Алгебраическая разработка геометрии вещественных грассмановых многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Козлов, Сергей Емельянович

• Козлов, Сергей Емельянович
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Козлов, Сергей Емельянович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Евклидова геометрия внешней алгебры.

§1. Евклидова структура на внешней алгебре

§2. Операция внутреннего умножения.

§3. Ранговые пространства поливекторов.

§4. Оператор Ходжа.

§5. Аналитическое описание конуса простых р-векторов.

§6. Специальные разложения пространства Лг(М4) и его элементов.

§7. Ортогональные разложения бивекторов.

§8. Бивекторы как кососимметрические операторы

§9. Тассующий оператор специальной градуировки алгебры Л(ЕП).

ГЛАВА II. Плюккеровы вложения и инвариантные римановы метрики на многообразиях Грассмана

§10. Три модели вещественных грассмановых многообразий G+n

§11. Инвариантные метрики на грассмановых многообразиях.

ГЛАВА III. Экспоненциальное отображение грассманова многообразия в плюккеровой модели и его свойства.

§12. Каноническое представление касательного вектора X € TwGp^n.

§13. Стационарные углы между плоскостями многообразий GPiU и Gpn

§14. Замкнутые геодезические и радиус инъективности в многообразиях

Gin и Gp,n.

§15. Плоское, вполне геодезическое подмногообразие, содержащее данную геодезическую

§16. Замыкания геодезических

ГЛАВА IV. Группы изометрий грассманианов.

§17. Ортогональное представление группы 0(ЕП) во внешней алгебре А(МП).

§18. Вполне геодезическое подмногообразие, построенное по паре си е G+n, С TwG+n.

§19. Группа /0(С^П) собственных изометрий риманова многообразия

§20. Некоторые внешние свойства плюккерова вложения.

§21. Повороты грассманиана вокруг геодезической.

ГЛАВА V. Кривизна в многообразиях Грассмана.

§22. Преобразование кривизны в грассманиане С?^4.Ю

§23. Преобразование кривизны в стандартном базисе пространства

ТшС+п.

§24. Двумерные направления экстремальных секционных кривизн.

ГЛАВА VI. Сопряженные точки на вещественных грассманианах.

§25. Сопряженные точки и точки раздела вдоль произвольной геодезической

§26. Множество раздела Сш многообразия

§27. Множество раздела в касательном пространстве многообразия

§28. Множества раздела на произведении римановых многообразий.

ГЛАВА VII. Стационарные значения секционной кривизны в грассманианах бивекторов.

§29. Внешняя кривизна многообразия в единичной сфере

5 С А2(Кп).

§30. Условия экстремальности двумерного направления.

§31. Стационарные значения кривизны и экстремальные направления а при ш(о-) = 4, 3.

§32. Стационарные значения кривизны и экстремальные направления сг при т(а) = 2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Алгебраическая разработка геометрии вещественных грассмановых многообразий»

Грассманово многообразие (7Р;П определяется как множество всех неориентированных р-мерных подпространств в Г (0 < р < п), естественным образом снабженное гладкой структурой (см. [47], с.174). Грассманианы Ср,п оказываются однородными пространствами

Преобразование д Е 0(Кп) переводит Мр в новое положение, а преобразование /11 € 0(Мр) С 0(КП) переводит подпространство Ер в себя, и к2 <Е 0(Кп~р) С 0(КП) переводит в себя ортогональное дополнение Мп~р к подпространству Кр. Аналогично для грассмановых многообразий ориентированных р-мерных подпространств ИУ в Еп

С+п = 0(КП)/50(ЕР) х = х (2) аннулирующее ориентацию подпространства является двулистным накрытием. Многообразия Со,п> состоят из двух точек, а многообразия Со,п, £?п>п одноточечны. При р = 1, п — 1 грассманианы диффеоморфны сферам Б4-1, а многообразия Ср<п —- вещественным проективным пространствам Ш.Рп~1. Размерность многообразий Срп и равна р(п — р).

Аналогично можно определить комплексные и кватернионные многообразия Грас-смана СОр>п и ШОр<п (см. [47]), заменяя Кп на Сп и ЕР ( Н — тело кватернионов).

