию с точностью до автоморфизмов группы Zk — Zfi систем Т-корней О всех флаговых пространств классических простых компактных групп Ли G.

1) классические системы корней типа А^С^ и неприведенные системы корней ВС^,

2) неполные системы корней следующих типов:

-Dfc; • • • ,Ck,j~i,Ck,j, ■ ■ ■ ,Ck, Bk, ■ ■ ■ ,BCk,j-i,BCk,j, ■ ■ ■ ,BCk, среди которых системы корней В^ — BCk,о И -Dfc = Cfc,0), где Xk,j-i получается из из Xkj исключением пары противоположных длинных корней; 1 < j ^ к. Каждой из этих систем, кроме Dk, к > 3, отвечают бесконечные серии пространств М с общим многогранником Ньютона Р = P(ii), приведенных в таблице 1 (для доказательства

Таблица 1. Системы Г-корней О флаговых пространств классических простых компактных групп Ли С тип G тип Í2 d пространство неравенства

Ai Ak k(k + l)/2 SUm/UA+1 nSU i+1 i=k +1^2, n=/ +1

Ci 2) ck BCk k2 k2+k £>Pz/UA+1 Sp¡/UA+1 x SpTO 1, n—l t=k~£l, n=l — m^l-l,

Di (/>4) Ck,i2 BCk¿2 k2 -k + t2 k2 + £2 so2l/uA+1 S02Z/Ua+1 x SO2™ n=l £=k^l, n=l-m^.l-2,

Bi (l > 3) BCK¿2 k2 + e 2 S02Hi/Ua+1 x S02m+i l—k^l, n—l—m^l,

Примечание. Здесь к — ранг системы Т-корней, d — число неприводимых компонент представления изотропии, Ai + 1 ^ • • ■ ^ + 1 — любое разбиение длины £ веса п, UA+! = UAl+i х ■ • • xUA(+1. i-2 = \г : \г > 0| — высота 2-го столбца диаграммы Юнга, соответствующей разбиению А + 1. этого см., например, [1]). Между перечисленными системами Т-корней существует несколько изоморфизмов, в том числе А\ ~ В\ с± Ci, А2 Сгд.

0.3.5. Простой многогранник. Напомним, что любой компактный выпуклый многогранник Р в Ж k называется простым многогранником, если нормальные конусы к Р во всех точках на границе Р являются симплициальными конусами. Это эквивалентно условию, что в каждой его вершине сходится в точности dim(P) ребер.

Очевидно, P(Í2) является простым многогранником, если и только если все собственные грани конуса С являются симплициальными конусами.

0.3.6. Классификация систем Т-корней Í2 с простым многогранником Ньютона Р = P(ßl). Ниже приводится классификация систем Т-корней Q всех флаговых G-пространств, где G — любая простая компактная группа Ли, для которых Р(Г2) является простым многогранником.

ТЕОРЕМА 0.1. Многогранник Р = -Р(О) является простым только для следующих систем Т-корней Í2 (для каждой из этих систем Í2 указаны соответствующий многогранник Р = P(ß) и его число Ньютона и = v(P(£íj)):

1) Ai ; тогда Р — точка и и: = 1;

2) ВС\; тогда Р — отрезок и v = 2;

3) А2 ; тогда Р — треугольник и и = 4;

4) В2 = С2; тогда Р — S-мерная призма с треугольным основанием и v = 12;

5) A3; тогда Р = Д3ХД2 — прямое произведение тетраэдра на треугольник и и = 80;

6) система точек на прямой Í2 = {±1, ±2, ±3} С Z1; тогда Р — трапеция и и = 6. Если рассматривать флаговые пространства произвольных полупростых компактных групп Ли, то к этому списку добавляются только системы Т-корней типов поАх е mBCi © п2А2 (и = 2п1+2п2).

Случаи 3),4),5) этой классификации обсуждаются в § § 1.4, 3.2.3, 3.3.4, 3.3.5 и 7.1-7.3.