Грассмановы многообразия играют центральную роль в построении теории характеристических классов (Милнор, Сташеф [38]). Это объясняется возможностью

Ср)П = 0(КП)/0(КР) X 0(Кп-р).

1)

3) построения над ними тавтологического расслоения: слоем над точкой со € СР)П является само оо, рассматриваемое как р-мерное пространство. Такое расслоение является универсальным в том смысле, что содержит в качестве подрасслоения любое векторное расслоение над паракомпактной базой. Обратим внимание на три обстоятельства, поясняющие интерес к дифференциальной геометрии многообразий Грассмана. Во-первых, р-мерные подпространства Ер С Е" являются естественными объектами изучения многомерной аналитической геометрии в Еп. Во-вторых, они используются во внешней геометрии при построении гауссовых (сферических) отображений поверхностей в качестве аналога сферы для поверхностей с большей чем единица коразмерностью (см.[83]). В-третьих, многообразия Грассмана являются одними из неприводимых (кроме (?2,4 и компактных симметрических пространств (см. [61], [57]) и обладают следующим свойством универсальности: все компактные симметрические пространства допускают вполне геодезическое вложение в грассманово многообразие достаточно большой размерности (см. [63]). В частности, в [66] построены вещественные модели комплексных С(3Р)П и кватерни-онных ИСР,П многообразий Грассмана.

Топология многообразий Грассмана достаточно хорошо изучена. Они компактны и связны (кроме = = 5° ) [47]. Многообразия (р,п) ф (1,2) ОДНОСВЯЗНЫ, 7Г1 (б?р,п) = Ъ2 (р ф 0, п, (р,п) Ф (1,2)), 71-1^1,2) = тг^б?^) = Ъ. О старших гомотопических группах см. [56]. Многообразие ориентируемо, а @р,п (р Ф 0, п) ориентируемо тогда и только тогда, когда п четно [47]. На многообразиях Грассмана существует стандартное клеточное разбиение Шуберта (см., напр., [38], [58]), с помощью которого вычисляются гомологии и когомологии этих многообразий (см. [38], [56], [58]).

Многообразия Грассмана, как один из классов римановых симметрических пространств, изучались Э.Картаном еще в 20-30 г.г. Алгебра Ли о (К") группы 0(КП) образована кососимметрическими операторами в Еп. Метрика пропорциональная метрике Киллинга на алгебре о(Мп), индуцирует на многообразиях б и (см.(1), (2)) инвариантную риманову метрику, которую мы будем 5

4) называть стандартной. При этом, грассманианы G, G+ приобретают структуру глобальных римановых симметрических пространств (см. [62], [18]), а накрытие (3) становится изометрическим. Ранг г0 грассманианов GPtn, G™ п, как симметрических пространств, равен min{p,п—р}, а их секционные кривизны неотрицательны.

Систематическое описание геометрии многообразий Грассмана начинается в 60-х г. с основополагающих работ Лейхтвейса [76] и Вонга [88-90]. В них элемент грассманиана рассматривается как неориентированная плоскость промежуточной размерности в объемлющем евклидовом пространстве. Аналогичный подход ранее был намечен в работах [87], [77], [7]. Лейхтвейс в [76] приводит выражение для формы ds2 инвариантной метрики грассманиана в некоторой локальной системе координат и доказывает ее единственность (с точностью до постоянного множителя) для всех грассманианов Gp>n, кроме G2,4. Для многообразия G2,4 дана явная локальная формула для двухпараметрического семейства 5'0(4)-инвариантных метрик. Далее на многообразиях Gp п мы будем рассматривать 0(п)-инвариантную стандартную риманову метрику, индуцированную скалярным произведением (4). В [76] доказано, что многообразие GPtU эйнштейново с кривизной Риччи п — 2. Соответственно скалярная кривизна постоянна и равна (п — 2)р(п — р). В работах [89], [91], [4] средствами линейной алгебры показано, что секционные кривизны грассманианов не превосходят 2.

Взаимное расположение двух р-мерных неориентированных плоскостей в 1" с точностью до движения определяется набором из р так называемых стационарных углов между ними. Это понятие было впервые введено К.Жорданом в "Очерке геометрии п измерений" [74]. Известны различные способы введения таких углов (см. [46], [17]). Для определения набора стационарных углов мы воспользуемся их характеристическим свойством, сформулированным в [17], 1.1: в двух р-мерных подпространствах и>,ш С Rn существуют ортонормированные базисы {ег}, {ёг} 1 < г < р и набор вещественных чисел fit £ [0, такие, что ei,ii) = cos ßiSij. (5)

Числа {ßi} называются стационарными углами между р-плоскостями ыиш. Набор i} не зависит от выбора базисов {е^}, {ёг}. Как показал Вонг [88] расстояние 6 между элементами ш,ш € индуцированное стандартной римановой метрикой в грассманиане находятся по формуле

На основании (6) вычислены радиус инъективности г = | и диаметр V = л/го| (го = min(р,п — р)) этого многообразия. Любая геодезическая 7, с точностью до изомет-рии в Gp>n, однозначно определяется отношением fii : ■■■ : /Зр стационарных углов между двумя достаточно близкими ее точками. Оказывается, что замыкание Clos 7 является плоским вполне геодезическим тором (см. [88]). Его размерность равна рангу конечно порожденной набором . , /Зр) абелевой группы. В работе [89] описаны вполне геодезические двумерные подмногообразия, образованные геодезическими, касающимися площадок а с минимальной Ка = 0 и максимальной Ка = 2 секционными кривизнами грассманиана Gp%n при го > 2. Если ранг го симметрического пространства GPtU равен 1 (р = 1, n — 1), то оно изометрично единичной сфере и все его секционные кривизны единичны. В работе [90] дано описание множества раздела грассманиана GPiH через соотношения между размерностями пересечений плоскостей.

Многообразия Грассмана аналитически вкладываются в RN, N = с помощью плюккеровых координат (см. [47], [45]). Если в качестве евклидова пространства выбрать подпространство Ap(Rn) р-векторов во внешней алгебре Л(КП), то это отображение приобретает наглядную геометрическую интерпретацию. Каждому ориентированному подпространству Шр С Rn взаимно однозначно сопоставляется простой единичный р-вектор и = е\ Л . А ер, где {ег}[1 — ортонорми-рованный, положительно ориентированный базис в Rp. Отображение Р : Кр н» си называется плюккеровым вложением. По определению P{Gprt) С SN~l. Подпространствам Кр с разной ориентацией соответствует пара ±а>, поэтому, фак-торизуя сферу по диаметрально противоположным точкам, получаем вложение Р '■ GPjn 1—> RPN~l. Каноническое отображение Р позволяет отождествить ориентированные подпространства Rp с их образами си, а подпространства без ориентации с парами (±w). При этом накрытие (3) описывается равенством а (со) — (±ш). v

6) г=1

Легко убедиться в том, что риманова метрика, индуцированная плюккеровым вложением, совпадает со стандартной. Грассманово многообразие как подмногообразие сферы минимально [80]. При помощи плюккеровых координат в [59] доказано, что многообразие (?2,4 диффеоморфно произведению 52 х 52.

Грассманиан (?+„ С Лр(Еп) является основным объектом изучения в теории калибровок, каждая из которых задает класс глобально-минимальных подмногообразий в К". Эта тематика берет начало с работ Харви-Лоусона (см. [71], [72]). Калибровкой степени р называется линейный функционал у в пространстве р-форм ЛР(ЕП) с тах = 1 по всем единичным простым р-векторам со. Гранью калибровки называется подмножество С(^) ={ш6 п | = 1}. Поверхности, грассманов образ (см. ниже) которых лежит в одной грани, глобально минимальны в своем гомологическом классе (см. [71]). Классификация граней проведена для пар (р,п) при п < 8 и для всех калибровок второй степени (см. [70], [67], [79]). Кроме того, изучались классы глобально-минимальных поверхностей, заданных некоторыми специальными калибровками (см. [78]). Все грани калибровок второй степени диффеоморфны комплексным проективным пространствам СРт и вполне геодезически расположены в соответствующих грассманианах (см. [79]).