Приведем многогранники Ньютона других (не флаговых) однородных пространств. .

0.3.7. Седьмой простой многогранник Р{£1). "Пространства Гессе" Е%/{А2)а и ЭИз//, где J — конечная группа Жордана (расширение 232 посредством Zз), связаны с конфигурацией Гессе в СР2, образованной точками третьего порядка на кубике и двенадцатью прямыми, и группой Гессе ЯХгОВз) X Р32. Их многогранники Ньютона Р совпадают. Для пространства М = ^/(У^)4 выполняются условия §0.3.2, отсюда следует, что Р = ¡Г2 = ¿(Дм) = И?з2 \ 0, где Ез — поле из 3 элементов. В этом случае Р = Р(&) является 3-мерным простым многогранником (усеченный тетраэдр, архимедово тело, и = 23), £{Е%/(^Ь)4) = 23 (см. §7.1), £(Зи3//) = 19 (см. §3.3).

0.3.8. Шестиугольник. Следующий шестиугольник Р = Р(П) определяется формулой (0.1), где Г2 = Ъ7\0 (<1 = 3). Из предложений 1.2 и 1.4 без вычислений следует (§7.1), что £(М) = р{М) = 10 для каждого однородного пространства М=С/Н полупростой группы С с многоугольником Ньютона Р. Укажем такие пространства М :

Зи7п/Б((ип)7)Ф7(п > 1), $р7гг/(Брп)7 Ф7 (п ^ 1), 807п/(80п) 7ф7(п > 3), $07/(ъ 2)6ф7, где V7 — группа диэдра, а (йг)6 = 807 П {diag(±l,., ±1)}.

Как показывает вычисление, все 10 попарно негомотетичных метрик Эйнштейна в М = 8р7/(8р1) 7-Т>7 вещественны, и 7 из них положительно определены.

Аналогично строятся пространства М с многогранником Ньютона Р = Р{£1) для П = Хр \ 0, где р — натуральное число.

Исходя из серии флаговых пространств с системой Т-корней построим серию нефлаговых однородных пространств с фиксированным многогранником Ньютона.

0.3.9. Нефлаговое р-симметрическое пространство внутреннего типа и его система Б-корней. Рассмотрим односвязное факторпространство М = (7/Н компактной полупростои группы Ли и без центр^по~*Тцентрализат6р^. элемента конечного порядка р = 2,3,4,., т.е. р-симметрическое пространство внутреннего типа. Предположим, что М не является флаговым пространством. Можно показать, что такие (и только такие) пространства М получаются из флаговых пространств М = (?/Н следующей конструкцией. Пусть П — система Т-корней пространства М и ц е £1 — вершина выпуклой оболочки системы ГI. Определим односвязное однородное пространство М = С/Н, где Н с Н, естественным образом, формулой фд^ = Ъ и>о, и предположим, что — группа с кручением. При этих условиях назовем О, := г(Д^) системой ^-корней пространства М. Системы ¿/-корней О однородных пространств классических простых групп сводятся к системам ВСк+1,]+1 (шо — двукратный корень системы ВСк+гл+г)- Им отвечают серии однородных пространств М с многогранниками Ньютона Р = Р(£1) (таблица 2).

Отметим, что Р(5Сг) является простым трехмерным многогранником (призма с треугольным основанием, и — 12, в этом случае £(М) = 12, см. §8.3).

Наметим одно комбинаторное определение граней у многогранника Ньютона Р — Р(£2), где Г2 — система Т-корней из п. 0.3.4. Мы ограничимся случаями, когда 7 не

ТАБЛИЦА 2. Системы Я-корней О нефлаговых р-симметрических пространств внутреннего типа классических простых компактных групп Ли С (обозначения см. в таблице 1) тип тип Г2 <2 пространство неравенства

Сх (1 > 2) ВСк+1 (к + I)2 х их+1 х врт п~1 — т—т', т'^т^ 1

А (1 > 4) ВСк+1>е2+1 (к + 1)2-к + е2 3021/302т/ х их+1 х 502т £=к^ 0, п=1-~т—т', ш'^т^ 2

В, (1 > 3) ВСк+1,е2+г (к + I)2 — к + £2 3021+1/3<Э2т, х их+1 х 502т+1 £=к^0, п=1—т~т пересекает стандартный симплекс Б С Р, т.е. опишем грани двойственного конуса С = С(Р(Г2)), не лежащие в координатных гиперплоскостях пространства Мс1.

0.3.10. Грани конуса С(Р) и классы эквивалентных метрических графов. Имеется связь между гранями многогранника Р(П) и классами эквивалентных метрических графов. Мы будем подразумевать под метрическим графом простой неориентированный граф Е, снабженный метрикой р (заданной положительными длинами всех ребер) такой, что каждое ребро е £ Е является единственным кратчайшим путем в (Е, р) между своими концами. Два метрических графа (Е, р) и (Е',р') с равными подстилающими графами, £ = Е', и одним и тем же множеством кратчайших путей называются эквивалентными. Положим Тп = {связные метрические графы (Е,р) с вершинами 1 ,.,п}, = {(£, р) Е Тп : (£, р) сохраняется при отображении г ь-► n+l—i и граф Е свободен от ребер е = {¿, п+1—г}, 1 ^ г ^ [§]~~ з}- Существует естественная биекция между Тп и конусом всех метрик на множестве {1,., п}. Пользуясь этим, нетрудно доказать следующее.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Пусть С = {/ е : (/, х) < 0 для всех х е Р} - двойственный конус многогранника Р = Р(П), и пусть Сх = С П (К Тогда С С (К >0)^;

Сх = Гк+ъГ2к,з, Т2к+1Л при Гг = Ак, Ск,з , ВСк,э соответственно (0 ^'^к)^ и грани с конуса С, сИт.(с)^с£; пересекающие Сх, совпадают с замыканиями классов эквивалентных метрических графов (£,р) £ Сх.

ЗАМЕЧАНИЕ 0.1. Возможно, интерпретация граней с помощью метрических графов представляет интерес в связи с недавними успехами в тропической геометрии (работы Г.Е.Михалкина и других авторов).

Использованные выше связные графы Е естественно отождествляются с любыми подмножествами в П/(±1), порождающими Ъ к = 2Г2.

ПРИМЕР 0.3. В таблице 3 мы сопоставляем бесконечные серии .А^к

2) связных аффинных схем Дынкина, за исключением некоторым расширенным базисам П в системах Ак, , ВСк0 < 3 ^ к < оо, и интерпретируем базисы П как графы.

Введение

14

Таблица 3. Некоторые расширенные П-системы в системах Т-корней Г2

Мы сопоставляем каждой системе с ъ1 из 0.3.4 расширенный базис ее простых корней П = {а>1,. ,0^+1} с Г2, и приводим примеры с I — 5. О графе Е см. 0.3.10. тип Q п аффинная схема Дынкина для П простой граф £

Ai £;+1 — £1 £1 - £2 £1 — £г+1 (У>< = 0) А«'" 1 ° 1 О-О-О-О—о / + 1-ЦИКЛ

Di 1 ^ 4 -£l - £2 £l - £2 £г-1'— £1 £1-1 +£l О о Ы» \ </ г/ Ч о о X X • • • • • 21 вершин, 2/+2 ребер.

Ci,i —£l - £2 £l - £2 £1-1 — £l 2£l О Ая-1 ^о—о—о<г=о о X 1 • — • • 21 вершин, 21-\-1 ребер.