Грассманов образ подмногообразия Мр С К" является естественным обобщением гауссова сферического отображения поверхности М2 С К3. Каждой точке поверхности х € Мр сопоставим ее ориентированное касательное пространство ТХМР, которое отождествляется со своим плюккеровым образом Р(ТХМР) = со £ С Ар (Кп). Построенное отображение д:Мр-> С+п С ЛР(МП) (7) называется гауссовым (сферическим) отображением поверхности Мр (см. [83]). Если поверхность не ориентирована, то рассматривают отображение д — а о д : х ^ ТхМр = {±ш} С Ср>п (см. [83], [5]). Множество д{Мр) (д(Мр)) называется грассмановым образом подмногообразия Мр. Для вопросов локального характера можно не различать отображения д и д. Гауссово отображение самого грассма-ниана как подмножества евклидова пространства Лр(Еп) гомотетично [81], гармонично [85] и имеет постоянную длину второй квадратичной формы [64]. 8

В работе [82] Обатой построены гауссовы отображения для подмногообразий Мр в сфере Sn и пространстве Лобачевского Нп. Каждой точке х € Мр сопоставляется вполне геодезическое подмногообразие ехрХ(ТХМР) объемлющего пространства. Совокупность р-мерных вполне геодезических подмногообразий в Sn, Нп наделяется структурой римановых однородных пространств. Для формы метрики ds2 (возможно вырожденной), индуцированной на поверхности Мр Cl" = Rn, Sn, Нп гауссовым отображением, справедлива формула Обаты [82] ds2g = р(Н, В) - Rie + е(р - 1) ds2, (8) где В — вторая форма, Rie — форма Риччи, ds2 - форма метрики и H — вектор средней кривизны подмногообразия Мр, a s = 0, ±1 есть кривизна пространства Еп. Формула (8) является обобщением классической теоремы Эннепера (см. [3]).

Многообразие Грассмана G^ п допускает кэлерову структуру. В работах [64], [65] построены диффеоморфизмы грассманиана G2 п на комплексную квадрику в проективном пространстве СР"-1, которая в однородных координатах определена формулой

Qn-2 = {(21, • • • , U G СРп~1 =

При помощи этого диффеоморфизма кэлерова структура на квадрике Qn-2 С Qpn-1 переносится на грассманиан G^ п- В метрике Фубини-Штуди на комплексных проективных пространствах (см. [60]) идентификация

G+4 = Q2=CP1xCP1 = 52(-^)X52(-^) (9) становится изометрией. Наличие кэлеровой структуры на грассманиане п дает мощные средства исследования двумерных минимальных поверхностей в евклидовых пространствах.

Цель данной работы состоит в систематическом изложении геометрии вещественных многообразий Грассмана G^n на основе их плюккеровых вложений во внешнюю алгебру Л(КП). При этом плюккерово вложение выступает не как объект (см., напр., [81], [85], [64]), а как метод изучения геометрии многообразий 9

Грассмана. Риманова метрика, индуцированная на грассманианах такими вложениями совпадает со стандартной О (Rn)-инвариантной метрикой. Мы отождествляем грассманиан с его плюккеровым образом и рассматриваем многообразие С Лр(Мп) с A(Rn) как многомерную поверхность с большой коразмерностью в 2п-мерном евклидовом пространстве Л(МП). Отметим, что различные конструкции, возникающие при изучении множества G+ С АР(КП) выходят за пределы подпространства р-векторов Ap(Rn), чем и объясняется выбор всей алгебры A(Rn) в качестве объемлющего евклидова пространства.

Всякий изоморфизм А евклидова пространства Rn однозначно распространяется до автоморфизма алгебры Л(МП), действующего на простых р-векторах по правилу

А(еi Л • • ■ Л ер) = Аег Л • • • Л Аер. (10)

Формулы (10) и определение скалярного произведения на внешней алгебре индуцируют ортогональное представление

Ф : 0(Rn) 0(Л(Кп)) (11) группы 0(Rn) на векторном пространстве A(Rn). В силу (10), (11) группа 0(КП) эквивариантно и транзитивно действует изометриями на подмногообразии G+n С Ap(Rn). Поэтому естественно возникает представление

Ф+ : 0(R») I(G+n), (12) где I(G+) означает группу изометрий грассманиана Gp n. Тем самым многообразие G+n наделяется структурой риманова однородного пространства.

Рассмотрим элемент lo G Симметрия зш относительно плоскости ш индуцирует инволютивную изометрию Ф+ (sw) риманова однородного пространства превращающую это многообразие в риманово симметрическое пространство. Такой подход к изучению внутренней (римановой) геометрии грассмановых многообразий позволяет применить аппарат теории групп и алгебр Ли. Общие результаты теории симметрических пространст нуждаются в интерпретации для конкретного многообразия, в нашем случае для грассманиана. При этом даже известные общие результаты теории римановых симметрических пространств приобретают новое освещение и могут быть получены независимо. В качестве примера к

10 сказанному приведем работу Лейхтвейса [76] о существовании и единственности 5'0 (Еп )-инвариантной римановой метрики на грассмановых многообразиях. Уже Э.Картану [62], 1952 было известно представление секционной кривизны грассма-ниана в направлении ортонормированной пары Х,У Е в виде скалярного квадрата (в метрике Киллинга) произведения Ли двух соответствующих ортонор-мированных элементов X', У в алгебре Ли группы 0(ЕП) (см. (28)). Как хорошо известно, алгебра о(Е3) изометрически изоморфна трехмерному евклидову пространству с операцией векторного умножения (см., например, [6]). Алгебра о (К4) изометрически изоморфна пространству К6 с операцией обобщенного векторного произведения (см. [34]). При п > 4 нам не известно достаточно удовлетворительного описания соотношений между евклидовой структурой и произведением Ли в алгебре о (К"). Поэтому максимальное значение 2 секционной кривизны грассма-нианов найдено на другом пути и значительно позже работы [62] (см. [89], 1968 (без доказательства); [91], 1988; [4], 1990).

Внешняя геометрия грассманианов С Ар(Еп) представляет интерес для теории калибровок. Кроме того, плюккерово вложение позволяет поставить вопрос о конгруэнтности в евклидовых пространствх различных объектов, определяемых внутренней геометрией грассманианов. В частности, об описании множеств раздела многообразий Грассмана с точностью до движения в евклидовом пространстве. При изучении внешней геометрии плюккерова вложения получается ряд канонических вложений классических симметрических пространств в евклидово пространство. Например, комплексных проективных пространств СРш (см. [79]) и пространств й'0(2п)/и(п) ортогональных комплексных структур на четномерном евклидовом пространстве (см. [10]). Эти вложения дают удобный инструмент для исследования внутренней геометрии выше упомянутых симметрических пространств (см. [11]). Вполне геодезические вложения многообразий 30(2п)/и(п) (п > 2) в многообразия 50(2т)/С/(т), т > п (см. [11]) оказываются глобально минимальными в своем классе гомологий (см. [14], [15]). Эти многообразия могут рассматриваться как пересечения группы 50 (2п) со своей алгеброй Ли (при их матричной реализации). Такие пересечения расположены в группе 5'0(2п) вполне

11 геодезически (см. [54]).

Изометрическое накрытие (3) показывает, что все локальные свойства многообразий СрП выполнены и для грассманианов &'Р)П. Различия в глобальной структуре этих пространств будут ниже специально отмечаться.

Перейдем теперь к изложению содержания данной работы. Она состоит из введения, семи глав, приложения и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы. Нумерация параграфов сквозная. Формулы нумеруются внутри параграфа, разбитого на пункты. Так что запись 18(3) отсылает к формуле (3) в §18, а запись п.18.2 обозначает второй пункт восемнадцатого параграфа. При ссылках на формулы внутри параграфа его номер не указывается.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Козлов, Сергей Емельянович, 1999 год

1. Э. Артин. Геометрическая алгебра. М, Наука, 1969.

2. Р. Бишоп, Р. Криттенден. Геометрия многообразий. М, Мир, 1967.

3. В.Бляшке. Дифференциальная геометрия. М, ОНТИ, 1935.