2 ^ 3 ^ 1 -2ei £1 - £2 £1-1'— £l 2e« сг(1) 0=^0—О-0—0^=0 • —•—•—•— • 1 1 2 ¿-цикл

Bi £1 - £2 £1 - £2 £1-1- £1 £l о о/ X > 2/+1 вершин, 2/+2 ребер.

BCij £1 - £2 £1-1 - £l £/ А™ о^о-о-о-о^о 1 > •—•—•—•—• 2/+1-ЦИКЛ

0.4. Благодарности.

Выражаю глубокую благодарность моему учителю Д. В. Алексеевскому, которому обязан, в частности, многими полезными и воодушевляющими беседами по теме диссертации.

Мне приятно поблагодарить В. А. Голубеву и своего научного руководителя А. В. Чернавского за внимание и поддержку в моей работе и за предоставление важной информации.

Я также признателен А. Г. Хованскому за полезные консультации и замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Граев, Михаил Маркович, 2007 год

1. Д.В.Алексеевский, А.М.Переломов. Инвариантные метрики Кэлера-Эйнштейна на компактных однородных пространствах. — Функциональный Анализ и его прил. 20 (1986), вып. 3. 1-16.

2. А.Л.Бессе. Многообразия Эйнштейна. В 2-х томах. М:Мир.1990.

3. Ф.Гриффите,Дж.Харрис. Принципы алгебраической геометрии.Т.2.М.:Мир.1982

4. В.И.Арнольд, А.Н.Варченко, С.М.Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. М.:Наука.1982.

5. Д.Н.Бернштейн. Число корней системы уравнений. — Функциональный Анализ и его прил. 9 (1975), вып. 3. 1-4.

6. A.G.Kouchnirenko, Polyèdres de Newton et nombres de Milnor. Invent. Math., 32 (1976) No.l, 1-31.

7. А.Г.Кушниренко. Многогранники Ньютона и теорема Везу. — Функциональный Анализ и его прил. 10 (1976), вып. 3. 82-83

8. G.R.Jensen. The scalar curvature of left invariant Riemannian metrics. Indiana Univ. Math. J. 20 (1971) 1125-1143.

9. M.Kimura. Homogeneous Einstein metrics on certain Kâhler C-spaces. Advanced Studies in Pure Math. 18-1, 1990. Recent topics in Differential and Analytic Geom. Pp.303-320.

10. Ш.Кобаяси, К.Номидзу. Основы дифференциальной геометрии, тт. 1 и 2. М.:"Наука". 1981.

11. С. Bohm-M. Kerr: Low dimensional homogenous Einstein manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 358(4) (2006) 1455-1468.

12. А.Л.Онищик. Отношения включения между транзитивными компактными группами преобразований. Тр. Моск. мат. об-ва, 1962, 11, 199-242.

13. В.И.Данилов. Геометрияторическихмногообразий. УМН 33(1978), вып.2, 85-135.

14. В.Г.Кац. Бесконечномерные алгебры Ли. М.:Мир.1993.

15. J.Heber. Noncompact homogeneous Einstein spaces. Invent.math. 133,279-352 (1998)

16. J.Lauret. Einstein solvmanifolds are standard. arXiv:math/0703472yl.(MapT 2007).

17. Y.Nikolayevsky. Einstein solvmanifolds with a simple Einstein derivation. Preprint arXiv:math/0707.4595 (июль 2007).

18. С. Bôhm, M. Wang, W. Ziller. A variational approach for compact homogeneous Einstein manifolds. Geom. Funct. Anal. 14 (2004), 681-733.Работы автора по теме диссертации

19. M.M.Граев. Число инвариантных метрик Эйнштейна в однородном пространстве, многогранник Ньютона и сжатия алгебры Ли. — Известия АН, сер.матем., т.72, номер 2, 2007, с.29-88.

20. M.M.Graev. On the number of invariant Einstein metrics on a compact homogeneous space, Newton polytopes and contractions of Lie algebras. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. Vol. 3, Nos. 5 & 6 (2006) 1047-1075