4. А.А.Борисенко, Ю.А.Николаевский. О поверхностях с максимальной кривизной грассманова образа. Мат.заметки. 1989. Т.46, N 3. С.9-11.

5. А. А. Борисенко, Ю. Н. Николаевский. Многообразия Грассмана и грассманов образ подмногообразий. Успехи мат. наук. 1991. Т.46, N 2. С.41-81.

6. Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер. Введение в риманову геометрию. С.Петербург, Наука, 1994.

7. В.Вагнер. Дифференциальная геометрия семейства Я^ в Пп и семейства вполне геодезических Б^-г в положительной кривизны. Мат.сб. 1942. Т.10(42) N 3. С.165-212.

8. Дж. Вольф. Пространства постоянной кривизны. М, Наука, 1982.

9. А. Н. Глушаков. Два вопроса внешней геометрии плюккеровых вложений многообразий Грассмана. Зап. научн. семин. ПОМИ. Т.246, 1997. С.5-12.

10. А.Н.Глушаков, С.Е.Козлов. Геометрия сферы калибровок степени два. Зап. научн. семин. ПОМИ, т.261, 1999, 43-54.

11. А.Н.Глушаков, С.Е.Козлов. Геодезические на гранях калибровок второй степени. Зап. научн. семин. ПОМИ, т.261, 1999, 55-65.

12. В. Горькавый. Теорема редукции в задаче восстановления подмногообразий евклидова пространства по заданному грассманову образу. Мат.физ., анализ, геом. Т.4, N 2. 1997. С.309-333.

13. ДГромол, В.Клингенберг, В.Мейер. Риманова геометрия в целом. М, Мир, 1971.

14. Дао Чонг Тхи. Алгебраические вопросы реализации циклов в симметрических пространствах. Вестн. МГУ, N 2(1976), 62-66.

15. Дао Чонг Тхи. Вещественные минимальные потоки в компактных группах Ли. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. Изд. МГУ, Вып.19(1978), 112-129.

16. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко. Современная геометрия. М, Наука, 1979.

17. Л. Д. Иванов. Вариации множеств и функций. М, Наука, 1975.

18. Ш.Кобаяси, К.Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. Т.2, М, Наука, 1981.

19. С. Е. Козлов. Ортогонально совместимые бивекторы. Укр. геометр, сб. Вып. 27, 1984, 68-75.

20. С.Е.Козлов. Строение единичной сферы одного пространства бивекторов. Геометрические вопросы теории функций и множеств, Калинин (1987), 63-67.

21. С. Е. Козлов. Сферические отображения и трехмерное кручение поверхностей в четырехмерных римановых многообразиях. I. Сиб. мат. журн. Т.31, N 4, 1990, 68-76.

22. С. Е. Козлов. Математические основы специальной теории относительности и пространство Лобачевского. Изд. СПбГУ, СПб., 1995.

23. С. Е. Козлов. Ортогонально инвариантные римановы метрики на вещественных грассмановых многообразиях. Мат. физика. Анализ. Геом. Т.4, N 1-2, 1997, 75-83.

24. С. Е. Козлов. Геометрия вещественных грассмановых многообразий. Части I, II. Зап. научн. семин. ПОМИ, т.246, 1997, 84-107.

25. С. Е. Козлов. Геометрия вещественных грассмановых многообразий. Часть

26. I. Зап. научн. семин. ПОМИ, т.246, 1997, 108-129.

27. С. Е. Козлов. Геометрия вещественных грассмановых многообразий. Часть1.. Зап. научн. семин. ПОМИ, т.252, 1998, 78-103.

28. С.Е.Козлов. Геометрия вещественных грассмановых многообразий. ЧастьV. Зап. научн. семин. ПОМИ, т.252, 1998, 104-120.

29. С.Е.Козлов. Геометрия вещественных грассмановых многообразий. ЧастьVI. Зап. научн. семин. ПОМИ, т.252, 1998, 121-133.

30. С.Е.Козлов. Топология и Лоренц-инвариантная псевдориманова метрика многообразия направлений в физическом пространстве. Зап. научн. семин. ПОМИ, т.246, 1997, 141-151.

31. С.Е.Козлов. Поворот одномерного направления в физическом пространстве для периодической частицы. Зап. научн. семин. ПОМИ, т.252, 1998, 142-148.

32. С.Е.Козлов. Алгебраический подход к геометрии вещественных грассмановых многообразий. Тезисы докладов Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Абрау-Дюрсо, 1998, 21-22.

33. С.Е.Козлов. Стационарные значения секционной кривизны в грассманианах бивекторов. Зап. научн. семин. ПОМИ, т.261, 1999, 102-118.

34. С.Е.Козлов. Критические значения секционной кривизны в грассманианах. Тезисы докладов Международной конференции " Топология и динамика. Рохлинский мемориал". СПб, 1999, с.37.

35. С.Е.Козлов, М.Ю.Никанорова. Евклидова геометрия алгебры Ли ортогональной группы 0(R4). Зап. научн. семин. ПОМИ, т.261, 1999, 119-124.

36. П.М.Кон. Свободные кольца и их связи. М., Мир, 1975.

37. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теория поля. М, Наука, 1976.

38. А. Н. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. Изд. МГУ, 1980.

39. Дж.Милнор, Дж.Сташеф. Характеристические классы. М., Мир, 1979.

40. Г.Минковский. Пространство и время. СПб. 1911.

41. Б.М.Макаров, М.Г.Голузина и др. Избранные задачи по вещественному анализу. М, Наука, 1992.

42. В. Ф. Осипов. Структура пространств-времени: векторная алгебра и анализ. Часть 1. Изд. СПбГУ, 1995.

43. Р.Пенроуз, В.Риндлер. Спиноры и пространство-время. М, Мир, 41, 1987.

44. Р.И.Пименов. Пространства кинематического типа (математическая теория пространства-времени). Зап. научн. семин. ЛОМИ, т.6, 1968, 1-496.

45. М.М.Постников. Аналитическая геометрия. М, Наука, 1973.

46. М.М.Постников. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. Лекции по геометрии. Семестр 2. М, Наука, 1979.

47. Б.А.Розенфельд. Многомерные пространства. М, Наука, 1966.

48. В.А.Рохлин, Д.Б.Фукс. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М, Наука, 1977.

49. С. Стернберг. Лекции по дифференциальной геометрии. Мир, М, 1970.

50. И.А.Схоутен, Д.Дж.Стройк. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. М, ИЛ, т.1, 1948.

51. Х.Уитни. Геометрическая теория интегрирования. М, ИЛ, 1960.

52. Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре. М, Наука, 1984.

53. Н.К.Фарафонова. Римановы метрики в расслоенных пространствах II. Изв. вузов. Математика. 1996, N 2(405), 59-72.

54. Н.К.Фарафонова. Геометрия грассманова расслоения I. Изв. вузов. Математика. 1997, N 9(424), 70-83.

55. А. Т. Фоменко. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. Изд. МГУ, 1988.

56. Г. Федерер. Геометрическая теория меры. Наука, М, 1987.

57. Фукс Д.Б. Классические многообразия. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.12. Топология. 1. М, ВИНИТИ, 1986, с.253-314.

58. С. Хелгасон. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. Мир, М, 1964.

59. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. М, Мир, 1970.

60. Blashke W. Sulla geometría differenziale delle superficie S'¿ nello spazio euclideo S4. Ann. Math. Pura Appl. 1949, v.4,N 28, p.205-209.

61. G.Fubini. Sulle metriche definite da una forma Hermitiana. Atti Instit. Veneto, 6, 1903, 501-513.

62. Э.Картан. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М, Наука, 1978.

63. Е. Cartan. Oeuvres completes. I. Paris, 1952.

64. В.-Y.Chen, T.Nagano. Totally geodesic submanifolds of symmetric spaces. I. Duke Math. J. 1977. V.44, N 4. P.745-755. II. Duke Math. J. 1978. V.45, N 2. P.405-425.

65. K. Chen. The geometry of Grassman manifolds as submsnifolds. Adv. Math. v. 16, N 3, 1987. P.334-335.

66. S.S.Chern. Minimal surfaces in a Euclidean space of N dimensions. Dif. and156Comb. Topology, Morse Jubilee Volume, Princeton. 1965. P.187-198.

67. E.Grecu. Sur les espaces de Grassmann réels, complexes et quaternioniques. Publ. Inst. Math. 1982 (1983). V.33. P.73-82.

68. J.Dadok, R.Harvey, F.Morgan. Calibrations in R8. Trans. AMS. 1988. V.307, N 1. P.l-40.

69. W. Fenchel. Uber Krümmung und Windung geschhlossener Raumkurven. Math. Ann. 101 (1929), 238-252.

70. P. Filliman. Exterior algebra and projections of polytopes. Discrete Comput Geom. v. 5, 1990, p. 305-322.

71. R.Harvey, F.Morgan. The faces of the Grassmannian of three-plaves in R7 (Calibrated geometries on R7). Invent, math. 1986. V.83, N 2. P. 191-228.

72. R.Harvey, H.B.Lawson. Calibrated geometric. Acta math. 1982. V.148. P.47-157.

73. R.Harvey, H.B.Lawson. Calibrated foliations (foliations and mass-minimizing currents). Amer. J.Math., 104(1982), N 3, 607-630.

74. H.Hopf, W.Rinow. Uber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Flache. Comm.Math.Helv., 3(1931), 209-225.

75. C.Jordan. Essia sur la géométrie a, n dimensions. Onevres, v.3, Paris, 1962.

76. W.Klingenberg. Riemannian geometry. Berlin etc., 1982.

77. K. Leichtweiss. Zur Riemannschen Geometrie in Grassmannschen Mannigfaltigkeiten. Math. Z. v. 76, N 4, 1961, p. 334-366.

78. G.-K. Lu. The elliptic geometry of extended spaces. Chinese Math. 1963, V.4, p.54-69.

79. F.Morgan. Area-minimizing surfaces of Grassmannians and calibrations. Amer. Math. Month. 1988, v.30, N 1, p.813-822.

80. F.Morgan. The exterior algebra AkRn and area minimization. Lin.Alg. and Appl., 66(1985), 1-38.

81. Y.Muto. The Gauss map of a submanifold in a Euclidean space. J. Math. Soc. Japan. 1978, v.30, N 1, p.85-100.

82. Y.Muto. Submanifolds of a Euclidean space with homothetic Gauss map. J.157.Math. Soc. Japan, 1980, v.32, N 3, p.531-555.

83. M. Obata. The Gauss map of immersions of Riemannian manifolds in space of constant curvature. J. Different. Geom., v.2, 1968, p.217-223.

84. R.Osserman. Minimal surfaces, Gauss maps, total curvature, eigenvalues, estimates and stability. Chern Symposium 1979. N.-Y., Y., Heidelberg, Berlin: Springer Verlag, 1980.

85. R.Osserman, D.Hoffman. The area of the generalized Gaussian Image and stability of minimal surfaces in Sn and Rn. Math. Ann. 1982, N 4, p.437-452.

86. E.A.Ruh, J.Vilms. The tension field of the Gauss map. Trans. AMS, 1970, v.149, N 2, p.569-573.

87. S.Sasaki. On the differential geometrie of tangent bundles of Riemannian manifolds. Tohoku Math. J., 1958, 10, 338-345.

88. C.Teleman. Sur les varietes de Grassman. Bull. math. Soc. sci. math. phys. RPR. 1958, v.50, N 2, p.203-224.

89. Y.-C. Wong. Differential geometry of Grassmann manifolds. Proc. Nat. Acad. USA, v.57, N 3, 1967, p.589-594.

90. Y.-C. Wong. Sectional curvatures of Grassmann manifolds. Proc. Nat. Acad. USA, v.60, N 1, 1968, p.75-79.

91. Y.-C. Wong. Conjugate loci in Grassmann manifolds. Bull. AMS, v.74, N 2, 1968, p.240-245.

92. G.Wu, W.Chen. An inequality for matrices and its geometrical applications. Acta Math. Sin. 1988, v.31, N 3, p.348-355.

93. Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер. Геометрические неравенства. JI., Наука, 1980.